Spor

Formula Cardano

Sporovi u srednjem vijeku oduvijek su bili zanimljiv spektakl koji je privlačio besposlene građane, mlade i stare. Teme debata bile su različite, ali nužno naučne. U isto vrijeme, nauka je značila da je ono što je uvršteno u listu takozvanih sedam slobodnih umjetnosti, naravno, teologija. Najčešći su bili teološki sporovi. Svađali su se oko svega. Na primjer, o tome da li da se prikači miša za Svetog Duha ako jede sakrament, da li bi Cuma Sibila mogla predvidjeti rođenje Isusa Krista, zašto Spasiteljeva braća i sestre nisu kanonizirani itd.
O sporu koji je trebalo da se desi između slavnog matematičara i ništa manje poznatog doktora izneta su samo najopštija nagađanja, jer niko zapravo ništa nije znao. Govorilo se da je jedan od njih prevario drugog (ko i koga tačno ne zna se). Gotovo svi koji su se okupili na trgu imali su najnejasnije ideje o matematici, ali svi su se radovali početku spora. Uvijek je bilo zanimljivo, gubitniku si se mogao smijati, bez obzira da li je bio u pravu ili ne.
Kada je sat na gradskoj vijećnici otkucao pet, kapije su se širom otvorile, a gomila je ušla u katedralu. Sa obje strane središnje linije koja spaja ulaz u oltar, podignuta su dva bočna stupa visoke stolice namenjen debatantima. Prisutni su pravili veliku buku, ne obazirući se na činjenicu da su u crkvi. Konačno, ispred gvozdene rešetke koja je ikonostas odvajala od ostatka centralnog broda, pojavio se gradski glasnik u crno-purpurnom ogrtaču i oglasio: „Prečasni građani grada Milana! Sada će pred vama govoriti poznati matematičar Niccolò Tartaglia iz Brenije. Njegov protivnik je trebao biti matematičar i liječnik Geronimo Cardano. Niccolo Tartaglia optužuje Cardana da je posljednji u svojoj knjizi "Ars magna" objavio metodu za rješavanje jednačine 3. stepena, koja pripada njemu, Tartaglii. Međutim, sam Cardano nije mogao doći u spor i zato je poslao svog učenika Luigea Ferrarija. Dakle, debata se proglašava otvorenom, njeni učesnici se pozivaju da predsjedavaju. Nezgodan muškarac grbavog nosa i kovrdžave brade popeo se na propovjedaonicu lijevo od ulaza, a mladić u ranim dvadesetim godinama, lijepog samouvjerenog lica, popeo se na suprotnu propovjedaonicu. Čitavo njegovo držanje pokazivalo je potpuno povjerenje da će svaki njegov gest i svaka njegova riječ biti primljena sa oduševljenjem.
Tartaglia je počeo.

Poštovani! Znate da sam prije 13 godina uspio da nađem način da riješim jednačinu 3. stepena, a onda sam ovom metodom dobio spor sa Fiorijem. Moj metod je privukao pažnju vašeg sugrađanina Cardana, koji je iskoristio svu svoju lukavu umjetnost da izvuče tajnu iz mene. Nije se zaustavio na obmanama ili otvorenim falsifikatima. Također znate da je prije 3 godine u Nirnbergu objavljena Cardanova knjiga o pravilima algebre, gdje je moja metoda, tako besramno ukradena, stavljena na raspolaganje svima. Izazvao sam Cardana i njegovog učenika na takmičenje. Ponudio sam da riješim 31 zadatak, isto toliko su mi ponudili i moji protivnici. Rok za rješavanje problema bio je 15 dana. Uspio sam za 7 dana riješiti većinu problema koje su sastavili Cardano i Ferrari. Odštampao sam ih i poslao kurirskom službom u Milano. Međutim, morao sam čekati cijelih pet mjeseci dok nisam dobio odgovore na svoje probleme. Nisu bili tačni. To mi je dalo razloga da obojicu izazovem na javnu raspravu.

Tartaglia je ćutao. Mladić, gledajući nesretnog Tartagliu, reče:

Poštovani! Moj dostojni protivnik dozvolio je sebi već u prvim riječima svog govora da izrazi toliko kleveta na mene i mog učitelja, njegova argumentacija je bila toliko neutemeljena da bi mi teško trebalo da pobijem prvo i pokažem vam nedosljednost drugog. Prije svega, o kakvoj obmani možemo govoriti ako je Niccolo Tartaglia potpuno dobrovoljno podijelio svoju metodu sa nama obojici? A evo kako Geronimo Cardano piše o ulozi mog protivnika u otkriću algebarskog pravila. Kaže da ne njemu, Cardanu, „već mom prijatelju Tartaglia pripada čast da otkrije tako lijepu i nevjerovatnu, nadmašujuću ljudsku duhovitost i sve talente ljudskog duha. Ovo otkriće je zaista nebeski dar, tako odličan dokaz snage uma koji ga je shvatio, da se ništa za njega ne može smatrati nedostižnim.”
Moj protivnik je optužio mene i mog učitelja da smo navodno dali pogrešno rješenje za njegove probleme. Ali kako korijen jednadžbe može biti pogrešan, ako zamjenom u jednadžbu i izvođenjem svih radnji propisanih u ovoj jednačini dolazimo do identiteta? A već ako senjor Tartaglia želi biti dosljedan, onda je morao odgovoriti na opasku zašto smo mi, koji smo ukrali, ali po njegovim riječima, njegov izum i koristeći ga za rješavanje predloženih problema, dobili pogrešno rješenje. Mi – moj učitelj i ja – ne smatramo, međutim, da je izum sinjora Tartaglije nevažan. Ovaj izum je divan. Štaviše, u velikoj meri oslanjajući se na njega, pronašao sam način da rešim jednačinu 4. stepena, o čemu u "Ars magni" govori moj učitelj. Šta Senor Tartaglia želi od nas? Šta on pokušava postići sporom?
Gospodo, gospodo, - poviče Tartaglia, - molim vas da me saslušate! Ne poričem da je moj mladi protivnik veoma jak u logici i elokvenciji. Ali ovo ne može zamijeniti pravi matematički dokaz. Zadaci koje sam dao Cardanu i Ferrariju nisu ispravno riješeni, ali ću to dokazati. Zaista, uzmimo, na primjer, jednačinu među onima koji su je riješili. Poznato je...

U crkvi se digla nezamisliva buka koja je potpuno progutala kraj fraze koju je započeo nesrećni matematičar. Nije mu bilo dozvoljeno da nastavi. Publika je tražila da ućuti i da red dođe na Ferrari. Tartaglia, vidjevši da je nastavak spora potpuno beskoristan, žurno se spustio s propovjedaonice i izašao kroz sjeverni trijem na trg. Publika je navijala za "pobjednika" debate Luigija Ferarija.
Time je okončan ovaj spor, koji do danas izaziva sve više sporova. Ko zapravo posjeduje način rješavanja jednačine 3. stepena? Sada razgovaramo - Niccolo Tartaglia. On je otkrio, a Cardano je izvukao ovo otkriće iz njega. A ako sada formulu koja predstavlja korijene jednadžbe 3. stepena kroz njene koeficijente nazovemo Cardano formulom, onda je to istorijska nepravda. Međutim, da li je to nepravedno? Kako izračunati mjeru učešća u otkriću svakog od matematičara? Možda će s vremenom neko moći sa sigurnošću odgovoriti na ovo pitanje, ili će možda ostati misterija ...

Formula Cardano

Ako koristimo moderni matematički jezik i moderni simbolizam, onda se izvođenje Cardano formule može pronaći koristeći sljedeće u najviši stepen elementarna razmatranja:
Neka nam bude dato opšta jednačina 3. stepen:

Ako stavimo , onda svodimo jednadžbu (1) na oblik

, (2)

gdje, .
Uvodimo novu nepoznatu pomoću jednakosti .
Uvodeći ovaj izraz u (2), dobijamo

. (3)

Odavde
,

shodno tome,
.

Ako se brojnik i imenilac drugog člana pomnoži sa izrazom i uzmite u obzir da se rezultirajući izraz za pokaže simetričnim u odnosu na znakove "" i "", onda konačno dobijamo

(Proizvod kubnih radikala u posljednjoj jednakosti mora biti jednak ).
Ovo je poznata Cardano formula. Ako idemo od ponovo do , onda ćemo dobiti formulu koja određuje korijen opšte jednadžbe 3. stepena.
Mladić koji se tako nemilosrdno odnosio prema Tartaglii, razumio je matematiku jednako lako kao što je razumio prava nepretencioznog misterija. Ferrari pronalazi način da riješi jednačinu 4. stepena. Cardano je ovu metodu uključio u svoju knjigu. Šta je ovo metoda?
Neka bude
- (1)

Opšta jednačina 4. stepena.
Ako stavimo , tada se jednačina (1) može svesti na oblik

, (2)

gdje su , , neki koeficijenti u zavisnosti od , , , , . Lako je vidjeti da se ova jednačina može napisati u sljedećem obliku:

. (3)

Zaista, dovoljno je otvoriti zagrade, tada se svi članovi koji sadrže , poništavaju, i vratit ćemo se na jednačinu (2).
Parametar biramo tako da desna strana jednadžbe (3) bude savršen kvadrat u odnosu na . Kao što je poznato, neophodno dovoljno stanje ovo je nestajanje diskriminanta iz koeficijenata trinoma (u odnosu na ) desno:
. (4)

Dobili smo kompletnu kubnu jednačinu koju već možemo riješiti. Nađimo neki njegov korijen i dodajmo ga jednačini (3), sada će poprimiti oblik

Odavde
.

Ovo je kvadratna jednadžba. Njegovim rješavanjem može se pronaći korijen jednadžbe (2), a samim tim i (1).
4 mjeseca prije Cardanove smrti završio je svoju autobiografiju kojom je intenzivno pisao cijeli Prošle godine i što je trebalo da sumira njegovo težak život. Osjetio je približavanje smrti. Prema nekim izvještajima, njegov vlastiti horoskop povezao je njegovu smrt s njegovim 75. rođendanom. Umro je 21. septembra 1576. godine, 2 dana prije godišnjice. Postoji verzija da je izvršio samoubistvo u iščekivanju neposredne smrti, ili čak da potvrdi horoskop. U svakom slučaju, Cardano, astrolog, ozbiljno je shvatio horoskop.

Napomena o Cardanovoj formuli

Analizirajmo formulu za rješavanje jednadžbe u stvarnom području. dakle,
.

Simonyan Albina

U radu se razmatraju tehnike i metode rješavanja kubnih jednadžbi. Primjena Cardano formule za rješavanje zadataka u pripremi za ispit iz matematike.

Skinuti:

Pregled:

MOU DOD Palata stvaralaštva za djecu i mlade

Don akademija nauka za mlade istraživače

Sekcija: matematika - algebra i teorija brojeva

Istraživanja

"Hajde da pogledamo u svijet formula"

na ovu temu "Rješenje jednačina 3. stepena"

Rukovodilac: nastavnica matematike Babina Natalya Alekseevna

G.Salsk 2010

Uvod …………………………………………………………………………………………….3
Glavni dio……………………………………………………………………….4
Praktični dio……………………………………………………………10-13
Zaključak…………………………………………………………………………………………………….14
Literatura………………………………………………………………………………………..15
Prijave

1. Uvod

Matematičko obrazovanje stečeno u opšteobrazovnim školama je bitna komponenta opšte obrazovanje i opštu kulturu savremeni čovek. Gotovo sve što čovjeka okružuje je na ovaj ili onaj način povezano s matematikom. A najnovija dostignuća u fizici, tehnologiji, informacionim tehnologijama ne ostavljaju sumnju da će u budućnosti stanje stvari ostati isto. Stoga se rješavanje mnogih praktičnih problema svodi na rješavanje raznih vrsta jednadžbi koje treba naučiti rješavati. Linearne jednadžbe prvi stepen, učili smo da rešavamo u prvom razredu i nismo pokazivali veliko interesovanje za njih. Zanimljivije su nelinearne jednačine - jednačine velikih stupnjeva. Matematika otkriva red, simetriju i sigurnost, a to su najviši oblici ljepote.

Svrha mog projekta “Zavirimo u svijet formula” na temu “Rješenje kubnih jednačina trećeg stepena” je da sistematiziram znanje o tome kako se rješavaju kubične jednačine, da utvrdi činjenicu postojanja formule za pronalaženje korijene jednadžbe trećeg stepena, kao i odnos između korijena i koeficijenata u kubnoj jednadžbi. U učionici smo rješavali jednačine, kubične i stupnjeve veće od 3. Rješavajući jednačine različitim metodama, sabirali smo, oduzimali, množili, dijelili koeficijente, podizali ih na stepen i iz njih izvlačili korijene, ukratko, izvodili algebarske operacije. Postoji formula za rješavanje kvadratnih jednadžbi. Postoji li formula za rješavanje jednačine trećeg stepena, tj. indikacije kojim redoslijedom i koje algebarske operacije moraju biti izvedene s koeficijentima da bi se dobili korijeni. Postalo mi je zanimljivo znati da li su poznati matematičari pokušali pronaći opću formulu prikladnu za rješavanje kubnih jednačina? A ako su pokušali, da li su mogli dobiti izraz korijena u smislu koeficijenata jednačine?

2. Glavno tijelo:

U tim dalekim vremenima, kada su mudraci prvi put počeli razmišljati o jednakostima koje sadrže nepoznate količine, vjerovatno još nije bilo kovanica ili novčanika. U drevnim matematički problemi Mesopotamija, Indija, Kina, Grčka, nepoznate količine iskazivale su broj paunova u bašti, broj bikova u stadu, ukupnost stvari koje se uzimaju u obzir prilikom podjele imovine. Izvori koji su došli do nas ukazuju da su drevni naučnici posedovali neke opšte metode za rešavanje problema sa nepoznatim količinama. Međutim, niti jedan papirus, niti jedna glinena ploča ne daje opis ovih tehnika. Izuzetak je "Aritmetika" grčkog matematičara Diofanta iz Aleksandrije (III vek) - zbirka zadataka za sastavljanje jednačina sa sistematskim prikazom njihovih rešenja. Međutim, rad bagdadskog učenjaka iz 9. stoljeća postao je prvi priručnik za rješavanje problema koji je postao široko poznat. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi.

Ovako sam došao na ideju da napravim projekat „Zavirimo u svijet formula...“, osnovna pitanja ovog projekta su bila:

utvrđivanje da li postoji formula za rješavanje kubnih jednačina;
u slučaju pozitivnog odgovora, traženje formule koja izražava korijene kubične jednadžbe u terminima konačnog broja algebarskih operacija nad njenim koeficijentima.

Budući da se u udžbenicima i drugim knjigama iz matematike većina rasuđivanja i dokaza ne izvodi na konkretnim primjerima, već u opšti pogled, onda sam odlučio potražiti konkretne primjere koji potvrđuju ili opovrgavaju moju ideju. U potrazi za formulom za rješavanje kubnih jednadžbi odlučio sam slijediti poznate algoritme za rješavanje kvadratnih jednadžbi. Na primjer, rješavanje jednadžbe x 3 + 2x 2 - 5x -6=0 odabrali punu kocku primjenom formule (x + a) 3 \u003d x 3 + 3x 2 a + 3a 2 x + a 3 . Da odaberem punu kocku s lijeve strane jednačine koju sam uzeo, pretvorio sam 2x u nju 2 u 3x 2 i one. Tražio sam takav, tako da je jednakost istinita 2x 2 = 3x 2 a . Bilo je lako izračunati da je a = . Transformisan lijevu stranu ove jednačinekako slijedi: x 3 + 2x 2 -5x-6=0

(x 3 + 3x 2 a + 3x. +) - 3x. - - 5x - 6= (x+) 3 - 6x - 6 Napravio sam zamjenu y \u003d x +, tj. x = y - y 3 - 6(y -) - 6=0; u 3 - 6y + 4- 6=0; Originalna jednadžba je imala oblik: 3 - 6y - 2=0; Ispostavilo se da jednačina nije baš lijepa, jer umjesto cjelobrojnih koeficijenata sada imam razlomke, iako je član jednadžbe koja sadrži kvadrat nepoznate nestao! Jesam li bliže svom cilju? Na kraju krajeva, ostao je termin koji sadrži prvu moć nepoznatog. Možda je trebalo odabrati punu kocku da nestane izraz - 5x? (x+a) 3 \u003d x 3 + 3x 2 a + 3a 2 x + a 3 . Našao nešto ovako 3a 2 x \u003d -5x; one. na 2 = - Ali onda je ispalo prilično loše - u ovoj jednakosti, na lijevoj strani je pozitivan broj a desno negativan. Takve jednakosti ne može biti. Do sada nisam uspio riješiti jednačinu, mogao sam je samo dovesti u formu 3 - 6y - 2=0.

Dakle, rezultat rada koji sam uradio u početnoj fazi: uspeo sam da iz kubične jednačine uklonim termin koji sadrži drugi stepen, tj. ako je dato kanonska jednačina Oh 3 +u 2 + cx + d, onda se može svesti na nepotpunu kubnu jednačinu x 3 +px+q=0. Nadalje, radeći sa različitom referentnom literaturom, uspio sam saznati da je jedna jednačina oblika x 3 + px \u003d q uspio riješiti talijanski matematičar Dal Ferro (1465-1526). Zašto za ovu a ne za takvu vrstu x 3 + px + q \u003d 0? Ovo jer tada negativni brojevi još nisu bili uvedeni i jednadžbe su razmatrane samo sa pozitivnim koeficijentima. I negativni brojevi su prepoznati nešto kasnije.Istorijat:Dal Ferro je odabrao brojne opcije po analogiji s formulom korijena reduciranog kvadratna jednačina. On je razmišljao ovako: korijen kvadratne jednačine je - ± tj. ima oblik: x=t ± . To znači da bi korijen kubične jednačine trebao biti i zbir ili razlika nekih brojeva, a vjerovatno bi među njima trebao biti i korijen trećeg stepena. Koje tačno? Od brojnih opcija, jedna se pokazala uspješnom: pronašao je odgovor u obliku razlike - Još je teže bilo pogoditi da t i u treba izabrati tako da =. Zamjena umjesto x razlike -, a umjesto p proizvoda primljeno: (-) 3 +3 (-)=q. Otvorene zagrade: t - 3 +3- u+3- 3=q. Nakon donošenja sličnih pojmova, dobili smo: t-u=q.

Rezultirajući sistem jednačina je:

t u = () 3 t-u=q. Podignimo desno i lijevokvadrirajte dijelove prve jednadžbe i pomnožite drugu jednačinu sa 4 i dodajte prvu i drugu jednačinu. 4t 2 +2tu +u 2 =q 2 +4() 3 ; (t+u) 2 =4()+() 3 t+u =2 Od novi sistem t+u=2 ; t -u=q imamo: t= + ; u= - . Zamjenom izraza umjesto x, dobili smoTokom rada na projektu naučio sam najzanimljivije materijale. Ispostavilo se da Dal Ferro nije objavio metodu koju je pronašao, ali su neki od njegovih učenika znali za ovo otkriće, a ubrzo je jedan od njih, Antonio Fior, odlučio da ga iskoristi.U tim godinama javne rasprave o naučnim pitanjima bile su uobičajene. Pobjednici takvih sporova obično su dobivali dobru nagradu, često su pozivani na visoke položaje.

U isto vrijeme, u italijanskom gradu Veroni živio je siromašni učitelj matematike Nicolo (1499-1557), zvani Tartaglia (tj. mucavac). Bio je veoma talentovan i uspeo je da ponovo otkrije Dal Ferrovu tehniku (Prilog 1).Odvio se duel između Fiorea i Tartaglie. Prema uslovu, rivali su razmijenili tridesetak problema za čije je rješenje dato 50 dana. Ali pošto Fior je u suštini znao samo jedan problem i bio je siguran da ga neki nastavnik ne može riješiti, a onda se ispostavilo da je svih 30 zadataka istog tipa. Tartaglia ih je riješio za 2 sata. Fiore, s druge strane, nije mogao riješiti nijedan zadatak koji je predložio neprijatelj. Pobjeda je proslavila Tartagliu u cijeloj Italiji, ali problem nije u potpunosti riješen. .

Sve je to uradio Gerolamo Cardano. Sama formula koju je otkrio Dal Ferro i ponovo otkrio Tartaglia zove se Cardano formula (Dodatak 2).

Cardano Girolamo (24. septembar 1501. - 21. septembar 1576.) je bio italijanski matematičar, mehaničar i lekar. Rođen u Paviji. Studirao je na univerzitetima u Paviji i Padovi. U mladosti se bavio medicinom. Godine 1534 postao profesor matematike u Milanu i Bolonji. U matematici se ime Cardano obično povezuje sa formulom za rješavanje kubne jednadžbe koju je posudio od N. Tartaglie. Ova formula je objavljena u Cardanovoj Velikoj umjetnosti, ili O pravilima algebre (1545). Od tada su Tartaglia i Cardano postali smrtni neprijatelji. Ova knjiga sistematski prikazuje Cardanove moderne metode za rješavanje jednačina, uglavnom onih kubičnih. Cardano završen linearna transformacija, što omogućava da se kubična jednačina svede na oblik bez člana 2. stepena i ukazuje na zavisnost između korena i koeficijenata jednačine, deljivosti polinoma razlikom x – a, ako je a njegov koren. Cardano je bio jedan od prvih u Evropi koji je priznao postojanje negativnih korijena jednadžbi. U njegovom radu po prvi put se pojavljuju imaginarne veličine. U mehanici, Cardano je proučavao teoriju poluga i utega. Jedno od pomicanja segmenta duž strana pravi ugao mehaničari kardu nazivaju novim pokretom. Dakle, prema Cardano formuli, mogu se riješiti jednadžbe oblika x 3 + px + q \u003d 0 (Dodatak 3)

Čini se da je problem riješen. Postoji formula za rješavanje kubnih jednadžbi.

Evo je!

Izraz ispod korena - diskriminatorno. D = () 2 + () 3 Odlučio sam da se vratim na svoju jednadžbu i pokušam da je rešim koristeći Cardanoovu formulu: Moja jednačina je: 3 - 6y - 2=0, gdje je p= - 6=-; q = - 2 = - . Lako je izračunati da () 3 ==- i () 2 ==, () 2 + () 3 = = - = - . pa? Iz brojnika ovog razlomka, lako sam izvukao korijen, ispalo je 15. A šta da radim sa imeniocem? Ne samo da korijen nije u potpunosti izvučen, nego i da se izvuče - onda mora biti iz negativnog broja! Sta je bilo? Može se pretpostaviti da ova jednadžba nema korijen, jer za D Dakle, u toku rada na projektu naišao sam na još jedan problem.Sta je bilo? Počeo sam pisati jednadžbe koje imaju korijen, ali ne sadrže izraz kvadrata nepoznatog:

napravio jednadžbu koja ima korijen x = - 4.

x 3 + 15x + 124 = 0 I zaista, provjerom sam se uvjerio da je -4 korijen jednačine. (-4) 3 +15*(-4)+124=- 64 – 60 +124=0,

Provjerio sam da li se ovaj korijen može dobiti pomoću Cardano formule x=+=+= =1- 5 =- 4

Primljeno, x = -4.

napravio drugu jednadžbu koja ima pravi korijen x = 1: x 3 + 3x - 4 = 0 i provjerio formulu.

I u ovom slučaju formula je radila besprijekorno.

pokupio jednačinu x 3 +6x+2=0, koji ima jedan iracionalni korijen.

Odlučivanje zadata jednačina, dobio sam ovaj korijen x = - I tada sam imao pretpostavku: formula radi ako jednačina ima samo jedan korijen. A moja jednačina, čije me je rješenje dovelo u ćorsokak, imala je tri korijena! Tu treba tražiti uzrok!Sada sam uzeo jednačinu koja ima tri korijena: 1; 2; -3. x 3 – 7x +6=0 p= -7; q = 6. Provjeren diskriminanta: D = () 2 + () 3 = () 3 + (-) 3 = 9 -

Kao što sam i sumnjao, kvadratni korijen se opet pokazao kao negativan broj. došao sam do zaključka:put do tri korijena jednačine x 3 +px+q=0 vodi kroz nemoguću operaciju uzimanja kvadratnog korijena negativnog broja.

Sada mi ostaje da saznam s čime ću se suočiti u slučaju kada jednačina ima dva korijena. Odabrao sam jednačinu koja ima dva korijena: x 3 - 12 x + 16 = 0. p = -12, q \u003d 16.

D=() 2 +() 3 =() 2 +() 3 \u003d 64-64 \u003d 0 D \u003d 64 - 64 \u003d 0. Sada se može zaključiti da je broj korijena kubične jednadžbe oblika x 3 + px + q \u003d 0 zavisi od predznaka diskriminanta D=() 2 +() 3 na sljedeći način:

Ako je D>0, onda jednačina ima 1 rješenje.

Ako je D

Ako je D=0, onda jednačina ima 2 rješenja.

Potvrdu svog zaključka našao sam u priručniku o matematici, autora N. I. Bronshteina. Dakle, moj zaključak: Cardanova formula se može koristiti kada smo sigurni da je korijen jedinstven. meni uspio ustanoviti da postoji formula za pronalaženje korijena kubične jednadžbe, ali za oblik x 3 + px + q \u003d 0.

3. Praktični dio.

Rad na projektu „… puno mi je pomogao u rješavanju nekih problema sa parametrima. Na primjer:1. Za koja je najmanja prirodna vrijednost a jednačina x 3 -3x+4=a ima 1 rješenje? Jednačina je prepisana u obliku x 3 -3x+4-a=0; p= -3; q=4-a. Po uslovu mora imati 1 rješenje tj. D>0 Pronađite D. D=() 2 +(-) 3 = +(-1) 3 = == a 2 -8a+12>0

A (-∞;2) (6;∞)

Najmanja prirodna vrijednost a u ovom intervalu je 1.

Odgovori. jedan

2. Na šta najveća prirodna vrijednost parametra a jednačina x 3 + x 2 -8x+2-a=0 ima tri korijena?

Jednačina x 3 +3x 2 -24x + 6-3a = 0 dovodimo do oblika y 3 + ru + q=0, gdje je a=1; at=3; c=-24; d=6-3a gdje je q= - + i 3 p = q=32-3a; p=-27. Za ovu vrstu jednadžbe D=() 2 + () 3 =() 2 +(-9) 3 = -729 =; D 2 -4 *9* (-1892) = 36864 + 68112 = 324 2 i 1 = ==28, i 2 == - = -7.

+_ . __-___ . _+

7 28

A (-7; 28)

Najveća prirodna vrijednost a iz ovog intervala: 28.

Odgovor.28

3. Ovisno o vrijednostima parametra a, pronađite broj korijena jednadžbe x 3 - 3x - a \u003d 0

Rješenje. U jednačini, p = -3; q = -a. D=() 2 + () 3 =(-) 2 +(-1) 3 = -1=.

_+ . __-__ . _+

Za a (-∞;-2) (2;∞) jednačina ima 1 rješenje;

Kada je a (-2; 2) jednadžba ima 3 korijena;

Kada je \u003d -2; Jednačina 2 ima 2 rješenja.

testovi:

1. Koliko korijena imaju jednačine:

1) x 3 -12x+8=0?

a) 1; b) 2; u 3; d)4

2) x 3 -9x+14=0

a) 1; b) 2; u 3; d)4

2. Pri kojim vrijednostima p jednačina x 3 +px+8=0 ima dva korijena?

a) 3; b) 5; u 3; d)5

Odgovor: 1.d) 4

2.c) 3.

3.c)-3

Francuski matematičar Francois Viet (1540-1603) 400 godina prije nas (Dodatak 4) uspio je uspostaviti vezu između korijena jednačine drugog stepena i njihovih koeficijenata.

X 1 + x 2 \u003d -p;

X 1 ∙x 2 \u003d q.

Postalo mi je interesantno da saznam: da li je moguće uspostaviti vezu između korena jednačine trećeg stepena i njihovih koeficijenata? Ako da, kakva je to veza? Tako je nastao moj mini projekat. Odlučio sam iskoristiti svoje postojeće kvadratne vještine da riješim svoj problem. delovao po analogiji. Uzeo sam jednačinu x 3 +px 2 +qh+r =0. Ako označimo korijene jednadžbe x 1, x 2, x 3 , tada se jednačina može napisati u obliku (x-x 1) (x-x 2) (x-x 3 )=0 Proširujući zagrade, dobijamo: x 3 - (x 1 + x 2 + x 3) x 2 + (x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3) x - x 1 x 2 x 3 \u003d 0. Dobio sam sledeci sistem:

X 1 + x 2 + x 3 \u003d - p;

X 1 x 2 x 3 = - r.

Stoga se korijeni jednačina proizvoljnog stepena mogu povezati sa njihovim koeficijentima.Šta se, u pitanju koje me zanima, može izvući iz Vietine teoreme?

1. Proizvod svih korijena jednadžbe jednak je modulu slobodnog člana. Ako su korijeni jednadžbe cijeli brojevi, onda oni moraju biti djelitelji slobodnog člana.

Vratimo se na x jednačinu. 3 + 2x 2 -5x-6=0. Cijeli brojevi moraju pripadati skupu: ±1; ±2; ±3; ±6. Slijedom zamjenom brojeva u jednačinu, dobijamo korijene: -3; -jedan; 2.

2. Ako ovu jednačinu riješite faktoriranjem, Vietin teorem daje "nagoveštaj":potrebno je da se pri sastavljanju grupa za proširenje pojave brojevi - djelitelji slobodnog člana. Jasno je da možda nećete naučiti odmah, jer nisu svi djelitelji korijeni jednadžbe. I, nažalost, možda uopće neće uspjeti - na kraju krajeva, korijeni jednadžbe možda nisu cijeli brojevi.

Riješite jednačinu x 3 +2x 2 -5x-6=0 faktorizacija. X 3 + 2x 2 -5x-6 \u003d x 3 + (3x 2 - x 2) -3x-2x-6 \u003d x 2 (x + 3) - x (x + 3) - 2 (x + 3) \u003d (x + 3) (x 2 -x-2) \u003d = (x + 3) (x 2 + x -2x -2) \u003d (x + 3) (x (x + 1) -2 (x + 1)) = (x + 2) (x + 1) (x-2) Originalna jednačina je ekvivalentno ovome: ( x+2)(x+1)(x-2)=0. A ova jednadžba ima tri korijena: -3; -1; 2. Koristeći "nagoveštaj" Vietine teoreme, riješio sam sljedeću jednačinu: x 3 -12x+16=0 x 1 x 2 x 3 = -16. Delitelji slobodnog člana: ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. X 3 -12x + 16 \u003d x 3 -4x-8x + 16 = (x 3 -4x) - (8x-16) = x (x 2 -4)-8(x-2)=x(x-2)(x+2)-8(x-2)=

\u003d (x-2) (x (x + 2) -8) = (x-2) (x 2 + 2x-8) (x-2) (x 2 + 2x-8) \u003d 0 x- 2 \u003d 0 ili x 2 +2x-8=0 x=2 x 1 =-4; x 2 \u003d 2. Odgovori. -4; 2.

3. Poznavajući rezultujući sistem jednakosti, možete pronaći nepoznate koeficijente jednačine iz korijena jednačine.

testovi:

1. Jednačina x 3 + px 2 + 19x - 12=0 ima korijene 1, 3, 4. Pronađite koeficijent p; Odgovori. a) 12; b) 19; u 12; d) -8 2. Jednačina x 3 - 10 x 2 + 41x + r=0 ima korijene 2, 3, 5. Pronađite koeficijent r; Odgovori. a) 19; b) -10; c) 30; d) -30.

Zadaci za primenu rezultata ovog projekta u dovoljnim količinama nalaze se u priručniku za studente koji je uredio M.I.Skanavi. Poznavanje Vietine teoreme može biti od neprocjenjive pomoći u rješavanju takvih problema.

№6.354

4. Zaključak

1. Postoji formula koja izražava korijene algebarska jednačina kroz koeficijente jednačine: gdje je D==() 2 + () 3 D>0, 1 rješenje. Formula Cardano.

2. Svojstvo korijena kubne jednadžbe

X 1 + x 2 + x 3 \u003d - p;

X 1 . x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = q;

X 1 x 2 x 3 = - r.

Kao rezultat, došao sam do zaključka da postoji formula koja izražava korijene kubnih jednadžbi u smislu njenih koeficijenata, a postoji i veza između korijena i koeficijenata jednačine.

5. Literatura:

1. Enciklopedijski rečnik mladog matematičara. A.P.Savin. –M.: Pedagogija, 1989.

2. Jedinstveni državni ispit iz matematike - 2004. Zadaci i rješenja. V.G.Agakov, N.D.Polyakov, M.P.Urukova i dr. Čeboksari. Izdavačka kuća Chuvash. un-ta, 2004.

3. Jednačine i nejednačine s parametrima. V.V. Mochalov, Silvestrov V.V. Jednačine i nejednačine sa parametrima: Zbornik. dodatak. -Čeboksari: Čuvaška izdavačka kuća. Univerzitet, 2004.

4. Zadaci iz matematike. Algebra. Referentni priručnik. Vavilov V.V., Olehnik S.N.-M.: Nauka, 1987.

5.Rešebnik svih takmičarskih zadataka iz matematike zbirke koju je uredio M.I.Skanavi. Izdavačka kuća "Ukrajinska enciklopedija" nazvana po M. P. Bazhovu, 1993.

6. Iza stranica udžbenika algebre. L.F. Pichurin.-M.: Prosvjeta, 1990.

Pregled:

Da biste koristili pregled prezentacija, kreirajte račun za sebe ( račun) Guglajte i prijavite se: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Zavirimo u svijet formula

Matematičko obrazovanje koje se stiče u opšteobrazovnim školama je najvažnija komponenta opšteg obrazovanja i opšte kulture savremenog čoveka. Gotovo sve što čovjeka okružuje je na ovaj ili onaj način povezano s matematikom. A najnovija dostignuća u fizici, tehnologiji, informacionim tehnologijama ne ostavljaju sumnju da će u budućnosti stanje stvari ostati isto. Stoga se rješavanje mnogih praktičnih problema svodi na rješavanje raznih vrsta jednadžbi koje treba naučiti rješavati. Linearne jednačine prvog stepena učili smo da rešavamo u prvom razredu i nismo pokazivali veliko interesovanje za njih. Zanimljivije su nelinearne jednačine - jednačine velikih stupnjeva. Matematika otkriva red, simetriju i sigurnost, a to su najviši oblici ljepote. Uvod:

jednadžba ima oblik (1) transformišemo jednačinu na način da odaberemo tačnu kocku: pomnožimo (1) jednačine sa 3 (2) transformišemo (2) jednačine dobijemo sljedeću jednačinu dižemo desna i lijeva strana (3) jednadžbe na treći stepen nalazimo korijene jednadžbe Primjeri rješenja kubnih jednadžbi

Kvadratne jednadžbe oblika gdje je diskriminanta Among realni brojevi nema korijena

Jednačina trećeg stepena

Istorijska napomena: U tim dalekim vremenima, kada su mudraci prvi put počeli razmišljati o jednakostima koje sadrže nepoznate količine, vjerovatno još nije bilo kovanica ili novčanika. U drevnim matematičkim problemima Mesopotamije, Indije, Kine, Grčke, nepoznate količine su izražavale broj paunova u bašti, broj bikova u stadu, ukupnost stvari koje se uzimaju u obzir prilikom podjele imovine. Izvori koji su došli do nas ukazuju da su drevni naučnici posedovali neke opšte metode za rešavanje problema sa nepoznatim količinama. Međutim, niti jedan papirus, niti jedna glinena ploča ne daje opis ovih tehnika. Izuzetak je "Aritmetika" grčkog matematičara Diofanta iz Aleksandrije (III vek) - zbirka zadataka za sastavljanje jednačina sa sistematskim prikazom njihovih rešenja. Međutim, rad bagdadskog učenjaka iz 9. stoljeća postao je prvi priručnik za rješavanje problema koji je postao široko poznat. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi.

jednadžba ima oblik (1) primjenjujemo formulu 1) odabirom da pronađemo i da bi se ispunila sljedeća jednakost transformiramo lijevu stranu (1) jednadžbe na sljedeći način: odabiremo punu kocku kao y, dobijamo jednadžba za y (2) pojednostaviti (2) jednadžbu ( 3) U (3), nestao je član koji sadrži kvadrat nepoznate, ali je ostao član koji sadrži prvi stepen nepoznate 2) odabirom, pronaći tako da je sljedeca jednakost zadovoljena.Ova jednakost je nemoguca jer ima pozitivan broj lijevo a negativan broj.Ako idemo ovim putem onda zaglavimo....Na odabranom putu cemo propasti. Još nismo uspjeli riješiti jednačinu.

Kubične jednadžbe jednadžbe oblika gdje je (1) 1. Pojednostavimo jednadžbe podijeljene sa a, tada će koeficijent na "x" postati jednak 1, stoga je rješenje bilo koje kubične jednadžbe zasnovano na formuli zbirne kocke: (2) ako uzmemo onda se jednačina (1) razlikuje od jednačine (2) samo koeficijentom na x i slobodnim članom. Dodajemo jednačine (1) i (2) i dajemo slične: ako ovdje napravimo promjenu, dobićemo kubnu jednačinu u odnosu na y bez člana:

Cardano Girolamo

Cardano Girolamo (24. septembar 1501. - 21. septembar 1576.) je bio italijanski matematičar, mehaničar i lekar. Rođen u Paviji. Studirao je na univerzitetima u Paviji i Padovi. U mladosti se bavio medicinom. Godine 1534 postao profesor matematike u Milanu i Bolonji. U matematici se ime Cardano obično povezuje sa formulom za rješavanje kubne jednadžbe koju je posudio od N. Tartaglie. Ova formula je objavljena u Cardanovoj Velikoj umjetnosti, ili O pravilima algebre (1545). Od tada su Tartaglia i Cardano postali smrtni neprijatelji. Ova knjiga sistematski prikazuje Cardanove moderne metode za rješavanje jednačina, uglavnom onih kubičnih. Cardano je izvršio linearnu transformaciju, koja je omogućila da se kubična jednačina dovede u oblik bez člana 2. stepena; ukazao je na odnos između korijena i koeficijenata jednačine, djeljivost polinoma razlikom x – a, ako je a njegov korijen. Cardano je bio jedan od prvih u Evropi koji je priznao postojanje negativnih korijena jednadžbi. U njegovom radu po prvi put se pojavljuju imaginarne veličine. U mehanici, Cardano je proučavao teoriju poluga i utega. Jedno od kretanja segmenta duž stranica pravog ugla naziva se kardansko kretanje u mehanici. Biografija Cardana Girolama

U isto vrijeme, u italijanskom gradu Veroni živio je siromašni učitelj matematike Nicolo (1499-1557), zvani Tartaglia (tj. mucavac). Bio je veoma talentovan i uspeo je da ponovo otkrije Dal Ferrovu tehniku. Odvio se duel između Fiorea i Tartaglie. Po uslovu, rivali su razmijenili 30 problema za čije je rješenje dato 50 dana. Ali pošto je Fjor znao u suštini samo jedan problem i bio je siguran da ga neki učitelj ne može rešiti, ispostavilo se da je svih 30 problema istog tipa. Tartaglia ih je riješio za dva sata. Fiore, s druge strane, nije mogao riješiti nijedan od zadataka koje je predlagao neprijatelj. Pobjeda je proslavila Tartagliju u cijeloj Italiji, ali problem nije bio u potpunosti riješen.Taj jednostavan trik kojim smo uspjeli da se nosimo s članom jednadžbe koji sadrži kvadrat nepoznate vrijednosti (odabirom pune kocke) još nije otkriven i rješenje jednačina različite vrste nije uneta u sistem. Fiora duel sa Tartagliom

jednadžba oblika iz ove jednačine a izračunavamo diskriminanta jednadžbe Ne samo da korijen ove jednadžbe nije u potpunosti izvučen, već ga još uvijek treba izvući iz negativnog broja. Sta je bilo? Može se pretpostaviti da ova jednadžba nema korijen, jer D

Korijeni kubične jednadžbe zavise od diskriminanta jednačina ima 1 rješenje jednačina ima 3 rješenja jednačina ima 2 rješenja Zaključak

jednadžba ima oblik pronađite korijene jednadžbe koristeći Cardano formulu Primjeri rješavanja kubnih jednadžbi koristeći Cardano formulu

jednadžba oblika (1) iz ove jednačine i pošto, prema uslovu, ova jednačina treba da ima 1 rješenje, onda izračunavamo diskriminant (1) jednačine + - + 2 6 Odgovor: najmanja prirodna vrijednost a iz ovaj interval je 1. Koja je najmanja prirodna vrijednost jednačina ima 1 rješenje?

Rješenje kubnih jednadžbi Vietinom metodom Jednačine imaju oblik

Riješite jednačinu ako je poznato da je umnožak njena dva korijena jednak 1 prema Vietinoj teoremi i imamo uvjet, ili vrijednost zamjenjujemo u prvu jednačinu ili vrijednost iz treće jednačine zamjenjujemo u prvu , naći ćemo korijene jednadžbe ili odgovora:

Korišćena literatura: „Matematika. Obrazovno-metodički priručnik » Yu.A. Gusman, A.O. Smirnov. Enciklopedija „Poznajem svijet. Matematika" - Moskva, AST, 1996. " Matematika. Nastavno pomagalo » V.T. Lisichkin. Vodič za kandidate za univerzitete, urednik M.I.Skanavi. Single Državni ispit matematike - 2004

Hvala na pažnji

Spor

FormulaCardano

Most

Odessa

Spor

O sporu koji je trebalo da se desi između slavnog matematičara i ništa manje poznatog doktora izneta su samo najopštija nagađanja, jer niko zapravo ništa nije znao. Govorilo se da je jedan od njih prevario drugog (ko i koga tačno ne zna se). Gotovo svi koji su se okupili na trgu imali su najnejasnije ideje o matematici, ali svi su se radovali početku spora. Uvijek je bilo zanimljivo, gubitniku si se mogao smijati, bez obzira da li je bio u pravu ili ne.

Kada je sat na gradskoj vijećnici otkucao pet, kapije su se širom otvorile, a gomila je ušla u katedralu. Sa obje strane središnje linije koja spaja ulaz u oltar, podignute su dvije visoke propovjedaonice na dva bočna stupa, namijenjena debatantima. Prisutni su pravili veliku buku, ne obazirući se na činjenicu da su u crkvi. Konačno, ispred gvozdene rešetke koja je ikonostas odvajala od ostatka centralnog broda, pojavio se gradski glasnik u crno-purpurnom ogrtaču i oglasio: „Prečasni građani grada Milana! Sada će pred vama govoriti poznati matematičar Niccolò Tartaglia iz Brenije. Njegov protivnik je trebao biti matematičar i liječnik Geronimo Cardano. Niccolo Tartaglia optužuje Cardana da je posljednji u svojoj knjizi "Ars magna" objavio metodu za rješavanje jednačine 3. stepena, koja pripada njemu, Tartaglii. Međutim, sam Cardano nije mogao doći u spor i zato je poslao svog učenika Luigea Ferrarija. Dakle, debata se proglašava otvorenom, njeni učesnici se pozivaju da predsjedavaju. Nezgodan muškarac grbavog nosa i kovrdžave brade popeo se na propovjedaonicu lijevo od ulaza, a mladić u ranim dvadesetim godinama, lijepog samouvjerenog lica, popeo se na suprotnu propovjedaonicu. Čitavo njegovo držanje pokazivalo je potpuno povjerenje da će svaki njegov gest i svaka njegova riječ biti primljena sa oduševljenjem.

Tartaglia je počeo.

Poštovani! Znate da sam prije 13 godina uspio da nađem način da riješim jednačinu 3. stepena, a onda sam ovom metodom dobio spor sa Fiorijem. Moj metod je privukao pažnju vašeg sugrađanina Cardana, koji je iskoristio svu svoju lukavu umjetnost da izvuče tajnu iz mene. Nije se zaustavio na obmanama ili otvorenim falsifikatima. Također znate da je prije 3 godine u Nirnbergu objavljena Cardanova knjiga o pravilima algebre, gdje je moja metoda, tako besramno ukradena, stavljena na raspolaganje svima. Izazvao sam Cardana i njegovog učenika na takmičenje. Ponudio sam da riješim 31 zadatak, isto toliko su mi ponudili i moji protivnici. Rok za rješavanje problema bio je 15 dana. Uspio sam za 7 dana riješiti većinu problema koje su sastavili Cardano i Ferrari. Odštampao sam ih i poslao kurirskom službom u Milano. Međutim, morao sam čekati cijelih pet mjeseci dok nisam dobio odgovore na svoje probleme. Nisu bili tačni. To mi je dalo razloga da obojicu izazovem na javnu raspravu.

Tartaglia je ćutao. Mladić, gledajući nesretnog Tartagliu, reče:

Poštovani! Moj dostojni protivnik dozvolio je sebi već u prvim riječima svog govora da izrazi toliko kleveta na mene i mog učitelja, njegova argumentacija je bila toliko neutemeljena da bi mi teško trebalo da pobijem prvo i pokažem vam nedosljednost drugog. Prije svega, o kakvoj obmani možemo govoriti ako je Niccolo Tartaglia potpuno dobrovoljno podijelio svoju metodu sa nama obojici? A evo kako Geronimo Cardano piše o ulozi mog protivnika u otkriću algebarskog pravila. Kaže da ne njemu, Cardanu, „već mom prijatelju Tartaglia pripada čast da otkrije tako lijepu i nevjerovatnu, nadmašujuću ljudsku duhovitost i sve talente ljudskog duha. Ovo otkriće je zaista nebeski dar, tako odličan dokaz moći uma koji ga je shvatio, da se ništa za njega ne može smatrati nedostižnim.”

Moj protivnik je optužio mene i mog učitelja da smo navodno dali pogrešno rješenje za njegove probleme. Ali kako korijen jednadžbe može biti pogrešan, ako zamjenom u jednadžbu i izvođenjem svih radnji propisanih u ovoj jednačini dolazimo do identiteta? A već ako senjor Tartaglia želi biti dosljedan, onda je morao odgovoriti na opasku zašto smo mi, koji smo ukrali, ali po njegovim riječima, njegov izum i koristeći ga za rješavanje predloženih problema, dobili pogrešno rješenje. Mi – moj učitelj i ja – ne smatramo, međutim, da je izum sinjora Tartaglije nevažan. Ovaj izum je divan. Štaviše, u velikoj meri oslanjajući se na njega, pronašao sam način da rešim jednačinu 4. stepena, o čemu u "Ars magni" govori moj učitelj. Šta Senor Tartaglia želi od nas? Šta on pokušava postići sporom?

Gospodo, gospodo, - poviče Tartaglia, - molim vas da me saslušate! Ne poričem da je moj mladi protivnik veoma jak u logici i elokvenciji. Ali ovo ne može zamijeniti pravi matematički dokaz. Zadaci koje sam dao Cardanu i Ferrariju nisu ispravno riješeni, ali ću to dokazati. Zaista, uzmimo, na primjer, jednačinu među onima koji su je riješili. Poznato je...

... Time je okončan ovaj spor koji i sada izaziva sve više sporova. Ko zapravo posjeduje način rješavanja jednačine 3. stepena? Sada razgovaramo - Niccolo Tartaglia. On je otkrio, a Cardano je izvukao ovo otkriće iz njega. A ako sada formulu koja predstavlja korijene jednadžbe 3. stepena kroz njene koeficijente nazovemo Cardano formulom, onda je to istorijska nepravda. Međutim, da li je to nepravedno? Kako izračunati mjeru učešća u otkriću svakog od matematičara? Možda će s vremenom neko moći sa sigurnošću odgovoriti na ovo pitanje, ili će možda ostati misterija ...

Formula Cardano

Ako koristimo moderni matematički jezik i moderni simbolizam, onda se izvođenje Cardano formule može pronaći korištenjem sljedećih vrlo elementarnih razmatranja:

Neka nam je data opšta jednačina 3. stepena:

sjekira 3 +3bx 2 +3cx+d=0 (1)

Ako stavimo

, onda dajemo jednačinu (1) umu

Hajde da predstavimo novu nepoznanicu U koristeći jednakost

Uvođenjem ovog izraza u (2) , dobijamo

Shodno tome

Ako se brojnik i imenilac drugog člana pomnože sa izrazom i uzmu u obzir, rezultirajući izraz za u ispada da je simetričan u odnosu na znakove "+" i "-", tada konačno dobijamo

(Proizvod kubnih radikala u posljednjoj jednakosti mora biti jednak str).

Ovo je poznata Cardano formula. Ako idete iz y nazad na x, tada dobijamo formulu koja određuje koren opšte jednačine 3. stepena.

Mladić koji se tako nemilosrdno odnosio prema Tartaglii, razumio je matematiku jednako lako kao što je razumio prava nepretencioznog misterija. Ferrari pronalazi način da riješi jednačinu 4. stepena. Cardano je ovu metodu uključio u svoju knjigu. Šta je ovo metoda?

Neka bude (1)

- opšta jednačina 4. stepena.

ako stavimo,

onda jednačina (1) može se sjetiti

gdje p,q,r su neki koeficijenti u zavisnosti od a,b,c,d,e. Lako je vidjeti da se ova jednačina može napisati u sljedećem obliku:

Zaista, dovoljno je otvoriti zagrade, zatim sve članove koji sadrže t, poništavaju jedno drugo i vraćamo se na jednadžbu (2) .

Odaberimo parametar t tako da desna strana jednačine (3) bio savršen kvadrat u odnosu na y. Kao što je poznato, neophodan i dovoljan uslov za to je nestanak diskriminanta iz koeficijenata trinoma (u odnosu na y) desno:

Dobili smo kompletnu kubnu jednačinu koju već možemo riješiti. Nađimo dio njegovog korijena i stavimo ga u jednačinu (3) , sada će preuzeti formu

Ovo je kvadratna jednadžba. Rješavajući ga, možete pronaći korijen jednadžbe (2) , i stoga (1) .

4 mjeseca prije smrti, Cardano je završio svoju autobiografiju koju je intenzivno pisao posljednjih godinu dana i koja je trebala sumirati njegov težak život. Osjetio je približavanje smrti. Prema nekim izvještajima, njegov vlastiti horoskop povezao je njegovu smrt s njegovim 75. rođendanom. Umro je 21. septembra 1576. godine. 2 dana prije godišnjice. Postoji verzija da je izvršio samoubistvo u iščekivanju neposredne smrti, ili čak da potvrdi horoskop. U svakom slučaju, Cardano, astrolog, ozbiljno je shvatio horoskop.

Napomena o Cardanovoj formuli

Analizirajmo formulu za rješavanje jednadžbe u realnom domenu. dakle,

Prilikom izračunavanja x prvo moramo uzeti kvadratni korijen, a zatim kubni korijen. Možemo izdvojiti kvadratni korijen dok ostanemo u realnoj domeni ako . Dvije vrijednosti kvadratnog korijena, koje se razlikuju po predznaku, pojavljuju se u različitim terminima za x. Vrijednosti kockasti koren u realnom domenu je jedinstven i dobija se jedinstveni pravi koren x u . Ispitujući graf kubnog trinoma, lako je provjeriti da on zapravo ima jedan pravi korijen na . Kada postoje tri prava korena. Za , postoji dvostruki pravi korijen i jedan, a za - trostruki korijen x=0.

Nastavimo proučavanje formule za . Ispada. Šta ako, u ovom slučaju, jednadžba sa cjelobrojnim koeficijentima ima cjelobrojni korijen, pri njenom izračunavanju prema formuli mogu nastati srednje iracionalnosti. Na primjer, jednadžba ima jedan korijen (realan) - x=1. Cardanova formula daje izraz za ovaj jedinstveni pravi korijen

Ali u stvari, svaki dokaz uključuje korištenje činjenice da je ovaj izraz korijen jednadžbe. Ako ne pogodite, tokom transformacije će se pojaviti neuništivi kubni radikali.

Problem Cardano-Tartaglia ubrzo je zaboravljen. Formula za rješavanje kubične jednadžbe bila je povezana s "velikom umjetnošću" i postepeno se počela nazivati formula Cardano.

Mnogi su imali želju da vrate pravu sliku događaja u situaciji kada njihovi učesnici sigurno nisu rekli cijelu istinu. Za mnoge je bilo važno utvrditi razmjere Cardanove krivice. Do kraja 19. vijeka dio rasprava je počeo da poprima karakter ozbiljnog istorijsko-matematičkog istraživanja. Matematičari su shvatili kakvu je veliku ulogu odigralo Kardanovo delo krajem 16. veka. Ono što je Lajbnic primetio još ranije postalo je jasno: „Kardano je bio veliki čovek za sve svoje mane; bez njih bi bilo savršeno."

OPĆINSKI VII STUDENTSKA NAUČNO-PRAKTIČNA KONFERENCIJA "MLADI: KREATIVNOST, POTRAGA, USPJEH"

Anninsky općinsko područje

Voronješka oblast

Odjeljak:MATEMATIKA

Tema:"Formula Cardano: istorija i primena"

MKOU Anninskaya srednja škola br. 3, 9 "B" razred

Niccolò Fontana Tartaglia (1499-1557) je bio italijanski matematičar.

Uopšteno govoreći, istorija govori da je formulu prvobitno otkrio Tartaglia i predao Cardanu već u gotovom obliku, ali sam Cardano je negirao ovu činjenicu, iako nije negirao Tartaglino učešće u stvaranju formule.

Naziv "Cardanova formula" čvrsto je ukorijenjen iza formule, u čast naučnika koji ju je zapravo objasnio i predstavio javnosti.

Kada je sat na gradskoj vijećnici otkucao pet, kapije su se širom otvorile, a gomila je ušla u katedralu. Sa obje strane središnje linije koja spaja ulaz u oltar, podignute su dvije visoke propovjedaonice na dva bočna stupa, namijenjena debatantima. Prisutni su pravili veliku buku, ne obazirući se na činjenicu da su u crkvi. Konačno, ispred gvozdene rešetke koja je ikonostas odvajala od ostatka centralnog broda, pojavio se gradski glasnik u crno-purpurnom ogrtaču i oglasio: „Prečasni građani grada Milana! Sada će pred vama govoriti poznati matematičar Niccolò Tartaglia iz Brenije. Njegov protivnik je trebao biti matematičar i liječnik Geronimo Cardano. Niccolo Tartaglia optužuje Cardana da je u svojoj knjizi "Arsmagna" objavio metodu za rješavanje jednačine 3. stepena, koja pripada njemu, Tartaglii. Međutim, sam Cardano nije mogao doći u spor i zato je poslao svog učenika Luigea Ferrarija. Dakle, debata se proglašava otvorenom, njeni učesnici se pozivaju da predsjedavaju. Nezgodan muškarac grbavog nosa i kovrdžave brade popeo se na propovjedaonicu lijevo od ulaza, a mladić u ranim dvadesetim godinama, lijepog samouvjerenog lica, popeo se na suprotnu propovjedaonicu. Čitavo njegovo držanje pokazivalo je potpuno povjerenje da će svaki njegov gest i svaka njegova riječ biti primljena sa oduševljenjem.

Tartaglia je počeo.

Tartaglia je ćutao. Mladić, gledajući nesretnog Tartagliu, reče:

Moj protivnik je optužio mene i mog učitelja da smo navodno dali pogrešno rješenje za njegove probleme. Ali kako korijen jednadžbe može biti pogrešan, ako zamjenom u jednadžbu i izvođenjem svih radnji propisanih u ovoj jednačini dolazimo do identiteta? A već ako senjor Tartaglia želi biti dosljedan, onda je morao odgovoriti na opasku zašto smo mi, koji smo, po njegovim riječima, ukrali njegov izum i njime riješili predložene probleme, dobili pogrešno rješenje. Mi – moj učitelj i ja – ne smatramo, međutim, da je izum sinjora Tartaglije nevažan. Ovaj izum je divan. Štaviše, u velikoj meri oslanjajući se na njega, našao sam način da rešim jednačinu 4. stepena, o čemu u "Arsmagni" govori moj učitelj. Šta Senor Tartaglia želi od nas? Šta on pokušava postići sporom?

Gospodo, gospodo, - poviče Tartaglia, - molim vas da me saslušate! Ne poričem da je moj mladi protivnik veoma jak u logici i elokvenciji. Ali ovo ne može zamijeniti pravi matematički dokaz. Zadaci koje sam dao Cardanu i Ferrariju su pogrešno riješeni, ali ja ću to dokazati. Zaista, uzmimo, na primjer, jednačinu među onima koji su je riješili. Poznato je...

Time je okončan ovaj spor, koji do danas izaziva sve više sporova. Ko zapravo posjeduje način rješavanja jednačine 3. stepena? Sada razgovaramo - Niccolo Tartaglia. On je otkrio, a Cardano je izvukao ovo otkriće iz njega. A ako sada formulu koja predstavlja korijene jednadžbe 3. stepena kroz njene koeficijente nazovemo Cardano formulom, onda je to istorijska nepravda. Međutim, da li je to nepravedno? Kako izračunati mjeru učešća u otkriću svakog od matematičara? Možda će s vremenom neko moći sa sigurnošću odgovoriti na ovo pitanje, ili će možda ostati misterija ...

Ako koristimo moderni matematički jezik i moderni simbolizam, onda se izvođenje Cardano formule može pronaći korištenjem sljedećih vrlo elementarnih razmatranja:

Neka nam je data opšta jednačina 3. stepena:

x 3 + sjekira 2 + bx + c = 0,

(1)

gdjea, b, c – proizvoljnih realnih brojeva.

Zamijenimo u jednačini (1) varijabluX na novu varijablu yprema formuli:

x 3 +ax 2 +bx+c = (y ) 3 + a(y ) 2 + b(y ) + c = y 3 3g 2 + 3g+ a(y 2 2g+by =y 3 y 3 + (b

tada jednačina (1) poprima obliky 3 + ( b

Ako uvedemo notacijustr = b, q = ,

tada će jednačina poprimiti obliky 3 + py + q = 0.

Ovo je poznata Cardano formula.

Korijeni kubne jednadžbey 3 + py + q = 0 zavisi od diskriminanta

AkoD> 0, ondakubni polinom ima tri različita realna korijena.

AkoD< 0, то kubni polinom ima jedan pravi korijen i dva kompleksna korijena (koji su kompleksni konjugati).

AkoD = 0, ima višestruki korijen (ili jedan korijen višestrukosti 2 i jedan korijen višestrukosti 1, oba realna; ili jedan jedini pravi korijen višestrukosti 3).

2.4. Primjeri univerzalnih načina rješavanja kubnih jednadžbi

Pokušajmo primijeniti Kardanovu formulu na rješenje specifičnih jednačina.

Primjer 1: x 3 +15 x+124 = 0

Evostr = 15; q = 124.

odgovor:X

Kubična jednačina koja sadrži koeficijente sa realnim korijenom, druge dvije se smatraju kompleksnim konjugiranim parom. Razmatrat će se jednadžbe sa binomima i recipročne jednačine, kao i sa pretraživanjem racionalni koreni. Sve informacije će biti potkrijepljene primjerima.

Rješenje dvočlane kubične jednadžbe oblika A x 3 + B = 0

Kubična jednačina koja sadrži binom ima oblik A x 3 + B = 0 . Mora se smanjiti na x 3 + B A \u003d 0 dijeljenjem sa A, što je različito od nule. Nakon toga možete primijeniti formulu za skraćeno množenje zbroja kocki. Shvatili smo to

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 - B A 3 x + B A 2 3 = 0

Rezultat prve zagrade imat će oblik x \u003d - B A 3, a kvadratni trinom - x 2 - B A 3 x + B A 2 3, i to samo sa kompleksnim korijenima.

Primjer 1

Pronađite korijene kubične jednadžbe 2 x 3 - 3 = 0.

Rješenje

Morate pronaći x iz jednačine. napišimo:

2 x 3 - 3 = 0 x 3 - 3 2 = 0

Potrebno je primijeniti skraćenu formulu množenja. Onda to shvatamo

x 3 - 3 2 = 0 x - 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Proširite prvu zagradu i dobijete x = 3 3 2 6 . Druga zagrada nema pravi korijen jer je diskriminant manji od nule.

odgovor: x = 3 3 2 6 .

Rješenje recipročne kubične jednadžbe oblika A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Oblik kvadratne jednadžbe je A x 3 + B x 2 + B x + A = 0, gdje su vrijednosti A i B koeficijenti. Grupiranje je potrebno. Shvatili smo to

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 - x + 1 + B xx + 1 = x + 1 A x 2 + x B-A+A

Korijen jednadžbe je x \u003d - 1, a zatim da dobijete korijene kvadratni trinom A x 2 + x B - A + A mora se koristiti pronalaženjem diskriminanta.

Primjer 2

Riješite jednačinu kao što je 5 x 3 - 8 x 2 - 8 x + 5 = 0.

Rješenje

Jednačina je reverzibilna. Grupiranje je potrebno. Shvatili smo to

5 x 3 - 8 x 2 - 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 - 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 - x + 1 - 8 xx + 1 = x + 1 5 x 2 - 5 x + 5 - 8 x = = x + 1 5 x 2 - 13 x + 5 = 0

Ako je x \u003d - 1 korijen jednadžbe, tada morate pronaći korijene datog trinoma 5 x 2 - 13 x + 5:

5 x 2 - 13 x + 5 = 0 D = (- 13) 2 - 4 5 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 - 69 2 5 = 13 10 - 69 10

odgovor:

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 - 69 10 x 3 = - 1

Rješenje kubnih jednadžbi s racionalnim korijenima

Ako je x \u003d 0, onda je to korijen jednadžbe oblika A x 3 + B x 2 + C x + D = 0. Sa slobodnim članom D = 0, jednadžba ima oblik A x 3 + B x 2 + C x = 0. Kada se x izvadi iz zagrada, dobijamo da se jednačina menja. Prilikom rješavanja kroz diskriminantu ili Vieta, ona će poprimiti oblik x A x 2 + B x + C = 0 .

Primjer 3

Pronađite korijene date jednadžbe 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 .

Rješenje

Hajde da pojednostavimo izraz.

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

X = 0 je korijen jednadžbe. Trebali biste pronaći korijene kvadratnog trinoma oblika 3 x 2 + 4 x + 2. Da biste to učinili, potrebno je izjednačiti s nulom i nastaviti rješenje koristeći diskriminant. Shvatili smo to

D \u003d 4 2 - 4 3 2 \u003d - 8. Pošto je njegova vrijednost negativna, ne postoje trinomski korijeni.

odgovor: x = 0.

Kada su koeficijenti jednačine A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 cijeli brojevi, onda u odgovoru možete dobiti iracionalni koreni. Ako je A ≠ 1, tada se pri množenju sa A 2 oba dijela jednadžbe vrši promjena varijabli, odnosno y = A x:

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 x 3 + B A 2 x 2 + C A A x + D A 2 = 0 y = A x ⇒ y 3 + B y 2 + C A y + D A 2

Dolazimo do oblika kubne jednadžbe. Korijeni mogu biti cjelobrojni ili racionalni. Da bi se dobila identična jednakost, potrebno je u rezultirajuću jednačinu zamijeniti djelitelje. Tada će rezultirajući y 1 biti korijen. To znači da je korijen originalne jednadžbe oblika x 1 = y 1 A . Potrebno je polinom A x 3 + B x 2 + C x + D podijeliti sa x - x 1 . Tada možemo pronaći korijene kvadratnog trinoma.

Primjer 4

Rješenje

Potrebno je izvršiti transformaciju množenjem oba dijela sa 2 2, te promjenom varijable tipa y = 2 x. Shvatili smo to

2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 - 11 2 2 x 2 + 24 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 - 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

Slobodni član je 36 , tada morate popraviti sve njegove djelitelje:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36

Potrebno je izvršiti zamjenu y 3 - 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 da bi se dobio identitet oblika

1 3 - 11 1 2 + 24 1 + 36 = 50 ≠ 0 (- 1) 3 - 11 (- 1) 2 + 24 (- 1) + 36 = 0

Odavde vidimo da je y \u003d - 1 korijen. Dakle, x = y 2 = - 1 2 .

Imamo to

2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 - 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 - 6 x + 9

Nakon toga, trebate pronaći korijene kvadratne jednadžbe oblika x 2 - 6 x + 9. Imamo da jednadžbu treba svesti na oblik x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2, gdje će x = 3 biti njen korijen.

odgovor: x 1 = - 1 2, x 2, 3 = 3.

Komentar

Algoritam se može primijeniti na recipročne jednačine. Vidi se da je - 1 njegov korijen, što znači da se lijeva strana može podijeliti sa x + 1. Tek tada će biti moguće pronaći korijene kvadratnog trinoma. U nedostatku racionalnih korijena, druge metode rješavanja se koriste za faktorizaciju polinoma.

Rješavanje kubnih jednadžbi pomoću Cardano formule

Pronalaženje kubnih korijena moguće je pomoću Cardano formule. Za A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0, morate pronaći B 1 = A 1 A 0 , B 2 = A 2 A 0 , B 3 = A 3 A 0 .

Tada je p = - B 1 2 3 + B 2 i q = 2 B 1 3 27 - B 1 B 2 3 + B 3 .

Rezultirajući p i q u Cardanovoj formuli. Shvatili smo to

y = - q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + - q 2 - q 2 4 + p 3 27 3

Izbor kubnih korijena mora zadovoljiti izlaznu vrijednost - p 3 . Tada su korijeni originalne jednadžbe x = y - B 1 3 . Razmislite o rješavanju prethodnog primjera koristeći Cardanoovu formulu.

Primjer 5

Pronađite korijene date jednadžbe 2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Rješenje

Može se vidjeti da je A 0 = 2, A 1 = 11, A 2 = 12, A 3 = 9.

Potrebno je pronaći B 1 = A 1 A 0 = - 11 2, B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6, B 3 = A 3 A 0 = 9 2.

Otuda to slijedi

p = - B 1 2 3 + B 2 = - - 11 2 2 3 + 6 = - 121 12 + 6 = - 49 12 q = 2 B 1 3 27 - B 1 B 2 3 + B 3 = 2 - 11 2 3 27 - - 11 2 6 3 + 9 2 = 343 108

Napravimo zamjenu u formuli Cordano i dobijemo

y = - q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + - q 2 - - q 2 4 + p 3 27 3 = = - 343 216 + 343 2 4 108 2 - 49 3 27 12 3 3 + - 343 2 - 343 2 4 108 2 - 49 3 27 12 3 3 = = - 343 216 3 + - 343 216 3

343 216 3 ima tri značenja. Razmotrimo ih u nastavku.

343 216 3 \u003d 7 6 cos π + 2 π k 3 + i sin π + 2 π k 3, k \u003d 0, 1, 2

Ako je k = 0, onda - 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i sin π 3 = 7 6 1 2 + i 3 2

Ako je k = 1 onda - 343 216 3 = 7 6 cosπ + i sinπ = - 7 6

Ako je k = 2, onda - 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i sin 5 π 3 = 7 6 1 2 - i 3 2

Potrebno je podijeliti se u parove, tada dobijamo - p 3 = 49 36 .

Tada dobijamo parove: 7 6 1 2 + i 3 2 i 7 6 1 2 - i 3 2 , - 7 6 i - 7 6 , 7 6 1 2 - i 3 2 i 7 6 1 2 + i 3 2.

Transformirajmo koristeći Cordano formulu:

y 1 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i 3 2 + 7 6 1 2 - i 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = - 7 6 + - 7 6 = - 14 6 y 3 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = = 7 6 1 2 - i 3 2 + 7 6 1 2 + i 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 - B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 - B 1 3 = - 14 6 + 11 6 = - 1 2 x 3 = y 3 - B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

odgovor: x 1 = - 1 2, x 2, 3 = 3

Prilikom rješavanja kubnih jednačina može se susresti svođenje na rješenje jednačina 4. stepena Ferarijevom metodom.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter