Ako slijedimo definiciju, onda je derivacija funkcije u tački granica omjera prirasta funkcije Δ y na prirast argumenta Δ x:

Čini se da je sve jasno. Ali pokušajte izračunati po ovoj formuli, recimo, derivaciju funkcije f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x grijeh x. Ako sve radite po definiciji, onda ćete nakon nekoliko stranica proračuna jednostavno zaspati. Stoga postoje jednostavniji i efikasniji načini.

Za početak, napominjemo da se takozvane elementarne funkcije mogu razlikovati od čitavog niza funkcija. Riječ je o relativno jednostavnim izrazima čiji su derivati ​​odavno izračunati i uneseni u tabelu. Takve funkcije je dovoljno lako zapamtiti, zajedno sa njihovim derivatima.

Derivati ​​elementarnih funkcija

Elementarne funkcije su sve navedene u nastavku. Izvodi ovih funkcija moraju se znati napamet. Štaviše, nije ih teško zapamtiti - zato su elementarni.

Dakle, derivati ​​elementarnih funkcija:

Ime	Funkcija	Derivat
Konstantno	f(x) = C, C ∈ R	0 (da, da, nula!)
Stepen sa racionalnim eksponentom	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = grijeh x	cos x
Kosinus	f(x) = cos x	− grijeh x(minus sinus)
Tangenta	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
prirodni logaritam	f(x) = log x	1/x
Proizvoljni logaritam	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Eksponencijalna funkcija	f(x) = e x	e x(ništa se nije promijenilo)

Ako se elementarna funkcija pomnoži sa proizvoljnom konstantom, onda se derivacija nove funkcije također lako izračunava:

(C · f)’ = C · f ’.

Generalno, konstante se mogu izvući iz predznaka izvoda. Na primjer:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Očigledno, elementarne funkcije se mogu dodavati jedna drugoj, množiti, dijeliti i još mnogo toga. Tako će se pojaviti nove funkcije, više ne baš elementarne, ali i diferencirane po određenim pravilima. Ova pravila su razmotrena u nastavku.

Derivat zbira i razlike

Neka funkcije f(x) i g(x), čiji su nam derivati ​​poznati. Na primjer, možete uzeti elementarne funkcije o kojima smo gore govorili. Tada možete pronaći derivaciju zbira i razlike ovih funkcija:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Dakle, derivacija zbira (razlike) dvije funkcije jednaka je zbiru (razlici) izvoda. Možda ima više termina. Na primjer, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strogo govoreći, u algebri ne postoji koncept "oduzimanja". Postoji koncept "negativnog elementa". Dakle, razlika f − g može se prepisati kao zbir f+ (−1) g, a onda ostaje samo jedna formula - derivacija sume.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcija f(x) je zbir dvije elementarne funkcije, dakle:

f ’(x) = (x 2+ sin x)’ = (x 2)' + (grijeh x)’ = 2x+ cosx;

Slično tvrdimo i za funkciju g(x). Samo što već postoje tri pojma (sa stanovišta algebre):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

odgovor:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat proizvoda

Matematika je logička nauka, tako da mnogi ljudi vjeruju da ako je derivacija sume jednaka zbroju izvoda, onda je derivacija proizvoda štrajk"\u003e jednak umnošku derivata. Ali fige tebi! Derivat proizvoda se izračunava po potpuno drugoj formuli. Naime:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula je jednostavna, ali se često zaboravlja. I ne samo školarci, već i studenti. Rezultat su pogrešno riješeni problemi.

Zadatak. Pronađite derivate funkcija: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkcija f(x) je proizvod dvije elementarne funkcije, tako da je sve jednostavno:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x grijeh x)

Funkcija g(x) prvi množitelj je malo komplikovaniji, ali opšta šema ovo se ne mijenja. Očigledno, prvi množitelj funkcije g(x) je polinom, a njegov izvod je izvod zbira. Imamo:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

odgovor:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x grijeh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Imajte na umu da je u posljednjem koraku izvod faktoriziran. Formalno, to nije neophodno, ali većina derivata se ne izračunavaju samostalno, već radi istraživanja funkcije. To znači da će se dalje derivacija izjednačiti sa nulom, saznati će se njeni predznaci i tako dalje. Za takav slučaj, bolje je imati izraz razložen na faktore.

Ako postoje dvije funkcije f(x) i g(x), i g(x) ≠ 0 na skupu koji nas zanima, možemo definirati novu funkciju h(x) = f(x)/g(x). Za takvu funkciju možete pronaći i izvod:

Nije slabo, zar ne? Odakle minus? Zašto g 2? Ali ovako! Ovo je jedna od najsloženijih formula - ne možete je shvatiti bez boce. Stoga ga je bolje proučiti na konkretnim primjerima.

Zadatak. Pronađite derivate funkcija:

Postoje elementarne funkcije u brojiocu i nazivniku svakog razlomka, tako da sve što nam treba je formula za izvod količnika:

Po tradiciji, brojilac činimo u faktore - to će uvelike pojednostaviti odgovor:

Složena funkcija nije nužno formula duga pola kilometra. Na primjer, dovoljno je uzeti funkciju f(x) = grijeh x i zamijenite varijablu x, recimo, na x 2+ln x. Ispostavilo se f(x) = grijeh ( x 2+ln x) - To je ono što je složena funkcija. Ona također ima derivat, ali neće uspjeti pronaći ga prema gore navedenim pravilima.

Kako biti? U takvim slučajevima pomaže zamjena varijable i formule za izvod složene funkcije:

f ’(x) = f ’(t) · t', ako x je zamijenjen sa t(x).

Po pravilu, situacija sa razumijevanjem ove formule je još tužnija nego s derivacijom količnika. Stoga je bolje i to objasniti konkretnim primjerima, uz detaljan opis svakog koraka.

Zadatak. Pronađite derivate funkcija: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = grijeh ( x 2+ln x)

Imajte na umu da ako je u funkciji f(x) umjesto izraza 2 x+ 3 će biti lako x, onda će raditi elementarna funkcija f(x) = e x. Stoga, vršimo zamjenu: neka je 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Tražimo izvod kompleksne funkcije po formuli:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

A sada - pažnja! Izvođenje obrnute zamjene: t = 2x+ 3. Dobijamo:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Pogledajmo sada funkciju g(x). Očigledno treba zamijeniti. x 2+ln x = t. Imamo:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (grijeh t)’ · t' = cos t · t ’

Obrnuta zamjena: t = x 2+ln x. onda:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

To je sve! Kao što se vidi iz posljednjeg izraza, cijeli problem je sveden na izračunavanje derivata sume.

odgovor:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2+ln x).

Vrlo često na svojim časovima umjesto izraza „derivat“ koristim riječ „moždani udar“. Na primjer, hod zbroja jednak je zbroju poteza. Je li to jasnije? Pa, to je dobro.

Dakle, izračunavanje derivata se svodi na oslobađanje ovih poteza prema gore navedenim pravilima. As posljednji primjer Vratimo se deriviranoj potenciji sa racionalnim eksponentom:

(x n)’ = n · x n − 1

Malo ko to zna u ulozi n može delovati razlomak broj. Na primjer, korijen je x 0,5 . Ali šta ako postoji nešto lukavo ispod korijena? Opet, ispostavit će se složena funkcija - oni vole davati takve konstrukcije kontrolni rad i ispite.

Zadatak. Pronađite derivaciju funkcije:

Prvo, prepišimo korijen kao stepen s racionalnim eksponentom:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Sada vršimo zamjenu: neka x 2 + 8x − 7 = t. Izvod nalazimo po formuli:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Vršimo obrnutu zamjenu: t = x 2 + 8x− 7. Imamo:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Konačno, povratak korijenima:

Dajemo bez dokaza formulu za izvode osnovnih elementarnih funkcija:

1. Funkcija snage: (x n)` =nx n -1 .

2. Eksponencijalna funkcija: (a x)` = a x lna (posebno, (e x)` = e x).

3. Logaritamska funkcija: (posebno, (lnx)` = 1/x).

4. Trigonometrijske funkcije:

(cosx)` = -sinx

(tgh)` = 1/cos 2 x

(ctgh)` = -1/sin 2 x

5. Inverzne trigonometrijske funkcije:

Može se dokazati da je za diferenciranje eksponencijalne funkcije stepena potrebno dva puta koristiti formulu za izvod kompleksne funkcije, odnosno diferencirati je kao kompleksnu funkciju funkcija snage, i kao kompleksnu eksponencijalnu, i dodajte rezultate: (f(x)  (x))` =(x)*f(x)  (x)-1 *f(x)` +f(x)  ( x) *lnf(x)*(x)`.

Derivati ​​višeg reda

Budući da je derivacija funkcije sama po sebi funkcija, ona također može imati izvod. Koncept derivata, o kojem je gore bilo riječi, odnosi se na derivat prvog reda.

derivatn-th red naziva se derivat derivacije (n-1)-tog reda. Na primjer, f``(x) = (f`(x))` - derivat drugog reda (ili drugi izvod), f```(x) = (f``(x))` - derivat trećeg reda ( ili treći derivat) itd. Ponekad se rimski arapski brojevi u zagradama koriste za označavanje viših derivata, na primjer, f (5) (x) ili f (V) (x) za derivat petog reda.

Fizičko značenje derivata višeg reda definirano je na isti način kao i za prvi izvod: svaki od njih predstavlja stopu promjene izvedenice prethodnog reda. Na primjer, drugi izvod je stopa promjene prvog, tj. brzina brzina. Za pravolinijsko kretanje, to znači ubrzanje jedne po jedne tačke.

Funkcija elastičnosti

Funkcija elastičnosti E x (y) je granica omjera relativnog priraštaja funkcije y i relativnog prirasta argumenta x s posljednjim koji teži nuli:
.

Elastičnost funkcije pokazuje za koliko će se posto postotaka promijeniti funkcija y = f (x) kada se nezavisna varijabla x promijeni za 1%.

U ekonomskom smislu, razlika između ovog indikatora i derivata je u tome što derivat ima mjerne jedinice, te stoga njegova vrijednost zavisi od jedinica u kojima se varijable mjere. Na primjer, ako je ovisnost obima proizvodnje od vremena izražena u tonama, odnosno mjesecima, tada će derivat pokazati granični porast obima u tonama mjesečno; ako se, međutim, ovi pokazatelji mjere, na primjer, u kilogramima i danima, tada će i sama funkcija i njen derivat biti drugačiji. Elastičnost je u suštini bezdimenzionalna vrijednost (mjerena u procentima ili frakcijama) i stoga ne zavisi od skale indikatora.

Osnovne teoreme o diferencijabilnim funkcijama i njihove primjene

Fermatova teorema. Ako funkcija diferencibilna na intervalu dostigne svoju maksimalnu ili minimalnu vrijednost u unutrašnjoj tački ovog intervala, tada je derivacija funkcije u ovoj tački jednaka nuli.

Bez dokaza.

Geometrijsko značenje Fermatove teoreme je da je u tački najveće ili najmanje vrijednosti postignute unutar jaza, tangenta na graf funkcije paralelna s osom apscise (slika 3.3).

Rolleova teorema. Neka funkcija y \u003d f (x) zadovoljava sljedeće uvjete:

2) diferencibilan na intervalu (a, b);

3) uzima jednake vrijednosti na krajevima segmenta, tj. f(a)=f(b).

Tada postoji barem jedna tačka unutar segmenta u kojoj je derivacija funkcije jednaka nuli.

Bez dokaza.

Geometrijsko značenje Rolleove teoreme je da postoji barem jedna tačka u kojoj će tangenta na graf funkcije biti paralelna sa x-osom (na primjer, postoje dvije takve tačke na slici 3.4).

Ako je f(a) =f(b) = 0, onda se Rolleova teorema može drugačije formulirati: između dvije uzastopne nule diferencijabilne funkcije postoji barem jedna nula derivacije.

Rolleova teorema je poseban slučaj Lagrangeove teoreme.

Lagrangeova teorema. Neka funkcija y \u003d f (x) zadovoljava sljedeće uvjete:

1) je kontinuiran na segmentu [a, b];

2) je diferencijabilna na intervalu (a, b).

Tada unutar segmenta postoji barem jedna takva tačka c u kojoj je derivacija jednaka količniku prirasta funkcija podijeljenim prirastom argumenta na ovom segmentu:
.

Bez dokaza.

Da bismo razumjeli fizičko značenje Lagrangeove teoreme, primjećujemo to
nije ništa drugo do prosječna brzina promjene funkcije na cijelom intervalu [a, b]. Dakle, teorema kaže da unutar segmenta postoji barem jedna tačka u kojoj je "trenutačna" brzina promjene funkcije jednaka prosječnoj brzini njene promjene u cijelom segmentu.

Geometrijsko značenje Lagrangeove teoreme ilustrovano je na slici 3.5. Imajte na umu da izraz
je nagib prave na kojoj leži tetiva AB. Teorema kaže da postoji barem jedna tačka na grafu funkcije u kojoj će tangenta na nju biti paralelna sa ovom tetivom (tj. nagib tangente - derivacije - će biti isti).

Posljedica: ako je derivacija funkcije jednaka nuli na nekom intervalu, tada je funkcija identično konstantna na ovom intervalu.

U stvari, uzmimo interval na ovom intervalu. Prema Lagrangeovom teoremu, postoji tačka c u ovom intervalu za koju
. Otuda f(a) - f(x) = f`(s)(a - x) = 0; f(x) = f(a) = konst.

L'Hopitalovo pravilo. Granica omjera dvije beskonačno male ili beskonačno velike funkcije jednaka je granici omjera njihovih derivacija (konačnih ili beskonačnih), ako ova druga postoji u navedenom smislu.

Drugim riječima, ako postoji nesigurnost forme
, onda
.

Bez dokaza.

Primjena L'Hospitalovog pravila za pronalaženje granica biće obrađena u praktičnim vježbama.

Dovoljan uslov za povećanje (smanjenje) funkcije. Ako je izvod diferencijabilne funkcije pozitivan (negativan) unutar nekog intervala, tada funkcija raste (opada) na tom intervalu.

Dokaz. Razmotrimo dvije vrijednosti x 1 i x 2 iz datog intervala (neka je x 2 > x 1). Prema Lagrandovom teoremu, na [x 1 , x 2 ] postoji tačka c u kojoj
. Dakle, f (x 2) -f (x 1) \u003d f` (c) (x 2 -x 1). Tada je za f`(c) > 0, lijeva strana nejednakosti pozitivna, tj. f(x 2) > f(x 1), a funkcija raste. na f`(s)< 0 левая часть неравенства отрицательна, т.е.f(х 2)

Teorema je dokazana.

Geometrijska interpretacija uvjeta monotonosti funkcije: ako su tangente na krivulju u određenom intervalu usmjerene pod oštrim uglovima na osu apscise, tada se funkcija povećava, a ako je pod tupim uglovima, onda se smanjuje (vidi sliku 3.6) .

Napomena: nužni uslov za monotonost je slabiji. Ako funkcija raste (opada) na određenom intervalu, onda je derivacija nenegativna (nepozitivna) na ovom intervalu (tj. u nekim točkama derivacija monotone funkcije može biti jednaka nuli).

Formule 3 i 5 dokažu se.

OSNOVNA PRAVILA DIFERENCIJACIJE

Koristeći opću metodu pronalaženja derivacije pomoću granice, možete dobiti najjednostavnije formule diferencijacije. Neka bude u=u(x),v=v(x) su dvije diferencibilne funkcije varijable x.

Formule 1 i 2 dokažu se.

Dokaz formule 3.

Neka bude y = u(x) + v(x). Za vrijednost argumenta x+Δ x imamo y(x+Δ x)=u(x+Δ x) + v(x+Δ x).

Δ y=y(x+Δ x) – y(x) = u(x+Δ x) + v(x+Δ x) – u(x) – v(x) = Δ u +Δ v.

dakle,

Dokaz formule 4.

Neka bude y=u(x) v(x). Onda y(x+Δ x)=u(x+Δ x)· v(x+Δ x), Zbog toga

Δ y=u(x+Δ x)· v(x+Δ x) – u(x)· v(x).

Imajte na umu da budući da svaka od funkcija u i v diferencibilan u jednoj tački x, onda su u ovoj tački kontinuirani, i stoga u(x+Δ x)→u(x), v(x+Δ x)→v(x), za Δ x→0.

Dakle, možemo pisati

Na osnovu ovog svojstva može se dobiti pravilo za diferenciranje proizvoda bilo kojeg broja funkcija.

Neka, na primjer, y=u v w. onda,

y " = u "·( v w) + u·( v w) "= u "· v w + u·( v" w + v w") = u "· v w + u· v" w + u v w ".

Dokaz formule 5.

Neka bude . Onda

U dokazu smo koristili činjenicu da v(x+Δ x)→v(x) na Δ x→0.

Primjeri.

TEOREMA O DERIVATU KOMPLEKSNE FUNKCIJE

Neka bude y = f(u), a u= u(x). Dobijamo funkciju y, u zavisnosti od argumenta x: y = f(u(x)). Posljednja funkcija se zove funkcija funkcije, ili složena funkcija.

Opseg funkcije y = f(u(x)) je ili cijeli opseg funkcije u=u(x) ili onaj njegov dio u kojem se određuju vrijednosti u, nije izvan opsega funkcije y= f(u).

Operacija "funkcija iz funkcije" može se izvesti ne jednom, već bilo koji broj puta.

Uspostavimo pravilo za diferenciranje složene funkcije.

Teorema. Ako je funkcija u= u(x) ima u nekom trenutku x0 derivat i uzima vrijednost u ovoj tački u 0 = u(x0), i funkciju y=f(u) ima u tački u 0 derivat y"u= f "(u 0), zatim kompleksnu funkciju y = f(u(x)) na navedenoj tački x0 također ima derivaciju, koja je jednaka y"x= f "(u 0)· u "(x0), gdje umjesto u izraz mora biti zamijenjen u= u(x).

Dakle, derivacija kompleksne funkcije jednaka je umnošku izvoda ove funkcije u odnosu na srednji argument u na derivat srednjeg argumenta u odnosu na x.

Dokaz. Za fiksnu vrijednost X 0 imaćemo u 0 =u(x 0), at 0 =f(u 0 ). Za novu vrijednost argumenta x0+Δ x:

Δ u= u(x0 + Δ x) – u(x 0), Δ y=f(u 0+Δ u) – f(u 0).

Jer u– diferenciran u jednoj tački x0, onda u je kontinuirano u ovom trenutku. Prema tome, za Δ x→0 Δ u→0. Slično, za Δ u→0 Δ y→0.

Po stanju . Iz ove relacije, koristeći definiciju granice, dobijamo (za Δ u→0)

gdje je α→0 na Δ u→0, a samim tim i za Δ x→0.

Prepišimo ovu jednačinu kao:

Δ y=y"u ∆ u+α·Δ u.

Rezultirajuća jednakost vrijedi i za Δ u=0 za proizvoljno α, pošto se pretvara u identitet 0=0. Na Δ u=0 pretpostavićemo da je α=0. Podijelite sve članove rezultirajuće jednakosti sa Δ x

.

Po stanju . Dakle, prelazak na granicu na Δ x→0, dobijamo y"x= y" u u " x . Teorema je dokazana.

Dakle, da razlikujemo složenu funkciju y = f(u(x)), morate uzeti izvod od "eksterne" funkcije f, tretirajući svoj argument jednostavno kao varijablu i množeći derivatom "unutrašnje" funkcije u odnosu na nezavisnu varijablu.

Ako je funkcija y=f(x) može se predstaviti kao y=f(u), u=u(v), v=v(x), tada se nalaženje izvoda y" x vrši sukcesivnom primjenom prethodne teoreme.

Po dokazanom pravilu imamo y"x= y"u · u" x . Primjenjujući istu teoremu na u" x dobijamo , tj.

y"x= y"x u"v · v"x= f"u( u)· u"v( v)· v"x( x).

Primjeri.

KONCEPT INVERZNE FUNKCIJE

Počnimo s primjerom. Razmotrite funkciju y=x3. Razmotrićemo jednakost y= x 3 kao jednadžba za x. Ovo je jednadžba za svaku vrijednost at definira jednu vrijednost x: . Geometrijski, to znači da je svaka prava paralelna osi Ox siječe graf funkcije y=x3 samo u jednom trenutku. Stoga možemo razmotriti x kao funkcija y. Funkcija se zove inverzna funkciji y=x3.

Prije nego pređemo na opći slučaj, uvodimo definicije.

Funkcija y = f(x) pozvao povećanje na određenom intervalu, ako je veća vrijednost argumenta x iz ovog segmenta odgovara veća vrijednost funkcije, tj. ako x 2 >x 1, dakle f(x 2 ) > f(x 1 ).

Slično, funkcija se poziva opadanje, ako manja vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije, tj. ako X 2 < X 1, dakle f(x 2 ) > f(h 1 ).

Dakle, s obzirom na rastuću ili opadajuću funkciju y=f(x), definiran na nekom intervalu [ a; b]. Radi određenosti, razmotrit ćemo rastuću funkciju (za opadajuću funkciju sve je slično).

Razmotrite dvije različite vrijednosti X 1 i X 2. Neka bude y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 ). Iz definicije rastuće funkcije slijedi da ako x 1 <x 2, dakle at 1 <at 2. Dakle, dvije različite vrijednosti X 1 i X 2 odgovaraju dvije različite vrijednosti funkcije at 1 i at 2. Vrijedi i suprotno, tj. ako at 1 <at 2 , onda iz definicije rastuće funkcije slijedi da x 1 <x 2. One. opet na dvije različite vrijednosti at 1 i at 2 odgovara dvije različite vrijednosti x 1 i x 2. Dakle, između vrijednosti x i njihove odgovarajuće vrijednosti y uspostavlja se korespondencija jedan na jedan, tj. jednačina y=f(x) za svakoga y(preuzeto iz opsega funkcije y=f(x)) definira jednu vrijednost x, i to možemo reći x imaju neku funkciju argumenta y: x= g(y).

Ova funkcija se zove obrnuto za funkciju y=f(x). Očigledno, funkcija y=f(x) je inverzna funkcija x=g(y).

Imajte na umu da je inverzna funkcija x=g(y) nalazi se rješavanjem jednačine y=f(x) relativno X.

Primjer. Neka funkcija y= e x . Ova funkcija raste na –∞< x <+∞. Она имеет обратную функцию x=ln y. Domen inverzne funkcije 0< y < + ∞.

Hajde da damo neke napomene.

Napomena 1. Ako je rastuća (ili opadajuća) funkcija y=f(x) kontinuirano na segmentu [ a; b], i f(a)=c, f(b)=d, tada je inverzna funkcija definirana i kontinuirana na segmentu [ c; d].

Napomena 2. Ako je funkcija y=f(x) nije ni rastuća ni opadajuća na nekom intervalu, onda može imati nekoliko inverznih funkcija.

Primjer. Funkcija y=x2 definisano na –∞<x<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤x<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <x≤ 0 funkcija je opadajuća i njena inverzna .

Napomena 3. Ako funkcije y=f(x) i x=g(y) su međusobno inverzne, onda izražavaju isti odnos između varijabli x i y. Dakle, graf je ista kriva. Ali ako ponovo označimo argument inverzne funkcije sa x, i funkcija kroz y i izgradimo ih u istom koordinatnom sistemu, dobijamo dva različita grafika. Lako je vidjeti da će grafovi biti simetrični u odnosu na simetralu 1. koordinatnog ugla.

TEOREMA O IZVODU INVERZNE FUNKCIJE

Dokažimo teoremu koja nam omogućava da pronađemo derivaciju funkcije y=f(x) znajući derivaciju inverzne funkcije.

Teorema. Ako je za funkciju y=f(x) postoji inverzna funkcija x=g(y), što u nekom trenutku at 0 ima izvod g "(v0) osim nule, tada u odgovarajućoj tački x0=g(x0) funkcija y=f(x) ima derivat f "(x0) jednako , tj. tačna formula.

Dokaz. Jer x=g(y) diferencibilan u jednoj tački y 0, onda x=g(y) je kontinuirana u ovoj tački, tako da je funkcija y=f(x) kontinuirano u tački x0=g(y 0). Prema tome, za Δ x→0 Δ y→0.

Hajde da to pokažemo .

Neka bude . Zatim po svojstvu limita . Pređimo u ovoj jednakosti do granice na Δ y→0. Zatim Δ x→0 i α(Δx)→0, tj. .

dakle,

,

Q.E.D.

Ova formula se može napisati kao .

Razmotrimo primjenu ove teoreme na primjerima.

Vrlo je lako zapamtiti.

Pa, nećemo ići daleko, odmah ćemo razmotriti inverznu funkciju. Što je inverzno od eksponencijalne funkcije? logaritam:

U našem slučaju baza je broj:

Takav logaritam (tj. logaritam sa osnovom) naziva se „prirodnim“ i za njega koristimo posebnu notaciju: umjesto toga pišemo.

Šta je jednako? Naravno, .

Izvod prirodnog logaritma je također vrlo jednostavan:

primjeri:

1. Pronađite izvod funkcije.
2. Što je derivacija funkcije?

odgovori: Eksponent i prirodni logaritam su funkcije koje su jedinstveno jednostavne u smislu derivacije. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će drugačiji izvod, koji ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferencijacije.

Pravila diferencijacije

koja pravila? Opet novi mandat?!...

Diferencijacija je proces pronalaženja derivata.

Samo i sve. Koja je druga riječ za ovaj proces? Ne proizvodnovanie... Diferencijal matematike naziva se sam prirast funkcije at. Ovaj izraz dolazi od latinskog differentia - razlika. Evo.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila, koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Također će nam trebati formule za njihove priraštaje:

Postoji ukupno 5 pravila.

Konstanta je uzeta iz predznaka derivacije.

Ako - neki konstantni broj (konstanta), onda.

Očigledno, ovo pravilo radi i za razliku: .

Dokažimo to. Neka, ili lakše.

Primjeri.

Pronađite derivate funkcija:

1. u tački;
2. u tački;
3. u tački;
4. u tački.

rješenja:

1. (izvod je isti u svim tačkama, pošto je linearna funkcija, sjećate se?);

Derivat proizvoda

Ovdje je sve slično: uvodimo novu funkciju i nalazimo njen prirast:

Derivat:

primjeri:

1. Naći izvode funkcija i;
2. Pronađite izvod funkcije u tački.

rješenja:

Derivat eksponencijalne funkcije

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenta (jeste li već zaboravili šta je to?).

Pa gdje je neki broj.

Već znamo derivaciju funkcije, pa pokušajmo našu funkciju dovesti na novu bazu:

Da bismo to učinili, koristimo jednostavno pravilo: . onda:

Pa, uspjelo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.

Desilo se?

Evo, uvjerite se sami:

Pokazalo se da je formula vrlo slična derivatu eksponenta: kako je bilo, tako se i dalje pojavio samo faktor, koji je samo broj, ali ne i varijabla.

primjeri:
Pronađite derivate funkcija:

odgovori:

Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se napisati u jednostavnijem obliku. Stoga je u odgovoru ostavljeno u ovom obliku.

Imajte na umu da je ovdje količnik dvije funkcije, tako da primjenjujemo odgovarajuće pravilo diferencijacije:

U ovom primjeru, proizvod dvije funkcije:

Derivat logaritamske funkcije

Ovdje je slično: već znate derivaciju prirodnog logaritma:

Stoga, da biste pronašli proizvoljan iz logaritma s različitom bazom, na primjer, :

Moramo dovesti ovaj logaritam u bazu. Kako se mijenja baza logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Tek sada umjesto da pišemo:

Pokazalo se da je imenilac samo konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod je vrlo jednostavan:

Derivati ​​eksponencijalne i logaritamske funkcije se gotovo nikada ne nalaze na ispitu, ali neće biti suvišno poznavati ih.

Derivat kompleksne funkcije.

Šta je "složena funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, a ne tangenta luka. Ove funkcije mogu biti teško razumljive (mada ako vam se logaritam čini teškim, pročitajte temu "Logaritmi" i sve će uspjeti), ali u matematičkom smislu riječ "složeno" ne znači "teško".

Zamislite mali transporter: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Na primjer, prvi omota čokoladicu u omot, a drugi je veže trakom. Ispada takav kompozitni predmet: čokoladica omotana i vezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, morate napraviti suprotne korake obrnutim redoslijedom.

Napravimo sličan matematički cevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim ćemo kvadrirati rezultirajući broj. Dakle, daju nam broj (čokolada), ja nađem njegov kosinus (omotač), a onda kvadriraš ono što sam dobio (zaveži ga vrpcom). Šta se desilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njenu vrijednost, izvršimo prvu akciju direktno s promjenljivom, a zatim drugu drugu akciju s onim što se dogodilo kao rezultat prve.

Drugim riječima, Kompleksna funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za naš primjer, .

Iste radnje možemo učiniti obrnutim redoslijedom: prvo kvadriraš, a onda tražim kosinus rezultirajućeg broja:. Lako je pretpostaviti da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna karakteristika složenih funkcija: kada se redoslijed radnji promijeni, funkcija se mijenja.

Drugi primjer: (isto). .

Posljednja akcija koju uradimo će biti pozvana "vanjska" funkcija, a radnja izvedena prva - respektivno "interne" funkcije(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da objasnim gradivo jednostavnim jezikom).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutrašnja:

odgovori: Razdvajanje unutrašnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično promjeni varijabli: na primjer, u funkciji

1. Koju akciju ćemo prvo preduzeti? Prvo izračunamo sinus, a tek onda ga dižemo na kocku. Dakle, to je unutrašnja funkcija, a ne eksterna.
   A originalna funkcija je njihov sastav: .
2. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
3. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
4. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
5. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .

mijenjamo varijable i dobijamo funkciju.

Pa, sad ćemo izvući našu čokoladu - potražite derivat. Procedura je uvijek obrnuta: prvo tražimo izvod vanjske funkcije, a zatim rezultat množimo s izvodom unutrašnje funkcije. Za originalni primjer, to izgleda ovako:

Drugi primjer:

Dakle, hajde da konačno formulišemo zvanično pravilo:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

Čini se da je jednostavno, zar ne?

Provjerimo na primjerima:

rješenja:

1) Interni: ;

Vanjski: ;

2) Interni: ;

(samo nemojte pokušavati da smanjite do sada! Ništa se ne vadi ispod kosinusa, sjećate se?)

3) Interni: ;

Vanjski: ;

Odmah je jasno da ovdje postoji kompleksna funkcija na tri nivoa: na kraju krajeva, ovo je već složena funkcija sama po sebi, a još uvijek izvlačimo korijen iz nje, odnosno izvodimo treću radnju (stavite čokoladu u omot i sa trakom u aktovci). Ali nema razloga za strah: u svakom slučaju, ovu funkciju ćemo „raspakovati“ istim redoslijedom kao i obično: od kraja.

Odnosno, prvo razlikujemo korijen, zatim kosinus, pa tek onda izraz u zagradama. A onda sve to pomnožimo.

U takvim slučajevima, zgodno je numerisati radnje. Odnosno, zamislimo šta znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvršiti radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:

Što se radnja izvrši kasnije, to će odgovarajuća funkcija biti "spoljašnja". Redoslijed radnji - kao i prije:

Ovdje je gniježđenje općenito na 4 nivoa. Hajde da odredimo pravac akcije.

1. Radikalni izraz. .

2. Root. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Stavljajući sve zajedno:

DERIVAT. UKRATKO O GLAVNOM

Derivat funkcije- omjer povećanja funkcije i prirasta argumenta s beskonačno malim povećanjem argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila diferencijacije:

Konstanta je uzeta iz predznaka derivacije:

Derivat sume:

Derivatni proizvod:

Derivat količnika:

Derivat kompleksne funkcije:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

1. Definiramo "internu" funkciju, pronalazimo njen izvod.
2. Definiramo "vanjsku" funkciju, pronalazimo njen izvod.
3. Množimo rezultate prve i druge tačke.