stolica " višu matematiku»

Završio: Matveev F.I.

Provjerio: Burlova L.V.

Ulan-Ude.2002

1. Numeričke metode integracije

2. Izvođenje Simpsonove formule

3.Geometrijska ilustracija

4. Izbor koraka integracije

5.Primjeri

1. Numeričke metode integracije

Problem numeričke integracije je izračunavanje integrala

kroz niz vrijednosti integranda .

Problemi numeričke integracije moraju se riješiti za funkcije date u tabeli, funkciju čiji se integrali ne uzimaju u elementarne funkcije, itd. Razmotrimo samo funkcije jedne varijable.

Umjesto funkcije koju treba integrirati, integrirajmo interpolacijski polinom. Metode zasnovane na zamjeni integrala interpolacijskim polinomom omogućavaju procjenu tačnosti rezultata prema parametrima polinoma ili odabir ovih parametara za datu tačnost.

Numeričke metode se mogu uslovno grupirati prema metodi integrandske aproksimacije.

Newton-Cotes metode su zasnovane na aproksimaciji funkcije

stepen polinom. Algoritam ove klase razlikuje se samo po stepenu polinoma. Po pravilu, čvorovi aproksimirajućeg polinoma su podjednako povezani.

Spline metode integracije su bazirane na aproksimaciji funkcije

spline-piecewise polinom.

Metode najveće algebarske tačnosti (Gaussova metoda) koriste posebno odabrane nejednake čvorove koji daju minimalnu grešku integracije za dati (odabrani) broj čvorova.

Monte Carlo metode se najčešće koriste u proračunu višestrukih integrala, čvorovi se biraju nasumično, odgovor je vjerovatnoća.

greška skraćivanja ukupne greške

greška zaokruživanja

Bez obzira na odabranu metodu, u procesu numeričke integracije potrebno je izračunati približnu vrijednost integrala i procijeniti grešku. Greška se smanjuje kako se n-broj povećava

particije segmenta

. Međutim, ovo povećava grešku zaokruživanja.

zbrajanjem vrijednosti integrala izračunatih na parcijalnim segmentima.

Greška skraćivanja zavisi od svojstava integrala i dužine

djelomični rez.

2. Izvođenje Simpsonove formule

Ako za svaki par segmenata

konstruisati polinom drugog stepena, zatim ga integrisati i koristiti svojstvo aditivnosti integrala, tada dobijamo Simpsonovu formulu. Razmotrimo integrand na intervalu . Zamenimo ovaj integrand sa Lagrangeovim interpolacionim polinomom drugog stepena koji se poklapa sa u tačkama:

Hajde da se integrišemo

:

i zove se Simpsonova formula.

Dobijeno za integral

vrijednost se poklapa s površinom krivolinijskog trapeza omeđenog osom, pravim linijama i parabolom koja prolazi kroz tačke

Procijenimo sada grešku integracije Simpsonovom formulom. Pretpostavićemo to

postoje kontinuirani derivati ​​na intervalu. Sastavite razliku

Teorema srednje vrijednosti se već može primijeniti na svaki od ova dva integrala, jer

je kontinuirana i funkcija je nenegativna na prvom intervalu integracije i nepozitivna na drugom (to jest, ne mijenja predznak na svakom od ovih intervala). Zbog toga:

(koristili smo teoremu srednje vrijednosti jer

- kontinuirana funkcija; ).

razlikovanje

dva puta, a zatim primjenom teoreme srednje vrijednosti, dobijamo još jedan izraz za , gdje

Iz obje procjene za

slijedi da je Simpsonova formula egzaktna za polinome stepena najviše tri. Napišimo Simpsonovu formulu, na primjer, u obliku: , .

Ako segment

integracija prevelika, onda se dijeli na jednake dijelove (pod pretpostavkom ), nakon čega se Simpsonova formula primjenjuje na svaki par susjednih segmenata , ,..., i to:

Upisujemo Simpsonovu formulu opšti pogled.

Odsjek za višu matematiku

Završio: Matveev F.I.

Provjerio: Burlova L.V.

Ulan-Ude.2002

1. Numeričke metode integracije

2. Izvođenje Simpsonove formule

3.Geometrijska ilustracija

4. Izbor koraka integracije

5.Primjeri

1. Numeričke metode integracije

Problem numeričke integracije je izračunavanje integrala

Kroz niz vrijednosti integranda.

Problemi numeričke integracije moraju se riješiti za funkcije date u tabeli, funkciju čiji se integrali ne uzimaju u elementarne funkcije itd. Razmotrimo samo funkcije jedne varijable.

Umjesto funkcije koju treba integrirati, integrirajmo interpolacijski polinom. Metode zasnovane na zamjeni integrala interpolacijskim polinomom omogućavaju procjenu tačnosti rezultata prema parametrima polinoma ili odabir ovih parametara za datu tačnost.

Numeričke metode se mogu uslovno grupirati prema metodi integrandske aproksimacije.

Newton-Cotes metode se zasnivaju na aproksimaciji funkcije polinomom stepena. Algoritam ove klase razlikuje se samo po stepenu polinoma. Po pravilu, čvorovi aproksimirajućeg polinoma su podjednako povezani.

Metode integracije splajn-a baziraju se na aproksimaciji funkcije polinomom po komadima.

Metode najveće algebarske tačnosti (Gaussova metoda) koriste posebno odabrane nejednake čvorove koji daju minimalnu grešku integracije za dati (odabrani) broj čvorova.

Monte Carlo metode se najčešće koriste u proračunu višestrukih integrala, čvorovi se biraju nasumično, odgovor je vjerovatnoća.

totalna greška

greška skraćenja

greška zaokruživanja

Bez obzira na odabranu metodu, u procesu numeričke integracije potrebno je izračunati približnu vrijednost integrala i procijeniti grešku. Greška se smanjuje kako se n-broj povećava

cijepanje segmenta. Međutim, ovo povećava grešku zaokruživanja.

zbrajanjem vrijednosti integrala izračunatih na parcijalnim segmentima.

Greška skraćivanja zavisi od svojstava integrala i dužine parcijalnog segmenta.

2. Izvođenje Simpsonove formule

Ako za svaki par segmenata konstruišemo polinom drugog stepena, a zatim ga integrišemo i koristimo svojstvo aditivnosti integrala, onda ćemo dobiti Simpsonovu formulu.

Razmotrimo integrand na intervalu . Zamenimo ovaj integrand sa Lagrangeovim interpolacionim polinomom drugog stepena koji se poklapa sa u tačkama:

Hajde da integrišemo:

i zove se Simpsonova formula.

Dobivena vrijednost za integral poklapa se s površinom krivolinijskog trapeza omeđenog osom, pravim linijama i parabolom koja prolazi kroz tačke

Procijenimo sada grešku integracije Simpsonovom formulom. Pretpostavljamo da y ima kontinuirane izvode na intervalu . Sastavite razliku

Teorema srednje vrijednosti se već može primijeniti na svaki od ova dva integrala, budući da je funkcija kontinuirana i funkcija nije negativna na prvom intervalu integracije i nepozitivna na drugom (tj. ne mijenja predznak na svaki od ovih intervala). Zbog toga:

(koristili smo teorem o srednjoj vrijednosti, jer je kontinuirana funkcija; ).

Dvaput diferencirajući i zatim primjenjujući teoremu srednje vrijednosti, dobijamo još jedan izraz za:

, gdje

Iz obje procjene proizilazi da je Simpsonova formula egzaktna za polinome stepena najviše tri. Simpsonovu formulu pišemo, na primjer, kao:

Ako je integracijski segment prevelik, tada se dijeli na jednake dijelove (pod pretpostavkom ), nakon čega svakom paru susjednih segmenata, ,..., primijeniti Simpsonovu formulu, odnosno:

Simpsonovu formulu pišemo u opštem obliku:

Greška Simpsonove formule - metoda četvrtog reda:

, (3)

Budući da Simpsonova metoda omogućava postizanje visoke preciznosti, ako ne i previsoke. U suprotnom, metoda drugog reda može dati veću preciznost.

Na primjer, za funkciju, oblik trapeza na for daje tačan rezultat, dok po Simpsonovoj formuli dobivamo

3. Geometrijska ilustracija

Na segmentu dužine 2h konstruisana je parabola koja prolazi kroz tri tačke, . Površina ispod parabole zatvorena između ose OX i pravih linija uzima se jednakom integralu.

Karakteristika primjene Simpsonove formule je činjenica da je broj particija integracijskog segmenta paran.

Ako je broj segmenata particije neparan, onda za prva tri segmenta treba primijeniti formulu koristeći parabolu trećeg stepena koja prolazi kroz prve četiri točke da bi se aproksimirao integrand.

(4)

Ovo je Simpsonova formula "tri osmine".

Za proizvoljan interval integracije, formula (4) se može "nastaviti"; broj parcijalnih segmenata mora biti višekratnik od tri (tačke).

, m=2,3,... (5)

cijeli dio

Možete dobiti Newton-Cotes formule višeg reda:

(6)

Broj segmenata particije;

Stepen korištenog polinoma;

Derivat th reda u tački ;

Razdvojeni korak.

U tabeli 1 su navedeni koeficijenti. Svaki red odgovara jednom skupu čvorova zazora za konstruisanje polinoma k-tog stepena. Da biste koristili ovu šemu za više skupova (na primjer, sa k=2 i n=6), morate "nastaviti" koeficijente, a zatim ih dodati.

Tabela 1:

Algoritam za procjenu greške trapeza i Simpsonove formule može se zapisati kao: (7),

gdje je koeficijent koji ovisi o metodi integracije i svojstvima integranda;

h - korak integracije;

p je red metode.

Rungeovo pravilo se koristi za izračunavanje greške dvostrukim izračunavanjem integrala sa koracima h i kh.

(8) - a posteriori procjena. Tada je Iref.= +Ro (9), rafinirana vrijednost integrala .

Ako je redoslijed metode nepoznat, potrebno je izračunati I treći put u koracima od , odnosno:

iz sistema od tri jednačine:

od nepoznato I,A i p dobijamo:

Iz (10) slijedi (11)

Dakle, metoda dvostrukog proračuna, koja se koristi potreban broj puta, omogućava vam da izračunate integral sa datim stepenom tačnosti. Izbor potrebnog broja particija se vrši automatski. U ovom slučaju može se koristiti višestruki pozivi potprogramima odgovarajućih metoda integracije bez mijenjanja algoritama ovih metoda. Međutim, za metode koje koriste ekvidistantne čvorove, moguće je modifikovati algoritme i prepoloviti broj izračunavanja integranda korišćenjem integralnih suma akumuliranih tokom prethodnih višestrukih particija intervala integracije. Dvije približne vrijednosti integrala i, izračunate metodom trapeza sa koracima i , povezane su relacijom:

Slično, za integrale izračunate po formuli sa koracima i vrijede relacije:

,

(13)

4. Izbor koraka integracije

Da biste odabrali korak integracije, možete koristiti izraz ostatka. Uzmimo, na primjer, preostali član Simpsonove formule:

Ako je ê ê, onda ê ê .

S obzirom na tačnost e metode integracije, iz posljednje nejednakosti određujemo odgovarajući korak.

, .

Međutim, ova metoda zahtijeva evaluaciju (koja nije uvijek moguća u praksi). Stoga se koriste druge metode za određivanje procjene tačnosti, koje u toku proračuna omogućavaju odabir traženog koraka h.

Pogledajmo jednu od ovih metoda. Neka bude

,

gdje je približna vrijednost integrala sa korakom . Smanjite korak za pola, dijeleći segment na dva jednaka dijela i ().

Pretpostavimo sada da se to ne mijenja prebrzo, tako da je gotovo konstantno: . Onda I , gdje , tj .

Iz ovoga možemo zaključiti da ako , odnosno ako je , , i tražena tačnost, tada je korak pogodan za izračunavanje integrala sa dovoljnom tačnošću. Ako je , onda se izračun ponavlja sa korakom, a zatim se upoređuje i tako dalje. Ovo pravilo se zove Rungeovo pravilo.

Međutim, prilikom primjene Rungeovog pravila potrebno je uzeti u obzir veličinu proračunske greške: sa smanjenjem se apsolutna greška u izračunavanju integrala povećava (ovisnost o je obrnuto proporcionalna) i za dovoljno male vrijednosti , može se pokazati da je veća od greške metode. Ako premašuje , tada se Rungeovo pravilo ne može primijeniti na ovaj korak i ne može se postići željena preciznost. U takvim slučajevima potrebno je povećati vrijednost .

U izvođenju Rungeovog pravila, u suštini ste koristili pretpostavku da . Ako postoji samo tabela vrijednosti, onda se provjera "stalnosti" može izvršiti direktno prema tabeli. različitim dijelovima interval integracije, u zavisnosti od svojstava, smanjuje se broj izračunavanja integranda.

Druga shema za pročišćavanje vrijednosti integrala je Eitnenov proces. Integral se izračunava sa koracima, i . Proračun vrijednosti. Onda (14).

Kao mjera tačnosti Simpsonove metode uzima se sljedeća vrijednost:

5. Primjeri

Primjer 1 Izračunajte integral koristeći Simpsonovu formulu, ako je data u tabeli. Procijenite grešku.

Tabela 3

Rješenje: Izračunajte po formuli (1) za i integral .

Prema Rungeovom pravilu, dobijamo Accept .

Primjer 2 Izračunaj integral .

Rešenje: Imamo . Dakle h==0.1. Rezultati proračuna su prikazani u tabeli 4.

Tabela 4

Izračunavanje integrala pomoću Simpsonove formule

		y0=1,00000; -0,329573ê£3. Procjene greške Simpsonove metode: £ 0,0000017 za =0,1, £ 0,0000002 za =0,05. Kako greška zaokruživanja ne bi iskrivila tako tačan rezultat za Simpsonovu formulu, svi proračuni su izvedeni sa šest decimalnih mjesta. Konačni rezultati:

Da bismo pronašli definitivni integral metodom trapeza, površina krivolinijskog trapeza se također dijeli na n pravougaoni trapez sa visinama h i osnovama y 1 , y 2 , y 3 ,..y n , gdje je n broj pravokutnog trapeza. Integral će biti numerički jednak zbiru površina pravokutnih trapeza (slika 4).

Rice. 4

n - broj podjela

Greška formule trapeza se procjenjuje brojem

Greška formule trapeza opada brže s rastom od greške formule pravokutnika. Stoga vam formula trapeza omogućava da dobijete veću preciznost od metode pravokutnika.

Simpsonova formula

Ako za svaki par segmenata konstruišemo polinom drugog stepena, a zatim ga integrišemo na segment i koristimo svojstvo aditivnosti integrala, dobijamo Simpsonovu formulu.

U Simpsonovoj metodi za izračunavanje definitivnog integrala, cijeli interval integracije je podijeljen na podintervale jednake dužine h=(b-a)/n. Broj segmenata particije je paran broj. Zatim, na svakom paru susjednih podintervala, podintegralna funkcija f(x) se zamjenjuje Lagrangeovim polinomom drugog stepena (slika 5).

Rice. pet Funkcija y=f(x) na segmentu je zamijenjena polinomom 2. reda

Razmotrimo integrand na intervalu. Zamenimo ovaj integrand sa Lagrangeovim interpolacionim polinomom drugog stepena koji se poklapa sa y= u tačkama:

Integrirajmo na intervalu:

Uvodimo promjenu varijabli:

S obzirom na zamjenske formule,

Nakon integracije, dobijamo Simpsonovu formulu:

Dobivena vrijednost za integral poklapa se sa površinom krivolinijskog trapeza omeđenog osom, pravim linijama i parabolom koja prolazi kroz tačke. Na segmentu će Simpsonova formula izgledati ovako:

U formuli parabole, vrijednost funkcije f (x) u neparnim podijeljenim tačkama x 1, x 3, ..., x 2n-1 ima koeficijent 4, u parnim tačkama x 2, x 4, ... , x 2n-2 - koeficijent 2 i na dvije granične tačke x 0 =a, x n =b - koeficijent 1.

Geometrijsko značenje Simpsonove formule: površina krivolinijskog trapeza ispod grafa funkcije f(x) na segmentu je približno zamijenjena zbrojem površina figura koje leže ispod parabola.

Ako funkcija f(x) ima kontinuirani izvod četvrtog reda, tada apsolutna vrijednost greške Simpsonove formule nije veća od

gdje je M - najveća vrijednost na segmentu. Pošto n 4 raste brže od n 2 , greška Simpsonove formule opada sa povećanjem n mnogo brže od greške formule trapeza.

Računamo integral

Ovaj integral je lako izračunati:

Uzmimo n jednako 10, h=0,1, izračunajmo vrijednosti integrala u tačkama particije, kao i polucijele tačke.

Prema formuli srednjih pravougaonika dobijamo I pravougaonik = 0,785606 (greška je 0,027%), prema formuli trapeza I zamka = 0,784981 (greška je oko 0,054. Kada se koristi metoda desnog i levog pravougaonika, greška je veća od 3%.

Da bismo uporedili tačnost približnih formula, izračunavamo još jednom integral

ali sada po Simpsonovoj formuli za n=4. Segment dijelimo na četiri jednaka dijela s točkama x 0 = 0, x 1 = 1/4, x 2 = 1/2, x 3 = 3/4, x 4 = 1 i izračunavamo približno vrijednosti funkcije f (x) \u003d 1 / ( 1+x) u ovim tačkama: y 0 =1,0000, y 1 =0,8000, y 2 =0,6667, y 3 =0,5714, y 4 =0,5000.

Po Simpsonovoj formuli dobijamo

Procijenimo grešku dobijenog rezultata. Za integrand f(x)=1/(1+x) imamo: f (4) (x)=24/(1+x) 5 , odakle slijedi da je na segmentu . Stoga možemo uzeti M=24, a greška rezultata ne prelazi 24/(2880 4 4)=0,0004. Upoređujući približnu vrijednost sa tačnom, zaključujemo da je apsolutna greška rezultata dobivenog Simpsonovom formulom manja od 0,00011. Ovo je u skladu s gornjom procjenom greške i, osim toga, ukazuje da je Simpsonova formula mnogo preciznija od formule trapeza. Stoga se Simpsonova formula za približno izračunavanje određenih integrala češće koristi od formule trapeza.

Tekst rada je postavljen bez slika i formula.
Puna verzija rad je dostupan u kartici "Radni fajlovi" u PDF formatu

Uvod

Već u 10. razredu razmišljam da li ću morati da polažem profilni ispit iz matematike. Odlučivanje USE zadatke, naišao sam na zadatke za pronalaženje zapremine poliedara i obrtnih tela, iako su to zadaci iz programa za 11. razred. Zaintrigiran ovim pitanjem, saznao sam to zbog raznolikosti geometrijski oblici tijela, postoji ogroman broj formula za pronalaženje površina i volumena (svaka figura i svako tijelo ima svoju formulu). S obzirom na formule u geometriji, uvjerio sam se da je ogroman broj formula povezan s površinama i zapreminama figura. Postoji više od dvanaest takvih formula u smislu površina ravnih figura i više od deset u smislu zapremine prostornih tijela.

I pitao sam se pitanje: postoji li tako univerzalna formula za pronalaženje površine i volumena geometrijskih oblika i tijela?

Smatram da je tema ovog projekta relevantan ne samo među studentima, već i među odraslima, jer školski program se vremenom zaboravlja, a malo ljudi zna da postoji takva formula koja kombinuje sve ostale brojne i teško pamtljive formule za pronalaženje obima.

Problem

Neophodno je u nastavu geometrije uvesti univerzalnu formulu koja omogućava zamjenu veliki broj formule za površine ravnih figura i zapremine prostornih tijela.

Hipoteza

U XYIII veku, engleski matematičar Tomas Simpson izveo je formulu za pronalaženje određenih površina ravnih figura i zapremina prostornih tela izračunavanjem površina donje, gornje i srednje baze.

Pretpostavljam da će vam ova univerzalna formula omogućiti da zamijenite sve gore navedene formule i učinite ih lakšim za pamćenje.

Cilj: dokazati da univerzalna Simpsonova formula može zamijeniti sve formule površina i volumena koje se izučavaju u školskom kursu geometrije i da se može koristiti ne samo u praksi, već i na ispitima, uključujući ispit.

Radni zadaci:

Proučiti glavne karakteristike geometrijskih tijela stereometrije: prizme, piramide, čunjevi, cilindri, lopte;

Pregledajte dostupnu literaturu o ovoj temi.

Koristeći univerzalnu formulu, izvedite formule za površine i zapremine za sve figure i tijela.

Uporedi dobijene formule sa formulama ponuđenim u udžbeniku.

Upoznajte srednjoškolce sa ovom formulom i uz pomoć upitnika saznajte da li je zgodno koristiti je prilikom priprema za ispite.

Praktični značaj mog rada: Rezultati ovog rada mogu se koristiti u školskoj praksi, odnosno koristiti u nastavi geometrije i algebre , u pripremi i polaganju ispita.

Poglavlje 1 Kratke karakteristike svojstva geometrijskih tijela

Školski predmet geometrije je podijeljen na planimetriju i geometriju tijela. Od 7. do 9. razreda sam proučavao svojstva figura na ravni, uključujući formule za pronalaženje njihovih površina (Prilog 1-2).

U toku 10. razreda počeo sam da učim dio geometrija-stereometrija u kojem se proučavaju svojstva figura u prostoru. Prilikom pisanja rada uzeo sam u obzir geometrijska tijela i njihove površine. Volumetrijska geometrijska tijela dijele se na poliedre i tijela okretanja.

Poliedar- površina sastavljena od poligona i koja ih ograničava geometrijsko tijelo.

Čvrsta tela revolucije- geometrijska tijela dobijena rotacijom oko svoje ose. Tijelo okretanja: cilindar, konus, lopta.

Poliedri su ili konveksni ili nekonveksni. Konveksni poliedri - nalaze se na jednoj strani ravni svakog lica. Nekonveksni poliedri - nalaze se na obje strane ravnine barem jednog lica.

Piramida

Paralelepiped

Poglavlje 2

Thomas Simpson(20. avgust 1710 - 14. maj 1761) - engleski matematičar. Godine 1746. Simpson je izabran za člana Londonskog kraljevskog društva, a ranije - za člana Matematičkog društva osnovanog 1717. godine u Londonu. Godine 1758. izabran je za stranog člana Kraljevske švedske akademije nauka. Postavljen za profesora na Kraljevskoj vojnoj akademiji u Woolwichu, Simpson je sastavio osnovne udžbenike matematike. U posebnim odeljenjima geometrije razmatraju se zadaci najvećih i najmanjih veličina, rešavani uz pomoć elementarne geometrije, pravilnih poliedara, merenja površina, zapremina tela i, konačno, mešoviti zadaci.

Postoji divna formula; osim toga: pogodan je ne samo za izračunavanje zapremine cilindra, potpunog stošca i krnjeg stošca, već i za sve vrste prizmi, punih i krnjih piramida, pa čak i za loptu, kao i za izračunavanje površina avionske figure. Evo ove formule, poznate u matematici kao Simpsonova formula:

gdje je b 1 - površina (dužina) donje baze

b 2 - površina (dužina) srednje baze

b 3 - površina (dužina) gornje osnove

2.1 Primjena Simpsonove formule za izvođenje formula za površine ravnih figura.

Naša univerzalna formula. b 1 = b 2 = b 3, tada dobijamo:

Odgovor: S \u003d hb 1

Izlaz. Zaista, površina paralelograma jednaka je umnošku baze i visine.

Univerzalna formula.

Pošto je ABCD trapez, onda je b 2 njegova srednja linija, što znači

tada dobijamo:

Izlaz. Zaista, površina trapeza je polovina proizvoda dvije baze puta visine.

Provodeći slične dokaze (Dodatak 3-4) za formule za površine trokuta, pravokutnika, kvadrata i romba, došao sam do zaključka da je univerzalna Simpsonova formula prikladna za izračunavanje površina takvih ravnih figura kao što su: paralelogram , trapez, trokut, kvadrat, romb, pravougaonik.

2.2. Primena Simpsonove formule za izvođenje formula za zapremine prostornih tela.

Budući da je b 1 = b 2 = b 3, dobijamo:

Odgovor: V=b 1 h

Dokaz predložen u udžbeniku geometrije ed. L.S. Atanasyan u Dodatku 6.

Izlaz. Zaista, volumen prizme je jednak proizvodu površine osnove i visine. Slično se vrši i dokaz izvođenja formule za zapreminu cilindra (Prilog 5)

Rješenje: Pošto je b 1 = 0, ali, onda dobijamo:

Dokaz predložen u udžbeniku geometrije ed. L.S. Atanasyan u Dodatku 9.

Izlaz. Zaista, zapremina stošca je jednaka jednoj trećini umnožaka površine osnove i visine. Slično se vrši i dokaz izvođenja formule za zapreminu piramide (Dodatak 5)

tada dobijamo:

Izlaz. Izvedena formula se u potpunosti poklapa sa formulom predloženom u udžbeniku

Problem 6. Volumen lopte.

Dato: lopta

b 3 - površina gornje osnove

Nađi: Vball.

(Sl. 11. Lopta)

Budući da je b 1 = b 3 = 0, h = 2R

tada dobijamo:

Dokaz predložen u udžbeniku geometrije ed. L.S. Atanasyan u Dodatku 10

Zaključak: Formule za zapremine svih prostornih tijela proučavanih u 11. razredu se takođe lako izvode pomoću univerzalne Simpsonove formule.

2.3 Praktična primjena formule

Sljedeći korak u mom istraživanju je praktična upotreba(Vidi Dodatak 11-12)

Izlaz. Ispostavilo se da su zapremine za svaki model geometrijskih tijela, pronađene na dva načina, jednake. Simpsonova formula je univerzalna za tijela kao što su piramida, cilindar, sfera, kocka i konus.

Imam formulu po kojoj možete približno izračunati zapreminu debla, a da ne pitate kako to geometrijsko tijelo izgleda: cilindar, pun konus ili krnji konus. Poznavajući gustinu različitih vrsta drveta, možete izračunati težinu stabla na vinovoj lozi. Ovaj problem sam riješio izračunavanjem zapremine stabljike kao zapremine cilindra čiji je osnovni prečnik jednak prečniku stabla na sredini njegove dužine: rezultat je, međutim, potcijenjen, ponekad i za 12%. Bez velike greške, možemo uzeti zapreminu stabla u korenu kao polovinu zapremine cilindra iste visine prečnika koji je jednak prečniku drveta u visini prsa.

Nakon što sam izvršio proračune, prema nama poznatim formulama, izračunao sam zapreminu stabla na vinovoj lozi (vidi Dodatak 13)

Izlaz. Iz cijele studije može se zaključiti da imam formulu po kojoj možete približno izračunati zapreminu stabla i, poznavajući gustinu raznih vrsta drveta, odrediti težinu stabla na lozi.

Poglavlje 3

3.1 Istraživanje i anketa

Među učenicima 11. razreda sproveo sam istraživanje (vidi Prilog 13).

Svrha rada: utvrditi broj formula koje učenici mogu reproducirati bez ponavljanja za 10 minuta, tj. volumen "rezidualnih" formula.

Rezultati su bili sljedeći (vidi Dodatak 14):

Najveći broj reproduciranih formula je 41, najmanji 5. S obzirom na to da bi broj formula mogao dostići 500 u neograničenom vremenu, došao sam do zaključka da učenici ne pamte ogroman broj formula izučenih u školi. Reproducirane formule čine samo 8,2% od ukupnog broja proučavanih formula. Učenici su najčešće reproducirali algebarske formule (trigonometrijske formule, logaritamske formule, formule za skraćeno množenje, formule korijena). kvadratna jednačina, derivati); u geometriji (formule za površine ravnih figura, neki volumeni prostornih tijela); nekoliko formula u fizici (formula kinetička energija, gravitacija, trenje i MKT); u informatici () Bilo je prirodno, jer. U matematici ima više formula nego u bilo kojoj drugoj nauci.

Nakon što sam vidio rezultate, odlučio sam utvrditi razloge tako niskog rezultata. Napravio sam anketu (vidi Prilog 14-15) među učenicima 11. razreda, u kojoj je od njih zatraženo da odgovore na sljedeća pitanja:

pitanja iz upitnika.

Šta mislite, koliko formula treba da zna maturant?

A) bućkanje

B) razumijevanje

B) metoda asocijacija

D) ostalo

Rezultati su bili sljedeći (vidi Dodatak 15).

Pitanje 1. 60 do 250 formula

Pitanje 2. Iz dobijenih odgovora možemo zaključiti da učenici 11. razreda, prilikom pamćenja formula, pokušavaju da ih razumiju ili koriste pamćenje.

Pitanje 3. Mišljenje studenata o ovaj problem raspršeni, iako se na dijagramu vidi da su uglavnom odgovorili sa „da“, tj. studenti vjeruju da broj formula koje treba zapamtiti odgovara prosječnom nivou pamćenja učenika.

Pitanje 4.Skoro svi učenici 11. razreda željeli bi koristiti samo jednu univerzalnu formulu umjesto više formula.

3.2 Testiranje

Sada znam da je Simpsonova formula zaista univerzalna i da ju je sasvim moguće primijeniti u životu. Ali da li je to zaista neophodno? Da bih odgovorio na ovo pitanje, predstavio sam formulu u razredu 11, nakon čega sam je testirao (vidi Dodatak 16-17) i dobio sljedeće rezultate:

Test #1

23% je priznalo da im je teško zapamtiti sve formule.

17% je reklo da im nije teško naučiti sve formule, uključujući i Simpsonovu formulu.

60% učenika koristilo je Simpsonovu formulu za neka geometrijska tijela i ona im je pomogla u rješavanju zadataka.

Test #2

100% kaže da se Simpsonova formula lako pamti.

0% je priznalo da ima nekih poteškoća u sjećanju.

Test #3

76% će primjenjivati ​​ovu formulu u budućnosti.

24% je priznalo da im vjerovatno neće trebati.

Test #4

82% smatra da bi Simpsonovu formulu trebalo uključiti školski program.

0% smatra da formula ne bi trebala biti uključena u školski program.

18% kaže da formulu treba uvrstiti u školski program, ali samo u specijalizovanim odjeljenjima.

Test #5

35% vjeruje da je zapamtiti jednu formulu za određivanje volumena nekoliko geometrijskih tijela odjednom mnogo lakše.

59% smatra da sve formule treba pamtiti, uključujući i Simpsonovu formulu, jer se nikad ne zna koji će uslovi biti dati.

6% smatra da je dovoljno zapamtiti samo formule koje su uključene u školski program.

Ova formula se može primijeniti i u rješavanju zadataka, uključujući i ispit . Navest ću primjere zadataka koji su davani u 11. razredu, a koje su učenici bez poteškoća rješavali:

Zadatak1 Pravilna šestougaona prizma visine 18 cm upisana je u cilindar poluprečnika osnove 4 cm. Odrediti zapreminu prizme.

Zadatak2 U cilindar je upisana pravilna četvorougaona piramida, visine 24 cm i stranice osnove 5 cm. Pronađite zapreminu cilindra.

Izlaz:

Zaključak

Tokom školovanja učenici moraju znati ogroman broj formula iz raznih predmeta. Anketa koju sam provela pokazala je da se svi učenici ne mogu sjetiti svih ovih formula. Naišao sam na problem: potrebno je u nastavu geometrije uvesti univerzalnu formulu koja omogućava zamjenu velikog broja formula za površine ravnih figura i volumena prostornih tijela, odnosno formulu pogodnu za mnoge svrhe, obavljanje raznih funkcija.

Pretpostavio sam da je formula engleskog matematičara Thomasa Simpsona

će vam omogućiti da zamijenite formule za površine figura i zapremine tijela jednom formulom.

Postavio sam sebi cilj: dokazati da univerzalna Simpsonova formula može zamijeniti sve formule površine i zapremine koje se proučavaju u školskom kursu geometrije. Ovaj cilj sam pokrio u nekoliko zadataka.

Kao rezultat mog rada, uvjerio sam se da vam Simpsonova formula omogućava da lako i brzo dokažete teoreme o zapreminama tijela bez korištenja definitivni integral.

Kako bi se olakšao rad na pamćenju i izvođenju formula, predlažem da prije proučavanja teme „Kvadrat figura“, nastavnik upozna učenike sa Simpsonovom formulom i ponudi da samostalno izvedu formule koje se proučavaju. Dokaz ponuđen u udžbeniku nastavnik može koristiti kao dodatni materijal za čas ili kao domaći zadatak.

Sada, šetajući šumom, vjerovatno ćete biti zainteresirani za određivanje volumena bilo kojeg drveta. Izračunajte koliko je u njemu kubnih metara drvo, a istovremeno ga izvagati - da saznamo da li bi bilo moguće, na primjer, odnijeti takav prtljažnik na jednoj kolicima.

Imam formulu po kojoj možete približno izračunati zapreminu debla, a da ne pitate kako to geometrijsko tijelo izgleda: cilindar, pun konus ili krnji konus.

Svoj rad smatram korisnim, jer Izveo sam sve formule za oblasti i zapremine koje se izučavaju u školi.

Iz rezultata ankete sam se uvjerio da je Simpsonova formula dovoljno laka za pamćenje i da je treba uvrstiti u školski program.

Ova formula se može koristiti i na ispitima, uključujući i ispit.

Spisak korišćene literature:

Ya.I. Perelman. Zabavna algebra. Zanimljiva geometrija. - M., "AST", 1999.

CD ROM. Velika enciklopedija Ćirila i Metodija, 2002.

L.S. Atanasyan i dr. Geometrija 10-11. Udžbenik za obrazovne ustanove, - M., "Prosveshchenie", 2002.

https://ru.wikipedia.org/wiki

https://studfiles.net/preview/5433881/page:10/

https://studopedia.ru/6_126004_formula-simpsona.html

https://vuzlit.ru/940376/vyvod_formuly_simpsona

Prilog 1

Kratke karakteristike svojstava geometrijskih tijela

Trougao

Aneks 2

Pravougaonik

Aneks 3

b 3 =0 pošto je gornja baza tačka.

Pošto je b 2 - u trouglu srednja linija, tada dobijamo:

Izlaz. Zaista, površina trokuta je polovina proizvoda baze i visine.

Rješenje: - univerzalna formula.

Kako je ABCD kvadrat, onda b 1 = b 2 = b 3 = h, onda dobijamo

Dodatak 4

Izlaz. Zaista, površina kvadrata jednaka je kvadratu njegove stranice.

Rješenje: - univerzalna formula.

Kako je ABCD pravougaonik, onda b 1 = b 2 = b 3, onda dobijamo:

Odgovor: S=hb 1 .

Izlaz. Zaista, površina pravokutnika jednaka je dvjema susjednim stranicama.

Rješenje: - univerzalna formula.

b 1 = b 2 = b 3, tada dobijamo:

Aneks 5

Problem 2. Zapremina cilindra.

Dato: Cilindar

b 1 - površina donje baze:

b 2 - prosječna površina presjeka:

b 3 - površina gornje baze.

Nađi: Vcylinder

(Sl. 22. Cilindar)

Jer b 1 = b 2 = b 3, tada dobijamo:

Odgovor: V=b 1 h

Dokaz predložen u udžbeniku geometrije ed. L.S. Atanasyan u Dodatku 7.

Izlaz. Zaista, volumen cilindra jednak je proizvodu površine baze i visine.

Rješenje: Pošto je b 3 = 0, ali, onda dobijamo:

odgovor: Dokaz predložen u udžbeniku geometrije ed. L.S. Atanasyan u Dodatku 8.

Dodatak 6

Dodatak 7

Aneks 8

Dodatak 9

Aneks 10

Aneks 11

Zadatak broj 1. Izračunavamo volumen modela kocke koristeći uobičajenu formulu. Da bismo to učinili, mjerimo ivicu modela kocke: a = 10,5 cm. V = a 3 = 1157,625 cm 3

Zadatak broj 2. Izračunavamo volumen modela pravilne šesterokutne piramide koristeći uobičajenu formulu. Da bismo to učinili, mjerimo visinu modela h = 17,2 cm i stranu osnove a = 6,5 cm.

Zadatak broj 3. Izračunavamo volumen modela cilindra koristeći uobičajenu formulu. Da bismo to učinili, mjerimo visinu modela h = 20,4 cm i polumjer baze R = 14 cm.

Aneks 12

	Izračunavamo S \u003d π * R 2 = 3,14 * 14 2 cm 2, V \u003d S * h \u003d 3,14 * 196 * 20,4 = 12554,976 cm 3 Izračunavamo volumen modela koristeći Simpsonovu formulu V = h/6 (S donja baza + S gornja baza + 4S srednji dio):
Površine gornje, donje baze i srednjeg dijela jednake su jedna drugoj S \u003d π * R 2 = 3,14 * 14 2 = 615,44 cm 2, h = 20,4 cm. V \u003d 20,4 / 6 * (20,4 + 20,4) = 12554,976 cm 3
Zadatak broj 4. Izračunavamo volumen modela konusa koristeći uobičajenu formulu. Da bismo to učinili, mjerimo visinu modela h = 21 cm i polumjer baze R = 6 cm.
Zadatak broj 5. Izračunavamo volumen modela kugle koristeći uobičajenu formulu. Da bismo to učinili, mjerimo polumjer lopte R = 7 cm.

Aneks 13

Izračun breze:

Obračun za aspen.

Obračun za bor.

Dodatak 14

Rezultati studije "Određivanje obima" rezidualnih "formula"

Dijagram 1. Određivanje broja "rezidualnih" formula.

Dijagram 2. Subjekti za koje su naznačene formule.

Dodatak 15

Koju metodu koristite za pamćenje formula?

A) bućkanje

B) razumijevanje

B) metoda asocijacija

D) ostalo

Dijagram 3. Metode pamćenja formula

Mislite li da broj formula koje treba zapamtiti odgovara prosječnom nivou pamćenja učenika?

Dijagram 4. Usklađenost broja formula sa nivoom pamćenja prosječnog učenika

Mislite li da je za bolje pamćenje mnogih formula potrebno koristiti bilo koju univerzalnu formulu?

Dijagram 5. Potreba za univerzalnom formulom

Aneks 16

Aneks 17

Da bismo konstruirali Simpsonovu formulu, prvo ćemo razmotriti sljedeći problem: izračunati površinu S krivolinijskog trapeza ograničenog odozgo grafikom parabole y = Ax 2 + Bx + C, s lijeve strane ravnom linijom x \u003d - h, s desne strane pravom linijom x = h i odozdo segmentom [-h; h]. Neka parabola prolazi kroz tri tačke (slika 8): D (-h; y 0) E (0; y 1) i F (h; y 2), i x 2 - x 1 = x 1 - x 0 = h . shodno tome,

x 1 = x 0 + h = 0; x 2 = x 0 + 2h.

Tada je površina S jednaka integralu:

Ovu oblast izražavamo u terminima h, y 0 , y 1 i y 2 . Da bismo to uradili, izračunavamo koeficijente parabole A, B, C. Iz uslova da parabola prolazi kroz tačke D, E i F, imamo:

Rješavajući ovaj sistem, dobijamo: C = y 1 ; A=

Zamjenom ovih vrijednosti A i C u (3) dobijamo željenu površinu

Pređimo sada na izvođenje Simpsonove formule za izračunavanje integrala

Da bismo to učinili, dijelimo segment integracije na 2n jednakih dijelova dužine

Na tačkama podjele (slika 4). a \u003d x 0, x 1, x 2, ..., x 2n-2, x 2n-1, x 2n \u003d b,

Izračunavamo vrijednosti integranda f: y 0 , y 1 , y 2 , ...,y 2n-2 , y 2n-1 , y 2n , de yi = f(xi), xi = a + ih (i = 0, 1, 2,...,2n).

Na segmentu zamjenjujemo integrand parabolom koja prolazi kroz tačke (x 0; y 0), (x 1; y 1) i (x 2; y 2) i izračunavamo približnu vrijednost integrala iz x 0 do x 2, koristimo formulu (4). Zatim (osenčeno područje na slici 4):

Slično, nalazimo:

................................................

Zbrajanjem rezultirajućih jednakosti imamo:

Formula (5) se zove generalizovana Simpsonova formula ili parabola formula, budući da se pri njegovom izvođenju graf integranda na parcijalnom segmentu dužine 2h zamjenjuje lukom parabole.

Zadatak posla:

1. Po uputstvu nastavnika ili u skladu sa opcijom od stolovi 4 zadatka (vidi Dodatak) za uzimanje uslova - integrand, granice integracije.

2. Nacrtajte dijagram toka programa i programa koji treba:

Zahtjev za tačnost izračunavanja određenog integrala, donje i gornje granice integracije;

Izračunati dati integral metodama: za opcije 1,4,7, 10... - desno, za opcije 2,5,8,... - prosjek; za opcije 2,5,8,… - lijevi pravokutnici. Izlaz broja particija raspona integracije na kojem se postiže specificirana preciznost proračuna;

Izračunajte dati integral koristeći metodu trapeza (za parne opcije) i Simpsonovu metodu (za neparne opcije).

Izlaz broja particija raspona integracije na kojem se postiže specificirana preciznost proračuna;

Iznesite vrijednosti kontrolne funkcije za datu vrijednost argumenta i uporedite sa izračunatim vrijednostima integrala. Zaključiti.

test pitanja

1. Šta je definitivni integral?

2. Zašto se uz analitičke metode koriste i numeričke metode za izračunavanje određenih integrala.

3. Koja je suština glavnih numeričkih metoda za izračunavanje određenih integrala.

4. Utjecaj broja particija na tačnost izračunavanja određenog integrala numeričkim metodama.

5. Kako izračunati integral bilo kojom metodom sa zadatom tačnošću?