Vrlo često svjestan matematička analiza možete pronaći zadatak sa sljedećim riječima: "istraži funkciju i zaplet". Ova formulacija govori sama za sebe i dijeli zadatak u dvije faze:
- Faza 1: istraživanje funkcije;
- Faza 2: crtanje istraživane funkcije.
Prva faza je najobimnija i uključuje pronalaženje domena definicija i vrijednosti, ekstrema funkcije, prevojnih tačaka grafa, itd.
Kompletan plan istraživanja funkcije $y=f(x)$, koji prethodi cilju iscrtavanja, ima sljedeće tačke:
- Pronalaženje opsega funkcije $D_(y)$ i domene važećih vrijednosti $E_(y)$ funkcije.
- Određivanje vrste funkcije: parna, neparna, opšti pogled.
- Određivanje točaka presjeka grafa funkcije sa koordinatnim osa.
- Pronalaženje asimptota grafa funkcije (vertikalna, kosa, horizontalna).
- Pronalaženje intervala monotonosti funkcije i ekstremnih tačaka.
- Određivanje intervala konveksnosti, konkavnosti grafa i prevojnih tačaka.
Traženje domena funkcije $D_(y) $ podrazumijeva pronalaženje intervala na kojima datu funkciju postoji (definisano). U pravilu se ovaj zadatak svodi na pronalaženje ODZ-a (opseg prihvatljivih vrijednosti), na osnovu kojeg se formira $D_(y) $.
Primjer 1
Pronađite domenu funkcije $y=\frac(x)(x-1) $.
Nađimo ODZ razmatrane funkcije, tj. vrijednosti varijable za koje nazivnik ne ide na nulu.
ODZ: $x-1\ne 0\Strelica desno x\ne 1$
Napišimo domen definicije: $D_(y) =\( x\in R|x\ne 1\) $.
Definicija 1
Funkcija $y=f(x)$ je parna ako vrijedi sljedeća jednakost $f(-x)=f(x)$ $\forall x\in D_(y) $.
Definicija 2
Funkcija $y=f(x)$ je neparna ako vrijedi sljedeća jednakost $f(-x)=-f(x)$ $\forall x\in D_(y) $.
Definicija 3
Funkcija koja nije ni parna ni neparna naziva se opšta funkcija.
Primjer 2
Odredite tip funkcija: 1) $y=\frac(x)(x-1) $, 2) $y=\frac(x^(2) )(x^(2) -1) $; 3) $y=\frac(x)(x^(2) -1) $.
1) $y=\frac(x)(x-1)$
$f(-x)\ne f(x);f(-x)\ne -f(x)$, dakle, imamo opštu funkciju.
2) $y=\frac(x^(2) )(x^(2) -1) $
$f(-x)=f(x)$, dakle, imamo parnu funkciju.
3) $y=\frac(x)(x^(2) -1) $.
$f(-x)\ne -f(x)$, dakle, imamo neparnu funkciju.
Određivanje presečnih tačaka grafa funkcije sa koordinatnim osa uključuje pronalaženje presečnih tačaka: sa OX osom ($y=0$), sa OY osom ($x=0$).
Primjer 3
Pronađite tačke presjeka sa koordinatnim osama funkcije $y=\frac(x+2)(x-1) $.
- sa OX osom ($y=0$)
$\frac(x+2)(x-1) =0\Strelica desno x+2=0\Strelica desno x=-2$; dobiti bod (-2;0)
- sa OY osom ($x=0$)
$y(0)=\frac(0+2)(0-1) =-2$, dobijamo tačku (0;-2)
Na osnovu rezultata dobijenih u fazi proučavanja funkcije, gradi se graf. Ponekad tačke dobijene u prvoj fazi nisu dovoljne za iscrtavanje funkcije, tada je potrebno pronaći dodatne tačke.
Primjer 4
Istražite funkciju i izgradite njen graf: $y=x^(3) -6x^(2) +2x+1$.
- Domen definicije: $D_(y) =\( x|x\in R\) $.
- Raspon: $E_(y) =\( y|y\in R\) $.
- Parne, neparne funkcije :\ \
Opća funkcija, tj. nije ni paran ni neparan.
4) Raskrsnica sa koordinatnim osama:
sa OY osom: $y(0)=0^(3) -6\cdot 0^(2) +2\cdot 0+1=1$, dakle, graf prolazi kroz tačku (0;1).
sa OX osom: $x^(3) -6x^(2) +2x+1=0$ ( racionalni koreni ne)
5) Asimptote grafa:
Ne postoje vertikalne asimptote, jer $D_(y) =\( x|x\in R\) $
Kose asimptote će se tražiti u obliku $y=kx+b$.
$k=\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(y(x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(x^ (3) -6x^(2) +2x+1)(x) =\infty $. Dakle, nema kosih asimptota.
6) rastuća, opadajuća funkcija; ekstremi:
\ \[\begin(array)(l) (y"=0\Strelica desno 3x^(2) -12x+2=0) \\ (D=144-24=120) \\ (x_(1,2) =\frac(12\pm \sqrt(120) )(6) ) \end(niz)\]
Označavamo tačke na brojevnoj osi, stavljamo predznake prvog izvoda i bilježimo ponašanje funkcije:
Slika 1.
Funkcija se povećava za $\left(-\infty ;\frac(12-\sqrt(120) )(6) \right]$ i $\left[\frac(12+\sqrt(120) )(6) ; \ infty \right)$, smanjuje se za $\left[\frac(12-\sqrt(120) )(6) ;\frac(12+\sqrt(120) )(6) \right]$.
$x=\frac(12-\sqrt(120) )(6) $ - maksimalna tačka; $y\left(\frac(12-\sqrt(120) )(6) \right)=1,172$
$x=\frac(12+\sqrt(120) )(6) $ - minimalna tačka; $y\left(\frac(12+\sqrt(120) )(6) \right)=-23,172$
7) Konveksnost, konkavnost grafa:
\ \[\begin(array)(l) (y""=(3x^(2) -12x+2)"=6x-12) \\ (y""=0\Strelica desno 6x-12=0\Strelica desno x=2) \end(niz)\]
Označavamo tačke na brojevnoj osi, postavljamo znakove drugog izvoda i bilježimo ponašanje grafa funkcije:
Slika 2.
Graf je konveksan prema gore za $(-\infty ;2]$, prema dolje za $
8) Grafikon funkcije:
Slika 3
Izgradnja grafa funkcije po singularnim točkama uključuje proučavanje same funkcije: određivanje površine dopustivih vrijednosti argumenta, određivanje područja promjene funkcije, određivanje da li je funkcija je parna ili neparna, određivanje tačaka prekida funkcije, pronalaženje intervala predznaka konstante funkcije, pronalaženje asimptota grafa funkcije. Uz pomoć prvog izvoda moguće je odrediti intervale porasta (spadanja) funkcije, prisutnost ekstremnih tačaka. Drugi izvod se može koristiti za određivanje intervala konveksnosti (konkavnosti) grafa funkcije, kao i tačke pregiba. Takođe pretpostavljamo da ako u nekom trenutku xo tangenta na graf funkcije je iznad krive, tada graf funkcije u ovoj tački ima konveksnost; ako je tangenta ispod krive, tada graf funkcije u ovoj tački ima udubljenje.
y(x) = x³/(x²+3)
1. Funkcionalno istraživanje.
a) Raspon dozvoljenih vrijednosti argumenta: (-∞,+∞).
b) Raspon funkcije: (-∞, +∞).
c) Funkcija je neparna, jer y(-x) = -y(x), one. graf funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.
d) Funkcija je kontinuirana, nema tačaka diskontinuiteta, dakle, nema vertikalnih asimptota.
e) Pronalaženje jednačine kose asimptote y(x) = k∙x + b, gdje
k = /x I b= 
U ovom primjeru, parametri asimptote su respektivno jednaki:
k = , jer najviši stepen brojioca i imenioca su isti, jednaki su tri, a odnos koeficijenata na ovim najvećim stepenima jednak je jedan. Za x→ + ∞, treća izuzetna granica je korištena za izračunavanje granice.
b = = = 0, kada se računa granica na x→ + ∞ koristili su treću izuzetnu granicu. Dakle, graf ove funkcije ima kosu asimptotu y=x.
2.
y´= /(x²+3)² - derivacija se izračunava pomoću formule diferencijacije kvocijenta.
a) Određujemo nule izvoda i tačke diskontinuiteta, izjednačavajući, redom, brojnik i imenilac izvoda sa nulom: y´=0, ako x=0. 1. derivat nema tačaka prekida.
b) Odrediti intervale konstantnosti izvoda, tj. intervali monotonosti funkcije: at -∞
3. Istraživanje funkcije korištenjem 2. izvoda.
Koristeći formulu za diferenciranje kvocijenta i izvođenje algebarskih transformacija, dobijamo: y´´ = /(x²+3)³
a) Određujemo nule 2. derivacije i intervale konstantnosti: y´´ = 0, ako x=0 I x= + 3 . Ne postoje tačke prekida za 2. derivat.
b) Odredimo intervale konstantnosti 2. izvodnice, tj. intervali konveksnosti ili konkavnosti grafa funkcije. Na -∞
Primjer: istražite funkciju i nacrtajte je y(x)=((x-1)²∙(x+1))/x
1.Funkcionalno istraživanje.
a) Raspon prihvatljivih vrijednosti: (-∞,0)U(0,+∞).
b) Raspon funkcije: (-∞,+∞).
d) Ova funkcija ima tačku diskontinuiteta 2. vrste na x=0.
e) Pronalaženje asimptota. Jer funkcija ima tačku diskontinuiteta 2. vrste na x=0, tada funkcija ima vertikalnu asimptotu x=0. Ova funkcija nema kosih ili horizontalnih asimptota.
2.Istraživanje funkcije korištenjem 1. izvoda.
Transformiramo funkciju izvodeći sve algebarske operacije. Kao rezultat toga, oblik funkcije će biti znatno pojednostavljen: y(x)=x²-x-1+(1/x). Iz zbira članova vrlo je lako uzeti izvod i dobijamo: y´ = 2x – 1 –(1/x²).
a) Odrediti nule i tačke diskontinuiteta 1. izvoda. Dovodimo izraze za 1. izvod na zajednički imenilac i, izjednačavajući brojilac, a zatim nazivnik na nulu, dobijamo: y´=0 at x=1, y' - ne postoji kada x=0.
b) Definirajmo intervale monotonosti funkcije, tj. intervali konstantnosti predznaka derivacije. Na -∞<x<0
I 0
3.
y´´= 2 + 2/x³. Drugim izvodom određujemo intervale konveksnosti ili konkavnosti grafa funkcije, kao i, ako ih ima, tačke pregiba. Dovodimo izraz za drugi izvod na zajednički nazivnik, a zatim, izjednačavajući brojilac i imenilac redom na nulu, dobijamo: y´´=0 at x=-1, y´´- ne postoji kada x=0.
Na -∞
pirinač. 4 sl. pet
Primjer: istražite funkciju i nacrtajte je y(x) = log(x²+4x+5)
1.Funkcionalno istraživanje.
a) Raspon valjanih vrijednosti argumenta: logaritamska funkcija postoji samo za argumente koji su striktno veći od nule, dakle, x²+4x+5>0 – ovaj uslov je zadovoljen za sve vrijednosti argumenta, tj. O.D.Z. – (-∞, +∞).
b) Raspon promjene funkcije: (0, +∞). Transformišemo izraz pod znakom logaritma i izjednačavamo funkciju sa nulom: ln((x+2)²+1) =0. One. funkcija nestaje kada x=-2. Grafikon funkcije će biti simetričan u odnosu na pravu liniju x=-2.
c) Funkcija je kontinuirana, nema tačaka diskontinuiteta.
d) Graf funkcije nema asimptote.
2.Istraživanje funkcije korištenjem 1. izvoda.
Koristeći pravilo diferencijacije složene funkcije, dobijamo: y´= (2x+4)/(x²+4x+5)
a) Definirajte nule i tačke diskontinuiteta derivacije: y´=0, at x=-2. Prvi derivat nema tačaka prekida.
b) Određujemo intervale monotonosti funkcije, tj. intervali konstantnosti prvog izvoda: na -∞<x<-2
derivat y´<0,
dakle, funkcija se smanjuje; -2
3.Istraživanje funkcije s obzirom na 2. izvod.
Prvu izvedenicu predstavljamo u sljedećem obliku: y´=2∙(x+2)/(1+(x+2)²). y´´=2∙(1-(x+2)²/(1+(x+2)²)²).
a) Odredimo intervale konstantnosti drugog izvoda. Pošto je nazivnik 2. izvoda uvijek nenegativan, predznak drugog izvoda određuje samo brojnik. y´´=0 at x=-3 I x=-1.
At -∞
Primjer: Istražite funkciju i dijagram y(x) = x²/(x+2)²
1.Funkcionalno istraživanje.
a) Raspon dozvoljenih vrijednosti argumenta (-∞, -2)U(-2, +∞).
b) Područje promjene funkcije ².
a) Definirajmo nule i intervale konstantnosti drugog izvoda. Jer nazivnik razlomka je uvijek pozitivan, tada je predznak drugog izvoda u potpunosti određen brojnikom. Na -∞
Za potpunu studiju funkcije i crtanje njenog grafa, preporučuje se korištenje sljedeće sheme:
1) pronaći obim funkcije;
2) naći tačke diskontinuiteta funkcije i vertikalne asimptote (ako postoje);
3) istražiti ponašanje funkcije u beskonačnosti, pronaći horizontalne i kose asimptote;
4) istražiti funkciju za parnost (neparnost) i za periodičnost (za trigonometrijske funkcije);
5) naći ekstreme i intervale monotonosti funkcije;
6) određuje intervale konveksnosti i pregibnih tačaka;
7) pronaći tačke preseka sa koordinatnim osama, ako je moguće, i neke dodatne tačke koje preciziraju graf.
Proučavanje funkcije vrši se istovremeno sa konstrukcijom njenog grafa.
Primjer 9 Istražite funkciju i napravite graf.
1. Domen definicije: ;
2. Funkcija se prekida u tačkama 
,
;
Istražujemo funkciju prisutnosti vertikalnih asimptota.
;
,
─ vertikalna asimptota.
;
,
─ vertikalna asimptota.
3. Istražujemo funkciju prisutnosti kosih i horizontalnih asimptota.
Pravo 
─ kosa asimptota, ako 
,
.
,
.
Pravo 
─ horizontalna asimptota.
4. Funkcija je čak jer 
. Parnost funkcije ukazuje na simetriju grafa u odnosu na y-osu.
5. Naći intervale monotonosti i ekstreme funkcije.
Nađimo kritične tačke, tj. tačke u kojima je izvod 0 ili ne postoji: 
;
. Imamo tri boda 
;
. Ove tačke dijele cijelu realnu osu na četiri intervala. Hajde da definišemo znakove 
na svakom od njih.
Na intervalima (-∞; -1) i (-1; 0) funkcija raste, na intervalima (0; 1) i (1; +∞) opada. Prilikom prolaska kroz tačku 
derivacija mijenja predznak iz plusa u minus, stoga u ovom trenutku funkcija ima maksimum 
.
6. Nađimo intervale konveksnosti, tačke pregiba.
Hajde da nađemo tačke gde 
je 0 ili ne postoji.
nema prave korene. 
,
,
bodova 
I 
podijeliti realnu osu na tri intervala. Hajde da definišemo znak 
u svakom intervalu.
Dakle, kriva na intervalima 
I 
konveksan prema dole, na intervalu (-1;1) konveksan prema gore; nema pregibnih tačaka, budući da je funkcija u tačkama 
I 
nije utvrđeno.
7. Nađite tačke preseka sa osama.
sa osovinom 
graf funkcije siječe se u tački (0; -1) i sa osom 
graf se ne siječe, jer brojilac ove funkcije nema pravi korijen.
Grafikon date funkcije prikazan je na slici 1.
Slika 1 ─ Grafikon funkcije 
Primjena koncepta derivata u ekonomiji. Funkcija elastičnosti
Za proučavanje ekonomskih procesa i rješavanje drugih primijenjenih problema često se koristi koncept elastičnosti funkcije.
Definicija. Funkcija elastičnosti 
naziva se granica omjera relativnog priraštaja funkcije 
na relativni prirast varijable 
at 
, . (VII)
Elastičnost funkcije pokazuje za koliko procenata će se funkcija promijeniti 
pri promeni nezavisne varijable 
za 1%.
Elastičnost funkcije se koristi u analizi potražnje i potrošnje. Ako je elastičnost potražnje (u apsolutnoj vrijednosti) 
, tada se potražnja smatra elastičnom ako 
─ neutralno ako 
─ neelastična u odnosu na cijenu (ili prihod).
Primjer 10 Izračunajte elastičnost funkcije 
i pronađite vrijednost indeksa elastičnosti za 
= 3.
Rješenje: prema formuli (VII) elastičnost funkcije:
Neka je onda x=3 
To znači da ako se nezavisna varijabla poveća za 1%, onda će vrijednost zavisne varijable porasti za 1,42%.
Primjer 11 Neka potražnja funkcionira 
u vezi cijene 
ima oblik 
, gdje 
─ konstantni koeficijent. Odrediti vrijednost indeksa elastičnosti funkcije tražnje po cijeni x = 3 den. jedinice
Rješenje: izračunajte elastičnost funkcije potražnje koristeći formulu (VII)
Pretpostavljam 
novčane jedinice, dobijamo 
. To znači da po cijeni 
novčana jedinica povećanje cijene od 1% će uzrokovati smanjenje potražnje za 6%, tj. potražnja je elastična.
Reshebnik Kuznetsov.
III Grafikoni
Zadatak 7. Izvršiti kompletnu studiju funkcije i izgraditi njen graf.
Prije nego počnete preuzimati svoje opcije, pokušajte riješiti problem slijedeći primjer u nastavku za opciju 3. Neke od opcija su arhivirane u .rar formatu
7.3 Provesti potpunu studiju funkcije i nacrtati je
Rješenje.
1) Opseg: ili , tj. 
.
.
Dakle: .
2) Nema tačaka preseka sa osom Ox. Zaista, jednačina nema rješenja.
Ne postoje točke sjecišta sa Oy osom jer .
3) Funkcija nije ni parna ni neparna. Ne postoji simetrija oko y-ose. Nema simetrije ni oko porijekla. Jer 
.
Vidimo da i .
4) Funkcija je kontinuirana u domeni
.
; 
. 
; 
.
Dakle, tačka je tačka diskontinuiteta druge vrste (beskonačni diskontinuitet).
5) Vertikalne asimptote:
Pronađite kosu asimptotu . Evo
;
.
Dakle, imamo horizontalnu asimptotu: y=0. Nema kosih asimptota.
6) Pronađite prvi izvod. Prva izvedenica: 
.
I zato 
.
Nađimo stacionarne tačke u kojima je derivacija jednaka nuli, tj
.
7) Pronađite drugi izvod. Drugi derivat: 
.
A to je lako provjeriti, jer
Danas vas pozivamo da s nama istražite i nacrtate graf funkcije. Nakon što ste pažljivo proučili ovaj članak, nećete se morati dugo znojiti da izvršite ovakav zadatak. Nije lako istražiti i izgraditi graf funkcije, posao je obiman, zahtijeva maksimalnu pažnju i tačnost proračuna. Da bismo olakšali percepciju materijala, postupno ćemo proučavati istu funkciju, objasniti sve naše radnje i proračune. Dobrodošli u neverovatan i fascinantan svet matematike! Idi!
Domain
Da biste istražili i nacrtali funkciju, morate znati nekoliko definicija. Funkcija je jedan od osnovnih (osnovnih) pojmova u matematici. Odražava zavisnost između nekoliko varijabli (dvije, tri ili više) s promjenama. Funkcija također pokazuje ovisnost skupova.
Zamislite da imamo dvije varijable koje imaju određeni raspon promjena. Dakle, y je funkcija od x, pod uslovom da svaka vrijednost druge varijable odgovara jednoj vrijednosti druge. U ovom slučaju, varijabla y je zavisna i naziva se funkcija. Uobičajeno je reći da su varijable x i y u Radi veće jasnoće ove zavisnosti, gradi se graf funkcije. Šta je graf funkcije? Ovo je skup tačaka na koordinatnoj ravni, gdje svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y. Grafovi mogu biti različiti - ravna linija, hiperbola, parabola, sinusoida i tako dalje.
Funkcijski graf se ne može nacrtati bez istraživanja. Danas ćemo naučiti kako provesti istraživanje i nacrtati graf funkcije. Veoma je važno praviti bilješke tokom učenja. Tako će biti mnogo lakše nositi se sa zadatkom. Najpovoljniji plan učenja:
- Domain.
- Kontinuitet.
- Parno ili neparno.
- Periodičnost.
- Asimptote.
- Nule.
- Konstantnost.
- Uzlazno i silazno.
- Ekstremi.
- Konveksnost i konkavnost.
Počnimo s prvom tačkom. Nađimo domenu definicije, odnosno na kojim intervalima postoji naša funkcija: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). U našem slučaju, funkcija postoji za bilo koju vrijednost x, odnosno domen definicije je R. Ovo se može napisati kao xOR.
Kontinuitet
Sada ćemo istražiti funkciju diskontinuiteta. U matematici se termin "kontinuitet" pojavio kao rezultat proučavanja zakona kretanja. Šta je beskonačno? Prostor, vrijeme, neke ovisnosti (primjer je ovisnost varijabli S i t u problemima kretanja), temperatura zagrijanog predmeta (voda, tiganj, termometar i sl.), neprekidna linija (tj. koji se može nacrtati bez skidanja sa olovke).
Graf se smatra kontinuiranim ako se u nekom trenutku ne prekida. Jedan od najočitijih primjera takvog grafa je sinusni val, koji možete vidjeti na slici u ovom dijelu. Funkcija je kontinuirana u nekoj tački x0 ako je ispunjen niz uslova:
- funkcija je definirana u datoj tački;
- desna i lijeva granica u tački su jednake;
- granica je jednaka vrijednosti funkcije u tački x0.
Ako barem jedan uvjet nije ispunjen, kaže se da funkcija prekida. A tačke u kojima se funkcija prekida nazivaju se tačke prekida. Primjer funkcije koja će se “pokvariti” kada se prikaže grafički je: y=(x+4)/(x-3). Štaviše, y ne postoji u tački x = 3 (pošto je nemoguće podijeliti sa nulom).
U funkciji koju proučavamo (y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) sve se pokazalo jednostavnim, jer će graf biti kontinuiran.
Čak i čudno
Sada ispitajte funkciju za paritet. Počnimo s malo teorije. Parna funkcija je funkcija koja zadovoljava uvjet f (-x) = f (x) za bilo koju vrijednost varijable x (iz raspona vrijednosti). Primjeri su:
- modul x (graf izgleda kao čavka, simetrala prve i druge četvrtine grafa);
- x na kvadrat (parabola);
- kosinus x (kosinusni val).
Imajte na umu da su svi ovi grafovi simetrični kada se gledaju u odnosu na y-osu.
Šta se onda zove neparna funkcija? To su one funkcije koje zadovoljavaju uvjet: f (-x) \u003d - f (x) za bilo koju vrijednost varijable x. primjeri:
- hiperbola;
- kubna parabola;
- sinusoida;
- tangenta i tako dalje.
Imajte na umu da su ove funkcije simetrične u odnosu na tačku (0:0), odnosno ishodište. Na osnovu onoga što je rečeno u ovom dijelu članka, parna i neparna funkcija moraju imati svojstvo: x pripada skupu definicija i -x također.
Hajde da ispitamo funkciju za paritet. Vidimo da ona ne odgovara nijednom od opisa. Dakle, naša funkcija nije ni parna ni neparna.
Asimptote
Počnimo s definicijom. Asimptota je kriva koja je što je moguće bliža grafu, odnosno udaljenost od neke tačke teži nuli. Postoje tri vrste asimptota:
- vertikalno, odnosno paralelno sa y osom;
- horizontalno, tj. paralelno sa x-osom;
- koso.
Što se tiče prvog tipa, ove linije treba tražiti u nekim tačkama:
- jaz;
- krajeve domena.
U našem slučaju, funkcija je kontinuirana, a domen definicije je R. Dakle, ne postoje vertikalne asimptote.
Graf funkcije ima horizontalnu asimptotu, koja ispunjava sljedeći zahtjev: ako x teži beskonačnosti ili minus beskonačnost, a granica je jednaka određenom broju (na primjer, a). U ovom slučaju, y=a je horizontalna asimptota. U funkciji koju proučavamo nema horizontalnih asimptota.
Kosa asimptota postoji samo ako su ispunjena dva uslova:
- lim(f(x))/x=k;
- lim f(x)-kx=b.
Tada se može naći po formuli: y=kx+b. Opet, u našem slučaju nema kosih asimptota.
Funkcija nule
Sljedeći korak je ispitivanje grafika funkcije za nule. Također je vrlo važno napomenuti da se zadatak vezan za pronalaženje nula funkcije javlja ne samo u proučavanju i crtanju grafa funkcije, već i kao samostalan zadatak, te kao način rješavanja nejednakosti. Možda ćete morati pronaći nule funkcije na grafu ili koristiti matematičku notaciju.
Pronalaženje ovih vrijednosti pomoći će vam da preciznije nacrtate funkciju. Jednostavno rečeno, nula funkcije je vrijednost varijable x, pri kojoj je y = 0. Ako tražite nule funkcije na grafu, onda treba obratiti pažnju na tačke u kojima se graf seče sa x-osom.
Da biste pronašli nule funkcije, morate riješiti sljedeću jednačinu: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Nakon što izvršimo potrebne proračune, dobijamo sljedeći odgovor:
konstantnost znaka
Sljedeća faza u proučavanju i konstrukciji funkcije (grafike) je pronalaženje intervala konstantnosti predznaka. To znači da moramo odrediti na kojim intervalima funkcija uzima pozitivnu vrijednost, a na kojim intervalima negativnu vrijednost. Nule funkcija koje se nalaze u prethodnom odjeljku pomoći će nam u tome. Dakle, trebamo izgraditi pravu liniju (odvojeno od grafa) i rasporediti nule funkcije duž nje u ispravnom redoslijedu od najmanjeg do najvećeg. Sada morate odrediti koji od rezultirajućih intervala ima znak "+", a koji "-".
U našem slučaju, funkcija uzima pozitivnu vrijednost na intervalima:
- od 1 do 4;
- od 9 do beskonačnosti.
Negativno značenje:
- od minus beskonačnosti do 1;
- od 4 do 9.
Ovo je prilično lako odrediti. Zamijenite bilo koji broj iz intervala u funkciju i pogledajte koji je znak odgovor (minus ili plus).
Funkcija rastuća i opadajuća
Da bismo istražili i izgradili funkciju, moramo saznati gdje će graf porasti (ići gore na Oy), a gdje će pasti (puzati prema dolje duž y-ose).
Funkcija se povećava samo ako veća vrijednost varijable x odgovara većoj vrijednosti y. To jest, x2 je veće od x1, a f(x2) je veće od f(x1). A mi uočavamo potpuno suprotnu pojavu u opadajućoj funkciji (što je više x, to je manje y). Da biste odredili intervale povećanja i smanjenja, morate pronaći sljedeće:
- opseg (već ga imamo);
- izvod (u našem slučaju: 1/3(3x^2-28x+49);
- riješiti jednačinu 1/3(3x^2-28x+49)=0.
Nakon proračuna dobijamo rezultat:
Dobijamo: funkcija raste na intervalima od minus beskonačnosti do 7/3 i od 7 do beskonačnosti, a opada na intervalu od 7/3 do 7.
Ekstremi
Istražena funkcija y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) je kontinuirana i postoji za bilo koju vrijednost varijable x. Tačka ekstrema pokazuje maksimum i minimum ove funkcije. U našem slučaju ih nema, što uvelike pojednostavljuje zadatak izgradnje. Inače, oni se također nalaze pomoću funkcije derivacije. Nakon pronalaska, ne zaboravite ih označiti na grafikonu.
Konveksnost i konkavnost
Nastavljamo s proučavanjem funkcije y(x). Sada moramo provjeriti ima li konveksnost i konkavnost. Definicije ovih pojmova je prilično teško percipirati, bolje je sve analizirati na primjerima. Za test: funkcija je konveksna ako je neopadajuća funkcija. Slažem se, ovo je neshvatljivo!
Moramo pronaći izvod funkcije drugog reda. Dobijamo: y=1/3(6x-28). Sada izjednačavamo desnu stranu sa nulom i rješavamo jednačinu. Odgovor: x=14/3. Pronašli smo prevojnu tačku, odnosno mjesto gdje se graf mijenja iz konveksnog u konkavno ili obrnuto. Na intervalu od minus beskonačnosti do 14/3, funkcija je konveksna, a od 14/3 do plus beskonačnost je konkavna. Takođe je veoma važno napomenuti da tačka savijanja na grafikonu treba da bude glatka i mekana, da ne bi trebalo da bude oštrih uglova.
Definicija dodatnih bodova
Naš zadatak je istražiti i nacrtati graf funkcije. Studiju smo završili, sada neće biti teško iscrtati funkciju. Za precizniju i detaljniju reprodukciju krivulje ili ravne linije na koordinatnoj ravni, možete pronaći nekoliko pomoćnih točaka. Prilično ih je lako izračunati. Na primjer, uzimamo x=3, rješavamo rezultirajuću jednačinu i nalazimo y=4. Ili x=5 i y=-5 i tako dalje. Možete uzeti onoliko dodatnih bodova koliko vam je potrebno za izgradnju. Pronađeno ih je najmanje 3-5.
Plotting
Trebali smo istražiti funkciju (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Sve potrebne oznake u toku proračuna napravljene su na koordinatnoj ravni. Ostaje samo da se napravi graf, odnosno da se sve tačke međusobno povežu. Povezivanje tačaka je glatko i precizno, ovo je stvar vještine - malo vježbe i vaš raspored će biti savršen.