gdje sa str, J/(kg×K) – izobarični toplotni kapacitet; r, kg/m 3 - gustina; l, W/(m×K) – koeficijent toplotne provodljivosti; w x, w y , w z su projekcije vektora brzine fluida; qv, W / m 3 - zapreminska gustina unutrašnjeg oslobađanja toplote tečnosti.
Jednačina (1.12) je napisana za slučaj l=konst.
Diferencijal za čvrste materije naziva se diferencijalna jednadžba provođenja toplote i može se dobiti iz (1.12) pod uslovom w x = w y = w z = 0, sa str=sa v=od:
,
gdje - toplinska difuzivnost, karakterizira brzinu promjene temperature u tijelu. Vrijednosti a = f(t) za razna tijela date su u priručniku.
Diferencijalna jednadžba toplotna provodljivost
 | (1.13) |
opisuje nestacionarno temperaturno polje čvrstih tela sa unutrašnjim oslobađanjem toplote (sa unutrašnjim izvorima toplote). Takvi izvori toplote mogu biti: džulova toplota koja se oslobađa tokom prolaska električne struje kroz provodnike; toplina koju oslobađaju gorivi elementi nuklearnih reaktora itd.
Diferencijalna toplotna jednačina (1.13), napisana u Kartezijanske koordinate, može se predstaviti u cilindričnom (r,z, φ) i sferni (r, φ , ψ).
Konkretno, u cilindrični koordinate ( r- radijus; φ je polarni ugao; z- primijeniti), diferencijalna jednadžba provođenja toplote ima oblik
 | (1.14) |
Uslovi jedinstvenosti
Diferencijalna jednadžba opisuje mnoge procese provođenja topline. Da bi se iz ovog skupa izdvojio konkretan proces, potrebno je formulisati karakteristike ovog procesa koje se nazivaju uslovi jedinstvenosti i uključuju:
· geometrijski uslovi karakteriziranje oblika i veličine tijela;
· fizičkih uslova karakteriziranje svojstava tijela koja učestvuju u razmjeni topline;
· granični uslovi karakteriziranje uslova procesa na granici tijela;
· početni uslovi karakterišući početno stanje sistema na nestacionarni procesi.
Prilikom rješavanja problema provodljivosti toplote postoje:
· granični uslovi prve vrste kada je data raspodjela temperature na površini tijela:
t c = f (x, y, z, τ) ili t c = konst;
· granični uslovi druge vrste kada je data gustina toplotnog toka na površini tela:
q c = f (x, y, z, τ) ili q c = konst;
· granični uslovi treće vrste kada je podešena temperatura medija t i koeficijent prijenosa topline između površine i medija.
U skladu sa Newton-Richmanovim zakonom, toplotni tok se prenosi sa 1m 2 površine na medij sa temperaturom t,
Istovremeno, ovaj toplotni tok se dovodi do 1m 2 površine iz dubokih slojeva tela pomoću toplotne provodljivosti
Tada se jednačina ravnoteže topline za površinu tijela može napisati u obliku
 | (1.15) |
Jednačina (1.15) je matematička formulacija graničnih uslova treće vrste.
Sistem diferencijalnih jednadžbi, zajedno sa uslovima jedinstvenosti, je matematička formulacija problema. Rješenja diferencijalnih jednadžbi sadrže integracione konstante, koje se određuju pomoću uslova jedinstvenosti.
Kontrolna pitanja i zadaci
1. Analizirajte kako se toplota prenosi iz vruća voda do zraka kroz zid radijatora: od vode do unutrašnje površine, kroz zid, od vanjske površine do zraka.
2. Zašto je na desnoj strani jednačine (1.3) minus?
3. Analizirajte zavisnost uz pomoć referentne literature λ(t) za metale, legure, toplotnoizolacione materijale, gasove, tečnosti i odgovorite na pitanje: kako se koeficijent toplotne provodljivosti za te materijale menja sa temperaturom?
4. Kako se određuje toplotni tok? (P, W ) sa konvektivnim prenosom toplote, toplotnom provodljivošću, toplotnim zračenjem?
5. Zapišite diferencijalnu jednadžbu toplotne provodljivosti u Dekartovim koordinatama, koja opisuje trodimenzionalno stacionarno temperaturno polje bez unutrašnjih izvora toplote.
6. Zapišite diferencijalnu jednačinu za temperaturno polje žice koja je pod naponom dugo vremena pri konstantnom električnom opterećenju.
2. TOPLOTNA VODLJIVOST I PRIJENOS TOPLOTE
U STACIONARNOM REŽIMU
2.1. Toplotna provodljivost ravnog zida
Dato: ravna ujednačena debljina zida δ (Sl. 2.1) sa konstantni koeficijent toplotna provodljivost λ i konstantne temperature t1 I t2 na površinama.
definirati:
jednačina temperaturnog polja t=f(x) i gustina toplotnog fluksa q, W/m 2.
Temperaturno polje zida opisuje se diferencijalnom jednadžbom provodljivosti toplote (1.3) pod sledećim uslovima:
Pošto je režim stacionaran;
· jer nema unutrašnjih izvora toplote;
· 
jer temperaturu t1 I t2 na površinama zida su konstantne.
Temperatura zida je funkcija samo jedne koordinate X a jednačina (1.13) poprima oblik
Izrazi (2.1), (2.2), (2.3) su matematička formulacija problema čije će nam rješenje omogućiti da dobijemo traženu jednačinu temperaturnog polja t=f(x).
Integracija jednačine (2.1) daje
Ponovljenom integracijom dobijamo rješenje diferencijalne jednadžbe u obliku
Ovisnost t=f(x), prema (2.5) je prava (slika 2.1), što je tačno za λ=konst.
Za određivanje gustine toplotnog toka koji prolazi kroz zid koristimo Fourierov zakon
Uzimajući u obzir 
dobijamo formulu za proračun gustine toplotnog toka koji se prenosi kroz ravan zid,
Formula (2.6) se može napisati kao
gdje 
Vrijednost se poziva toplotna provodljivost toplotni otpor ravni zid.
Na osnovu jednačine
qR=t 1 – t 2
može se zaključiti da je toplinski otpor zida direktno proporcionalan temperaturnoj razlici po debljini zida.
Uzmite u obzir ovisnost koeficijenta toplinske provodljivosti o temperaturi, λ(t), moguće je ako u jednačine (2.6) i (2.7) zamijenimo vrijednosti λav za temperaturni opseg t 1 -t 2.
Uzmite u obzir toplotnu provodljivost višeslojni ravni zid, koji se sastoji, na primjer, od tri sloja
(Sl. 2.2).
Dato:δ1, δ2, δ3, λ1, λ2, λ 3, t 1 = konst, t4=konst.
definirati: q, W/m 2; t2, t3.
U stacionarnom režimu i konstantnim temperaturama površina zida, toplotni tok koji se prenosi kroz troslojni zid može se predstaviti sistemom jednačina:
Temperature na granicama slojeva t2 I t3 može se izračunati pomoću jednačina (2.8) - (2.10) nakon gustine toplotnog fluksa ( q) prema (2.12).
Opšti oblik jednačine (2.12) za višeslojni ravan zid koji se sastoji od P homogeni slojevi sa konstantnom temperaturom na vanjskim površinama i , ima oblik
2.2. Toplotna provodljivost cilindričnog zida
pod graničnim uslovima prve vrste
Dato:
Homogeni cilindrični zid (zid cevi) sa unutrašnjim radijusom r1, vanjski - r2, dužina , sa konstantnom toplotnom provodljivošću λ
, sa konstantnom temperaturom površine t1 I t2.
(Sl. 2.3).
definirati: jednačina temperaturnog polja
t=f(r), toplotni tok koji se prenosi kroz zid
Q, W.
Diferencijalna jednačina provođenja toplote u cilindrične koordinate(1.14) za uslove ovog problema:
poprima oblik
Postupak rješavanja sistema jednačina (2.15) - (2.17) je isti kao i u slučaju ravnog zida: nađe se opći integral diferencijalne jednačine drugog reda (2.15) koji sadrži dvije integracione konstante
od 1 I od 2. Potonji se određuju korištenjem graničnih uvjeta (2.16) i (2.17), a nakon zamjene njihovih vrijednosti u rješenje diferencijalne jednadžbe (opći integral) dobijamo jednadžba temperaturnog polja cilindričnog zida t = f (r) as
Ako uzmemo derivaciju desne strane jednačine (2.18) i zamenimo je u (2.19), dobićemo formulu za proračun za toplotni tok cilindričnog zida
 | (2.20) |
U tehničkim proračunima, toplotni tok se često izračunava za 1 m dužine cijevi:
i pozvao linearna gustina toplotnog fluksa.
Zapisujemo jednačinu (2.20) kao
gdje 
– toplotna otpornost toplotne provodljivosti cilindričnog zida.
Za troslojni cilindrični zid(cev pokrivena sa dva sloja toplotne izolacije) sa poznatim konstantnim površinskim temperaturama ( t1 I t4), sa poznatim geometrijskim dimenzijama ( r1, r2, r3, r4, ) i koeficijenti toplotne provodljivosti slojeva ( λ1, λ2, λ 3) (slika 2.4), možemo napisati sljedeće jednačine za toplotni tok Q:
Temperature na granicama slojeva (t 2,t3) može se izračunati iz jednačina (2.21).
Za višeslojni cilindrični zid, koji se sastoji od P slojeva, formula (2.22) se može upisati opšti pogled
 | (2.23) |
Efektivna toplotna provodljivost za višeslojni cilindrični zid, kao i za višeslojni ravan zid, određuje se iz jednakosti zbira toplotnih otpora višeslojnog zida i toplotnog otpora homogenog zida iste debljine kao i višeslojni. Dakle, za dvoslojnu toplinsku izolaciju cijevi
(Sl. 2.4) efektivna toplotna provodljivost (λeff) se određuje iz jednakosti
2.3. Toplotna provodljivost ravnih i cilindričnih zidova
pod graničnim uslovima treće vrste (prenos toplote)
Granični uslovi treće vrste sastoji se u podešavanju temperature tečnosti (t w) i koeficijent prolaza toplote () između površine zida i tečnosti.
Prijenos topline s jednog fluida na drugi kroz zid koji ih razdvaja naziva se prijenos topline.
Primjeri prijenosa topline su prijenos topline sa dimnih plinova na vodu kroz zid cijevi parnog kotla, prijenos topline iz tople vode na ambijentalni zrak kroz zid grijaće baterije itd.
Izmjena topline između površine i medija (rashladnog sredstva) može biti konvektivni ako je rashladno sredstvo tečno (voda, ulje, itd.) ili radijaciono-konvektivni kada se toplota prenosi konvektivnim prenosom toplote i zračenjem, ako je rashladno sredstvo gas (dimni gasovi, vazduh itd.).
Razmotrimo prijenos topline kroz ravne i cilindrične zidove pod uvjetom samo konvektivnog prijenosa topline na površinama. Prijenos topline sa radijaciono-konvektivnim prijenosom topline (kompleksni prijenos topline) na površinama će se razmatrati kasnije W/m 2 prijenos topline (Q
ako a 1 I a 2 uporedivi.
Prijenos topline kroz višeslojni cilindrični zid izračunato po formuli
| (2.35) |
gdje F1 I F2 su površine unutrašnje i vanjske površine višeslojnog cilindričnog zida.
zx
PREDAVANJE 4
Problemi provođenja toplote u različitim koordinatnim sistemima.
Kartezijanski sistem koordinate
T
T
T
q
i
j
k
T T x, y, z, t
y
x
x
y
T
T T T
c
qV
t x x y y z z
c
T T
qV
t x x
(1)
(2)
(3)
U praksi često postoje takvi uslovi koji dovode do potrebe za pisanjem jednačine
toplinska provodljivost u drugačijem obliku, pogodnijem za predstavljanje rješenja i njegove fizičke
interpretacije.
Zavisnost vrste jednadžbe
iz korišćenog sistema
koordinate se mogu isključiti,
koristeći operatorsku notaciju
1T
q
T V
a t
2
x
2
2
y
2
2
z2
a c
T
c
div gradT qV
t
ili
c
T
T qV
t
(4)
Pojmovi koji izražavaju oslobađanje topline i skladištenje energije su invarijantni u odnosu na
koordinatni sistemi (tj. nepromijenjeni); ali termini koji izražavaju rezultirajuću provodljivost
toplotni tok zavisi od geometrije, a samim tim i od koordinatnog sistema. Cilindrični koordinatni sistem
z
c
dr
r
dz
r, z
z
x
T
divq q
t
qT
x r cos
y
r, z
(5)
y r sin
(6)
1 1 2
2
r 2 2 2
r r r
z
d
y
dr
d
dy
dx
z
qr
(7)
1 T 1 T 1 2T 2T qV
r 2 2 2
a t r r r
z
x
1 T 1 T
r
qV
a t r r
T
1T
T
; q
; qz
r
r
z
a
(9)
T Ts
c
(8)r ,
Sferni sistem koordinate
z
dr
r ,
r
d
x
1T
divq q
a t
qT
y
1 2
1
1
2
2r
2
grijeh
2
r grijeh 2
r r r r sin
T
1T
1T
; q
; q
r
r
r sin
(10)
1 T 1 2 T
1
T
1
2T qV
2r
2
grijeh 2
2
a t r r r r sin
r sin
(11)
d
qr
1 T 1 2 T qV
2r
a t r r
x r sin cos
y r grijeh grijeh
z
(12)
z r cos
y
x Jednačine provođenja toplote za tijela kanonskog oblika
Posebno je zgodno pisanje jednadžbi u različitim koordinatnim sistemima,
kada treba pronaći raspodjelu temperature u tijelima kanonika
oblici - u cilindru ili kugli. U ovim slučajevima, jednačine su u suštini
su pojednostavljeni kada se specificiraju posebni uslovi, kada je temperaturno polje
zavisi samo od jedne koordinate.
paralelepiped
ploča
cilindar
sfera
c
T T T T
qV
t x x y y z z
1 T 2T qV
2
a t x
qe
1 T 1 T qV
r
a t r r
1 T 1 2 T qV
r
2
a t r r
T Ts
z
y
x 1 T 1 n T qV
r
n
a t r r
Posljednja tri
jednačine zajedno:
n 0
n 2
n 1 cilindar
avion
T T0
T* T0
t
t*
(13)
sfera
r
r*
1 1n
qV
n
Fo
Na stolu
Fourierov broj
u*
Fo 2
r*
qV1:
u*
at
1: 2
2
r*
r*
(14)
qV r*2
qV
T* T0
q
T* T0 V r*2
1n
1
n
Fo Stacionarni problemi provođenja toplote u različitim koordinatnim sistemima
Cilindrični zid: stacionarni proces provođenja toplote u
cilindrični zid (cijev) unutrašnjeg radijusa r1;
d1 2r1
r1
1 T 1 T 1 2T 2T qV
r
a t r r r r 2 2 z 2
r2
Te1
2
1
T1
d1
T2
Te 2
dT
u
dr
du 1
u 0
Dr-r
T C1 log r C2
q
d2
(17)
dT
C
1 (18)
dr
r
d 2T
1dT
0
2 dr
dr
(15)
ln u ln r ln C1
(16)
Specifični toplotni tok nije
konstantne debljine i opadajuće u
prema vanjskoj površini
U stacionarnim uslovima, ukupni toplotni tok koji prolazi
presjek cilindrične cijevi dužine l i jednak
Q q F q 2 rl
Specifični toplotni tok
smanjuje se sa radijusom
!!!
(19)
Površina
povećava se sa radijusom
Temperatura preko debljine cijevi varira nelinearno čak i pri konstanti
toplotna provodljivost
Konstante integracije se mogu naći iz graničnih uslova.
r r1: T T1; r r2: T T2
T1 C1 log r1 C2 ,
Linearni sistem
jednačine
T2 C1 log r2 C2 ,
T log r2 r T2 log r r1
T1
;
log r2 r1
q
Q
Linearni toplotni tok
qp
(20)
dT
C
1
dr
r
dT
T
l 2 r
2 l ,
dr
log r2 r1
uto
Q
2
T , T T1 T2
l ln r2 r1
(21)
(22)
(temperature zidova nisu poznate)
T C1 log r C2
Možemo učiniti isto:
r r1:
Uradimo to drugačije:
(23)
T
T
1e T Te1 ; r r2:
2e Te2 T
r
r
Konvektivni toplotni tok po jedinici dužine
cijevi treba da budu jednake linearnom toplotnom toku
zbog toplotne provodljivosti:
qp 1e Te1 T1 2 r1
2
T1 T2
qp
log r2 r1
qp Kc Te1 Te2
1
Kc
, W/(M K)
1
1r
1
U 2
2 1e r1 2 r1 2 2e r2
qp 2e T2 Te2 2 r2
Koeficijent prijenosa topline za
cilindrični zid
Rc
1
1
1r
1
U 2
Kc 2 1er1 2 r1 2 2er2
ravni zid
R
1 L 1
1 2
1 L 1
K
1
2
1
W/(M2 K)
Iz sistema jednačina (23) možemo naći
i temperaturu zida i zamijenite u (20)
Potpuno termički
otpor cijevi
(24)
(25)
(26)
Dimenzija
razlikuje se od
dimenzija K za
ravan zid!
T log r2 r T2 log r r1
T1
;
log r2 r1
Može
Na stolu U bezdimenzionalnim varijablama
r1
d2
d
r2
2
1d
0
d
(27)
d
Bi
d
(28)
r1 r2:
Te1
2
1
d1
d2
Zadatak
na kuci:
1:
T Te 2
r
; r* r2
Te1 Te2
r2
d
Bi 1
d
(29)
2er2 1e
Bi
2e
C1 log C2
Te 2
C1
Bi C1 ln C2
C1 Bi C2 1
(30)
A) Pažljivo idite na bezdimenzionalne varijable
B) Pronađite integracijske konstante iz sistema (30)
B) graditi za različite vrijednosti parametri
10.
Principidosljedan
I
paralelno
veze termičkih otpora u kolu,
važi za ravan zid u pravougaoniku
koordinatni sistem, može se primijeniti i na problem
provodljivost toplote u šupljem cilindru.
Električna analogija
2
Q
1
Q
T0
r3
r2
r1
T1
T2
Ts
RT
log r2 r1
2l
Tečnost teče u cevi, R 1 1
0
F 2 r1l
pokrivena izolacijom
materijal
dT
T
l 2 r
2l,
dr
log r2 r1
T
Q
,
log r2 r1 2 l
U obliku
Ohmov zakon
Toplinska otpornost
šuplji cilindar
konvektivno termičko
otpornost na tečnost
Imamo serijski spoj konvektivnog otpora tečnosti sa dva
vodljivi toplotni otpori. Ako je data temperatura tečnosti i temperatura
vanjska površina:
T0 Ts
T
Q
ALI)
R
pun
r
r
1
1
1
U 2
U 3
2 1r1l 2 l 1 r1 2 l 2 r2
(31)
Otpor
izolacija
Ako su navedene temperature unutrašnje i vanjske površine
B)
T
Q
Rfull
T1 Ts
r
r
1
1
U 2
U 3
2 l 1 r1 2 l 2 r2
(32)
11.
Primjer1 185
U aluminijskoj cijevi s toplotnom provodljivošću
W/(m K), vodena para koja teče
◦
na temperaturi od 110 C. Unutrašnji prečnik cevi je 10 cm, spoljni prečnik je 12
Te
vidi Cijev se nalazi u prostoriji s temperaturom
30◦S; koeficijent
e
konvektivni prijenos topline iz cijevi
u vazduh
jednako 15 W/(m2K). 1) Obavezno
pronađite toplinski tok po jedinici dužine cijevi ako cijev nije toplinski izolirana.
2) Da bi se smanjio gubitak topline iz cijevi, ona je prekrivena slojem toplinske izolacije
(2 0,2 W / (m K)) debljine 5 cm Pronađite toplotni tok po jedinici dužine iz
termoizolovane cevi. Pretpostavimo da je konvektivna toplina
otpornost na paru je zanemarljiva.
Rješenje. Za cijev bez toplinske izolacije najznačajnije su
vodljivi toplinski otpor same cijevi i konvektivni toplinski
otpor vazduha u prostoriji. Od konvektivne termičke
otpornost na paru se može zanemariti, temperatura unutrašnje površine
cijevi jednaka je temperaturi pare. Toplotni tok po jedinici dužine cijevi proizlazi iz
odnosi T T
110 30
80
q
0
e
log r2 r1
1
2 1
2 r2 e
U 65
1
2 185 2 0 ,06 15
1,57 10
4
0 ,177
452 W/m.
Za cijev s toplinskom izolacijom potrebno je dodati toplinski otpor
toplinska izolacija, a omjer toplinskog fluksa poprima oblik
q
T0 Te
80
138
ln r3 r2 1,57 10 4 0,096 0,482
log r2 r1
1
2 1
2 r3 e
2 2
W/m
12.
Višeslojni cilindrični zidqc
Tn T1 1
n
d
1
log i 1
2 i
di
, d i 2r1
qc
i 1
Koncept ostaje na snazi.
ekvivalentni koeficijent
toplotna provodljivost
ekv
log d n 1 d1
n
i 1
T1
T2
1
(33)
T3
2
(34)
1 d i 1
ln
i di
r1 d1 2
... ...
Tn 1
n 1
Tn
n
Tn 1
r2 d2 2
Temperatura Ti 1
Ti 1 Ti
2 ekviv. T1 Tn 1
log d n 1 d1
na granici između i-tog i i+1-sloja
qc 1 d 2 1 d3
1d
U unutra ... u i 1
2 1 d1 2 d 2
i
di
(35)
Koeficijent prijenosa topline:
Kc
1
1
1d1
n
i 1
1 di 1
1
ln
2 i di 2 d 2
(36)
13.
r1
Radijalni toplotni tok u cijevi je obrnuto proporcionalan logaritmu
vanjski radijus (otpor radijalne provodljivosti se povećava);
r2
Rasipanje topline sa vanjske površine je direktno proporcionalno tome
radijus (površina rashladne površine se povećava)
qc K c Te1 Te 2
Kc
1
,
1
1r2
1
ln
2 1r1 2 r1 2 2 r2
Dakle, postoji određeni radijus, at
gde je gubitak toplote najveći.
Ako, za fiksni (mali) unutrašnji radijus, povećajte
debljina stijenke cijevi (tj. povećati vanjski polumjer r2), zatim djelovanje
logaritam u formuli za termičku otpornost će biti više
jače nego kod većeg unutrašnjeg radijusa
14.
Kritični prečnik toplotne izolacijeqc Kc Te1 Te2
Kc
1
,
1
1r2
1
ln
2 1r1 2 r1 2 2 r2
dqc
0
dr2
Ekstremno stanje:
daje
r2*1
2
Kritični radijus
Poseban slučaj nulte unutrašnje otpornosti, 1 1 0
y
q
2 Te1 Te 2
1
r
,x2,
ln x x
r1
2r1
(38)
0 Vanjski otpor je također nula
r1 r2
Debljina zida je 0
1:x2r2
Za dati unutrašnji radijus, vrijednost kritične
vanjski radijus se povećava ako se povećava
toplinske provodljivosti cijevi ili ako se koeficijent smanji
prijenos topline na vanjskoj površini
(37)
Bi 1
15.
izolacijaPostojanje kritičnog vanjskog radijusa dovodi do činjenice da na
neki stvarni uslovi, suprotno uobičajenim idejama,
gubitak toplote izolovane cevi se zapravo može smanjiti
smanjenjem debljine izolacije
d1
d2
Ukupni toplinski otpor za dvoslojnu cijev čiji poprečni presjek
prikazano na slici, određuje se formulom
d3
Rc
1 2
cijev
Stanje
ekstrem:
d2 d3*
d3 d2
(39)
- debljina izolacije
Toplotni otpor toplinske provodljivosti izolacije (I) raste s povećanjem
debljina izolacijskog premaza; toplinska otpornost izolacije za prijenos topline
(II) - pada (pošto se površina prijenosa topline povećava)
dRC
1
1
0
dd3 2 2 d3 2 d 32
Rc
d2 d3*
1
1
1d2
1d3
1
ln
ln
K c 1d1 2 1 d1 2 2 d 2 2 d3
II
(ja)
d3*
22
8 32
0
d3 * 2 2
2
ne zavisi od
d2
(40)
(tj. ne zavisi od prečnika samog cevovoda)
U kritičnoj tački, ukupna toplota
otpor je minimalan!
povećanjem debljine izolacije smanjuje se prijenos topline
primjena odabranog premaza u početku će rezultirati povećanjem
prenos toplote, a tek kada se dostigne kritični prečnik, toplotni tok će
smanjenje; tada će dostići vrijednost koja je bila bez izolacije, pa tek tada
će dovesti do željenog efekta.
16.
Problem za šuplju loptu(zid od lopte)
d 2T
dr
2
2dT
0
r dr
(41)
Smatramo prostorno jednodimenzionalnim stacionarnim
problem provodljivosti toplote u sfernom zidu sa datim
radijusi unutrašnje i vanjske površine. Jednodimenzionalnost
problem znači da je distribucija temperature u zidu
zavisi samo od radijusa
Zamjenom
varijable
r1
dT
u
dr
du
2u
Zajednička odluka
dr
r
C
C
dT C1
ln u 2 ln r ln C1; u 21 ; T r 1 C2 ;
2
r
Dr-r
r
r2
Granični uslovi prve vrste
r r1: T T1
C1
C2
r1
T 1 r 1 r2 T2 1 r1 1 r
T r 1
1 r1 1 r2
r r2: T T2
(42)
Gustina toplotnog fluksa
Ukupni protok toplote
Q
T1
T2
C1
C2
r2
(43)
(44)
dT
r2
T1 T2
q
2C1
dr
1 r1 1 r2
r
(45)
dT
4
T1 T2
4 r 2 4 C1
dr
1 r1 1 r2
(46)
17.
Granični uslovi treće vrsteT r
Zajednička odluka
se ne mijenja
C1
C2
r
T
r r1: -
1TTe1
r
T
r r2: -
2 Te2 T
r
(47)
2r2 C1 2r22C2 2r22Te2
C1
1r1
1r12
2 r22
2r2
r1
r2
1r1 C1 1r12C2 1r12Te1
1r12 Te 2 Te1
dT C1
2
Dr-r
C2
(48)
Ukupni toplotni tok Q nije
zavisi od trenutnog radijusa
1r1 T 1r12 T
2 r2 e 2 2 r22 e1
1r1 1r12
2 r2 2 r22
(49)
U granici idealnog prenosa toplote medija sa datim temperaturama i
sfernog zida (tj. kod beskonačnih koeficijenata prolaza toplote) rješenje problema sa
granični uslovi treće vrste prelazi u rješenje problema sa graničnim uslovima
uslova prve vrste.
4
Q
T T
1 1 1 2
r1 r2
=
protok toplote,
4 r1 2 1 Te1 T
dolazi u
unutrašnji zid
=
protok toplote,
4 r 2 2 2 T Te 2
odlazi
vanjski zid
18.
Raspodjela temperature u sfernom ziduza granične uslove treće vrste
Kuće:
igraj sve
rješenje
1 1
1 1
T1 T2
r r
r1 r
2
T r
1 1
r1 r2
Zidne temperature:
T1
r12 1Te1 s Te 2
2Te1
r2 2
r12 1
s 1 2 r12 1
r
2 2
r12 1
r12 1
s Te 2 2 Te1
r2 2
2
r1 1 2
s 1 2 r1 1
r
2 2
r12 1Te 2
T2
Provodljivost kugličnog zida:
s
1 1
r1 r2
r1r2
r 2 r1
19.
Rješenja najjednostavnijih problema u bezdimenzionalnom oblikuSakupimo rješenja stacionarnih problema za tijela kanonskog oblika sa
granični uslovi prve vrste zajedno
T p T1 T1 T2
r
r2
Dom: igraj!
Tc
1 1
1 1
T1 T2
r r
r1 r
2
Ts
1 1
r1 r2
T1 log r 2 r T 2 log r r1
l n r 2 r1
T T2
T1 T2
r
r2
0,8
p1
ln
ln
1 1
1
1
1 1
c
str
0 1
0,6
r2
1
r1
2
0,2
0,0
0,0
U ravnom zidu, kvalitativna distribucija
temperatura (linearna) ne zavisi od njene
debljina. Ali u cilindričnom i sfernom -
varira nelinearno sa radijusom;
karakter
distribucija (zakrivljenost krive) zavisi od
odnos spoljašnjeg i unutrašnjeg radijusa.
1
3
0,4
0,2
0,4
0,6
0,8
Raspodjela temperature u stanu
(1), cilindrični (2) i loptasti (3)
zid. pune linije
;
10
isprekidane linije - . pet
20.
U slučaju graničnih uslova treće vrste, rješenja najjednostavnijih problemaovise o parametrima koji karakteriziraju prijenos topline.
Za iste koeficijente prolaza toplote.
T Te 2
Te1 Te2
r
r2
1 2
0,8
za ploču
1
p 1 1 2
1 1
2 Bi
2
1
2 Bi
za cilindar:
0,6
3
0,4
3
1
2
0,2
1 2 log 2 log
ln
1 1
2
1 Biln
1 Biln
c
za sferu:
s
1
1 1 1 2
1
1 Bi 1
1 1 Bi
2
Bi
r1
1
1 1 Bi
0,0
0,2
0,4
0,6
1
0,8
2
Raspodjela temperature
duž koordinate u ravni (1),
cilindrični (2) i sferni
(3) zidovi pod uslovima
konvektivni prenos toplote.
Pune linije - Bi 2 ;
tačkasta - Bi 1 0
21.
Primjeri: Dewar bocaMetalna čestica obložena oksidnim filmom
Zadaća:
1. Formulirati problem raspodjele temperature u dvosloju
sferna ljuska prilikom njenog konvektivnog hlađenja, koristeći materijal
predavanja. Pretpostavlja se da je termički kontakt između slojeva idealan. Olovo
problem u bezdimenzionalni oblik. Izgradite tačno analitičko rješenje
ovaj zadatak.
2.*Izračunajte temperaturu unutrašnje i vanjske površine lopte
školjke u zadatku 1, kao i temperatura na kontaktu; odrediti u potpunosti
toplotni tok koji napušta površinu lopte, pod pretpostavkom da su temperature
okruženje unutar ljuske - 175 C, temperatura okruženje- 25 C;
koeficijenti prijenosa topline su isti i jednaki - 28,8 kcal / (m2 sat stepen);
unutrašnji i vanjski radijusi ljuske - 3 cm i 5 cm, debljina
unutrašnja školjka - 25 mm. Unutrašnja školjka je napravljena od
materijal sa toplotnom provodljivošću od 1,45 kcal/(m sat stepena); vanjski od
materijal sa koeficijentom toplotne provodljivosti od 0,137 kcal/(m h stepeni). Kako
toplotni tok će se promijeniti sa promjenom debljine vanjskog
granata u rasponu od 25 mm do 300 mm?
22.
d 2T
Te 2
2
T1
Te1
T2
1
xmax
qV
0;
2
dx
G.u. prva vrsta: r r1:
qV konst
T T1;
(1)
r r2:
T T2 (2)
G.u. treća vrsta:
r r1:
-
T
1 T Te1 ;
r
r r2:
-
T
2 Te2 T
r
Prvi "način" rješenja:
Problem se rješava elementarnom integracijom:
qV x 2
T x
C1x C2
2
dT
q
V x C1;
dx
(4)
Zamjenom općeg rješenja u CG, nalazimo konstante integracije.
Maksimum je na određenoj udaljenosti od površina.
Maksimalna pozicija se može naći iz uslova (ekstremni uslov)
dT
q x
V C1 0
dx
(5)
dT
0
dx
(3)
23.
Zadaci sa unutrašnjim izvorima toploteTOPLOTNOPROVODNI RAVNI ZID SA VOLUMENSKIM OTPUŠTANJEM TOPLOTE
Te 2
2
T1
Te1
1
2
1
Uradimo to malo drugačije. (Drugi način
rješenja)
qV x 2
T x
C1x C2
general
rješenje
2
(4)
Polazište koordinata postavljamo u tačku gdje
temperatura je maksimalna
T2
1; 2
- udaljenost od maksimuma do rubova ploče
0
C10
Prepisujemo granični uslov na desnoj strani na sljedeći način:
x2:
dT
dx
2
2 T Te 2
2
2
q
V
2
2 C2
Te 2 qV 2
2
(6)
Budući da se ravan x=0 može smatrati toplinski izoliranom, sva toplina koja se oslobađa unutra
ploča sa desne strane u jedinici vremena mora biti preusmjerena u okolinu
kroz prenos toplote sa desnog zida. U suprotnom, uvjet će biti prekršen
stacionarnost
qV 2 - količina topline koja se oslobađa u volumenu ploče debljine \u003d 1 po jedinici vremena
S lijeve strane - izraz za fluks prijenosa topline po jedinici površine ploče
24.
Slično razmišljanje za lijevi sloj ploče s debljinom1 2
dovesti do izraza
2
q
V
2
1 C2
Te1 qV 2
2
(7)
Koristeći jednakosti (6), (7), nalazimo poziciju
maksimum
2
2 1 2 Te1 Te 2 qV 2 1 2
2qV 1 2 1 2
(8)
Određivanjem konstante C2, (bilo koja od jednakosti je pogodna), nalazimo opšte rješenje.
Ima najjednostavniji oblik ako
1 2 ;Te1 Te2 Te
1 2 2
onda
qV qV 2
C2
Te
2
8
I
2
q
qV
2
T x
x V Te
2 2
2
(9)
(10)
qV 2 qV
Što je niža, to je veća toplotna provodljivost ploče
Tmax T x 0
Te
8
2
q
Temperatura zida Ts T1 T2 V Te raste sa pogoršanjem prijenosa topline
2
25.
Granični uslovi prve vrsteT1
2
1
T2
0
qv 22
C2 T2
2
dT
dx
2 T1 T2
2 1
2
qV 2
(11)
qV 2 2
C2 T1
2
2
qV 2 T1 T2
2
T x T2
x
1
2
2 2
qV
Za vrlo velike vrijednosti
x2:
qV x 2
T x
C1x C , C1 0 (4)
2
2
Granični uslovi treće vrste se transformišu u granične uslove
uslova prve vrste. Dakle, imamo isto rješenje
koristiti prethodno rješenje
2 T Te 2
2
(12)
T x T2 T2e
2
(13)
Prema tome, iz simetričnog problema sa graničnim uslovima treće vrste (10) nalazimo
2
qV
2
T x
x Ts
2 2
Tmax T x 0
q
V Ts
8
2
Temperatura
zidovi
(14)
Ista jednakost proizlazi iz prethodnog rješenja, pod uslovom da su temperature zida jednake
26.
Zamislite beskonačan čvrsti cilindar jednoliko zagrijan (ili
ohlađena) sa bočne površine. Izvor toplote se nalazi u zapremini cilindra
konstantnog intenziteta. Potrebno je pronaći raspodjelu temperature za
uspostavljeni režim.
d 2T 1 dT q
dr
u dT dr
2
r dr
q r
du
r
u V 0
dr
V
ili
0
(1)
d ru qV r
0
dr
qV r 2
en
C1
2
q r C
dT
V 1
dr
2
r
Zajednička odluka
Prvo
integralni
(3)
qV r 2
T
C1 log r C2
4
Stanje u centru za
čvrst cilindar
dTdr0; r0
(2)
(4)
C10
27.
Cilindar sa volumetrijskim odvođenjem toplinedT
T Te
r R
dr
qV 2
qV R
2
qV R qV R 2
T
R
r
Te
C2
Te
4
2
2
4
q
q R
q R
Tmax V R 2 V Te
Ts V Te
4
2
2
Vanjski uvjet:
gustina toplotnog toka na površini cilindra:
ukupni toplotni tok sa površine cilindra:
q Ts Te
QqF
(5)
(6)
(7)
qV R
2
qV R
2 Rl qV R 2l
2
Problem hlađenja cilindra sa volumetrijskim oslobađanjem toplote je u
posebno od interesa za pronalaženje raspodjele temperature u katodama,
koristi se u plazma bakljama za stvaranje jonskih tokova. Praktično
primjenom, ovaj problem se može preformulisati na sljedeći način: pronađite snagu
izvor dovoljan za raspršivanje katode, pod uslovom da to zahtijeva
dostići tačku topljenja katodnog materijala
Koristeći opće rješenje (4), može se pronaći raspodjela temperature po debljini
zidovi šupljeg cilindra ili prema debljini cilindra prekriveni zaštitnim slojem
(razmotrićemo dalje). U prvom slučaju morate postaviti uslove na unutrašnjoj površini
cilindar. U drugom slučaju, potreban je dodatni uslov na interfejsu
dva materijala različitih svojstava, tj. granični uslov četvrte vrste.
28.
Sfera sa volumetrijskom disipacijom toploteqV r 2 C1
Kod kuće: emisija
T
C2(2)
(1)
šta je generalno rešenje
6
r1
dr2
(1) ima oblik (2)
dT
Uslovi:
dTdr0; r 0 i dr T Te ; r R
q
q
dati C1 0 i
C2 Te V R V R 2
3
6
2
qV
qV 2 r (3)
T Te
R
R1
3
6
R
q
q
Tmax Te V R V R 2 (4)
Maksimalna temperatura
3
6
q
q
Temperatura površine
Ts Te V R V R 2 (5)
3
6
R2dT
1
Ukupni toplotni tok kroz površinu
Q
R 3qV
4 dr r R 3
lopta
qV R
qV 2 qV R
T
Te
Tmax
R
Te
cilindar
s
2
4
2
Uporedite
d 2T
2 dT qV
0
r dr
Ravni sloj Tmax
qV qV 2
Te
2
8
q
T s V Te
2
sa (4), (5)
29.
Primjer 1. Pronađite maksimalnu struju kroz koju se može proćialuminijumska žica (λ = 204 W/(m K)) prečnika 1 mm, tako da
temperatura nije prelazila 200 C. Žica je suspendovana u vazduhu sa
temperatura 25 C. Koeficijent konvektivnog prijenosa topline sa žice na
zraka je 10 W/(m2 K). Električni otpor Re/l po jedinici
dužina žice je 0,037 ohm/m.
Rješenje. Koristimo formulu (66) iz koje slijedi
qV
Re I 2
R2l
Tmax
qV R R
I 2 Re
Te
1
Te
2
2
2Rl
R
1 2
Zamjenjujemo date vrijednosti fizičkih veličina:
200 25
I
2
2 1 0 3
Odavde nalazimo trenutnu snagu:
1 0 3 2 1 0
0,0 3 7 1
2 204
2 10
I 12.2 A
30.
Žica sa izolacijomStroga matematička formulacija problema:
d 2T1
dr
2
d 2T2
Prvi uslov je uslov simetrije;
drugi kaže da je termalni
kontakt između žice i izolacije
savršeno, a treće odgovara
žice za konvektivnu izmjenu topline sa
izolacija od okoline.
dr
2
1dT2
0
r dr
r0: dT dr0
r R: 1
r R
(1)
R r R
(2)
(3)
dT1
dT
2 2 ; T1 T2
dr
dr
r R: 2
Opšte rješenje problema:
1 dT1 qV
0
r dr
1
dT2
T2 Te
dr
qV r 2
T1
C1 l n r C 2
4 1
T2 C3 l n r C 4
(4)
(5)
Kod kuće: emisija
Pravda
31.
Žica sa izolacijomqV r 2
T1
C1 l n r C 2
4 1
Opšte rješenje problema:
T2 C3 l n r C 4
Iz uslova (3) imamo:
C10
q R
C
1 V 2 3
R
2 1
Uslovi (4) daju:
qV R 2
C3
2 2
qV R 2
qV R 2
C2
l nR C 4
4 1
2 2
Uslov (5) podrazumijeva:
qV R 2
C3 2 qV R 2
2
ln RC 4 Te
R
R22
2 2
Mi nalazimo:
qV R 2
q R
C 4 Te
l n R V
2 2
2
qV R 2 2 1 qV R 2 R
C 2 Te
ln
1
4 1 R 2 2
R
32.
Dakle, distribucija temperature u žici sa izolacijomopisuje se formulama
qV R 2 2 1 qV R 2 R qV r 2
T1 Te
ln
1
4 1 R 2 2
R41
I
qV R 2 2 qV R 2 R
T 2 Te
ln
2 2 R
2 2
r
Konačno rješenje predstavljamo u obliku:
T Te
i i
T Te
qV R 2
T Te
1
r
R
1
Bi K
2
1 1 2
dnevnik 1
4
K2
4
2
K K 1
ln
2Bi
2
Odredite toplotni tok sa površine
kondukter
q T2 R Te
Q R2l T2 R2 Te
K Bi 1
K Bi 1
Idi kući
bezdimenzionalne varijable
0 1
Bi
1 1
K
Q
R2 2 l T* Te
1
2
R
2
K
Bi
- izolacija ne uklanja toplinu sa provodnika koji vodi struju
- moguće hlađenje provodnika zbog gubitka toplote u
okruženje
R
33.
Primjer 2. Pustite dužu dugu aluminijsku žicu prečnika 1 cmteče struja jačina struje 1000 A. Žica je prekrivena slojem
gumena izolacija debljine 3 mm (λ2=0,15 W/(m K)). Temperatura
vanjska površina izolacije 30 C. Pronađite temperaturu unutrašnje
izolaciona površina. Ohmski otpor žice po jedinici
dužina 3,7 10-4 Ohm/m.
Rješenje. Za rješavanje ovog problema koristimo drugu formulu za T2
smatra pridruženim problemom. S obzirom da je temperatura podešena
2
vanjske površine izolacije, tj.
Re I 2
Re I 2
R
T2 r R Te
ln
qV
2
l
2
R
Rl
2
2
1000
0 . 005 0 . 003
273 30 3 . 7 10 4
ln
477 . 6
2 3 . 14 0 . 15
0 . 005
Korištenje vrijednosti toplinske provodljivosti aluminijske žice
1 232 W / (m K) i formulom za T, možemo izračunati temperaturu u centru
1
žice. Pod uslovima koji se razmatraju, imamo
2
Re I 2
Re I 2
R Re I
T1 r R Te
ln
T2 r R
l 2 2 R l 4 1
l 4 1
3 . 7 10 4 1000
477 . 6
477 . 7
4 3 . 14 232
2
34.
Domaći zadatak.1. Struja snage I \u003d 200A prolazi kroz žicu od nehrđajućeg čelika
prečnika 2 mm i dužine 1 m. Električni otpor žice je
0,125 Ohm, toplotna provodljivost 17W/(m K). Temperatura
površina žice 150 C. Potrebno je izračunati temperaturu na osi
žica.
2. Pretpostavimo u istom problemu da je žica prekrivena slojem izolacije
(koeficijent toplotne provodljivosti izolacije 0,15 W/(m K)), a koeficijent
prijenos topline na površini izolacije je 60 W/(m2K). Po potrebi
promijeniti jačinu struje (povećati ili smanjiti) tako da temperatura
površina žice je ostala jednaka 150 C.
35.
Efektivna (ekvivalentna) termofizička svojstvaZaista se koristi u mašinstvu i materijalima oko nas
su višekomponentni i višefazni. Ovo se odnosi na čelik
legure, intermetalni kompoziti, sinterovani materijali,
vlaknasti kompoziti, kompoziti na bazi polimera, mješavine,
rješenja itd.
Ako za početne komponente (od kojih se sintetiziraju kompoziti u
različite tehnologije) ili s obzirom na materijale koji se koriste sa svojstvima svih
manje-više jasno, onda za novorazvijene materijale
definiranje svojstava je veliki problem.
Standardne eksperimentalne metode možda neće raditi ili postati
skupo ili radno intenzivno
Za proračun je potrebno poznavati svojstva komponenti, strukturu i međusobnu
uticaj fizičkih pojava jedne na druge.
Nema podataka o fizička svojstva ah nije moguće naučno
ili inženjerski proračun
Dulnev G.N., Zarinchak Yu.P. Toplotna provodljivost mješavina i kompozita
materijala
36.
Modeli za izračunavanje svojstava:korpuskularni (molekularni), kontinualni i kombinovani
U korpuskularnim modelima svojstva se proučavaju na osnovu poznavanja prirode,
struktura i priroda interakcije čestica. Proračun fizičkih svojstava u
U ovom slučaju to je moguće samo uz korištenje podataka o drugim svojstvima.
Klasifikacija heterogenih struktura:
Dulnev, str.10-52 (otvoreno)
Kompoziti: str.106-130
37.
Postoje brojni načini za izračunavanje efektivnih koeficijenatatoplinska provodljivost heterogenih i poroznih materijala
U najjednostavnijoj aproksimaciji za proces provođenja toplote u zasebnom
mikrodomena (koja se smatra reprezentativnim volumenom)
fizičke jednačine su važeće
JT ,k k grad Tk , div JT ,k 0
Granični uslovi na interfejsima regiona sa idealom
termički kontakt imaju oblik:
T
T
k k k 1 k 1 ; Tk Tk 1
n
n
Za određivanje efektivne toplotne provodljivosti materijala (koji se sastoji od
različite faze), potrebno je odrediti distribucije fizičkih polja tokom
sve mikrodomene, a zatim prelazimo na kvazihomogeno okruženje, za
koje odnose
JT*T
1
J k dV ;
V
1
Tk d
T
V
V
Utvrđivanje vrste ovoga
Efektivni koeficijent: f k , k ;
zavisnosti i je
glavni zadatak
- frakcije faza
razne teorije.
JT
T
38.
Dvofazni sistem1
J
J1dV1 J 2dV2 1 1 T1 2 2 T2
V
V2
V1
1 V1 V , 2 V2 V
(1)
1 1 1 2 2 2 ;
k
T1 T1
2T2
Tk T
T
2
1 1 2 2 1
Slijedi iz
prethodni
, k 1,2
- srednji gradijent zapremine
Sistem od dvije jednačine (1) sadrži tri nepoznate. Za e zatvaranje
potrebne su dodatne informacije, kao što su detalji o strukturi
heterogeni sistem, podaci posebno dizajniranog eksperimenta.
Rješenje problema zatvaranja ovakvih sistema dovelo je do pojave svih
razne metode za određivanje koeficijenata prijenosa (ne samo
koeficijent toplotne provodljivosti), što je poznato u literaturi
39.
1. U slučaju najjednostavnije strukture, a to je sistemneograničene ploče paralelne sa strujom J
1 2 1
I
1 1 2 2
2. Ako su slojevi okomiti na tok
1 T1 2 T2 ;
1 2 2 1
1 2
1 2
1
Tipovi struktura nehomogenih medija su veoma raznoliki. Dakle, u slučaju
dvofazni medij, na koje faze (mikroregije koje sadrže različite faze)
mogu biti raspoređeni u prostoru i nasumično i na uredan način,
moguće je razlikovati strukture koje sadrže jednu od faza u obliku izolovanih
izomerne (1) ili anizotropno orijentisane (2) inkluzije u
kontinuirana druga faza, granularni sistemi sa kontinuiranim okvirom (3) i
pore (4), fibrozni sistem vlakana (5) i pore (6), statistički
nehomogeni (mikronehomogeni) sistemi sličnih veličina
komponente (7), slojeviti sistemi paralelnih (8) i okomitih
(9) slojevi protoka. Može se zamisliti sistem koji se sastoji od pojedinaca
podsistemi sa različitim strukturama opisanog tipa. Dodatno
svaka od faza uključenih u strukture može biti i višekomponentna i
i jednokomponentni. U svakom slučaju, potrebno je izračunati svojstva svake od faza
ili njihovu eksperimentalnu definiciju.
40.
Kondorsky equation3 1 1 3 2 1 2
3 1 1 3 2 1
Odelevsky (metod
1
efikasno okruženje)
4
16
2
2 1
1 V1 V , 2 V2 V
13
2 1
1 2
integralna metoda
Bilateralne procjene (procjene
Hashin-Shtrikhman)
Shermergaard:
1 2
1
2
1
1
2 1
1
1
1 3
1 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 1
1 1 2
Indeks 1 se odnosi na matricu, a "2" na inkluzije
Unatoč pojednostavljenim medijskim modelima, neke od dobro poznatih formula
omogućavaju izvođenje prilično pouzdanih procjena, iako je broj formula za
razni posebni slučajevi medija se brzo povećavaju sa povećanjem broja faza.
41.
Kuće:Postoji kompozit. Matrica je legura na bazi volframa (smatramo je
toplotna provodljivost jednaka toplotnoj provodljivosti volframa).
Čestice (inkluzije) titanijum karbida.
Koristeći gornje formule, izračunajte zavisnosti
efektivni koeficijenti toplotne provodljivosti kompozita na frakciji
inkluzije (ξ= od 0 do 0,75). Nacrtajte na jednom grafikonu.
Kakav zaključak se može izvući?
42.
Svojstva zrnatih i poroznih materijalaO efektivnoj toplotnoj provodljivosti poroznih materijala, pod jednakim uslovima
na uslove utiče toplotna provodljivost čvrste faze. Istovremeno, za
za neke porozne materijale (na bazi A12O3, BeO, MgO itd.) koeficijent
toplotna provodljivost opada sa porastom temperature, dok za
drugi, napravljeni na bazi SiO2, ZrO2, - povećava. Odlučan
poroznost ima uticaj na efektivnu toplotnu provodljivost, budući da
same pore, zbog niske provodljivosti gasa, su efikasne
prepreka širenju toplote. Međutim, postoje i drugi
mehanizmi prijenosa topline (konvekcija, zračenje).
Najjednostavniji modeli zasnovani su na prikazu poroznog ili
raspršeni materijal u obliku ravnih naizmjeničnih slojeva, sastavljenih i
čvrsti okvir (jezgro) i vazduh.
1
1
2
2
1
1 1 2
- udio pora; poroznost
- toplotna provodljivost vazduha ili druge materije punjenja
porozni prostor
43.
Modeli predstavljeni na slici u sredini povezani su s imenimaMaxwell-Eucken (Maxwell-Aiken). Rezultat izgleda tako
1
2
2 1 2 2 1 2
2 1 2 2 1 2
2 2 1 2 2 1 1
2 2 1 2 2 1 1
1 1
2
0
1 2
2 2
čvrsti okvir je kontinuiran
kontinuirano je porozna
prostor
model teorije efektivnog medija
Širenje topline toplinskom vođenjem u ravnim i cilindričnim zidovima u stacionarnom načinu rada (granični uvjeti prve vrste)
Homogeni jednoslojni ravni zid. Razmotrimo širenje toplote toplotnim provođenjem u homogenom jednoslojnom ravnom zidu debljine 8 sa neograničenom širinom i dužinom.
Osa X usmerite ga okomito na zid (slika 7.4). Na obje površine zida kao u smjeru ose y, kao i u pravcu ose G zbog ravnomjernog dovoda i odvođenja topline, temperature su ravnomjerno raspoređene.
Budući da zid u pravcu ovih osa ima beskonačno velike dimenzije, odgovarajući temperaturni gradijenti W / yu \u003d (k / (k= = 0, pa stoga nema uticaja na proces toplotne provodljivosti krajnjih površina zida. Pod ovim pojednostavljenim uslovima, stacionarno temperaturno polje je funkcija samo koordinata X, one. razmatra se jednodimenzionalni problem. U primjeni na ovaj slučaj, diferencijalna jednadžba provođenja topline će imati oblik (at d^dh = 0)
Dati su granični uslovi prve vrste: 
Rice. 7.4.
Nađimo jednačinu temperaturnog polja i odredimo toplotni tok F koji prolazi kroz presjek zida sa površinom ALI(na sl. 1L zid nije naznačen jer se nalazi u ravni okomitoj na ravan figure). Prva integracija daje
one. temperaturni gradijent je konstantan u cijeloj debljini zida.
Nakon druge integracije dobijamo željenu jednačinu temperaturnog polja
gdje ali I b - integracione konstante.
Dakle, promjena temperature duž debljine zida slijedi linearni zakon, a izotermne površine su ravnine paralelne s plohama zida.
Da bismo odredili proizvoljne konstante integracije, koristimo granične uslove:
Jer? > ? CT2, zatim projekcija gradijenta na osu X negativno kao
ovo je bilo za očekivati za odabrani smjer ose, koji se poklapa sa smjerom vektora površinske gustine toplotnog toka.
Zamjenom vrijednosti konstanti u (7.24) dobijamo konačni izraz za temperaturu nula
Linija a-b na sl. 7.4, tzv temperaturna kriva, pokazuje promjenu temperature u odnosu na debljinu zida.
Poznavajući temperaturni gradijent, moguće je, koristeći Fourierovu jednačinu (7.10), pronaći količinu toplote 8 () koja prolazi kroz element površine ?? 4, okomito na osu T.
i za površinu ALI
Formula (7.28) za toplotni tok i površinsku gustinu toplotnog fluksa ima oblik
Razmotrimo širenje toplote toplotnim provođenjem u višeslojnom ravnom zidu koji se sastoji od nekoliko (na primer, tri) usko susednih slojeva (vidi sliku 7.5).
Rice. 7.5.
Očigledno, u slučaju stacionarnog temperaturnog polja, toplotni tok koji prolazi kroz površine iste površine ALI, biće isti za sve slojeve. Stoga se jednadžba (7.29) može koristiti za svaki od slojeva.
Za prvi sloj
za drugi i treći sloj
gdje X 2, A 3 - toplotna provodljivost slojeva; 8 1? 8 2 , 8 3 - debljina sloja.
Da li se temperature na vanjskim granicama troslojnog zida smatraju poznatim? St1 i? ST4. Temperature su postavljene duž interfejsa slojeva? ST2 I? STZ, koji se smatraju nepoznatim. Jednačine (7.31) - (7.33) će se riješiti s obzirom na temperaturne razlike:
a zatim dodavati pojam po član i tako eliminirati nepoznate međutemperature:
Generalizujući (7.36) za zid z-sloja, dobijamo
Odrediti međutemperature? ST2, ? STz na ravnima razdvajanja slojeva koristimo formule (7.34):
Konačno, generalizirajući derivaciju na zid u-sloja, dobijamo formulu za temperaturu na granici i-og i (r + 1)-og sloja:
Ponekad koriste koncept ekvivalentne toplotne provodljivosti R equiv. Za površinsku gustinu toplotnog toka koji prolazi kroz ravan višeslojni zid,
gdje je ukupna debljina svih slojeva višeslojnog zida. Upoređujući izraze (7.37) i (7.40), zaključujemo da
Na sl. 7.5 u obliku isprekidane linije prikazuje grafik promjena temperature po debljini višeslojnog zida. Unutar sloja, kao što je gore dokazano, promjena temperature slijedi linearni zakon. Tangenta nagiba cp, temperaturna ravna linija prema horizontali
one. jednak apsolutnoj vrijednosti gradijenta temperature ^1 "ac1 Dakle, prema nagibu pravih linija ab, bc i sa
shodno tome,
one. temperaturni gradijenti za pojedinačne slojeve višeslojnog ravnog zida obrnuto su proporcionalni toplotnoj provodljivosti ovih slojeva.
To znači da su za postizanje velikih temperaturnih gradijenta (što je potrebno, na primjer, kod izolacije parnih cjevovoda, itd.), potrebni materijali s niskim vrijednostima toplinske provodljivosti.
Homogeni jednoslojni cilindrični zid. Nađimo temperaturno polje i površinsku gustinu toplotnog fluksa za stacionarni način provođenja toplote za homogeni jednoslojni cilindrični zid (slika 7.6). Za rješavanje problema koristimo diferencijalnu jednadžbu provođenja topline u cilindričnim koordinatama.
Os 2 će biti usmjerena duž ose cijevi. Pretpostavimo da je dužina cijevi beskonačno velika u odnosu na promjer. U ovom slučaju možemo zanemariti utjecaj krajeva cijevi na raspodjelu temperature duž ose 2. Pretpostavljamo da je zbog ravnomjernog dovoda i odvođenja toplote temperatura na unutrašnjoj površini svuda jednaka? ST1, a na vanjskoj površini -? ST2 (granični uslovi prve vrste). Sa ovim pojednostavljenjima (k/ = 0, a s obzirom na simetriju temperaturnog polja u odnosu na bilo koji prečnik (d), gdje je G- strujni radijus cilindričnog zida.
Rice. 7.6.
Diferencijalna jednadžba provođenja toplote (7.19) pod uslovom dt/d m = 0 poprima oblik
Hajde da uvedemo novu varijablu
koji je temperaturni gradijent (grad ?).
Zamjena varijable I u (7.43), dobijamo diferencijalnu jednačinu prvog reda sa odvojivim varijablama
ili 
Integrisanje, dobijamo
Za cilindrični zid, temperaturni gradijent je varijabla koja se povećava sa smanjenjem radijusa G. Stoga je temperaturni gradijent na unutrašnjoj površini veći nego na vanjskoj.
Zamjenjiva vrijednost I od (7.44) do (7.45), dobijamo 
I
gdje an b- integracione konstante.
Stoga je kriva raspodjele temperature po debljini zida logaritamska kriva (kriva a-b na sl. 7.6).
Hajde da definišemo konstante ali I b, uključeno u jednačinu temperaturnog polja, na osnovu graničnih uslova prve vrste. Označavamo unutrašnji radijus površine r x, na otvorenom - g 2 . Označavamo odgovarajuće prečnike (1 l I (1 2 . Tada imamo sistem jednačina
Odlučivanje ovaj sistem jednačine, dobijamo
Jednačina temperature nula će poprimiti oblik 
Temperaturni gradijent je određen formulom (7.45):
Jer? ST1 > ? CT2 , i r, r 2 , onda je projekcija grad? na radijus vektoru ima negativnu vrijednost.
Ovo posljednje pokazuje da je u ovom slučaju tok topline usmjeren od centra prema periferiji.
Odrediti toplinski tok koji prolazi kroz dio cilindrične površine s dužinom b, koristite jednačinu
Iz (7.46) slijedi da toplinski tok koji prolazi kroz cilindričnu površinu ovisi o odnosu vanjskog i unutrašnjeg radijusa r 2 / g x(ili prečnika c1 2 / (1 {), ne debljine zida.
Površinska gustina toplotnog toka za cilindričnu površinu može se pronaći upućivanjem toplotnog toka F na površinu unutrašnje površine A vp ili na vanjsku površinu I np. U proračunima se ponekad koristi linearna gustina toplotnog fluksa:
Iz (7.47)-(7.49) slijedi
Višeslojni cilindrični zid. Razmotrimo širenje toplote toplotnom provodljivošću u troslojnom cilindričnom zidu (cevi) dužine A (slika 7.7) unutrašnjeg prečnika c1 x i vanjski prečnik (1 l. Srednji prečnici pojedinačnih slojeva - c1 2 i X 2 , X 3 .
Rice. 7.7.
Jesu li poznate temperature? st) unutrašnja i temperatura? CT4 vanjska površina. Treba li odrediti toplinski tok F i temperaturu? ST2 I? STz na granicama slojeva. Sastavimo jednačinu oblika (7.46) za svaki sloj:
Rješavajući (7.51)-(7.53) s obzirom na temperaturne razlike, a zatim zbrajajući član po član, dobijamo
Iz (7.54) imamo proračunski izraz za određivanje toplotnog fluksa za troslojni zid:
Uopštimo formulu (7.55) na zid cijevi u-sloja: 
gdje i- serijski broj sloja.
Iz (7.51)-(7.53) nalazimo izraz za određivanje temperature na granicama međuslojeva:
Temperatura? Art. +) na granici?-ti i (G+ 1)-ti sloj se može odrediti sličnom formulom
Literatura sadrži rješenja diferencijalne jednadžbe topline za šuplju kuglu pod graničnim uvjetima prve vrste, kao i rješenja za sva razmatrana tijela u graničnim uvjetima treće vrste. Mi ne razmatramo ova pitanja. Pitanja stacionarnog provođenja toplote u štapovima (rebrima) konstantnog i promenljivog poprečnog preseka, kao i pitanja nestacionarnog provođenja toplote, takođe su ostala van okvira našeg predmeta.
Studija bilo koje fizički proces povezuje se sa uspostavljanjem veze između veličina koje karakterišu ovaj proces. Za složene procese, koji uključuju prijenos topline toplotnim vođenjem, pri uspostavljanju odnosa između veličina zgodno je koristiti metode matematičke fizike, koja ne razmatra tok procesa u cijelom prostoru koji se proučava, već u elementarnoj zapremini materije za beskonačno mali vremenski interval. Veza između količina uključenih u prijenos topline toplotnom provodljivošću uspostavlja se u ovom slučaju tzv. diferencijalna jednadžba provođenja toplote. U granicama odabranog elementarnog volumena i beskonačno malog vremenskog perioda, postaje moguće zanemariti promjenu nekih veličina koje karakteriziraju proces.
Prilikom izvođenja diferencijalne jednadžbe provođenja toplote, prave se sljedeće pretpostavke: fizičke veličine λ, sa str I ρ konstanta; nema unutrašnjih izvora toplote; tijelo je homogeno i izotropno; koristi se zakon održanja energije koji se za ovaj slučaj formuliše na sledeći način: razlika između količine toplote koja je ušla usled toplotne provodljivosti u elementarni paralelepiped za vreme dτ a oslobođeno iz njega u isto vrijeme se troši na promjenu unutrašnje energije razmatranog elementarnog volumena. Kao rezultat, dolazimo do jednačine:
Vrijednost se poziva Laplace operater i obično je skraćeno kao 2 t(znak se čita "nabla"); vrijednost λ /cρ pozvao termička difuzivnost i označeno slovom ali. Uz gornju notaciju, diferencijalna jednadžba za provođenje topline ima oblik
Jednačina (1-10) se zove diferencijalna jednadžba provođenja toplote, ili Fourierova jednačina, za trodimenzionalno nestacionarno temperaturno polje u odsustvu unutrašnjih izvora toplote. To je glavna jednadžba u proučavanju zagrijavanja i hlađenja tijela u procesu prijenosa topline toplinskim vođenjem i uspostavlja odnos između vremenskih i prostornih promjena temperature u bilo kojoj tački polja.
Toplotna difuzivnost ali= λ/cr je fizički parametar supstance i ima jedinicu m 2 / s. Kod nestacionarnih termičkih procesa, vrijednost ali karakterizira brzinu promjene temperature. Ako koeficijent toplotne provodljivosti karakteriše sposobnost tela da provode toplotu, onda koeficijent toplotne difuzije ali je mjera toplotno-inercijalnih svojstava tijela. Iz jednačine (1-10) slijedi da se temperatura mijenja tokom vremena ∂t / ∂τ jer je bilo koja tačka tijela proporcionalna vrijednosti ali Stoga će pod istim uslovima brže rasti temperatura tijela koje ima veću toplotnu difuziju. Plinovi imaju male, a metali - velike vrijednosti toplinske difuzije.
Diferencijalna jednadžba provođenja toplote sa izvorima toplote unutar tela imaće oblik
gdje qv- količina toplote koja se oslobađa po jedinici zapremine supstance u jedinici vremena, od je maseni toplotni kapacitet tijela, ρ - gustina tela .
Diferencijalna toplotna jednačina u cilindričnim koordinatama sa unutrašnjim izvorom toplote imaće oblik
gdje r- radijus vektor u cilindričnim koordinatama; φ - injekcija.