Kako pronaći sredinu trougla: problem geometrije. Glavni elementarni problemi u euklidskoj geometriji došli su do nas od antike. One sadrže samu primarnu suštinu i neophodna osnovna znanja o percepciji prostornih oblika od strane osobe. Jedan od takvih problema je problem nalaženja sredine trougla. Danas se ovaj problem smatra kao prijem za obuku razvoj intelektualnih sposobnosti školaraca. U antičkom svijetu znanje o tome kako pronaći sredinu trokuta također se primjenjivalo u praksi: u upravljanju zemljištem, u proizvodnji raznih mehanizama itd. Šta je suština ove geometrijske slagalice?
Šta je medijana? Prije nego što riješite problem, morate se upoznati s najjednostavnijom geometrijskom terminologijom koja se odnosi na trokutove. Prije svega, svaki trokut ima tri vrha, tri stranice i tri ugla, iz čega proizlazi naziv ovog geometrijska figura. Važno je znati kako se zovu prave koje spajaju vrhove sa suprotnim stranama: visina, simetrala i medijana.
Visina - prava okomita na stranu suprotnu od temena iz kojeg je povučena; simetrala - dijeli ugao na pola; medijan dijeli stranu suprotnu izlaznom vrhu na pola. Da biste riješili ovaj problem, morate znati pronaći koordinate sredine segmenta, jer je presjek medijana trougla njegova sredina.
Pronađite sredine stranica trougla. Pronalaženje sredine segmenta je takođe klasično. geometrijski problem, za čije rješenje su vam potrebni šestar i ravnalo bez podjela. Iglu kompasa stavljamo na krajnju tačku segmenta i crtamo polukrug veći od polovine segmenta u sredini ovog segmenta. Isto radimo na drugoj strani segmenta. Rezultirajući polukrugovi će se nužno sijeći u dvije tačke, jer su njihovi polumjeri veći od polovine originalnog segmenta.
Dvije točke presjeka kružnice povezujemo ravnom linijom pomoću ravnala. Ova linija siječe originalni segment tačno u njegovoj sredini. Sada, znajući kako pronaći sredinu segmenta, to radimo sa svakom stranom trougla. Nakon što pronađete sve sredine stranica trokuta, spremni ste za konstruiranje njegove vlastite sredine.
Gradimo sredinu trougla. Povezujući vrhove trokuta sa sredinama njihovih suprotnih strana pravim linijama, dobijamo tri medijane. Ovo može nekoga iznenaditi, ali jedan od zakona harmonije ove geometrijske figure je da se sve tri medijane uvijek seku u jednoj tački. Upravo će ta tačka biti željena sredina trougla, koju nije tako teško pronaći ako znate kako konstruirati sredinu segmenta.
Zanimljivo je i da tačka preseka medijana nije samo geometrijska, već i "fizička" sredina trougla. Odnosno, ako, na primjer, izrežete trokut iz šperploče, pronađete njegovu sredinu i stavite ovu točku na vrh igle, tada će u idealnom slučaju takva figura uravnotežiti i neće pasti. Elementarna geometrija nosi mnogo takvih uzbudljivih "misterija", čije znanje pomaže da se shvati harmonija okolnog svijeta i prirode složenijih stvari.
Koncept srednje linije trougla
Hajde da uvedemo koncept srednje linije trougla.
Definicija 1
Ovo je segment koji povezuje sredine dve strane trougla (slika 1).
Slika 1. Srednja linija trougla
Teorema srednje linije trougla
Teorema 1
Srednja linija trougla je paralelna sa jednom od njegovih stranica i jednaka je njegovoj polovini.
Dokaz.
Neka nam je dat trougao $ABC$. $MN$ - srednja linija (kao na slici 2).
Slika 2. Ilustracija teoreme 1
Pošto je $\frac(AM)(AB)=\frac(BN)(BC)=\frac(1)(2)$, onda su trouglovi $ABC$ i $MBN$ slični prema drugom kriterijumu sličnosti trougla. Sredstva
Također, slijedi da $\angle A=\angle BMN$ znači $MN||AC$.
Teorema je dokazana.
Posljedice iz teoreme srednje linije trougla
Korol 1: Medijani trougla se sijeku u jednoj tački i dijele točku sjecišta u omjeru $2:1$ počevši od vrha.
Dokaz.
Razmotrimo trougao $ABC$, gdje je $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ njegova medijana. Pošto medijane dijele strane na pola. Razmislite srednja linija$A_1B_1$ (slika 3).
Slika 3. Ilustracija posljedica 1
Prema teoremi 1, $AB||A_1B_1$ i $AB=2A_1B_1$, dakle $\ugao ABB_1=\ugao BB_1A_1,\ \ugao BAA_1=\ugao AA_1B_1$. Stoga su trouglovi $ABM$ i $A_1B_1M$ slični prema kriteriju sličnosti prvog trougla. Onda
Slično, dokazano je da
Teorema je dokazana.
Korol 2: Tri srednje linije trokuta dijele ga na 4 trokuta slična originalnom trokutu sa koeficijentom sličnosti $k=\frac(1)(2)$.
Dokaz.
Razmotrimo trougao $ABC$ sa srednjim linijama $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1,\ B_1C_1$ (slika 4)
Slika 4. Ilustracija posljedica 2
Razmotrimo trougao $A_1B_1C$. Pošto je $A_1B_1$ srednja linija, onda
Ugao $C$ je zajednički ugao ovih trouglova. Prema tome, trokuti $A_1B_1C$ i $ABC$ su slični prema drugom kriterijumu sličnosti za trokute sa koeficijentom sličnosti $k=\frac(1)(2)$.
Slično, dokazano je da su trokuti $A_1C_1B$ i $ABC$, te trokuti $C_1B_1A$ i $ABC$ slični sa koeficijentom sličnosti $k=\frac(1)(2)$.
Razmotrimo trougao $A_1B_1C_1$. Pošto su $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1,\ B_1C_1$ srednje linije trougla, tada
Dakle, prema trećem kriteriju sličnosti za trouglove, trokuti $A_1B_1C_1$ i $ABC$ su slični sa koeficijentom sličnosti $k=\frac(1)(2)$.
Teorema je dokazana.
Primjeri zadatka na konceptu srednje linije trougla
Primjer 1
Dat je trougao sa stranicama $16$ cm, $10$ cm i $14$ cm. Pronađite obim trougla čiji vrhovi leže u sredinama stranica datog trougla.
Odluka.
Budući da vrhovi željenog trougla leže u sredinama stranica datog trougla, onda su njegove stranice središnje linije originalnog trougla. Korolarom 2 dobijamo da su stranice željenog trougla $8$ cm, $5$ cm i $7$ cm.
odgovor:$20$ vidi
Primjer 2
Dat je trougao $ABC$. Tačke $N\ i\ M$ su sredine stranica $BC$ i $AB$ respektivno (slika 5).
Slika 5
Obim trougla $BMN=14$ cm Nađite obim trougla $ABC$.
Odluka.
Pošto su $N\ i\ M$ sredine stranica $BC$ i $AB$, onda je $MN$ srednja linija. Sredstva
Prema teoremi 1, $AC=2MN$. Dobijamo:
Ponekad teme koje se objašnjavaju u školi možda nisu uvijek jasne prvi put. Ovo posebno važi za predmet kao što je matematika. Ali stvari postaju mnogo komplikovanije kada se ova nauka počne deliti na dva dela: algebru i geometriju.
Svaki učenik može imati sposobnost u jednom od dva smjera, a posebno u osnovna škola važno je razumjeti osnove i algebre i geometrije. U geometriji, jednom od glavnih tema smatra se dio o trouglovima.
Kako pronaći srednju liniju trougla? Hajde da to shvatimo.
Osnovni koncepti
Za početak, da biste shvatili kako pronaći srednju liniju trougla, važno je razumjeti šta je to.
Nema ograničenja za crtanje srednje linije: trokut može biti bilo koji (jednakokraki, jednakostranični, pravokutni). I sva svojstva koja se odnose na srednju liniju će raditi.
Srednja linija trougla je segment koji spaja sredine 2 njegove stranice. Dakle, svaki trokut može imati 3 takve prave.
Svojstva
Da bismo znali kako pronaći srednju liniju trokuta, označavamo njegova svojstva koja treba zapamtiti, inače bez njih neće biti moguće riješiti probleme s potrebom da se odredi dužina srednje linije, jer svi podaci dobijeni moraju biti potkrijepljeni i argumentirani teoremama, aksiomima ili svojstvima.
Dakle, da biste odgovorili na pitanje: "Kako pronaći srednju liniju trougla ABC?", dovoljno je znati jednu od strana trougla.
Dajemo primjer
Pogledajte sliku. Predstavlja trougao ABC sa srednjom linijom DE. Imajte na umu da je paralelna sa bazom AC u trouglu. Stoga, bez obzira na vrijednost AC, srednja linija DE će biti upola manja. Na primjer, AC=20 znači DE=10, itd.
Na tako jednostavne načine možete razumjeti kako pronaći srednju liniju trougla. Zapamtite njegova osnovna svojstva i definiciju i tada nikada nećete imati problema da pronađete njegovo značenje.
Četvorougao sa samo dvije paralelne stranice naziva se trapez.
Paralelne stranice trapeza nazivaju se njegovim osnove, a one stranice koje nisu paralelne se nazivaju strane. Ako su stranice jednake, onda je takav trapez jednakokračan. Udaljenost između baza naziva se visina trapeza.
Srednja linija trapeza
Srednja linija je segment koji povezuje sredine stranica trapeza. Srednja linija trapeza paralelna je s njegovim osnovama.
Teorema:
Ako je prava linija koja siječe sredinu jedne stranice paralelna s osnovama trapeza, tada ona siječe drugu stranu trapeza na pola.
Teorema:
Dužina srednje linije jednaka je aritmetičkoj sredini dužina njenih osnova
MN || AB || DCAM=MD; BN=NC
MN srednja linija, AB i CD - baze, AD i BC - strane
MN=(AB+DC)/2
Teorema:
Dužina srednje linije trapeza jednaka je aritmetičkoj sredini dužina njegovih osnova.
Glavni zadatak: Dokažite da srednja linija trapeza prepolovi segment čiji krajevi leže u sredini osnova trapeza.
Srednja linija trougla
Segment prave koji povezuje sredine dve strane trougla naziva se sredina trougla. Paralelna je sa trećom stranom i njena dužina je polovina dužine treće strane.
Teorema: Ako je prava koja siječe polovište jedne strane trougla paralelna s drugom stranom datog trougla, tada prepolovi treću stranu.
AM = MC i BN = NC =>
Primjena svojstava srednje linije trokuta i trapeza
Podjela segmenta na određeni broj jednakih dijelova.
Zadatak: Podijeliti segment AB na 5 jednakih dijelova.
Odluka:
Neka je p slučajni zrak čiji je početak tačka A i koji ne leži na pravoj AB. Uzastopno izdvajamo 5 jednakih segmenata na p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Povezujemo A 5 sa B i crtamo prave kroz A 4 , A 3 , A 2 i A 1 koje su paralelne sa A 5 B. One sijeku AB na B 4 , B 3 , B 2 i B 1 redom. Ove tačke dijele segment AB na 5 jednakih dijelova. Zaista, iz trapeza BB 3 A 3 A 5 vidimo da je BB 4 = B 4 B 3 . Na isti način, iz trapeza B 4 B 2 A 2 A 4 dobijamo B 4 B 3 = B 3 B 2
Dok je iz trapeza B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Tada iz B 2 AA 2 slijedi da je B 2 B 1 = B 1 A. U zaključku dobijamo:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Jasno je da da bismo segment AB podijelili na još jedan broj jednakih dijelova, trebamo projektovati isti broj jednakih segmenata na zraku p. I onda nastavite na gore opisani način.
\[(\Large(\text(Slični trokuti)))\]
Definicije
Za dva trokuta se kaže da su slična ako su njihovi uglovi podudarni i ako su stranice jednog trokuta proporcionalne sličnim stranicama drugog
(stranice se nazivaju sličnima ako leže nasuprot jednakih uglova).
Koeficijent sličnosti (sličnih) trouglova je broj jednak omjeru sličnih stranica ovih trouglova.
Definicija
Opseg trougla je zbir dužina svih njegovih stranica.
Teorema
Omjer perimetara dva slična trokuta jednak je koeficijentu sličnosti.
Dokaz
Razmotrite trouglove \(ABC\) i \(A_1B_1C_1\) sa stranicama \(a,b,c\) i \(a_1, b_1, c_1\) redom (vidi sliku iznad).
Onda \(P_(ABC)=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cdot P_(A_1B_1C_1)\)
Teorema
Omjer površina dva slična trougla jednak je kvadratu koeficijenta sličnosti.
Dokaz
Neka su trokuti \(ABC\) i \(A_1B_1C_1\) slični, i \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1) = k\). Označite slovima \(S\) i \(S_1\) površine ovih trouglova, respektivno.
Pošto je \(\ugao A = \ugao A_1\) , onda \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)(prema teoremi o odnosu površina trouglova koji imaju jednak ugao).
As \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = k\), onda \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\cdot\dfrac(AC)(A_1C_1) = k\cdot k = k^2\), što je trebalo dokazati.
\[(\Large(\text(Testovi sličnosti trougla)))\]
Teorema (prvi kriterij za sličnost trokuta)
Ako su dva ugla jednog trokuta, respektivno, jednaka dvama ugla drugog trougla, onda su takvi trokuti slični.
Dokaz
Neka su \(ABC\) i \(A_1B_1C_1\) trouglovi takvi da je \(\ugao A = \ugao A_1\) , \(\ugao B = \ugao B_1\) . Zatim teoremom o trouglu \(\ugao C = 180^\krug - \ugao A - \ugao B = 180^\krug - \ugao A_1 - \ugao B_1 = \ugao C_1\), odnosno, uglovi trokuta \(ABC\) su respektivno jednaki uglovima trougla \(A_1B_1C_1\) .
Budući da je \(\ugao A = \ugao A_1\) i \(\ugao B = \ugao B_1\), tada \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\) i \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot BC)(A_1B_1\cdot B_1C_1)\).
Iz ovih jednakosti proizilazi da \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1)\).
Slično, dokazano je da \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\)(koristeći jednakosti \(\ugao B = \ugao B_1\) , \(\ugao C = \ugao C_1\) ).
Kao rezultat toga, stranice trokuta \(ABC\) su proporcionalne sličnim stranicama trokuta \(A_1B_1C_1\) , što je trebalo dokazati.
Teorema (drugi kriterij za sličnost trokuta)
Ako su dvije stranice jednog trokuta proporcionalne dvjema stranicama drugog trokuta i uglovi između ovih stranica su jednaki, onda su takvi trokuti slični.
Dokaz
Razmotrimo dva trokuta \(ABC\) i \(A"B"C"\) takva da \(\dfrac(AB)(A"B")=\dfrac(AC)(A"C")\), \(\ugao BAC = \ugao A"\) Dokažimo da su trouglovi \(ABC\) i \(A"B"C"\) slični. S obzirom na prvi kriterij sličnosti trougla, dovoljno je pokazati da je \(\ugao B = \ugao B"\) .
Razmotrimo trokut \(ABC""\) , gdje je \(\ugao 1 = \ugao A"\) , \(\ugao 2 = \ugao B"\) . Trokuti \(ABC""\) i \(A"B"C"\) su slični u prvom kriteriju sličnosti trougla, zatim \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC"")(A"C")\).
S druge strane, prema stanju \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C")\). Iz posljednje dvije jednakosti slijedi \(AC = AC""\) .
Trokuti \(ABC\) i \(ABC""\) su jednaki po dvije strane i ugao između njih, dakle, \(\ugao B = \ugao 2 = \ugao B"\).
Teorema (treći kriterij za sličnost trokuta)
Ako su tri strane jednog trokuta proporcionalne trima stranicama drugog trokuta, onda su takvi trokuti slični.
Dokaz
Neka su stranice trokuta \(ABC\) i \(A"B"C"\) proporcionalne: \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\). Dokažimo da su trokuti \(ABC\) i \(A"B"C"\) slični.
Da bismo to učinili, uzimajući u obzir drugi kriterij sličnosti trokuta, dovoljno je dokazati da je \(\ugao BAC = \ugao A"\) .
Razmotrimo trokut \(ABC""\) , gdje je \(\ugao 1 = \ugao A"\) , \(\ugao 2 = \ugao B"\) .
Trokuti \(ABC""\) i \(A"B"C"\) su slični u prvom kriteriju sličnosti trokuta, dakle, \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(BC"")(B"C") = \dfrac(C""A)(C"A")\).
Iz poslednjeg lanca jednakosti i uslova \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\) slijedi da je \(BC = BC""\) , \(CA = C""A\) .
Trokuti \(ABC\) i \(ABC""\) su jednaki sa tri strane, dakle, \(\ugao BAC = \ugao 1 = \ugao A"\).
\[(\Large(\text(Talesova teorema)))\]
Teorema
Ako na jednoj strani ugla označimo segmente jednake jedan drugom i kroz njihove krajeve povučemo paralelne ravne linije, tada će ove prave odsjeći segmente jednake jedni drugima na drugoj strani.
Dokaz
Dokažimo prvo lema: Ako se u \(\trokutu OBB_1\) povuče prava \(a\paralela BB_1\) kroz sredinu \(A\) stranice \(OB\) , tada će presjeći stranicu \(OB_1\) također u sredini.
Povucite \(l\paralelni OB\) kroz tačku \(B_1\) . Neka \(l\cap a=K\) . Tada je \(ABB_1K\) paralelogram, dakle \(B_1K=AB=OA\) i \(\ugao A_1KB_1=\ugao ABB_1=\ugao OAA_1\); \(\ugao AA_1O=\ugao KA_1B_1\) kao okomito. Dakle, prema drugom znaku \(\trokut OAA_1=\trokut B_1KA_1 \Strelica desno OA_1=A_1B_1\). Lema je dokazana.
Nastavimo s dokazom teoreme. Neka \(OA=AB=BC\) , \(a\paralelno b\paralelno c\) i trebamo dokazati da je \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\) .
Dakle, prema ovoj lemi \(OA_1=A_1B_1\) . Dokažimo da je \(A_1B_1=B_1C_1\) . Povucite pravu kroz tačku \(B_1\) \(d\paralel OC\) i neka \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\) . Tada su \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) paralelogrami, dakle \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\) . dakle, \(\ugao A_1B_1D_1=\ugao C_1B_1D_2\) kao okomito, \(\ugao A_1D_1B_1=\ugao C_1D_2B_1\) kao ležeći poprečno, i, prema tome, prema drugom znaku \(\trokut A_1B_1D_1=\trokut C_1B_1D_2 \Strelica desno A_1B_1=B_1C_1\).
Talesova teorema
Paralelne linije režu proporcionalne segmente na stranama ugla.
Dokaz
Neka su paralelne linije \(p\paralelno q\paralelno r\paralelno s\) podijeliti jednu od linija na segmente \(a, b, c, d\) . Zatim ove prave treba da podijele drugu pravu na segmente \(ka, kb, kc, kd\), respektivno, gdje je \(k\) određeni broj, isti koeficijent proporcionalnosti segmenata.
Nacrtajmo pravu liniju \(p\paralelno OD\) kroz tačku \(A_1\) (\(ABB_2A_1\) je paralelogram, dakle, \(AB=A_1B_2\) ). Onda \(\trokut OAA_1 \sim \trokut A_1B_1B_2\) na dva ugla. dakle, \(\dfrac(OA)(A_1B_2)=\dfrac(OA_1)(A_1B_1) \Rightarrow A_1B_1=kb\).
Slično, nacrtajmo pravu liniju kroz \(B_1\) \(q\paralelni OD \Strelica desno \trokut OBB_1\sim \trokut B_1C_1C_2 \Strelica desno B_1C_1=kc\) itd.
\[(\Large(\text(srednja linija trougla)))\]
Definicija
Srednja linija trougla je segment koji spaja sredine bilo koje dvije strane trougla.
Teorema
Srednja linija trougla je paralelna sa trećom stranom i jednaka njenoj polovini.
Dokaz
1) Paralelnost srednje linije prema bazi proizilazi iz gore navedenog leme.
2) Dokazujemo da je \(MN=\dfrac12 AC\) .
Povucite pravu kroz tačku \(N\) paralelno sa \(AB\) . Neka ova prava siječe stranu \(AC\) u tački \(K\) . Tada je \(AMNK\) paralelogram ( \(AM\paralelno NK, MN\paralelno AK\) na prethodnoj tački). Dakle \(MN=AK\) .
Jer \(NK\paralelno AB\) i \(N\) je središte \(BC\) , tada je prema Talesovoj teoremi \(K\) središte \(AC\) . Prema tome, \(MN=AK=KC=\dfrac12 AC\) .
Posljedica
Srednja linija trougla odsijeca trokut sličan zadatom s koeficijentom \(\frac12\) .