Neka bude r N X X Y.
funkcionalni odnos je binarna relacija r, u kojoj svaki element odgovara tačno jedan tako da par pripada nekoj vezi ili sličnom uopšte ne postoji: ili.
Funkcionalni odnos - ovo je binarna relacija r, za koji: .
Svuda određeni odnos– binarna relacija r, za koji D r =X(„nema usamljenih X").
Surjektivna relacija– binarna relacija r, za koji J r = Y(„nema usamljenih y").
Injektivna relacija je binarna relacija u kojoj različito X odgovaraju različitim at.
Bijection– funkcionalna, svuda definisana, injektivna, surjektivna relacija, definiše jedan-na-jedan korespondenciju skupova.
Na primjer:
Neka bude r= ( (x, y) O R 2 | y 2 + x 2 = 1, y > 0 ).
Stav r- funkcionalan,
nije svuda definisan („postoje usamljeni X"),
nisu injektivni (postoje različiti X, at),
nije surjektivno („postoje usamljeni at"),
nije bijekcija.
Na primjer:
Neka je K= ((x,y) n R 2 | y = x+1)
Relacija à je funkcionalna,
Relacija Ã- je svuda definisana („nema usamljenih X"),
Relacija Ã- je injektivna (nema razlika X, koji odgovaraju istom at),
Relacija Ã- je surjektivna („nema usamljenih at"),
Relacija à je bijektivna, međusobno homogena korespondencija.
Na primjer:
Neka je j=((1,2), (2,3), (1,3), (3,4), (2,4), (1,4)) definirano na skupu N 4.
Relacija j nije funkcionalna, x=1 odgovara tri y: (1,2), (1,3), (1,4)
Relacija j - nije svuda definisana D j =(1,2,3)¹ N 4
Relacija j - nije surjektivna I j =(1,2,3)¹ N 4
Relacija j nije injektivna, različiti x odgovaraju istom y, na primjer (2,3) i (1,3).
Zadatak za laboratorijske radove
1. Setovi su dati N1 I N2. Izračunaj skupove:
(N1 X N2) Z (N2 X N1);
(N1 X N2) È (N2 X N1);
(N1 Ç N2) x (N1 Ç N2);
(N1 → N2) x (N1 → N2),
gdje N1 = ( cifre broja knjiga rekorda, poslednja tri };
N2 = ( broj datuma i mjeseca rođenja }.
2. Odnosi r I g postavljeno na setu N 6 \u003d (1,2,3,4,5,6).
Opišite odnose r,g,r -1 , r ○g, r- 1 ○g lista parova.
Pronađite matrice odnosa r I g.
Za svaku relaciju definirajte domen definicije i raspon vrijednosti.
Definirajte svojstva odnosa.
Identifikovati relacije ekvivalencije i konstruisati klase ekvivalencije.
Identifikujte odnose narudžbi i klasifikujte ih.
1) r= { (m,n) | m > n)
g= { (m,n) | poređenje po modulu 2 }
2) r= { (m,n) | (m - n) djeljivo sa 2 }
g= { (m,n) | m razdjelnik n)
3) r= { (m,n) | m< n }
g= { (m,n) | poređenje po modulu 3 }
4) r= { (m,n) | (m+n)- čak }
g= { (m,n) | m 2 \u003d n)
5) r= { (m,n) | m/n- stepen 2 }
g= { (m,n) | m = n)
6) r= { (m,n) | m/n-čak }
g = ((m,n) | m³ n)
7) r= { (m,n) | m/n- odd }
g= { (m,n) | poređenje po modulu 4 }
8) r= { (m,n) | m*n-čak }
g= { (m,n) | m£ n)
9) r= { (m,n) | poređenje po modulu 5 }
g= { (m,n) | m podijeljena n)
10) r= { (m,n) | m- čak, n- čak }
g= { (m,n) | m razdjelnik n)
11) r= { (m,n) | m = n)
g= { (m,n) | (m+n)£ 5 }
12) r={ (m,n) | m I n imaju isti ostatak kada se podijeli sa 3 }
g= { (m,n) | (m-n)³2 }
13) r= { (m,n) | (m+n) je djeljiv sa 2 }
g = ((m,n) | £2 (m-n)£4 }
14) r= { (m,n) | (m+n) djeljivo sa 3 }
g= { (m,n) | m¹ n)
15) r= { (m,n) | m I n imaju zajednički djelitelj }
g= { (m,n) | m2£ n)
16) r= { (m,n) | (m - n) je djeljiv sa 2 }
g= { (m,n) | m< n +2 }
17) r= { (m,n) | poređenje po modulu 4 }
g= { (m,n) | m£ n)
18) r= { (m,n) | m u potpunosti podijeljen na n)
g= { (m,n) | m¹ n, m-čak }
19) r= { (m,n) | poređenje po modulu 3 }
g= { (m,n) | 1 £ (m-n)£3 }
20) r= { (m,n) | (m - n) djeljivo sa 4 }
g= { (m,n) | m¹ n)
21) r= { (m,n) | m- čudno, n- čudno }
g= { (m,n) | m£ n, n-čak }
22) r= { (m,n) | m I n imaju neparan ostatak kada se podijeli sa 3 }
g= { (m,n) | (m-n)³1 }
23) r= { (m,n) | m*n- odd }
g= { (m,n) | poređenje po modulu 2 }
24) r= { (m,n) | m*n-čak }
g= { (m,n) | 1 £ (m-n)£3 }
25) r= { (m,n) | (m+ n)-čak }
g= { (m,n) | m nije djeljivo sa n)
26) r= { (m,n) | m = n)
g= { (m,n) | m u potpunosti podijeljen na n)
27) r= { (m,n) | (m-n)-čak }
g= { (m,n) | m razdjelnik n)
28) r= { (m,n) | (m-n)³2 }
g= { (m,n) | m u potpunosti podijeljen na n)
29) r= { (m,n) | m2³ n)
g= { (m,n) | m / n- odd }
30) r= { (m,n) | m³ n, m -čak }
g= { (m,n) | m I n imaju zajednički djelitelj koji nije 1 }
3. Odrediti da li je data relacija f- funkcionalna, svuda definisana, injektivna, surjektivna, bijekcija ( R- mnogo realni brojevi). Izgradite graf odnosa, odredite domen definicije i raspon vrijednosti.
Uradite isti zadatak za odnose r I g iz tačke 3. laboratorijskog rada.
1) f=( (x, y) Î R 2 | y=1/x +7x )
2) f=( (x, y) Î R 2 | x³ y )
3) f=( (x, y) Î R 2 | y³ x )
4) f=( (x, y) Î R 2 | y³ x, x³ 0 }
5) f=( (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 = 1)
6) f=( (x, y) Î R 2 | 2 | y | + | x | = 1)
7) f=( (x, y) Î R 2 | x+y£ 1 }
8) f=( (x, y) Î R 2 | x = y 2 )
9) f=( (x, y) Î R 2 | y = x 3 + 1)
10) f=( (x, y) Î R 2 | y = -x 2 )
11) f=( (x, y) Î R 2 | | y | + | x | = 1)
12) f=( (x, y) Î R 2 | x = y -2 )
13) f=( (x, y) Î R 2 | y2 + x2³ 1,y> 0 }
14) f=( (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 = 1, x> 0 }
15) f=( (x, y) Î R 2 | y2 + x2£ 1,x> 0 }
16) f=( (x, y) Î R 2 | x = y2 ,x³ 0 }
17) f=( (x, y) Î R 2 | y = sin(3x + p) )
18) f=( (x, y) Î R 2 | y = 1/cos x )
19) f=( (x, y) Î R 2 | y=2| x | + 3 )
20) f=( (x, y) Î R 2 | y=| 2x+1| )
21) f=( (x, y) Î R 2 | y = 3 x )
22) f=( (x, y) Î R 2 | y=e-x)
23) f =( (x, y)Î R 2 | y=e | x | )
24) f=( (x, y) Î R 2 | y = cos(3x) - 2 )
25) f=( (x, y) Î R 2 | y = 3x 2 - 2 )
26) f=( (x, y) Î R 2 | y = 1 / (x + 2) )
27) f=( (x, y) Î R 2 | y = ln(2x) - 2 )
28) f=( (x, y) Î R 2 | y=| 4x -1| + 2 )
29) f=( (x, y) Î R 2 | y = 1 / (x 2 + 2x-5))
30) f=( (x, y) Î R 2 | x = y 3, y³ - 2 }.
test pitanja
2. Definicija binarne relacije.
3. Metode za opisivanje binarnih relacija.
4. Obim definicije i raspon vrijednosti.
5. Svojstva binarnih relacija.
6. Relacija ekvivalencije i klase ekvivalencije.
7. Odnosi reda: strogi i nestrogi, puni i parcijalni.
8. Klase ostataka po modulu m.
9. Funkcionalni odnosi.
10. Injekcija, surjekcija, bijekcija.
Odnosi. Osnovni pojmovi i definicije
Definicija 2.1.naručeni par<x, y> je skup dva elementa x I y raspoređeni po određenom redosledu.
Dva naručena para<x, y> i<u, v> su jednaki jedni drugima ako i samo ako x = u I y= v.
Primjer 2.1.
<a, b>, <1, 2>, <x, 4> su uređeni parovi.
Slično, možemo uzeti u obzir trojke, četvorke, n-ki elementi<x 1 , x 2 ,…xn>.
Definicija 2.2.Direktno(ili Kartezijanski)rad dva seta A I B je skup uređenih parova tako da prvi element svakog para pripada skupu A, a drugi - na set B:
A ´ B = {<a, b>, ç aÎ ALI I bÏ IN}.
Općenito, direktni proizvod n setovi ALI 1 ,ALI 2 ,…A n se zove skup ALI jedan ALI 2 ´ …´ A n, koji se sastoji od uređenih skupova elemenata<a 1 , a 2 , …,a n> dužina n, takav da ja- th a i pripada skupu A i,a i Î A i.
Primjer 2.2.
Neka bude ALI = {1, 2}, IN = {2, 3}.
Onda A ´ B = {<1, 2>, <1, 3>,<2, 2>,<2, 3>}.
Primjer 2.3.
Neka bude ALI= {x ç0 £ x£ 1) i B= {yç2 £ y£3)
Onda A ´ B = {<x, y >, ç0 £ x£1&2 £ y£3).
Dakle, set A ´ B sastoji se od tačaka koje leže unutar i na granici pravougaonika formiranog pravim linijama x= 0 (y-osa), x= 1,y= 2and y = 3.
Francuski matematičar i filozof Descartes bio je prvi koji je predložio koordinatni prikaz tačaka u ravni. Ovo je istorijski prvi primjer direktnog rada.
Definicija 2.3.binarni(ili duplo)odnos r naziva se skup uređenih parova.
Ako par<x, y> pripada r, tada se piše na sljedeći način:<x, y> Î r ili, što je isto, xr y.
Primjer 2.4.
r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>}
Slično, može se definisati n-lokalni odnos kao skup uređenih n-UREDU.
Pošto je binarna relacija skup, načini specificiranja binarne relacije su isti kao i načini specificiranja skupa (pogledajte odeljak 1.1). Binarna relacija se može specificirati navođenjem uređenih parova ili specificiranjem zajedničko vlasništvo naručenih parova.
Primjer 2.5.
1. r = {<1, 2>, <2, 1>, <2, 3>) – relacija je data nabrajanjem uređenih parova;
2. r = {<x, y> ç x+ y = 7, x, y su realni brojevi) – odnos se specificira specificiranjem svojstva x+ y = 7.
Osim toga, može se dati binarna relacija matrica binarnih relacija. Neka bude ALI = {a 1 , a 2 , …, a n) je konačan skup. matrica binarnih relacija C jesti kvadratna matrica red n, čiji elementi c ij definisani su kako slijedi:
Primjer 2.6.
ALI= (1, 2, 3, 4). Hajde da definišemo binarnu relaciju r na tri navedena načina.
1. r = {<1, 2>, <1, 3>, <1, 4>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>) – relacija je data nabrajanjem svih uređenih parova.
2. r = {<a i, aj> ç a i < aj; a i, ajÎ ALI) – relacija se specificira specificiranjem svojstva "manje od" na skupu ALI.
3. - relacija je data matricom binarne relacije C.
Primjer 2.7.
Razmotrimo neke binarne relacije.
1. Relacije na skupu prirodnih brojeva.
a) relacija £ vrijedi za parove<1, 2>, <5, 5>, ali nije zadovoljan za par<4, 3>;
b) relacija "imaju zajednički djelitelj osim jedan" vrijedi za parove<3, 6>, <7, 42>, <21, 15>, ali nije zadovoljan za par<3, 28>.
2. Relacije na skupu tačaka realne ravni.
a) relacija "biti na istoj udaljenosti od tačke (0, 0)" važi za tačke (3, 4) i (–2, Ö21), ali ne važi za tačke (1, 2) i (5, 3);
b) relacija "da bude simetrična oko ose OY" se izvodi za sve tačke ( x, y) I (- x, –y).
3. Odnosi na različitim ljudima.
a) stav "živjeti u jednom gradu";
b) stav "učiti u jednoj grupi";
c) stav "biti stariji".
Definicija 2.4. Domen binarne relacije r je skup D r = (x ç postoji y takvo da je xr y).
Definicija 2.5. Opseg binarne relacije r je skup R r = (y – postoji x takav da je xr y).
Definicija 2.6. Domen binarne relacije r je skup M r = D r ÈR r .
Koristeći koncept direktnog proizvoda, možemo napisati:
rÎ D r´ R r
Ako D r= R r = A, onda kažemo da je binarna relacija r postavljeno na setu A.
Primjer 2.8.
Neka bude r = {<1, 3>, <3, 3>, <4, 2>}.
Onda D r ={1, 3, 4}, R r = {3, 2}, Gospodin= {1, 2, 3, 4}.
Operacije na odnosima
Pošto su relacije skupovi, sve operacije nad skupovima vrijede za relacije.
Primjer 2.9.
r 1 = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.
r 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 4>}.
r 1 È r 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>}.
r 1 Z r 2 = {<1, 2>}.
r 1 \ r 2 = {<2, 3>, <3, 4>}.
Primjer 2.10.
Neka bude R- mnogo realni brojevi. Razmotrimo sljedeće relacije na ovom skupu:
r 1 - "£"; r 2 – " = "; r 3 – " < "; r 4 - "³"; r 5 – " > ".
r 1 = r 2 È r 3 ;
r 2 = r 1 Z r 4 ;
r 3 = r 1 \ r 2 ;
r 1 = ;
Definiramo još dvije operacije na odnosima.
Definicija 2.7. Relacija se zove obrnuto na stav r(označeno r- 1) ako
r- 1 = {<x, y> ç< y, x> Î r}.
Primjer 2.11.
r = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.
r- 1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>}.
Primjer 2.12.
r = {<x, y> ç x – y = 2, x, y Î R}.
r- 1 = {<x, y> ç< y, x> Î r} = r- 1 = {<x, y> ç y–x = 2, x, y Î R} = {<x, y> ç– x+ y = 2, x, y Î R}.
Definicija 2.8.Kompozicija dva omjera r i s se zove omjer
s r= {<x, z> postoji takav y, šta<x, y> Î r I< y, z> Î s}.
Primjer 2.13.
r = {<x, y> ç y = sinx}.
s= {<x, y> ç y = Ö x}.
s r= {<x, z> postoji takav y, šta<x, y> Î r I< y, z> Î s} = {<x, z> postoji takav y, šta y = sinx I z= Ö y} = {<x, z> ç z= Ö sinx}.
Definicija sastava dvije relacije odgovara definiciji kompleksne funkcije:
y = f(x), z= g(y) Þ z= g(f(x)).
Primjer 2.14.
r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <3, 1>}.
s = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <3, 2>, <3, 3>}.
Proces pronalaženja s r u skladu s definicijom sastava, zgodno ga je predstaviti tablicom u kojoj je implementirano nabrajanje svih mogućih vrijednosti x, y, z. za svaki par<x, y> Î r razmotriti sve moguće parove< y, z> Î s(Tabela 2.1).
Tabela 2.1
| <x, y> Î r | < y, z> Î s | <x, z> Î s r |
| <1, 1> <1, 1> <1, 2> <1, 3> <1, 3> <3, 1> <3, 1> | <1, 2> <1, 3> <2, 2> <3, 2> <3, 3> <1, 2> <1, 3> | <1, 2> <1, 3> <1, 2> <1, 2> <1, 3> <3, 2> <3, 3> |
Imajte na umu da prvi, treći i četvrti, kao i drugi i peti red posljednje kolone tabele sadrže identične parove. Tako dobijamo:
s r= {<1, 2>, <1, 3>, <3, 2>, <3, 3>}.
Relationship Properties
Definicija 2.9. Stav r pozvao reflektirajuće na setu X, ako postoji xÎ X izvedeno xr x.
Iz definicije proizlazi da bilo koji element<x,x > Î r.
Primjer 2.15.
a) Neka X je konačan skup X= (1, 2, 3) i r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 2>, <3, 1>, <3, 3>). Stav r refleksivno. Ako X je konačan skup, onda glavna dijagonala refleksivne relacijske matrice sadrži samo jedinice. Za naš primjer
b) Neka X r odnos jednakosti. Ovaj odnos je refleksivan, pošto svaki broj je jednak samom sebi.
c) Neka X- puno ljudi i r stav "živjeti u jednom gradu". Ovaj odnos je refleksivan, pošto svako živi u istom gradu sa sobom.
Definicija 2.10. Stav r pozvao simetrično na setu X, ako postoji x, yÎ X od xry trebalo bi god x.
Očigledno je da r simetrično ako i samo ako r = r- 1 .
Primjer 2.16.
a) Neka X je konačan skup X= (1, 2, 3) i r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <3, 1>, <3, 3>). Stav r simetrično. Ako X je konačan skup, tada je matrica simetričnog omjera simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu. Za naš primjer
b) Neka X je skup realnih brojeva i r odnos jednakosti. Ova relacija je simetrična, pošto ako x jednaki y, zatim i y jednaki x.
c) Neka X- mnogi studenti i r stav "učenja u jednoj grupi". Ova relacija je simetrična, pošto ako x studira u istoj grupi y, zatim i y studira u istoj grupi x.
Definicija 2.11. Stav r pozvao tranzitivan na setu X, ako postoji x, y,zÎ X od xry I yrz trebalo bi xrz.
Istovremeno ispunjenje uslova xry, yrz, xrz znači da je par<x,z>pripada sastavu r r. Dakle, za tranzitivnost r neophodno i dovoljno da se set r r bio podskup r, tj. r rÍ r.
Primjer 2.17.
a) Neka X je konačan skup X= (1, 2, 3) i r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>, <1, 3>). Stav r je tranzitivan, jer zajedno sa parovima<x,y>i<y,z>ima par<x,z>. Na primjer, zajedno sa parovima<1, 2>, And<2, 3>postoji par<1, 3>.
b) Neka X je skup realnih brojeva i r odnos £ (manji ili jednak). Ova relacija je tranzitivna, pošto ako x£ y I y£ z, onda x£ z.
c) Neka X- puno ljudi i r stav starijeg. Ova relacija je tranzitivna, pošto ako x stariji y I y stariji z, onda x stariji z.
Definicija 2.12. Stav r pozvao odnos ekvivalencije na setu X, ako je refleksivan, simetričan i tranzitivan na skupu X.
Primjer 2.18.
a) Neka X je konačan skup X= (1, 2, 3) i r = {<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>). Stav r je relacija ekvivalencije.
b) Neka X je skup realnih brojeva i r odnos jednakosti. Ovo je relacija ekvivalencije.
c) Neka X- mnogi studenti i r stav "učenja u jednoj grupi". Ovo je relacija ekvivalencije.
Neka bude r X.
Definicija 2.13. Neka bude r je relacija ekvivalencije na skupu X I xÎ X. Ekvivalentna klasa, generiran od strane elementa x, naziva se podskup skupa X, koji se sastoji od tih elemenata yÎ X, za koji xry. Klasa ekvivalentnosti koju generiše element x, označeno sa [ x].
Na ovaj način, [ x] = {yÎ X|xry}.
Klase ekvivalencije formiraju particija setovi X, tj. sistem nepraznih parno disjunktnih podskupova njegovih podskupova čija se unija poklapa sa cijelim skupom X.
Primjer 2.19.
a) Relacija jednakosti na skupu cijelih brojeva generiše sljedeće klase ekvivalencije: za bilo koji element x iz ovog seta [ x] = {x), tj. svaka klasa ekvivalencije sastoji se od jednog elementa.
b) Klasa ekvivalencije koju generiše par<x, y> određuje se omjerom:
[<x, y>] = .
Svaka klasa ekvivalencije koju generiše par<x, y> definira jedan racionalni broj.
c) Za odnos pripadnosti jednoj grupi učenika, klasa ekvivalencije je skup učenika jedne grupe.
Definicija 2.14. Stav r pozvao antisimetrično na setu X, ako postoji x, yÎ X od xry I god x trebalo bi x = y.
Iz definicije antisimetrije slijedi da kad god je par<x,y> u isto vrijeme u vlasništvu r I r- 1, jednakost x = y. Drugim riječima, r Ç r- 1 se sastoji samo od parova oblika<x,x >.
Primjer 2.20.
a) Neka X je konačan skup X= (1, 2, 3) i r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>). Stav r antisimetrično.
Stav s= {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 3>, <3, 3>) nije antisimetrična. Na primjer,<1, 2> Î s, I<2, 1> Î s, ali 1 №2.
b) Neka X je skup realnih brojeva i r odnos £ (manji ili jednak). Ova relacija je antisimetrična, jer ako x £ y, And y £ x, onda x = y.
Definicija 2.15. Stav r pozvao parcijalni odnos poretka(ili samo djelimična narudžba) na setu X, ako je refleksivan, antisimetričan i tranzitivan na setu X. Mnogo X u ovom slučaju se naziva djelimično uređenim, a ova relacija se često označava simbolom £, ako to ne dovodi do nesporazuma.
Relacija inverzna odnosu parcijalnog reda očito će biti relacija parcijalnog reda.
Primjer 2.21.
a) Neka X je konačan skup X= (1, 2, 3) i r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>). Stav r
b) Stav ALIÍ IN na skupu podskupova nekog skupa U je odnos parcijalnog poretka.
c) Relacija djeljivosti na skupu prirodnih brojeva je relacija parcijalnog reda.
Funkcije. Osnovni pojmovi i definicije
IN matematička analiza usvojena je sljedeća definicija funkcije.
Varijabilna y naziva se funkcija varijable x, ako, prema nekom pravilu ili zakonu, svaka vrijednost x odgovara jednom određenu vrijednost y = f(x). Varijabilni opseg x naziva se opseg funkcije, a opseg varijable y– raspon vrijednosti funkcije. Ako jedna vrijednost x odgovara nekoliko (pa čak i beskonačno mnogo) vrijednosti y), tada se funkcija naziva višeznačna. Međutim, u toku analize funkcija realnih varijabli izbjegavaju se viševrijedne funkcije i razmatraju se jednovrijedne funkcije.
Razmotrimo drugu definiciju funkcije u smislu odnosa.
Definicija 2.16. Funkcija je svaka binarna relacija koja ne sadrži dva para s jednakim prvim komponentama i različitim drugim komponentama.
Ovo svojstvo odnosa se zove jedinstvenost ili funkcionalnost.
Primjer 2.22.
ali) (<1, 2>, <3, 4>, <4, 4>, <5, 6>) je funkcija.
b) (<x, y>: x, y Î R, y = x 2 ) je funkcija.
u) (<1, 2>, <1, 4>, <4, 4>, <5, 6>) je relacija, a ne funkcija.
Definicija 2.17. Ako f onda je funkcija D f – domena, ali Rf – domet funkcije f.
Primjer 2.23.
Na primjer 2.22 a) D f – {1, 3, 4, 5}; Rf – {2, 4, 6}.
Na primjer 2.22 b) D f = Rf = (–¥, ¥).
Svaki element x D f funkcija odgovara jedini element y Rf. Ovo je označeno dobro poznatom notacijom y = f(x). Element x naziva se argument funkcije ili predslika elementa y sa funkcijom f, i element y vrijednost funkcije f na x ili sliku elementa x at f.
Dakle, od svih relacija, funkcije se razlikuju po tome što svaki element iz domene definicije ima jedini slika.
Definicija 2.18. Ako D f = X I Rf = Y, onda kažemo da je funkcija f odlučan na X i preuzima svoje vrijednosti Y, ali f pozvao preslikavanje skupa X u Y(X ® Y).
Definicija 2.19. Funkcije f I g su jednaki ako je njihov domen definicije isti skup D, i za bilo koje x Î D pravedna jednakost f(x) = g(x).
Ova definicija nije u suprotnosti sa definicijom jednakosti funkcija kao jednakosti skupova (na kraju krajeva, funkciju smo definirali kao relaciju, tj. skup): skupovi f I g jednaki su ako i samo ako se sastoje od istih elemenata.
Definicija 2.20. Funkcija (zaslon) f pozvao surjektivni ili jednostavno surjekcija, ako je za bilo koji element y Y element postoji x Î X, takav da y = f(x).
Dakle, svaka funkcija f je surjektivno preslikavanje (surekcija) D f® Rf.
Ako f je surjekcija, i X I Y su konačni skupovi, onda ³ .
Definicija 2.21. Funkcija (zaslon) f pozvao injekcijski ili jednostavno injekcija ili jedan na jedan ako od f(a) = f(b) trebalo bi a = b.
Definicija 2.22. Funkcija (zaslon) f pozvao bijektivno ili jednostavno bijekcija ako je i injektivan i surjektivan.
Ako f je bijekcija, i X I Y su konačni skupovi, onda = .
Definicija 2.23. Ako je opseg funkcije D f sastoji se od jednog elementa f pozvao konstantna funkcija.
Primjer 2.24.
ali) f(x) = x 2 je preslikavanje skupa realnih brojeva u skup nenegativnih realnih brojeva. Jer f(–a) = f(a), I a ¹ – a, onda ova funkcija nije injekcija.
b) Za svaku x R= (– , ) funkcija f(x) = 5 je konstantna funkcija. Prikazuje mnoge R na set (5). Ova funkcija je surjektivna, ali ne i injektivna.
u) f(x) = 2x+ 1 je injekcija i bijekcija, jer od 2 x 1 +1 = 2x Slijedi 2+1 x 1 = x 2 .
Definicija 2.24. Funkcija koja implementira prikaz X jedan X 2 ´...´ X n ® Y pozvao n-local funkcija.
Primjer 2.25.
a) Zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje su binarne funkcije na skupu R realni brojevi, odnosno funkcije tipa R 2® R.
b) f(x, y) = je funkcija na dva mjesta koja implementira mapiranje R ´ ( R \ )® R. Ova funkcija nije injekcija, jer f(1, 2) = f(2, 4).
c) Tabela isplata lutrije definira funkciju na dva mjesta koja uspostavlja korespondenciju između parova iz N 2 (N je skup prirodnih brojeva) i skup isplata.
Budući da su funkcije binarne relacije, moguće je pronaći inverzne funkcije i primijeniti operaciju kompozicije. Kompozicija bilo koje dvije funkcije je funkcija, ali ne za svaku funkciju f stav f-1 je funkcija.
Primjer 2.26.
ali) f = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>, <4, 2>) je funkcija.
Stav f –1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>, <2, 4>) nije funkcija.
b) g = {<1, a>, <2, b>, <3, c>, <4, D>) je funkcija.
g -1 = {<a, 1>, <b, 2>, <c, 3>, <D, 4>) je također funkcija.
c) Pronađite sastav funkcija f iz primjera a) i g-1 iz primjera b). Imamo g -1f = {<a, 2>, <b, 3>, <c, 4>, <d, 2>}.
fg-1 = Æ.
Obratite pažnju da ( g -1f)(a) = f(g -1 (a)) = f(1) = 2; (g -1f)(c) = f(g -1 (c)) = f(3) = 4.
elementarna funkcija u matematičkoj analizi se zove bilo koja funkcija f, koji je sastav od konačnog broja aritmetičkih funkcija, kao i sljedećih funkcija:
1) Frakciono-racionalne funkcije, tj. funkcije forme
a 0 + a 1 x + ... + a n x n
b 0 + b 1 x + ... + b m x m.
2) Funkcija napajanja f(x) = x m, gdje m je bilo koji konstantan realan broj.
3) Eksponencijalna funkcija f(x) = ex.
4) logaritamska funkcija f(x) = log x, a >0, a 1.
5) Trigonometrijske funkcije sin, cos, tg, ctg, sec, csc.
6) Hiperboličke funkcije sh, ch, th, cth.
7) Obrnuto trigonometrijske funkcije arc sin, arccos itd.
Na primjer, funkcija log 2 (x 3 +sincos 3x) je elementarno, jer to je sastav funkcija cosx, sinx, x 3 , x 1 + x 2 , logx, x 2 .
Izraz koji opisuje sastav funkcija naziva se formula.
Za funkciju s više mjesta vrijedi sljedeći važan rezultat, koji su dobili A. N. Kolmogorov i V. I. Arnold 1957. godine i predstavlja rješenje 13. Hilbertovog problema:
Teorema. Svaka kontinuirana funkcija n varijable se mogu predstaviti kao kompozicija kontinuirane funkcije dvije varijable.
Načini postavljanja funkcija
1. Najlakši način za postavljanje funkcija su tabele (Tabela 2.2):
Tabela 2.2
Međutim, funkcije definirane na konačnim skupovima mogu se definirati na ovaj način.
Ako je funkcija definirana na beskonačnom skupu (segment, interval) definirana u konačnom broju tačaka, na primjer, u obliku trigonometrijske tablice, tablice specijalnih funkcija itd., zatim se za izračunavanje vrijednosti funkcija u međutočkama koriste pravila interpolacije.
2. Funkcija se može definirati kao formula koja opisuje funkciju kao kompoziciju drugih funkcija. Formula specificira redoslijed u kojem se funkcija izračunava.
Primjer 2.28.
f(x) = grijeh(x + Ö x) je sastav od sljedećih funkcija:
g(y) = Ö y; h(u, v) = u+v; w(z) = sinz.
3. Funkcija se može dati u obliku rekurzivna procedura. Rekurzivna procedura definira funkciju definiranu na skupu prirodnih brojeva, tj. f(n), n= 1, 2,... kako slijedi: a) vrijednost f(1) (ili f(0)); b) značenje f(n+ 1) definira se kroz kompoziciju f(n) i druge dobro poznate funkcije. Najjednostavniji primjer rekurzivne procedure je proračun n!: a) 0! = 1; b) ( n + 1)! = n!(n+ 1). Mnoge procedure numeričkih metoda su rekurzivne procedure.
4. Postoje načini za definiranje funkcije koji ne sadrže način izračunavanja funkcije, već je samo opisuju. Na primjer:
f M(x) =
Funkcija f M(x) je karakteristična funkcija skupa M.
Dakle, prema značenju naše definicije, definirajte funkciju f- znači podesiti prikaz X ® Y, tj. definisati skup X´ Y, pa se pitanje svodi na specificiranje nekog skupa. Međutim, moguće je definirati pojam funkcije bez korištenja jezika teorije skupova, naime: funkcija se smatra datom ako je data računska procedura koja, s obzirom na vrijednost argumenta, pronalazi odgovarajuću vrijednost funkcije. Funkcija definirana na ovaj način se poziva izračunljiv.
Primjer 2.29.
Postupak utvrđivanja Fibonačijevi brojevi, je dato omjerom
F n= Fn- 1 + Fn- 2 (n³ 2) (2.1)
sa početnim vrijednostima F 0 = 1, F 1 = 1.
Formula (2.1), zajedno sa početnim vrijednostima, definira sljedeće serije Fibonačijevih brojeva:
| n | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … |
| F n | 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 … |
Računski postupak za određivanje vrijednosti funkcije iz date vrijednosti argumenta nije ništa drugo do algoritam.
Sigurnosna pitanja za temu 2
1. Navedite načine specificiranja binarne relacije.
2. Glavna dijagonala matrice čiji omjer sadrži samo jedinice?
3. Za koju vezu r uslov je uvek ispunjen r = r- 1 ?
4. Za koju vezu r uslov je uvek ispunjen r rÍ r.
5. Uvesti relacije ekvivalencije i parcijalnog reda na skup svih pravih u ravni.
6. Odredite načine za postavljanje funkcija.
7. Koja je od sljedećih izjava tačna?
a) Svaka binarna relacija je funkcija.
b) Svaka funkcija je binarna relacija.
Tema 3. GRAFOVI
Ojlerov prvi rad o teoriji grafova pojavio se 1736. U početku je ova teorija bila povezana s matematičkim zagonetkama i igrama. Međutim, kasnija teorija grafova počela se koristiti u topologiji, algebri i teoriji brojeva. Danas teorija grafova nalazi primenu u raznim oblastima nauke, tehnologije i prakse. Koristi se u projektovanju električnih mreža, planiranju transporta, izgradnji molekularnih šema. Teorija grafova se također koristi u ekonomiji, psihologiji, sociologiji i biologiji.
Svaki skup 2-liste ili parova naziva se relacija. Odnosi će biti posebno korisni kada se raspravlja o značenju programa.
Riječ "relacija" može značiti pravilo poređenja, "ekvivalentnost" ili "je podskup" itd. Formalno, relacije koje su skupovi 2-liste mogu tačno opisati ova neformalna pravila uključivanjem tačno onih parova čiji su elementi u pravu vezu zajedno. Na primjer, odnos između znakova i nizova 1 koji sadrže te znakove je dat sljedećim odnosom:
C = (
Pošto je relacija skup, moguća je i prazna relacija. Na primjer, korespondencija između par prirodni brojevi a njihovi neparni kvadrati - nema ih. Štaviše, operacije skupa se primjenjuju na odnose. Ako su s i r relacije, onda postoje
s I r, s – r, s Z r
pošto su to skupovi uređenih parova elemenata.
Poseban slučaj relacije je funkcija, relacija sa posebnim svojstvom, karakterizirana time što je svaki prvi element uparen s jedinstvenim drugim elementom. Relacija r je funkcija ako i samo ako je za bilo koji
U ovom slučaju, svaki prvi element može poslužiti kao ime za drugi u kontekstu relacije. Na primjer, gore opisana C relacija između znakova i nizova 1 je funkcija.
Operacije postavljanja se također primjenjuju na funkcije. Iako će rezultat operacije nad skupovima uređenih parova koji su funkcije nužno biti drugi skup uređenih parova, a time i relacija, ali ne uvijek funkcija.
Ako su f,g funkcije, onda su f Ç g, f – g također funkcije, ali f È g može ili ne mora biti funkcija. Na primjer, definirajmo glavu relacije
H = (< Θ y, y>: y - niz) = (
I uzmite gore opisanu relaciju C. Zatim iz činjenice da je C n H:
je funkcija,
H - C = (< Θ y, y>: y je niz od najmanje 2 znaka)
je relacija, a ne funkcija,
je prazna funkcija, i
je odnos.
Skup prvih elemenata parova relacije ili funkcije naziva se domena, a skup drugih elemenata parova naziva se raspon. Za elemente relacije, recimo
Kada
glasi "y je r-vrijednost argumenta x" ili, sažetije, "y je r-vrijednost x" (funkcionalna notacija).
Postavimo proizvoljan omjer r i argument x, tada postoje tri opcije za njihovu korespondenciju:
- x P domen(r), u ovom slučaju r nedefinisano na x
- x n domen(r), a postoje različiti y, z takvi da
- x n domen(r), i postoji jedinstveni par
Dakle, funkcija je relacija koja je jedinstveno definirana za sve elemente svoje domene definicije.
Ima ih tri posebne funkcije:
prazna funkcija(), nema argumente i vrijednosti, tj
domena(()) = (), opseg(()) = ()
Funkcija ekvivalencije, funkcija I je
da ako je x Î domen(r), onda je I(x) = x.
konstantna funkcija, čiji je opseg zadan skupom 1, odnosno ista vrijednost odgovara svim argumentima.
Pošto su relacije i funkcije skupovi, mogu se opisati navođenjem elemenata ili specificiranjem pravila. Na primjer:
r = (<†ball†, †bat†>, <†ball†, †game†>, <†game†, †ball†>}
je relacija jer su svi njeni elementi 2-liste
domen(r) = (†lopta†, †igra†)
domet (r) = (†lopta†, †igra†, †palica†)
Međutim, r nije funkcija jer dva različita značenja javljaju u parovima sa jednim argumentom †loptica†.
Primjer odnosa definiranog pravilom:
s = (
u redu †ovo je relacija koja nije funkcija†)
Ovaj odnos se također može specificirati sa enumom:
s = (<†this†, †is†>, <†is†, †a†>, <†a†, †relation†>, <†relation†, †that†>,
<†that†, †is†>, <†is†, †not†>, <†not†, †a†>, <†a†, †function†>}
Sljedeće pravilo definira funkciju:
f = (
u redu †ovo je relacija koja je također funkcija†)
koji se također može specificirati enumom:
f = (<†this†, †is†>, <†is†, †a†>, <†a†, †relation†>,
<†relation†, †that†>, <†that†, †is†>, <†also†, †a†>}
Vrijednost programa.
Odnosi i funkcije su od vitalnog značaja za opis kako bi se opisali značenje programa. Koristeći ove koncepte, razvija se notacija koja opisuje značenje programa. Za jednostavne programe značenje će biti očigledno, ali ovi jednostavni primjeri će poslužiti za savladavanje teorije u cjelini.
Nove ideje: notacija okvira, program i značenje programa.
Skup ulazno-izlaznih parova za sva moguća normalna izvođenja programa naziva se vrijednost programa. Koncepti se također mogu koristiti programska funkcija I programski stav. Važno je napraviti razliku između značenja programa i elemenata značenja. Za određeni ulaz, Pascal mašina kojom upravlja Pascal program može proizvesti određeni izlaz. Ali značenje programa je mnogo više od načina da se izrazi rezultat jednog određenog izvršenja. Izražava sve moguće pokretanje Pascal programa na Pascal mašini.
Program može uzeti ulaz podijeljen u linije i proizvesti izlaz podijeljen u linije. Tako parovi u vrijednosti programa mogu biti parovi lista nizova znakova.
Notacija kutije.
Bilo koji Pascal program je niz znakova koji se prosljeđuju Pascal mašini na obradu. Na primjer:
P = †PROGRAM PrintHello (INPUT, OUTPUT); POČNI PISATI('ZDRAVO') KRAJ.†
Predstavlja jedan od prvih programa o kojima se govori na početku Dijela I kao string.
Takođe, ovaj red se može napisati izostavljanjem linija markera poput
P = PROGRAM PrintHello(INPUT, OUTPUT);
WRITELN('ZDRAVO')
Niz P predstavlja sintaksu programa, a mi ćemo njegovu vrijednost zapisati kao P. Vrijednost P je skup 2-liste (uređenih parova) lista nizova znakova gdje argumenti predstavljaju unos programa i vrijednosti predstavljaju izlaz programa, tj
P = (
i vraća listu nizova M)
Oznaka okvira za vrijednost programa sadrži sintaksu i semantiku programa, ali jasno razlikuje jedno od drugog. Za program PrintHello iznad:
P = (
{
Postavljanjem teksta programa u okvir:
P = PROGRAM PrintHello(INPUT, OUTPUT); POČNITE PISATI('ZDRAVO') KRAJ
Kako je P funkcija,
PROGRAM PrintHello(INPUT, OUTPUT); BEGIN WRITELN('HELLO') END (L) =<†HELLO†>
za bilo koju listu nizova L.
Oznaka kutije sakriva način na koji program kontroliše Pascal mašinu i pokazuje samo ono što ide uz izvršenje. Termin "crna kutija" se često koristi da opiše mehanizam koji se posmatra samo izvana u smislu ulaza i izlaza. Stoga je ova notacija prikladna za značenje programa u smislu I/O. Na primjer, program R
PROGRAM PrintHelloInSteps(INPUT, OUTPUT);
WRITE('ON');
WRITE('L');
WRITELN('LO')
Ima isto značenje kao P, tj. R = P.
R program također ima CFPascal naziv PrintHelloInSteps. Ali pošto je string †PrintHelloInSteps† dio R stringa, najbolje je ne koristiti PrintHelloInSteps kao ime R programa u kutiji.
Display f iz skupa X u skup Y smatra se datim ako je svaki element x iz X pridružen tačno jednom elementu y iz Y, označenom sa f(x).
Skup X se zove domenu definicije preslikavanje f, i skup Y domet. Set naručenih parova
G f = ((x, y) | x∈X, y∈Y, y = f(x))
pozvao prikaz grafa f. Iz definicije direktno slijedi da je graf preslikavanja f podskup kartezijanskog proizvoda X×Y:
Strogo govoreći, preslikavanje je trojka skupova (X, Y, G) tako da je G⊂ X×Y, a svaki element x od X je prvi element tačno jednog para (x, y) od G. Označavajući drugi elementa takvog para pomoću f(x), dobijamo preslikavanje f skupa X u skup Y. Štaviše, G=G f . Ako je y=f(x), napisaćemo f:x→y i reći da element x ide ili preslikava na element y; element f(x) se naziva slikom elementa x u odnosu na preslikavanje f. Za označavanje preslikavanja koristićemo notaciju f: X→Y.
Neka je f: X→Y preslikavanje skupa X u skup Y, a A i B podskupovi skupova X i Y, redom. Poziva se skup f(A)=(y| y=f(x) za neko x∈A). način skup A. Skup f − 1 (B)=(x| f(x) ∈B)
pozvao prototip skup B. Preslikavanje f: A→Y takvo da je x→f(x) za sve x∈A naziva se stezanje preslikavanja f u skup A; ograničenje će biti označeno sa f| A.
Neka postoje preslikavanja f: X→Y i g: Y→Z. Poziva se mapa X→Z koja vodi x u g(f(x)). kompozicija preslikavanja f i g i označava se sa fg .
Poziva se preslikavanje skupa X u X tako da svaki element ide u sebe, x→x identičan i označen je sa id X .
Za proizvoljno preslikavanje f: X→Y imamo id X ⋅f = f⋅id Y .
Poziva se preslikavanje f: X→Y injekcijski, ako za bilo koje elemente iz i slijedi da . Poziva se preslikavanje f: X→Y surjektivni, ako je svaki element y iz Y slika nekog elementa x iz X, to jest, f(x)=y. Poziva se preslikavanje f: X→Y bijektivno ako je i injektivan i surjektivan. Bijektivno preslikavanje f: X→Y je invertibilno. To znači da postoji preslikavanje g: Y→X pozvano obrnuto na preslikavanje f takvo da je g(f(x))=x i f(g(y))=y za bilo koje x∈X, y∈Y. Preslikavanje inverzno preslikavanju f označeno je sa f − 1 .
Inverzno preslikavanje f: X→Y uspostavlja jedan na jedan korespondencija između elemenata skupova X i Y. Injektivno preslikavanje f: X→Y uspostavlja korespondenciju jedan-na-jedan između skupa X i skupa f(X).
Primjeri. 1) Funkcija f:R→R >0, f (x)=e x, uspostavlja korespondenciju jedan prema jedan skupa svih realnih brojeva R sa skupom pozitivnih realnih brojeva R >0. Inverzno preslikavanje f je preslikavanje g:R >0 →R, g(x)=ln x.
2) Preslikavanje f:R→R ≥ 0 , f(x)=x 2 , skup svih realnih R na skup nenegativni brojevi R ≥ 0 je surjektivan, ali nije injektivan i stoga nije bijektivan.
Svojstva funkcije:
1. Kompozicija dvije funkcije je funkcija, tj. ako onda .
2. Sastav dvije bijektivne funkcije je bijektivna funkcija, ako , onda .
3. Preslikavanje ima inverzno preslikavanje ako i
ako i samo ako je f bijekcija, tj. ako onda .
Definicija. n - lokalna relacija, ili n - lokalni predikat R, na skupovima A 1 ;A 2 ;…;A n je bilo koji podskup kartezijanskog proizvoda.
Oznaka n - lokalna relacija P(x 1 ;x 2 ;…;x n). Za n=1, poziva se relacija P unarno i podskup je skupa A 1 . binarni(dvostruko za n=2) relacija je skup uređenih parova.
Definicija. Za bilo koji skup A, relacija se naziva identična relacija, ili dijagonala, i puna relacija, ili puni kvadrat.
Neka je P neka binarna relacija. Onda domenu binarne relacije P se naziva skup za neko y), i domet je skup za neki x). Obrnuto Relacija na P je skup.
Omjer R se naziva reflektirajuće ako sadrži sve parove oblika (x, x) za bilo koji x u X. Relacija P se zove antirefleksivan, ako ne sadrži parove oblika (x,x). Na primjer, relacija x≤y je refleksivna, a relacija x Omjer R se naziva simetrično, ako zajedno sa svakim parom (x,y) sadrži i par (y,x). Simetrija relacije P znači da je P = P -1. Omjer R se naziva antisimetrično, ako (x;y) i (y;x), onda je x=y. Omjer R se naziva tranzitivan ako zajedno sa bilo kojim parovima (x, y) i (y, z) sadrži i par (x, z), odnosno xRy i yRz implicira xRz. Svojstva binarnih relacija: Primjer. Neka je A=(x/x arapski broj); P=((x;y)/x,yA,x-y=5). Pronađite D;R;P -1 . Rješenje. Relacija R se može napisati kao R=((5;0);(6;1);(7;2);(8;3);(9;4)), tada za nju imamo D=(5 ;6 ;7;8;9); E=(0;1;2;3;4); P -1 =((0;5);(1;6);(2;7);(3;8);(4;9)). Razmotrimo dva konačna skupa i binarnu relaciju. Uvedemo binarnu matricu relacija P na sljedeći način: . Matrica bilo koje binarne relacije ima svojstva: 1. Ako i , onda , i dodavanje matričnih elemenata se vrši prema pravilima 0+0=0; 1+1=1; 1+0=0+1=1, a množenje se vrši po članu na uobičajen način, tj. prema pravilima 1*0=0*1=0; 1*1=1. 2. Ako je , onda , i matrice se množe prema uobičajenom pravilu množenja matrice, ali se proizvod i zbir elemenata tokom množenja matrice nalaze prema pravilima iz tačke 1. 4. Ako , onda i Primjer. Binarna relacija je prikazana na slici 2. Njena matrica ima oblik . Rješenje. Neka , onda ; Neka je P binarna relacija na skupu A, . Relacija P na skupu A se zove reflektirajuće ako , gdje zvjezdice označavaju nule ili jedinice. Omjer R se naziva nerefleksivan ako . Relacija P na skupu A se zove simetrično, ako za i za to slijedi iz uvjeta da . To znači da . Omjer R se naziva antisimetrično, ako to proizilazi iz uslova i da je x=y, tj. ili . Ovo svojstvo dovodi do činjenice da će svi elementi matrice izvan glavne dijagonale biti nula (mogu biti i nule na glavnoj dijagonali). Omjer R se naziva tranzitivan, ako iz i slijedi da , tj. . Primjer. S obzirom na omjer R i . Ovdje su sve jedinice na glavnoj dijagonali matrice, dakle, R je refleksivan. Matrica je asimetrična, tada je relacija P Jer nisu svi elementi izvan glavne dijagonale nula, tada relacija P nije antisimetrična. One. , dakle relacija R nije tranzitivna. Zove se refleksivna, simetrična i tranzitivna relacija odnos ekvivalencije. Uobičajeno je koristiti simbol ~ za označavanje odnosa ekvivalencije. Uslovi za refleksivnost, simetriju i tranzitivnost mogu se zapisati na sljedeći način: Primjer. 1) Neka je X skup funkcija definiranih na cijeloj realnoj liniji. Pretpostavit ćemo da su funkcije f i g povezane relacijom ~ ako imaju iste vrijednosti u tački 0, odnosno f(x)~g(x) ako je f(0)=g(0). Na primjer, sinx~x, e x ~cosx. Relacija ~ je refleksivna (f(0)=f(0) za bilo koju funkciju f(x)); simetrično (iz f(0)=g(0) slijedi da je g(0)=f(0)); tranzitivno (ako je f(0)=g(0) i g(0)=h(0), onda je f(0)=h(0)). Stoga je ~ relacija ekvivalencije. 2) Neka je ~ relacija na skupu prirodnih brojeva takva da je x~y ako x i y imaju isti ostatak kada se podijele sa 5. Na primjer, 6~11, 2~7, 1~6. Lako je vidjeti da je ova relacija refleksivna, simetrična i tranzitivna, pa je stoga relacija ekvivalencije. parcijalni odnos poretka binarna relacija na skupu naziva se ako je refleksivna, antisimetrična, tranzitivna, tj. 1. - refleksivnost; 2. - antisimetrija; 3. - tranzitivnost. strog odnos reda binarna relacija na skupu se naziva ako je antirefleksivna, antisimetrična, tranzitivna. Oba ova odnosa se nazivaju odnosi poretka. Skup na kojem je data relacija reda, možda: kompletno uređen set ili djelimično naručeno. Djelomični redoslijed je važan u onim slučajevima kada želimo nekako okarakterizirati staž, tj. odlučiti pod kojim uslovima smatrati da je jedan element skupa superiorniji od drugog. Poziva se djelimično uređen skup linearno uređeno, ako nema neuporedivih elemenata, tj. jedan od uslova ili je ispunjen. Na primjer, skupovi s prirodnim redoslijedom na sebi su linearno poredani. Ako shvatimo šta je relacija, onda je prilično lako razumjeti šta je funkcija. Funkcija je poseban slučaj relacije. Svaka funkcija je relacija, ali nije svaka relacija funkcija. Koji su odnosi funkcije? Koji dodatni uvjet mora biti ispunjen da bi relacija bila funkcija? Vratimo se na razmatranje relacije koja djeluje iz domena definicije u domen vrijednosti. Razmotrite element iz . Ovaj element odgovara elementu takvom da par pripada , koji se često piše kao: (na primjer, ). Relaciji mogu pripadati i drugi parovi, čiji prvi element može biti element . Za funkcije je ova situacija nemoguća. Funkcija je odnos u kojem element iz domene definicije odgovara jednom elementu iz domene vrijednosti. Odnos "imati brata", prikazan na slici 1, nije funkcija. Dva luka idu od tačke u domeni definicije do različitih tačaka u domenu vrednosti, stoga ova relacija nije funkcija. U suštini, Elena ima dva brata, tako da ne postoji korespondencija jedan-na-jedan između elementa iz i elementa iz. Ako uzmemo u obzir relaciju "imati starijeg brata" na istim skupovima, onda je takva relacija funkcija. Svaka osoba može imati mnogo braće, ali samo jedan od njih je stariji brat. Funkcije su i srodni odnosi kao što su "otac" i "majka". Obično se, kada su funkcije u pitanju, koristi slovo za opštu oznaku funkcije, a ne kao u slučaju relacija, a opšta notacija ima uobičajeni oblik: . Razmotrite dobro poznatu funkciju Funkcija jedan na jedan Neka relacija definira funkciju . Šta se može reći o obrnutom? Da li je i to funkcija? Uopšte nije potrebno. Razmotrite primjere relacija koje su funkcije. Za odnos „ima starijeg brata“, obrnuti odnos je odnos „ima brata ili sestru“. Naravno, ova relacija nije funkcija. Stariji brat može imati mnogo sestara i braće. Za odnos "otac" i "majka" inverzni odnos je odnos "sin ili ćerka", koji takođe nije funkcija, jer može biti mnogo dece. Ako uzmemo u obzir funkciju 
. Opseg ove funkcije je cijela realna os: 
. Raspon funkcije je zatvoreni interval na realnoj osi: 
. Graf ove funkcije je sinusoida, svaka tačka na osi odgovara jednoj tački na grafu .
, zatim inverzna relacija 
nije funkcija, jer jedna vrijednost odgovara proizvoljno mnogo vrijednosti. Uzeti u obzir