Razmotrimo funkciju dvije varijable:
Pošto su varijable $x$ i $y$ nezavisne, možemo uvesti koncept parcijalnog izvoda za takvu funkciju:
Parcijalni izvod funkcije $f$ u tački $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ u odnosu na varijablu $x$ je granica
\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \desno))(\Delta x)\]
Slično, možemo definirati parcijalni izvod u odnosu na varijablu $y$:
\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \desno))(\Delta y)\]
Drugim riječima, da biste pronašli parcijalni izvod funkcije nekoliko varijabli, morate popraviti sve ostale varijable osim željene, a zatim pronaći običan izvod u odnosu na tu željenu varijablu.
Iz ovoga slijedi glavna tehnika za izračunavanje takvih izvoda: jednostavno uzmite u obzir da su sve varijable osim date konstantne, a zatim diferencirajte funkciju kao što biste razlikovali „običnu“ - s jednom promjenljivom. Na primjer:
$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \desno))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prosti ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$
Očigledno, parcijalni derivati u odnosu na različite varijable daju različite odgovore - to je normalno. Mnogo je važnije razumjeti zašto smo, recimo, u prvom slučaju mirno izbacili $10y$ ispod znaka izvodnice, a u drugom slučaju potpuno poništili prvi član. Sve je to zbog činjenice da se sva slova, osim varijable po kojoj se provodi diferencijacija, smatraju konstantama: mogu se izvaditi, "spaliti" itd.
Šta je "parcijalni derivat"?
Danas ćemo govoriti o funkcijama nekoliko varijabli i njihovim parcijalnim derivatima. Prvo, koja je funkcija više varijabli? Do sada smo bili navikli da o funkciji razmišljamo kao o $y\left(x \right)$ ili $t\left(x \right)$, ili bilo kojoj varijabli i jednoj funkciji iz nje. Sada ćemo imati jednu funkciju i nekoliko varijabli. Kada se $y$ i $x$ promijene, vrijednost funkcije će se promijeniti. Na primjer, ako se $x$ udvostruči, vrijednost funkcije će se promijeniti, dok ako se promijeni $x$, a $y$ se ne promijeni, vrijednost funkcije će se promijeniti na isti način.
Naravno, funkcija više varijabli, baš kao i funkcija jedne varijable, može se diferencirati. Međutim, budući da postoji nekoliko varijabli, moguće je razlikovati prema različitim varijablama. U ovom slučaju nastaju specifična pravila koja nisu postojala pri diferenciranju jedne varijable.
Prije svega, kada razmatramo derivaciju funkcije bilo koje varijable, moramo naznačiti koju varijablu smatramo derivacijom - to se zove parcijalni izvod. Na primjer, imamo funkciju dvije varijable, i možemo je izračunati i u $x$ i u $y$ - dvije parcijalne derivacije svake od varijabli.
Drugo, čim fiksiramo jednu od varijabli i počnemo računati parcijalni izvod u odnosu na nju, tada se sve ostale uključene u ovu funkciju smatraju konstantama. Na primjer, u $z\left(xy \right)$, ako uzmemo u obzir parcijalni izvod u odnosu na $x$, onda gdje god naiđemo na $y$, smatramo je konstantom i tretiramo je upravo kao konstantu. Konkretno, kada računamo derivaciju proizvoda, možemo uzeti $y$ iz zagrade (imamo konstantu), a kada računamo derivaciju sume, ako negdje dobijemo izvod izraza koji sadrži $y$ a ne sadrži $x$, onda će izvod ovog izraza biti jednak "nuli" kao izvod konstante.
Na prvi pogled može izgledati da govorim o nečem složenom, a mnogi studenti se u početku zbune. Međutim, u parcijalnim derivatima nema ničeg natprirodnog, a sada ćemo to vidjeti na primjeru konkretnih problema.
Problemi s radikalima i polinomima
Zadatak #1
Kako ne bismo gubili vrijeme uzalud, od samog početka ćemo krenuti s ozbiljnim primjerima.
Dozvolite mi da počnem sa sljedećom formulom:
Ovo je standardna vrijednost tabele koju znamo iz standardnog kursa.
U ovom slučaju, izvod $z$ se izračunava na sljedeći način:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]
Da ponovimo, pošto korijen nije $x$, već neki drugi izraz, u ovom slučaju $\frac(y)(x)$, onda ćemo prvo koristiti standardnu vrijednost tablice, a zatim, pošto korijen nije $ x $ i još jedan izraz, moramo pomnožiti našu derivaciju sa još jednom od ovog izraza u odnosu na istu varijablu. Počnimo sa sljedećim:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]
Vraćamo se našem izrazu i pišemo:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \desno)\]
U suštini, to je sve. Međutim, pogrešno je ostaviti ga u ovom obliku: takvu konstrukciju je nezgodno koristiti za daljnje proračune, pa hajde da je malo transformiramo:
\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]
\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]
Odgovor pronađen. Sada se pozabavimo $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]
Napišimo odvojeno:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]
Sada pišemo:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]
\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]
Gotovo.
Zadatak #2
Ovaj primjer je i jednostavniji i složeniji od prethodnog. Teže, jer ima više akcija, ali lakše, jer nema korijena i, osim toga, funkcija je simetrična u odnosu na $x$ i $y$, tj. ako zamijenimo $x$ i $y$, formula se ne mijenja. Ova napomena će dodatno pojednostaviti izračunavanje parcijalnog izvoda, tj. dovoljno je izračunati jedan od njih, au drugom samo zamijeniti $x$ i $y$.
Hajdemo na posao:
\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \desno ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \desno)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\levo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))\]
izbrojimo:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]
Međutim, mnogi studenti ne razumiju takav zapis, pa ga pišemo ovako:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\levo(y \desno))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]
Tako smo se još jednom uvjerili u univerzalnost algoritma parcijalnih izvoda: bez obzira na to kako ih smatramo, ako se sva pravila ispravno primjenjuju, odgovor će biti isti.
Sada se pozabavimo još jednom parcijalnom derivacijom iz naše velike formule:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \desno))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]
Zamjenjujemo rezultirajuće izraze u našu formulu i dobivamo:
\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ desno)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\left (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))=\]
\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno)-xy\cdot 2x)(((\left((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))=\]
\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \desno))((\ lijevo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \desno))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2 )))\]
$x$ uračunato. A da bismo izračunali $y$ iz istog izraza, nemojmo izvoditi isti niz radnji, već koristimo simetriju našeg originalnog izraza - jednostavno zamijenimo sve $y$ u našem originalnom izrazu sa $x$ i obrnuto:
\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \desno))((( \levo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))\]
Zbog simetrije smo ovaj izraz izračunali mnogo brže.
Nijanse rješenja
Svi rade za parcijalne derivate standardne formule, koje koristimo za obične, odnosno derivaciju količnika. U ovom slučaju, međutim, pojavljuju se njegove specifične karakteristike: ako uzmemo u obzir parcijalni izvod od $x$, onda kada ga dobijemo iz $x$, onda ga smatramo konstantom, pa će stoga njegov izvod biti jednak " nula".
Kao iu slučaju običnih derivata, količnik (jedan te isti) može se izračunati sa nekoliko Različiti putevi. Na primjer, ista konstrukcija koju smo upravo izračunali može se prepisati na sljedeći način:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]
Međutim, s druge strane, možete koristiti formulu iz zbira izvedenice. Kao što znamo, jednak je zbiru derivacija. Na primjer, napišimo sljedeće:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]
Sada, znajući sve ovo, pokušajmo raditi s ozbiljnijim izrazima, jer stvarne parcijalne derivacije nisu ograničene samo na polinome i korijene: postoje trigonometrija, i logaritmi, i eksponencijalna funkcija. Hajde da uradimo ovo.
Zadaci s trigonometrijskim funkcijama i logaritmima
Zadatak #1
Pišemo sljedeće standardne formule:
\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]
\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]
Naoružani ovim znanjem, pokušajmo riješiti:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Napišimo jednu varijablu posebno:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Nazad na naš dizajn:
\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Pronašli smo sve za $x$, sada uradimo proračune za $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Opet, razmislite o jednom izrazu:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \desno)\]
Vraćamo se na izvorni izraz i nastavljamo rješenje:
\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Gotovo.
Zadatak #2
Napišimo formulu koja nam je potrebna:
\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]
Sada računajmo po $x$:
\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \desno))^(\prime ))_(x)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]
Pronašao $x$. Računajući po $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \desno))^(\prime ))_(y)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]
Problem riješen.
Nijanse rješenja
Dakle, bez obzira iz koje funkcije uzmemo parcijalni izvod, pravila ostaju ista, bez obzira da li radimo s trigonometrijom, s korijenima ili s logaritmima.
Klasična pravila za rad sa standardnim derivatima ostaju nepromijenjena, a to su izvod zbira i razlike, količnik i složena funkcija.
Posljednja formula se najčešće nalazi u rješavanju problema s parcijalnim derivatima. Srećemo ih skoro svuda. Još nije bilo ni jednog zadatka da ga tamo nismo naišli. No, bez obzira koju formulu koristimo, ipak dodajemo još jedan zahtjev, naime, mogućnost rada s parcijalnim derivatima. Čim popravimo jednu varijablu, sve ostale su konstante. Konkretno, ako uzmemo u obzir parcijalni izvod izraza $\cos \frac(x)(y)$ u odnosu na $y$, onda je varijabla $y$, a $x$ ostaje konstantan svuda. Isti rad i obrnuto. Može se izvaditi iz predznaka izvoda, a derivacija same konstante će biti jednaka "nuli".
Sve to dovodi do činjenice da parcijalni derivati istog izraza, ali s obzirom na različite varijable, mogu izgledati potpuno drugačije. Na primjer, razmotrite sljedeće izraze:
\[((\left(x+\ln y \desno))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]
\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]
Problemi s eksponencijalnim funkcijama i logaritmima
Zadatak #1
Započnimo pisanjem sljedeće formule:
\[((\left(((e)^(x)) \desno))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]
Poznavajući ovu činjenicu, kao i derivaciju kompleksne funkcije, pokušajmo da izračunamo. Sada ću riješiti na dva različita načina. Prvi i najočitiji je derivat proizvoda:
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \desno) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\levo(\frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(x)=\]
Odvojeno riješimo sljedeći izraz:
\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]
Vraćamo se našem originalnom dizajnu i nastavljamo sa rješenjem:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\right)\]
Sve, $x$ se računa.
Međutim, kao što sam obećao, sada ćemo pokušati da izračunamo isti parcijalni izvod na drugačiji način. Da biste to učinili, obratite pažnju na sljedeće:
\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]
Hajde da to napišemo ovako:
\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]
Kao rezultat toga, dobili smo potpuno isti odgovor, ali se pokazalo da je količina proračuna manja. Da biste to učinili, bilo je dovoljno primijetiti da kada se proizvod množi, eksponenti se mogu zbrajati.
Sada brojimo po $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \desno) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]
\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Rešimo jedan izraz posebno:
\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]
Nastavimo sa rješenjem naše originalne konstrukcije:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]
Naravno, isti izvod bi se mogao izračunati i na drugi način, odgovor bi bio isti.
Zadatak #2
Računajmo po $x$:
\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \desno) \desno))^(\prime ))_(x)=\]
Izbrojimo jedan izraz posebno:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]
Nastavimo sa rješenjem originalne konstrukcije: $$
Evo odgovora.
Ostaje da pronađemo analogijom pomoću $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \desno)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \desno) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Izbrojimo jedan izraz posebno kao i uvijek:
\[((\left(((x)^(2))+y \desno))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]
Nastavljamo rješavanje glavne strukture:
Sve se računa. Kao što vidite, u zavisnosti od toga koja se varijabla uzima za diferencijaciju, odgovori su potpuno različiti.
Nijanse rješenja
Evo živopisnog primjera kako se izvod iste funkcije može izračunati na dva različita načina. Pogledati ovdje:
\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \desno))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ lijevo(1+\frac(1)(y)\desno)\]
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \desno)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \desno)\ ]
Prilikom odabira različitih staza, količina proračuna može biti različita, ali će odgovor, ako je sve urađeno ispravno, biti isti. Ovo se odnosi i na klasične i na parcijalne derivate. Pritom još jednom podsjećam: u zavisnosti od koje varijable se uzima derivacija, tj. diferencijacije, odgovor može biti potpuno drugačiji. pogledajte:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]
U zaključku, da bismo konsolidirali sav ovaj materijal, pokušajmo nabrojati još dva primjera.
Zadaci s trigonometrijskom funkcijom i funkcijom s tri varijable
Zadatak #1
Napišimo ove formule:
\[((\left(((a)^(x)) \desno))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]
\[((\left(((e)^(x)) \desno))^(\prime ))=((e)^(x))\]
Hajde sada da rešimo naš izraz:
\[(((z)")_(x))=((\left((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]
Zasebno, razmotrite sljedeću konstrukciju:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ lijevo(\sin y \desno))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]
Nastavljamo rješavati originalni izraz:
\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]
Ovo je konačni odgovor privatne varijable za $x$. Sada brojimo po $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]
Rešimo jedan izraz posebno:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ lijevo(\sin y \desno))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]
Svoju konstrukciju rješavamo do kraja:
\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]
Zadatak #2
Na prvi pogled, ovaj primjer može izgledati prilično komplikovano, jer postoje tri varijable. Zapravo, ovo je jedan od najlakših zadataka u današnjem video tutorijalu.
Pronađi po $x$:
\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \desno))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \desno))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e) ^(z)) \desno))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \desno))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]
Sada se pozabavimo $y$:
\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \desno))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ((e)^(z)) \desno))^(\prime ))_(y)=\]
\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \desno))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]
Našli smo odgovor.
Sada ostaje pronaći po $z$:
\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \desno))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \desno))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e )^(z)) \desno))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]
Izračunali smo treću derivaciju, na kojoj je rješenje drugog problema u potpunosti završeno.
Nijanse rješenja
Kao što vidite, u ova dva primjera nema ništa komplikovano. Jedino što smo vidjeli je da se derivacija kompleksne funkcije često koristi i ovisno o tome koji parcijalni izvod razmatramo, dobijamo različite odgovore.
U posljednjem zadatku od nas je zatraženo da se bavimo funkcijom od tri varijable odjednom. U tome nema ništa loše, ali smo se na samom kraju pobrinuli da se svi bitno razlikuju jedni od drugih.
Ključne točke
Konačni zaključci iz današnjeg video tutorijala su sljedeći:
- Parcijalni derivati se smatraju na isti način kao i obični, dok se za izračunavanje parcijalnog izvoda u odnosu na jednu varijablu sve ostale varijable uključuju u ovu funkciju, uzimamo kao konstante.
- Kada radimo s parcijalnim derivacijama, koristimo sve iste standardne formule kao i sa običnim derivatima: zbir, razliku, izvod proizvoda i količnika i, naravno, izvod kompleksne funkcije.
Naravno, samo gledanje ovog video tutorijala nije dovoljno za potpuno razumijevanje ove teme, tako da trenutno na mojoj web stranici za ovaj video postoji skup zadataka posvećenih današnjoj temi - idite, preuzmite, riješite ove zadatke i provjerite odgovor. I nakon toga nema problema sa parcijalnim derivatima ni na ispitima ni na dalje samostalan rad nećeš. Naravno, ovo nije posljednja lekcija višu matematiku, stoga posjetite našu web stranicu, dodajte VKontakte, pretplatite se na YouTube, lajkujte i ostanite s nama!
I ne morate ništa tražiti: u našem posebnom članku već smo pripremili sve da to možete učiniti. Hajde sada da pričamo o parcijalnim derivatima.
Dobrodošli na naš telegram kanal za korisne biltene i aktuelne vijesti o studentima.
Funkcija dvije ili više varijabli
Prije nego što govorimo o parcijalnim izvodima, moramo se dotaknuti koncepta funkcije nekoliko varijabli, bez kojih nema smisla parcijalni izvod. U školi smo navikli da se bavimo funkcijama jedne varijable:
Ranije smo razmatrali derivate takvih funkcija. Graf funkcije jedne varijable je prava na ravni: prava linija, parabola, hiperbola itd.
Šta ako dodamo još jednu varijablu? Dobijate funkciju poput ove:
Ovo je funkcija dvije nezavisne varijable x i y. Graf takve funkcije je površina u trodimenzionalnom prostoru: sfera, hiperboloid, paraboloid ili neki drugi sferni konj u vakuumu. Parcijalne derivacijske funkcije z za x i y, respektivno, zapisuju se na sljedeći način:
Postoje i funkcije od tri ili više varijabli. Istina, nemoguće je nacrtati graf takve funkcije: to bi zahtijevalo barem četverodimenzionalni prostor, koji se ne može prikazati.
Parcijalni izvod prvog reda
Zapamtite glavno pravilo:
Prilikom izračunavanja parcijalnog izvoda u odnosu na jednu od varijabli, druga varijabla se uzima kao konstanta. U suprotnom, pravila za izračunavanje derivata se ne mijenjaju.
Odnosno, parcijalni derivat se u suštini ne razlikuje od uobičajenog. Dakle, držite tabelu izvedenica pred vašim očima elementarne funkcije i pravila za izračunavanje običnih derivata. Pogledajmo jedan primjer da bude sasvim jasno. Recimo da želite izračunati parcijalne izvode prvog reda sljedeće funkcije:
Prvo, uzimamo parcijalni izvod u odnosu na x, smatrajući y kao običan broj:
Sada razmatramo parcijalni izvod u odnosu na y, uzimajući x kao konstantu:
Kao što vidite, u tome nema ništa komplikovano, a uspeh sa više složeni primjeri je samo stvar prakse.
Parcijalni izvod drugog reda
Šta je parcijalni izvod drugog reda? Baš kao i prvi. Da biste pronašli parcijalne izvode drugog reda, trebate samo uzeti izvod izvoda prvog reda. Vratimo se na gornji primjer i izračunajmo parcijalne izvode drugog reda.
Po igrici:
Parcijalni derivati trećeg i višeg reda se ne razlikuju po principu računanja. Organizirajmo pravila:
- Prilikom diferenciranja u odnosu na jednu nezavisnu varijablu, druga se uzima kao konstanta.
- Izvod drugog reda je derivat izvoda prvog reda. Treći red je derivat izvoda drugog reda, itd.
Parcijalni izvod i totalni diferencijal funkcije
Često pitanje u praktičnim zadacima je pronalaženje totalnog diferencijala funkcije. Za funkciju od nekoliko varijabli, ukupni diferencijal je definiran kao glavni linearni dio malog ukupnog prirasta funkcije u odnosu na inkremente argumenata.
Definicija zvuči glomazno, ali sa slovima je sve lakše. Ukupni diferencijal prvog reda funkcije nekoliko varijabli izgleda ovako:
Znajući kako se izračunavaju parcijalni derivati, nema problema izračunati ukupni diferencijal.
Parcijalne izvedenice nisu tako beskorisna tema. Na primjer, parcijalne diferencijalne jednadžbe drugog reda se široko koriste za matematički opisivanje stvarnosti fizički procesi.
Ovdje smo dali samo opću, površnu ideju o parcijalnim derivatima prvog i drugog reda. Da li vas zanima ova tema ili imate konkretna pitanja? Pitajte ih u komentarima i obratite se stručnjacima stručnog studentskog servisa za kvalifikovanu i brzu pomoć u vašem studiranju. Sa nama nećete ostati sami sa problemom!
Svaki parcijalni derivat (preko x i po y) funkcije dvije varijable je običan izvod funkcije jedne varijable s fiksnom vrijednošću druge varijable:
(gde y= const),
(gde x= const).
Dakle, parcijalni derivati se računaju iz formule i pravila za izračunavanje izvoda funkcija jedne varijable, dok drugu varijablu smatramo konstantom (konstantom).
Ako vam nije potrebna analiza primjera i minimalna teorija potrebna za to, već vam je potrebno samo rješenje vašeg problema, onda prijeđite na online kalkulator parcijalnih derivata .
Ako je teško usredotočiti se na praćenje gdje se konstanta nalazi u funkciji, onda možete zamijeniti bilo koji broj u nacrtu rješenja primjera umjesto varijable s fiksnom vrijednošću - tada možete brzo izračunati parcijalni izvod kao običan derivat funkcije jedne varijable. Potrebno je samo da ne zaboravite da vratite konstantu (promenljivu sa fiksnom vrednošću) na njeno mesto kada završite.
Gore opisano svojstvo parcijalnih izvoda proizlazi iz definicije parcijalnog izvoda, koje se može naći u ispitnim pitanjima. Stoga, da biste se upoznali sa definicijom u nastavku, možete otvoriti teorijsku referencu.
Koncept kontinuiteta funkcije z= f(x, y) u tački definira se slično ovom konceptu za funkciju jedne varijable.
Funkcija z = f(x, y) se naziva kontinuiranim u tački ako
Razlika (2) naziva se ukupni prirast funkcije z(dobija se povećanjem oba argumenta).
Neka funkcija z= f(x, y) i tačka
Ako se funkcija promijeni z javlja se kada se promijeni samo jedan od argumenata, na primjer, x, sa fiksnom vrijednošću drugog argumenta y, tada će funkcija biti povećana
naziva se djelomično povećanje funkcije f(x, y) na x.
S obzirom na promjenu funkcije z ovisno o promjeni samo jednog od argumenata, zapravo prelazimo na funkciju jedne varijable.
Ako postoji konačna granica
tada se naziva parcijalni izvod funkcije f(x, y) argumentom x i označava se jednim od simbola
(4)
Slično je definiran i parcijalni prirast z on y:
i parcijalni derivat f(x, y) na y:
(6)
Primjer 1
Odluka. Nalazimo parcijalni izvod u odnosu na varijablu "x":
(y fiksno);
Nalazimo parcijalni izvod u odnosu na varijablu "y":
(x fiksno).
Kao što vidite, nije bitno u kojoj meri je varijabla fiksna: u ovom slučaju je samo neki broj faktor (kao u slučaju uobičajenog izvoda) sa varijablom pomoću koje nalazimo parcijalni derivat. Ako se fiksna varijabla ne pomnoži s promjenljivom prema kojoj nalazimo parcijalni izvod, tada ova usamljena konstanta, bez obzira u kojoj mjeri, kao u slučaju običnog izvoda, nestaje.
Primjer 2 Zadata funkcija
Pronađite parcijalne derivate
(po x) i (po y) i izračunajte njihove vrijednosti u tački ALI (1; 2).
Odluka. Na fiksni y derivacija prvog člana nalazi se kao derivacija funkcije stepena ( tablica derivacijskih funkcija jedne varijable):
.
Na fiksni x derivacija prvog člana nalazi se kao izvod eksponencijalne funkcije, a drugog - kao izvod konstante:
Sada izračunavamo vrijednosti ovih parcijalnih izvoda u tački ALI (1; 2):
Rješenje zadataka s parcijalnim derivatima možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .
Primjer 3 Pronađite parcijalne derivate funkcija
Odluka. U jednom koraku nalazimo
(y x, kao da je argument sinusa 5 x: na isti način, 5 se pojavljuje ispred znaka funkcije);
(x je fiksna i u ovom slučaju je faktor u y).
Rješenje zadataka s parcijalnim derivatima možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .
Parcijalni derivati funkcije tri ili više varijabli definiraju se na sličan način.
Ako svaki skup vrijednosti ( x; y; ...; t) nezavisne varijable iz skupa D odgovara jednom određenu vrijednost u od mnogih E, onda u naziva se funkcija varijabli x, y, ..., t i označiti u= f(x, y, ..., t).
Za funkcije od tri ili više varijabli ne postoji geometrijska interpretacija.
Također se definiraju i izračunavaju parcijalni derivati funkcije više varijabli pod pretpostavkom da se mijenja samo jedna od nezavisnih varijabli, dok su ostale fiksne.
Primjer 4 Pronađite parcijalne derivate funkcija
.
Odluka. y i z popravljeno:
x i z popravljeno:
x i y popravljeno:
Nađite sami parcijalne izvode, a zatim pogledajte rješenja
Primjer 5
Primjer 6 Pronađite parcijalne izvode funkcije.
Parcijalni izvod funkcije nekoliko varijabli ima isto mehaničko značenje kao derivacija funkcije jedne varijable, je brzina kojom se funkcija mijenja u odnosu na promjenu jednog od argumenata.
Primjer 8 količina protoka P putnika željeznice može se izraziti kao funkcija
gdje P- broj putnika, N- broj stanovnika odgovarajućih punktova, R– udaljenost između tačaka.
Parcijalni izvod funkcije P on R jednak
pokazuje da je smanjenje protoka putnika obrnuto proporcionalno kvadratu udaljenosti između odgovarajućih tačaka za isti broj stanovnika u tačkama.
Parcijalni derivat P on N jednak
pokazuje da je povećanje protoka putnika proporcionalno dvostrukom broju stanovnika naselja sa istim rastojanjem između tačaka.
Rješenje zadataka s parcijalnim derivatima možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .
Puni diferencijal
Proizvod parcijalnog izvoda i prirasta odgovarajuće nezavisne varijable naziva se parcijalni diferencijal. Parcijalni diferencijali se označavaju na sljedeći način:
Zbir parcijalnih diferencijala nad svim nezavisnim varijablama daje ukupni diferencijal. Za funkciju dvije nezavisne varijable, ukupni diferencijal se izražava jednakošću
(7)
Primjer 9 Pronađite puni diferencijal funkcije
Odluka. Rezultat korištenja formule (7):
Funkcija koja ima totalni diferencijal u svakoj tački neke domene naziva se diferencijabilna u toj domeni.
Sami pronađite ukupni diferencijal i tada vidite rješenje
Kao iu slučaju funkcije jedne varijable, diferencijabilnost funkcije u određenom području implicira njen kontinuitet u ovom području, ali ne i obrnuto.
Hajde da formulišemo bez dokaza dovoljno stanje diferencijabilnost funkcija.
Teorema. Ako je funkcija z= f(x, y) ima kontinuirane parcijalne izvode
u datom regionu, onda je on diferencibilan u ovom regionu i njegov diferencijal se izražava formulom (7).
Može se pokazati da je, baš kao što je u slučaju funkcije jedne varijable, diferencijal funkcije glavni linearni dio prirasta funkcije, tako je u slučaju funkcije više varijabli ukupni diferencijal glavni, linearan u odnosu na inkremente nezavisnih varijabli, dio ukupnog prirasta funkcije.
Za funkciju dvije varijable puni prirast funkcija ima oblik
(8)
gdje su α i β beskonačno male za i .
Parcijalni derivati višeg reda
Parcijalni derivati i funkcije f(x, y) su same neke funkcije istih varijabli i, zauzvrat, mogu imati derivate u odnosu na različite varijable, koje se nazivaju parcijalnim derivatima višeg reda.
Nastavljamo našu omiljenu temu matematička analiza- derivati. U ovom članku ćemo naučiti kako pronaći parcijalni derivati funkcije tri varijable: prvi derivati i drugi derivati. Šta treba da znate i umete da savladate gradivo? Nemojte vjerovati, ali, prvo, morate biti u stanju pronaći "obične" izvode funkcije jedne varijable - na visokom ili barem prosječnom nivou. Ako im je jako teško, onda počnite s lekcijom Kako pronaći derivat? Drugo, vrlo je važno pročitati članak i shvatiti i riješiti, ako ne sve, onda većinu primjera. Ako je to već učinjeno, hodajte sa mnom samouvjerenim hodom, bit će zanimljivo, čak ćete dobiti zadovoljstvo!
Metode i principi pronalaženja parcijalni derivati funkcije tri varijable su zapravo vrlo slične funkcijama parcijalnog izvoda dvije varijable. Funkcija dvije varijable, podsjećam, ima oblik , gdje su "x" i "y" nezavisne varijable. Geometrijski gledano, funkcija dvije varijable je određena površina u našem trodimenzionalnom prostoru.
Funkcija tri varijable ima oblik , dok se varijable pozivaju nezavisnivarijable ili argumentima, varijabla se poziva zavisna varijabla ili funkcija. Na primjer: - funkcija od tri varijable
A sada malo o naučnofantastičnim filmovima i vanzemaljcima. Često čujete za 4D, 5D, 10D itd. prostori. Glupost ili ne?
Na kraju krajeva, funkcija tri varijable implicira činjenicu da se sve stvari odvijaju u četverodimenzionalnom prostoru (zaista, postoje četiri varijable). Grafikon funkcije tri varijable je tzv hiperpovršina. Nemoguće je to zamisliti, jer živimo u trodimenzionalnom prostoru (dužina/širina/visina). Da vam ne bude dosadno sa mnom, nudim kviz. Postaviću nekoliko pitanja, a oni koji žele mogu pokušati da odgovore:
- Ima li četvrtog, petog itd. na svijetu? mjerenja u smislu filistarskog poimanja prostora (dužina/širina/visina)?
- Da li je moguće izgraditi četvorodimenzionalni, petodimenzionalni itd. prostor u širem smislu te riječi? Odnosno, dati primjer takvog prostora u našem životu.
Da li je moguće putovati u prošlost?
Da li je moguće putovati u budućnost?
- Da li vanzemaljci postoje?
Za svako pitanje možete izabrati jedan od četiri odgovora:
Da / Ne (nauka to zabranjuje) / Nauka ne zabranjuje / Ne znam
Ko tačno odgovori na sva pitanja, najvjerovatnije nešto posjeduje ;-)
Postepeno ću davati odgovore na pitanja tokom lekcije, ne preskačite primjere!
U stvari, leteli su. A sada dobre vijesti: za funkciju od tri varijable vrijede pravila diferencijacije i tablica izvoda. Zato morate biti dobri u upravljanju "običnim" derivati funkcija jedna varijabla. Vrlo je malo razlika!
Primjer 1
Odluka: Lako je pretpostaviti da za funkciju od tri varijable postoje tri parcijalni derivati prvog reda, koji se označavaju kako slijedi:
Ili - djelomični izvod od "x";
ili - parcijalni izvod u odnosu na "y";
ili - parcijalni izvod u odnosu na "z".
Zapis sa potezom je više u upotrebi, ali kompajleri zbirki, priručnika u uslovima zadataka veoma vole da koriste samo glomazne notacije - zato nemojte se izgubiti! Možda ne znaju svi kako pravilno čitati ove "strašne razlomke" naglas. Primjer: treba čitati kako slijedi: “de u po de x”.
Počnimo s x-derivatom: . Kada pronađemo parcijalni izvod u odnosu na , zatim varijable i smatraju se konstantama (konstantnim brojevima). A derivacija bilo koje konstante, o, milosti, jednaka je nuli:
Odmah obratite pažnju na indeks - niko vam ne brani da označite da su konstante. Još je zgodnije, preporučujem početnicima da koriste upravo takav zapis, manji je rizik od zabune.
(1) Koristimo svojstva linearnosti izvoda, posebno izvlačimo sve konstante iz predznaka izvoda. Imajte na umu da u drugom terminu konstantu ne treba vaditi: pošto je „y“ konstanta, onda je i konstanta. U terminu, "uobičajena" konstanta 8 i konstanta "zet" su izvučene iz predznaka derivacije.
(2) Pronalazimo najjednostavnije izvode, ne zaboravljajući da su konstante. Zatim pročešljajte odgovor.
Parcijalni izvod . Kada nađemo parcijalni izvod u odnosu na "y", tada su varijable i smatraju se konstantama:
(1) Koristimo svojstva linearnosti. I opet, imajte na umu da su termini konstante, što znači da ništa ne treba vaditi za znak derivacije.
(2) Pronalazimo derivate, ne zaboravljajući da su konstante. Hajde da pojednostavimo odgovor.
I konačno, parcijalni derivat. Kada nađemo parcijalni izvod u odnosu na "z", tada su varijable i smatraju se konstantama:
Opšte pravilo očigledan i nepretenciozan: Kada nađemo parcijalni izvodza bilo koji nezavisna varijabla, dakledva druga nezavisne varijable se smatraju konstantama.
Prilikom dizajniranja ovih zadataka, trebali biste biti izuzetno oprezni, posebno ne mogu izgubiti pretplatnike(koji pokazuju na kojoj se varijabli vrši diferencijacija). Gubitak indeksa će biti VELIKA GREŠKA. Hmmm…. smiješno je ako će, nakon takvog zastrašivanja, i meni negdje nedostajati)
Primjer 2
Naći parcijalne izvode prvog reda funkcije od tri varijable
Ovo je "uradi sam" primjer. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.
Dva razmatrana primjera su prilično jednostavna i, nakon rješavanja nekoliko sličnih problema, čak će se i čajnik prilagoditi da ih verbalno razbije.
Za istovar, vratimo se na prvo pitanje kviza: Postoji li na svijetu četvrto, peto itd.? mjerenja u smislu filistarskog poimanja prostora (dužina/širina/visina)?
Tačan odgovor: Nauka to ne zabranjuje.. Sve fundamentalne matematičke aksiomatike, teoreme, matematički aparat fino i dosljedan rad u prostoru bilo koje dimenzije. Moguće je da negdje u Univerzumu postoje hiperpovršine koje nisu podložne našem umu, na primjer, četverodimenzionalna hiperpovršina, koja je data funkcijom od tri varijable. Ili možda postoje hiperpovršine pored nas ili smo čak mi u pravu u njima, samo naš vid, drugi čulni organi, svijest su sposobni da percipiraju i razumiju samo tri dimenzije.
Vratimo se na primjere. Da, ako je neko jako opterećen kvizom, bolje je da pročita odgovore na sljedeća pitanja nakon što naučiš pronaći parcijalne izvode funkcije tri varijable, inače ću ti izvaditi cijeli mozak u tok članka =)
Pored najjednostavnijih primjera 1,2, u praksi postoje zadaci koji se mogu nazvati malom slagalicom. Takvi primjeri su, na moju ljutnju, ispali iz vida kada sam kreirao lekciju. Parcijalni izvod funkcija dviju varijabli. Nadoknađivanje izgubljenog vremena:
Primjer 3
Odluka:Čini se da je „sve jednostavno“, ali je prvi utisak varljiv. Prilikom pronalaženja parcijalnih derivata, mnogi će pogađati na talogu kafe i griješiti.
Analizirajmo primjer dosljedno, jasno i jasno.
Počnimo s parcijalnim izvodom u odnosu na x. Kada pronađemo parcijalni izvod u odnosu na "x", tada se varijable smatraju konstantama. Dakle, indeks naše funkcije je također konstanta. Za lutke preporučujem sljedeće rješenje: na nacrtu promijenite konstantu u određeni pozitivan cijeli broj, na primjer, u "pet". Rezultat je funkcija jedne varijable:
ili možete to napisati i ovako:
Ovo je moć funkcija sa kompleksnom bazom (sinusom). Autor:
Sada zapamtite to, ovako:
Na čistoj kopiji, naravno, rješenje bi trebalo biti sastavljeno ovako:
Nalazimo parcijalni izvod u odnosu na "y", oni se smatraju konstantama. Ako je "x" konstanta, onda je i konstanta. Na draftu radimo isti trik: zamjenjujemo, na primjer, sa 3, "Z" - zamijenit ćemo ga istom "pet". Rezultat je opet funkcija jedne varijable:
Ovo je demonstracija funkcija sa kompleksnim eksponentom. By pravilo diferencijacije složene funkcije:
Sada se prisjetite naše zamjene:
ovako:
Na čistoj kopiji, naravno, dizajn bi trebao izgledati lijepo:
I zrcalni slučaj s parcijalnim izvodom u odnosu na "z" (- konstante):
Uz određeno iskustvo, analiza se može provesti mentalno.
Izvodimo drugi dio zadatka - sastavljamo diferencijal prvog reda. Vrlo je jednostavno, po analogiji s funkcijom dvije varijable, diferencijal prvog reda piše se formulom:
U ovom slučaju:
I onda posao. Napominjem da se u praktičnim problemima zahtijeva da se ukupni diferencijal prvog reda funkcije tri varijable kompajlira mnogo rjeđe nego za funkciju dvije varijable.
Zabavan primjer rješenja uradi sam:
Primjer 4
Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije tri varijable i napravite totalni diferencijal prvog reda
Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Ako imate bilo kakvih poteškoća, koristite razmatrani "chainikov" algoritam, garantirano će pomoći. I dalje koristan savjet – ne žuri. Takve primjere čak ni ja ne rješavam brzo.
Skrećemo se i analiziramo drugo pitanje: Da li je moguće izgraditi četverodimenzionalni, petodimenzionalni, itd. prostor u širem smislu te riječi? Odnosno, dati primjer takvog prostora u našem životu.
Tačan odgovor: Da. I vrlo je lako. Na primjer, dodajemo četvrtu dimenziju dužini/širini/visini - vremenu. Popularni četvorodimenzionalni prostor-vreme i poznata teorija relativnosti koju je Ajnštajn pažljivo ukrao od Lobačevskog, Poinkarea, Lorenca i Minkovskog. Ne znaju ni svi. Zašto je Ajnštajn dobio Nobelovu nagradu? Došlo je do strašnog skandala u naučnom svetu, a Nobelov komitet je formulisao zasluge plagijatora na sledeći način: „Za opšti doprinos razvoju fizike“. To je to. Einsteinov brend C razreda je čista promocija i PR.
Lako je dodati petu dimenziju razmatranom četverodimenzionalnom prostoru, na primjer: Atmosferski pritisak. I tako dalje, tako dalje, tako dalje, koliko dimenzija postavite u svoj model - toliko će ih biti. U širem smislu te riječi, živimo u višedimenzionalnom prostoru.
Pogledajmo još nekoliko tipičnih zadataka:
Primjer 5
Pronađite parcijalne izvode prvog reda u tački
Odluka: Zadatak u ovoj formulaciji često se susreće u praksi i uključuje sljedeće dvije radnje:
– potrebno je pronaći parcijalne izvode prvog reda;
– potrebno je izračunati vrijednosti parcijalnih izvoda 1. reda u tački .
Odlučujemo:
(1) Imamo složenu funkciju, a prvi korak je da uzmemo derivaciju tangente luka. Pritom se, zapravo, smireno služimo tabelarnom formulom za izvod lučne tangente. By pravilo diferencijacije složene funkcije rezultat se mora pomnožiti sa izvodom unutrašnja funkcija(investicije): .
(2) Koristimo svojstva linearnosti.
(3) I uzimamo preostale derivacije, ne zaboravljajući da su konstante.
Prema uslovu dodjeljivanja potrebno je pronaći vrijednost pronađenog parcijalnog izvoda u tački . Zamijenite koordinate tačke u pronađenoj derivaciji:
Prednost ovog zadatka je činjenica da se druge parcijalne derivacije nalaze na vrlo sličan način:
Kao što vidite, predložak rješenja je gotovo isti.
Izračunajmo vrijednost pronađenog parcijalnog izvoda u tački:
I na kraju, derivat u odnosu na "z":
Spreman. Rješenje bi se moglo formulirati i na drugi način: prvo pronaći sve tri parcijalne derivacije, a zatim izračunati njihove vrijednosti u tački . Ali, čini mi se, gornja metoda je prikladnija - samo su pronašli djelomični derivat i odmah, bez napuštanja kase, izračunali njegovu vrijednost u jednom trenutku.
Zanimljivo je primijetiti da je geometrijski tačka vrlo stvarna naša tačka trodimenzionalni prostor. Vrijednosti funkcije, derivacije su već četvrta dimenzija i niko ne zna gdje se geometrijski nalazi. Kako kažu, niko nije puzao po Univerzumu mjernom trakom, nije provjerio.
Čim filozofska tema ponovo nestane, razmotrimo treće pitanje: Da li je moguće putovati u prošlost?
Tačan odgovor: Ne. Putovanje u prošlost protivreči drugom zakonu termodinamike o nepovratnosti fizičkih procesa (entropiji). Zato vas molim da ne ronite u bazen bez vode, događaj se može reproducirati samo u videu =) Narodna mudrost je s razlogom smislila suprotan svjetski zakon: "Sedam puta mjeri, jednom seci". Iako je, zapravo, tužna stvar, vrijeme je jednosmjerno i nepovratno, niko od nas sutra neće izgledati mlađe. A razni naučnofantastični filmovi poput "Terminatora" sa naučne tačke gledišta su potpuna glupost. Apsurdno je i sa stanovišta filozofije – kada Posljedica, vraćajući se u prošlost, može uništiti vlastiti Uzrok. .
Zanimljivije je s derivatom u odnosu na "z", iako je i dalje gotovo isto:
(1) Izvodimo konstante iz predznaka izvoda.
(2) Ovdje opet proizvod dvije funkcije, od kojih svaki zavisi iz "žive" varijable "z". U principu, možete koristiti formulu za derivaciju kvocijenta, ali je lakše ići drugim putem - pronaći izvod proizvoda.
(3) Derivat je tabelarni derivat. Drugi pojam sadrži već poznatu derivaciju kompleksne funkcije.
Primjer 9
Naći parcijalne izvode prvog reda funkcije od tri varijable
Ovo je "uradi sam" primjer. Razmislite o tome kako je racionalnije pronaći jedan ili drugi parcijalni izvod. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.
Prije nego što pređete na posljednje primjere lekcije i razmislite parcijalni derivati drugog reda funkcije tri varijable, još jednom ću sve razveseliti četvrtim pitanjem:
Da li je moguće putovati u budućnost?
Tačan odgovor: Nauka to ne zabranjuje.. Paradoksalno, ne postoji matematički, fizički, hemijski ili drugi prirodni zakon koji bi zabranio putovanje u budućnost! Izgleda kao glupost? Ali gotovo svi u životu su imali predosjećaj (i ne potkrijepljen nikakvim logičnim argumentima) da će se dogoditi ovaj ili onaj događaj. I dogodilo se! Odakle su došle informacije? Iz budućnosti? Dakle, fantastični filmovi o putovanju u budućnost, i, usput, predviđanja svih vrsta gatara, vidovnjaka ne mogu se nazvati takvim glupostima. Barem, nauka ovo nije opovrgla. Sve je moguće! Dakle, kada sam bio u školi, CD-ovi i ravni monitori iz filmova su mi izgledali kao nevjerovatna fantazija.
Poznata komedija "Ivan Vasiljevič mijenja profesiju" je napola fikcija (maksimalno). Nijedan naučni zakon nije zabranjivao Ivanu Groznom da bude u budućnosti, ali nemoguće je da dva paprika budu u prošlosti i obavljaju dužnost kralja.
Apsolutno je nemoguće riješiti fizičke probleme ili primjere iz matematike bez znanja o derivatu i metodama za njegovo izračunavanje. Izvod je jedan od najvažnijih koncepata matematičke analize. Odlučili smo posvetiti današnji članak ovoj temeljnoj temi. Šta je derivacija, koje je njeno fizičko i geometrijsko značenje, kako izračunati izvod funkcije? Sva ova pitanja mogu se spojiti u jedno: kako razumjeti derivat?
Geometrijsko i fizičko značenje izvedenice
Neka postoji funkcija f(x) , dato u nekom intervalu (a,b) . Točke x i x0 pripadaju ovom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika njegovih vrijednosti x-x0 . Ova razlika je zapisana kao delta x i naziva se povećanje argumenta. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija izvedenice:
Derivat funkcije u tački je granica omjera prirasta funkcije u datoj tački i priraštaja argumenta kada potonji teži nuli.
Inače se može napisati ovako:
Koja je svrha u pronalaženju takve granice? ali koji:
derivacija funkcije u tački jednaka je tangenti ugla između ose OX i tangente na graf funkcije u datoj tački.
fizičko značenje derivat: vremenski izvod puta jednak je brzini pravolinijskog kretanja.
Zaista, još od školskih dana svi znaju da je brzina privatan put. x=f(t) i vrijeme t . prosječna brzina za neko vreme:
Da biste saznali brzinu kretanja u datom trenutku t0 morate izračunati granicu:
Prvo pravilo: izbacite konstantu
Konstanta se može izvaditi iz predznaka derivacije. Štaviše, to se mora uraditi. Prilikom rješavanja primjera iz matematike uzmite po pravilu - ako možete pojednostaviti izraz, budite sigurni da ste ga pojednostavili .
Primjer. Izračunajmo derivaciju:
Drugo pravilo: derivacija zbira funkcija
Derivat zbira dviju funkcija jednak je zbroju izvoda ovih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.
Nećemo dati dokaz ove teoreme, već ćemo razmotriti praktični primjer.
Pronađite derivaciju funkcije:
Treće pravilo: derivacija proizvoda funkcija
Derivat proizvoda dvije diferencijabilne funkcije izračunava se po formuli:
Primjer: pronađite derivaciju funkcije:
Odluka: 
Ovdje je važno reći o izračunavanju izvoda složenih funkcija. Derivat kompleksne funkcije jednak je umnošku derivacije ove funkcije u odnosu na međuargument na derivaciju srednjeg argumenta u odnosu na nezavisnu varijablu.
U gornjem primjeru nailazimo na izraz:
U ovom slučaju, srednji argument je 8x na peti stepen. Da bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo razmatramo derivaciju eksterne funkcije u odnosu na međuargument, a zatim množimo derivacijom samog međuargumena u odnosu na nezavisnu varijablu.
Četvrto pravilo: Derivat količnika dvije funkcije
Formula za određivanje derivacije kvocijenta dvije funkcije:
Pokušali smo razgovarati o derivatima za lutke od nule. Ova tema nije tako jednostavna kao što zvuči, pa budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunavanju izvedenica.
Za sva pitanja o ovoj i drugim temama možete se obratiti studentskoj službi. U kratkom vremenu pomoći ćemo vam da riješite najtežu kontrolu i da se nosite sa zadacima, čak i ako se nikada prije niste bavili proračunom izvedenica.