Početni i granični uslovi. Početni i granični uslovi Koja je razlika između graničnih i početnih uslova

U| x=0 = g 1 (t),U| x=l = g 2 (t)

Ovi uslovi fizički znače da su modovi oscilovanja postavljeni na krajevima.

II. Granični uslovi druge vrste

U x | x=0 = g 1 (t), U x | x=l = g 2 (t)

Takvi uslovi odgovaraju činjenici da su sile date na krajevima.

III. Granični uslovi treće vrste

(U x -σ 1 U)| x=0 = g 1 (t) , (U x –σ 2 U)| x=l = g 2 (t)

Ovi uvjeti odgovaraju elastičnoj fiksaciji krajeva.

Granični uvjeti (5), (6) i (7) nazivaju se homogenima ako su desne strane g 1 (t) i g 2 (t) identično jednake nuli za sve vrijednosti t. Ako barem jedna od funkcija na desnoj strani nije jednaka nuli, tada se granični uvjeti nazivaju nehomogenim.

Slično formulisano granični uslovi au slučaju tri ili četiri varijable, pod uslovom da je jedna od ovih varijabli vrijeme. Granica će u ovim slučajevima biti ili zatvorena kriva Γ koja omeđuje određenu ravnu regiju, ili zatvorena površina Ω koja ograničava područje u prostoru. Shodno tome, derivacija funkcije, koja se pojavljuje u graničnim uslovima druge i treće vrste, takođe će se promeniti. Ovo će biti derivacija duž normale n na krivu G na ravni ili na površinu Ω u prostoru, i, po pravilu, smatra se normala van oblasti (vidi sliku 5).

Na primjer, granični uvjet (homogen) prve vrste na ravni se zapisuje kao U| Γ =O, u prostoru U| Ω =0. Granični uslov druge vrste na ravni ima oblik , i u prostoru . svakako, fizičko značenje ovi uslovi su različiti za različite zadatke.

Prilikom postavljanja početnih i graničnih uslova javlja se problem nalaženja rješenja diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava zadate početne i granične (granične) uslove. Za talasnu jednačinu (3) ili (4), početni uslovi U(x,0)=φ(x), U t (x,0)=ψ(x) iu slučaju graničnih uslova prve vrste ( 5), problem se zove prvi početni granični problem za talasnu jednačinu. Ako se umesto graničnih uslova prve vrste postave uslovi druge vrste (6) ili treće vrste (7), tada će se problem zvati, respektivno, drugi i treći početno-granični problem. Ako granični uvjeti u različitim dijelovima granice imaju različite vrste, tada se takvi problemi početne granične vrijednosti nazivaju mješovito.

Razmotrite dva tipična elektrostatička problema:

1) Pronađite potencijal električno polje na nepoznatoj lokaciji početnih naelektrisanja, ali dati električni potencijal na granicama regiona. (Na primjer, problem raspodjele potencijala električnog polja stvorenog sistemom fiksnih provodnika smještenih u vakuumu i spojenih na baterije. Ovdje je moguće izmjeriti potencijal svakog provodnika, ali je vrlo teško postaviti raspodjela električnih naboja na provodnicima, ovisno o njihovom obliku.)

2) Pronađite potencijal električnog polja stvorenog datom distribucijom u prostoru električnih naboja.

Dobro je poznato da je direktna metoda za izračunavanje potencijala električnog polja u ovim problemima rješavanje Laplaceove jednadžbe(zadatak 1)

(1)

I Poissonove jednadžbe(zadatak 2)

. (2)

Jednačine (1), (2) pripadaju klasi parcijalnih diferencijalnih jednadžbi eliptičnog tipa.

U nastavku ćemo razmotriti samo poseban slučaj eliptičkih jednačina za polje  ovisno o dvije prostorne varijable. Sasvim je očigledno da za kompletno rješenje problem jednačine (1), (2) mora biti dopunjen graničnim uslovima. Postoje tri tipa graničnih uslova:

1) Dirichletovi granični uvjeti(vrijednosti  se postavljaju na neku zatvorenu krivu u ravni (x, y) i, eventualno, na neke dodatne krive koje se nalaze unutar regije (slika 1));

2) Neumannovi granični uslovi(normalni izvod potencijala  postavljen je na granicu);

3) mješovito problem graničnih vrijednosti (na granici je data linearna kombinacija potencijala  i njegovog normalnog izvoda).

Kao što je navedeno u uvodu, parcijalne diferencijalne jednadžbe drugog reda imaju beskonačan broj rješenja ovisno o dvije proizvoljne funkcije. Da bismo odredili ove proizvoljne funkcije, ili, drugim riječima, da bismo odabrali konkretno rješenje koje nam je potrebno, potrebno je nametnuti dodatne uvjete željenoj funkciji. Čitalac se već susreo sa sličnim fenomenom pri rješavanju običnih diferencijalnih jednačina, kada se odabir zajedničkog rješenja iz opšteg sastojao u procesu pronalaženja proizvoljnih konstanti prema datim početnim uslovima.

Kada se razmatra problem vibracija struna, dodatni uslovi mogu biti dva tipa: početni i granični (ili granični).

Početni uslovi pokazuju u kakvom je stanju struna bila u trenutku kada je vibracija počela. Najprikladnije je uzeti u obzir da je struna počela oscilirati u trenutku . Početna pozicija tačaka niza data je uslovom

i početnu brzinu

gdje su date funkcije.

Oznaka i znači da se funkcija uzima na proizvoljnoj vrijednosti i na , tj. slično . Ovaj oblik snimanja se stalno koristi u budućnosti; tako npr. itd.

Uslovi (1.13) i (1.14) su slični početnim uslovima u najjednostavnijem zadatku dinamike materijalna tačka. Tamo, da biste odredili zakon kretanja tačke, pored diferencijalne jednačine, morate znati početni položaj tačke i njenu početnu brzinu.

Granični uslovi imaju drugačiji karakter. Oni pokazuju šta se dešava na krajevima žice tokom čitavog vremena vibracije. U najjednostavnijem slučaju, kada su krajevi niza fiksirani (početak niza je u početku, a kraj u tački, funkcija će se povinovati uslovima

Sa potpuno istim uslovima čitalac se susreo na kursu o čvrstoći materijala pri proučavanju savijanja grede koja leži na dva oslonca pod dejstvom statičkog opterećenja.

Fizički smisao činjenice da postavljanje početnih i graničnih uslova u potpunosti određuje proces može se najlakše pratiti za slučaj slobodne vibraciježice.

Neka se, na primjer, struna fiksirana na krajevima nekako povuče unazad, tj. postavi se funkcija - jednadžba početnog oblika strune i pusti bez početne brzine (to znači da) Jasno je da je ovim dalja priroda vibracija će biti potpuno određena i rešavanjem ćemo pronaći jedinu funkciju homogena jednačina pod odgovarajućim uslovima. Možete učiniti da struna oscilira na drugi način, naime dajući tačkama žice neku početnu brzinu. Fizički je jasno da će u ovom slučaju dalji proces oscilacija biti potpuno određen. Zadavanje tačaka početne brzine žice može se izvršiti udarcem u žicu (kao što je slučaj kod sviranja klavira); prvi način da se uzbudi žica koristi se pri sviranju trkačkih instrumenata (na primjer, gitare).

Formulirajmo sada konačni matematički problem koji vodi proučavanju slobodnih vibracija žice pričvršćene na oba kraja.

Potrebno je riješiti homogenu linearnu parcijalnu diferencijalnu jednadžbu drugog reda sa konstantnim koeficijentima

područje koje se razmatra.

Obično diferencijalna jednadžba nema jedno rješenje, već čitavu njihovu porodicu. Početni i granični uslovi vam omogućavaju da od njih odaberete onaj koji odgovara stvarnom fizičkom procesu ili fenomenu. U teoriji običnih diferencijalnih jednadžbi dokazuje se teorema o postojanju i jedinstvenosti rješenja problema s početnim uvjetom (tzv. Cauchyjev problem). Za parcijalne diferencijalne jednadžbe dobivene su neke teoreme postojanja i jedinstvenosti rješenja za određene klase početnih i graničnih problema.

Terminologija

Ponekad se početni uslovi u nestacionarnim problemima, poput rješenja hiperboličkih ili paraboličkih jednačina, također nazivaju graničnim uvjetima.

Za stacionarne probleme postoji podjela graničnih uslova na main I prirodno.

Glavni uvjeti obično imaju oblik , gdje je granica regije.

Prirodni uslovi takođe sadrže izvod rešenja u odnosu na normalu na granicu.

Primjer

Jednačina opisuje kretanje tijela u gravitacionom polju Zemlje. Zadovoljava ga bilo koja kvadratna funkcija oblika , gdje je - proizvoljnim brojevima. Da bi se izdvojio određeni zakon kretanja, potrebno je naznačiti početnu koordinatu tijela i njegovu brzinu, odnosno početne uslove.

Ispravnost postavljanja graničnih uslova

Problemi matematičke fizike opisuju stvarne fizički procesi, te stoga njihova formulacija mora zadovoljiti sljedeće prirodne zahtjeve:

Odluka treba postoje u bilo kojoj klasi funkcija;
Rješenje mora biti jedini u bilo kojoj klasi funkcija;
Odluka treba kontinuirano ovisi o podacima(početni i granični uslovi, slobodni termin, koeficijenti itd.).

Zahtjev za kontinuiranom ovisnošću rješenja nastaje zbog činjenice da se fizički podaci, po pravilu, određuju približno iz eksperimenta, te stoga mora biti siguran da je rješenje problema u okviru odabranog matematički model neće značajno zavisiti od greške merenja. Matematički, ovaj zahtjev se može napisati, na primjer, na sljedeći način (radi nezavisnosti od slobodnog pojma):

Neka su date dvije diferencijalne jednadžbe: s istim diferencijalnim operatorima i istim graničnim uvjetima, tada će njihova rješenja kontinuirano ovisiti o slobodnom članu ako:

rješenja odgovarajućih jednačina.

Poziva se skup funkcija za koje su ispunjeni navedeni zahtjevi klasa ispravnosti. Netačno postavljanje graničnih uslova dobro je ilustrovano Adamardovim primjerom.

vidi takođe

Granični uvjeti 1. vrste (Dirichletov problem) , en:Dirichletov granični uvjet
Granični uvjeti 2. vrste (Neumann problem) , en:Neumannov granični uvjet
Granični uvjeti 3. vrste (Robin problem), en:Robin granični uvjet
Uslovi za savršen termalni kontakt , en:Savršen termički kontakt

Književnost

Wikimedia fondacija. 2010 .

Pogledajte šta su "Početni i granični uslovi" u drugim rječnicima:

U teoriji diferencijalnih jednadžbi početni i granični uslovi su dodatak osnovnim diferencijalna jednadžba(obični ili parcijalni derivati), koji specificira svoje ponašanje u početnom trenutku vremena ili na granici razmatranog ... ... Wikipedia

Neumannov problem u diferencijalnim jednačinama je granični problem sa datim graničnim uslovima za izvod željene funkcije na granici područja, takozvanim graničnim uslovima druge vrste. Prema vrsti područja, Neumannov problem se može podijeliti na dva ... Wikipedia

granični uslovi- formalizovani fizički uslovi na granici zone deformacije ili njihov matematički model, koji, uz druge, omogućavaju jedinstveno rešenje problema obrade pritiskom. Granični uslovi se dijele na…

U teoriji diferencijalnih jednadžbi, početni i granični uvjeti su dodatak glavnoj diferencijalnoj jednadžbi (obični ili parcijalni derivati), koji specificira njeno ponašanje u početnom trenutku vremena ili na granici razmatranog ... ... Wikipedia

početni uslovi- opis stanja tijela prije deformacije. Obično se u početnom trenutku daju Eulerove koordinate tačaka xi0 površine tijela, naprezanje, brzina, gustina, temperatura u bilo kojoj tački M tijela. Diya površina prostora, ... ... enciklopedijski rječnik u metalurgiji

uslovi hvatanja- određeni odnos pri valjanju, koji povezuje ugao hvatanja i koeficijent ili ugao trenja, pri kojem se obezbeđuje primarno prianjanje metala valjcima i popunjavanje zone deformacije; Pogledajte i: Uslovi rada... Enciklopedijski rečnik metalurgije

Uslovi- : Vidi takođe: uslovi rada diferencijalni ravnotežni uslovi tehnički uslovi (TS) početni uslovi ... Enciklopedijski rečnik metalurgije

uslove rada- skup sanitarno-higijenskih karakteristika spoljašnje sredine (temperatura i vlažnost, prašina, buka i dr.) u kojoj se odvijaju tehnološki procesi; regulisano u Rusiji radom ... ... Enciklopedijski rečnik metalurgije

Knjige

Numeričke metode za rješavanje inverznih zadataka matematičke fizike, Samarskiy A.A. Tradicionalni kursevi o metodama rješavanja problema matematičke fizike bave se direktnim problemima. U ovom slučaju, rješenje se određuje iz parcijalnih diferencijalnih jednadžbi, koje su dopunjene ...

Određuje temperaturu na površini tijela u bilo kojem trenutku, tj.

T s = T s (x, y, z, t) (2.15)

Rice. 2.4 - Izotermni granični uvjeti.

Bez obzira na to kako se temperatura unutar tijela mijenja, temperatura tačaka na površini odgovara jednačini (2.15).

Kriva raspodjele temperature u tijelu (slika 2.4) na granici tijela ima zadatu ordinatu Ts , što se može promijeniti tokom vremena. Poseban slučaj graničnog stanja prve vrste je izotermni granični uslov pod kojim temperatura površine tijela ostaje konstantna tijekom cijelog procesa prijenosa topline:

T s = konst.

Rice. 2.5 - Stanje prve vrste

Da bismo zamislili takvo stanje tijela, potrebno je pretpostaviti da drugi fiktivni izvor topline izvan njega sa negativnim predznakom (tzv. hladnjak) djeluje simetrično na izvor topline koji djeluje u tijelu. Štaviše, svojstva ovog hladnjaka tačno odgovaraju svojstvima stvarnog izvora toplote, a raspodela temperature je opisana istim matematičkim izrazom. Ukupni učinak ovih izvora će dovesti do toga da se na površini tijela uspostavi konstantna temperatura, u konkretnom slučaju T = 0 8C , dok se unutar tijela temperatura tačaka kontinuirano mijenja.

Granični uslov druge vrste

Određuje gustinu toplotnog toka u bilo kojoj tački na površini tijela u bilo koje vrijeme, tj.

Prema Fourierovom zakonu, gustina toplotnog toka je direktno proporcionalna temperaturnom gradijentu. Prema tome, temperaturno polje na granici ima dati gradijent (slika b), u konkretnom slučaju, konstantan, kada

Poseban slučaj graničnog uslova druge vrste je adijabatski granični uslov, kada je toplotni tok kroz površinu tela nula (slika 2.6), tj.

Rice. 2.6 - Granični uslov druge vrste

U tehničkim proračunima su česti slučajevi kada je toplotni tok s površine tijela mali u odnosu na tokove unutar tijela. Tada ovu granicu možemo uzeti kao adijabatsku. Kod zavarivanja, takav slučaj se može prikazati sljedećim dijagramom (slika 2.7).

Rice. 2.7 - Stanje druge vrste

U tački O radi izvor toplote. Da bi se ispunio uslov da granica ne prenosi toplotu, potrebno je isti izvor postaviti simetrično na ovaj izvor izvan tela, u tački Oko 1 , a toplotni tok iz njega je usmjeren protiv toka glavnog izvora. Oni se međusobno poništavaju, odnosno granica ne propušta toplotu. Međutim, temperatura ruba tijela bi bila dvostruko veća da je ovo tijelo beskonačno. Ova metoda kompenzacije toplotnog toka naziva se metodom refleksije, jer se u ovom slučaju granica nepropusna za toplinu može smatrati granicom koja odražava tok topline koji dolazi iz metala.

Granični uslov treće vrste.

Određuje temperaturu okruženje i zakon razmjene toplote između površine tijela i okoline. Najjednostavniji oblik graničnog uslova treće vrste dobijamo ako je prenos toplote na granici dan Njutnovom jednačinom, koja izražava da je gustina toplotnog toka prenosa toplote kroz graničnu površinu direktno proporcionalna temperaturnoj razlici između graničnu površinu i okolinu

Gustina toplotnog toka koja teče na graničnu površinu sa strane tijela, prema Fourierovom zakonu, direktno je proporcionalna temperaturnom gradijentu na graničnoj površini:

Izjednačavajući toplotni tok koji dolazi sa strane tijela sa fluksom prijenosa topline, dobijamo granični uvjet 3. vrste:

izražavajući da je temperaturni gradijent na graničnoj površini direktno proporcionalan temperaturnoj razlici između površine tijela i okoline. Ovaj uvjet zahtijeva da tangenta krivulje raspodjele temperature na graničnoj tački prolazi kroz kontrolnu tačku O sa temperaturom izvan tijela na udaljenosti od granične površine (slika 2.8).

Slika 2.8 - Granični uslov 3. vrste

Iz graničnog stanja 3. vrste može se dobiti, kao poseban slučaj, izotermni granični uslov. Ako , što se odvija pri vrlo velikom koeficijentu prijenosa topline ili vrlo malom koeficijentu toplinske provodljivosti, tada:

i , tj. temperatura površine tijela je konstantna tokom cijelog procesa prijenosa topline i jednaka je temperaturi okoline.

Početni i granični uslovi. Sastavni i najvažniji element u formulaciji svakog problema u mehanici kontinuuma je formulacija početnih i graničnih uslova. Njihov značaj određen je činjenicom da jedan ili drugi sistem rješavanja jednadžbi opisuje čitavu klasu kretanja odgovarajuće deformabilne sredine, a samo postavljanje početnih i graničnih uslova koji odgovaraju procesu koji se proučava omogućava izdvajanje iz ove klase poseban slučaj od interesa koji odgovara praktičnom problemu koji se rješava.

Početni uvjeti su uvjeti koji postavljaju vrijednosti željenih karakterističnih funkcija u trenutku početka razmatranja procesa koji se proučava. Broj zadatih početnih uslova određen je brojem osnovnih nepoznatih funkcija uključenih u sistem rješavanja jednačina, kao i redoslijedom najveće vremenske derivacije uključene u ovaj sistem. Na primjer, adijabatsko kretanje idealne tečnosti ili idealnog gasa opisuje se sistemom od šest jednačina sa šest glavnih nepoznanica - tri komponente vektora brzine, pritiska, gustine i specifične unutrašnje energije, dok je redosled derivata ovih fizičke veličine ne prelazi prvi red u vremenu. Shodno tome, početna polja ovih šest fizičkih veličina treba postaviti kao početne uslove: pri t =0 ,. U nekim slučajevima (na primjer, u dinamičkoj teoriji elastičnosti), ne koriste se komponente vektora brzine, već komponente vektora pomaka kao glavne nepoznanice u sistemu rješavanja jednačina, a jednačina kretanja sadrži drugu -reda derivata komponenti pomaka, što zahtijeva postavljanje dva početna uslova za željenu funkciju: na t = 0

Granični uslovi se postavljaju na složeniji i raznovrsniji način kada se postavljaju problemi mehanike kontinuuma. Granični uvjeti su uvjeti koji postavljaju vrijednosti željenih funkcija (ili njihovih derivata u odnosu na koordinate i vrijeme) na površini S područja koje zauzima deformabilni medij. Postoji nekoliko tipova graničnih uslova: kinematski, dinamički, mešoviti i temperaturni.

Kinematički granični uvjeti odgovaraju slučaju kada su pomaci ili brzine specificirani na površini S tijela (ili njegovog dijela), gdje su koordinate tačaka površine S, koje se općenito mijenjaju ovisno o vremenu.

Dinamički granični uvjeti (ili granični uvjeti u naponima) su specificirani kada površinske sile p djeluju na površinu S. Kao što slijedi iz teorije naprezanja, u ovom slučaju, na bilo kojoj elementarnoj površini površine s jedinični vektor normala p, vektor specifičnih površinskih sila pn nasilno postavlja vektor ukupnog naprezanja?p = pn, koji djeluje u kontinuiranom mediju u tački na datoj površini, što dovodi do odnosa tenzora napona (?) u ovoj tački sa površinskom silom i orijentacijom vektora p odgovarajuće površine : (?) n = rp ili.

Mješoviti granični uvjeti odgovaraju slučaju kada su vrijednosti i kinematičkih i dinamičkih veličina specificirane na površini S ili su uspostavljeni odnosi između njih.

Granični uvjeti temperature podijeljeni su u nekoliko grupa (vrsta). Granični uslovi prve vrste postavljaju se na površini S deformabilnog medija određene vrijednosti temperatura T. Granični uslovi druge vrste postavljaju vektor toplotnog fluksa q na granici, koji, uzimajući u obzir Fourierov zakon provođenja toplote, q = - ? grad T, u suštini, nameće ograničenja na prirodu distribucije temperature u blizini granične tačke. Granični uslovi treće vrste uspostavljaju vezu između vektora toplotnog fluksa q, usmjerenog na datu sredinu sa strane okoline, i temperaturne razlike između ovih medija itd.

Treba napomenuti da se formulacija i rješavanje većine problema u fizici brzih procesa, po pravilu, odvijaju u adijabatskoj aproksimaciji, stoga se temperaturni granični uvjeti koriste prilično rijetko, uglavnom kinematski, dinamički i mješoviti granični uvjeti. koriste se u raznim kombinacijama. Razmislite moguće opcije postavljanje graničnih uslova na određenom primjeru.

Na sl. 3 shematski prikazuje proces interakcije kada deformabilno tijelo I prodire u deformabilnu barijeru II. Tijelo I je omeđeno površinama S1 i S5, dok je tijelo II ograničeno površinama S2, S3, S4, S5. Površina S5 je interfejs između međusobno deformabilnih tela. Pretpostavićemo da se kretanje tela I pre početka interakcije, kao i tokom njenog procesa, dešava u fluidu koji stvara određeni hidrostatički pritisak

Slika 3

i zadajuće površinske sile vanjske prema oba tijela rp = - rp= - rni ri, koje djeluju na bilo koju od elementarnih površina površina S1 tijela I i S2 barijere II, koje se graniče sa tekućinom. Također ćemo pretpostaviti da je površina S3 barijere kruto fiksirana, a površina S4 slobodna od djelovanja površinskih sila (pn = 0).

Za dati primjer, na različitim površinama koje graniče deformabilne medije I i II, moraju se specificirati granični uvjeti sva tri glavna tipa. Očigledno je da kinematičke granične uslove treba postaviti na kruto fiksiranu površinu Sz?(S3) = ?(, t) = 0. tijela: ili Komponente tenzora napona na površini S4 barijere također ne mogu biti proizvoljne, ali su međusobno povezani sa orijentacijom njegovih elementarnih oblasti kao.

Granični uvjeti na sučelju (površina S5) međudjelujućih deformabilnih medija su najsloženiji i odnose se na uvjete mješovitog tipa, uključujući, pak, kinematičke i dinamičke dijelove (vidi sliku 3). Kinematički dio mješovitih graničnih uvjeta nameće ograničenja na brzine pojedinih tačaka oba medija koje su u kontaktu u svakoj prostornoj tački površine S5. Postoje dvije opcije za postavljanje ovih ograničenja, ilustrovane na Sl. 4, a i b. Prema najjednostavnijoj prvoj opciji, pretpostavlja se da su brzine kretanja bilo koje dvije pojedinačne tačke u dodiru iste (? = ?) - to je takozvani uvjet "ljepljenja" ili uvjet "zavarivanja" (vidi Slika 4, a). Složenije i istovremeno adekvatnije za proces koji se razmatra je postavljanje uslova "nepropusnosti", odnosno uslova "nepropusnosti" (? n = ? n; vidi sl. 4, b), što odgovara eksperimentalnom potvrđena činjenica: međudjelujući deformabilni mediji ne mogu prodrijeti

Slika 4

jedno u drugo ili zaostaju jedno za drugim, ili mogu brzinom skliznuti jedno u odnosu na drugo? - ? usmjeren tangencijalno na interfejs ((?I - ?II) n = 0). Dinamički dio mješovitih graničnih uvjeta na granici između dva medija formuliran je na osnovu Newtonovog trećeg zakona korištenjem odnosa teorije naprezanja (slika 4, c). Dakle, u svakoj od dvije pojedinačne čestice deformabilnog medija I i II u dodiru, ostvaruje se vlastito naponsko stanje, koje karakteriziraju tenzori napona (?)I i (?) II., vanjski u odnosu na ovu sredinu, ukupni napon vektor djeluje nI = (?) nI. U mediju II, na istoj lokaciji, ali sa vektorom jedinične normale nII izvan ove sredine, vektor ukupnog naprezanja djeluje?nII =(?)II · nII. S obzirom na reciprocitet akcije i reakcije?nI = - ? n II , kao i očigledan uslov nI = --nII = n, uspostavlja se odnos između tenzora napona u oba medija u interakciji na njihovom interfejsu: (?)I p = (?) II p ili (?ijI - ? ijII) nj = 0. Moguće opcije za specificiranje graničnih uslova nisu ograničene na razmatrani konkretni primjer. Postoji onoliko opcija za postavljanje početnih i graničnih uslova koliko ih ima u prirodi i tehnologiji za procese interakcije deformabilnih tijela ili medija. Oni su određeni specifičnostima praktičnog problema koji se rješava i postavljeni su u skladu sa gore navedenim općim principima.