Primjer 2 Razmotrimo, na primjer, funkciju tri varijable f(X,at,z), ima sljedeću tabelu istinitosti:

Sa leksikografskim redom lokacije vektora varijabilnih vrijednosti  X n mogu se izostaviti i funkcija će biti potpuno definirana sama po sebi vektor vrijednosti istine f= (10110110).

Matrična metoda

To znači da mnogo varijabli  X n deli na dva dela  at m i  z n–m tako da su sve moguće istinite vrijednosti vektora  at m su iscrtane duž redova matrice i sve moguće istinite vrijednosti vektora  z n-m— po kolonama. Vrijednosti istine funkcije f na svakom setu   n = ( 1 , ...,  m ,  m+ 1 ,...,  n) smješteni su u ćelije formirane presjekom linije ( 1 , ...,  m) i kolona ( m+ 1 ,...,  n).

U prethodnom primjeru 2, u slučaju dijeljenja varijabli ( x, y, z) u podskupove ( X) i ( y, z) matrica ima oblik:

	y,z

Bitna karakteristika matrične metode postavljanja je da kompletan skup varijabli  X n, koje odgovaraju susjednim (i vertikalno i horizontalno) ćelijama, razlikuju se u jednoj koordinati.

Dodjela korištenjem kompletnog binarnog stabla

Za opis n-lokalna funkcija f( X n) koristi svojstvo binarnog stabla visine n, koji se sastoji u činjenici da svaki viseći vrh u njemu jedan prema jedan odgovara određenom skupu vrijednosti vektora  X n. U skladu s tim, ovom visećem vrhu može se dodijeliti ista istinita vrijednost koju funkcija ima na ovom skupu f. Kao primjer (sl. 1.3) predstavljamo zadatak uz pomoć binarnog stabla funkcije tri mjesta razmatrane gore f=(10110110).

Prvi red cifara dodijeljenih visećim vrhovima stabla označava leksikografski broj skupa, drugi je sam skup, a treći vrijednost funkcije na njemu.

Posao san - kocka jedinica dimenzijeAT n

Jer vrhovi AT n također se može mapirati jedan-na-jedan u skup svih skupova  X n, onda n-lokalna funkcija f(X n) se može specificirati dodjeljivanjem njegovih istinitih vrijednosti odgovarajućim vrhovima kocke AT n . Slika 1.4 prikazuje zadatak funkcije f= (10110110) na Kubi AT 3 . Istine vrijednosti su dodijeljene vrhovima kocke.

Definicija . Algebra logike imenovati skup Bulovih konstanti i varijabli zajedno sa logičkim konektivima uvedenim na njima.

zadatak formule

Funkcije logičke algebre mogu se dati kao analitički izrazi.

Definicija. Neka bude X― abeceda varijabli i konstanti koja se koristi u algebri logike, F― skup notacija za sve elementarne funkcije i njihove generalizacije za broj varijabli veći od 2.

Formula preko X, F(formula logičke algebre) nazovimo sve zapise forme:

a) X, gdje X X;

b)  F 1 , F 1 &F 2 ,F 1 F 2 , F 1 F 2 , F 1  F 2 , F 1 F 2 ,F 1 F 2 ,F 1 F 2 , gdje F 1 , F 2 su formule gotove X, F;

u) h(F 1 , … ,F n ), gdje n > 2, F 1 ,… ,F n su formule gotove X,F, h ― notacija za generaliziranu funkciju praga iz F .

Kao što slijedi iz definicije, za binarne elementarne funkcije koristi se infiksni oblik, u kojem se simbol funkcije stavlja između argumenata, za negaciju i generalizirane funkcije koristi se prefiksni oblik, u kojem se simbol funkcije stavlja ispred argumenta. lista.

Primjer 3

1. Izrazi X(atz); ( x, y, z  u) su formule algebre logike, jer zadovoljavaju gore datu definiciju.

2. Izraz  X (at z) nije formula algebre logike, jer je operacija pogrešno primijenjena  .

Definicija. Funkcija realizovana formulom F, je funkcija dobivena zamjenom vrijednosti varijabli u F. Označimo ga f(F).

Primjer 4 Razmotrite formulu F=hu (Xz). Da bi se izgradila tabela istinitosti implementirane funkcije, potrebno je uzastopno, uzimajući u obzir snagu logičkih spojeva, izvršiti logičko množenje hu, zatim implikacija ( Xz), zatim dodajte dobivene vrijednosti istinitosti po modulu 2. Rezultat akcija prikazan je u tabeli:

				X z

Formula reprezentacija funkcija omogućava a priori procjenu mnogih svojstava funkcija. Prijelaz sa zadatka formule na tablicu istinitosti uvijek se može izvršiti uzastopnim zamjenama istinitih vrijednosti u elementarne funkcije uključene u formulu. Obrnuti prijelaz je dvosmislen, jer se ista funkcija može predstaviti različitim formulama. To zahtijeva odvojeno razmatranje.

Neka se skup vrijednosti vektorske funkcije skalarnog argumenta svede na zajednički ishodište u tački 0. Kombinirajmo početak kartezijanskog koordinatnog sistema sa ovom tačkom. Tada se za bilo koji vektor može proširiti u terminima ortova

Dakle, specificiranje vektorske funkcije skalarnog argumenta znači specificiranje tri skalarne funkcije Kada se vrijednost argumenta promijeni, kraj vektora će opisivati ​​krivulju u prostoru, koja se naziva hodograf vektora

Neka postoji bliska vrijednost za Tada se poziva derivacija vektorske funkcije prema skalarnom argumentu

№17 Brzina i ubrzanje tačke u krivolinijskom kretanju

Brzina

Brzina se unosi kao karakteristika kretanja materijalne tačke. Brzina je vektorska veličina koju karakteriše i brzina kretanja (modul vektora brzine) i njegov smjer (smjer vektora brzine) u datom trenutku. Neka se materijalna tačka kreće duž neke krivolinijske putanje, a u trenutku t odgovara radijus vektoru r0 (slika 1). Za mali vremenski interval Δt, tačka će napraviti putanju Δs i istovremeno dobiti elementarni (beskonačno mali) pomak Δr.

Vektor prosječne brzine je omjer prirasta Δr radijus-vektora tačke i vremenskog intervala Δt:

Smjer vektora prosječne brzine poklapa se sa smjerom Δr. Uz beskonačno smanjenje Δt, prosječna brzina teži vrijednosti koja se zove trenutna brzina v:

To znači da je trenutna brzina v vektorska veličina, koja je jednaka prvom izvodu radijus-vektora pokretne tačke u odnosu na vrijeme. Jer u granici sekansa se poklapa sa tangentom, tada je vektor brzine v usmjeren tangencijalno na putanju u smjeru kretanja (slika 2).

Fig.2

Kako se Δt smanjuje, Δs će se sve više približavati |Δr|, tako da trenutni modul brzine

To znači da je modul trenutne brzine jednak prvom izvodu puta u odnosu na vrijeme:

Kada ne ravnomerno kretanje trenutni modul brzine je različit u različitim vremenima. U ovom slučaju se koristi skalarna vrijednost - prosječna brzina neravnomerno kretanje:

Ako tokom vremena integrišemo u rasponu od t do t + Δt izraz ds=vdt (vidi formulu (2)), tada ćemo pronaći dužinu putanje koju je prešla tačka za vrijeme Δt:

U slučaju ravnomjernog kretanja, brojčana vrijednost trenutne brzine je konstantna; Tada izraz (3) poprima oblik

Dužina puta koju pređe tačka u vremenskom intervalu od t1 do t2 data je integralom

ACCELERACIJA

Kod neravnomjernog kretanja često je potrebno znati koliko se brzo mijenja brzina tokom vremena. Fizička količina, koji karakterizira brzinu promjene brzine u veličini i smjeru, naziva se ubrzanje. Razmotrimo kretanje u ravni - kretanje u kojem trajektorije svake tačke sistema koji se razmatra leže u istoj ravni. Neka je vektor v brzina tačke A u trenutku t. Tokom vremena Δt, tačka se pomerila u poziciju B i dobila brzinu različitu od v i po modulu i po pravcu i jednaku v1 + Δv. Vektor v1 prenosimo u tačku A i nalazimo Δv (slika 1).

Prosečno ubrzanje neravnomernog kretanja u intervalu od t do t + Δt je vektorska veličina jednaka odnosu promene brzine Δv i vremenskog intervala Δt:

Trenutačno ubrzanje a (ubrzanje) materijalne tačke u trenutku t će biti vektorska veličina:

jednak prvom izvodu brzine u odnosu na vrijeme.

Razložimo vektor Δv na dvije komponente. Da bismo to učinili, iz tačke A (slika 1) u pravcu brzine v, odvajamo vektor AD, po modulu jednak v1. Očigledno, vektor CD, jednak Δvτ, određuje promjenu brzine tokom vremena Δt po modulu: Δvτ=v1-v. Druga komponenta Δvn vektora Δv karakterizira promjenu brzine tokom vremena Δt u smjeru.

Tangencijalna komponenta ubrzanja:

tj. jednak prvom vremenskom izvodu modula brzine, čime se određuje brzina promjene brzine po modulu.

Tražimo drugu komponentu ubrzanja. Pretpostavljamo da je tačka B veoma blizu tački A, pa se Δs može smatrati lukom kružnice nekog poluprečnika r, malo drugačijim od tetive AB. Trokut AOB je sličan trokutu EAD, što implicira Δvn/AB=v1/r, ali pošto je AB=vΔt, onda

U granici na Δt→0 dobijamo v1→v.

Jer v1→v, ugao EAD teži nuli, i pošto trougao EAD je jednakokračan, tada ugao ADE između v i Δvn teži pravom kutu. Stoga, kako je Δt→0, vektori Δvn i v postaju međusobno okomiti. Jer vektor brzine je usmjeren tangencijalno na putanju, tada je vektor Δvn, okomit na vektor brzine, usmjeren na centar zakrivljenosti putanje tačke. Druga komponenta ubrzanja, jednaka

naziva se normalna komponenta ubrzanja i usmjerena je duž prave linije okomite na tangentu putanje (koja se naziva normala) na centar njene zakrivljenosti (dakle, naziva se i centripetalno ubrzanje).

Ukupno ubrzanje tijela je geometrijski zbir tangencijalne i normalne komponente (slika 2):

To znači da je tangencijalna komponenta ubrzanja karakteristika brzine promjene brzine u apsolutnoj vrijednosti (usmjerena tangencijalno na putanju), a normalna komponenta ubrzanja je karakteristika brzine promjene brzine u smjeru (usmjerena prema centar zakrivljenosti putanje). Ovisno o tangencijalnoj i normalnoj komponenti ubrzanja, kretanje se može klasificirati na sljedeći način:

1)aτ=0, an=0 - pravolinijsko ravnomjerno kretanje;

2)aτ=an=const, an=0 - pravolinijski ravnomerno kretanje. Sa ovom vrstom kretanja

Ako je početni trenutak vremena t1 = 0, a početna brzina v1 = v0, onda, označavajući t2=t i v2 = v, dobijamo a=(v-v0)/t, odakle

Integrirajući ovu formulu od nule do proizvoljnog vremena t, nalazimo da je dužina putanje koju pređe tačka u slučaju jednoliko promjenjivog kretanja

3)aτ=f(t), an=0 - pravolinijsko kretanje s promjenjivim ubrzanjem;

4)aτ=0, an=konst. Kada je aτ=0, modulo brzina se ne mijenja, već mijenja smjer. Iz formule an=v2/r slijedi da radijus zakrivljenosti mora biti konstantan. Dakle, kružno kretanje je ujednačeno; jednolično krivolinijsko kretanje;

5)aτ=0, an≠0 ravnomerno krivolinijsko kretanje;

6)aτ=const, an≠0 - krivolinijsko ravnomerno kretanje;

7)aτ=f(t), an≠0 - krivolinijsko kretanje sa promjenjivim ubrzanjem.

#18 Jednačine tangentne ravni i normalne površine

Definicija. Neka je funkcija dvije varijable z =f(h,u) data na domeni D, M0(x0;y0) je unutrašnja tačka domene D, M(x0+Δx;y+Δy) je tačka iz D "susedni" sa M0.

Razmislite puni prirast karakteristike:

Ako je Δz predstavljen kao:

gdje su A, B konstante (nezavisne od Δx, Δy), - rastojanje između M i M0, α(Δx,Δy) - beskonačno malo pri Δx 0, Δy 0; tada se funkcija z = f(x, y) naziva diferencijabilna u tački M0, a izraz

naziva se ukupni diferencijal funkcije z = f(x; y) u tački M0.

Teorema 1.1. Ako je z =f(x;y) diferencijabilno u tački M0, onda

Dokaz

Pošto su u (1.16) Δx, Δy proizvoljno beskonačno male, možemo uzeti Δy =0, Δx≠0, Δx 0, tada

nakon čega slijedi iz (1.16)

Slično, dokazano je da

i teorema 1.1. dokazan.

Napomena: diferencijabilnost z = f(x, y) u tački M0 implicira postojanje parcijalnih izvoda. Obratno nije tačno (postojanje parcijalnih izvoda u tački M0 ne implicira diferencijabilnost u tački M0).

Kao rezultat, uzimajući u obzir teoremu 1.1, formula (1.18) poprima oblik:

Posljedica. Funkcija diferencibilna u tački M0 je u ovoj tački kontinuirana (pošto (1.17) implicira da je za Δx 0, Δy 0: Δz 0, z(M) z(M0)).

Napomena: Slično za slučaj tri ili više varijabli. Izraz (1.17) će imati oblik:

Koristeći geometrijskom smislu(Sl. 1.3) parcijalne derivacije i možete dobiti sljedeću jednačinu (1.24) tangentne ravni πkasa na površinu: z = f (x, y) u tački C0 (x0, y0, z0), z0 = z ( M):

Uspoređujući (1.24) i (1.21) dobijamo geometrijsko značenje ukupnog diferencijala funkcije dvije varijable:

Povećanje aplikacije z tokom kretanja tačke C duž tangentne ravni od tačke C0 do tačke

gdje je iz (1.24).

Jednadžba normale Ln na površinu: z \u003d f (x, y) u tački C0 dobiva se kao jednadžba prave linije koja prolazi kroz C0 okomito na tangentnu ravninu:

br. 19 Derivat u pravcu. Gradijent

Neka funkcija i tačka . Nacrtajmo vektor iz tačke čiji kosinus smjera . Na vektoru , na udaljenosti od njegovog početka, razmotrite tačku , tj. .

Pretpostavit ćemo da je funkcija a njegove parcijalne derivacije prvog reda su kontinuirane u domeni.

Granica relacije na naziva se derivacija funkcije u tački u smjeru vektora i označava se sa , tj. .

Za pronalaženje derivacije funkcije in dati poen u pravcu vektora koristite formulu:

gdje su kosinusi smjera vektora , koji se izračunavaju po formulama:
.

Neka funkcija .

Vektor čije su projekcije na koordinatne osi vrijednosti parcijalnih izvoda ove funkcije u odgovarajućoj točki naziva se gradijent funkcije i označava se ili (čitaj "nabla u"): .

U ovom slučaju kažemo da je u domeni definirano vektorsko polje gradijenata.

Da biste pronašli gradijent funkcije u datoj tački koristite formulu: .

br. 22 glavna svojstva nisu definitivni integral

Neodređeni integral

gdje je F antiderivat funkcije f (na intervalu); C je proizvoljna konstanta.

Osnovna svojstva

1.

2.

3. Ako onda

24)

25)

28)

Ova metoda se koristi u slučajevima kada je integrand proizvod ili količnik heterogenih funkcija. U ovom slučaju, V'(x) se uzima kao dio koji se lako integrira.

29)

32) Dekompozicija racionalnog razlomka na proste razlomke.

Svaki pravilan racionalni razlomak
može se predstaviti kao zbir konačnog broja jednostavnih racionalnih razlomaka prvog - četvrtog tipa. Za razgradnju
imenilac se mora rastaviti na jednostavne razlomke Q m (x) do linearnog i kvadratni faktori, za koji trebate riješiti jednačinu:

- (5)

Teorema.Pravilan racionalni razlomak
, gdje
, mogu jedini način rastaviti na zbir prostih razlomaka:

- (6)

(A 1 , A 2 , …, A k , B 1 , B 2 , …, B 1 , M 1 , N 1 , M 2 , M 2 , …, M s , N s su neki realni brojevi).

33) Dekompozicija pravilnog razlomka na jednostavnije razlomke sa kompleksnim korijenima nazivnika

Formulacija problema. Pronađite neodređeni integral

1 . Hajde da uvedemo notaciju:

Uporedite stepene brojnika i nazivnika.

Ako je integrand nepravilan racionalni razlomak, tj. brojnik stepenan veći ili jednak stepenu nazivnikam , tada prvo biramo cijeli broj racionalne funkcije dijeljenjem brojnika sa nazivnikom:

Ovdje je polinom ostatak dijeljenja sa i stepenompk(x) manji stepenQm

2 . Proširivanje pravilnog racionalnog razlomka

u elementarne razlomke.

Ako je njegov imenilac prost složeni koreni one.

tada dekompozicija ima oblik

3 . Za izračunavanje nesigurnih koeficijenata,A1,A2,A3...B1,B1,B3... razlomak na desnoj strani identiteta svedemo na zajednički nazivnik, nakon čega izjednačavamo koeficijente na istim potencijamaX u brojnicima s lijeve i desne strane. Hajde da uzmemo sistem 2 S jednačine sa 2 S nepoznato, što ima jedinstveno rješenje.

4 Integriramo elementarne razlomke forme

47) Ako postoji konačna granica I integralne sume kao λ → 0, i ne zavisi od načina na koji su izabrane tačke ξ i, načina na koji je segment podeljen, onda se ova granica naziva definitivnim integralom funkcije f (x) preko segmenta i označava se kako slijedi:

U ovom slučaju, funkcija f (x) se naziva integrabilnom na . Brojevi a i b nazivaju se donja i gornja granica integracije, respektivno, f (x) - integrand, x - varijabla integracije. Treba napomenuti da nije važno koje slovo označava integracijsku varijablu određenog integrala

budući da ovakva promjena notacije ni na koji način ne utiče na ponašanje integralnog zbira. Uprkos sličnostima u notaciji i terminologiji, određeni i neodređeni integrali drugačije

48) Teorema o postojanju određenog integrala

Podijelimo segment na dijelove tačkama x1,x2,x3... tako da

Označite sa deltaX dužinu i-tog komada i sa maksimumom ovih dužina.

Odaberimo neku tačku proizvoljno na svakom segmentu tako da (ona se zove „srednja tačka“) i sačinimo

količina, koja se naziva integralni zbir

Hajde da nađemo granicu

Definicija. Ako postoji i ne zavisi od

a) metoda za podjelu segmenta na dijelove i od

b) metoda izbora srednja tačka,

je definitivni integral funkcije f(x) nad segmentom .

Funkcija f(x) se u ovom slučaju zove integrabilna na segmentu . Vrijednosti a i b nazivaju se donja i gornja granica integracije.

50) Osnovna svojstva određenog integrala

1) Ako se interval integracije podijeli na konačan broj parcijalnih intervala, tada je definitivni integral uzet na intervalu jednak zbiru određenih integrala uzetih na svim njegovim parcijalnim intervalima.

2) teorema srednje vrijednosti.

Neka je funkcija y = f(x) integrabilna na segmentu ,m=min f(x) i M=max f(x) , tada postoji takav broj

Posljedica.

Ako je funkcija y = f(x) kontinuirana na segmentu , tada postoji broj takav da.

3) Kada se granice integracije preurede, određeni integral mijenja predznak u suprotan.

4) Određeni integral sa istim granicama integracije jednak je nuli.

5) Integracija funkcijskog modula

Ako je funkcija f(x) integrabilna, tada je i njen modul integrabilan na intervalu.

6) Integracija nejednakosti

Ako su f(x) i q(x) integrabilni na intervalu i x pripada

onda

7) Linearnost

Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka određenog integrala

ako f(x) postoji i integrabilno je na intervalu , A=const

Ako je funkcija y=f(x) kontinuirana na intervalu i F(x) je bilo koji od njenih antiderivata na (F’(x)=f(x)), tada je formula

Neka izračunamo integral od kontinuirana funkcija vrši se zamjena x=α(t).

1) Funkcija x=α(t) i njen izvod x’=α’(t) su neprekidni za t koji pripada

2) Skup vrijednosti funkcije x=α(t) kojoj pripada t je segment

3) A α(c)=a i α(v)=b

Neka je funkcija f(x) kontinuirana na intervalu i ima beskonačan diskontinuitet na x=b. Ako postoji granica, onda se naziva nepravilnim integralom druge vrste i označava se sa .

Dakle, po definiciji,

Ako granica na desnoj strani postoji, onda je nepravilan integral konvergira. Ako naznačena granica ne postoji ili je beskonačna, onda se kaže da je integral divergira.

Definicija 1. Vektor r se naziva vektorskom funkcijom skalarnog argumenta t ako svaka vrijednost skalara iz raspona prihvatljivih vrijednosti odgovara određenoj vrijednosti vektora r. Ovo ćemo napisati na sljedeći način: Ako je vektor r je funkcija skalarnog argumenta t, tada su koordinate x, y, z vektora r također funkcije argumenta t: vektorska funkcija skalarnog argumenta. Hodograf. Ograničenje i kontinuitet vektorske funkcije skalarnog argumenta Obrnuto, ako su koordinate vektora r funkcije od t%, tada će i sam vektor r također biti funkcija od t: Dakle, specificiranje vektorske funkcije r(f) je ekvivalentno specificiranju tri skalarne funkcije y(t), z(t). Definicija 2. Hodograf vektorske funkcije r(t) skalarnog argumenta je lokus tačaka koji opisuje kraj vektora r(*) kada se skalar t promijeni, kada je početak vektora r(f) nalazi se u fiksnoj tački O u prostoru (slika I). Hodograf radijus vektora r = r(*) se kreće 1 dodirne tačke biće putanja L same ove tačke. Hodograf brzine v = v(J) ove tačke biće neka druga prava L\ (slika 2). Dakle, ako se materijalna tačka kreće duž kružnice sa konstantnom brzinom |v| = const, tada je i njegov hodograf brzine kružnica sa centrom u tački 0\ i polumjera jednakim |v|. Primjer 1. Konstruirajte hodograf vektora r = ti + t\ + t\. Odluka. 1. Ova konstrukcija se može napraviti tačku po tačku, praveći tabelu: Sl.3 2i Možete i ovo. Označavajući koordinate vektora V sa x, y, z, imaćemo Hc I ključ iz ovih jednačina, parametar 1Y, dobićemo jednačine površina y - z = x1, čija će presečna linija L odrediti hodograf vektora r() (slika 3). D> Zadaci za samostalno odlučivanje. Konstruirajte hodografe vektora: Neka je vektorska funkcija r = skalarni argument t definirana u nekom susjedstvu vrijednosti to argumenta t, osim, možda, vrijednosti ekstenzije 1. Konstantni vektor A naziva se granica vektora r(t) at, ako za bilo koje e > 0 postoji b > 0 tako da za sve t φ da zadovoljavaju uslov 11 - nejednakost je zadovoljena Kao u običnoj analizi, pišu limr(0=A. I po dužini i u pravcu (slika 4). definicija 2. Za vektor a(t) se kaže da je beskonačno mali kao t -» to ako a(t) ima granicu kao t -* do i ova granica je jednaka nuli: Vektorska funkcija skalarnog argumenta. Hodograf. Granica i kontinuitet vektorske funkcije skalarnog argumenta, ili, što je isto, za bilo koje e postoji 6 > 0 tako da za sve t F da zadovolje uslov, nejednakost |a(t)| primjer 1. Pokazati da je vektor beskonačno grimizan vektor za t -* 0. Rješenje. Imamo gdje je jasno da ako za bilo koje e 0 uzmemo 6 = ~, onda na -0| označit ćemo |. Prema definiciji, to znači da je a(t) beskonačno grimizni vektor kao t 0. 1> problemi za nezavisno rješenje r. Pokažite da je granica modula vektora jednaka modulu njegove granice ako potonja granica postoji. . Dokažite da je vektorska funkcija r(*) ograničena za do, potrebno je i dovoljno da je r( može se predstaviti u obliku t) beskonačno vektor za t -* t0 14. Vektorska funkcija a + b(*) je kontinuiran za t = t0 Da li slijedi da su vektori a(t) i b(J) također kontinuirani za t - do 15. Dokažite da ako su a( kontinuirane vektorske funkcije, onda njihove skalarni proizvod(a(*),b(f)) i vektorski proizvod|a(f),b(t)] su takođe kontinuirani.

i njegovu diferencijaciju.

Jedan od najjednostavnijih načina da se definira prostorna krivulja je definiranje vektorske jednadžbe:

gdje je radijus vektor tačke krive, i - parametar koji određuje poziciju tačke.

To. varijabilni vektor je skalarna funkcija . Takve funkcije u matematičkoj analizi nazivaju se vektorskim funkcijama skalarnog argumenta.

razgrađujući u smislu vektora, jednadžbi (1) može se dati oblik:

Ova dekompozicija omogućava prelazak na parametarsku jednadžbu krive:

Drugim riječima, specificiranje vektorske funkcije je ekvivalentno specificiranju tri skalarne funkcije.

S obzirom na vektorsku funkciju (1) koja definira datu krivulju, sama kriva se naziva hodograf ove funkcije. Izvor koordinata se u ovom slučaju naziva hodografski pol.

Pusti sada
i
- tačke krive definisane jednačinom (1). I
, a
Radijus vektori ovih tačaka će biti

i
.

Vector
naziva se inkrement vektorske funkcije
odgovara inkrementu
njegov argument, i označen sa
,

vektorska funkcija
će biti kontinuirana funkcija , ako

.

Da biste pronašli derivat od
uradimo to ovako -

.

Postavite pravac sada
. Očigledno je da kolinearno sa
i na
usmjerena u istom smjeru kao
i na
- u suprotnom smjeru. Ali u prvom slučaju
iu drugom
To. vektor uvijek usmjerena duž sekanse hodografa
prema gore .

Ako koristimo dekompoziciju i po orts, onda

Odavde dijeleći (*) sa
i ide do krajnjih granica
za
dobijamo

Na osnovu (4) može se pokazati da su sljedeće formule važeće:

(5)

(6)

je skalarna funkcija.

Dokaz (7).

Sada ispitujemo neka svojstva
. Prije svega, pronađimo njegov modul:

.

Jer onda smatramo da je luk hodografa ispraviv
je dužina tetive, i
- dužina luka. Dakle

To. modul derivacije vektorske funkcije skalarnog argumenta jednak je derivaciji luka hodografa u odnosu na isti argument.

Zaključak 1. Ako - jedinični vektor usmjeren tangencijalno na hodograf u smjeru povećanja , onda

Korol 2. Ako se kao argument vektorske funkcije uzme dužina luka hodografa , onda

(jer
)

To. derivacija vektorske funkcije duž dužine luka hodografa jednaka je jediničnom vektoru tangente na hodograf, usmjeren u smjeru povećanja dužine luka.

Korolar 3. Ako se hodograf vektorske funkcije posmatra kao putanja tačke, i - kao vrijeme kretanja, računato od nekih , onda
po veličini i pravcu poklapa se sa vektorom brzine
.

Zaista, skalarna vrijednost brzine jednaka je derivaciji puta u odnosu na vrijeme:

Osim toga, vektor usmjeren tangencijalno na putanju u smjeru kretanja, što odgovara smjeru povećanja , tj. odgovara pravcu .

To.
.

Razmislite sada
, čija je dužina konstantna,
, tj.

(*)
gdje

Diferencirajući (*), nalazimo:

One.

Konkretno, izvedeni vektor bilo koje varijable u smjeru jedinice uvijek
.

Pusti sada
ugao između polumjera jedinične sfere povučene do tačaka
i
hodograph
. Zatim dužina akorda
iz trougla
će biti jednako

Modul derivacije vektora jedinične varijable jednak je ugaonoj brzini rotacije ovog vektora.

Što se tiče skalarnih funkcija, diferencijal vektorske funkcije se zapisuje kao

Ali čak i tada

Zakrivljenost prostorne krive.

Prateći triedar.

Prema korolaru 2, for možete napisati formulu:

Promjena smjera , povezan sa promjenom tangente na prostornu krivu, karakterizira zakrivljenost krive. Za meru zakrivljenosti prostorne krive, kao i za ravnu, uzimaju granicu odnosa ugla susednosti i dužine luka, kada je

zakrivljenost,
ugao susjedstva,
dužina luka.

Na drugoj strani,
jedinični vektor i njegov derivacioni vektor okomito na njega i njegov modul
razlikovanje on i predstavljanje
jedinični vektor sa smjerom , mi nalazimo:

Vector
vektor zakrivljenosti prostorne krive. Njegov smjer, okomit na smjer tangente, je smjer normale prostorne krive. Ali prostorna kriva u bilo kojoj tački ima bezbrojni skup normala, od kojih sve leže u ravni koja prolazi kroz datu tačku krive i okomita je na tangentu u datoj tački. Ova ravan se naziva normalna ravan prostorne krive.

Definicija. Normala krive duž koje je vektor zakrivljenosti krive usmjeren u datu tačku je glavna normala prostorne krive. To.
jedinični vektor glavne normale.

Konstruirajmo sada treći jedinični vektor jednak vektorskom proizvodu i

Vector , like takođe okomito one. leži u normalnoj ravni. Njegov smjer se naziva smjer binormale prostorne krive u datoj tački. Vector
i čine trostruku međusobno okomitih jediničnih vektora, čiji pravac zavisi od položaja tačke na prostornoj krivulji i varira od tačke do tačke. Ovi vektori formiraju tzv. prateći triedar (Frenetov triedar) prostorne krive. Vector
i formiraju desnu trojku, baš kao jedinični vektori
u pravom koordinatnom sistemu.

Snimljeno u parovima
definirati tri ravni koje prolaze kroz istu tačku na krivoj i formiraju lica pratećeg triedra. Gde i odrediti kontaktnu ravan (b.m. luk krive u blizini date tačke je luk ravne krive u susednoj ravni, do b.m. višeg reda);

i - ravan za ravnanje;

i je normalna ravan.

Tangentne, normalne i binormalne jednačine.

Jednačine ravni pratećeg triedra.

Znajući
i , ili bilo koji nejedinični vektori koji su im kolinearni T, N i B izvodimo jednačine navedene u ovom odeljku.

Za ovo u kanonska jednačina ravno

i u jednačini ravni koja prolazi kroz datu tačku

preuzmi
koordinate tačke odabrane na krivulji, iza
odnosno za
prihvati koordinate vektora
ili
, koji određuje smjer željene linije ili normale na željenu ravan:

ili - za tangentu ili normalnu ravan,

ili - za glavnu normalnu i ispravljačku ravan,

ili - za binormalnu i susednu ravan.

Ako je kriva data vektorskom jednadžbom
ili
zatim za vektor
može se uzeti pravac tangente

Za pronalaženje
i nađimo prvo proširenje
po vektorima
Ranije (korolar 1) smo to otkrili
Razlikovanje u odnosu na , dobijamo:

Ali, jer

Pomnoži sada vektor i

(*)

Na osnovu (*) po vektoru , koji ima smjer binormale, možemo uzeti vektor

Ali onda, za
možete uzeti vektorski proizvod ovih potonjih:

To. u bilo kojoj tački proizvoljne krive možemo odrediti sve elemente pratećeg triedra.

Primjer. Jednadžba tangente, normalne i binormalne na desnu spiralu u bilo kojoj tački.

Tangenta

glavna normala

Binormal

Preuzmite sa Depositfiles

DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA

I. VEKTORSKA FUNKCIJA SKALARNOG ARGUMENTA

Vektorska funkcija (definicija 1.1), načini njenog definiranja.

Radijus vektor i hodograf, parametarska definicija hodografa.

Derivat vektorske funkcije (Definicija 1.6).

Geometrijsko značenje derivacije vektorske funkcije.

Pravila za diferenciranje vektorskih funkcija.

1.1. DEFINICIJA VEKTORSKE FUNKCIJE

Definicija 1.1Ako je svaka vrijednost skalarnog argumentaporavnati vektor
trodimenzionalni prostor R3 , tada kažemo da je vektorska funkcija (ili vektorska funkcija) skalarnog argumenta data na skupu Xt .

Ako u svemiru R3 dato kartezijanski sistem koordinateO xyz , tada je zadatak vektorske funkcije
,
je ekvivalentno specificiranju tri skalarne funkcijeX( t ), y ( t ), z ( t ) – koordinate vektora:

= { x ( t ), y ( t ), z ( t )} (1.1)

ili , (1.2)

gdje
su koordinatni vektori.

1.2. PROSTORNA PRAVA KAO HODOGRAF RADIJUS-VEKTORA

Definicija 1.2 Ako je početak svih vektora,postavljeni u ishodištu, nazivaju se radijus vektori.

Definicija 1.3 Prava, koja je lokus krajeva radijus vektora , , naziva se hodograf vektorske funkcije , a njihov zajednički početak naziva se pol hodografa.

Ako je parametar t je vrijeme, a radijus vektor pokretne tačke, tada je hodograf funkcije putanja pokretne tačke.

Jednadžba hodografa se može napisati u vektorskom obliku (1.2) ili u parametarskom obliku:

(1.3)

Konkretno, ako je vektorska funkcijas promjenom argumenta, mijenja se samo njegov modul, a smjer se ne mijenja (), tada će hodograf takve vektorske funkcije biti pravolinijski zrak koji izlazi iz početka; ako se promijeni samo smjer vektora, a njegov modul ostane nepromijenjen (
), tada će hodograf vektorske funkcije biti kriva koja se nalazi na sferi sa centrom na polu i radijusom jednakim konstantnom modulu vektora.

Slika 1.

1.3. GRANICA, KONTINUITET I DERIVAT VEKTORA–FUNKCIJE

Definicija 1. 4 Vector naziva se granica vektorske funkcijeat
, ako

. (1.4)

Definicija 1.5 Poziva se vektorska funkcija kontinuirano u jednoj tačkit 0, ako ima ograničenje u ovoj tački jednako vrijednosti vektorske funkcije u ovoj tački:

. (1.5)

Definicija 1.6Derivativna vektorska funkcija u tački t naziva se granica omjera prirasta vektorske funkcije i priraštaja argumenta
at
:

(1.6)

1.4. GEOMETRIJSKO I MEHANIČKO ZNAČENJE PRVE DERIVATNE VEKTOR-FUNKCIJE

Geometrijsko značenje prvog izvoda vektorske funkcije skalarnog argumenta je da je ovaj izvod novi vektor usmjeren tangencijalno na hodograf:
. Hajde da to pokažemo.

Slika 2

Pretpostavićemo da je hodograf razmatrane vektorske funkcije neprekidna prava koja ima tangentu u bilo kojoj od svojih tačaka.

Hajde da damo argument t prirast, a zatim geometrijski omjer
je neki vektor
leži na sekanti MM'. Sa ovim vektorom se rotira i pretvara u vektor
, koji leži na tangenti i usmjeren u smjeru povećanjat . Dakle, vektor

(1.7)

će biti jedinični vektor tangente, orijentisan u pravcu povećanja parametrat .

Dakle, vektor
može se uzeti kao vektor smjera tangente na krivu u tački ), (ili
), i napišite tangentnu jednačinu na sljedeći način:

(1.8)

Ako a t – vrijeme i je radijus vektor tačke
useljenje u trodimenzionalni prostor, zatim orelacija se zove prosječna brzina tačke na segmentu [t; t+t].

mehanički smisaoprvi izvod vektorske funkcije je da je ovaj izvod brzina tačke M u ovom trenutkut :

Pravila za diferenciranje vektorskih funkcija

Dokazujemo pravilo 1 koristeći pravila za oduzimanje vektora i dijeljenje vektora brojem:

Dokaz ostalih pravila zasniva se na pravilu 1 i pravilima za operacije sa vektorima.

Primjer 1.1: Zadana vektorska funkcija.Konstruirajte njegov hodograf i formulirajte njegovu tangentnu jednadžbu u proizvoljnoj tački.

Odluka. Za bilo koju tačku ( x , y , z ) hodografski vektor - funkcije koje imamo:x = trošak ; y = asint ; z = bt a samim tim i za bilo koje
jednakostx 2 + y 2 = a 2 , a generatriksa je paralelna sa osom Oz. Ako je parametar t interpretirano kao vrijeme, zatim ravnomjernim kretanjem po obodu projekcije kraja radijus vektora na ravanOxy njegova projekcija na osuOz kretat će se ravnomjerno i pravolinijski brzinomb . Drugim riječima, primjena hodografske točke vektorske funkcije raste proporcionalno kutu rotacije njene projekcije na ravanOxy . Stoga će željeni hodograf imati oblik prikazan na slici 3 i naziva se heliks. Da bismo pronašli tangente na hodograf (heliks), nalazimo derivaciju vektorske funkcije.

Odluka. Ukoliko, zatim i