Ministarstvo obrazovanja i omladinske politike Čuvaške Republike

BOU DP (PK) S "Čuvaški institut za obrazovanje" Ministarstvo obrazovanja Čuvašije

Rad na kursu

izborni predmet « Tehnike i metode za rješavanje jednačina viših stupnjeva"

Napravio nastavnik matematike

MBOU „Srednja škola br. 49 sa um

proučavanje pojedinačnih predmeta"

Cheboksary

Rumjanceva Julija Izosimovna

Grad Čeboksari

Tema lekcije: Polinomski korijeni. Hornerova šema

Svrha lekcije:

naučiti kako pronaći vrijednost polinoma, njegove korijene, koristeći Bezoutovu teoremu, Hornerovu shemu;

formirati vještine i sposobnosti u pronalaženju korijena polinoma;

naučiti uopštavanje i sistematizaciju gradiva;

razviti računske vještine, koncentraciju, funkcije samokontrole;

odgajati samozahtjevnost, marljivost.

Plan lekcije:

I. Organiziranje vremena

VI. Samostalan rad

VIII. Zadaća

TOKOM NASTAVE

I. Organizacioni momenat

Informišite temu lekcije, formulišite ciljeve lekcije.

II. Aktuelizacija znanja učenika

1. Provjera domaćeg zadatka.

a) Pronađite GCD ((x 6 - 1); (x 8 - 1)) koristeći Euklidov algoritam (studentski kuvari na tabli).

Rješenje:

GCD ((x 6 - 1); (x 8 - 1)) = x 2 - 1.

Odgovori: x 2 – 1 .

b) Saznajte da li je polinom djeljiv f(x) = x 5 - 5 x 4 + 8 x 3 - 5 x 2 + x + 2 na (x - 1), (x + 1), (x - 2) (provjereno s prednje strane).

Rješenje. Po Bezoutovoj teoremi, ako f(1) = 0, onda f(x) podijeljena (x - 1). Hajde da to proverimo.

f(1) = 1 - 5 + 8 - 5 + 1 + 2 > 0, f(x) nije djeljiva sa (x - 1);
f(–1) = – 1 – 5 – 8 – 5 – 1 + 2 < 0, f(x) не делится на (x + 1);
f(2) = 32 - 80 + 64 - 20 + 4 = 0, f(x) je djeljiv sa (x - 2).

Odgovori: djeljivo sa (x - 2).

c) Polinom P(x) kada se podijeli sa (x - 1) daje ostatak od 3, a kada se podijeli sa (x - 2) daje ostatak 5. Pronađite ostatak nakon dijeljenja polinoma P(x) sa (x 2 - 3 x + 2).

(Rješenje se projektuje na platno ili unaprijed upisuje na ploču).

Rješenje.

P(x) \u003d (x - 1) Q 1 (x) + 3 (1)
P(x) \u003d (x - 2) Q 2 (x) + 5 (2)
Iz (1) i (2) slijedi da P(1) = 3, P(2) = 5.
Neka je P(x) = (x 2 – 3 x + 2) Q (x) + a x + b ili
P(x) = (x - 1) (x - 2) Q (x) + a x + b (3)

Zamjenom u (3) sukcesivno x = 1 i x = 2, dobijamo sistem jednačina iz kojeg je a = 2, b = 1.

Odgovori: 2 x + 1.

d) Za šta m i n polinom x 3 + m x + n za bilo koji x je djeljiv sa x 2 + 3 x + 10 bez ostatka.

Rješenje. Prilikom dijeljenja “uglom”, dobijamo x 3 + m x + n = (x 2 + 3 x + 10) (x - 3) + ((m - 1) x + (n + 30)).

Jer dijeljenje se vrši bez ostatka, tada (m - 1) x + (n + 30) = 0, a to je moguće (za bilo koje x) samo kada je m = 1, n = -30.

Odgovori: m = 1, n = –30.

2. Teorijski pregled

a) Kako čitati teoremu

b) Navedite primjer gdje se koristi Bezoutova teorema?

c) Kako iz pravila množenja dva polinoma pronaći vodeći koeficijent proizvoda?

d) Da li stepen ima nulti polinom?

III. Priprema za učenje novog gradiva

U polinomu, kao iu svakom doslovnom izrazu, možete zamijeniti brojeve umjesto varijable, i kao rezultat toga se pretvara u numerički izraz, odnosno, na kraju, u broj. Navedimo dvije napomene važne za rješavanje problema:

Značenjef(0)jednak je slobodnom članu polinoma.

Značenjef(1)jednak je zbiru koeficijenata polinoma.

Pronalaženje vrijednosti polinoma ne predstavlja nikakve temeljne poteškoće, međutim, proračuni u ovom slučaju mogu se pokazati prilično glomazni. Da bismo pojednostavili proračune, postoji tehnika koja se zove Hornerova šema - nazvana po engleskom matematičaru iz 16. veka. Ova šema se sastoji u popunjavanju neke tabele od dva reda.

Na primjer, za izračunavanje vrijednosti polinoma f (x) = 2 x 4 - 9 x 3 - 32 x 2 - 57 za x = 7 (to jest, da biste saznali da li je deljivo sa (x - 7) prema Bezoutovoj teoremi), morate zamijeniti broj za x 7 . Ako je f(7) = 0, onda je f(x) podijeljeno bez ostatka. Ako je f(7 ) nije jednako 0, onda je f(x) deljivo sa (x – 7) sa ostatkom. Da bismo lakše pronašli vrijednost f(7), primjenjujemo Hornerovu shemu. Popunimo tabelu od dva reda prema sljedećem algoritmu:

1. Prvo se upisuje red koeficijenata.
2. Najveći koeficijent se duplira u drugom redu, a ispred njega se stavlja vrijednost varijable (u našem slučaju broj 7), pri čemu izračunavamo vrijednost polinoma.

Ispada tabela čije prazne ćelije moraju biti popunjene.

Tabela 1

3. Ovo se radi prema jednom pravilu: za praznu ćeliju na desnoj strani, broj 2 se množi sa 7 i dodaje broju iznad prazne ćelije. Odgovor je upisan u prvu praznu ćeliju. Ovo se radi kako bi se popunile preostale prazne ćelije. Dakle, u prvu praznu ćeliju se stavlja broj 2 7 - 9 = 5, u drugu praznu ćeliju broj 5 7 - 32 = 3, u treću broj 3 7 + 0 = 21, a U zadnji se stavlja broj 21 7 - 57 = 90. Ova tabela izgleda ovako:

tabela 2

Zadnji broj drugog reda je odgovor.

komentar: program za izračunavanje vrijednosti polinoma u kompjuteru sastavlja se prema Hornerovoj shemi.

IV. Konsolidacija proučenog materijala

Razmotrimo rješenje domaće zadaće br. 1 (b) prema Hornerovoj šemi. Dakle, koristeći Hornerovu šemu, saznajte da li je polinom (x) = x 5 - 5 x 4 + 8 x 3 - 5 x 2 + x + 2 djeljiv sa (x - 1), (x + 1), (x - 2) . Ako želite provjeriti nekoliko vrijednosti, tada se za spremanje proračuna gradi jedno kombinirano kolo.

Tabela 3

U posljednjoj koloni u trećem, četvrtom i petom redu - ostatak divizije. Tada je f(x) djeljivo bez ostatka sa (x – 2), jer r = 0.

V. Pronalaženje korijena polinoma

Bezoutov teorem omogućava da se, nakon pronalaska jednog korijena polinoma, dalje traže korijeni polinoma čiji je stepen manji za jedan. Ponekad sa ovim trikom - to se zove "spuštanje stepena" - možete pronaći sve korijene polinoma.

Konkretno, odabirom jednog korijena kubna jednačina, čime se smanjuje stepen, može se u potpunosti riješiti rješavanjem rezultirajućeg kvadratna jednačina.

Prilikom rješavanja takvih problema, ista Hornerova shema je od velike koristi. Međutim, zapravo, Hornerova shema daje mnogo više: brojevi u drugom redu (ne računajući posljednji) su koeficijenti djelomičnog razdvajanja na (x - a).

Tabela 3:

Primjer 1 Pronađite korijene polinoma f (x) \u003d (x 4 - x 3 - 6 x 2 - x + 3).

Rješenje. Delitelji slobodnog člana: – 1, 1, – 3, 3 mogu biti korijeni polinoma. Za x = 1, suma koeficijenata je očigledno jednaka nuli. Dakle, x 1 = 1 je korijen. Provjerimo prema Hornerovoj shemi korijenski broj - 1 i ostale djelitelje slobodnog člana.

Tabela 4

x = -1 - korijen
drugi put x = -1 - nije korijen
provjeriti x = 3
x = 3 je korijen.
f (x) = (x + 1) (x - 3) (x 2 + x - 1), x 2 + x - 1 \u003d 0,

Komentar. Prilikom pronalaženja korijena polinoma ne treba vršiti nepotrebne egzaktne proračune u slučajevima kada očigledne grube procjene vode do željenog rezultata.
Na primjer, Hornerova shema za testiranje vrijednosti 31 i - 31 kao "korijena kandidata" polinoma x 5 - 41 x 4 + 32 x 2 - 4 x + 31 može izgledati ovako:

Tabela 5

31 i - 31 nisu korijeni polinoma x 5 - 41 x 4 + 32 x 2 - 4 x + 31.

Primjer 2 Pronađite korijene polinoma f (x) \u003d x 4 + 2 x 3 - 6 x 2 - 22 x + 55.

Rješenje. Delitelji broja 55 su: – 1, 1, – 5, 5, – 11, 11, – 55, 55. Imajte na umu da – 1 i 1 nisu korijeni polinoma. Trebali biste provjeriti ostale razdjelnike.

Komentar. Za studente je veoma važno da savladaju Hornerovu „dugu“ šemu. U ovom primjeru, "duga" shema je jednostavno zgodna.

Tabela 6

x 2 + 57 x + 3 129 = 0, nema korijena.

odgovor: nema korena.

VI. Samostalan rad

Na ploči tri osobe odlučuju za kasniju verifikaciju.

Pronađite korijene polinoma prema Hornerovoj shemi:

a) f (x) \u003d x 3 + 2 x 2 - 5 x - 6;

odgovor: – 1; 2; – 3.

b) f (x) \u003d x 5 - 5 x 4 + 6 x 3 - x 2 + 5 x - 6;

odgovor: 1; 2; 3.

c) f (x) \u003d x 4 + 12 x 3 + 32 x 2 - 8 x - 4.

odgovor:

(Provjera se vrši u parovima, daju se ocjene).

VII. Istraživanja studenti

– Ljudi, zar niste primijetili koje smo polinome najčešće analizirali na lekcijama?

(Odgovori učenika).

– Da, ovo su polinomi sa cijelim koeficijentima i sa vodećim članom k ​​= 1.

– Kakvi su bili odgovori?

(Odgovori učenika).

– Tako je, korijeni polinoma sa cjelobrojnim koeficijentima i sa najvećim članom k ​​= 1 su ili cjelobrojni, ili iracionalni, ili cjelobrojni i iracionalni, ili nemaju korijena. Zaključak zabilježite u svoje bilježnice.

VIII. Zadaća

1. br. 129 (1, 3, 5, 6) - N. Ya. Vilenkin - 10, str.
2. Naučite teoriju ove lekcije.

IX. Sumiranje lekcije i ocenjivanje

Književnost

M.L. Galitsky. Dubinsko proučavanje algebre i računa. // Prosvjeta, 1997

G.V. Dorofejev. Polinomi sa jednom promenljivom. // St. Petersburg. Specijalna literatura, 1997

N.Ya. Vilenkin. Algebra i matematička analiza. 10. razred // Prosvjetae

Objašnjenje.

Kurs je namenjen učenicima 10. razreda fizičko-matematičkog profila koji imaju dobar nivo matematičke obuke, a osmišljen je da im pomogne da se pripreme za razna takmičenja i olimpijade iz matematike, da doprinesu nastavku ozbiljnog matematičkog obrazovanja. Proširuje osnovni predmet matematike, predmetno je orijentisan i pruža studentima mogućnost da se upoznaju sa zanimljivim, nestandardnim pitanjima matematike i metodama za rešavanje jednačina viših stepeni. Kurs uključuje mogućnost diferenciranog učenja.

Usmeravajući školarce na potragu za lepim, elegantnim rešenjima rešavanja jednačina viših stepena, nastavnik na taj način doprinosi estetskom vaspitanju učenika i unapređenju njihove matematičke kulture. Predmet je nastavak udžbenika, koji omogućava podučavanje studenata kako da samostalan rad, tehnike za rješavanje jednačina viših stupnjeva. Namjerno podučavajući školarce rješavanju jednačina viših stupnjeva, treba ih naučiti da posmatraju, koriste analogiju, indukciju, poređenja i izvode odgovarajuće zaključke. Neophodno je, kroz jednačine viših stepeni, učenicima usaditi ne samo veštine logičkog zaključivanja, već i jake veštine heurističkog mišljenja.

Ciljevi i zadaci kursa.

Razvijanje interesovanja za matematiku, heurističko mišljenje.

Doprineti nastavku ozbiljnog matematičkog obrazovanja.

Naučiti kako odabrati racionalnu metodu za rješavanje problema i opravdati napravljeni izbor.

Doprinijeti formiranju naučnog stila razmišljanja.

Pripremite se za ispit.

Ovaj izborni predmet se sastoji od 34 tematska časa.

Učenici su upoznati sa svrhom i svrhom izborni predmet. Nastava obuhvata teorijski i praktični dio - predavanja, konsultacije, radionice, samostalni i istraživački rad.

Proučavanje glavnih odredbi teorije polinoma omogućava nam da generalizujemo Vietin termin za jednačine bilo kog stepena. Sposobnost izvođenja radnji dijeljenja polinoma će u budućnosti olakšati rješavanje problema iz matematičke analize.

Proučavanje Hornerove sheme i teoreme o racionalnim korijenima polinoma daje opći metod za faktoriranje bilo kojeg algebarskog izraza. Zauzvrat, sposobnost rješavanja jednačina viših stupnjeva značajno će proširiti raspon eksponencijalnih, logaritamskih, trigonometrijskih i iracionalnih jednačina i nejednačina.

Književnost

1. Galitsky M.L., Goldman A.M., Zvavich L.I. Zbirka zadataka iz algebre za 8-9 razred.

2 Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Zadaci iz matematike. Algebra.

3 Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Nestandardne metode za rješavanje jednačina i nejednačina.

4 ..Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Jednačine i nejednačine.

5. Sharygin I.F. Izborni kurs matematike.

Ciljevi i zadaci kursa 1

Literatura 4

Dodatak 6

Ciljevi lekcije:

• naučiti učenike da rješavaju jednačine viših stupnjeva korištenjem Hornerove šeme;
• razvijati sposobnost rada u paru;
• stvoriti, zajedno sa glavnim dijelovima predmeta, osnovu za razvoj sposobnosti učenika;
• pomoći učeniku da procijeni svoj potencijal, razvije interesovanje za matematiku, sposobnost razmišljanja, govora na temu.

Oprema: kartice za rad u grupama, poster sa Hornerovom šemom.

Nastavni metod: predavanje, priča, objašnjenje, izvođenje vježbi.

Oblik kontrole: provjera problema samostalnog rješavanja, samostalan rad.

Tokom nastave

1. Organizacioni momenat

2. Aktuelizacija znanja učenika

Koja teorema vam omogućava da odredite da li je broj korijen zadata jednačina(formulisati teoremu)?

Bezoutov teorem. Ostatak dijeljenja polinoma P(x) binomom x-c jednako P(c), broj c se naziva korijenom polinoma P(x) ako je P(c)=0. Teorema omogućava, bez izvođenja operacije dijeljenja, da se utvrdi da li je dati broj korijen polinoma.

Koje izjave olakšavaju pronalaženje korijena?

a) Ako je vodeći koeficijent polinoma jednak jedan, tada korijene polinoma treba tražiti među djeliteljima slobodnog člana.

b) Ako je zbir koeficijenata polinoma 0, tada je jedan od korijena 1.

c) Ako je zbir koeficijenata na parnim mjestima jednak zbiru koeficijenata na neparnim mjestima, tada je jedan od korijena jednak -1.

d) Ako su svi koeficijenti pozitivni, tada su korijeni polinoma negativni brojevi.

e) Polinom neparnog stepena ima barem jedan pravi korijen.

3. Učenje novog gradiva

Prilikom rješavanja cjeline algebarske jednačine moraju pronaći vrijednosti korijena polinoma. Ova se operacija može uvelike pojednostaviti ako se proračuni izvode prema posebnom algoritmu zvanom Hornerova shema. Ova šema je dobila ime po engleskom naučniku Williamu Georgeu Horneru. Hornerova shema je algoritam za izračunavanje kvocijenta i ostatka dijeljenja polinoma P(x) sa x-c. Ukratko, kako to funkcionira.

Neka je dat proizvoljni polinom P(x)=a 0 x n + a 1 x n-1 + ...+ a n-1 x+ a n. Podjela ovog polinoma sa x-c je njegova reprezentacija u obliku P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Privatni g (x) \u003d na 0 x n-1 + na nx n-2 + ... + na n-2 x + na n-1, gdje je na 0 = a 0, na n \u003d sv n- 1 + an , n=1,2,3,…n-1. Ostatak r (x) \u003d St n-1 + a n. Ova metoda proračuna naziva se Hornerova šema. Riječ "šema" u nazivu algoritma je zbog činjenice da se obično njegovo izvođenje formalizira na sljedeći način. Tabela prvog izvlačenja 2(n+2). U donjoj lijevoj ćeliji je upisan broj c, a u gornjem redu koeficijenti polinoma P (x). U ovom slučaju, gornja lijeva ćelija ostaje prazna.

	na 0 = a 0	u 1 \u003d sv 1 + a 1	u 2 \u003d sv 1 + ali 2		u n-1 \u003d sv n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=sv n-1 +a n

Broj, za koji se nakon izvršenja algoritma ispostavi da je zapisan u donjoj desnoj ćeliji, ostatak je dijeljenja polinoma P(x) sa x-c. Ostali brojevi na 0 , na 1 , na 2 ,… u donjem redu su koeficijenti količnika.

Na primjer: Podijelite polinom P (x) \u003d x 3 -2x + 3 sa x-2.

Dobijamo da je x 3 -2x + 3 \u003d (x-2) (x 2 + 2x + 2) + 7.

4. Konsolidacija proučenog gradiva

Primjer 1: Faktorizujte polinom P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 sa cjelobrojnim koeficijentima.

Tražimo cjelobrojne korijene među djeliteljima slobodnog člana -1: 1; -jedan. Napravimo tabelu:

X \u003d -1 - korijen

P (x) \u003d (x + 1) (2x 3 -9x 2 + 6x -1)

Provjerimo 1/2.

					X=1/2 - korijen

Stoga se polinom P(x) može predstaviti kao

P (x) = (x + 1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) \u003d (x + 1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Primjer 2: Riješite jednačinu 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Kako je zbroj koeficijenata polinoma napisanog na lijevoj strani jednadžbe jednak nuli, onda je jedan od korijena 1. Koristimo Hornerovu shemu:

						X=1 - korijen

Dobijamo P (x) = (x-1) (2x 3 -3x 2 = 2x +2). Korijene ćemo tražiti među djeliteljima slobodnog člana 2.

Saznali smo da više nema cijelih korijena. Provjerimo 1/2; -1/2.

					X \u003d -1/2 - korijen

Odgovor: 1; -1/2.

Primjer 3: Riješite jednačinu 5x 4 - 3x 3 - 4x 2 -3x + 5 = 0.

Korijene ove jednačine tražit ćemo među djeliteljima slobodnog člana 5: 1; -1; 5; -5. x=1 je korijen jednadžbe, pošto je zbir koeficijenata nula. Koristimo Hornerovu shemu:

predstavljamo jednačinu kao proizvod tri faktora: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) \u003d 0. Rješavajući kvadratnu jednačinu 5x 2 -7x+5=0, dobili smo D=49-100=-51, nema korijena.

Kartica 1

1. Faktor polinoma: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Riješite jednačinu: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

Kartica 2

1. Faktor polinoma: x 4 -x 3 -7x 2 + 13x-6
2. Riješite jednačinu: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

Kartica 3

1. Faktorizirajte: 2x 3 -21x 2 + 37x + 24
2. Riješite jednačinu: x 3 -2x 2 +4x-8=0

Kartica 4

1. Faktoriziraj: 5x 3 -46x 2 + 79x-14
2. Riješite jednačinu: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Sumiranje

Provjera znanja pri rješavanju u paru provodi se na času prepoznavanjem načina radnje i naziva odgovora.

Zadaća:

Riješite jednačine:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x + 1 \u003d 0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 \u003d 4 x 2

d) x 4 + 2x 3 -x-2 \u003d 0

Književnost

1. N.Ya. Vilenkin et al., Algebra i počeci analize 10. razred (dubinski studij matematike): Prosvjeta, 2005.
2. U.I. Sakharchuk, L.S. Sagatelova, Rješenje jednačina viših stupnjeva: Volgograd, 2007.
3. S.B. Gashkov Brojčani sistemi i njihova primjena.

1. Podijelite 5x 4 + 5 x 3 + x 2 − 11 na x − 1 koristeći Hornerovu šemu.

Rješenje:

Napravimo tabelu od dva reda: u prvi red upisujemo koeficijente polinoma 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11, poredane u opadajućem redosledu stepena varijable x. Imajte na umu da ovaj polinom ne sadrži x u prvom stepenu, tj. koeficijent prije x na prvi stepen je 0. Pošto dijelimo sa x−1, tada jedinicu upisujemo u drugi red:

Počnimo da popunjavamo prazne ćelije u drugom redu. U drugu ćeliju drugog reda upišite broj 5 , jednostavnim pomicanjem iz odgovarajuće ćelije prvog reda:

Popunite sljedeću ćeliju na sljedeći način: 1⋅ 5 + 5 = 10 :

Slično, popunite četvrtu ćeliju drugog reda: 1⋅ 10 + 1 = 11 :

Za petu ćeliju dobijamo: 1⋅ 11 + 0 = 11 :

I na kraju, za posljednju, šestu ćeliju, imamo: 1⋅ 11 + (−11)= 0 :

Problem je riješen, ostaje samo da zapišete odgovor:

Kao što vidite, brojevi koji se nalaze u drugom redu (između jedan i nule) su koeficijenti polinoma dobijenog nakon dijeljenja 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11 dalje x-1. Naravno, budući da je stepen originalnog polinoma 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11 bio je jednak četiri, a zatim stepen rezultujućeg polinoma 5 x 3 +10x 2 +11x+11 jedan manje, tj. je jednako tri. Posljednji broj u drugom redu (nula) označava ostatak dijeljenja polinoma 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11 dalje x−1.
U našem slučaju, ostatak je nula, tj. polinomi su djeljivi. Ovaj rezultat se takođe može okarakterisati na sledeći način: vrednost polinoma 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11 at x=1 je nula.
Zaključak se takođe može formulisati u sledećem obliku: pošto je vrednost polinoma 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11 at x=1 je jednako nuli, tada je jedinica korijen polinoma 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11.

2. Pronađite nepotpuni kvocijent, ostatak podjele polinoma

ALI(X) = X 3 – 2X 2 + 2X– 1 po binomu X – 1.

Rješenje:

		– 2		– 1
α = 1		– 1

odgovor: Q(x) = X 2 – X + 1 , R(x) = 0.

3. Izračunajte polinomsku vrijednost ALI(X) at X = – 1 ako ALI(X) = X 3 – 2 X – 1.

Rješenje:

			– 2	– 1
α = – 1		– 1	– 1

odgovor: ALI(– 1) = 0.

4. Izračunajte polinomsku vrijednostALI(X) at X= 3, nepotpuni količnik i ostalo, gde

ALI(X)= 4 X 5 – 7X 4 + 5X 3 – 2 X + 1.

Rješenje:

		– 7			– 2
α = 3					178	535

odgovor: R(x) = A(3) = 535, Q(x) = 4 X 4 + 5X 3 + 20X 2 + 60X +178.

5. Pronađite korijene jednadžbeX 3 + 4 X 2 + X – 6 = 0.

Rješenje:

Nalazimo djelitelje slobodnog člana ±1; ±2; ± 3; ±6

Ovdje je a = 1 (x - 1 = x - a), a koeficijenti djeljivog polinoma su jednaki, respektivno
1, 4, 1, - 6. Izrađujemo tabelu za primjenu Hornerove šeme:

Neka postoji jednostavan binom oblika ax + b = 0. Nije ga teško riješiti. Samo treba da pomerite nepoznato na jednu stranu, a koeficijente na drugu. Kao rezultat, x = - b/a. Jednačina koja se razmatra može se zakomplikovati dodavanjem kvadrata ax2 + bx + c = 0. Rješava se pronalaženjem diskriminanta. Ako je veći od nule, tada će biti dva rješenja, ako je jednak nuli, postoji samo jedan korijen, a kada je manji, onda rješenja uopće nema.

Neka sljedeći tip jednadžbe sadrži treću potenciju ax3 + bx2 + c + d = 0. Ova jednakost mnogima uzrokuje poteškoće. Iako postoje razne načine, omogućavajući rješavanje takve jednadžbe, na primjer, Kordanovu formulu, ali se više ne mogu koristiti za stupnjeve petog i višeg reda. Stoga su matematičari razmišljali o univerzalnoj metodi pomoću koje bi bilo moguće izračunati jednačine bilo koje složenosti.

Škola obično predlaže korištenje metode grupisanja i analize, u kojoj se polinom može razložiti na najmanje dva faktora. Za kubnu jednačinu možete napisati: (x - x0) (ax2 + bx + c) = 0. Tada koriste činjenicu da će proizvod biti jednak nuli samo ako mu je jednaka linearna binomna ili kvadratna jednačina. Zatim izvršite standardno rješenje. Problem u izračunavanju ove vrste redukovanih jednakosti nastaje prilikom traženja x0. Ovdje će vam pomoći Hornerova shema.

Algoritam koji je predložio Horner zapravo je ranije otkrio italijanski matematičar i doktor medicine Paolo Ruffini. On je prvi dokazao nemogućnost pronalaženja radikala u izrazima petog stepena. Ali njegov rad je sadržavao mnoge kontradikcije koje nisu dozvolile da ga matematički svijet naučnika prihvati. Na osnovu svog rada, Britanac William George Horner je 1819. godine objavio metodu za pronalaženje približnih korijena polinoma. Ovaj rad je objavilo Kraljevsko društvo i nazvan je Ruffini-Hornerova metoda.

Nakon što je Škot Augustus de Morgan proširio mogućnosti korištenja metode. Metoda je našla primjenu u odnosima teorije skupova i teoriji vjerovatnoće. U stvari, shema je algoritam za izračunavanje količnika i ostatka relacije pisanja P (x) na x-c.

Princip metode

Učenici se po prvi put upoznaju sa metodom pronalaženja korijena pomoću Hornerove sheme u višim razredima. srednja škola na času algebre. Objašnjeno je na primjeru rješavanja jednačine trećeg stepena: x3 + 6x - x - 30 = 0. Štaviše, u uslovu zadatka je dato da je korijen ove jednačine broj dva. Izazov je identificirati druge korijene.

To se obično radi na sljedeći način. Ako polinom p (x) ima korijen x0, tada se p (x) može predstaviti kao proizvod razlike x minus x nula i nekog drugog polinoma q (x), čiji će stepen biti jedan manji. Željeni polinom se obično razlikuje po metodi dijeljenja. Za ovaj primjer, jednačina će izgledati ovako: (x3 + 6x - x - 30) / (x - x2). Podjelu je najbolje uraditi "uglom". Rezultat je izraz: x 2 + 8x + 15.

Dakle, željeni izraz se može prepisati kao (x - 2) * (x 2 + 8x + 15) = 0. Dalje, da biste pronašli rješenje, trebate učiniti sljedeće:

• Pronađite korijene u prvom članu jednakosti, izjednačujući ga sa nulom: x - 2 = 0. Otuda je x = 2, što također slijedi iz uslova.
• Riješite kvadratnu jednačinu tako što ćete drugi član polinoma izjednačiti sa nulom: x 2 + 8x + 15 = 0. Korijene možete pronaći preko diskriminanta ili korištenjem Vietinih formula. Dakle, možete napisati da je (x + 3) * (x + 5) = 0, to jest, x jedan je jednako tri, a x dva - minus pet.

Sva tri korijena su pronađena. Ali ovdje se postavlja razumno pitanje, gdje se Hornerova shema koristi u primjeru? Dakle, sav ovaj glomazan proračun može se zamijeniti algoritmom rješenja velike brzine. Sastoji se od jednostavnih koraka. Prvo morate nacrtati tabelu koja sadrži nekoliko kolona i redova. Počevši od druge kolone početne linije, zapišite koeficijente u jednadžbi originalnog polinoma. U prvu kolonu upisati broj kojim će se izvršiti dijeljenje, odnosno potencijalne članove rješenja (x0).

Nakon što je odabrani x0 upisan u tabelu, popunjavanje se odvija prema sljedećem principu:

• u prvoj koloni jednostavno se ruši ono što je u gornjem elementu druge kolone;
• da biste pronašli sljedeći broj, potrebno je pomnožiti preneseni broj sa odabranim x0 i dodati vredan broj u popunjenoj koloni na vrhu;
• slične operacije se izvode do konačnog punjenja svih ćelija;
• redovi u zadnjoj koloni su jednaki nuli i biće željeno rješenje.

Za primjer koji se razmatra, kada se zamjenjuje dvojka, linija će se sastojati od niza: 2, 1, 8, 15, 0. Dakle, svi članovi su pronađeni. U ovom slučaju, shema radi za bilo koji red jednačine snage.

Primjer upotrebe

Da biste razumjeli kako koristiti Hornerovu shemu, potrebno je detaljno razmotriti tipičan primjer. Neka je potrebno odrediti višestrukost korijena x0 polinoma p (x) \u003d x 5 - 5x 4 + 7x 3 - 2x 2 + 4x - 8. Često je u problemima potrebno odabrati korijene nabrajanjem, ali da bismo uštedjeli vrijeme, pretpostavit ćemo da su oni već poznati i da ih samo treba provjeriti. Ovdje treba shvatiti da će korištenjem šeme proračun i dalje biti brži od korištenja drugih teorema ili metode redukcije.

Prema algoritmu rješenja, prije svega, morate nacrtati tabelu. Prvi red označava glavne koeficijente. Za jednačinu će biti potrebno nacrtati osam stupaca. Zatim saznajte koliko puta će x0 = 2 stati u polinom koji se proučava. U drugom redu druge kolone koeficijent se jednostavno ruši. Za slučaj koji se razmatra, to će biti jednako jedan. U susjednoj ćeliji vrijednost se izračunava kao 2 *1 -5 = -3. U sljedećem: 2 *(-3) + 7 = 1. Popunite preostale ćelije na isti način.

Kao što vidite, barem jednom se dvojka stavlja u polinom. Sada moramo provjeriti da li je to dvoje korijen najnižeg dobijenog izraza. Nakon izvođenja sličnih radnji u tabeli, treba dobiti sljedeći red: 1, -1, -1. -2, 0. Zapravo, ovo je kvadratna jednačina, koju također treba provjeriti. Kao rezultat toga, izračunata serija će se sastojati od 1, 1, 1, 0.

U posljednjem izrazu, dva ne mogu biti racionalno rješenje. To jest, u originalnom polinomu, broj dva se koristi tri puta, što znači da možete napisati: (x - 2) 3 * (x 2 + x + 1). To dvoje nije korijen kvadratni izraz može se shvatiti iz sljedećih činjenica:

• slobodni koeficijent nije djeljiv sa dva;
• sva tri koeficijenta su pozitivna, što znači da će graf nejednakosti rasti počevši od dva.

Dakle, upotreba sistema vam omogućava da se riješite upotrebe složenih brojilaca i djelitelja. Sve akcije se svode na jednostavno množenje cijelih brojeva i odabir nula.

Objašnjenje metode

Potvrda validnosti postojanja Hornerove šeme objašnjava se brojnim faktorima. Zamislite da postoji polinom trećeg stepena: x3 + 5x - 3x + 8. Iz ovog izraza, x se može izvaditi iz zagrade: x * (x2 + 5x - 3) + 8. Iz rezultirajuće formule dobijamo može ponovo izvaditi x: x * (x * (x + 5) - 3) + 8 = x * (x* ((x * 1) + 5) - 3) + 8.

U stvari, da biste izračunali rezultirajući izraz, možete zamijeniti očekivanu vrijednost x u prvoj unutrašnjoj zagradi i izvesti algebarske operacije, prema prioritetu. Zapravo, to su sve radnje koje se izvode u Horner metodi. U ovom slučaju, brojevi 8, -3, 5, 1 su koeficijenti originalnog polinoma.

Neka postoji polinom P (x) = an * xn + an -1 * x n-1 + 1x1 + a0 = 0. Ako ovaj izraz ima određeni korijen x = x0, to znači da izraz koji se razmatra može biti prepisano kao: P (x) = (x-x0) * Q(x). Ovo je posljedica Bezoutove teoreme. Ovdje je važno da će stepen polinoma Q(x) biti za jedan manji od P(x). Stoga se može zapisati u manjem obliku: P (x) = (x-x0) * (bn-1 * x n-1 + bn-2 * x n-2 + b0) = 0. Dvije konstrukcije su identično jednake jedna drugoj.

A to znači da su svi koeficijenti razmatranih polinoma jednaki, posebno (x0)b) = a0. Koristeći ovo, može se tvrditi da bez obzira na brojeve a0 i b0, x je uvijek djelitelj, to jest, a0 se uvijek može podijeliti s korijenima polinoma. Drugim riječima, pronađite racionalna rješenja.

Opšti slučaj koji objašnjava metod bi bio: an * xn + an-1 * x n-1 + ... + a1x + a0 = x * (an * x n-1 + an-1 * x n-2 + . .. + a1) + a0 = x * (x * (... (an * x + an -1)+ an-2...an-m) + a0). Odnosno, shema radi bez obzira na stepen polinoma. Ona je univerzalna. Istovremeno je pogodan i za nepotpune i za potpune jednačine. Ovo je alat koji vam omogućava da provjerite x0 za root. Ako to nije rješenje, tada će broj preostali na kraju biti ostatak dijeljenja razmatranog polinoma.

U matematici, ispravna notacija za metodu je: Pn(x) = ∑i = 0naixn−i = a0xn + a1xn ​​− 1 + a2xn − 2 +…+ an − 1x + an. U njemu se vrijednost i mijenja od nule do en, a sam polinom se dijeli sa binomom x - a. Nakon izvršenja ove radnje dobija se izraz čiji je stepen za jedan manji od prvobitnog. Drugim riječima, definira se kao n - 1.

Obračun na online kalkulatoru

Korištenje resursa koji omogućavaju pristup izračunavanju korijena viših stupnjeva polinoma je prilično zgodno. Da biste koristili takve stranice, ne morate imati posebna znanja iz matematike ili programiranja. Sve što korisniku treba je pristup Internetu i pretraživač koji podržava Java skripte.

Postoji na desetine takvih stranica. Istovremeno, neki od njih mogu tražiti i novčanu nagradu za ponuđeno rješenje. Iako je većina resursa besplatna i ne računaju samo korijene jednačine snage, ali i obezbijediti detaljno rješenje sa komentarima. Osim toga, na stranicama kalkulatora svatko se može upoznati s kratkim teorijskim materijalom i razmotriti rješavanje primjera različite složenosti. Dakle, pitanja s konceptom odakle je došao odgovor ne bi se trebala postavljati.

Od cjelokupnog skupa online kalkulatora za brojanje prema Hornerovoj shemi, mogu se razlikovati sljedeća tri:

• Kontrolni rad. Servis je namenjen srednjoškolcima, ali je po svojim mogućnostima prilično funkcionalan. Pomoću njega možete vrlo brzo provjeriti usklađenost korijena.
• Nauka. Aplikacija vam omogućava da odredite korijene pomoću Horner metode za samo dvije ili tri sekunde. Na stranici možete pronaći svu potrebnu teoriju. Da biste izvršili izračun, morate se upoznati s pravilima za unos matematičke formule koja su navedena na web stranici.
• Calc. Koristeći ovu stranicu, korisnik će moći dobiti detaljan opis rješenja sa slikom tabele. Da biste to učinili, unesite jednadžbu u poseban obrazac i kliknite na dugme "rješenje".

Programi koji se koriste za proračune imaju intuitivan interfejs i ne sadrže reklamni softver ili zlonamerni kod. Nakon nekoliko proračuna na ovim resursima, korisnik će moći samostalno naučiti kako odrediti korijene pomoću Hornerove metode.

Istovremeno, online kalkulatori su korisni ne samo za studente, već i za inženjere koji diriguju složene proračune. Uostalom, samostalni proračun zahtijeva pažnju i koncentraciju. Svaka manja greška će na kraju dovesti do pogrešnog odgovora. Istovremeno, nemoguća je pojava greške u proračunima pomoću online kalkulatora.

4x3 - 19x2 + 19x + 6 = 0

Prvo morate koristiti metodu odabira da pronađete jedan korijen. Obično je djelitelj slobodnog člana. U ovom slučaju, djelitelji broja 6 su ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 4 - 19 + 19 + 6 = 10 ⇒ broj 1

-1: -4 - 19 - 19 + 6 = -36 ⇒ broj -1 nije korijen polinoma

2: 4 ∙ 8 - 19 ∙ 4 + 19 ∙ 2 + 6 = 0 ⇒ broj 2 je korijen polinoma

Pronašli smo 1 od korijena polinoma. Koren polinoma je 2, što znači da originalni polinom mora biti djeljiv sa x - 2. Da bismo izvršili podjelu polinoma, koristimo Hornerovu shemu:

	4	-19	19	6
2

Gornji red sadrži koeficijente originalnog polinoma. U prvu ćeliju drugog reda stavljamo korijen koji smo pronašli 2. Drugi red sadrži koeficijente polinoma, koji će se dobiti kao rezultat dijeljenja. Računaju se ovako:

4 -19 19 6 2 4	U drugu ćeliju drugog reda upišite broj 1, jednostavnim pomicanjem iz odgovarajuće ćelije prvog reda.
4 -19 19 6 2 4 -11	2 ∙ 4 - 19 = -11
4 -19 19 6 2 4 -11 -3	2 ∙ (-11) + 19 = -3
4 -19 19 6 2 4 -11 -3 0	2 ∙ (-3) + 6 = 0

Posljednji broj je ostatak dijeljenja. Ako je jednako 0, onda smo sve ispravno izbrojali.

Stoga smo faktorizovali originalni polinom:

4x 3 - 19x 2 + 19x + 6 = (x - 2)(4x 2 - 11x - 3)

A sada, sve što ostaje je pronaći korijene kvadratne jednadžbe

4x2 - 11x - 3 = 0
D \u003d b 2 - 4ac = (-11) 2 - 4 ∙ 4 ∙ (-3) \u003d 169
D > 0 ⇒ jednadžba ima 2 korijena

Pronašli smo sve korijene jednadžbe.