Integracijski segment dijelimo na paran broj elementarnih segmenata jednake dužine sa tačkama sa korakom
(
). Na svakom segmentu
Integrand aproksimiramo polinomom drugog stepena, koji na ovom segmentu ima oblik
. primetite, to i uzima samo neparne vrijednosti od 1 do
. Dakle, integrand se aproksimira skupom kvadratnih polinoma ili splajn-om drugog stepena.

Računamo proizvoljni integral sa desne strane.

Odds ,I može se naći iz interpolacionog uslova, odnosno iz jednačina

Imajte na umu da poenta je sredina segmenta
, Shodno tome
. Zamijenite ovaj izraz u drugu interpolacionu jednačinu:

Pomnožite ovu jednačinu sa 4 i dodajte je ostatku:

Poslednji izraz tačno se poklapa sa izrazom u uglastim zagradama formule (5.1). shodno tome,

Što znači

Dakle, Simpsonova formula ima oblik:

Procjena greške kvadraturnih formula.

Procijenimo grešku pri korištenju metode srednjih pravokutnika pod pretpostavkom da je funkcija
beskonačno diferencibilno.

Hajde da proširimo integrand
u Tejlorovom nizu u blizini tačke ,
.

Zadnji red sadrži samo neparne potencije x. Onda

Malim korakom h glavni doprinos grešci R doprineće vrednosti
, nazvan vodeći član greške R.

Primijenimo metodu srednjih pravokutnika na funkciju
na segmentu
korak po korak h. Onda

dakle,
, gdje
je konstantna vrijednost. Greška u približnoj jednakosti
je beskonačno mala količina višeg reda u poređenju sa at
.

Stepen stepena h, što je proporcionalno ostatku R, naziva se redom tačnosti metode integracije. Metoda srednjih pravougaonika ima drugi red tačnosti.

Procijenimo grešku pri korištenju metode trapeza također pod pretpostavkom da je funkcija
beskonačno diferencibilno.

Proširimo integrand u Tejlorov red u blizini tačke (
).

Pojam vodeće greške R:

Primjenom metode lijevog okvira na funkciju
na segmentu
korak po korak h, dobijamo

Dakle, trapezoidna metoda takođe ima drugi red tačnosti.

Slično se može pokazati da metode lijevog i desnog pravougaonika imaju prvi, Simpsonov metod - četvrti red tačnosti.

Predavanje 17

“Rungeovo pravilo praktične evaluacije grešaka.

Koncept adaptivnih algoritama.

Posebni slučajevi numeričke integracije.

ćelijska metoda. Izračunavanje višestrukih integrala.»

Rungeovo pravilo praktične procjene greške.

Neka neka metoda integracije ima red tačnosti k, tj
, gdje - greška, A je koeficijent koji zavisi od metode integracije i integranda, h je korak razdvajanja. Onda

i to na korak

Izvedena formula se naziva prva Rungeova formula. To je od velike praktične važnosti. Ako trebate precizno izračunati integral  , tada moramo izračunati približne vrijednosti integrala, udvostručavajući broj elementarnih segmenata, dok ne postignemo ispunjenje nejednakosti

Tada, zanemarujući beskonačno male količine, možemo pretpostaviti da

Ako želimo da dobijemo tačniju vrijednost željenog integrala, onda za rafiniranu vrijednost J možemo uzeti umjesto toga
iznos

Ovo je druga Rungeova formula. Nažalost, greška ove revidirane vrijednosti ostaje neizvjesna, ali je obično za red veličine veća od tačnosti originalne metode (kada je vrijednost J prihvatamo
).

Na primjer, razmotrite metodu trapeza. Kao što je gore prikazano, redoslijed tačnosti k ova metoda je 2.

gdje
. Prema drugoj Runge formuli

gdje
je približna vrijednost integrala pronađenog Simpsonovom metodom sa korakom. Budući da je redoslijed ove metode 4, u ovom primjeru primjena druge Rungeove formule povećala je red točnosti za 2.

Postoji problem oko numerički proračun određeni integral, riješen uz pomoć formula koje se nazivaju kvadratura.

Prisjetite se najjednostavnijih formula za numeričku integraciju.

Izračunajmo približnu numeričku vrijednost . Integracijski interval [a, b] dijelimo na n jednakih dijelova dijeljenjem tačaka
, koji se nazivaju čvorovi kvadraturne formule. Neka vrijednosti u čvorovima budu poznate
:

Vrijednost

naziva se integracijski interval ili korak. Imajte na umu da se u praksi izračunavanja broj i bira mali, obično nije veći od 10-20. Na parcijalnom intervalu

integrand je zamijenjen interpolacijskim polinomom

što približno predstavlja funkciju f(x) na intervalu koji se razmatra.

a) Zadržite samo jedan prvi član u interpolacionom polinomu, dakle

Rezultirajuća kvadratna formula

nazvana formula pravougaonika.

b) Zadržite prva dva člana u interpolacionom polinomu, dakle

(2)

Formula (2) se zove formula trapeza.

c) Interval integracije
dijelimo na paran broj 2n jednakih dijelova, dok će korak integracije h biti jednak . Na intervalu
dužine 2h, zamjenjujemo integrand interpolacijskim polinomom drugog stepena, tj. zadržavamo prva tri člana u polinomu:

Dobivena kvadraturna formula naziva se Simpsonova formula

(3)

Formule (1), (2) i (3) imaju jednostavnu geometrijskom smislu. U formuli pravougaonika, integrand f(x) na intervalu
zamjenjuje se ravnim segmentom y = uk, paralelnim s x-osi, au formuli trapeza - ravnim segmentom
a izračunava se površina pravokutnika i pravolinijskog trapeza, koji se zatim zbrajaju. U Simpsonovoj formuli, funkcija f(x) na intervalu
dužina 2h je zamijenjena kvadratnim trinomom - parabolom
izračunava se površina krivolinijskog paraboličnog trapeza, a zatim se površine zbrajaju.

ZAKLJUČAK

U zaključku, želio bih napomenuti niz karakteristika primjene gore navedenih metoda. Svaka metoda za približno rješenje određenog integrala ima svoje prednosti i nedostatke, ovisno o zadatku koji se radi, potrebno je koristiti specifične metode.

Metoda zamjene varijable je jedna od glavnih metoda za izračunavanje neodređenih integrala. Čak i kada integrišemo nekom drugom metodom, često moramo da pribegnemo promeni varijabli u srednjim proračunima. Uspjeh integracije u velikoj mjeri zavisi od toga da li možemo pronaći tako dobru promjenu varijabli koja bi pojednostavila dati integral.

U suštini, proučavanje metoda integracije svodi se na pronalaženje kakve promjene varijable treba izvršiti za ovaj ili onaj oblik integranda.

Na ovaj način, integracija svakog racionalnog razlomka svodi na integraciju polinoma i nekoliko jednostavnih razlomaka.

Integral bilo koje racionalne funkcije može se izraziti u terminima elementarnih funkcija u konačnom obliku, i to:

kroz logaritme - u slučajevima najjednostavnijih razlomaka tipa 1;

kroz racionalne funkcije - u slučaju prostih razlomaka tipa 2

kroz logaritme i arktangente - u slučaju prostih razlomaka tipa 3

kroz racionalne funkcije i arktangente - u slučaju najjednostavnijih razlomaka tipa 4. Univerzalna trigonometrijska zamjena uvijek racionalizira integrand, ali često dovodi do vrlo glomaznih racionalnih razlomaka, za koje je, posebno, praktično nemoguće pronaći korijene nazivnika. Stoga se, ako je moguće, koriste parcijalne zamjene, koje također racionaliziraju integrand i dovode do manje složenih razlomaka.

Newton–Leibnizova formula predstavlja opšti pristup do nalaženja određenih integrala.

Što se tiče metoda za izračunavanje određenih integrala, one se praktično ne razlikuju od svih tih metoda i metoda.

Isto važi metode zamjene(promjena varijable), metoda integracije po dijelovima, iste metode pronalaženja antiderivata za trigonometrijske, iracionalne i transcendentalne funkcije. Jedina posebnost je u tome što je prilikom primjene ovih tehnika potrebno proširiti transformaciju ne samo na podintegralnu funkciju, već i na granice integracije. Kada mijenjate integracijsku varijablu, zapamtite da u skladu s tim promijenite ograničenja integracije.

Pa iz teoreme, uslov kontinuiteta funkcije je dovoljan uslov za integrabilnost funkcije. Ali to ne znači to definitivni integral postoji samo za kontinuirane funkcije. Klasa integrabilnih funkcija je mnogo šira. Tako, na primjer, postoji definitivan integral funkcija koje imaju konačan broj točaka diskontinuiteta.

Izračunavanje određenog integrala kontinuirane funkcije pomoću Newton-Leibnizove formule svodi se na pronalaženje antiderivata, koji uvijek postoji, ali nije uvijek elementarna funkcija ili funkcija za koju se sastavljaju tablice koje omogućavaju dobivanje vrijednosti integrala. U brojnim aplikacijama, integrabilna funkcija je data u tabeli, a Newton-Leibnizova formula nije direktno primjenjiva.

Ako želite najprecizniji rezultat, idealno Simpsonova metoda.

Iz prethodnog proučavanog može se izvesti sljedeći zaključak da se integral koristi u naukama kao što su fizika, geometrija, matematika i druge nauke. Uz pomoć integrala izračunava se rad sile, pronalaze koordinate centra mase, put koji prolazi materijalna tačka. U geometriji se koristi za izračunavanje volumena tijela, pronalaženje dužine luka krive itd.

Parabola metoda (Simpson)

Suština metode, formula, procjena greške.

Neka je funkcija y = f(x) kontinuirana na segmentu i trebamo izračunati definitivni integral.

Podijelite segment na n elementarno

segmenti [;], i = 1., n dužine 2*h = (b-a)/ n tačaka

a =< < < < = b. Пусть точки, i = 1., n являются серединами отрезков [;], i = 1., n соответственно. В этом случае все «узлы» определяются из равенства = a + i*h, i = 0,1., 2*n.

Na svakom intervalu [;], i = 1,2., n integrand

aproksimira se kvadratnom parabolom y = a* + b*x + c koja prolazi kroz tačke (; f ()), (; f ()), (; f ()). Otuda i naziv metode - metoda parabola.

Ovo se radi kako bi se kao približna vrijednost uzeo određeni integral, koji možemo izračunati pomoću Newton-Leibnizove formule. Ovo je šta suština metode parabole.

Derivacija Simpsonove formule.

Da bismo dobili formulu za metodu parabole (Simpson), moramo izračunati

Pokažimo da je kroz tačke (; f ()), (; f ()), (; f ()) samo jedna kvadratna parabola y = a* + b*x + c. Drugim riječima, dokazujemo da su koeficijenti definirani jedini način.

Pošto su (; f ()), (; f ()), (; f ()) tačke parabole, onda svaka od jednačina sistema

Napisani sistem jednačina je sistem linearnih algebarske jednačine s obzirom na nepoznate varijable, . Determinanta glavne matrice ovog sistema jednačina je Vandermondeova determinanta, i ona je različita od nule za neusklađene tačke,. Ovo ukazuje da sistem jednačina ima jedinstveno rešenje (o tome se govori u članku rešavanje sistema linearnih algebarskih jednačina), odnosno koeficijenti su jednoznačno određeni, a kroz tačke (; f ()), (; f ( )), (; f ()) prolazi kroz jednu kvadratnu parabolu.

Pređimo na pronalaženje integrala.

Očigledno:

f() = f(0) = + + =

f() = f(h) = + +

f() = f(2*h) = + +

Koristimo ove jednakosti da napravimo posljednju tranziciju u sljedećem lancu jednakosti:

= = (++) = h/3*(f()+4*f()+f())

Tako možete dobiti formulu metode parabole:

Primjer Simpsonove metode.

Izračunajte približni integral koristeći Simpsonovu formulu na najbliži 0,001. Dijeljenje počinje sa dva segmenta

Integral se, inače, ne uzima.

Rješenje: Odmah skrećem pažnju na vrstu zadatka - potrebno je izračunati određeni integral sa određenom tačnošću. Kao i kod metode trapeza, postoji formula koja će vam odmah omogućiti da odredite potreban broj segmenata kako biste zajamčili potrebnu točnost. Istina, morat ćemo pronaći četvrti izvod i riješiti ekstremni problem. U praksi se gotovo uvijek koristi pojednostavljena metoda procjene greške.

Počinjem da odlučujem. Ako imamo dva segmenta particije, onda će čvorovi biti još jedan: , . I Simpsonova formula ima vrlo kompaktan oblik:

Izračunajmo korak particije:

Popunimo tabelu obračuna:

U gornjem redu upisujemo "brojač" indeksa

U drugom redu prvo upisujemo donju granicu integracije a = 1.2, a zatim sukcesivno dodajemo korak h = 0.4.

U treći red unosimo vrijednosti integrala. Na primjer, ako je = 1,6, onda. Koliko decimalnih mjesta ostaviti? Zaista, stanje opet ništa ne govori o tome. Princip je isti kao u trapezoidnoj metodi, gledamo potrebnu tačnost: 0,001. I dodajte još 2-3 cifre. Odnosno, trebate zaokružiti na 5-6 decimalnih mjesta.

Kao rezultat:

Prvi rezultat je postignut. Sad duplo broj segmenata do četiri: . Simpsonova formula za ovu particiju ima sljedeći oblik:

Izračunajmo korak particije:

Popunimo tabelu obračuna:

Na ovaj način:

Procjenjujemo grešku:

Greška je veća od tražene tačnosti: 0,002165 > 0,001, pa je potrebno ponovo udvostručiti broj segmenata: .

Simpsonova formula postaje sve veća:

Izračunajmo korak:

Popunimo ponovo tabelu:

Na ovaj način:

Imajte na umu da je ovdje poželjno detaljnije opisati proračune, jer je Simpsonova formula prilično glomazna:

Procjenjujemo grešku:

Greška je manja od potrebne tačnosti: 0,000247< 0,001. Осталось взять наиболее точное приближение, округлить его до трёх знаков после запятой и записать.

Suština Simpsonove metode je aproksimacija integranda na segmentu interpolacionim polinomom drugog stepena p2(x), tj. aproksimacija grafa funkcije na segmentu parabolom. Tri tačke se koriste za interpolaciju integrala.

Razmotrimo proizvoljan integral. Koristimo promjenu varijable tako da granice segmenta integracije postanu [-1,1]. Da bismo to učinili, uvodimo varijablu z:

Razmotrimo problem interpolacije integranda koristeći tri ekvidistantne čvorne tačke z = -1, z = 0, z = +1 kao čvorove (korak je 1, dužina segmenta integracije je 2). Označimo odgovarajuće vrijednosti integranda na interpolacijskim čvorovima:

Sistem jednadžbi za pronalaženje koeficijenata polinoma koji prolazi kroz tri tačke (-1, f-1), (0, f0) i (1, f-+1) ima oblik:

Lako se mogu dobiti koeficijenti:

Izračunajmo sada vrijednost integrala interpolacionog polinoma:

Reverznom promjenom varijable vraćamo se na originalni integral. Uzmimo u obzir da:

odgovara

Dobijamo Simpsonovu formulu za proizvoljni interval integracije:

Rezultirajuća vrijednost poklapa se s površinom krivolinijskog trapeza omeđenog osom x, pravim linijama x = x0, x = x2 i parabolom koja prolazi kroz tačke

Po potrebi se početni segment integracije može podijeliti na N dvostrukih segmenata, na svaki od kojih se primjenjuje Simpsonova formula. Korak interpolacije u ovom slučaju će biti:

Za prvi segment integracije interpolacijski čvorovi će biti tačke a, a+h, a+2h, za drugi a+2h, a+3h, a+4h, treći a+4h, a+5h, a+ 6h itd. Približna vrijednost integrala se dobija zbrajanjem N površina:

integraciona numerička metoda simpson

Ovaj zbir uključuje iste termine (za interne čvorove sa parnom vrijednošću indeksa - 2i). Stoga možemo preurediti članove u ovom zbiru na ovaj način:

S obzirom na to šta dobijamo:

Procijenimo sada grešku integracije Simpsonovom formulom. Pretpostavljamo da funkcija na intervalu ima kontinuirane izvode. Hajde da napravimo razliku:

Primenjujući sukcesivno teoremu srednje vrednosti na ovu razliku i diferencirajući R(h), dobijamo grešku Simpsonove metode:

Greška metode se smanjuje proporcionalno dužini koraka integracije na četvrti stepen, tj. udvostručavanjem broja intervala greška se smanjuje za faktor 16.

Prednosti i nedostaci

Simpsonove i Newton-Cotesove formule su dobar alat za izračunavanje definitivnog integrala funkcije koja se kontinuirano diferencira dovoljan broj puta. Dakle, pod uslovom da četvrti izvod nije prevelik, Simpsonova metoda vam omogućava da dobijete prilično visoku tačnost. Istovremeno, njegov algebarski red tačnosti je 3, a Simpsonova formula je tačna za polinome stepena najviše tri.

Takođe, Newton-Cotes metode, a posebno Simpsonova metoda će biti najefikasnije u slučajevima kada nema apriorne informacije o glatkoći integranda, tj. kada je integrand dat u tabeli.

Prilikom izračunavanja određenog integrala ne dobijamo uvek tačno rešenje. Nije uvijek moguće predstaviti u obliku elementarna funkcija. Newton-Leibnizova formula nije pogodna za proračun, pa se moraju koristiti metode numeričke integracije. Ova metoda omogućava dobijanje podataka sa visokom preciznošću. Simpsonova metoda je takva.

Da biste to učinili, potrebno je dati grafički prikaz izvođenja formule. Zatim slijedi snimanje procjene apsolutne greške Simpsonovom metodom. U zaključku ćemo uporediti tri metode: Simpson, pravokutnici, trapezi.

Metoda parabole - suština, formula, procjena, greške, ilustracije

Zadana je funkcija oblika y = f (x), koja ima kontinuitet na intervalu [ a ; b ] , potrebno je izračunati definitivni integral ∫ a b f (x) d x

Potrebno je podijeliti segment [ a ; b ] na n segmenata oblika x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n dužine 2 h = b - a n i tačaka a = x 0< x 2 < x 4 < . . . < x 2 π - 2 < x 2 π = b . Тогда точки x 2 i - 1 , i = 1 , 2 , . . . , n считаются серединами отрезков x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n . Данный случай показывает, что определение узлов производится через x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Svaki interval x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n integranda je aproksimirano parabolom definisanom sa y = a i x 2 + b i x + c i , prolazeći kroz tačke sa koordinatama x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) . Stoga metoda ima takav naziv.

Ove radnje se izvode kako bi se integral ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x uzeo kao približna vrijednost ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x . Možemo izračunati koristeći Newton-Leibniz formulu. Ovo je suština metode parabole. Razmotrite sliku ispod.

Grafička ilustracija metode parabole (Simpson)

Crvena linija prikazuje grafik funkcije y = f (x), plava linija prikazuje aproksimaciju grafika y = f (x) pomoću kvadratnih parabola.

Na osnovu petog svojstva definitivnog integrala, dobijamo ∫ abf (x) dx = ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 ako je (x) dx ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i (aix 2 + bix + ci) dx

Da biste dobili formulu metodom parabole, potrebno je izračunati:

∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x

Neka je x 2 i - 2 = 0 . Razmotrite sliku ispod.

Opišimo to kroz tačke sa koordinatama x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) može postojati jedna kvadratna parabola oblika y = a i x 2 + b i x + c i . Drugim riječima, potrebno je dokazati da se koeficijenti mogu odrediti samo na jedinstven način.

Imamo da je x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) su tačke parabole, onda je svaka od prikazanih jednačina validna. Shvatili smo to

ai (x 2 i - 2) 2 + bi x 2 i - 2 + ci = f (x 2 i - 2) ai (x 2 i - 1) 2 + bi x 2 i - 1 + ci = f ( x 2 i - 1) ai (x 2 i) 2 + bi x 2 i + ci = f (x 2 i)

Rezultirajući sistem se rješava u odnosu na a i , b i , c i , gdje je potrebno tražiti Vandermondeovu determinantu matrice. Shvatili smo to

(x 2 i - 2) 2 x 2 i - 2 1 x 2 i - 1) 2 x 2 i - 1 1 (x 2 i) 2 x 2 i 1 , i smatra se različitim od nule i ne poklapa se sa tačke x 2 i - 2 , x 2 i - 1 , x 2 i . Ovo je znak da jednačina ima samo jedno rješenje, zatim izabrane koeficijente a i ; b i ; c i se može definisati samo na jedinstven način, tada kroz tačke x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) samo jedna parabola može proći.

Možete nastaviti sa pronalaženjem integrala ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x .

To je jasno

f (x 2 i - 2) = f (0) = ai 0 2 + bi 0 + ci = cif (x 2 i - 1) = f (h) = ai h 2 + bi h + cif ( x 2 i) = f (0) = 4 ai h 2 + 2 bi h + ci

Za provedbu posljednje tranzicije potrebno je koristiti nejednakost oblika

∫ x 2 i - 2 x 2 i (aix 2 + bix + ci) dx = ∫ 0 2 h (aix 2 + bix + ci) dx = = aix 3 3 + bix 2 2 + cix 0 2 h = 8 aih 3 3 + 2 bih 2 + 2 cih = = h 3 8 aih 2 + 6 bih + 6 ci = h 3 fx 2 i - 2 + 4 f 2 2 i - 1 + fx 2 i

Dakle, dobijamo formulu koristeći metodu parabole:

∫ abf (x) dx ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 iaix 2 + bix + cidx = = ∑ i = 1 nh 3 (f (x 2 i - 2) + 4 f (x 2 i) - 1) + f (x 2 i)) = = h 3 f (x 0) + 4 f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + 4 f (x 3) + f (x 4) + . . . + + f (x 2 n - 2) + 4 f (x 2 n - 1) + f (x 2 n) = = h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 nf (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

Definicija 1

Formula za Simpsonovu metodu je ∫ abf (x) dx ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 nf (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) .

Formula za procjenu apsolutne greške je δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) (b - a) 5 2880 n 4 .

Primjeri približnog izračunavanja određenih integrala paraboličkom metodom

Simpsonova metoda uključuje približno izračunavanje određenih integrala. Najčešće postoje dvije vrste problema za koje je ova metoda primjenjiva:

u približnom proračunu određenog integrala;
pri pronalaženju približne vrijednosti sa tačnošću od δ n .

Na tačnost proračuna utiče vrijednost n, što je n veće, to su međuvrijednosti tačnije.

Primjer 1

Izračunajte definitivni integral ∫ 0 5 x d x x 4 + 4 koristeći Simpsonovu metodu, dijeleći segment integracije na 5 dijelova.

Rješenje

Po uslovu je poznato da je a = 0 ; b=5; n = 5 , f(x) = x x 4 + 4 .

Zatim zapisujemo Simpsonovu formulu u formu

∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

Da bismo ga u potpunosti primijenili, potrebno je izračunati korak koristeći formulu h = b - a 2 n, odrediti tačke x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , 2 n i pronađite vrijednosti integranda f (x i) , i = 0 , 1 , . . . , 2n.

Srednji proračuni moraju biti zaokruženi na 5 decimalnih mjesta. Zamijenite vrijednosti i dobijete

h \u003d b - a 2 n \u003d 5 - 0 2 5 \u003d 0. pet

Nađimo vrijednost funkcije u bodovima

i = 0: x i = x 0 = a + i h = 0 + 0 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 0 0 4 + 4 = 0 i = 1: x i = x 1 = a + i h = 0 + 1 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 0 . pedeset . 5 4 + 4 ≈ 0 . 12308 . . . i = 10: x i = x 10 = a + i h = 0 + 10 0 . 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 5 5 4 + 4 ≈ 0 . 00795

Jasnoća i praktičnost prikazani su u tabeli ispod.

i	1	2	3	4	5
x i	0 . 5	1	1 . 5	2	2 . 5
f x i	0 . 12308	0 . 2	0 . 16552	0 . 1	0 . 05806

i	6	7	8	9	10
x i	3	3 . 5	4	4 . 5	5
f x i	0 . 03529	0 . 02272	0 . 01538	0 . 01087	0 . 00795

Rezultate je potrebno zamijeniti u formulu metode parabole:

∫ 0 5 xdxx 4 + 4 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 nf (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n ) = = 0 . 5 3 0 + 4 0 . 12308 + 0 . 16552 + 0 . 05806 + + 0 . 02272 + 0 . 01087 + 2 0 . 2 + 0 . 1 + + 0 . 03529 + 0 . 01538 + 0 . 00795 ≈ ≈ 0 . 37171

Za proračun smo odabrali određeni integral, koji se može izračunati prema Newton-Leibnizu. Dobijamo:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 = 1 2 ∫ 0 5 d (x 2) x 2 2 + 4 = 1 4 a r c t g x 2 2 0 5 = 1 4 a r c t g 25 2 ≈ 0 . 37274

odgovor: Rezultati se poklapaju do stotinke.

Primjer 2

Izračunati neodređeni integral∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x koristeći Simpsonovu metodu na 0 , 001 .

Rješenje

Prema uslovu, imamo da je a = 0, b = π, f (x) = sin 3 x 2 + 1 2, δ n ≤ 0. 001 . Morate odrediti vrijednost n. Za ovo, formula za procjenu apsolutne greške Simpsonove metode oblika δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001

Kada pronađemo vrijednost n , tada je nejednakost m a x [ a ; b ] f (4) (x) (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001 će se izvršiti. Tada, koristeći metodu parabole, greška u proračunu neće biti veća od 0. 001 . Posljednja nejednakost poprima oblik

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88

Sada treba da saznamo koje najveća vrijednost može uzeti modul četvrtog izvoda.

f "(x) = sin 3 x 2 + 1 2" = 3 2 cos 3 x 2 ⇒ f "" (x) = 3 2 cos 3 x 2 " = - 9 4 sin 3 x 2 ⇒ f " "" ( x) = - 9 4 sin 3 x 2 " = - 27 8 cos 3 x 2 ⇒ f (4) (x) = - 27 8 cos 3 x 2 " = 81 16 sin 3 x 2

Domen definicije f (4) (x) = 81 16 sin 3 x 2 pripada intervalu - 81 16 ; 81 16 , i sam segment integracije [ 0 ; π) ima tačku ekstrema, iz toga slijedi da je m a x [ 0 ; π ] f (4) (x) = 81 16 .

Vršimo zamjenu:

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88 ⇔ n 4 ≥ 81 16 π - 0 5 2 . 88 ⇔ ⇔ n 4 > 537 . 9252 ⇔ n > 4 . 8159

Imamo to n - prirodni broj, tada njegova vrijednost može biti jednaka n = 5 , 6 , 7 ... prvo trebate uzeti vrijednost n = 5 .

Radnje se izvode slično kao u prethodnom primjeru. Morate izračunati korak. Za ovo

h \u003d b - a 2 n \u003d π - 0 2 5 \u003d π 10

Pronađite čvorove x i = a + i h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n , tada će vrijednost integrala izgledati ovako

i = 0: x i = x 0 = a + i h = 0 + 0 π 10 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = sin 3 0 2 + 1 2 = 0 . 5 i = 1: x i = x 1 = a + i h = 0 + 1 π 10 = π 10 ⇒ f (x 1) = f (π 10) = sin 3 π 10 2 + 1 2 ≈ 0. 953990 . . . i = 10: x i = x 10 = a + i h = 0 + 10 π 10 = π ⇒ f (x 10) = f (π) = sin 3 π 2 + 1 2 ≈ - 0. 5 7 π 10

4 π 5 9 π 10 π f (x i) 1 . 207107 0 . 809017 0 . 343566 - 0 . 087785 - 0 . 391007 - 0 . 5

Ostaje zamijeniti vrijednosti u formuli rješenja paraboličnom metodom i dobiti

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 nf (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f ( x 2 n) \u003d \u003d π 30 0, 5 + 4 0. 953990 + 1 . 487688 + 1 . 207107 ++ 0 . 343566 - 0 . 391007 + 2 1 . 309017 + 1 . 451056 + + 0 . 809017 - 0 . 87785 - 0 . 5 = = 2 . 237650

Simpsonova metoda nam omogućava da dobijemo približnu vrijednost određenog integrala ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237 do unutar 0,001.

Prilikom izračunavanja po Newton-Leibnizovoj formuli, dobijamo kao rezultat

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 dx = - 2 3 cos 3 x 2 + 1 2 x 0 π = = - 3 2 cos 3 π 2 + π 2 - - 2 3 cos 0 + 1 2 0 = π 2 + 2 3 ≈ 2 . 237463

odgovor:∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237

Komentar

U većini slučajeva, pronalaženje m a x [ a ; b ] f (4) (x) je problematično. Stoga se koristi alternativa - metoda parabola. Njegov princip je detaljno objašnjen u odjeljku o trapezoidnoj metodi. Metoda parabole se smatra preferiranom metodom za rješavanje integrala. Računska greška utiče na rezultat n. Što je njegova vrijednost manja, to je približni željeni broj precizniji.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter