Ova metoda je predstavnik klase aproksimativnih metoda

Ideja metode je izuzetno jednostavna i svodi se na proceduru

aproksimacije za rješavanje integralne jednadžbe, na koju

data je originalna diferencijalna jednadžba.

Neka je postavljen Cauchyjev problem

Integriramo napisanu jednačinu

. (5.2)

Postupak uzastopnih aproksimacija Picardove metode se provodi prema sljedećoj šemi

, (5.3)

Primjer . Riješite Picardovu jednačinu

Rješenje ove jednačine nije izraženo u terminima elementarnih funkcija.

Može se vidjeti da za , serija brzo konvergira. Metoda je pogodna ako se integrali mogu uzeti analitički.

Dokažimo konvergenciju Picardove metode. Neka u nekim ograničenim

oblasti, desna strana je kontinuirana i, osim toga, zadovoljava Lipschitzov uslov u odnosu na varijablu, tj.

gdje je neka konstanta.

Zbog omeđenosti regiona, nejednakosti

Od (5.3) oduzimamo formulu (5.2), dobijemo za module desno i lijevo

Konačno, koristeći Lipschitzov uslov kontinuiteta, dobijamo

, (5.4)

gdje je greška približnog rješenja.

Sukcesivnom primenom formule (5.4) at dobija se sledeći lanac relacija, uzimajući to u obzir

Jer , onda imamo

Zamjenom Stirlingovom formulom, konačno dobijamo procjenu greške približnog rješenja

. (5.5)

Iz (5.4) slijedi da za modul greške, tj.

približno rješenje ravnomjerno konvergira točnom.

5.2.2. Runge-Kutta metode

Ove metode su numeričke.

U praksi se koriste Runge-Kutta metode koje obezbeđuju post-

rojeve razlike šeme (metode) različitog reda tačnosti. Većina

uobičajene šeme (metode) drugog i četvrtog reda. Mi i oni

razmotrite u nastavku.

Hajde da prvo uvedemo neke pojmove i definicije. mesh on

segment je fiksni skup tačaka ovog segmenta.

Funkcija definirana u ovim točkama naziva se mrežna funkcija.

Koordinate tačaka zadovoljavaju uslove

Tačke su čvorovi mreže. Ujednačena mreža je skup tačaka

, ,

gdje je razmak mreže.

Prilikom odlučivanja diferencijalne jednadžbe približna metoda je glavno pitanje konvergencije. Što se tiče razlika metoda, koncept konvergencije za je tradicionalno češći. Označimo vrijednosti mrežne funkcije kao vrijednosti tačnog rješenja diferencijalne jednadžbe (5.1) u čvoru - (one su približne vrijednosti). Konvergencija znači sljedeće. Fiksiramo tačku i gradimo skup mreža na takav način da (gde). Tada se smatra da numerička metoda konvergira u tački ako

u ,. Metoda konvergira na segmentu ako konvergira u svakoj tački. Kaže se da metoda ima th red tačnosti ako se može naći broj takav da at.

Zatim uvodimo koncept zaostale ili aproksimacijske greške jednadžbe razlike koja zamjenjuje datu diferencijalnu jednadžbu na rješenju izvorne jednačine, tj. diskrepancija je rezultat zamjene tačnog rješenja jednačine (5.1) u jednačinu razlike. Na primjer, (5.1) se može zamijeniti sljedećom jednostavnom jednačinom razlike

, .

Tada se neslaganje određuje sljedećim izrazom

Približno rješenje se općenito ne poklapa sa , tako da diskrepancija u th tački nije jednaka nuli. Uvodi se sljedeća definicija: numerička metoda aproksimira originalnu diferencijalnu jednadžbu ako je , i ima th red tačnosti ako .

Dokazano je da se redoslijed tačnosti numeričke metode za rješavanje diferencijalne jednadžbe poklapa sa redoslijedom aproksimacije pod prilično općim pretpostavkama.

Sada pređimo na analizu Runge-Kutta šema. Hajdemo prvo da se osvrnemo na

šeme drugog reda tačnosti.

Koristeći Taylorovu formulu, rješavanje diferencijalne jednadžbe

(5.1) može se predstaviti kao

, (5.6)

gdje je naznačeno, ,.

Imajte na umu da prema (5.1) ,.

derivat na sledeći način

gdje su nepoznate količine. Neka

Označimo približnu vrijednost rješenja u čvoru brojem kroz (to je rješenje koje će se dobiti nakon što ograničimo seriju na članove redom koji nije veći od drugog).

Ovdje uneseni parametri se moraju odrediti.

Proširujući desnu stranu u Tejlorov niz i donoseći slične pojmove, dobijamo

sukcesivno

Uslov za izbor parametara postavljamo i blizinu izraza

odnos (5.7) prema nizu (5.6), onda

, ,.

Jedan parametar ostaje slobodan. Neka bude onda

, ,

i konačno iz (5.7), uzimajući u obzir pronađene relacije za i

Relacija (5.8) opisuje jednoparametarsku porodicu dvočlanih Runge-Kutta formula.

U stručnoj literaturi je dokazano da ako je kontinuirano i ograničeno zajedno sa svojim drugim derivacijama, onda približno rješenje sheme (5.8) konvergira jednolično točnom rješenju s greškom , tj. shema (5.8) ima drugi red tačnosti.

U praksi proračuna koriste se formule (5.8) za vrijednosti parametra ,.

Iz (5.8) zaključujemo

Primjena formule (5.9) svodi se na sljedeći niz koraka:

1. Vrijednost funkcije se izračunava grubo (prema shemi izlomljene linije)

2. Određuje se nagib integralne krive u tački ().

3. Pronađena je srednja vrijednost derivacije funkcije u koraku

4. Vrijednost funkcije se izračunava na ()-tom čvoru

Ova shema ima poseban naziv "prediktor-korektor".

Prema (5.8) dobijamo

Problem se rješava kroz sljedeće korake:

1. Izračunava se vrijednost funkcije na polučvoru

2. Određuje se vrijednost derivacije u čvoru

3. Vrijednost funkcije nalazi se u ()-tom čvoru

Pored prethodno razmatranih dvočlanih shema, Runge-Kutta šeme se široko koriste u praksi proračuna. četvrtog reda tačnost. Odgovarajuće formule su date u nastavku bez izvođenja.

(5.10)

Šeme sa velikim brojem članova se praktično ne koriste. Pet-

formule članova daju četvrti red tačnosti, formule sa šest članova imaju šesti red, ali je njihov oblik veoma komplikovan.

Greške gore navedenih Runge-Kutta šema su određene maksimumom

vrijednosti odgovarajućih derivata.

Lako je dobiti procjenu grešaka za poseban slučaj prava

dijelovi diferencijalne jednadžbe

U ovom slučaju, rješenje jednadžbe se može svesti na kvadraturu i

sve šeme diferencijskih rješenja se pretvaraju u formule za numeričku integraciju

roving. Na primjer, shema (5.9) poprima oblik

odnosno ima oblik trapezne formule, a shema (5.10) prelazi u shemu

što je Simpsonova formula sa korakom .

Procjene velike greške za formule trapeza i Simpsona su poznate (vidi odjeljak 3.2). Iz (3.4) i (3.5) se može vidjeti da je tačnost Runge-Kutta šema prilično visoka.

Izbor jedne ili druge od gore navedenih shema za rješavanje određenog problema

dacha je određena sljedećim razmatranjima. Ako je funkcija in

desna strana jednačine je kontinuirana i ograničena, kao i kontinuirana i

njeni četvrti derivati su ograničeni, tada se postiže najbolji rezultat

kada se koristi shema (5.10). U slučaju kada je funkcija

nema gore navedene derivate, granični (četvrti) red

shema (5.10) se ne može postići, a ispostavilo se da je svrsishodna

koristeći jednostavnije šeme.

Pored Runge-Kutta šema, višestepene metode su od praktičnog interesa, koje se mogu opisati sljedećim sistemom jednačina

gdje , a - numerički koeficijenti, ,.

Prema ovoj jednadžbi, proračun počinje sa . U ovom slučaju dobijamo relaciju forme

one. za početak brojanja morate imati početne vrijednosti. Ove vrijednosti se moraju izračunati nekom drugom metodom, na primjer, Runge-Kutta metodom.

Među metodama u više koraka, Adamsova metoda je najčešća, čija implementacija slijedi iz (5.11) sa i za :

Za , Adamsova metoda ispada eksplicitna, dok je za , implicitna.

1
18.01.2018

Formulacija problema
Diferencijal
jednačine
uspostaviti veze između nezavisnih
varijable, željene funkcije i njihove
derivati. Ako je tražena funkcija
onda zavisi od jedne varijable
diferencijalna jednadžba se zove
običan.

Formulacija problema
Na primjer, uvjet ravnoteže za elastičnu sredinu
opisuje se običnim diferencijalom
jednadžba:
dTx
fx 0
dx
Tx - komponenta mehaničke
naponi, F - djeluju na
kontinuirana srednja sila per
jedinica mase
Ovdje je željena funkcija (mehanička
napon) T(x) zavisi od jedne varijable
x (koordinata).

Formulacija problema

Ako željena funkcija ovisi o
više varijabli, diferencijalna jednačina
će biti parcijalna diferencijalna jednačina.
Na primjer, može se opisati kretanje elastične sredine
parcijalna diferencijalna jednadžba:
2u x Tx
2
t
x
ux je pomak medija, ρ je gustina
srednje, Tx je komponenta naprezanja
U ovoj jednadžbi, funkcija u(t,x) ovisi o vremenu
(t) i smjer srednjeg pomaka (x).

Formulacija problema
Obične diferencijalne jednadžbe
(ODE) se nazivaju jednadžbe koje sadrže jedan ili
nekoliko izvoda željene funkcije y = y(x):
F (x, y, y,..., y(n)) 0 ,
gdje je x nezavisna varijabla.
Najviši red od n u jednačini
derivacija se naziva red diferencijala
jednačine.
Na primjer:
F (x, y, y ") 0 jednačina prvog reda;
F (x, y, y " , y") jednačina drugog reda 0

Formulacija problema
Iz opšteg zapisa diferencijalne jednadžbe
derivacija se može eksplicitno izraziti:
y "f(x, y),
y" f(x, y, y")
Jednačina derivata ima beskonačnost
mnoga rješenja. Da dobijem jedino
rješenja treba specificirati dodatne
uslove koje željeni mora zadovoljiti
rješenja.

Formulacija problema
U zavisnosti od vrste uslova
razmotriti tri vrste problema za koje je dokazano
postojanje i jedinstvenost rješenja.
Prvi tip su problemi sa početnim
uslovima.
Za
takav
zadataka
Osim toga
original
diferencijalna jednadžba u nekoj tački x0
moraju biti specificirani početni uslovi, tj.
vrijednosti funkcije y (x) i njenih derivata: y (x0) =
y0
y" (x0) = y"0 , . . . , y(n-1) (x0) = yn-10 .

Formulacija problema
Druga vrsta zadataka su tzv
granica, ili ivica, u kojoj
dodatni uslovi su dati u obrascu
funkcionalan
omjeri
između
željena rješenja.
Treća vrsta zadataka za obične
diferencijalne jednadžbe su problemi
sopstvene vrednosti.

Formulacija problema
Hajde da formulišemo Cauchyjev problem.
Pronađite rješenje za obični diferencijal
jednačina (ODE) prvog reda, riješena
u odnosu na derivat
y "f(x, y),
zadovoljavajući početno stanje
y (x0) y0

10.

Formulacija problema
Potrebno je pronaći na segmentu takve
kontinuirana funkcija
y = y(x), što
zadovoljava diferencijalnu jednačinu
y " f (x, y), i početni uslov y (x0) y0
one.
nađi
rješenje
diferencijal
jednačine. Pronalaženje takvog rješenja se zove
rješenje Cauchyjevog problema. Numeričko rješenje ovoga
zadatak je napraviti tabelu približnih
vrijednosti y1,y2,...,yn rješenja jednadžbe y(x) u tačkama
x1,x2,...,xn sa nekim korakom h.
xi x0 i h,
i=1,2,...,n.

11.

Obicno
diferencijalne jednadžbe
Jednadžbe privatno
derivati
z z
dy
0
2(y3)
2
2
x
y
dx
2
d y
2
2
t
1
2
z
z
dt
3 2 2 4
x
y
3
xdy=ydx
2
y'=x
2
11
2
18.01.2018

12.

Jednačine prvog reda
dy
2(y3)
dx
Jednačine drugog reda
2
d y
t
1
2
dt
z z
0
2
2
x
y
2
3
xdy=ydx
z z
3 2 2 4
x y
2
2
y′=x
12
2
2
18.01.2018

13.

Primjer 1. Za diferencijalnu jednačinu
dy
2x
dx
y0 = 2 na x0 = 1
opšte rešenje: y = x2 +
OD
2 \u003d 1 + C, odnosno C \u003d 1
M0 (1; 2)
13
18.01.2018

14.

Lipschitz stanje
R[ a ,b ] (| x x0 | a, | y y0 | b)
f (x, y) f (x, y) N y y
14
18.01.2018

15.

Metode za približno rješenje diferencijala
jednačine
Analitičke metode
Numeričke metode
Sekvencijalna metoda
aproksimacije - metod
Picard
Ojlerova metoda i
modifikacije
Metoda integracije
diferencijal
koristeći jednačine
power series
Runge-Kutta metoda
metoda ekstrapolacije
Adams
15
18.01.2018

16.

18.01.2018

17.

Riješite diferencijalnu jednačinu
y′=f(x, y) numeričkom metodom –
ovo znači za dato
nizove argumenata
x0, x1,…, xn i brojevi y0,
bez definiranja funkcije y=F(x),
pronađite takve vrijednosti y1, y2, …, yn,
da je yi=F(xi) i F(x0)=y0.
h=xk-xk-1
18.01.2018

18.

Neka je diferencijalna jednadžba
prva narudžba
y'= f (x, y)
sa početnim stanjem
x=x0, y(x0)=y0
b a
h
n
korak integracije
18.01.2018

19.

19
18.01.2018

20.

xk 1
xk 1
f (x, y) y" dx y(x)
xk
xk 1
xk
y (xk 1) y (xk) yk 1 yk
xk
to je
yk 1 yk
xk 1
f (x, y)dx
xk
18.01.2018

21.

xk 1
f (x, y)dx f (x, y) x
k
k
xk 1
xk
f (xk , yk)(xk 1 xk) y " h
xk
yk 1 yk y "k h
yk 1 yk y "k h
Označite
yk 1 yk yk
yk h y "k
yk 1 yk yk
18.01.2018

22.

y
h
0
x0
x1
x2
x
18.01.2018

23.

Greška metode
hM
n
y (xn) y n
(1 hN) 1
2N
gdje
f (x1 , y1) f (x1 , y2) N y1 y2
df
f
f
f
M
dx
x
y
18.01.2018

24.

Primjer 1. Riješite y'=y-x sa početnim
uslov x0=0, y0=1.5 na segmentu , h=0.25
Rješenje
i
(1)
0
1
2
3
4
5
6
xi
(2)
0
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
yi
(3)
1.5000
1.875
2.2812
2.7265
3.226
3.7758
4.4072
yi'=yi-xi
(4)
1.5000
1.6250
1.7812
1.9765
2.2206
2.5258
yi hy
"
i
(5)
0.3750
0.4062
0.4453
0.4941
0.5552
0.6314
18.01.2018

25.

Eulerova metoda
Unesite x, y, h, b
Izlaz x, y
y: y hf x, y
x:x h
+
xb
kraj
18.01.2018

26.

Poboljšana Eulerova metoda
yn+1 = yn + h/2
Vratimo se na proširenje funkcije u Taylorov niz
povećanje tačnosti proračuna može se postići održavanjem
član koji sadrži h2. y (t0) se može aproksimirati konačnom razlikom:
Uzimajući u obzir ovaj izraz, proširenje funkcije u Taylorov red poprima oblik
greška je reda h3
18.01.2018

27.

18.01.2018

28.

Zadatak. Neka diferencijal
jednačina prvog reda
y'= f(x, y)
sa početnim stanjem
x=x0, y(x0)=y0
Pronađite rješenje jednačine na segmentu
yi 1 yi yi
18.01.2018

29.

k1 hf (x, y)
h
k1
k 2 hf (x, y)
2
2
h
k2
k3 hf (x, y)
2
2
k4 hf (x h, y k3)
18.01.2018

30.

1
y (k1 2k 2 2k3 k 4)
6
yi 1 yi yi
18.01.2018

31.

18.01.2018

32.

Greška metode Rn(h5).
18.01.2018

33.

Primjer 1. Riješite diferencijal
jednačina y′= y-x sa početnim
uslov x0=0, y(x0)=y0=1.5 metodom
Runge Kutta. Izračunajte sa tačnošću od 0,01.
Rješenje
k1(0)=(y0-x0)h=1,5000*0,25=0,3750
k2(0)
k1(0)
h
x0 h (1,5000 0,1875) 0,125 0,25 0,3906
y0
2
2
18.01.2018

34.

k3(0)
k2(0)
h
x0 h (1,5000 0,1953) 0,125 0,25 0,3926
y0
2
2
k4(0)=[(y0+k3(0))-(x0+h)]h=[(1,5000+0,3926)0,125]*0,25=0,4106
1
y0 (0,3750 2 * 0,3906 2 * 0,3926 0,4106)
6
=0,3920
y1=1,50000+0,3920=1,8920
18.01.2018

35.

18.01.2018

36.

18.01.2018

37.

Runge-Kutta metoda za rješavanje sistema
diferencijalne jednadžbe
,
y "f (x, y, z)
z
"
g
x
,
y
,
z
18.01.2018

38.

1(i)
(i)
(i)
(i)
yi (k1 2k 2 2k3 k 4)
6
1(i)
(i)
(i)
(i)
zi (l1 2l2 2l3 l4)
6
, gdje
18.01.2018

39.

(i)
1
k
(i)
1
l
hf (xi , yi , zi)
hq(xi, yi, zi)
18.01.2018

40.

k
l
(i)
2
(i)
2
(i)
1
(i)
1
h
k
l
hf (xi, yi
,zi)
2
2
2
(i)
1
(i)
1
h
k
l
hq(xi , yi
,zi)
2
2
2
18.01.2018

41.

k
(i)
3
(i)
3
l
(i)
2
(i)
2
(i)
2
(i)
2
h
k
l
hf (xi, yi
,zi)
2
2
2
h
k
l
hq(xi , yi
,zi)
2
2
2
18.01.2018

42.

k
l
,
(i)
4
(i)
4
(i)
3
k
h
(i)
hf (xi, yi
, zi l3)
2
2
(i)
3
k
h
(i)
hq(xi , yi
, z i l3)
2
2
yi 1 yi yi
zi 1 zi zi
18.01.2018

43.

Metoda uzastopnih aproksimacija
43
18.01.2018

44.

Prvi pristup:
Druga aproksimacija:
Treća aproksimacija:
…
n-ta aproksimacija:
44
18.01.2018

45.

Teorema. Neka je u blizini tačke (x0; y0)
funkcija f(x, y) je kontinuirana i ima
ograničeni parcijalni izvod f'y (x, y).
Zatim u nekom intervalu koji sadrži
tačka x0, niz ( yi(x))
konvergira funkciji y(x) koja služi
rješenje diferencijala
jednačine y' = f(x, y) i
koji zadovoljava uslov y(x0) = y0
45
18.01.2018

46.

47. Picardova metoda uzastopnih aproksimacija

diferencijalna jednadžba n-tog reda
Razmotrimo diferencijalnu jednačinu prve
red
y' = f(x, y)
(1)
sa početnim uslovima
y(x0) = y0
(2).
Pretpostavlja se da je u nekom susjedstvu tačke
M0(x0, y0) jednadžba (1) zadovoljava uslove teoreme
postojanje i jedinstvenost rješenja.

48.

Za vrijednosti ćemo izgraditi željeno rješenje y = y(x).
x x0 .
Slučaj x x0 je sličan.
Integriranje desne i lijeve strane jednačine (1) u
unutar x0 do x, dobijamo
x
y (x) y (x0) f (x, y)dx
x0
ili na osnovu početnog uslova (2), imaćemo
x
y (x) y0 f (x, y)dx
x0
(3)

49.

Pošto je željena funkcija y = y(x) ispod
integralni predznak, onda je jednadžba (3).
integral.
Očigledno, rješenje integralne jednadžbe (3)
zadovoljava diferencijalnu jednadžbu (1) i
početno stanje (2).
Da bismo pronašli ovo rješenje, koristimo metodu
uzastopne aproksimacije.
Zamjena u jednakosti (3) nepoznate funkcije y
datu vrijednost y0, dobijamo prvu aproksimaciju
x
y1 y0 f (x, y0)dx
x0

50.

Nadalje, zamjena u jednakosti (3) umjesto nepoznate
funkcija y je pronašla funkciju y1, imat ćemo drugu
aproksimacija
x
y2 y0 f(x, y1)dx
itd.
x0
Sve dalje aproksimacije su izgrađene prema formuli
x
yn y0 f (x, yn 1)dx
(n = 1, 2, …)
x0
Geometrijski
uzastopno
aproksimacija
su krive yn = yn(x) (n = 1, 2, …),
prolazeći kroz zajedničku tačku M0(x0, y0).

51.

y
0
x0
x x+h
x
Komentar.
At
metoda
sukcesivno
aproksimacije kao početna aproksimacija y0,
može se izabrati bilo koju funkciju dovoljno blisku
tačno rješenje y.
Na primjer, ponekad je korisno uzeti kao y0
završni segment Taylor serije željenog rješenja.

52.

Bilješka
šta
at
koristiti
metoda
uzastopne aproksimacije, analitičnost desnog
dio diferencijalne jednadžbe nije obavezan,
Stoga se ova metoda može koristiti u slučajevima kada
kada
raspadanje
rješenja
diferencijal
jednačine u power series nemoguće.
Primjer 1. Metodom uzastopnih aproksimacija
naći približno rješenje diferencijala
jednačine
y' = x - y,
Zadovoljavanje početnog uslova y(0) = 1.

53.

Rješenje. As
uzmimo y0(x) = 1. Pošto
osnovno
aproksimacija
x
y 1 (x y)dx
0
onda ćemo imati
x
x2
y1 1 (x 1)dx 1 x
2
0
Slično
3
x2
x
dx 1 x x 2
y2 1 x 1 x
2
6
0
x

54.

Na isti način dobijamo
3
4
x
x
y3 1 x x 2
3 24
3
4
5
x
x
x
y4 1 x x 2
3 12 120
itd.

55. Sistem diferencijalnih jednadžbi (Picardova metoda)

Dat sistem diferencijalnih jednadžbi
dy
f(x, y)
dx
(4)
y(x0) y0
(5)
gdje
Zapisivanje vektorske jednačine (4) u integral
formu, imaćemo

56.

x
y y0 f (x, y)dx
(6)
x0
gdje je pod integralom vektorske funkcije
shvaćeni vektor
x
x0
x
f1 dx
x0
f dx
x
f n dx
x0
f1
f
f n

57.

uzastopne aproksimacije
određuju se formulom
x
y
(p)
y 0 f (x, y
(p1)
y (p) (p = 1, 2, …)
)dx
x0
Štaviše, obično se pretpostavlja
y(0)y
Ova metoda je također pogodna za diferencijal
jednačina n-tog reda, ako je napisana u obliku
sistemima.

58.

Primjer 2. Izgradite nekoliko uzastopnih
aproksimacije za rješavanje sistema
dy1
dx x y1 y2
dy2 x 2 y 2
1
dx
zadovoljavanje početnih uslova
y1(0) = 1; y2(0) = 0

59.

Rješenje. Imamo:
x
y1 1 (x y1 y2)dx
0
x
y2 (x2 y12)dx
0
Dakle, pod pretpostavkom
y1(0) = 1;
y2(0) = 0
dobijamo
x
2
x
(1)
y1 1 (x 0)dx 1
2
0
x
3
x
(1)
y2 (x 2 1)dx x
3
0

60.

x2
x 3
x4x6
1 x 1 x dx 1
2
3
24 36
0
x
(2)
1
y
4
5
2
x
x
x 1 x 2 dx x
4
20
0
x
y2
(2)
itd.

61.

Kraj proračuna
n 1
h
| y yn | NM
(n 1)!
n
61
18.01.2018

Razmotrit ćemo običnu diferencijalnu jednačinu (ODE) prvog reda

sa početnim stanjem

y(x 0) \u003d y 0, (2)

gdje je f(x) neka data, u općem slučaju, nelinearna funkcija dvije varijable. Pretpostavit ćemo da su za dati problem (1)-(2), nazvan početni problem ili Cauchyjev problem, ispunjeni zahtjevi koji osiguravaju postojanje i jedinstvenost na segmentu [x 0 ,b] njegovog rješenja y=y (x).

Unatoč vanjskoj jednostavnosti jednačine (1), riješite je analitički, tj. pronađite opće rješenje y=y(x, C) da biste zatim iz njega izvukli integralnu krivu y=y(x) koja prolazi kroz dati poen(x 0 ; y 0) moguće je samo za neke posebne tipove takvih jednačina. Stoga, kao iu problemu izračunavanja integrala koji se odnosi na (1)-(2), treba se osloniti na aproksimativne metode za rješavanje početnih problema za ODE, koji se mogu podijeliti u tri grupe:

1) približne analitičke metode;

2) grafički ili mašinski- grafičke metode;

3) numeričke metode.

Metode prve grupe uključuju one koje omogućavaju da se pronađe aproksimacija rješenja y(x) odmah u obliku neke "dobre" funkcije φ (X). Na primjer, dobro poznati metoda potencijskog reda, čija je jedna implementacija zasnovana na predstavljanju željene funkcije y(x) segmentom Taylorovog reda, gdje se Taylorovi koeficijenti koji sadrže derivate višeg reda nalaze sukcesivnom diferencijacijom same jednadžbe (1). Drugi predstavnik ove grupe metoda je metoda uzastopnih aproksimacija, čija je suština data u nastavku.

Ime grafičke metode govori o približnom prikazu željenog rješenja y(x) na intervalu u obliku grafa, koji se može graditi prema određenim pravilima vezanim za grafičku interpretaciju ovog problema. U osnovi kompjutersko-grafičkih metoda aproksimativnog rješenja leži fizička ili, možda, tačnije reći, električna interpretacija početnih problema za određene tipove jednačina. Realizujući na fizičko-tehničkom nivou dato električni procesi, ponašanje rješenja diferencijalnih jednačina koje opisuju ove procese se promatra na ekranu osciloskopa. Promena parametara jednačine dovodi do adekvatne promene ponašanja rešenja, što je osnova specijalizovanih analognih računara (ACM).

Konačno, najznačajnija trenutno, koju karakteriše brzi razvoj i prodor u sve sfere ljudske delatnosti, digitalna računarska nauka, su numeričke metode za rješavanje diferencijalnih jednadžbi koje uključuju dobivanje numeričke tablice približnih vrijednosti y i željenog rješenja y(x) na određenoj mreži
vrijednosti argumenta x. Ove metode će biti predmet sljedeće rasprave. Što učiniti s rezultirajućim numeričkim vrijednostima rješenja ovisi o primijenjenoj formulaciji problema. Ako govorimo o pronalaženju samo vrednosti y(b), tada je tačka b uključena kao konačna tačka u sistem izračunatih tačaka x i, a sve približne vrednosti y i ≈y(x i), osim poslednje jedan, učestvuju samo kao srednji, tj. ne zahtijevaju pamćenje ili obradu. Ako trebate imati približno rješenje y(x) u bilo kojoj točki x, tada za to možete primijeniti bilo koju od metoda aproksimacije na rezultirajuću numeričku tablicu vrijednosti y i tablične funkcije, o čemu smo ranije govorili, na primjer, interpolacija ili spline interpolacija. Moguća je i druga upotreba numeričkih podataka o rješenju.

Dotaknimo se jedne aproksimativno-analitičke metode za rješavanje početnog problema (1)-(2), u kojoj je željeno rješenje y = y (x) u nekom desnom susjedstvu tačke x 0 granica niza funkcije y n (x) dobijene na određeni način.

Integriramo lijevi i desni dio jednačine (1) unutar granica od x 0 do x:

Dakle, uzimajući u obzir činjenicu da je jedan od antiderivata za y"(x) y(x), dobijamo

ili, koristeći početni uslov (2),

(3)

Tako je ova diferencijalna jednadžba (1) sa početnim uvjetom (2) transformirana u integralnu jednačinu (ovdje nepoznata funkcija ulazi pod predznak integrala).

Rezultirajuća integralna jednačina (3) ima oblik problema fiksna tačka za operatera
Formalno, metoda jednostavnih iteracija može se primijeniti na ovaj problem

dovoljno detaljno razmotrene u odnosu na sisteme linearnih i nelinearnih algebarskih i transcendentalnih jednačina. Uzimajući kao početnu funkciju y 0 (x) konstantu y 0 specificiranu u (2), prema formuli (4) na n=0 nalazimo prvu aproksimaciju

Njegova zamjena u (4) za n=1 daje drugu aproksimaciju

itd. Dakle, ova aproksimativno-analitička metoda, nazvana metoda uzastopnih aproksimacija ili Picardova metoda, definirana je formulom

(5)

gdje je n=0,1, 2,... i y 0 (x)=y 0 .

Uočavamo dvije karakteristike Picardove metode sukcesivnih aproksimacija, koje se mogu klasificirati kao negativne. Prvo, zbog dobro poznatih problema sa efikasnim pronalaženjem antiderivata, metoda (5) se retko primenjuje u svom čistom obliku. Drugo, kao što se može vidjeti iz gornje izjave, ovu metodu treba smatrati lokalnom, pogodnom za aproksimaciju rješenja u malom desnom susjedstvu polazna tačka. Picardova metoda je važnija za dokazivanje postojanja i jedinstvenosti rješenja Cauchyjevog problema nego za njegovo pronalaženje u praksi.

Lekcija broj 17. Ojlerove metode.

Cilj - upoznati studente sa Eulerovim metodama za rješavanje Cauchyjevog problema za obične diferencijalne jednadžbe.

Ovo je metoda približnog rješenja, koja je generalizacija metode uzastopnih aproksimacija (vidi Poglavlje V, § 2). Razmotrimo Cauchyjev problem za jednačinu prvog reda

Integrirajući diferencijalnu jednačinu, ovaj problem zamjenjujemo ekvivalentnom integralnom jednačinom Volterra tipa

Rješavajući ovu integralnu jednačinu metodom uzastopnih aproksimacija, dobijamo iterativni Picardov proces

(približno rješenje, za razliku od egzaktnog, će biti označeno sa y). Prilikom svake iteracije ovog procesa, integracija se izvodi ili tačno ili pomoću numeričkih metoda opisanih u poglavlju IV.

Dokažimo konvergenciju metode, uz pretpostavku da je u nekoj ograničenoj domeni desna strana kontinuirana i zadovoljava u promjenljivoj i Lipschitzov uvjet

Budući da je područje ograničeno, vrijede sljedeće relacije: Grešku približnog rješenja označimo oduzimanjem (8) od (9) i korištenjem Lipschitzovog uvjeta dobivamo

Rješavajući ovu rekurentnu relaciju i uzimajući u obzir da nalazimo sukcesivno

Ovo implicira procjenu greške

Može se vidjeti da za , tj., približno rješenje konvergira jednolično točnom rješenju u cijelom području .

Primjer. Mi primjenjujemo Picardovu metodu na Cauchyjev problem za jednadžbu (3), čije rješenje nije izraženo u terminima elementarnih funkcija

U ovom slučaju, kvadrature (9) su tačno izračunate i lako ih dobijamo

itd. Može se vidjeti da Za , ove aproksimacije brzo konvergiraju i omogućavaju izračunavanje rješenja sa velikom preciznošću,

Ovaj primjer pokazuje da je korisno koristiti Picardovu metodu ako se integrali (9) mogu izračunati u terminima elementarnih funkcija. Ako je desna strana jednačine (7) složenija, pa se ovi integrali moraju naći numeričkim metodama, onda Picardova metoda postaje ne baš zgodna.

Picardova metoda se lako može generalizirati na sisteme jednačina na način opisan u Odjeljku 2. Međutim, u praksi, što je veći red sistema, to je rjeđe moguće precizno izračunati integrale u (9), što ograničava primjena metode u ovom slučaju.

Postoji mnogo drugih približnih metoda. Na primjer, S. A. Chaplygin je predložio metodu koja je generalizacija algebarska metoda Newton na slučaju diferencijalnih jednadžbi. Drugi način generalizacije Newtonove metode predložio je L. V. Kantorovich 1948. U obje ove metode, kao iu Picard metodi, iteracije se izvode pomoću kvadratura. Međutim, kvadrature u njima imaju mnogo složeniji oblik od (9) i rijetko se uzimaju elementarne funkcije. Stoga se ove metode gotovo nikada ne koriste.

Picard metoda Picard Charles Emile (1856-1941) francuski matematičar.

Ova metoda omogućava da se dobije približno rješenje diferencijalne jednadžbe (1) u obliku funkcije prikazane analitički.

Neka je, pod uslovima teoreme postojanja, potrebno pronaći rešenje jednačine (1) sa početnim uslovom (2). Integrirajmo lijevi i desni dio jednačine (1) u granicama od do:

Rješenje integralne jednadžbe (9) će zadovoljiti diferencijalnu jednadžbu (1) i početni uvjet (2). Zaista, na , dobijamo:

Istovremeno, integralna jednačina (9) omogućava primjenu metode sukcesivnih aproksimacija. Desnu stranu formule (9) ćemo smatrati operatorom koji preslikava bilo koju funkciju (iz klase funkcija za koju postoji integral uključen u (9)) u drugu funkciju iste klase:

Ako je ovaj operator kontraktivan (što slijedi iz uvjeta Picardove teoreme), tada je moguće konstruirati niz aproksimacija koje konvergiraju točnom rješenju. Kako se uzima početna aproksimacija, tako se i nalazi prva aproksimacija

Integral na desnoj strani sadrži samo varijablu x; nakon pronalaženja ovog integrala, dobiće se analitički izraz za aproksimaciju kao funkciju varijable x. Zatim zamjenjujemo y na desnoj strani jednačine (9) sa pronađenom vrijednošću i dobivamo drugu aproksimaciju

itd. U opštem slučaju, iterativna formula ima oblik

(n=1, 2…) (10)

Ciklična primjena formule (10) daje slijed funkcija

konvergirajući ka rješenju integralne jednačine (9) (i, posljedično, diferencijalne jednačine (1) sa početnim uvjetima (2)). Ovo takođe znači da k-ti član sekvenca (11) je aproksimacija tačnom rešenju jednačine (1) sa određenim kontrolisanim stepenom tačnosti.

Imajte na umu da kada se koristi metoda uzastopnih aproksimacija, analitičnost desne strane diferencijalne jednadžbe nije potrebna, pa se ova metoda može koristiti i u slučajevima kada je proširenje rješenja diferencijalne jednadžbe u niz stepena nemoguće.

Picard greška

Procjena greške za k-tu aproksimaciju je data formulom

gdje je y(x) tačno rješenje, je Lipschitz konstanta iz nejednakosti (4).

U praksi se Picardova metoda vrlo rijetko koristi. Jedan od razloga je taj što se integrali koje je potrebno izračunati pri konstruiranju uzastopnih aproksimacija najčešće nisu analitički pronađeni, a njihovo korištenje za izračunavanje numeričkih metoda toliko komplikuje rješenje da postaje mnogo pogodnije direktno primijeniti druge metode koje su inicijalno korištene. numerički.

Primjeri rješavanja problema u Mapleu

Zadatak #1: Koristeći metodu uzastopnih aproksimacija, naći vrijednost, gdje je rješenje diferencijalne jednadžbe: zadovoljavanje početnog uvjeta, na segmentu, korak (izračunati do druge aproksimacije).

Dato: - diferencijalna jednačina

Početno stanje

Interval

Pronađite: značenje

Rješenje:

> y1:=pojednostaviti(1+int(x+1, x=0…x));

> y2:= pojednostaviti (1+int (x+pojednostaviti (1+int (x+1, x=0…x))^2, x=0…x));

Pronađite vrijednost na x=0,5:

Zadatak #2: Koristeći metodu uzastopnih aproksimacija, pronaći približno rješenje diferencijalne jednadžbe za koje zadovoljava početni uvjet.

Dato: - diferencijalna jednačina

Početno stanje

Pronađite: značenje

Rješenje:

Naći ćemo približno rješenje ovog DE na segmentu sa korakom (proizvoljno odabranim).

Napišimo za ovaj slučaj formulu oblika (10)

> y1:=pojednostaviti(1+int(x*1, x=0…x));

>y2:=pojednostavite (1+int (x*pojednostavite (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x));

Slično, nalazimo treću aproksimaciju:

>y3:=pojednostavite (1+int (x*pojednostavite (1+int (x*pojednostavite (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x)), x=0… x));

Nađimo približno rješenje ovog DE na, za ovo, u trećoj aproksimaciji umjesto x, zamijenimo i dobijemo:

Uporedimo dobijeni približni rezultat s tačnim rješenjem diferencijalne jednadžbe:

Prema rezultatima tabele, može se vidjeti da je greška u proračunu vrlo mala.