Linearna diferencijalna jednadžba (LDE) 2. reda ima sljedeći oblik:
gdje , , i – unapred definisane funkcije, kontinuirano na intervalu na kojem se traži rješenje. Uz pretpostavku da je a 0 (x) ≠ 0, dijelimo (2.1) sa i, nakon uvođenja nove oznake za koeficijente, zapisujemo jednačinu u obliku:
Pretpostavimo bez dokaza da (2.2) ima jedinstveno rješenje na nekom intervalu koje zadovoljava sve početne uvjete , , ako su funkcije , i kontinuirane na razmatranom intervalu. Ako je , tada se jednačina (2.2) naziva homogena, a jednačina (2.2) inače nehomogena.
Razmotrimo svojstva rješenja lodu 2. reda.
Definicija. Linearna kombinacija funkcija je izraz , gdje su proizvoljni brojevi.
Teorema. Ako i je lodu rješenje
tada će i njihova linearna kombinacija biti rješenje ove jednačine.
Dokaz.
Stavili smo izraz u (2.3) i pokazali da je rezultat identitet:
Preuredimo termine:
Kako su funkcije i rješenja jednadžbe (2.3), svaka od zagrada u posljednjoj jednadžbi identično je jednaka nuli, što je i trebalo dokazati.
Posljedica 1. Iz dokazane teoreme slijedi za , da ako je rješenje jednačine (2.3), onda je i rješenje ove jednačine.
Posljedica 2. Uz pretpostavku , vidimo da je zbir dva rješenja za lodu također rješenje ove jednačine.
Komentar. Svojstvo rješenja dokazanih u teoremi ostaje važeće za slučaj bilo kojeg reda.
§3. Odrednica Vronskog.
Definicija. Sistem funkcija naziva se linearno nezavisnim na nekom intervalu ako se nijedna od ovih funkcija ne može predstaviti kao linearna kombinacija svih ostalih.
U slučaju dvije funkcije, to znači da 
, tj. 
. Posljednji uvjet se može prepisati u obliku ili 
. Odrednica u brojniku ovog izraza 
se zove Wronskyjeva determinanta za funkcije i . Dakle, determinanta Wronskyja za dvije linearno nezavisne funkcije ne može biti identično jednaka nuli.
Neka bude 
je determinanta Wronskyja za linearno nezavisna rješenja i jednadžbe (2.3). Provjerimo zamjenom da funkcija zadovoljava jednadžbu . (3.1)
Zaista, . Kako funkcije i zadovoljavaju jednadžbu (2.3), onda , tj. je rješenje jednačine (3.1). Pronađimo ovo rješenje: ; . gdje, 
. 
,
, .
Na desnoj strani ove formule morate uzeti znak plus, jer se samo u ovom slučaju dobija identitet. Na ovaj način,
(3.2)
Ova formula se zove Liouville formula. Gore je pokazano da determinanta Wronskyja za linearno nezavisne funkcije ne može biti identično jednaka nuli. Dakle, postoji tačka u kojoj je determinanta za linearno nezavisna rešenja jednačine (2.3) različita od nule. Tada iz Liouvilleove formule slijedi da će funkcija biti različita od nule za sve vrijednosti iz intervala koji se razmatra, budući da su oba faktora na desnoj strani formule (3.2) različita od nule za bilo koju vrijednost.
§4. Struktura generalnog rješenja loda 2. reda.
Teorema. Ako su i linearno nezavisna rješenja jednačine (2.3), onda je njihova linearna kombinacija 
, gde su i proizvoljne konstante, biće opšte rešenje ove jednačine.
Dokaz.
Šta 
je rješenje jednačine (2.3), slijedi iz teoreme o svojstvima rješenja za lodu drugog reda. Samo treba da pokažemo da je rešenje 
će general, tj. potrebno je pokazati da se za bilo koje početne uslove mogu birati proizvoljne konstante i tako zadovoljiti ovi uslovi. Hajde da zapišemo početni uslovi kao:
Konstante i iz ovog sistema linearnih algebarskih jednadžbi su jednoznačno određene, jer je determinanta ovog sistema vrijednost determinante Wronskyja za linearno nezavisna rješenja lodu za :
,
a takva determinanta, kao što smo vidjeli u prethodnom dijelu, nije nula. Teorema je dokazana.
Primjer. Dokazati da je funkcija 
, gdje su i proizvoljne konstante, je opće rješenje za lodu .
Rješenje.
Lako je potvrditi zamjenom da funkcije i zadovoljavaju datu jednačinu. Ove funkcije su linearno nezavisne, jer 
. Dakle, prema teoremi o strukturi općeg rješenja, loda 2. reda 
je opšte rješenje ove jednačine.
Obrazovna ustanova „Beloruska država
poljoprivredna akademija"
Odsjek za višu matematiku
Smjernice
na izučavanju teme "Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda" od strane studenata računovodstva dopisnog oblika obrazovanja (NISPO)
Gorki, 2013
Linearno diferencijalne jednadžbe
drugog reda sa konstantomkoeficijenti
Linearne homogene diferencijalne jednadžbe
Linearna diferencijalna jednadžba drugog reda sa konstantnim koeficijentima naziva se jednačina oblika
one. jednadžba koja sadrži željenu funkciju i njene derivate samo do prvog stepena i ne sadrži njihove proizvode. U ovoj jednačini 
I 
su neki brojevi i funkcija 
dato u nekom intervalu 
.
Ako 
na intervalu 
, tada jednačina (1) poprima oblik
,
(2)
i pozvao linearno homogeno . Inače, jednačina (1) se zove linearno nehomogeno .
Razmotrite složenu funkciju
,
(3)
gdje 
I 
su stvarne funkcije. Ako je funkcija (3) kompleksno rješenje jednadžbe (2), onda je realni dio 
, i imaginarni dio 
rješenja 
pojedinačno su rješenja istih homogena jednačina. Dakle, svako kompleksno rješenje jednačine (2) generiše dva realna rješenja ove jednačine.
Homogena rješenja linearna jednačina imaju svojstva:
Ako 
je rješenje jednadžbe (2), a zatim funkcija 
, gdje OD- proizvoljna konstanta, također će biti rješenje jednačine (2);
Ako 
I 
su rješenja jednadžbe (2), zatim funkcije 
će također biti rješenje jednačine (2);
Ako 
I 
su rješenja jednadžbe (2), zatim njihova linearna kombinacija 
također će biti rješenje jednačine (2), gdje je 
I 
su proizvoljne konstante.
Funkcije 
I 
pozvao linearno zavisna
na intervalu 
ako postoje takvi brojevi 
I 
, koji istovremeno nisu jednaki nuli, da je na ovom intervalu jednakost
Ako jednakost (4) vrijedi samo kada 
I 
, zatim funkcije 
I 
pozvao linearno nezavisna
na intervalu 
.
Primjer 1
. Funkcije 
I 
su linearno zavisne, jer 
duž cijele brojevne prave. U ovom primjeru 
.
Primjer 2
. Funkcije 
I 
su linearno nezavisne od bilo kojeg intervala, budući da je jednakost 
moguće samo ako i 
, And 
.
Konstrukcija općeg rješenja linearne homogene
jednačine
Da biste pronašli opće rješenje jednačine (2), potrebno je pronaći dva njena linearno nezavisna rješenja 
I 
. Linearna kombinacija ovih rješenja 
, gdje 
I 
su proizvoljne konstante, i daće opšte rešenje linearne homogene jednačine.
Linearno nezavisna rješenja jednačine (2) tražit će se u obliku
,
(5)
gdje 
- neki broj. Onda 
,
. Zamijenimo ove izraze u jednačinu (2):
Or 
.
Jer 
, onda 
. Dakle, funkcija 
će biti rješenje jednačine (2) ako 
će zadovoljiti jednačinu
.
(6)
Jednačina (6) se zove karakteristična jednačina za jednačinu (2). Ova jednačina je algebarska kvadratna jednačina.
Neka bude 
I 
su korijeni ove jednadžbe. Oni mogu biti ili stvarni i različiti, ili složeni, ili stvarni i jednaki. Hajde da razmotrimo ove slučajeve.
Pustite korijene 
I 
karakteristična jednačina validan i drugačiji. Tada će rješenja jednadžbe (2) biti funkcije 
I 
. Ova rješenja su linearno nezavisna, budući da je jednakost 
može se izvesti samo kada 
, And 
. Dakle, opšte rješenje jednačine (2) ima oblik
,
gdje 
I 
su proizvoljne konstante.
Primjer 3
.
Rješenje
. Karakteristična jednačina za ovaj diferencijal će biti 
. Rešavanje kvadratna jednačina, pronaći njegove korijene 
I 
. Funkcije 
I 
su rješenja diferencijalne jednadžbe. Opće rješenje ove jednačine ima oblik 
.
kompleksni broj 
naziva se izrazom forme 
, gdje 
I 
- realni brojevi, ali 
naziva se imaginarna jedinica. Ako 
, zatim broj 
naziva se čisto imaginarnim. Ako 
, zatim broj 
identificira se sa stvarnim brojem 
.
Broj 
naziva se realni dio kompleksnog broja, i 
- imaginarni deo. Ako se dva kompleksna broja razlikuju jedan od drugog samo u znaku imaginarnog dijela, tada se nazivaju konjugiranim: 
,
.
Primjer 4
. Riješite kvadratnu jednačinu 
.
Rješenje
. Diskriminanta jednačine 
. Onda . Isto tako, 
. Dakle, ova kvadratna jednadžba ima konjugirane kompleksne korijene.
Neka su korijeni karakteristične jednadžbe složeni, tj. 
,
, gdje 
. Rješenja jednačine (2) mogu se zapisati kao 
,
ili 
,
. Prema Ojlerovim formulama
,
.
Zatim , . Kao što je poznato, ako je kompleksna funkcija rješenje linearne homogene jednadžbe, tada su rješenja ove jednadžbe i stvarni i imaginarni dio ove funkcije. Dakle, rješenja jednadžbe (2) će biti funkcije 
I 
. Od jednakosti
može se izvesti samo ako 
I 
, tada su ova rješenja linearno nezavisna. Dakle, opšte rješenje jednačine (2) ima oblik
gdje 
I 
su proizvoljne konstante.
Primjer 5
. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe 
.
Rješenje
. Jednačina 
je karakterističan za dati diferencijal. Rješavamo to i dobivamo složene korijene 
,
. Funkcije 
I 
su linearno nezavisna rješenja diferencijalne jednadžbe. Opće rješenje ove jednačine ima oblik .
Neka su korijeni karakteristične jednadžbe realni i jednaki, tj. 
. Tada su rješenja jednadžbe (2) funkcije 
I 
. Ova rješenja su linearno nezavisna, jer izraz može biti identično jednak nuli samo kada 
I 
. Dakle, opšte rješenje jednačine (2) ima oblik 
.
Primjer 6
. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe 
.
Rješenje
. Karakteristična jednačina 
ima jednake korijene 
. U ovom slučaju, linearno nezavisna rješenja diferencijalne jednadžbe su funkcije 
I 
. Opšte rješenje ima oblik 
.
§ 9. Linearne homogene diferencijalne jednačine drugog reda sa konstantnim koeficijentima
Određivanje LODE drugog reda sa konstantnim koeficijentima
Karakteristična jednačina:
Slučaj 1. Diskriminant veći od nule
Slučaj 2. Diskriminant je nula
Slučaj 3. Diskriminant manji od nule
Algoritam za pronalaženje općeg rješenja za LODE drugog reda s konstantnim koeficijentima
§ 10. Linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima
Određivanje LIDE drugog reda sa konstantnim koeficijentima
Metoda konstantne varijacije
Metoda za rješavanje LIDE sa posebnom desnom stranom
Teorema o strukturi općeg rješenja LIDE
1. Funkcija r (x) je polinom stepena T
2. Funkcija r (x) je proizvod broja po eksponencijalna funkcija
3. Funkcija r (x) - suma trigonometrijske funkcije
Algoritam za pronalaženje opšteg rešenja za LIDE sa posebnom desnom stranom
Dodatak
§ devet. Linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima
Diferencijalna jednadžba drugog reda naziva se linearna homogena diferencijalna jednadžba (LODE) sa konstantnim koeficijentima ako izgleda ovako:
gdje str I q
Da biste pronašli opće rješenje za LODE, dovoljno je pronaći dva njegova različita posebna rješenja i . Tada će opće rješenje LODE-a imati oblik
gdje OD 1 i OD
Leonhard Euler je predložio da se traže posebna rješenja LODE u obliku
gdje k- neki broj.
Diferenciranje ove funkcije dva puta i zamjena izraza za at, u" I u" u jednacinu, dobijamo:
Rezultirajuća jednačina se zove karakteristična jednačina LODU. Da biste ga kompajlirali, dovoljno je zamijeniti u originalnoj jednadžbi u", u" I at odnosno na k 2 , k i 1:
Nakon rješavanja karakteristične jednačine, tj. pronalaženje korena k 1 i k 2, također ćemo pronaći posebna rješenja za originalni LODE.
Karakteristična jednačina je kvadratna jednačina, njeni korijeni se nalaze preko diskriminanta
U ovom slučaju moguća su sljedeća tri slučaja.
Slučaj 1. Diskriminant veći od nule , dakle korijeni k 1 i k 2 važeće i različite:
k 1¹ k 2
gdje OD 1 i OD 2 su proizvoljne nezavisne konstante.
Slučaj 2. Diskriminant je nula , dakle korijeni k 1 i k 2 realna i jednaka:
k 1 = k 2 = k
U ovom slučaju, opšte rješenje LODE-a ima oblik
gdje OD 1 i OD 2 su proizvoljne nezavisne konstante.
Slučaj 3. Diskriminant manji od nule . U ovom slučaju, jednadžba nema pravi korijen:
Nema korijena.
U ovom slučaju, opšte rješenje LODE-a ima oblik
gdje OD 1 i OD 2 su proizvoljne nezavisne konstante,
Dakle, pronalaženje opšteg rješenja za LODE drugog reda sa konstantnim koeficijentima svodi se na pronalaženje korijena karakteristične jednadžbe i korištenje formula za opšte rješenje jednačine (bez pribjegavanja izračunavanju integrala).
Algoritam za pronalaženje općeg rješenja za LODE drugog reda s konstantnim koeficijentima:
1. Dovesti jednačinu u oblik , gdje str I q su neki realni brojevi.
2. Sastavite karakterističnu jednačinu.
3. Naći diskriminanta karakteristične jednačine.
4. Koristeći formule (vidi tabelu 1), u zavisnosti od predznaka diskriminanta, zapišite opšte rešenje.
Tabela 1
Tabela mogućih općih rješenja
Diferencijalne jednadžbe 2. reda
§jedan. Metode za snižavanje reda jednačine.
Diferencijalna jednačina drugog reda ima oblik:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( ili Differential" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">Diferencijalna jednadžba 2. reda). Cauchyjev problem za diferencijalnu jednadžbu 2. reda (1..gif" width="85" height= "25 src= ">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.
Neka diferencijalna jednadžba 2. reda izgleda ovako: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.
Dakle, jednačina 2. reda https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Rešavajući ga, dobijamo opšti integral originalne diferencijalne jednadžbe, u zavisnosti od dve proizvoljne konstante: DIV_ADBLOCK219">
Primjer 1 Riješite diferencijalnu jednadžbu https://pandia.ru/text/78/516/images/image021_18.gif" width="70" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.gif" width="39" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src=">.gif" width="112" height="25 src=">.
Ovo je odvojiva diferencijalna jednadžba: https://pandia.ru/text/78/516/images/image026_19.gif" width="99" height="41 src=">, tj.gif" width= "96" visina="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="48" height="38 src=">..gif" width=" 99" visina ="38 src=">..gif" width="95" height="25 src=">.
2..gif" width="117" height="25 src=">, tj.gif" width="102" height="25 src=">..gif" width="117" height= "25 src =">.gif" width="106" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="117" height="25 src=" >.gif" width="111" height="27 src=">
Rješenje.
IN zadata jednačina 2. red jasno ne uključuje željenu funkciju https://pandia.ru/text/78/516/images/image043_16.gif" width="98" height="25 src=">.gif" width="33 " height="25 src=">.gif" width="105" height="36 src="> što je linearna jednadžba..gif" width="109" height="36 src=">..gif " width ="144" height="36 src=">.gif" height="25 src="> iz nekih funkcija..gif" width="25" height="25 src=">.gif" width= "127" height="25 src=">.gif" width="60" height="25 src="> – Redoslijed jednadžbe je smanjen.
§2. Linearna diferencijalna jednadžba 2. reda.
Linearna diferencijalna jednadžba (LDE) 2. reda ima sljedeći oblik:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image059_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. gif" width="42" height="25 src="> i, nakon uvođenja novih oznaka za koeficijente, zapisujemo jednačinu u obliku:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image064_12.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">. gif" width="30" height="25 src="> kontinuirano..gif" width="165" height="25 src=">.gif" width="95" height="25 src="> – proizvoljnim brojevima.
Teorema. Ako https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> - rješenje je
https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> će također biti rješenje ove jednačine.
Dokaz.
Stavimo izraz https://pandia.ru/text/78/516/images/image077_11.gif" width="420" height="25 src=">.
Preuredimo termine:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image073_10.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="54" height="25 src=">. gif" width="94" height="25 src="> je također rješenje ove jednačine.
Posljedica 2. Pod pretpostavkom da je https://pandia.ru/text/78/516/images/image083_11.gif" width="58" height="25 src="> također rješenje ove jednačine.
Komentar. Svojstvo rješenja dokazanih u teoremi ostaje važeće za slučaj bilo kojeg reda.
§3. Odrednica Vronskog.
Definicija. Sistem funkcija https://pandia.ru/text/78/516/images/image084_10.gif" width="61" height="25 src=">.gif" width="110" height="47 src= " >..gif" width="106" height="42 src=">..gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="181" height="47 src= " >.gif" width="42" height="25 src="> jednadžbe (2.3)..gif" width="182" height="25 src=">. (3.1)
Zaista, ..gif" width="18" height="25 src="> zadovoljava jednačinu (2..gif" width="42" height="25 src="> je rješenje jednačine (3.1). .gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width="162" height="42 src="> .gif" width="51" height="25 src="> je identičan. Dakle,
https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, u kojoj je determinanta za linearno nezavisna rješenja jednadžbe (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> Oba faktora na desnoj strani formule (3.2) nisu nula.
§4. Struktura generalnog rješenja loda 2. reda.
Teorema. Ako su https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> linearno nezavisna rješenja jednadžbe (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">je rješenje jednadžbe (2.3), slijedi iz teoreme o svojstvima lodu rješenja 2. reda..gif " width="85 "height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">
Konstante https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> iz ovog sistema linearnih algebarskih jednadžbi su jednoznačno određene, budući da je determinanta ovaj sistem je https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. Prema prethodnom paragrafu, opšte rješenje lodu 2. reda se lako određuje ako su poznata dva linearno nezavisna parcijalna rješenja ove jednačine. Jednostavna metoda za pronalaženje parcijalnih rješenja jednadžbe sa konstantnim koeficijentima koje je predložio L. Euler..gif" width="25" height="26 src=">, dobijamo algebarska jednačina, što se zove karakteristika:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> će biti rješenje jednadžbe (5.1) samo za one vrijednosti k koji su korijeni karakteristične jednadžbe (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src ="> i opće rješenje (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. Provjerite da li ova funkcija zadovoljava jednačinu (5.1)..gif" width="190" height="26 src=">. Zamjena ovih izraza u jednačina (5.1), dobijamo
https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, jer.gif" width="137" height="26 src=" >.
Privatna rješenja https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> su linearno nezavisna, jer.gif" width="166" height= "26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" height =" 25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.
Obje zagrade na lijevoj strani ove jednakosti su identično jednake nuli..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> je rješenje jednadžbe (5.1) ..gif" width="129" height="25 src="> će izgledati ovako:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)
predstavljen kao zbir općeg rješenja https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)
i svako posebno rješenje https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> će biti rješenje jednadžbe (6.1)..gif" width=" 272" height="25 src="> f(x). Ova jednakost je identitet jer..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Dakle.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width= "138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> su linearno nezavisna rješenja ove jednačine. Na ovaj način:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src=">, a takva determinanta, kao što smo vidjeli gore, razlikuje se od nule..gif" width="19" height="25 src="> iz sistema jednadžbi (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src" ="> će biti rješenje jednadžbe
https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> u jednadžbu (6.5), dobijamo
https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)
gdje je https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> jednadžbe (7.1) u slučaju kada je desna strana f(x) ima poseban Ova metoda se naziva metodom neodređenih koeficijenata i sastoji se u odabiru određenog rješenja ovisno o obliku desne strane f(x). Razmotrimo desnu stranu sljedećeg oblika:
1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src="> može biti nula. Naznačimo formu u kojoj se konkretno rješenje mora uzeti u ovom slučaju.
a) Ako je broj https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height=" 25 src =">.
Rješenje.
Za jednadžbu https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= " >.
Oba dijela skraćujemo za https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> u lijevom i desnom dijelu jednakosti
https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">
Iz rezultirajućeg sistema jednadžbi nalazimo: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src=">, i opšte rješenje zadata jednačina jesti:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,
gdje https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.
Rješenje.
Odgovarajuća karakteristična jednačina ima oblik:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. Konačno imamo sledeći izraz za opšte rešenje:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> odlično od nule. Naznačimo oblik određenog rješenja u ovom slučaju.
a) Ako je broj https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,
gdje je https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> korijen karakteristične jednadžbe za jednadžbu (5..gif" širina ="229 "visina="25 src=">,
gdje https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.
Rješenje.
Korijeni karakteristične jednadžbe za jednadžbu https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" visina ="25 src=">.
Desna strana jednadžbe data u primjeru 3 ima poseban oblik: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.
Za definiranje https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > i zamijeni u datu jednačinu:
Donošenje sličnih pojmova, izjednačavanje koeficijenata na https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height= "25 src=">.
Konačno opšte rješenje date jednadžbe je: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 " height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> respektivno, a jedan od ovih polinoma može biti jednak nuli. Naznačimo oblik određenog rješenja u ovom općenitom slučaj.
a) Ako je broj https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)
gdje https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.
b) Ako je broj https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src=">, tada će određeno rješenje izgledati ovako:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. U izrazu (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.
Primjer 4 Navedite vrstu određenog rješenja za jednadžbu
https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . Opće rješenje za lod ima oblik:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.
Dalji koeficijenti https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > postoji posebno rješenje za jednadžbu sa desnom stranom f1(x), i Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">varijacije proizvoljnih konstanti (Lagrangeova metoda).
Direktno pronalaženje određenog rješenja prave, osim u slučaju jednadžbe sa konstantnim koeficijentima, a osim toga sa posebnim konstantnim članovima, predstavlja velike poteškoće. Stoga se za pronalaženje općeg rješenja za lindu obično koristi metoda varijacije proizvoljnih konstanti, koja uvijek omogućava pronalaženje općeg rješenja za lindu u kvadraturama, ako fundamentalni sistem rješenja odgovarajuće homogene jednadžbe. Ova metoda je sljedeća.
Prema gore navedenom, opšte rješenje linearne homogene jednadžbe je:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – nije konstantna, već neke, još nepoznate funkcije od f(x). . mora se uzeti iz intervala. Zapravo, u ovom slučaju, determinanta Wronskyja je različita od nule u svim tačkama intervala, tj. u cijelom prostoru - složeni korijen karakteristična jednadžba..gif" width="20" height="25 src="> linearno nezavisna parcijalna rješenja oblika:
U općoj formuli rješenja, ovaj korijen odgovara izrazu oblika.
U ovom članku ćemo analizirati principe rješavanja linearnih homogenih diferencijalnih jednadžbi drugog reda sa konstantnim koeficijentima , gdje su p i q proizvoljni realni brojevi. Prvo se zadržimo na teoriji, a zatim primijenimo dobivene rezultate u rješavanju primjera i problema.
Ako naiđete na nepoznate termine, pogledajte odjeljak definicije i koncepte teorije diferencijalnih jednadžbi.
Hajde da formulišemo teoremu koja pokazuje u kom obliku pronaći opšte rešenje LODE.
Teorema.
Opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe sa kontinuiranim koeficijentima na integracijskom intervalu X je dato kao linearna kombinacija 
, gdje 
su linearno nezavisna parcijalna rješenja LODE na X , i proizvoljne su konstante.
Dakle, opšte rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima ima oblik y 0 =C 1 ⋅y 1 +C 2 ⋅y 2 proizvoljne konstante. Ostaje naučiti kako pronaći određena rješenja y 1 i y 2 .
Euler je predložio traženje posebnih rješenja u obliku .
Ako uzmemo LODE drugog reda sa konstantnim koeficijentima kao posebno rješenje, onda kada ovo rješenje zamenimo u jednačinu, treba da dobijemo identitet: 
Tako smo dobili tzv karakteristična jednačina linearna homogena diferencijalna jednadžba drugog reda sa konstantnim koeficijentima. Rješenja k 1 i k 2 ove karakteristične jednačine također određuju pojedina rješenja našeg LODE drugog reda sa konstantnim koeficijentima.
Ovisno o koeficijentima p i q, korijeni karakteristične jednadžbe mogu biti:
U prvom slučaju linearno nezavisna parcijalna rješenja originalne diferencijalne jednadžbe su i , opće rješenje LODE drugog reda sa konstantnim koeficijentima je .
Funkcije i su zaista linearno nezavisne, budući da je determinanta Wronskyja različita od nule za bilo koji realni x za .
U drugom slučaju jedno posebno rješenje je funkcija . Kao drugo posebno rješenje uzima se . Pokažimo šta je zapravo posebno rješenje LODE drugog reda sa konstantnim koeficijentima i dokažimo linearnu nezavisnost y 1 i y 2 .
Budući da su k 1 = k 0 i k 2 = k 0 isti korijeni karakteristične jednadžbe, onda ima oblik. Dakle, originalna je linearna homogena diferencijalna jednadžba. Zamijenite ga i uvjerite se da se jednadžba pretvori u identitet: 
Dakle, to je posebno rješenje originalne jednadžbe.
Pokažimo linearnu neovisnost funkcija i . Da bismo to učinili, izračunavamo Wronskyjevu determinantu i uvjeravamo se da je različita od nule. 
Zaključak: linearno nezavisna parcijalna rješenja LODE drugog reda sa konstantnim koeficijentima su i , a opće rješenje je na .
U trećem slučaju imamo par složenih posebnih rješenja za LODE i . Opšte rješenje se piše kao 
. Ova konkretna rješenja mogu se zamijeniti s dvije realne funkcije 
i odgovara stvarnom i imaginarne dijelove. Ovo se jasno vidi ako transformišemo opšte rešenje , koristeći formule iz teorija funkcija kompleksne varijable vrsta : 
gdje su C 3 i C 4 proizvoljne konstante.
Dakle, hajde da sumiramo teoriju.
Algoritam za pronalaženje opšteg rešenja linearne homogene diferencijalne jednačine drugog reda sa konstantnim koeficijentima.
Razmotrite primjere za svaki slučaj.
Primjer.
Pronađite opšte rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima 
.