Toplotna provodljivost je jedna od vrsta prenosa toplote. Prijenos topline može se vršiti različitim mehanizmima.

Sva tela zrače elektromagnetnih talasa. Na sobnoj temperaturi to je uglavnom infracrveno zračenje. Ovako to ide prenos toplote zračenja.

U prisustvu gravitacionog polja može biti još jedan mehanizam za prenos toplote u fluidima konvekcija. Ako se toplina dovodi u posudu koja sadrži tekućinu ili plin kroz dno, prije svega se zagrijavaju donji dijelovi tvari, njihova gustoća se smanjuje, oni isplivaju i dio primljene topline odaju gornjim slojevima.

Kod toplinske provodljivosti, prijenos energije se odvija kao rezultat direktnog prijenosa energije od čestica (molekula, atoma, elektrona) s većom energijom na čestice sa nižom energijom.

U našem kursu ćemo razmotriti prijenos topline provodnošću.

Razmotrimo prvo jednodimenzionalni slučaj, kada temperatura zavisi samo od jedne koordinate X. Neka dva medija budu razdvojena ravnom pregradom debljine l(Sl. 23.1). Temperature medija T 1 i T 2 se održavaju konstantnim. Empirijski se može utvrditi da je količina toplote Q prenosi se kroz dio particije sa površinom S tokom t jednaki

, (23.1)

pri čemu koeficijent proporcionalnosti k zavisi od materijala zida.

At T 1 > T 2 toplina se prenosi u smjeru pozitivne ose X, at T 1 < T 2 - u negativu. Smjer širenja topline može se uzeti u obzir ako u jednačini (23.1) zamijenimo ( T 1 - T 2)/l na (- dT/dx). U jednodimenzionalnom slučaju, derivat dT/dx predstavlja temperaturni gradijent. Podsjetimo da je gradijent vektor čiji se smjer poklapa sa smjerom najbržeg porasta skalarna funkcija koordinate (u našem slučaju T), i modul jednak je omjeru prirast funkcije pri malom pomaku u ovom smjeru do udaljenosti na kojoj je došlo do ovog povećanja.

Da bismo dali jednačinama koje opisuju prenos toplote opštiji i univerzalniji oblik, razmotrićemo gustina toplotnog fluksa j - količina prenesene topline po jedinici površine u jedinici vremena

Tada se relacija (23.1) može zapisati kao

Ovdje znak minus odražava činjenicu da je smjer toka topline suprotan smjeru gradijenta temperature (smjer njegovog povećanja). Dakle, gustina toplotnog toka je vektorska veličina. Vektor gustine toplotnog toka je usmeren u pravcu opadanja temperature.

Ako temperatura medija zavisi od sve tri koordinate, onda relacija (23.3) poprima oblik

gdje , - temperaturni gradijent ( e 1 ,e 2 ,e 3 - jedinični vektori koordinatnih osa).

Relacije (23.3) i (23.4) predstavljaju osnovni zakon provođenja toplote (Fourierov zakon): gustina toplotnog toka je proporcionalna temperaturnom gradijentu. Koeficijent proporcionalnosti k se zove toplotna provodljivost(ili samo toplotnu provodljivost). Jer dimenzija gustine toplotnog fluksa [ j] = J / (m 2 s), a temperaturni gradijent [ dT/dx] = K/m, tada je dimenzija koeficijenta toplotne provodljivosti [k] = J/(m×s×K).

U općenitom slučaju, temperatura na različitim mjestima neravnomjerno zagrijane tvari mijenja se s vremenom. Razmotrimo jednodimenzionalni slučaj kada temperatura zavisi samo od jedne prostorne koordinate X i vrijeme t, i dobijamo toplotna jednačina je diferencijalna jednadžba koju funkcija zadovoljava T = T(x,t).

Mentalno izdvojimo u mediju element malog volumena u obliku cilindra ili prizme, čija je generatrisa paralelna s osi X, a osnovice su okomite (slika 23.2). Područje baze S, i visina dx. Masa ovog volumena dm= r sdx, i njegov toplinski kapacitet c×dm gdje je r gustina materije, With - specifična toplota. Ostavite na kratko dt temperatura u ovoj zapremini se promenila za dT. Da biste to učinili, tvar u volumenu mora primiti količinu topline jednaku umnošku njenog toplinskog kapaciteta i promjene temperature: . S druge strane, d Q može ući u zapreminu samo kroz osnove cilindra: (gustine toplotnih tokova j može biti pozitivan ili negativan). Izjednačavanje izraza za d Q, dobijamo

.

Zamjenom odnosa malih prirasta odgovarajućim derivatima dolazimo do relacije

. (23.5)

Zamijenite u formuli (23.5) izraz (23.3) za gustinu toplotnog fluksa

. (23.6)

Rezultirajuća jednačina se zove toplotna jednačina. Ako je medij homogen i toplinska provodljivost k ne ovisi o temperaturi, jednačina poprima oblik

, (23.7)

gdje se zove konstanta termička difuzivnost okruženje.

Jednačine (23.6) - (23.8) su zadovoljene nebrojenim skupom funkcija T = T(x,t).

Da bi se izdvojilo jedinstveno rješenje jednačine topline, potrebno je jednačini dodati početni i granični uslovi.

Početni uslov je postavljanje distribucije temperature u mediju T(X,0) u početno vrijeme t = 0.

Granični uslovi mogu biti različiti u zavisnosti od temperaturnog režima na granicama. Najčešće postoje situacije kada je temperatura ili gustina toplotnog toka specificirana na granicama kao funkcija vremena.

U nekim slučajevima mogu postojati izvori topline u okolini. Toplota se može osloboditi kao rezultat prolaska električna struja, hemijske ili nuklearne reakcije. Prisutnost izvora topline može se uzeti u obzir uvođenjem volumetrijske gustine oslobađanja energije q(x,y,z), jednak količini toplote koju oslobađaju izvori po jedinici zapremine medija u jedinici vremena. U ovom slučaju, termin će se pojaviti na desnoj strani jednačine (23.5) q:

.

Proučavanje bilo kojeg fizičkog fenomena svodi se na utvrđivanje odnosa između veličina koje karakteriziraju ovaj fenomen. Za kompleks fizički procesi, kod kojih se određujuće veličine mogu značajno razlikovati u prostoru i vremenu, prilično je teško uspostaviti odnos između ovih veličina. U takvim slučajevima koriste se metode matematičke fizike koje se sastoje u tome da je vremenski interval ograničen i da se iz čitavog prostora posmatra neki elementarni volumen. Ovo omogućava da se u okviru odabranog volumena i zadanog vremenskog intervala zanemare promjene veličina koje karakteriziraju proces i značajno pojednostavi ovisnost.

Tako odabrani elementarni volumen dV i elementarni vremenski interval dτ, u okviru koje se razmatra proces, sa matematička poenta Sa fizičke tačke gledišta, to su beskonačno male veličine, a sa fizičke tačke gledišta, količine su još dovoljno velike da je u njihovim granicama moguće smatrati medij kao neprekidan, zanemarujući njegovu diskretnu strukturu. Ovako dobivena ovisnost je opća diferencijalna jednadžba procesa. Integracijom diferencijalnih jednadžbi može se dobiti analitički odnos između veličina za cijelu integracijsku domenu i cijeli razmatrani vremenski interval.

Za rješavanje problema vezanih za pronalaženje temperaturnog polja potrebno je imati diferencijalnu jednadžbu provođenja topline.

Hajde da napravimo sljedeće pretpostavke:

tijelo je homogeno i izotropno;

fizički parametri su konstantni;

deformacija razmatranog volumena, povezana s promjenom temperature, vrlo je mala u odnosu na sam volumen;

unutrašnji izvori toplote u telu su ravnomerno raspoređeni.

Osnova za izvođenje diferencijalne jednadžbe provođenja toplote je zakon održanja energije, koji formulišemo na sledeći način:

Količina toplotedQ, uveden u osnovni volumendVnapolju za vremedτzbog toplinske provodljivosti, kao i iz unutrašnjih izvora, jednaka je promjeni unutrašnje energije ili entalpije tvari sadržane u elementarnom volumenu.

gdje dQ 1 - količina toplote uvedena u elementarni volumen dV provođenjem toplote tokom vremena dτ;

dQ 2 je količina toplote koja se tokom vremena dτ isticao se u elementarnom obimu dV iz internih izvora;

dQ- promjena unutrašnje energije (izohorni proces) ili entalpije tvari (izobarni proces) sadržane u elementarnom volumenu dV tokom dτ.

Da biste dobili jednačinu, razmotrite elementarni volumen u obliku kocke sa stranicama dx, dy, dz (Vidi Sl.1.2.). Kocka je postavljena tako da su njene strane paralelne sa odgovarajućim koordinatnim ravnima. Količina toplote koja se dovodi na površine elementarne zapremine tokom vremena dτ u smjeru osi x, y, z označiti shodno tome dQ x , dQ y , dQ z .

Količina topline koja će biti odvedena kroz suprotne strane u istim smjerovima bit će označena u skladu s tim dQ x + dx , dQ y + dy , dQ z + dz .

Količina toplote koja se dovodi do lica dxdy u pravcu osovine x tokom dτ, je:

gdje q x je projekcija gustine toplotnog toka na pravac normale na navedeno lice. Prema tome, količina topline koja se uklanja kroz suprotnu stranu bit će:

Razlika između količine topline dovedene u elementarnu zapreminu i količine topline koja se iz njega odvodi je toplina:

Funkcija q je kontinuiran u razmatranom intervalu dx i može se proširiti u Taylor seriju:

Ako se ograničimo na prva dva člana serije, onda će jednačina biti napisana u obliku:

Slično tome, možete pronaći količinu topline dovedene u volumen u smjeru druge dvije koordinatne ose y i z.

Količina toplote dQ, zbrojen kao rezultat toplinske provodljivosti na razmatrani volumen, bit će jednak:

Drugi pojam definiramo označavanjem količine topline koju oslobađaju unutrašnji izvori po jedinici volumena medija u jedinici vremena q v i nazovimo to kapacitet unutrašnjih izvora toplote[W / m 3], zatim:

Treća komponenta u našoj jednačini će se naći u zavisnosti od prirode TD procesa promene sistema.

Kada se razmatra izohorični proces, sva toplina dovedena u elementarnu zapreminu će se potrošiti na promjenu unutrašnje energije tvari sadržane u tom volumenu, tj. dQ= dU.

Ako uzmemo u obzir unutrašnju energiju jedinične zapremine u= f(t, v) , tada možemo napisati:

, J/m 3

, J/kg

gdje c v – izohorni toplotni kapacitet ili jedinice zapremine ili jedinice mase, [J/m3];

ρ - gustina, [kg/m 3].

Sakupimo rezultirajuće izraze:

Rezultirajući izraz je energetska diferencijalna jednadžba za izohorni proces prijenosa topline.

Jednačina za izobarni proces se izvodi na sličan način. Sva toplina dovedena u volumen će ići na promjenu entalpije tvari zatvorene u volumenu.

Rezultirajući omjer je jednadžba diferencijalne energije za izobarni proces.

U čvrstim tijelima prijenos topline se odvija prema Fourierovom zakonu
, može se uzeti vrijednost toplotnog kapaciteta
. Podsjetimo da je projekcija vektora gustine toplotnog toka na koordinatne osi određena izrazima:

Posljednji izraz naziva se diferencijalna jednadžba provođenja topline. Uspostavlja odnos između vremenskih i prostornih promjena temperature u bilo kojoj tački u tijelu u kojoj se odvija proces provođenja topline.

Najopćenitija diferencijalna jednadžba topline u parcijalnim derivatima ima isti oblik, ali u njoj količine ρ ,  , With su funkcije vremena i prostora. Ova jednadžba opisuje veliki broj problema vođenja toplote od praktičnog interesa. Ako termofizičke parametre uzmemo konstantnim, onda će jednadžba biti jednostavnija:

Označite
, zatim:

Faktor proporcionalnosti a[m 2 / s] naziva se toplinska difuzivnost i fizički je parametar tvari. Neophodan je za nestacionarne termičke procese i karakterizira brzinu promjene temperature. Ako koeficijent toplotne provodljivosti karakteriše sposobnost tela da provode toplotu, onda je koeficijent toplotne difuzivnosti mera toplotnih inercionih svojstava tela. Na primjer, tekućine i plinovi imaju veću toplinsku inerciju i, posljedično, nisku toplinsku difuzivnost, dok metali, naprotiv, imaju malu toplinsku inerciju.

Ako postoje unutrašnji izvori toplote, a temperaturno polje je stacionarno, onda dobijamo Poissonovu jednačinu:

Konačno, uz stacionarnu provodljivost toplote i odsustvo unutrašnjih izvora toplote, dobijamo Laplaceovu jednačinu:

Jedinstveni uslovi za toplotnu provodljivost.

Pošto je diferencijalna jednadžba provođenja toplote izvedena iz opštih zakona fizike, ona opisuje čitavu klasu fenomena. Da bi se to riješilo, potrebno je postaviti granične uslove ili uslove jedinstvenosti.

Uslovi za jedinstvenost uključuju:

geometrijski uslovi - karakterišu oblik i veličinu tijela;

fizička stanja karakterišu fizička svojstva okolina i tijelo;

početni (privremeni) uslovi - karakterišu distribuciju temperatura u telu u početnom trenutku vremena, postavljaju se u proučavanju nestacionarnih procesa;

granični uslovi - karakterišu interakciju razmatranog tela sa okolinom.

Granični uslovi se mogu specificirati na nekoliko načina.

Granični uslovi prve vrste. Raspodjela temperature na površini tijela se postavlja za svaki trenutak:

t c = f(x, y, z, τ )

gdje t c– temperatura površine tijela;

x, y, z su koordinate površine tijela.

U konkretnom slučaju kada je temperatura na površini konstantna kroz cijelo vrijeme procesa prijenosa topline, jednadžba se pojednostavljuje:

t c = konst

Granični uslovi druge vrste. Vrijednosti toplotnog toka se postavljaju za svaku tačku površine tijela i bilo koji trenutak vremena. Analitički izgleda ovako:

q c = f(x, y, z, τ )

U najjednostavnijem slučaju, gustina toplotnog toka preko površine tela ostaje konstantna. Takav se slučaj događa kada se metalni proizvodi zagrijavaju u visokotemperaturnim pećima.

Granični uslovi treće vrste. Ovo postavlja temperaturu okoline t sri i zakon prenosa toplote između površine tela i okoline. Newton-Richmannov zakon koristi se za opisivanje procesa prijenosa topline. Prema ovom zakonu, količina toplote koju odaje ili primi jedinica površine tijela u jedinici vremena proporcionalna je temperaturnoj razlici između površine tijela i medija:

gdje α koeficijent proporcionalnosti, nazvan koeficijent prolaza toplote [W / (m 2 K)], karakteriše intenzitet prenosa toplote. Numerički, ona je jednaka količini toplote koju daje jedinica površine tijela u jedinici vremena pri temperaturnoj razlici od jednog stepena. Prema zakonu održanja energije, količina toplote koja se odvodi u okolinu mora biti jednaka toploti koja se dovodi usled provođenja toplote iz unutrašnjih delova tela, odnosno:

Posljednja jednačina je granični uvjet treće vrste.

Postoje složeniji tehnički problemi, kada se nijedan od navedenih uslova ne može postaviti, a onda je potrebno problem riješiti metodom konjugacije. Prilikom rješavanja ovakvog problema moraju biti zadovoljeni uvjeti jednakosti temperatura i toplotnih tokova na obje strane međupovršine. U opštem slučaju, uslovi konjugacije se mogu napisati:

Rješenje pridruženog problema povezano je sa pronalaženjem temperaturnih polja na obje strane interfejsa.

Formule za proračun temperaturnog polja i toplotnog toka u pojedinim problemima stacionarnog i nestacionarnog provođenja toplote dobijene su na osnovu matematičkog opisa (matematičkog modela) procesa. Osnova modela je diferencijalna jednadžba provođenja topline, koja je izvedena korištenjem prvog zakona termodinamike za tijela koja ne rade, i Fourierovog zakona provođenja topline. Diferencijalna jednadžba fizičkog procesa obično se izvodi pod određenim pretpostavkama koje pojednostavljuju proces. Dakle, rezultirajuća jednačina opisuje klasu procesa samo u okviru prihvaćenih pretpostavki. Svaki specifični zadatak je opisan odgovarajućim uslovima jedinstvenosti. Dakle, matematički opis procesa provođenja toplote uključuje diferencijalnu jednačinu toplotne provodljivosti i uslove jedinstvenosti.

Razmotrimo izvođenje diferencijalne jednadžbe provođenja topline pod sljedećim pretpostavkama:

• a) tijelo je homogeno i anizotropno;
• b) koeficijent toplotne provodljivosti zavisi od temperature;
• c) deformacija zapremine koja se razmatra, povezana sa promjenom temperature, vrlo je mala u odnosu na sam volumen;
• d) unutar tela su ravnomerno raspoređeni unutrašnji izvori toplote q v = f(x, y, z, m) = const;
• e) nema pomeranja telesnih makročestica jedna u odnosu na drugu (konvekcija).

U tijelu sa prihvaćenim karakteristikama odabiremo elementarni volumen u obliku paralelepipeda sa ivicama dx, dy, dz, definitivno fokusiran na ortogonalni sistem koordinate (slika 14.1). U skladu sa prvim zakonom termodinamike za tijela koja ne rade, promjena unutrašnje energije dU supstance u dodeljenoj zapremini tokom vremena dx jednak je količini dovedene toplote

Rice. 14.1.

zapremine zbog provodljivosti toplote dQ x , i toplote koju oslobađaju unutrašnji izvori dQ2".

Iz termodinamike je poznato da je promjena unutrašnje energije tvari u volumenu dV tokom dx jednaki

gdje dG = str dv- masa supstance; p - gustina; With - specifični maseni toplinski kapacitet (za kompresibilne tekućine c = cv (izohorni toplotni kapacitet)).

Količina energije koju izdvajaju unutrašnji izvori,

gdje qv - zapreminska gustina unutrašnjih izvora toplote, W / m 3.

Toplotni tok koji ulazi u zapreminu toplotnom provodljivošću dijeli se na tri komponente prema smjeru koordinatnih osa: Kroz suprotna lica će biti vrućina

biti uklonjena u određenoj količini Razlika između količine dovedene i odvedene topline je ekvivalentna promjeni unutrašnje energije zbog toplinske provodljivosti dQ v Ovu vrijednost predstavljamo kao zbir komponenti duž koordinatnih osa:

Zatim u smjeru x-ose imamo

Zbog -

gustine toplotnog fluksa na suprotnim kanalima.

Funkcija qx+dx je kontinuiran u razmatranom intervalu dx i može se proširiti u Taylor seriju:

Ograničavajući se na prva dva člana niza i zamjenom u (14.6), dobijamo

Slično, dobijamo:

Nakon zamjene (14.8)-(14.10) u (14.4) imamo

Zamjenom (14.2), (14.3) i (14.11) u (14.1) dobijamo diferencijalnu jednačinu za prijenos topline provođenjem topline, uzimajući u obzir unutrašnje izvore:

Prema Fourierovom zakonu provođenja toplote, zapisujemo izraze za projekcije na koordinatne osi gustine toplotnog fluksa:

gdje X x, X y, X z- koeficijenti toplotne provodljivosti u pravcu koordinatnih osa (anizotropno telo).

Zamjenom ovih izraza u (14.12) dobijamo

Jednačina (14.13) se naziva diferencijalna jednačina topline za anizotropna tijela sa fizičkim svojstvima nezavisnim od temperature.

Ako prihvatite X= const, a tijelo je izotropno, jednadžba topline poprima oblik

Evo a = H/(sr), m 2 / s, - termička difuzivnost,

što je fizički parametar tvari koji karakterizira brzinu promjene temperature u procesima zagrijavanja ili hlađenja. Tijela napravljena od tvari s visokim koeficijentom toplinske difuzije, ceteris paribus, brže se zagrijavaju i hlade.

U cilindričnom koordinatnom sistemu, diferencijalna toplotna jednačina za izotropno tijelo sa konstantnim fizičkim svojstvima ima oblik

gdje g, z, F - radijalne, aksijalne i ugaone koordinate.

Jednačine (14.13), (14.14) i (14.15) opisuju proces provođenja toplote u opšti pogled. Konkretni zadaci se razlikuju uslovi jedinstvenosti, tj. opis karakteristika procesa koji se razmatra.

uslovi za nedvosmislenost. Na osnovu fizičkih koncepata toplotne provodljivosti, moguće je izdvojiti faktore koji utiču na proces: fizička svojstva supstance; veličina i oblik tijela; početna raspodjela temperature; uslovi prenosa toplote na površini (granici) tela. Tako se uvjeti jedinstvenosti dijele na fizičke, geometrijske, početne i granične (granične).

fizičkim uslovima dati su fizički parametri supstance X, s, p i distribucija internih izvora.

Geometrijski pojmovi zadaju se oblik i linearne dimenzije tijela u kojem se proces odvija.

Početni uslovi data je raspodjela temperature u tijelu u početnom trenutku vremena t= /(x, y, z) na m = 0. Početni uslovi važni su kada se razmatraju nestacionarni procesi.

U zavisnosti od prirode prenosa toplote na granici tela, granični (granični) uslovi se dele na četiri tipa.

Granični uslovi prve vrste. Određuje raspodjelu temperature na površini t n tokom procesa

U posebnom slučaju, temperatura površine može ostati konstantna (/n = const).

Granični uvjeti prve vrste nastaju, na primjer, prilikom kontaktnog zagrijavanja u procesima lijepljenja šperploče, presovanja iverice i lesonita itd.

Granični uslovi druge vrste. Postavlja se distribucija vrijednosti gustine toplotnog toka na površini tijela tokom procesa

U određenom slučaju, toplotni tok na površini može ostati konstantan (

Granični uslovi treće vrste odgovaraju konvektivnom prijenosu topline na površini. U tim uslovima treba podesiti temperaturu tečnosti u kojoj se telo nalazi, Tf = /(t), i koeficijent prolaza toplote oc. U opštem slučaju, koeficijent prolaza toplote je promenljiva vrednost, stoga se mora postaviti zakon njegove promene a = / (t). Moguć je poseban slučaj: / f = const; a = konst.

Granični uslovi četvrte vrste okarakterizirati uvjete razmjene topline tijela sa različitim koeficijentima toplotne provodljivosti na njihovom idealnom kontaktu, kada se toplota prenosi toplotnom provodljivošću, a toplotni tokovi na suprotnim stranama kontaktne površine su jednaki:

Prihvaćene fizičke pretpostavke, jednačina izvedena na osnovu ovih pretpostavki i uvjeti jedinstvenosti čine analitički opis ( matematički model) procesi provođenja toplote. Uspeh korišćenja dobijenog modela za rešavanje konkretnog problema zavisiće od toga koliko su prihvaćene pretpostavke i uslovi jedinstvenosti adekvatni realnim uslovima.

Jednačine (14.14) i (14.15) se vrlo jednostavno rješavaju analitički za jednodimenzionalni stacionarni termički režim. Rješenja se razmatraju u nastavku. Za dvodimenzionalne i trodimenzionalne stacionarne procese koriste se približne numeričke metode

Za rješavanje jednačina (14.13) - (14.15) u uslovima nestacionarnog termičkog režima koristi se niz metoda koje su detaljno razmotrene u posebnoj literaturi. Poznate su egzaktne i približne analitičke metode, numeričke metode itd.

Numeričko rješavanje jednačine topline provodi se uglavnom metodom konačnih razlika. Izbor jedne ili druge metode rješenja ovisi o uvjetima problema. Kao rezultat rješavanja analitičkim metodama dobijaju se formule koje su primjenjive na rješavanje niza inženjerskih problema pod odgovarajućim uvjetima. Numeričke metode omogućavaju dobijanje temperaturnog polja t=f(x, y, z, m) kao skup diskretnih temperaturnih vrijednosti u različitim točkama u fiksno vrijeme za određeni zadatak. Stoga je upotreba analitičkih metoda poželjna, ali to nije uvijek moguće za višedimenzionalne probleme i složene granične uslove.

U nastavku ćemo razmotriti nekoliko problema za određivanje temperaturnih polja za relativno jednostavne geometrijske i fizičkim uslovima, koji omogućavaju analitička rješenja jednostavnog oblika i istovremeno pružaju korisnu ilustraciju karakterističnih fizičkih procesa povezanih s prijenosom topline u čvrstoj tvari.

Zamislite štap sa termoizolovanom bočnom površinom (slika 38). U tom slučaju prijenos topline se može odvijati duž štapa. Ako kombinujete štap sa osovinom Kartezijanski sistem koordinate, tada će stacionarna jednačina topline imati oblik

Pri konstantnim vrijednostima koeficijenta toplinske provodljivosti zapreminske snage oslobađanja topline, posljednja jednadžba se može integrirati dva puta

(75)

Konstante integracije se mogu naći iz graničnih uslova. Na primjer, ako je temperatura na krajevima štapa , . Tada iz (75) imamo

Odavde nalazimo konstante integracije i . Rješenje pod naznačenim graničnim uvjetima će poprimiti oblik

Iz posljednje formule se vidi da u nedostatku izvora topline . Temperatura u štapu linearno varira od jedne granične vrijednosti do druge

Razmotrimo sada drugu kombinaciju graničnih uslova. Neka vanjski izvor stvara toplinski tok na lijevom kraju štapa. Na desnom kraju štapa zadržavamo prethodni uslov, tako da imamo

Izražavajući ove uslove uz pomoć opšteg integrala (75), dobijamo sistem u odnosu na konstante integracije

Nakon što smo pronašli nepoznate konstante iz rezultujućeg sistema, dobijamo rešenje u obliku

Kao iu prethodnom primjeru, u nedostatku unutrašnjih izvora oslobađanja topline, raspodjela temperature duž štapa bit će linearna

U ovom slučaju, temperatura na lijevom kraju štapa, gdje se nalazi vanjski izvor topline, bit će jednaka .

Kao sljedeći primjer, pronađimo stacionarnu raspodjelu temperature duž polumjera u kontinuiranom dugom kružnom cilindru (slika 39). U ovom slučaju, upotreba cilindričnog koordinatnog sistema značajno će pojednostaviti zadatak. U slučaju cilindra s velikim omjerom dužine i polumjera i konstantama raspodjele

Kao unutrašnji izvor oslobađanja toplote, temperatura daleko od krajeva cilindra može se smatrati nezavisnom od aksijalne koordinate cilindričnog sistema. Tada jednačina stacionarne topline (71) poprima oblik

Dvostruka integracija posljednje jednadžbe (za konstantu) daje

Uslov simetrije za raspodjelu temperature na osi cilindra () daje

Gde da stignemo

Posljednji uvjet će biti zadovoljen za . Neka se temperatura podesi na površini cilindra (). Tada se iz jednačine može naći druga konstanta integracije

Odavde nalazimo i zapisujemo rješenje u konačnom obliku

Kao numerički primjer primjene dobivenog rezultata razmatramo raspodjelu temperature u plazmi cilindričnog lučnog pražnjenja polumjera mm. Granica kanala pražnjenja formira se kao područje u kojem se zaustavljaju procesi jonizacije. Videli smo gore da primetna jonizacija gasa tokom zagrevanja prestaje na K. Stoga se smanjena vrednost može uzeti kao granica K. Zapreminska gustina snage oslobađanja toplote u pražnjenoj plazmi može se naći iz Joule-Lenzovog zakona, gdje σ je električna provodljivost plazme, E- tenzija električno polje u kanalu za pražnjenje. Karakteristične vrijednosti za lučno pražnjenje su 1/Ohm m, V/m. Toplotna provodljivost lučne plazme je veća nego u neutralnom gasu, pri temperaturama reda od 10.000 K njena vrijednost se može uzeti jednakom. Dakle, parametar . Raspodjela temperature duž radijusa prikazana je na sl. 39. U ovom slučaju, temperatura na osi pražnjenja () će biti 8000 K.

U sljedećem primjeru razmatramo termalno polje sa sfernom simetrijom. Takvi uvjeti nastaju, posebno, ako se u njemu nalazi mali izvor topline veliki niz, na primjer, međuzavojni kvar u namotaju velike električne mašine. U ovom slučaju, poravnavanje centra sferni sistem koordinira sa izvorom oslobađanja toplote, stacionarnu toplotnu jednačinu (64) možemo dovesti do oblika:

Integrirajući ovu jednačinu dvaput, nalazimo

Da se vratimo na naš primjer, pretpostavimo da se lučni rasjed odvija unutar sferne šupljine polumjera (slika 40). Uzmimo otpor lučnog pražnjenja jednak Ohm, struja pražnjenja A. Tada će snaga oslobođena u šupljini biti . Razmotrimo rješenje izvan opsega izvora topline.

Tada integral jednadžbe topline postaje jednostavniji

Da bismo izračunali integracione konstante, prvo koristimo uslov u tačkama beskonačno udaljenim od mesta pražnjenja, gde je C temperatura okoline. Iz posljednjeg izraza nalazimo . Da bismo odredili konstantu, pretpostavljamo da je pražnjenje toplotnu energiju ravnomjerno raspoređena po površini sferne šupljine polumjera . Stoga će toplinski tok na granici šupljine biti

Zbog , onda iz posljednje dvije jednačine imamo

i konačnu odluku

U ovom slučaju, temperatura na granici šupljine (mm) na W/mK će biti K (Sl. 40).

Kao prvi primjer ove grupe, razmotrite termičko polje u poprečnom presjeku okrugle žice sa kanalom za hlađenje (Sl. 41, a). Žice sa kanalima za hlađenje koriste se u namotajima snažnih električnih mašina i zavojnica za proizvodnju jakih magnetnih polja. Ove uređaje karakterizira dug tok struja s amplitudom od stotina, pa čak i tisuća ampera. Na primjer, pumpa se tekućina, kao što je voda, ili plin (vodik, zrak), što osigurava odabir toplinske energije sa unutrašnje površine kanala i hlađenje žice u cjelini. U ovom slučaju radi se o prisilnom konvektivnom hlađenju površine kanala, za što možemo koristiti granični uvjet treće vrste koji je gore opravdan (67). Ako kombinujemo os cilindričnog koordinatnog sistema sa osom žice, tada će temperatura zavisiti samo od radijalne koordinate. Opšti integral jednačine stacionarne toplote za ovaj slučaj smo dobili ranije

Volumetrijska gustina snage oslobađanja topline nalazi se iz Joule-Lenzovog zakona: , j- gustina struje, σ - električna provodljivost,

gdje R- radijus preseka žice, a- radijus rashladnog kanala. Žica je sa vanjske strane okružena slojevima izolacije, koja u odnosu na vodič ima relativno nisku toplinsku provodljivost. Stoga, u prvoj aproksimaciji, prihvaćamo vanjsku površinu žice kao toplinski izoliranu, tj. toplinski tok na njoj

Na površini rashladnog kanala, toplotni tok je određen stanjem treće vrste

gdje je koeficijent prolaza topline, temperatura rashladnog toka. Znak minus na desnoj strani uzima se zbog činjenice da je normala na unutrašnju površinu kanala usmjerena u suprotnom smjeru od osi.

Zamjenom izraza za temperaturu (76) u prvi od napisanih graničnih uslova, dobijamo

gdje . Drugi granični uslov daje

gde da nađemo

Međutim, od (76)

Upoređujući posljednja dva izraza, nalazimo

Nakon zamjene pronađenih konstanti u opće rješenje (76) i transformacija, dobijamo

Temperatura na granicama preseka žice iz dobijenog rastvora će se izračunati po formulama

Raspodjela temperature duž polumjera presjeka za žicu sa kanalom za hlađenje sa parametrima: A, W/mK, 1/Ohm m, o C, mm, cm je prikazan na sl. 41, b.

Od sl. 41, b proizilazi da je unutar poprečnog presjeka žice promjena temperature relativno mala u odnosu na njenu prosječnu vrijednost, što se objašnjava visokom toplotnom provodljivošću λ i relativno male dimenzije poprečnog presjeka žice.

Drugačija situacija se javlja u raspodjeli temperature duž žice, koja se sastoji od odvojenih dijelova koji su u kontaktu jedan s drugim. Pogoršanje kvalitete kontakata između spojenih vodiča dovodi do povećanja proizvodnje topline na spoju dvije žice u odnosu na samu žicu. Daljinsko mjerenje temperature žice pomoću termovizira ili pirometara omogućava dijagnosticiranje kvaliteta kontaktnih veza.

Izračunajmo raspodjelu temperature duž žice u prisustvu neispravnog kontakta. Prethodni primjer je pokazao da je čak i pod najtežim uvjetima promjena temperature unutar presjeka žice vrlo mala. Stoga, za naš proračun možemo, u prvoj aproksimaciji, pretpostaviti da je raspodjela temperature unutar poprečnog presjeka žice ujednačena. Raspodjela proizvodnje topline duž žice ovisi o raspodjeli električni otpor duž žice, koja je ujednačena dalje od kontakta i povećava se kako se približava. Kombinujmo osu dekartovog koordinatnog sistema sa osom žice, a ishodište koordinata - sa centrom kontaktne površine (slika 42). Kao model raspodjele otpora duž žice uzimamo sljedeću raspodjelu linearnog otpora

gdje je , parametar koji karakterizira linearnu veličinu kontaktne površine . Snaga odvođenja topline po jedinici dužine žice je . Po jedinici zapremine, snaga oslobađanja toplote je

gdje S- presek žice. Žica se hladi prirodnom konvekcijom sa svoje površine. Konvektivni toplotni tok po jedinici dužine žice je

gdje α - koeficijent prolaza toplote, - temperatura okolnog vazduha, str- perimetar presjeka žice. Prenos toplote u okolinu po jedinici zapremine provodnika će biti

Stacionarna distribucija temperature duž žice će se pridržavati jednadžbe provodljivosti topline

Za daljnje transformacije rezultirajuće jednačine uzimamo konstantu koeficijenta toplinske provodljivosti duž žice, zamjenjujemo gornje izraze za i , a također kao željenu funkciju umjesto T uzmimo:

dolazimo do linearne nehomogene diferencijalna jednadžba

Rješenje rezultirajuće jednačine tražit ćemo u obliku zbira općeg rješenja homogena jednačina

i posebno rješenje u obliku desne strane

.

Izvođenje toplotne jednačine

Zamislite homogeno tijelo i izolirajte iz njega elementarni volumen sa stranicama (slika 1).

Slika 1. Kontrolni volumen u pravokutnom koordinatnom sistemu

Dolazni toplotni tokovi koji se nalaze okomito na površine će biti označeni kao, . Tokovi na suprotnim površinama mogu se izraziti iz Taylorove serije:

Unutar tijela mogu postojati i unutrašnji izvori topline, ako postoje ponori, ako:

Promjena unutrašnje energije:

Zamjenjujemo jednačine (1.1.1) u rezultirajuću jednačinu (1.1.5):

Zamjenjujući ih u jednačinu (1.1.6), dobijamo jednačinu provodljivosti toplote u opštem obliku za trodimenzionalni prostor:

Uvodimo koeficijent toplinske difuzivnosti:

i izostaviti unutrašnje izvore toplote. Dobijamo jednačinu provođenja toplote u trodimenzionalni prostor bez unutrašnjih izvora toplote:

Uslovi jedinstvenosti

Jednačina (1.1) opisuje proces općenito. Da bi se primenio na određeni problem, potrebni su dodatni uslovi, koji se nazivaju uslovi jedinstvenosti. Ovi uslovi uključuju geometrijske (oblik i dimenzije tela), fizičke (fizičke osobine tela), vremenske (početna raspodela temperature) i granične uslove (opisuju proces razmene toplote sa okruženje).

Granični uslovi se mogu podijeliti u tri glavna tipa:

1. Dirichletovi rubni uvjeti: data je vrijednost funkcije na granici.

U slučaju problema provođenja topline, postavljaju se vrijednosti temperature na površini tijela.

2. Neumannovi granični uvjeti: dat je normalni izvod funkcije na granici.

Podesite gustinu toplotnog toka na površini tela.

3. Robinovi granični uslovi: dati linearna kombinacija vrijednosti funkcije i njene derivacije na granici.

Opišite prijenos topline između površine tijela i okoline prema Newton-Richmannovom zakonu.

U ovom radu će se koristiti samo Dirichletovi granični uslovi, zbog složenosti implementacije preostalih graničnih uslova.