\[(\Large(\text(Slični trokuti)))\]
Definicije
Za dva trokuta se kaže da su slična ako su njihovi uglovi podudarni i ako su stranice jednog trokuta proporcionalne sličnim stranicama drugog
(stranice se nazivaju sličnima ako leže nasuprot jednakih uglova).
Koeficijent sličnosti (sličnih) trouglova je broj jednak omjeru sličnih stranica ovih trouglova.
Definicija
Opseg trougla je zbir dužina svih njegovih stranica.
Teorema
Omjer perimetara dva slična trokuta jednak je koeficijentu sličnosti.
Dokaz
Razmotrite trouglove \(ABC\) i \(A_1B_1C_1\) sa stranicama \(a,b,c\) i \(a_1, b_1, c_1\) redom (vidi sliku iznad).
Onda \(P_(ABC)=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cdot P_(A_1B_1C_1)\)
Teorema
Omjer površina dva slična trougla jednak je kvadratu koeficijenta sličnosti.
Dokaz
Neka su trokuti \(ABC\) i \(A_1B_1C_1\) slični, i \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1) = k\). Označite slovima \(S\) i \(S_1\) površine ovih trouglova, respektivno.
Pošto je \(\ugao A = \ugao A_1\) , onda \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)(prema teoremi o odnosu površina trouglova koji imaju jednak ugao).
Jer \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = k\), onda \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\cdot\dfrac(AC)(A_1C_1) = k\cdot k = k^2\), što je trebalo dokazati.
\[(\Large(\text(Testovi sličnosti trougla)))\]
Teorema (prvi kriterij za sličnost trokuta)
Ako su dva ugla jednog trokuta, respektivno, jednaka dvama ugla drugog trougla, onda su takvi trokuti slični.
Dokaz
Neka su \(ABC\) i \(A_1B_1C_1\) trouglovi takvi da je \(\ugao A = \ugao A_1\) , \(\ugao B = \ugao B_1\) . Zatim teoremom o trouglu \(\ugao C = 180^\krug - \ugao A - \ugao B = 180^\krug - \ugao A_1 - \ugao B_1 = \ugao C_1\), odnosno, uglovi trokuta \(ABC\) su respektivno jednaki uglovima trougla \(A_1B_1C_1\) .
Budući da je \(\ugao A = \ugao A_1\) i \(\ugao B = \ugao B_1\), tada \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\) I \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot BC)(A_1B_1\cdot B_1C_1)\).
Iz ovih jednakosti proizilazi da \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1)\).
Slično, dokazano je da \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\)(koristeći jednakosti \(\ugao B = \ugao B_1\) , \(\ugao C = \ugao C_1\) ).
Kao rezultat toga, stranice trokuta \(ABC\) su proporcionalne sličnim stranicama trokuta \(A_1B_1C_1\) , što je trebalo dokazati.
Teorema (drugi kriterij za sličnost trokuta)
Ako su dvije stranice jednog trokuta proporcionalne dvjema stranicama drugog trokuta i uglovi između ovih stranica su jednaki, onda su takvi trokuti slični.
Dokaz
Razmotrimo dva trokuta \(ABC\) i \(A"B"C"\) takva da \(\dfrac(AB)(A"B")=\dfrac(AC)(A"C")\), \(\ugao BAC = \ugao A"\) Dokažimo da su trouglovi \(ABC\) i \(A"B"C"\) slični. S obzirom na prvi kriterij sličnosti trougla, dovoljno je pokazati da je \(\ugao B = \ugao B"\) .
Razmotrimo trokut \(ABC""\) , gdje je \(\ugao 1 = \ugao A"\) , \(\ugao 2 = \ugao B"\) . Trokuti \(ABC""\) i \(A"B"C"\) su slični u prvom kriteriju sličnosti trougla, zatim \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC"")(A"C")\).
S druge strane, prema stanju \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C")\). Iz posljednje dvije jednakosti slijedi \(AC = AC""\) .
Trokuti \(ABC\) i \(ABC""\) su jednaki po dvije strane i ugao između njih, dakle, \(\ugao B = \ugao 2 = \ugao B"\).
Teorema (treći kriterij za sličnost trokuta)
Ako su tri strane jednog trokuta proporcionalne trima stranicama drugog trokuta, onda su takvi trokuti slični.
Dokaz
Neka su stranice trokuta \(ABC\) i \(A"B"C"\) proporcionalne: \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\). Dokažimo da su trokuti \(ABC\) i \(A"B"C"\) slični.
Da bismo to učinili, uzimajući u obzir drugi kriterij sličnosti trokuta, dovoljno je dokazati da je \(\ugao BAC = \ugao A"\) .
Razmotrimo trokut \(ABC""\) , gdje je \(\ugao 1 = \ugao A"\) , \(\ugao 2 = \ugao B"\) .
Trokuti \(ABC""\) i \(A"B"C"\) su slični u prvom kriteriju sličnosti trokuta, dakle, \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(BC"")(B"C") = \dfrac(C""A)(C"A")\).
Iz poslednjeg lanca jednakosti i uslova \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\) slijedi da je \(BC = BC""\) , \(CA = C""A\) .
Trokuti \(ABC\) i \(ABC""\) su jednaki sa tri strane, dakle, \(\ugao BAC = \ugao 1 = \ugao A"\).
\[(\Large(\text(Talesova teorema)))\]
Teorema
Ako na jednoj strani ugla označimo segmente jednake jedan drugom i kroz njihove krajeve povučemo paralelne ravne linije, tada će ove prave odsjeći segmente jednake jedni drugima na drugoj strani.
Dokaz
Dokažimo prvo lema: Ako se u \(\trokutu OBB_1\) povuče prava \(a\paralela BB_1\) kroz sredinu \(A\) stranice \(OB\) , tada će presjeći stranicu \(OB_1\) također u sredini.
Povucite \(l\paralelni OB\) kroz tačku \(B_1\) . Neka \(l\cap a=K\) . Tada je \(ABB_1K\) paralelogram, dakle \(B_1K=AB=OA\) i \(\ugao A_1KB_1=\ugao ABB_1=\ugao OAA_1\); \(\ugao AA_1O=\ugao KA_1B_1\) kao okomito. Dakle, prema drugom znaku \(\trokut OAA_1=\trokut B_1KA_1 \Strelica desno OA_1=A_1B_1\). Lema je dokazana.
Nastavimo s dokazom teoreme. Neka \(OA=AB=BC\) , \(a\paralelno b\paralelno c\) i trebamo dokazati da je \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\) .
Dakle, prema ovoj lemi \(OA_1=A_1B_1\) . Dokažimo da je \(A_1B_1=B_1C_1\) . Povucite pravu kroz tačku \(B_1\) \(d\paralel OC\) i neka \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\) . Tada su \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) paralelogrami, dakle \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\) . Na ovaj način, \(\ugao A_1B_1D_1=\ugao C_1B_1D_2\) kao okomito, \(\ugao A_1D_1B_1=\ugao C_1D_2B_1\) kao ležeći poprečno, i, prema tome, prema drugom znaku \(\trokut A_1B_1D_1=\trokut C_1B_1D_2 \Strelica desno A_1B_1=B_1C_1\).
Talesova teorema
Paralelne linije režu proporcionalne segmente na stranama ugla.
Dokaz
Neka su paralelne linije \(p\paralelno q\paralelno r\paralelno s\) podijeliti jednu od linija na segmente \(a, b, c, d\) . Zatim ove prave treba da podijele drugu pravu na segmente \(ka, kb, kc, kd\), respektivno, gdje je \(k\) određeni broj, isti koeficijent proporcionalnosti segmenata.
Nacrtajmo pravu liniju \(p\paralelno OD\) kroz tačku \(A_1\) (\(ABB_2A_1\) je paralelogram, dakle, \(AB=A_1B_2\) ). Onda \(\trokut OAA_1 \sim \trokut A_1B_1B_2\) na dva ugla. shodno tome, \(\dfrac(OA)(A_1B_2)=\dfrac(OA_1)(A_1B_1) \Rightarrow A_1B_1=kb\).
Slično, nacrtajmo pravu liniju kroz \(B_1\) \(q\paralelni OD \Strelica desno \trokut OBB_1\sim \trokut B_1C_1C_2 \Strelica desno B_1C_1=kc\) itd.
\[(\Large(\text( srednja linija trokut)))\]
Definicija
Srednja linija trougla je segment koji spaja sredine bilo koje dvije strane trougla.
Teorema
Srednja linija trougla je paralelna sa trećom stranom i jednaka njenoj polovini.
Dokaz
1) Paralelnost srednje linije prema bazi proizilazi iz gore navedenog leme.
2) Dokazujemo da je \(MN=\dfrac12 AC\) .
Povucite pravu kroz tačku \(N\) paralelno sa \(AB\) . Neka ova prava siječe stranu \(AC\) u tački \(K\) . Tada je \(AMNK\) paralelogram ( \(AM\paralelno NK, MN\paralelno AK\) na prethodnoj tački). Dakle \(MN=AK\) .
Jer \(NK\paralelno AB\) i \(N\) je središte \(BC\) , tada je prema Talesovoj teoremi \(K\) središte \(AC\) . Prema tome, \(MN=AK=KC=\dfrac12 AC\) .
Posljedica
Srednja linija trougla odsijeca trokut sličan zadatom s koeficijentom \(\frac12\) .
Srednja linija trougla je segment koji spaja sredine 2 njegove stranice. Prema tome, svaki trougao ima tri srednje linije. Poznavajući kvalitetu srednje linije, kao i dužine stranica trougla i njegovih uglova, moguće je pronaći dužinu srednje linije.
Trebaće ti
- Stranice trougla, uglovi trougla
Uputstvo
1. Neka je u trouglu ABC MN srednja linija koja spaja sredine stranica AB (tačka M) i AC (tačka N). Po svojstvu, srednja linija trougla koji povezuje sredine 2 stranice je paralelna sa trećom stranom i jednaka je svoju polovinu. To znači da će srednja linija MN biti paralelna sa stranicom BC i jednaka BC/2.Shodno tome, da bi se odredila dužina srednje linije trougla, dovoljno je znati dužinu stranice ove treće strane.
2. Upoznajmo sada stranice čije su sredine povezane srednjom linijom MN, odnosno AB i AC, kao i ugao BAC između njih. Pošto je MN srednja linija, onda je AM = AB/2, a AN = AC/2. Tada, prema kosinusnoj teoremi, objektivno: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM *AN*cos (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Odavde, MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).
3. Ako su strane AB i AC poznate, tada se srednja linija MN može naći poznavanjem ugla ABC ili ACB. Neka je, recimo, ugao ABC poznat. Jer, po svojstvu srednje linije, MN je paralelan sa BC, tada su uglovi ABC i AMN odgovarajući, i, posledično, ABC = AMN. Zatim po zakonu kosinusa: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). Prema tome, strana MN se može naći iz kvadratna jednačina(MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0.
Savjet 2: Kako pronaći stranu kvadratnog trougla
Kvadratni trokut se pravilnije naziva pravokutnim trokutom. Odnos između stranica i uglova ovoga geometrijska figura detaljno se razmatraju u matematičkoj disciplini trigonometrija.
Trebaće ti
- - papir;
- - olovka;
- – Bradis stolovi;
- - kalkulator.
Uputstvo
1. Otkrijte strana pravougaona trougao uz podršku Pitagorine teoreme. Prema ovoj teoremi, kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta: c2 \u003d a2 + b2, gdje je c hipotenuza trougao, a i b su njegove noge. Da biste primijenili ovu jednačinu, morate znati dužinu bilo koje 2 strane pravougaonika trougao .
2. Ako uvjeti određuju dimenzije kateta, pronađite dužinu hipotenuze. Da biste to učinili, uz podršku kalkulatora, izvucite kvadratni korijen zbira kateta, od kojih je svaki unaprijed kvadriran.
3. Izračunajte dužinu jednog od kateta, ako su poznate dimenzije hipotenuze i drugog kraka. Koristeći kalkulator, uzmite kvadratni korijen razlike između hipotenuze na kvadrat i vođene noge, također na kvadrat.
4. Ako su hipotenuza i jedan od oštrih uglova uz nju dati u zadatku, koristite Bradysove tablice. Oni sadrže vrijednosti trigonometrijske funkcije za veliki broj uglovi. Koristite kalkulator sa sinusnim i kosinusnim funkcijama, kao i teoremama trigonometrije koje opisuju odnos između stranica i uglova pravougaonika trougao .
5. Nađite katete koristeći osnovne trigonometrijske funkcije: a = c*sin ?, b = c*cos ?, gdje je a krak nasuprot uglu?, b je krak uz ugao?. Slično, izračunajte veličinu stranica trougao, ako su hipotenuza i drugi oštar ugao dati: b = c*sin ?, a = c*cos ?, gdje je b krak suprotan kutu?, i da li je krak susjedni kutu?
6. U slučaju kada vodimo nogu a i uz nju oštar ugao?, ne zaboravite da u pravougaonog trougla zbir oštrih uglova je uvijek 90°: ? +? = 90°. Odrediti vrijednost ugla suprotnog kraku a:? = 90° -?. Ili koristite trigonometrijske formule baca: sin ? = sin (90° -?) = cos?; tg? = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/tan?.
7. Ako zadržimo krak a i oštar ugao nasuprot njemu?, koristeći Bradisove tablice, kalkulator i trigonometrijske funkcije, izračunamo hipotenuzu koristeći formulu: c=a*sin?, krak: b=a*tg?.
Povezani video zapisi
Četvorougao sa samo dvije paralelne stranice naziva se trapez.
Paralelne stranice trapeza nazivaju se njegovim osnove, a one stranice koje nisu paralelne se nazivaju strane. Ako su stranice jednake, onda je takav trapez jednakokračan. Udaljenost između baza naziva se visina trapeza.
Srednja linija trapeza
Srednja linija je segment koji povezuje sredine stranica trapeza. Srednja linija trapeza paralelna je s njegovim osnovama.
Teorema:
Ako je prava linija koja siječe sredinu jedne stranice paralelna s osnovama trapeza, tada ona siječe drugu stranu trapeza na pola.
Teorema:
Dužina srednje linije jednaka je aritmetičkoj sredini dužina njenih osnova
MN || AB || DCAM=MD; BN=NC
MN srednja linija, AB i CD - baze, AD i BC - strane
MN=(AB+DC)/2
Teorema:
Dužina srednje linije trapeza jednaka je aritmetičkoj sredini dužina njegovih osnova.
Glavni zadatak: Dokažite da srednja linija trapeza prepolovi segment čiji krajevi leže u sredini osnova trapeza.
Srednja linija trougla
Segment prave koji povezuje sredine dve strane trougla naziva se sredina trougla. Paralelna je sa trećom stranom i njena dužina je polovina dužine treće strane.
Teorema: Ako je prava koja siječe polovište jedne strane trougla paralelna s drugom stranom datog trougla, tada prepolovi treću stranu.
AM = MC i BN = NC =>
Primjena svojstava srednje linije trokuta i trapeza
Podjela segmenta na određeni broj jednakih dijelova.
Zadatak: Podijeliti segment AB na 5 jednakih dijelova.
Rješenje:
Neka je p slučajni zrak čiji je početak tačka A i koji ne leži na pravoj AB. Uzastopno izdvajamo 5 jednakih segmenata na p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Povezujemo A 5 sa B i crtamo prave kroz A 4 , A 3 , A 2 i A 1 koje su paralelne sa A 5 B. One sijeku AB na B 4 , B 3 , B 2 i B 1 redom. Ove tačke dijele segment AB na 5 jednakih dijelova. Zaista, iz trapeza BB 3 A 3 A 5 vidimo da je BB 4 = B 4 B 3 . Na isti način, iz trapeza B 4 B 2 A 2 A 4 dobijamo B 4 B 3 = B 3 B 2
Dok je iz trapeza B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Tada iz B 2 AA 2 slijedi da je B 2 B 1 = B 1 A. U zaključku dobijamo:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Jasno je da da bismo segment AB podijelili na još jedan broj jednakih dijelova, trebamo projektovati isti broj jednakih segmenata na zraku p. I onda nastavite na gore opisani način.
Video kurs "Osvoji A" obuhvata sve teme neophodne za uspeh polaganje ispita iz matematike za 60-65 bodova. U potpunosti svi zadaci 1-13 Profila USE iz matematike. Pogodan i za polaganje Osnovnog USE iz matematike. Ako želite da položite ispit sa 90-100 bodova, potrebno je da riješite prvi dio za 30 minuta i bez greške!
Pripremni kurs za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa sto bodova ni humanista.
Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne ispita. Analizirani su svi relevantni zadaci 1. dijela iz zadataka Banke FIPI. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima USE-2018.
Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.
Stotine ispitnih zadataka. Tekstovni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta USE zadataka. Stereometrija. Lukavi trikovi za rješavanje, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule - do zadatka 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Vizuelno objašnjenje složenih koncepata. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela ispita.
Ponekad teme koje se objašnjavaju u školi možda nisu uvijek jasne prvi put. Ovo posebno važi za predmet kao što je matematika. Ali stvari postaju mnogo komplikovanije kada se ova nauka počne deliti na dva dela: algebru i geometriju.
Svaki učenik može imati sposobnost u jednom od dva smjera, a posebno u osnovna škola važno je razumjeti osnove i algebre i geometrije. U geometriji, jednom od glavnih tema smatra se dio o trouglovima.
Kako pronaći srednju liniju trougla? Hajde da to shvatimo.
Osnovni koncepti
Za početak, da biste shvatili kako pronaći srednju liniju trougla, važno je razumjeti šta je to.
Nema ograničenja za crtanje srednje linije: trokut može biti bilo koji (jednakokraki, jednakostranični, pravokutni). I sva svojstva koja se odnose na srednju liniju će raditi.
Srednja linija trougla je segment koji spaja sredine 2 njegove stranice. Dakle, svaki trokut može imati 3 takve prave.
Svojstva
Da bismo znali kako pronaći srednju liniju trokuta, označavamo njegova svojstva koja treba zapamtiti, inače bez njih neće biti moguće riješiti probleme s potrebom da se odredi dužina srednje linije, jer svi podaci dobijeni moraju biti potkrijepljeni i argumentirani teoremama, aksiomima ili svojstvima.
Dakle, da biste odgovorili na pitanje: "Kako pronaći srednju liniju trougla ABC?", dovoljno je znati jednu od strana trougla.
Dajemo primjer
Pogledajte sliku. Predstavlja trougao ABC sa srednjom linijom DE. Imajte na umu da je paralelna sa bazom AC u trouglu. Stoga, bez obzira na vrijednost AC, srednja linija DE će biti upola manja. Na primjer, AC=20 znači DE=10, itd.
Na tako jednostavne načine možete razumjeti kako pronaći srednju liniju trougla. Zapamtite njegova osnovna svojstva i definiciju i tada nikada nećete imati problema da pronađete njegovo značenje.