Poznato je da se numeričkim aproksimativnim metodama derivacija funkcije u dati poen može se izračunati pomoću formule konačne razlike. Izraz za izračunavanje derivacije funkcije jedne varijable u tački x k zapisan u konačnim razlikama ima oblik

gdje je Δh vrlo mala konačna vrijednost.

Uz dovoljno male vrijednosti Δx, moguće je dobiti vrijednost derivacije funkcije u tački s prihvatljivom točnošću. Da bismo izračunali izvod u MS Excel-u, koristićemo gornju formulu. Razmotrite tehnologiju za izračunavanje derivata koristeći primjer.

Primjer 1.18 Pronađite izvod funkcije y = 2x 3 + x 2 u tački x = 3. Imajte na umu da je derivacija redukovane funkcije u tački x=3, izračunata analitičkom metodom, jednaka 60 - ova vrijednost će nam trebati da provjerimo rezultat dobiven izračunavanjem numeričke metode.

Zadatak izračunavanja derivata u procesoru proračunskih tablica može se riješiti na dva načina.

Rješenje na prvi način

Unesemo formulu desne strane date funkcionalne zavisnosti u ćeliju radnog lista, na primjer, u ćeliju B2, kao što je prikazano na slici, praveći referencu na ćeliju u kojoj će se nalaziti vrijednost x, npr. A2,

2*A2 ^ 3+A2 ^ 2.

Postavimo susjedstvo tačke x=3 dovoljno male veličine, na primjer, vrijednost na lijevoj strani xk =2,9999999, a vrijednost na desnoj strani xk +1 =3,00000001, i unesite ove vrijednosti u ćeliju A2 i A3, respektivno. U ćeliju C2 unesite formulu za izračunavanje izvoda = (B3-B2) / (A3-A2).

Kao rezultat proračuna, približna vrijednost izvoda će biti prikazana u ćeliji C2 datu funkciju u tački x=3, čija je vrijednost 60, što odgovara rezultatu dobijenom analitički (slika 1.24).

Rešenje na drugi način

Unesemo zadatu vrijednost argumenta jednaku 3 u ćeliju radnog lista A2, u ćeliju B2 ćemo naznačiti dovoljno mali inkrement argumenta - (1E - 9), u ćeliju C2 ćemo unijeti formulu za izračunavanje derivata

=(2*(A2+B2) ^ 3+(A2+B2) ^ 2-(2*A2 ^ 3+A2 ^ 2))/B2.

Nakon pritiska na tipku dobijamo rezultat obračuna 60.0000.

Kao što vidite, rezultat je isti kao kod prve metode. Navedena druga metoda je poželjnija u slučajevima kada je potrebno izgraditi tablicu vrijednosti funkcije derivacije za date vrijednosti argumenta.

proračun lokalni ekstremi funkcije

Podsjetimo da funkcija Y=f(x) ima ekstrem na vrijednosti x = x k ako je izvod funkcije u ovoj tački jednak nuli.

Ako je funkcija f(x) kontinuirana na segmentu [a, b] i ima lokalni ekstrem unutar ovog segmenta, tada se može pronaći pomoću Excel dodatka Find a solution.

Razmotrimo redoslijed pronalaženja ekstrema funkcije koristeći primjer

Primjer 1.19 Zadana je neodvojiva funkcija y \u003d x 2 + x + 2. Potrebno je pronaći njen ekstrem (minimalna vrijednost) na intervalu [-2; 2].

Rješenje

U ćeliju A3 radnog lista unesite bilo koji broj koji pripada datom segmentu, ova ćelija će sadržavati vrijednost x.

U ćeliju B3 unesite formulu koja određuje dato funkcionalna zavisnost. Umjesto varijable x u ovoj formuli, trebalo bi da postoji referenca na ćeliju A3: =A3^2+A3+2.

Izvršimo naredbu menija Servis/Traži rješenje.

U otvorenom prozoru dijaloga Traženje rješenja, u polju Postavi ciljnu ćeliju navedite adresu ćelije koja sadrži formulu (B3), postavite prekidač Minimalna vrijednost, u polju Promjena ćelije navedite adresu ćelije ćelija koja sadrži varijablu x-A3.

Dodajmo dva ograničenja odgovarajućem polju: A3 >= - 2 i A3<=2 (рис. 1.25).

Kliknite na dugme Parametri i u dijaloškom okviru za pretraživanje parametara rješenja koji se otvori postavite relativnu grešku u proračunu i ograničeni broj iteracija.

Kliknite na dugme Pokreni. U ćeliji A3 će se izračunati vrijednost argumenta x funkcije pri kojoj ona uzima minimalnu vrijednost, a u ćeliji B3 - minimalnu vrijednost funkcije.

Kao rezultat proračuna u ćeliji A3 dobiće se vrijednost nezavisne varijable pri kojoj funkcija zauzima najmanju vrijednost -0,5, au ćeliji B3 - minimalnu vrijednost jednaku 1,75.

Napravimo graf date funkcije i uvjerimo se da je rješenje jednadžbe pronađeno, zar ne.

Bilješka. U konkretnom slučaju, prilikom pronalaženja lokalnog ekstremuma pomoću razmatrane tehnologije, možete dobiti vrijednost koja nije ekstrem, već jednostavno minimum ili maksimum funkcije u datom rasponu argumenta.

Stoga je potrebna dodatna verifikacija, tj. izračunavanje derivacije funkcije u pronađenoj tački.

Koristeći gornju tehnologiju za numerički proračun izvoda funkcije u datoj tački, provjeravamo da li je pronađena tačka x = -0,5 tačka ekstrema funkcije y = x 2 + x + 2. Rješenje je prikazano na slici .

Kao što vidite, izvod u pronađenoj tački jednak je nuli, stoga je pronađena vrijednost funkcije njena ekstremna vrijednost.

Primjer 1.20 Potrebno je pronaći vrijednosti argumenta u rasponu [-1; 1] za koju funkcija y = x 2 + x + 2 ima ekstreme.

Rješenje

Tabelarno prikazujemo datu funkciju sa korakom od 0,2.

Koristeći drugu od gore navedenih metoda za izračunavanje derivacije, izračunavamo vrijednosti funkcije y = f (x + dx).

Izračunajmo vrijednosti derivacije za svaku tabelarnu vrijednost argumenta.

Analizirajući dobijene vrijednosti izvoda funkcije u tačkama, nalazimo da derivacija mijenja predznak u intervalu vrijednosti argumenta (-0,6; -0,4), dakle, u ovome postoji tačka ekstrema interval. Osim toga, imajte na umu da se predznak derivacije mijenja iz minusa u plus, stoga je tačka ekstrema minimum funkcije.

Alat za nanošenje Odabir parametara ili Traži rješenja za rješavanje jednačine Y(x) = 0

s obzirom na x, izračunavamo tačnu vrijednost argumenta pri kojoj originalna funkcija uzima dodatnu vrijednost (-0,5) (slika 1.26).

Dobivena vrijednost derivacije proučavane funkcije u tačka x \u003d -0,5 je nula, stoga u ovom trenutku funkcija ima ekstrem.

Grafička diferencijacija počinje iscrtavanjem grafa funkcije za date vrijednosti. U eksperimentalnoj studiji, takav graf se dobija pomoću instrumenata za samosnimanje. Zatim se na krivulju povlače tangente u fiksnim pozicijama i vrijednosti ​​izvoda se izračunavaju u odnosu na tangentu ugla koji formira tangenta na osu apscise.

Na sl. 5.8, ali prikazana je kriva dobijena eksperimentalno na instalaciji (slika 5.6). Definicija kutnog ubrzanja (željena funkcija) provodi se grafičkim diferenciranjem prema omjeru:

(5.19)

Tangenta nagiba tangente na krivulju u nekoj tački i su predstavljeni kao omjer segmenata , gdje je TO- odabrani segment integracije (slika 5.8, b)

Nakon zamjene ove relacije u relaciju (5.19), dobijamo

gdje je ordinata grafa ugaonog ubrzanja zahtjeva;

Skala željenog grafikona; SI jedinice: = mm; \u003d mm / (rad sa -2).

Graf funkcije se gradi prema pronađenim vrijednostima ordinata za određeni broj pozicija. Tačke na krivulji su ručno povezane glatkom linijom, a zatim zaokružene uzorkom.

Grafičko diferenciranje razmatranom metodom tangente ima relativno nisku tačnost. Veća tačnost se postiže grafičkom diferencijacijom metodom akorda (slika 5.8, in I G).

Na datoj krivulji je označen broj tačaka 1 ", 2 ", 3" , koji su povezani akordima, tj. zameni datu krivu isprekidanom linijom. Napravljena je sljedeća pretpostavka: ugao nagiba tangenti u tačkama koje se nalaze u sredini svakog dijela krive jednak je kutu nagiba odgovarajuće tetive. Ova pretpostavka unosi neku grešku, ali se odnosi samo na ovu tačku. Ove greške se ne zbrajaju, što osigurava prihvatljivu tačnost metode.

Preostale konstrukcije su slične onima koje su prethodno opisane za grafičku diferencijaciju tangentnom metodom. Odaberite segment (mm); provode grede nagnute pod uglovima do preseka sa y-osom u tačkama 1 ", 2 ", 3 " ... , koji se prenose na ordinate nacrtane u sredini svakog od intervala. Rezultirajuće tačke 1 *, 2 *, 3 * su tačke željene funkcije .

Razmjere duž koordinatnih osa ovom metodom konstrukcije povezane su istom relacijom (5.21), koja je izvedena za slučaj grafičke diferencijacije metodom tangente.

Diferencijacija funkcija f(x), dat (ili izračunat) kao niz brojeva, izvodi se metodom numeričke diferencijacije pomoću računara.

Što je manji korak u nizu brojeva, točnije možete izračunati vrijednost derivacije funkcije u ovom intervalu

Pored oblikovanja elemenata okvira ćelije, redova i kolona, ​​često je korisno koristiti više Excel radnih listova. Za organiziranje i traženje informacija u knjizi, zgodno je dodijeliti vlastita imena naslovima listova, odražavajući njihov semantički sadržaj. Na primjer, "početni podaci", "rezultati proračuna", "grafovi" itd. To je zgodno učiniti pomoću kontekstni meni. Pritisnite desni taster miša na kartici lista, Preimenujte list i kliknite .

Da biste dodali jedan ili više novih listova, izaberite Sheet iz menija Umetanje. Da biste umetnuli nekoliko listova odjednom, odaberite jezičke za potreban broj listova držeći , zatim iz menija Umetanje izvršite naredbu Sheet. Obrnuta operacija uklanjanja listova izvodi se na sličan način. Preko puta kontekstni meni, gdje je odabrana komanda Delete.

Korisna operacija za premještanje listova je da zgrabite karticu lista lijevom tipkom miša i pomaknete je na željenu lokaciju. Ako istovremeno pritisnete , kopija lista će biti premještena, a broj 2 će biti dodan nazivu lista.

Zadatak 7. Promijenite format cijele ćelije B2 u: font - Arial 11; lokacija - u centru, uz donji rub; jedna riječ po redu; format broja – “0.00”; granica ćelije - dvostruka linija

2.3. Ugrađene funkcije

Excel sadrži više od 150 ugrađenih funkcija za pojednostavljenje proračuna i obrade podataka. Primjer sadržaja ćelije sa funkcijom: =B2+SIN(C7) , gdje su B2 i C7 adrese ćelija koje sadrže brojeve, a SIN() je ime funkcije. Najčešće korištene Excel funkcije:

SQRT(25) = 5 - Izračunava kvadratni korijen od (25) RADIJANI(30) = 0,5 - Pretvara 30 stepeni u radijane INT(8,7) = 8 - Zaokružuje na najbliži cijeli broj MOD(-3;2) = 1 - ostavlja ostatak dijeljenja broja (-3) sa

djelitelj (2). Rezultat ima predznak djelitelja. IF(E4>0,2;”dodatno”;”greška”)- ako je broj u ćeliji E4 manji od 0,2,

tada Excel vraća "additional" (true), u suprotnom - "error" (false).

U formuli, funkcije mogu biti ugniježđene jedna u drugu, ali ne više od 8 puta.

Kada koristite funkciju, glavna stvar je definirati samu funkciju i njen argument. Kao argument, po pravilu, navodi se adresa ćelije u kojoj su podaci zapisani.

Funkciju možete definirati upisivanjem teksta (ikona, brojeva, itd.) u željenu ćeliju ili koristiti Čarobnjak za funkcije. Ovdje su, radi pogodnosti pretraživanja, sve funkcije podijeljene u kategorije: matematičke, statističke, logičke i druge. Unutar svake kategorije sortirani su po abecednom redu.

Čarobnjak za funkcije koju poziva naredba menija Umetak, funkcija

ili pritiskom na ikonu (f x ). U prvom prozoru koji se pojavi Function Wizard (slika 4) definišemo kategoriju i naziv određene funkcije, kliknemo . U drugom prozoru (slika 5) potrebno je odrediti Argumenti funkcije. Da biste to učinili, klikom na dugme desno od prvog raspona ćelija (broj 1) „pokrijte“ prozor. Odabiremo ćelije na osnovu kojih će se izvršiti proračun. Nakon toga, odabrane ćelije će biti unesene u prvi prozor raspona. Ponovo pritisnite desnu tipku. Ako je argument nekoliko raspona ćelija, tada se radnja ponavlja. Zatim pritisnite da završite posao. . Izvorna ćelija će sadržavati rezultat izračuna.

Rice. 4. Pogled na prozor čarobnjaka za funkcije

Rice. 5. Prozor za postavljanje argumenata odabrane funkcije

Zadatak 8. Odrediti srednju vrijednost niza brojeva: 2,5; 2.9; 1.8; 3.4; 6.1;

1,0; 4,4.

Rješenje . U ćelije unosimo brojeve, na primjer, C2:C8. Odaberite ćeliju C9, u koju upisujemo funkciju = PROSJEČAN (C2: C8), pritisnite , u C9 dobijamo prosječnu vrijednost naznačenih brojeva - 3,15.

Zadatak 9. Pomoću uslovne logičke funkcije IF napravite formulu za preimenovanje neparnih brojeva u "jesen", parnih brojeva - "proljeće".

Rješenje . Odabiremo kolonu za unos početnih podataka - parnih (neparnih) brojeva, na primjer, A. U ćeliju B3 upišite formulu =IF(MOD(A3,2)=0,"težina","os"). Kopiranjem ćelije B3 duž kolone B dobijamo rezultate analize brojeva upisanih u kolonu A. Rezultati rješavanja problema prikazani su na sl. 6.

Rice. 6. Rješenje zadatka br. 9

Zadatak 10. Izračunaj vrijednost funkcije y = x3 + sinx - 4ex za x = 1,58.

Rješenje . Postavimo podatke u ćelije A2 - x, B2 -y. Rješenje zadatka prikazano je na slici 7 u numeričkom obliku lijevo i formuliranom obliku desno. Prilikom rješavanja ovog problema treba obratiti pažnju na pozivanje funkcija SIN i eksponent za unos argumenta (vidi sliku 8).

Fig.7. Rješenje zadatka broj 10

Fig.8. Windows za unos argumenta funkcije SIN i EXP

Zadatak 11. Sastavite u Excelu matematički model zadaci za izračunavanje funkcije y= 1/ ((x- 3) (x+ 4)), za vrijednosti x= 3 i y= -4, prikazati "nedefinirano", numeričke vrijednosti funkcije - u drugim slučajevima.

Zadatak 12. Napravite matematički model problema u Excel-u: 12.1. za izračunavanje s korijenima

a) √ x3 y2 z / √ x z ; b) (z √ z)2 ; c) 3 √ x2 3 √ x ; d) √ 5 x5 3-1 / √ 20 x 3-1

12.2. za geometrijski proračuni a) odrediti uglove pravougaonog trougla, ako je x poznato - krak, y - hipotenuza;

b) odrediti udaljenost između dvije tačke u Kartezijanski sistem XYZ koordinate prema formuli

d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2

c) odrediti udaljenost od tačke (x 0 ,y 0 ) do prave a x + b y + c = 0 koristeći formulu

d = ax0 +b y0 +c / √ (a2 +b2 )

d) odredite površinu trokuta iz koordinata vrhova koristeći formulu

S = 1 2 [ (x1 − x3 )(y2 − y3 ) − (x2 − x3 )(y1 − y3 )]

3. Rješavanje problema korištenjem formula i funkcija

Problemi koji se mogu uspješno riješiti korištenjem formula i Excel funkcije, zapravo mnogo. Razmotrimo zadatke koji se u praksi najčešće rješavaju pomoću proračunskih tablica: linearne jednadžbe i njihovi sistemi, izračunavanje numeričkih vrijednosti izvoda i određenih integrala.

Derivat funkcije y = f(x) je omjer njenog prirasta ∆y i odgovarajućeg inkrementa ∆x argumenta, kada

∆x→ 0

y = f (x + x) − f (x)

Problem .13 . Pronađite izvod funkcije y = 2x 3 + x 2 u tački x=3 .

Rješenje. Izvod izračunat analitičkom metodom je 60 . Izvod ćemo izračunati u Excelu koristeći formulu (1). Da biste to učinili, izvršite sljedeći niz radnji:

· Nacrtajmo oznake kolona: H – argumenti funkcije, Y – vrijednosti funkcije, Y ` – izvod funkcije (slika 9).

· Tabelarno prikazujemo funkciju u susjedstvu tačke x \u003d 3 s malim korakom, na primjer, 0,001, rezultati se unose u kolonu X.

Rice. 9. Tablica za izračunavanje derivacije funkcije

· U ćeliju B2 unesite formulu za izračunavanje funkcije =2*A2^3+A2^2.

· Kopirajte formulu do reda 7, dobijamo vrijednosti funkcije na tabulatorima argumenta.

· U ćeliju C2 unesite formulu za izračunavanje izvoda =(B3-B2)/ (A3-A2) .

· Kopirajte formulu do reda 6, dobijamo vrijednosti derivacija na tabulatorima argumenta.

Za vrijednost x = 3, derivacija funkcije je jednaka vrijednosti 60,019, što je blizu vrijednosti izračunate analitički.

metoda trapeza. U metodi trapeza, integracijska površina je podijeljena na segmente s određenim korakom, a površina ispod grafa funkcije na svakom segmentu smatra se jednakom površini trapeza. Tada formula za proračun poprima sljedeći oblik

S N = ∫ f (u) du ≈ h N ∑ − 1 [ f (a + h i) + f (a + h (i + 1)) ] (2),
	2 i = 0

gdje je h= (b- a)/ N korak particije; N je broj podijeljenih tačaka.

Da bi se poboljšala tačnost, broj tačaka razdvajanja se udvostručuje, a integral se ponovo izračunava. Podjela originalnog intervala se zaustavlja kada se postigne potrebna tačnost:

integral, uradite sledeće:

– izabrati N= 5, u ćeliji F2 izračunati h-korak particije (slika 10);

Rice. 10. Obračun definitivni integral

· U prvoj koloni I zapisujemo broj intervala i;

· U ćeliju B2 upišite formulu =3*(2+F2*A2)^2 da biste izračunali prvi član formule (2);

· U ćeliju C2 upišite formulu =3*(2+F2*(A2+1))^2 da biste izračunali drugi član;

· „Razvucite“ ćelije sa uključenim formulama 4 reda niz kolone;

Zapisujemo formulu u ćeliju C7 i izračunavamo zbir članova,

U ćeliju C8 upisujemo formulu i izračunavamo SN željenu vrijednost definitivnog integrala 19,02 (vrijednost S N dobijena analitički

19).

Zadatak. 15. Izračunajte definitivni integral:

1. Y = ∫ 2 x d x	2. Y = ∫ 2 x3 dx
	−1

2 π

Y = ∫ 2sin(x )dx

Y = ∫ x2 dx

−2

Y = ∫

Y = ∫

3x − 2

(2x + 1) 3

x + 3

Y = ∫ cos

Y = ∫

x 2 + 4

3.2. Rješenje linearne jednačine

Linearne jednadžbe u Excelu se može riješiti pomoću funkcije Odabir parametara. Prilikom odabira parametra, vrijednost utjecajne ćelije (parametra) se mijenja sve dok formula koja ovisi o ovoj ćeliji ne vrati navedenu vrijednost.

Razmotrimo proceduru traženja parametra koristeći jednostavan primjer rješavanja linearne jednadžbe s jednom nepoznatom.

Zadatak 16. Riješite jednačinu 10 x - 10 / x = 15 .

Rješenje. Za željenu vrijednost parametra - x, odaberite ćeliju A3. Unesimo u ovu ćeliju bilo koji broj koji leži u području definicije funkcije (u našem primjeru ovaj broj ne može biti jednak nuli). Neka bude 3. Ova vrijednost će se koristiti kao početna vrijednost. U ćeliju, na primjer, B3, u skladu s gornjom jednačinom, unesite formulu =10*A3-10/A3. Kao rezultat niza proračuna koji koriste ovu formulu, bit će odabrana željena vrijednost parametra. Sada u meniju Alati, odabirom naredbe Odabir parametara, pokrenite funkciju traženja parametara (slika 11, a) . Unesimo parametre pretrage:

· Na terenu Postavljeno u ćeliju hajde da unesemo apsolutnu referencu na ćeliju $B$3 koja sadrži formulu.

· U polje Vrijednost unesite željeni rezultat 15 .

· Na terenu Promjena vrijednosti ćelije unesite vezu do ćelije A3 koja sadrži odabranu vrijednost i kliknite .

Na kraju funkcije Odabir parametara na ekranu će se pojaviti prozor Rezultat odabira parametara U kojoj će biti prikazani rezultati pretrage. Pronađeni parametar 2.000025 pojavit će se u ćeliji A3, koja je bila rezervirana za njega.

Obratite pažnju na činjenicu da u našem primjeru jednadžba ima dva rješenja, a parametar je odabran samo jedno. To je zato što se parametar mijenja samo dok se ne vrati tražena vrijednost. Prvi argument pronađen na ovaj način vraća nam se kao rezultat pretraživanja. Ako kao

U našem primjeru navedite početnu vrijednost -3, tada će se naći drugo rješenje jednadžbe: -0,5.

Fig.11. Rješenje jednadžbe: a - unos podataka, b - rezultat rješenja

	Zadatak 17. Riješite jednačine
	5x/ 9- 8= 747x/ 12		(2x+ 2)/ 0,5= 6x
	0,5 (2x- 1)+x/ 3= 1/6		7(4x-6)+ 3(7-8x)= 1
	Linearni sistem	jednačine		može se riješiti različitim

načini: zamjena, sabiranje i oduzimanje jednačina, korištenjem matrica. Razmotrimo metodu za rješavanje kanonskog sistema linearnih jednačina (3) korištenjem matrica.

a1 x + a2 y + b1 = 0

a3 x + a4 y + b2 =0

Poznato je da se sistem linearnih jednadžbi u matričnom prikazu piše kao:

gdje je A matrica koeficijenata, X je vektor - stupac nepoznanica,

B je vektor stupaca slobodnih članova. Rešenje za takav sistem

je napisan u formi

X=A-1 B,

gdje je A -1 matrica inverzna u odnosu na A. Ovo proizilazi iz činjenice da pri rješavanju matričnih jednačina za X treba ostati identična matrica E. Množenjem s lijeve strane oba dijela jednadžbe AX = B sa A -1, dobivamo rješenje linearni sistem jednačine.

Zadatak 18. Riješiti sistem linearnih jednačina

Rješenje. Za dati sistem linearnih jednadžbi, vrijednosti odgovarajuće matrice i vektora stupca imaju oblik:

Da biste riješili problem, izvršite sljedeće radnje:

· A2:B3 i u njega upiši elemente matrice A.

· Odaberite blok ćelija, na primjer, C2:C3 i u njega upiši elemente matrice B.

· Odaberite blok ćelija, na primjer, D2:D3 postaviti rezultat rješavanja sistema jednačina.

U ćeliju D2 unesite formulu = MULTIPLE(MOBR(A2:B3),C2:C3).

Excel biblioteka u odjeljku matematičke funkcije sadrži funkcije za izvođenje operacija nad matricama. Konkretno, to su funkcije:

Parametri ovih funkcija mogu biti adrese adresa na nizove koji sadrže matrične vrijednosti ili imena raspona i izraze.

Na primjer, MOBR (A1: B2) ili MOBR (matrica_1).

Recite Excelu da se operacija izvodi na nizovima pritiskom na kombinaciju tipki + + , u ćelijama D2 i D3 rezultat će biti x = 2,16667 ; y= - 1,33333 .

4. Rješavanje problema optimizacije

Mnogi problemi predviđanja, dizajna i proizvodnje svode se na široku klasu problema optimizacije. Takvi zadaci su, na primjer: maksimiziranje proizvodnje robe uz ograničenja na sirovine za proizvodnju ovih dobara; planiranje za postizanje najbolji rezultati po najnižoj cijeni; minimiziranje troškova transporta robe; postizanje specificiranog kvaliteta legure; određivanje dimenzija određenog kontejnera, uzimajući u obzir troškove materijala za postizanje maksimalne zapremine; razne

zadatke koji uključuju slučajne varijable, i drugi problemi optimalne alokacije resursa i optimalnog dizajna.

Rješavanje problema ove vrste može se obaviti u EXCEL-u pomoću alata Solver, koji se nalazi u izborniku Tools. Formulacija takvih problema može biti sistem jednačina sa nekoliko nepoznanica i skupom ograničenja na rješenja. Stoga, rješavanje problema mora početi izgradnjom odgovarajućeg modela. Pogledajmo ove naredbe na primjeru.

Zadatak 20. Pretpostavimo da smo odlučili da proizvedemo dva tipa sočiva A i B. Tip A sočiva se sastoji od 3 komponente sočiva, tip B - od 4. U sedmici se ne može napraviti više od 1800 sočiva. Potrebno je 15 minuta za sklapanje sočiva tipa A, 30 minuta za sočiva tipa B. Radna sedmica za 4 zaposlena je 160 sati. Koliko leća A i B treba napraviti da bi se ostvarila maksimalna zarada, ako sočivo tipa A košta 3.500 rubalja, a tipa B - 4.800 rubalja.

Rješenje. Za rješavanje ovog problema potrebno je sastaviti i popuniti tabelu u skladu sa sl. 12:

· Preimenujte ćeliju B2 u x, broj A sočiva.

· Hajdemo legalno preimenovati ćeliju B3 u y.

ciljna funkcija Profit = 3500*x+4800*y unesite u ćeliju B5. · Troškovi branja su jednaki =3*x+4*y unesite u ćeliju B7.

· Vremenski troškovi su =0,25*x+0,5*y unesite u ćeliju B8.

	Ime
	kompletan set
	Trošak tokom vremena

Fig.12. Popunjavanje tabele početnim podacima

· Izaberite ćeliju B5 i izaberite meni Podaci, a zatim aktivirajte komandu Search solution. Popunimo ćelije ovog prozora u skladu sa sl.13.

· Pritisnite<Выполнить >; ako je sve urađeno ispravno, tada će rješenje biti kao što je navedeno u nastavku.

Primjer 3: Koristeći autofilter, odaberite studente koji uče u grupi br. 5433 sa prezimenom koje počinje na slovo C.

Sekvenciranje

1. Kopirajte bazu podataka (slika 30) na list 3.

2. Prezime.

3. Odaberite stavku sa listeFilteri teksta → Prilagođeni filter. U prozoru koji se pojavi Prilagođeni automatski filter odaberite kriterij odabira koji počinje sa , u polje nasuprot unesite željeno slovo (provjerite da li je izgled na ruskom). Pritisnite OK.

4. Otvorite padajuću listu u koloni broj grupe.

5. Odaberite željeni broj.

Filtriranje zapisa u bazi podataka sa naprednim filterom

Napredni filter omogućava vam da tražite redove koristeći složenije kriterije od prilagođenih automatskih filtera. Napredni filter koristi interval kriterijuma za filtriranje podataka.

Kada koristite napredni filter, imena kolona na kojima su navedeni uslovi kopiraju se ispod izvorne tabele. Kriterijumi odabira se unose ispod naziva kolona. Nakon primjene filtera, na ekranu se mogu prikazati samo oni redovi koji ispunjavaju navedene kriterije, a filtrirani podaci se mogu kopirati na drugi list ili u drugu oblast na istom radnom listu.

Primjer 4: Odaberite sve učenike iz grupe # 5433 čiji je GPA veći ili jednak 4,5.

Sekvenciranje

1. Kopirajte bazu podataka (slika 30) na list 4.

2. Kopirajte nazive kolona Broj grupe i prosječan rezultat

na područje ispod originalne tabele. Upišite tražene kriterije odabira ispod naziva kolona (Sl. 32)

Rice. 32. Excel prozor sa naprednim filterom

2. Na kartici Podaci na traci sa alatkama Sortiranje

i filter odaberite Napredno. Pojavit će se dijaloški okvir (slika 33) u kojem su specificirani rasponi podataka.

Rice. 33. Prozor naprednog filtera

U polju za unos originalni raspon specificira interval koji sadrži izvornu bazu podataka. U našem slučaju se bira raspon ćelija od A1 do I9.

U polju za unos Raspon uslova odabire se interval ćelija na radnom listu koji sadrži tražene kriterije (C12:D13).

U polje za unos Stavite rezultat u opseg označava interval u kojem se kopiraju redovi koji zadovoljavaju kriterije

teorije. U našem slučaju, ćelija je naznačena ispod područja kriterija, na primjer A16. Ovo polje je dostupno samo kada je odabrano radio dugme. Kopirajte rezultat na drugu lokaciju.

Polje za potvrdu Samo jedinstveni zapisi je dizajniran da prikaže samo redove koji se ne ponavljaju.

Rezultirajuća tabela koja zadovoljava kriterijume filtriranja prikazana je na sl. 34.

Rice. 34. Excel prozor sa rezultatima filtriranja

1. Kreirajte vlastitu bazu podataka, broj zapisa u kojoj mora biti najmanje 15, a broj stupaca mora biti najmanje 6. Na primjer, baza podataka Spisak klijenata (Sl. 35).

2. Primijenite tri autofiltra na bazu podataka (na odvojenim listovima). Broj kriterijuma mora biti najmanje dva.

3. Primijenite tri napredna filtera na zapise baze podataka, od kojih svaki sadrži najmanje dva kriterija. Postavite sve napredne filtere na jedan list ispod originalne tabele.

Rice. 35. Excel prozor sa bazom podataka Lista kupaca

LAB #5

Numerička diferencijacija i jednostavna analiza funkcija

Svrha rada: Istražiti funkciju do ekstrema, naučiti odrediti kritičnu tačku.

Iz predmeta matematike je poznato da je formula za izvod u opšti pogled izgleda ovako:

f "(x)= lim
∆x0

gdje je Δx prirast argumenta; x je broj koji teži nuli. Uz pomoć derivacije možete odrediti kritične točke funkcije - minimume, maksimume ili infleksije. Ako je vrijednost derivacije funkcije za bilo koju vrijednost x jednaka nuli, tada za ovu vrijednost x funkcija ima kritičnu tačku.

Primjer 1: Funkcija f x = x 2 + 2x 3 definirana je na intervalu x 5;5. Istražite ponašanje funkcije f(x) .

Sekvenciranje

1. Neka je Δx = 0,00001. U ćeliju A1 upisati: šDx=Ÿ (Sl. 36). Odaberite slovo D, kliknite desnom tipkom miša na odabrano slovo, odaberite Format Cells. Na kartici Font izaberite font za simbol. Slovo D će postati grčko slovo Ẑŭ. Poravnanje u ćeliji se može izvršiti udesno. U ćeliju B1 unesite vrijednost 0,00001.

2. U ćelijama od A2 do F2 uredite zaglavlje za tabelu, kao što je prikazano na sl. 36.

3. Kolona A, počevši od trećeg reda, će sadržavati x vrijednosti. U ćelije A3 do A13 unesite vrijednosti od -5 do 5.

4. U ćeliju B3 upišite formulu =A3^2+2*A3-3 i proširite je na konačnu vrijednost x (do 13. reda).

5. Da biste odredili derivaciju funkcije i izračunali njene vrijednosti u datom intervalu, potrebno je napraviti međuproizvod

tačne proračune. U ćeliju C3 unesite formulu za zbir argumenta x i njegovog prirasta Δx. Formula je: =A3+$B$1. Proširite njegovu vrijednost na konačnu vrijednost argumenta x.

Rice. 36. Excel prozor sa proučavanjem ponašanja funkcije

6. U ćeliju D3 upišite formulu =C3^2+2*C3-3, koja izračunava vrijednost funkcije f iz argumenta x Δx. Protegnite rezultirajuću vrijednost do krajnje vrijednosti argumenta.

7. U ćeliju E3 upisati formulu izvoda (1), s obzirom da su vrijednosti f x u B3, a vrijednosti f x + Δx u D3.

Formula će izgledati ovako: =(D3-B3)/$B$1.

8. Odrediti ponašanje funkcije na datom intervalu (povećava, opada ili postoji kritična tačka). Da biste to učinili, morate napisati formulu u ćeliju F3 kako biste odredili ponašanje funkcije. Formula sadrži tri uslova:

		f" (x)< 0	- funkcija se smanjuje;
		f" (x) > 0	- funkcija se povećava;
		f"(x)=0	– postoji kritična tačka* .

9. Konstruirajte grafove za vrijednosti fx i f"(x). Grafikon (slika 37) pokazuje da ako je vrijednost izvoda funkcije nula, onda funkcija ima kritičnu tačku na ovom mjestu.

* Zbog prevelike greške u proračunu, vrijednost f "(x) možda neće biti jednaka 0. Ali je ipak potrebno opisati ovu situaciju.

Rice. 37. Dijagram proučavanja ponašanja funkcije

Zadaci za samostalan rad

Funkcija f(x) je definirana na intervalu x. Istražite ponašanje funkcije f(x) . Izgradite grafikone.

			2x2						X [ 4 ;4 ]
								X [ 5 ;5 ]
			2x+2
	f(x)=x3		3x2		2 , x [ 2 ;4 ]
	f(x)= x					X [ 2 ;3 ]
				x 2 + 7

LAB #6

Konstrukcija tangente na graf funkcije

Svrha rada: Savladati računanje vrijednosti ​​jednadžbe tangente na graf funkcije u tački x0.

Jednadžba tangente na graf funkcije y = f(x) u tački

Primjer 1: Funkcija y = x 2 + 2x 3 definirana je na intervalu x [ 5; pet ] . Konstruirajte tangentu na graf ove funkcije u tački x 0 = 1.

Slijed:

1. Razlikujte ovu funkciju numerički (vidi Laboratorijski rad br. 5). Tabela početnih podataka prikazana je na sl. 38.

Rice. 38. Tabela početnih podataka

2. Odredite lokaciju u tabeli x , x 0 , f (x 0 ) i f "(x 0 ). Očigledno, x će biti vrijednosti iz

kolona A, počevši od trećeg reda (slika 38). Ako je x 0 = 1, tada će ćelija A9 djelovati kao x 0 . Prema tome, vrijednost funkcije f u tački x 0 nalazi se u ćeliji B9, a vrijednost f" (x 0 )

- u ćeliji E9.

3. U koloni F izračunava se jednadžba tangente na graf funkcije f(x). Prilikom izračunavanja jednačine (1) potrebno je da se vrijednosti x 0, f (x 0) i f" (x 0) ne mijenjaju. Stoga, pismeno

Da biste adresirali ćelije A9, B9 i E9, morate koristiti apsolutne reference na ove ćelije. Ćelije se fiksiraju pomoću znaka š$Ÿ. Ćelije će izgledati ovako: $A$9, $B$9 i $E$9.

Rice. 39. Grafikon funkcije f(x) i tangente na graf u tački x=1

Zadaci za samostalan rad

Funkcija f(x) je definirana na intervalu x. Izračunajte jednadžbu tangente. Konstruirajte tangentu na graf funkcije u datoj tački.

			2x2						X [ 4 ;4 ] , x0 = 1
								X [ 5 ;5 ] , x0
			2x+2
	f(x)=x3		3x2		2 , x [ 2 ;4 ] , x0 = 0
	f(x)= x					X [ 2 ;3 ], x0
				x 2 + 7

1. Vedeneeva, E. A. Funkcije i Excel formule 2007. Korisnička biblioteka / E. A. Vedeneeva. - Sankt Peterburg: Peter, 2008. - 384 str.

2. Sviridova, M. Yu. Spreadsheets Excel / M. Yu. Sviridova. - M.: Academia, 2008. - 144 str.

3. Serogodsky, V. V. Grafovi, proračuni i analiza podataka

in Excel 2007 / V. V. Serogodsky, R. G. Prokdi, D. A. Kozlov, A. Yu. Druzhinin. - M.: Nauka i tehnologija, 2009. - 336 str.