Uvod

Teorija vjerovatnoće je jedna od klasičnih grana matematike. Ima dugu istoriju. Osnove ovoj grani nauke postavili su veliki matematičari. Nazvat ću, na primjer, Ferma, Bernoullija, Pascal. Kasnije je razvoj teorije vjerovatnoće određen u radovima mnogih naučnika. Veliki doprinos teoriji vjerovatnoće dali su naučnici naše zemlje: P.L. Chebyshev, A.M. Lyapunov, A.A. Markov, A.N. Kolmogorov. Vjerovatni i statističke metode sada duboko prodro u aplikacije. Koriste se u fizici, inženjerstvu, ekonomiji, biologiji i medicini. Njihova uloga se posebno povećala u vezi sa razvojem računarska nauka.

Na primjer, studirati fizičke pojave napraviti zapažanja ili eksperimente. Njihovi rezultati se obično bilježe kao vrijednosti nekih posmatranih veličina. Prilikom ponavljanja eksperimenata nalazimo rasipanje u njihovim rezultatima. Na primjer, ponavljanjem mjerenja iste količine istim uređajem uz održavanje određenih uvjeta (temperatura, vlažnost itd.), dobivamo rezultate koji se barem malo razlikuju, ali se ipak razlikuju jedni od drugih. Čak i višestruka mjerenja ne omogućavaju precizno predviđanje rezultata sljedećeg mjerenja. U tom smislu, za rezultat mjerenja se kaže da je slučajna veličina. Još jasniji primjer slučajne varijable je broj dobitne srećke. Mogu se dati mnogi drugi primjeri slučajnih varijabli. Ipak, u svijetu nesreća postoje određeni obrasci. Matematički aparat proučavati takve pravilnosti i daje teoriju vjerovatnoće. Dakle, teorija vjerovatnoće se bavi matematička analiza slučajni događaji i povezane slučajne varijable.

1. Slučajne varijable

Koncept slučajne varijable je fundamentalan u teoriji vjerovatnoće i njenim primjenama. Slučajne varijable, na primjer, su broj bodova ispuštenih u jednom bacanju kockice, broj raspadnutih atoma radijuma za određeni vremenski period, broj poziva na telefonskoj centrali za određeni vremenski period, odstupanje od nominalne vrijednosti određene veličine dijela sa pravilno uspostavljenim tehnološkim procesom itd. .

Dakle, slučajna varijabla je veličina koja, kao rezultat eksperimenta, može poprimiti jednu ili drugu vrijednost, a koja je unaprijed poznata.

Slučajne varijable se mogu podijeliti u dvije kategorije.

Diskretna slučajna varijabla je takva varijabla koja, kao rezultat eksperimenta, može uzeti određene vrijednosti sa određenom vjerovatnoćom, formirajući prebrojiv skup (skup čiji se elementi mogu numerisati).

Ovaj skup može biti ili konačan ili beskonačan.

Na primjer, broj hitaca prije prvog pogotka u metu je diskretna slučajna varijabla, jer ova vrijednost može poprimiti beskonačan, iako prebrojiv broj vrijednosti.

Kontinuirana slučajna varijabla je takva varijabla koja može uzeti bilo koju vrijednost iz nekog konačnog ili beskonačnog intervala.

Očigledno, broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je beskonačan.

Da biste postavili slučajnu varijablu, nije dovoljno samo navesti njenu vrijednost, morate odrediti i vjerovatnoću ove vrijednosti.

2. Ujednačena distribucija

Neka je segment ose Ox skala nekog instrumenta. Pretpostavimo da je vjerovatnoća da pokazivač pogodi određeni segment skale proporcionalna dužini ovog segmenta i da ne zavisi od lokacije segmenta na skali. Oznaka pokazivača instrumenta slučajna vrijednost

koji može uzeti bilo koju vrijednost iz segmenta . Zbog toga (< ) - две любые отметки на шкале, то согласно условию имеем - коэффициент пропорциональности, не зависящий от и , а разность , - длина сегмента . Так как при =a и =b имеем , то , откуда .

Na ovaj način

(1)

Sada je lako pronaći funkciju F(x) distribucije vjerovatnoće slučajne varijable

. Ako , tada ne uzima vrijednosti manje od a. Pusti sada. Prema aksiomu sabiranja vjerovatnoća. Prema formuli (1), u kojoj prihvaćamo , Imamo , a zatim za dobivamo

Konačno, ako

, zatim , budući da vrijednosti leže na segmentu i, prema tome, ne prelaze b. Pa smo došli do toga sljedeća funkcija distribucije:

Funkcijski grafikon

prikazano na sl. jedan.

Gustoću raspodjele vjerovatnoće nalazimo po formuli. Ako a

ili , zatim . Ako onda

Na ovaj način,

(2)

Funkcijski grafikon

prikazano na sl. 2. Imajte na umu da na tačkama a i b prekidi funkcije.

Vrijednost čija je gustina distribucije data formulom (2) naziva se ravnomjerno raspoređena slučajna varijabla.

3. Binomna distribucija

Binomna distribucija u teoriji vjerovatnoće - raspodjela broja "uspjeha" u nizu n nezavisni nasumični eksperimenti takvi da je vjerovatnoća "uspjeha" u svakom od njih str.

je konačan niz nezavisnih slučajnih varijabli sa Bernoullijevom distribucijom, tj.

Hajde da napravimo slučajnu varijablu Y.

Među zakonima raspodjele za diskretne slučajne varijable, najčešći je binomni zakon raspodjele. Binomna distribucija se odvija pod sljedećim uvjetima. Neka je slučajna varijabla broj pojavljivanja nekog događaja u nezavisnim pokusima, vjerovatnoća pojave u zasebnom ispitivanju je . Ova slučajna varijabla je diskretna slučajna varijabla, njene moguće vrijednosti su . Vjerovatnoća da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost izračunava se po Bernoullijevoj formuli: .

Definicija 15. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable naziva se binomni zakon distribucije ako se vjerovatnoće vrijednosti slučajne varijable izračunaju pomoću Bernoullijeve formule. Serija distribucije će izgledati ovako:

Uvjerimo se da je zbir vjerovatnoća različitih vrijednosti slučajne varijable jednak 1. Zaista,

Budući da su ovi proračuni rezultirali Newtonovom binomnom formulom, stoga se zakon raspodjele naziva binomnim. Ako slučajna varijabla ima binomnu distribuciju, tada se njene numeričke karakteristike nalaze po formulama:

(42) (43)

Primjer 15 Postoji serija od 50 delova. Vjerovatnoća braka za jedan dio. Neka je slučajna varijabla broj neispravnih dijelova u datoj seriji. Naći očekivana vrijednost, varijansu i standardnu ​​devijaciju date slučajne varijable. Odluka. Slučajna varijabla ima binomnu distribuciju, jer se vjerovatnoća da će poprimiti vrijednost izračunava pomoću Bernoullijeve formule. Tada se njegovo matematičko očekivanje nalazi po formuli (41), naime, ; varijansa se nalazi po formuli (42): . Tada će standardna devijacija biti jednaka . Pitanje. Kupljeno 200 srećki, vjerovatnoća dobitka jednog listića je 0,01. Tada je prosječan broj srećki koje će dobiti: a) 10; b) 2; u 20; d) 1.

Poissonov zakon distribucije

Prilikom rješavanja mnogih praktičnih problema, moramo se baviti diskretnim slučajnim varijablama koje poštuju Poissonov zakon distribucije. Tipični primjeri slučajne varijable sa Poissonovom distribucijom su: broj poziva na telefonskoj centrali za neko vrijeme; broj kvarova složene opreme tokom vremena, ako se zna da su kvarovi nezavisni jedan od drugog i u prosjeku ima kvarova po jedinici vremena.Serija distribucije će izgledati ovako:

Odnosno, vjerovatnoća da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost izračunava se po Poissonovoj formuli: stoga se ovaj zakon naziva Poissonov zakon distribucije. Slučajna varijabla distribuirana prema Poissonovom zakonu ima sljedeće numeričke karakteristike:

Poissonova raspodjela ovisi o jednom parametru, a to je srednja vrijednost slučajne varijable. Slika 14 pokazuje opšti oblik poligon Poissonove distribucije za različite vrijednosti parametra.

Poissonova distribucija se može koristiti kao približna u slučajevima kada je tačna distribucija slučajne varijable binomna distribucija, dok je broj pokušaja velik, a vjerovatnoća da će se događaj desiti u posebnom ispitivanju mala, stoga je Poissonova distribucija zakon distribucije naziva se zakon retkih događaja. I također, ako se matematičko očekivanje malo razlikuje od varijanse, odnosno kada . U tom smislu, Poissonova distribucija ima veliki broj različitih primjena. Primjer 16 Fabrika šalje 500 visokokvalitetnih proizvoda u bazu. Vjerovatnoća da će se proizvod oštetiti u transportu je 0,002. Pronađite matematičko očekivanje broja dijelova oštećenih tokom transporta. Odluka. Slučajna varijabla ima Poissonovu distribuciju, tako da . Pitanje. Verovatnoća izobličenja karaktera tokom prenosa poruke je 0,004. Da bi prosječan broj iskrivljenih simbola bio 4, mora se prenijeti 100 simbola.

kao što je poznato, slučajna varijabla naziva se varijabla koja može poprimiti određene vrijednosti ovisno o slučaju. Slučajne varijable su označene velikim slovima latinične abecede (X, Y, Z), a njihove vrijednosti - odgovarajućim malim slovima (x, y, z). Slučajne varijable se dijele na diskontinualne (diskretne) i kontinuirane.

Diskretna slučajna varijabla naziva se slučajna varijabla koja uzima samo konačan ili beskonačan (prebrojiv) skup vrijednosti sa određenim nenultim vjerovatnoćama.

Zakon distribucije diskretne slučajne varijable je funkcija koja povezuje vrijednosti slučajne varijable sa njihovim odgovarajućim vjerovatnoćama. Zakon o raspodjeli može se specificirati na jedan od sljedećih načina.

1 . Zakon distribucije može se dati u tabeli:

gdje je λ>0, k = 0, 1, 2, … .

u) korišćenjem funkcija distribucije F(x) , koji za svaku vrijednost x određuje vjerovatnoću da slučajna varijabla X poprimi vrijednost manju od x, tj. F(x) = P(X< x).

Svojstva funkcije F(x)

3 . Zakon raspodjele se može postaviti grafički – distributivni poligon (poligon) (vidi problem 3).

Imajte na umu da za rješavanje nekih problema nije potrebno poznavati zakon raspodjele. U nekim slučajevima dovoljno je znati jedan ili više brojeva koji odražavaju najvažnije karakteristike zakona o raspodjeli. To može biti broj koji ima značenje "prosječne vrijednosti" slučajne varijable ili broj koji pokazuje prosječnu veličinu odstupanja slučajne varijable od njene prosječne vrijednosti. Brojevi ove vrste nazivaju se numeričkim karakteristikama slučajne varijable.

Osnovne numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable :

• Matematičko očekivanje (srednja vrijednost) diskretne slučajne varijable M(X)=Σ x i p i.
  Za binomnu distribuciju M(X)=np, za Poissonovu distribuciju M(X)=λ
• Disperzija diskretna slučajna varijabla D(X)=M2 ili D(X) = M(X 2) − 2. Razlika X–M(X) naziva se odstupanjem slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja.
  Za binomnu distribuciju D(X)=npq, za Poissonovu distribuciju D(X)=λ
• Standardna devijacija (standardna devijacija) σ(X)=√D(X).

Primjeri rješavanja zadataka na temu "Zakon distribucije diskretne slučajne varijable"

Zadatak 1.

Izdato je 1.000 lutrijskih listića: njih 5 će osvojiti 500 rubalja, 10 će osvojiti 100 rubalja, 20 će osvojiti 50 rubalja, a 50 će osvojiti 10 rubalja. Odrediti zakon distribucije vjerovatnoće slučajne varijable X - dobitak po listiću.

Odluka. Prema uslovu zadatka, moguće su sljedeće vrijednosti slučajne varijable X: 0, 10, 50, 100 i 500.

Broj tiketa bez dobitka je 1000 - (5+10+20+50) = 915, zatim P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Slično, nalazimo sve druge vjerovatnoće: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Rezultirajući zakon predstavljamo u obliku tabele:

Nađite matematičko očekivanje od X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Zadatak 3.

Uređaj se sastoji od tri nezavisna radna elementa. Vjerovatnoća kvara svakog elementa u jednom eksperimentu je 0,1. Napraviti zakon raspodjele za broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu, izgraditi poligon distribucije. Pronađite funkciju distribucije F(x) i nacrtajte je. Pronađite matematičko očekivanje, varijansu i standardnu ​​devijaciju diskretne slučajne varijable.

Odluka. 1. Diskretna slučajna varijabla X=(broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu) ima sljedeće moguće vrijednosti: x 1 =0 (nijedan od elemenata uređaja nije uspio), x 2 =1 (jedan element nije uspio), x 3 =2 ( dva elementa nisu uspjela) i x 4 \u003d 3 (tri elementa nisu uspjela).

Kvarovi elemenata su nezavisni jedan od drugog, vjerovatnoće kvara svakog elementa su međusobno jednake, stoga je primjenjiv Bernulijeva formula . S obzirom da pod uslovom, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, određujemo verovatnoće vrednosti:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Provjerite: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Dakle, željeni zakon binomne distribucije X ima oblik:

Na osi apscise iscrtavamo moguće vrijednosti x i, a na osi ordinata odgovarajuće vjerovatnoće r i. Konstruirajmo tačke M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Povezujući ove tačke sa segmentima, dobijamo željeni poligon distribucije.

3. Naći funkciju raspodjele F(x) = P(X

Za x ≤ 0 imamo F(x) = P(X<0) = 0;
za 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
za 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
za 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
za x > 3 biće F(x) = 1, jer događaj je siguran.

Grafikon funkcije F(x)

4. Za binomnu distribuciju X:
- matematičko očekivanje M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- disperzija D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standardna devijacija σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

RANDOM VRIJEDNOSTI

Razmotrimo prvo neke zakone raspodjele za diskretne slučajne varijable.

4.1 Binomna distribucija .

Neka je slučajna varijabla broj pojavljivanja nekog događaja u nizu nezavisna ispitivanja, u svakom od kojih je vjerovatnoća nastanka događaja
, ali vjerovatnoća da se događaj ne dogodi
Red distribucije takve vrijednosti ima oblik:

gdje
. Takva distributivna serija se zove binom . Matematičko očekivanje slučajne varijable
u ovom slučaju izgleda ovako:

(1)

Za izračunavanje ovog izraza, diferenciranje u odnosu na sljedeći izraz:
dobijamo

Ako pomnožimo ovu jednačinu sa , dobijamo

(2)

Ali
a onda se desni dijelovi jednakosti (1) i (2) poklapaju

Razlikujući isti izraz dvaput, dobijamo

Množenje rezultirajuće jednakosti sa , dobijamo:

dakle,

Odavde Toda

Dakle, za binomnu distribuciju:

Primjer. U metu je ispaljeno 20 nezavisnih hitaca. Verovatnoća pogađanja svakog udarca
. Pronađite matematičko očekivanje, varijansu i srednje kvadratno očekivanje broja pogodaka.

Slučajna vrijednost
- broj pogodaka, distribuiran prema binomskom zakonu

4.2 Poissonova distribucija.

Definicija. Diskretna slučajna varijabla
Ima

Poissonov zakon distribucije , ako je dat nizom distribucije

u kojoj su vjerovatnoće određene Poissonovom formulom

(3)

gdje ( - prosječan broj pojavljivanja događaja u nizu testova, u svakom od kojih je vjerovatnoća pojave događaja konstantna vrijednost
).

Iznosimo sljedeću teoremu bez dokaza.

TEOREMA. Matematičko očekivanje i varijansa slučajne varijable raspoređene prema Poissonovom zakonu poklapaju se i jednaki su parametru ovog zakona, tj.

Za dovoljno velike (uglavnom sa
) i male vrijednosti
pod uslovom da rad
- konstantna vrijednost (
), Poissonov zakon raspodjele je dobra aproksimacija binomskog zakona, tj. Poissonova raspodjela je asimptotska ekstenzija binomskog zakona. Ponekad se ovaj zakon naziva zakon retkih događaja. Prema Poissonovom zakonu, na primjer, distribuira se broj automatskih kvarova na liniji, broj kvarova sistema u „normalnom režimu“, broj kvarova u radu centrale itd.

4.3 Geometrijska raspodjela.

Definicija. Diskretna slučajna varijabla
Ima geometrijska distribucija , ako
, gdje za neki događaj,

a njegova distribucijska serija je:

U ovom slučaju, vjerovatnoće su beskonačno opadajuća geometrijska progresija i njen zbir

TEOREMA. U slučaju slučajne varijable koja ima geometrijsku distribuciju sa parametrom , matematičko očekivanje i varijansa se izračunavaju po formulama:

Primjer. U metu se puca do prvog pogotka. Verovatnoća pogađanja svakog udarca
.

Sastavite niz distribucije slučajne varijable
- “broj pogodaka”. Pronađite njegovo matematičko očekivanje i standardnu ​​devijaciju.

Prema teoremi

standardna devijacija

Hipergeometrijska distribucija .

Pusti žurku
dostupni proizvodi
standard. Slučajno odabrano proizvodi. Neka je slučajna varijabla
- broj standardnih proizvoda među odabranim. Očigledno, moguće vrijednosti ove slučajne varijable su:

Vjerojatnosti mogućih vrijednosti izračunavaju se po formuli:

Za ovu slučajnu varijablu, matematičko očekivanje se izračunava po formuli
i varijansa:

Primjer. Urna sadrži 5 bijelih i 3 crne kuglice. 3 loptice su nasumično odabrane. Sastavite seriju distribucije slučajne varijable
- broj bijelih loptica među odabranim. Pronađite njegovo matematičko očekivanje i varijansu.

Moguće vrijednosti ove slučajne varijable: 0, 1, 2, 3. pronađite njihove vjerovatnoće:

Dobijamo distributivnu seriju:

Matematičko očekivanje se može izračunati direktno koristeći dobro poznate formule, ili možete koristiti formule iz teoreme. U našem primjeru

. Onda

Sada razmotrimo glavne zakone distribucije kontinuiranih slučajnih varijabli.

4.5 Ujednačena distribucija.

Definicija. Kontinuirana slučajna varijabla ima uniformnu distribuciju na intervalu
, ako ima konstantnu vrijednost na ovom segmentu i jednaka je nuli izvan ovog segmenta, tj. njegov graf gustine izgleda ovako:

Pošto površina ispod grafa gustine distribucije mora biti jednaka jedan, onda
Onda

Njegova funkcija distribucije ima oblik:

i njen raspored

4.6 Eksponencijalna distribucija .

U praktičnim primenama teorije verovatnoće (npr.

mjere, u oblasti čekanja, istraživanja operacija, teorije pouzdanosti, u fizici, biologiji, itd.) često se mora raditi sa slučajnim varijablama koje imaju tzv. eksponencijalnu ili eksponencijalnu distribuciju.

Definicija. Kontinuirani slučajni broj
distribuiran preko show law , ako njegova gustina raspodjele vjerovatnoće ima oblik:

Grafikon ove funkcije:

0

Njegova funkcija distribucije je:

ima raspored

O

Očekivana vrijednost:

Primjer. Neka je slučajna varijabla
- vrijeme rada određenog mehanizma ima eksponencijalnu distribuciju. Odrediti vjerovatnoću da će mehanizam raditi najmanje 1000 sati ako je prosječno vrijeme njegovog rada 800 sati.

Po uslovu zadatka, matematičko očekivanje rada mehanizma
, a
. Onda

shodno tome,

Potrebna vjerovatnoća:

Komentar. Eksponencijalna distribucija se odnosi na jedno-neparametarski zakoni o distribuciji (zavisi samo od ).

4.7 Normalna distribucija.

Definicija.Normalno naziva se distribucija vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable, koja ima gustinu distribucije vjerovatnoće određena formulom:

(1)

Vidimo to normalna distribucija je definisana sa dva parametra : i . Da biste odredili normalnu distribuciju, dovoljno je navesti ova dva parametra.

Zakon normalne distribucije se vrlo široko koristi u praktičnim problemima. Pojavljuje se kada je slučajna varijabla
je rezultat djelovanja velikog broja različitih faktora. Svaki faktor pojedinačno blago utječe na slučajnu varijablu i nemoguće je reći koji od njih utječe više od ostalih. Primjeri slučajnih varijabli sa normalnom distribucijom su: odstupanje dimenzija dijelova koje je izradila mašina od standardnih; greške mjerenja; odstupanja pri gađanju mete i sl.

Glavni obrazac koji razlikuje normalni zakon od drugih zakona je da je on ograničavajući zakon, kojem drugi zakoni pristupaju, tj. sa dovoljno velikom vrednošću zbir nezavisnih slučajnih varijabli
, podložno svim zakonima distribucije, imat će distribuciju proizvoljno blisku normalnoj.

Funkcija distribucije normalno raspoređene slučajne varijable ima oblik

(2)

Po definiciji matematičkog očekivanja kontinuirane slučajne varijable,

Hajde da uvedemo novu varijablu

Uzimajući u obzir da su nove granice integracije jednake starim, dobijamo

Prvi član je jednak nuli, kao integral nad simetričnim intervalom neparne funkcije. Drugi od pojmova je (Poissonov integral
).

Dakle, matematičko očekivanje normalno raspoređene slučajne varijable

Po definiciji disperzije kontinuirane slučajne varijable, s obzirom na to
, dobijamo

Hajde da uvedemo novu varijablu

Get
Primjenom formule integracije po dijelovima i prethodnih proračuna, dobijamo
Onda
Dakle, drugi parametar normalne distribucije je standardna devijacija.

Bilješka.normalizovano naziva se normalna distribucija sa parametrima
Gustoća normalizirane distribucije je data funkcijom:

(3)

čije vrijednosti se mogu pronaći direktno ili koristiti odgovarajuće tablice koje se mogu naći u svim direktorijima. Normalizirana funkcija raspodjele ima oblik
. Tada se opća normalna funkcija raspodjele data formulom (2) izražava formulom
. Vjerovatnoća pogađanja normalizirane normalno distribuirane slučajne varijable
u intervalu
određeno korištenjem Laplaceove funkcije
, čije su vrijednosti također navedene u tabelama. Zaista,

S obzirom na to
(prema svojstvu gustine raspodjele), zbog simetrije funkcije
u odnosu na tačku
:

Onda

Zove se dijagram gustine normalne distribucije normalna kriva ili Gaussova kriva .

Hajde da istražimo funkciju:

Definiran je na cijeloj brojevnoj pravoj i pozitivan je za sve . Uz neograničeno povećanje ova funkcija teži nuli, tj.
Derivat ove funkcije
.

Izvod je 0 u tački
i mijenja znak u ovom trenutku iz "+" u "-", tj.
- maksimalna tačka i u ovoj tački
. Nakon što smo pronašli drugi izvod funkcije, možemo saznati da graf funkcije ima infleksije u tačkama
. Šematski, graf izgleda ovako:

0

Za normalno distribuiranu slučajnu varijablu, vjerovatnoća pada u dati interval
izračunava se na sljedeći način:

Hajde da napravimo zamenu
.

gdje
.

dakle,

(4)

Primjer. Masa vagona je slučajna varijabla raspoređena prema normalnom zakonu s matematičkim očekivanjem od 65 tona i standardnom devijacijom
m. Nađite vjerovatnoću da sljedeći vagon ima masu ne veću od 70 tona i ne manju od 60 tona

Ponekad je potrebno izračunati vjerovatnoću da slučajna vrijednost po modulu odstupa od srednje vrijednosti za manje od neke vrijednosti , tj.
. Da bismo izračunali ovu vjerovatnoću, možemo koristiti prethodnu formulu. Zaista:

uzimajući u obzir neparnost funkcije
. shodno tome,

(5)

Primjer. Vjerojatnost da je normalno raspoređen slučajni slučaj s matematičkim očekivanjem
odstupaju od prosječne vrijednosti za manje od
jednako 0,09. Kolika je vjerovatnoća da ova slučajna varijabla padne u interval (30, 35)?

po uslovu,
Onda
Prema tablici vrijednosti Laplaceove funkcije, dobijamo:
Tada je tražena vjerovatnoća, prema formuli (4),

Pravilo tri sigma.

U formuli (5) postavljamo
, dobijamo

Ako a
i stoga
, dobijamo:

one. vjerovatnoća da je odstupanje apsolutne vrijednosti slučajne varijable od srednje vrijednosti manje od tri puta standardne devijacije je 0,9973, tj. veoma blizu jedinstva.

Pravilo tri sigme je za normalno raspoređenu slučajnu varijablu apsolutna vrijednost njegovog odstupanja od srednje vrijednosti ne prelazi tri puta srednje kvadratno odstupanje. U praksi se ovo pravilo primjenjuje na sljedeći način: Ako je distribucija slučajne varijable nepoznata, ali je pravilo tri sigma zadovoljeno za njene parametre, onda postoji razlog za pretpostavku da je ona distribuirana prema normalnom zakonu.

Možemo izdvojiti najčešće zakone distribucije diskretnih slučajnih varijabli:

• Zakon binomne distribucije
• Poissonov zakon distribucije
• Geometrijski zakon raspodjele
• Hipergeometrijski zakon raspodjele

Za date distribucije diskretnih slučajnih varijabli izračunavanje vjerovatnoća njihovih vrijednosti, kao i numeričkih karakteristika (matematičko očekivanje, varijansa, itd.) vrši se prema određenim "formulama". Stoga je veoma važno poznavati ove vrste distribucija i njihova osnovna svojstva.

1. Zakon binomne distribucije.

Diskretna slučajna varijabla $X$ podliježe binomnoj raspodjeli vjerovatnoće ako uzima vrijednosti $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ sa vjerovatnoćama $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. U stvari, slučajna varijabla $X$ je broj pojavljivanja događaja $A$ u $n$ nezavisnim ispitivanjima. Zakon raspodjele vjerovatnoće za slučajnu varijablu $X$:

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\lijevo(0\desno) & P_n\lijevo(1\desno) & \tačke & P_n\lijevo(n\desno) \\
\hline
\end(niz)$

Za takvu slučajnu varijablu, očekivanje je $M\left(X\right)=np$, varijansa je $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Primjer . U porodici ima dvoje djece. Pretpostavljajući da su vjerovatnoće rođenja dječaka i djevojčice jednake $0,5$, pronađite zakon raspodjele slučajne varijable $\xi $ - broj dječaka u porodici.

Neka je slučajna varijabla $\xi $ broj dječaka u porodici. Vrijednosti koje $\xi:\ 0,\ ​​1,\ 2$ može uzeti. Vjerovatnoće ovih vrijednosti mogu se naći po formuli $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, gdje je $n =2$ - broj nezavisnih pokušaja, $p=0,5$ - vjerovatnoća pojave događaja u seriji od $n$ pokušaja. Dobijamo:

$P\left(\xi =0\desno)=C^0_2\cdot (0.5)^0\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-0)=(0, 5)^2 =0,25;$

$P\left(\xi =1\desno)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2=0,25.$

Tada je zakon raspodjele slučajne varijable $\xi $ korespondencija između vrijednosti $0,\ 1,\ 2$ i njihovih vjerovatnoća, tj.:

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(niz)$

Zbir vjerovatnoća u zakonu distribucije mora biti jednak $1$, tj. $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+0, 25 =$1.

Očekivanje $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, varijansa $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, standardna devijacija $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5)\približno 0.707 $.

2. Poissonov zakon distribucije.

Ako diskretna slučajna varijabla $X$ može uzeti samo nenegativne cjelobrojne vrijednosti $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ sa vjerovatnoćama $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\preko (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Komentar. Posebnost ove distribucije je da na osnovu eksperimentalnih podataka nalazimo procjene $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, ako su dobijene procjene bliske jedna drugoj, onda ćemo imaju razloga da tvrde da je slučajna varijabla podložna Poissonovom zakonu distribucije.

Primjer . Primjeri slučajnih varijabli koje podliježu Poissonovom zakonu distribucije mogu biti: broj automobila koje će sutra servisirati benzinska pumpa; broj neispravnih artikala u proizvedenom proizvodu.

Primjer . Fabrika je poslala 500$ proizvoda u bazu. Vjerovatnoća oštećenja proizvoda u transportu je 0,002$. Naći zakon raspodjele slučajne varijable $X$ jednak broju oštećenih proizvoda; što je jednako $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.

Neka je diskretna slučajna varijabla $X$ broj oštećenih stavki. Takva slučajna varijabla podliježe Poissonovom zakonu raspodjele sa parametrom $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$. Vjerovatnoće vrijednosti su $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\lijevo(X=0\desno)=((1^0)\preko (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\lijevo(X=1\desno)=((1^1)\preko (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\lijevo(X=2\desno)=((1^2)\preko (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\lijevo(X=3\desno)=((1^3)\preko (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\lijevo(X=4\desno)=((1^4)\preko (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\lijevo(X=5\desno)=((1^5)\preko (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\lijevo(X=6\desno)=((1^6)\preko (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\levo(X=k\desno)=(((\lambda )^k)\preko (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Zakon distribucije slučajne varijable $X$:

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\preko (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(niz)$

Za takvu slučajnu varijablu, matematičko očekivanje i varijansa su međusobno jednake i jednake su parametru $\lambda $, tj. $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 $.

3. Geometrijski zakon raspodjele.

Ako diskretna slučajna varijabla $X$ može uzeti samo prirodne vrijednosti $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ sa vjerovatnoćama $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) desno)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, onda kažemo da takva slučajna varijabla $X$ podliježe geometrijskom zakonu distribucije vjerovatnoće. U stvari, čini se da je geometrijska distribucija Bernulijeva pokušaja do prvog uspjeha.

Primjer . Primjeri slučajnih varijabli koje imaju geometrijsku distribuciju mogu biti: broj hitaca prije prvog pogotka u metu; broj testova uređaja prije prvog kvara; broj bacanja novčića prije prvog heads up-a i tako dalje.

Matematičko očekivanje i varijansa slučajne varijable koja podliježe geometrijskoj distribuciji su respektivno jednake $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\) desno)/p^ 2$.

Primjer . Na putu kretanja ribe do mjesta mrijesta nalazi se brava od 4$. Vjerovatnoća da riba prođe kroz svaku bravu je $p=3/5$. Konstruirajte seriju distribucije slučajne varijable $X$ - broja brava koje je riba prošla prije prvog zaustavljanja na bravi. Pronađite $M\left(X\desno),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.

Neka slučajna varijabla $X$ bude broj otvora koje je riba prošla prije prvog zaustavljanja na otvoru. Takva slučajna varijabla podliježe geometrijskom zakonu distribucije vjerovatnoće. Vrijednosti koje slučajna varijabla $X može uzeti su: 1, 2, 3, 4. Vjerovatnoće ovih vrijednosti se izračunavaju po formuli: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, gdje je: $ p=2/5$ - vjerovatnoća hvatanja ribe kroz prevodnicu, $q=1-p=3/5$ - vjerovatnoća da će riba proći kroz prevodnicu, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.

$P\left(X=1\desno)=((2)\preko (5))\cdot (\left(((3)\preko (5))\desno))^0=((2)\ preko(5))=0.4;$

$P\left(X=2\desno)=((2)\preko (5))\cdot ((3)\preko (5))=((6)\preko (25))=0,24; $

$P\left(X=3\desno)=((2)\preko (5))\cdot (\left(((3)\preko (5))\desno))^2=((2)\ preko (5))\cdot ((9)\preko (25))=((18)\preko (125))=0,144;$

$P\left(X=4\desno)=((2)\preko (5))\cdot (\left(((3)\preko (5))\desno))^3+(\left(( (3)\preko (5))\desno))^4=((27)\preko (125))=0,216.$

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\lijevo(X_i\desno) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(niz)$

Očekivana vrijednost:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

disperzija:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ lijevo(1-2,176\desno))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\desno))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\desno))^2+$

$+\ 0.216\cdot (\levo(4-2.176\desno))^2\približno 1.377.$

Standardna devijacija:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\približno 1,173.$

4. Hipergeometrijski zakon raspodjele.

Ako postoji $N$ objekata, među kojima $m$ objekti imaju dato svojstvo. Nasumično, bez zamjene, izdvajaju se $n$ objekata, među kojima ima $k$ objekata koji imaju dato svojstvo. Hipergeometrijska distribucija omogućava procjenu vjerovatnoće da tačno $k$ objekata u uzorku imaju dato svojstvo. Neka slučajna varijabla $X$ bude broj objekata u uzorku koji imaju dato svojstvo. Tada su vjerovatnoće vrijednosti slučajne varijable $X$:

$P\levo(X=k\desno)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\preko (C^n_N))$

Komentar. Statistička funkcija HYPERGEOMET čarobnjaka za funkcije Excel $f_x$ omogućava vam da odredite vjerovatnoću da će određeni broj pokušaja biti uspješan.

$f_x\u $ statistički$\do $ HYPERGEOMET$\do $ uredu. Pojavit će se dijaloški okvir koji trebate popuniti. U grafikonu Broj_uspjeha_u_uzorku navedite vrijednost $k$. veličina uzorka jednako $n$. U grafikonu Broj_uspjeha_u_populaciji navedite vrijednost $m$. Population_size jednako $N$.

Matematičko očekivanje i varijansa diskretne slučajne varijable $X$ koja podliježe geometrijskom zakonu raspodjele su $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left) (1 -((m)\preko (N))\desno)\lijevo(1-((n)\preko (N))\desno))\preko (N-1))$.

Primjer . U kreditnom odjelu banke zaposleno je 5 specijalista sa višom finansijskom stručnom spremom i 3 specijalista sa višom pravnom spremom. Rukovodstvo banke je odlučilo da pošalje 3 stručnjaka na usavršavanje, birajući ih nasumično.

a) Napraviti seriju distribucije broja specijalista sa visokim finansijskim obrazovanjem koji se mogu uputiti na usavršavanje;

b) Pronađite numeričke karakteristike ove distribucije.

Neka je slučajna varijabla $X$ broj specijalista sa visokim finansijskim obrazovanjem među tri odabrana. Vrijednosti koje $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$ može uzeti. Ova slučajna varijabla $X$ se distribuira prema hipergeometrijskoj distribuciji sa sljedećim parametrima: $N=8$ - veličina populacije, $m=5$ - broj uspjeha u populaciji, $n=3$ - veličina uzorka, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - broj uspjeha u uzorku. Tada se vjerovatnoće $P\left(X=k\desno)$ mogu izračunati pomoću formule: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ preko C_( N)^(n) ) $. Imamo:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\preko (C^3_8))=((1)\preko (56))\približno 0,018;$

$P\left(X=1\desno)=((C^1_5\cdot C^2_3)\preko (C^3_8))=((15)\preko (56))\približno 0,268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\preko (C^3_8))=((15)\preko (28))\približno 0,536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\preko (C^3_8))=((5)\preko (28))\približno 0,179.$

Zatim serija distribucije slučajne varijable $X$:

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(niz)$

Izračunajmo numeričke karakteristike slučajne varijable $X$ koristeći opšte formule hipergeometrijske distribucije.

$M\left(X\desno)=((nm)\preko (N))=((3\cdot 5)\preko (8))=((15)\preko (8))=1,875.$

$D\lijevo(X\desno)=((nm\lijevo(1-((m)\preko (N))\desno)\lijevo(1-((n)\preko (N))\desno)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\preko (8))\desno)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\desno))\preko (8-1))=((225)\preko (448))\cca 0,502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\približno 0,7085.$