Definicija. Kažu to broj a je djeljiv brojem b ako postoji takav broj cÎ N 0 , šta a=in· sa.

U tom slučaju kada a podijeljena in pisati: a c.Čitanje: " a podijeljena in» ; « a višestruko in»; « in- razdjelnik a» . Na primjer, 12 je djeljivo sa 6 jer postoji sa= 2, da je 12 = 6 2, inače 12 6.

Komentar. Unosi i a :in nisu ekvivalentni. Prvi znači da između brojeva a i in postoji relacija djeljivosti (moguće cijeli broj a podijeliti brojem in). Drugi je zapis privatnih brojeva a i in.

Relacija djeljivosti ima niz svojstava.

1°. Nula je deljiva sa bilo kojim prirodni broj, tj.

(" inÎ N ) .

Dokaz. 0 = in 0 za bilo koje u, stoga po definiciji slijedi da je 0 in.

2°. Nijedan prirodan broj nije djeljiv sa nulom, tj. (" aÎ N ) [a 0].

Dokaz (kontradikcijom). Neka postoji cÎ N 0 , takav da a= 0· sa, ali po uslovu a≠ 0, što znači da ni pod kojim okolnostima sa ova jednakost ne vrijedi. Dakle, naša pretpostavka o postojanju sa bio pogrešan i a 0.

3°. Svaki cijeli nenegativan broj je djeljiv sa jedan, tj.

("aÎ N ) [a 1].

Dokaz. a= 1 a=>a 1.

4°. Svaki prirodni broj je djeljiv sam po sebi (refleksivnost), tj. (" aÎ N ) [aa].

Dokaz. a= a 1Þ aa.

5°. Razdjelnik in dati prirodni broj a ne prelazi ovaj broj, tj. ( i uÙ a> 0) Þ ( a≥ in).

Dokaz. As i u, onda a= in · sa, gdje cÎ N 0 . Odredimo predznak razlike a– in.

a–in= sunce– in= in(sa– 1), jer a> 0, onda sa≥ 1, dakle, in(sa– 1) ≥ 0, što znači a–in≥ 0 Þ a≥in.

6°. Relacija djeljivosti je antisimetrična, tj.

("a, inÎ N 0 )[(a inÙ u) Þ a=in].

Dokaz.

1 slučaj . Neka bude a> 0,in> 0, onda imamo:

(po svojstvu 5°). znači, a = in.

2nd case. Neka barem jedan od brojeva a ili in jednako 0.

Neka bude a= 0, onda in= 0 do 2°, jer inače in ne može se podijeliti na a. Sredstva a=in.

7°. Relacija djeljivosti je tranzitivna, tj.

("a, u, saÎ N 0 ) [(a inÙ in with)Þ a c].

Dokaz. i uÞ ($ to)[a=VK];in withÞ ($ ℓ )[in= cℓ].

a = VK= (sℓ)to= sa(ℓk), ℓk – proizvod dva nenegativna cijela broja ℓ i to i stoga je sam po sebi nenegativan cijeli broj, tj. a s.

8°. Ako svaki od brojeva a i in podijeljena sa, zatim njihov zbir a+ in podijeljena sa, one. (" a, c, cÎ N 0 ) [(a cÙ in with) Þ ( a+in) sa].

dokaz, a cÞ a= sk, u sÞ in= cℓ.

a+in= ck+cℓ=sa(k + ℓ), jer to+ ℓ je nenegativan cijeli broj, pa ( a + b) sa.

Dokazana tvrdnja vrijedi i u slučaju kada je broj članova veći od dva.

Ako svaki od brojeva a 1 , ...,a p podijeljena sa, zatim njihov zbir a 1 + ... + a p podijeljena sa.

Štaviše, ako su brojevi a i in se dijele na sa, i a≥ in, zatim njihova razlika a–in podijeljena sa.

9°. Ako broj a podijeljena sa, zatim proizvod forme Oh, gdje xÎ N 0 , podijeljena sa, one. a cÞ ( " x O N 0 )[sjekira c].

Dokaz. a cÞ a=ck, ali onda Oh= skh = sa(to· X), k, xÎ N 0 , znači ah s.

Korol od 8°, 9°.

Ako svaki od brojeva a 1 ,a 2 , ...,a p podijeljena sa, onda bez obzira na brojke X 1 ,X 2 , ... , x n broj a 1 X 1 + a 2 X 2 + ... + a n x n podijeljena sa.

10°. Ako a as podijeljena sunce, i sa≠ 0, onda a podijeljena u, one. ( ace sunÙ sa≠ 0) Þ a c.

Dokaz.

as= sunce· to; as= (VK) · saÙ sa≠ 0 Þ a=VK=> i u.

Znakovi djeljivosti

Postoje zadaci u kojima se, bez dijeljenja, traži da se utvrdi da li je prirodni broj djeljiv ili ne a na prirodan broj in. Najčešće se takvi problemi javljaju kada broj a mora se pomnožiti. U takvim problemima se koriste kriteriji djeljivosti. Test djeljivosti je rečenica koja vam omogućava da odgovorite na pitanje da li je određeni broj djeljiv datim djeliteljem, a da ne pravite samo dijeljenje.

Primjenjujući znak djeljivosti, i dalje morate dijeliti, naravno. Znak djeljivosti broja sa 3 dobro je poznat iz škole.Da li je broj 531246897 djeljiv sa 3? Da odgovorimo na pitanje, hajde da odredimo zbir cifara ovog broja 5 + 3 + 1 + 2 + 4 + 6 + 8 + 9 + 7 = 45, jer 45 je djeljiv sa 3, tada je ovaj broj djeljiv sa 3.

Dakle, pitanje djeljivosti datog prirodnog broja svodi se na pitanje djeljivosti manjeg prirodnog broja.

Znaci djeljivosti zavise od brojevnog sistema. Razmotrite neke znakove djeljivosti u dekadnom brojevnom sistemu.

Predavanje 4. Djeljivost na skupu nenegativnih cijelih brojeva

1. Pojam relacije djeljivosti, njegova svojstva.

2. Znaci djeljivosti zbira, razlike, proizvoda.

3. Znakovi djeljivosti sa 2, 3, 4, 5, 9 (dva dokazati).

AT primarni kurs U matematici se po pravilu ne proučava djeljivost prirodnih brojeva, ali se mnoge činjenice iz ovog odsjeka matematike implicitno koriste.

Omjer djeljivosti i njegova svojstva

Razmotrimo relaciju djeljivosti na skupu nenegativnih cijelih brojeva.

Definicija 1. Neka su dati nenegativni cijeli brojevi a i b. Kažu da je broj a b ako postoji takav nenegativan cijeli broj q, šta a=bq. U ovom slučaju, broj b pozvao razdjelnik brojevi a, i broj a - višestruko brojevi b.

Oznaka: a b i reci a višestruko b, a b zvanom djelitelj a.

Imajte na umu da koncept "djelitelja datog broja" treba razlikovati od koncepta "djelitelja", koji označava broj kojim se dijeli. Na primjer, ako je 18 podijeljeno sa 5, tada je broj 5 djelitelj, ali nije djelitelj broja 18. Ako je 18 podijeljen sa 6, tada se u ovom slučaju koriste koncepti "djelitelj" i "djelitelj ovog broj" poklapaju.

Komentar. Iz definicije 1 i jednakosti a=1a, slijedi da je 1 djelitelj bilo kojeg nenegativnog cijelog broja.

Svojstva omjera djeljivosti:

Relacija djeljivosti je refleksivna, antisimetrična, tranzitivna.

Teorema 1. Relacija djeljivosti je refleksivna, tj. svaki prirodan broj je djeljiv sam sa sobom
.

dokaz:

Za vrijedi jednakost a=a 1. 1 , zatim prema def. jedan .

Teorema 2. Relacija djeljivosti je antisimetrična, tj.

Dokaz (kontradikcijom): Pretpostavite da
. Tada je očigledno da je b≥a. Ali pod uslovom
i stoga a≥b. Ispunjenje ovih nejednakosti je moguće samo kada je a=b, što je u suprotnosti sa uslovom. Stoga je naša pretpostavka pogrešna i valjanost imovine je utvrđena.

Teorema 3. Relacija djeljivosti je tranzitivna, tj.

dokaz:

Jer
, tada po definiciji 1 . Slično, pošto b c, zatim .

Tada je a=bq=(cp)q=c(pq). Broj pq je prirodan broj. To znači, prema definiciji 1, da kao sa.

Dakle, relacija deljivosti na skupu N, koja ima svojstva refleksivnosti, antisimetrije i tranzitivnosti, je odnos nestrogog reda.

Deljivost zbira, razlike, proizvoda celih nenegativnih brojeva

Teorema 4 (test za djeljivost zbira): Ako je svaki sabir djeljiv prirodnim brojem b, onda je cijeli zbir djeljiv ovim brojem, tj.

dokaz: Neka bude
. Tada postoje q 1 ,q 2 ,…q n
N tako da su ispunjene jednakosti: a 1 =bq 1 , a 2 =bq 2 , … i 1 n = bq n . Iz ovih jednakosti slijedi da je a 1 + a 2 + ... a n = bq 1 + bq 2 + ... + bq n = b (q 1 + q 2 + ... + q n), gdje je q 1 + q 2 + ... + q n =q
N0. Po definiciji omjera djeljivosti, to znači da .

Teorema 5 (test za djeljivost razlike): Ako svaki od brojeva a i b podijeljena sa i a≥b, onda razlika a-b podijeljena sa, tj. ako .

dokaz: Neka bude
. Tada postoje q 1 ,q 2
N takav da je a=cq 1, b=cq 2 . Pošto je a≥b, onda je q 1 >q 2. Dakle, imamo a-b=cq 1 -cq 2 \u003d c (q 1 -q 2) = cq, gdje q 1 -q 2 \u003d q
N. Dakle, .

Teorema 6 (test djeljivosti proizvoda): Ako je barem jedan od faktora proizvoda djeljiv prirodnim brojem b, tada je i cijeli proizvod djeljiv ovim brojem, tj.
.

dokaz: Neka je a k b, tada postoji q
N takav da je a k = bq. Odavde, koristeći komutativne i asocijativne zakone množenja, možemo napisati . Budući da je proizvod nenegativnih cijelih brojeva nenegativan cijeli broj, posljednja jednakost znači da
.

Teorema 7: Ako u radu ab faktor a djeljiv prirodnim brojem m, i množitelj b djeljiv prirodnim brojem n, zatim proizvod ab podijeljeno na proizvod nm, tj.

dokaz: Neka su a m i b n, tada postoje q 1 ,q 2
N takav da je a=mq 1 , b=nq 2 . Dakle, na osnovu kom. i vanr. zakoni množenja imamo ab=(mq 1)(nq 2)=(mn)(q 1 q 2)=(mn)q, gdje je q 1 q 2 =q
N. dakle ab mn.

Teorema 8: Ako zbir ima jedan pojam nije podijeljeno na prirodan broj b, i svi ostali uslovi dijeliti za ovaj broj, zatim cijeli zbir za broj b ne dijeli.

dokaz: Neka je S=a 1 +a 2 +…+a n +c, gdje je a 1 b, a 2 b, …, a n b, ali
. Dokažimo to
. Pretpostavimo suprotno, tj. S b. Tada je s=S-(a 1 +a 2 +…+a n), gdje je S b, i (a 1 +a 2 +…+a n) b. Prema teoremi djeljivosti razlike, to znači da sa b. Dobivena kontradikcija dokazuje teoremu.

Znakovi djeljivosti

Teorema 9 (test za djeljivost sa 2) Da bi broj x bio djeljiv sa 2, potrebno je i dovoljno da je decimalni zapis završava se jednim od brojeva 0,2,4,6,8.

Dokaz. Neka broj X

x = a n 10 + a n-1 10 n-1 + ... + a 1 10 + a 0 , gdje a n , a n-1,…, a 1 uzimaju vrijednosti 0, 1, 2, ...9, a n ≠ 0 i a 0 uzima vrijednosti 0,2,4,6,8. Dokažimo da je onda x: .2.

Od 10: .2, zatim 10 2: .2, 10 3: .2,…,10 n: .2 i, prema tome, ( a n 10 + a n-1 10 n-1 + ... + a 1 10): .2. Po uslovu, 0 je takođe deljiv sa 2, pa se broj x može smatrati zbirom dva člana, od kojih je svaki deljiv sa 2. Prema tome, prema kriterijumu deljivosti zbira, broj x je deljiv sa 2.

Dokažimo suprotno: ako je broj X je djeljiv sa 2, tada se njegov decimalni zapis završava jednom od cifara 0,2,4,6,8.

Zapisujemo jednakost x = a n 10 + a n-1 10 n-1 + ... + a 1 10 + a 0 u ovom obliku: a 0 \u003d x - ( a n 10 + a n-1 10 n-1 + ... + a 1 deset). Ali tada, prema teoremi djeljivosti, i 0: . 2 jer x: . 2 i ( a n 10 + a n-1 10 n-1 + ... + a 1 deset) : . 2. Da bi jednocifreni broj 0 bio djeljiv sa 2, mora imati vrijednosti 0,2,4,6,8.

Teorema 10 (test djeljivosti sa 5). U redu za broj X je djeljiv sa 5, potrebno je i dovoljno da se njegov decimalni zapis završava na 0 ili 5.

Dokaži se!

Dokaz ovog testa je sličan dokazu testa djeljivosti sa 2.

Teorema 11 (test djeljivosti sa 4). U redu za broj X je djeljiv sa 4, potrebno je i dovoljno da dvocifreni broj formiran od posljednje dvije cifre decimalnog prikaza broja bude djeljiv sa 4 X.

Dokaz. Neka broj X zapisano u decimalnom zapisu, tj.

x = a n 10 + a n-1 10 n-1 + ... + a 1 10 + a 0 i posljednje cifre u ovom unosu čine broj koji je djeljiv sa 4. Dokažimo da je tada x: . 4.

Od 100: . 4, zatim ( a n 10 + a n-1 10 n-1 + ... + a 2 10 2): . 4. Pod uslovom, a 1 10 + a 0 (ovo je zapis dvocifrenog broja) je također djeljiv sa 4. Dakle, broj x se može smatrati zbirom dva člana, od kojih je svaki djeljiv sa 4. Dakle, prema znaku djeljivosti zbira, i sam broj x je djeljiv sa 4.

Dokažimo suprotno, tj. ako je broj x djeljiv sa 4, tada je i dvocifreni broj formiran zadnjim znamenkama njegovog decimalnog zapisa također djeljiv sa 4.

Zapisujemo jednakost x = a n 10 + a n-1 10 n-1 + ... + a 1 10 + i 0 ovako:

a 1 10 + a 0 = x- ( a n 10 + a n-1 10 n-1 + ... + a 2 10 2) .

Pošto je x: . 4 i ( a n 10 + a n-1 10 n-1 + ... + a 2 10 2): . 4, zatim teoremom djeljivosti za razliku ( a 1 10 + a 0) : . 4. Ali izraz a 1 10 + i 0 je dvocifreni broj formiran od zadnjih cifara x.

Teorema 12 (test djeljivosti sa 9) Da bi broj x bio djeljiv sa 9, potrebno je i dovoljno da zbir cifara njegovog decimalnog zapisa bude djeljiv sa 9.

Dokaz. Dokažimo prvo da su brojevi oblika 10 n - 1 djeljivi sa 9. Zaista, 10 n - 1 = (9 10 n-1 + 10 n-1) - 1 = (9 10 n-1 +9 10 n - 2 + 10 n-2)-1 = (9 10 n-1 +9 10 n-2 + …+10)-1=9 10 n-1 +9 10 n-2 + …+9. Svaki član rezultirajućeg zbira je djeljiv sa 9, što znači da je i broj 10 n - 1 djeljiv sa 9.

Neka je broj x = a n 10 + a n-1 10 n-1 + ... + a 1 10 + a 0 i (a n + a n-1 + ... + a 1 + a 0) : . 9. Dokažimo da je onda x: . devet.

Hajde da transformišemo zbir a n 10 + a n-1 10 n-1 + ... + a 1 10 + a 0 , dodajući i oduzimajući od njega izraz a n + a n-1 + ... + a 1 + a 0 i zapisujući rezultat u ovom obliku:

x = ( a n 10 - a n)+( a n-1 10 n-1 - a n-1)+…+( a 1 10 - a 1) + (a 0 - a 0) + (a n + a n-1 + ... + a 1 + a 0) \u003d =a n (10 n -1)+ a n-1 (10 n-1 -1)+…+ a 1 (10 -1)+ (a n +a n-1 +…+a 1 +a 0) .

U zadnjem zbroju, svaki član je djeljiv sa 9:

a n (10 n -1) : . 9, budući da (10 n -1) : . devet,

a n-1 (10 n-1 -1) : . 9 pošto(10 n-1 -1) : . 9 itd.

a 1 (10 -1) : . 9, budući da (10-1) : . devet,

(a n +a n-1 +…+a 1 +a 0) : . 9 po stanju.

Prema tome, x: . devet.

Dokažimo suprotno, tj. ako je x: . 9, tada je zbir cifara njegovog decimalnog zapisa djeljiv sa 9.

Jednakost x = a n 10 + a n-1 10 n-1 + ... + a 1 10 + i 0 pišemo u ovom obliku:

a n + a n-1 + ... + a 1 + a 0 \u003d x - (a n (10 n - 1) + a n-1 (10 n-1 -1) + ... + a 1 (10) -1).

Budući da su na desnoj strani ove jednakosti i minuend i subtrahend višestruki od 9, onda, prema teoremi o djeljivosti razlike (a n + a n-1 + ... + a 1 + a 0): . 9, tj. zbir cifara decimalnog prikaza broja x je djeljiv sa 9, što je trebalo dokazati.

Teorema 15 (test za djeljivost sa 3): Da bi broj x bio djeljiv sa 3, potrebno je i dovoljno da zbir cifara njegovog decimalnog zapisa bude djeljiv sa 3.

Dokaz ove tvrdnje je sličan dokazu testa djeljivosti sa 9.

Kao što je već napomenuto, prirodni broj a je djeljiv prirodnim brojem b ako postoji prirodan broj c, koji, kada se pomnoži sa b, daje a:

Riječ "u potpunosti" se obično izostavlja - radi sažetosti.

Ako je a deljivo sa b, onda takođe kažemo da je a višekratnik sa b. Na primjer, broj 48 je višekratnik broja 24.

Teorema 1. Ako je jedan od faktora djeljiv nekim brojem, tada je i proizvod djeljiv ovim brojem.

Na primjer, 15 je deljivo sa 3, pa je 15∙11 deljivo sa 3, jer je 15∙11=(3∙5)∙11=3∙(5∙11).

Ova razmatranja važe i za opšti slučaj. Neka je broj a djeljiv sa c, tada postoji prirodan broj n takav da je a = n∙c. Razmotrimo proizvod broja a i proizvoljnog prirodnog broja b. a∙b = n∙(c∙b) =
= n∙(b∙c) = (n∙b)∙c. Iz ovoga, po definiciji, slijedi da je proizvod a ∙ b također djeljiv sa c. Q.E.D.

Teorema 2. Ako je prvi broj djeljiv sa drugim, a drugi s trećim, tada je prvi broj djeljiv sa trećim.

Na primjer, 777 je deljivo sa 111 jer je 777=7∙111, a 111 je deljivo sa 3 jer je 111 = 3∙37. Iz ovoga slijedi da je 777 djeljivo sa 3, jer je 777 = 3∙(37∙7).

U opštem slučaju, ovi argumenti se mogu ponoviti gotovo doslovno. Neka je broj a djeljiv brojem b, a broj b djeljiv brojem c. To znači da postoje prirodni brojevi n i m takvi da su a = n∙b i b = m∙c. Tada se broj a može predstaviti kao: a = n∙b = n∙(m∙c) = (n∙m)∙c. Jednakost a = (n∙m)∙c znači da je i broj a djeljiv sa c.

Teorema 3. Ako je svaki od dva broja djeljiv nekim brojem, tada su njihov zbir i razlika djeljivi ovim brojem.

Na primjer, 100 je djeljivo sa 4 jer je 100=25∙4; 36 je također djeljivo sa 4 jer je 36 = 9∙4. Iz toga slijedi da je 136 djeljivo sa 4 jer

136 = 100+ 36 = 25∙4+ 9∙4 = (25+ 9)∙4 = 34∙4.

Također možemo zaključiti da je broj 64 djeljiv sa 4, jer

64 = 100 – 36 = 25∙4 – 9∙4 =(25 – 9)∙4= 16∙4.

Dokažimo teoremu u opštem slučaju. Neka je svaki od brojeva a i b djeljiv brojem c. Tada, po definiciji, postoje prirodni brojevi n i m takvi da
a = n∙c i b = m∙c. Razmotrimo zbir brojeva a i b.

a + b = n∙c + m∙c = (n + m)∙c.

Iz toga slijedi da je a + b djeljiv sa c.

Slično, a – b = n∙c – m∙c = (n – m)∙c. Dakle, a - b je djeljiv sa c.

Teorema 4. Ako je jedan od dva broja djeljiv nekim brojem, a drugi nije djeljiv s njim, onda njihov zbir i razlika nisu djeljivi ovim brojem.

Na primjer, 148 je deljivo sa 37 jer je 148 = 4∙37, a 11 nije deljivo sa 37. Očigledno, zbir 148 + 11 i razlika 148 - 11 nisu deljivi sa 37, inače bi to bilo u suprotnosti sa svojstvom 3 .

Znakovi djeljivosti

Ako se broj završava na 0, tada je djeljiv sa 10.

Na primjer, broj 4560 završava se brojem 0, može se predstaviti kao proizvod 456∙10, koji je djeljiv sa 10 (teoremom 1).

Broj 4561 nije djeljiv sa 10 jer je 4561 = 4560+1 zbir broja 4560 djeljivog sa 10 i broja 1 koji nije djeljiv sa 10 (prema teoremi 4).

Ako se broj završava jednom od cifara 0 ili 5, tada je djeljiv sa 5.

Na primjer, broj 2300 je djeljiv sa 5 jer je ovaj broj djeljiv sa 10, a 10 je djeljiv sa 5 (prema teoremi 2).

Broj 2305 završava se brojem 5, djeljiv je sa 5, jer se može napisati kao zbir brojeva djeljivih sa 5: 2300 + 5 (prema teoremi 3).

Broj 52 nije djeljiv sa 5, jer je 52 = 50 + 2 zbir broja 50 koji je djeljiv sa 5 i broja 2 koji nije djeljiv sa 5 (prema teoremi 4).

Ako se broj završava jednom od cifara 0, 2, 4, 6, 8, tada je djeljiv sa 2.

Na primjer, broj 130 završava sa 0, djeljiv je sa 10, a 10 je djeljiv sa 2, pa je 130 djeljiv sa 2.

Broj 136 završava se brojem 6, djeljiv je sa 2, jer se može napisati kao zbir brojeva djeljivih sa 2: 130 + 6 (po teoremi 3).

Broj 137 nije djeljiv sa 2, jer je 137 = 130 + 7 zbir broja 130 koji je djeljiv sa 2 i broja 7 koji nije djeljiv sa 2 (prema teoremi 4).

Broj djeljiv sa 2 naziva se paran broj.

Broj koji nije djeljiv sa 2 naziva se neparan broj..

Na primjer, brojevi 152 i 790 su parni, a brojevi 111 i 293 su neparni.

Ako je zbir cifara broja djeljiv sa 9, tada je i sam broj djeljiv sa 9.

Na primjer, zbir cifara 7 + 2 + 4 + 5 = 18 broja 7245 djeljiv je sa 9. Broj 7245 je djeljiv sa 9 jer se može predstaviti kao zbir 7∙1000 +
+ 2∙100 + 4∙10 + 5 = 7 (999 + 1) + 2∙(99 + 1) + + 4∙(9 + 1) + 5 = (7∙999 + 2∙99 +
+ 4∙9) + (7 + 2 + 4 + 5), pri čemu je zbir u prvim zagradama djeljiv sa 9, au drugim zagradama, zbir cifara datog broja, također djeljiv sa 9 ( prema teoremi 3).

Broj 375 nije djeljiv sa 9 jer zbir njegovih cifara 3 + 7 + 5=15 nije djeljiv sa 9 To se može dokazati na sljedeći način: 375 = 3∙(99 + 1) + 7∙(9+1) + 5 =
+ (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), pri čemu je zbir u prvim zagradama djeljiv sa 9, au drugim zagradama zbir cifara 375 nije djeljiv sa 9 ( prema teoremi 4).

Ako je zbir cifara broja djeljiv sa 3, tada je i sam broj djeljiv sa 3.

Na primjer, za broj 375, zbir cifara 3 + 7 + 5=15 je djeljiv sa 3, a sam je djeljiv sa 3 jer je 375 = (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), pri čemu je zbir u prvim zagradama djeljiv sa 3, au drugim zagradama - zbir cifara broja 375 - također djeljiv sa 3.

Zbir cifara broja 679, koji je 6 + 7 + 9 = 22, nije djeljiv sa 3, a sam broj nije djeljiv sa 3, jer je 679 = (6∙99 + 7∙9) + (6 + 7 + 9), pri čemu je zbir u prvim zagradama djeljiv sa 3, au drugim zagradama - zbir cifara broja 679 - nije djeljiv sa 3.

Bilješka. Kada kažu "broj se završava cifrom..." oni misle "decimalni zapis broja završava cifrom..."

Prosti i složeni brojevi

Svaki prirodni broj p je djeljiv sa 1 i sam sa sobom:

p:1=p, p:p=1.

prost broj nazovi prirodni broj koji je veći od jedan i djeljiv je samo sa 1 i samim sobom.

Evo prvih deset prostih brojeva:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Nejednostavni prirodni brojevi, velike jedinice, nazivaju se složenim. Svaki složeni broj je djeljiv sa 1, samim sobom i barem još jednim prirodnim brojem.

Ovdje su svi složeni brojevi manji od 20:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.

Dakle, skup svih prirodnih brojeva sastoji se od prostih brojeva, složenih brojeva i jedinica.

Ima beskonačno mnogo prostih brojeva, postoji prvi broj - 2, ali nema poslednjeg prostog broja.

Dijelioci prirodnih brojeva

Ako je prirodni broj a djeljiv prirodnim brojem b, tada je broj b zove razdjelnik brojevi a.

Na primjer, djelitelji broja 13 su brojevi 1 i 13, djelitelji broja 4 su brojevi 1, 2, 4, a djelitelji broja 12 su brojevi 1, 2, 3, 4, 6 , 12.

Svaki prost broj ima samo dva djelitelja, jedan i sebe, a svaki složeni broj ima i druge djelitelje osim jednog i sebe.

Ako je djelitelj prost broj, onda se naziva prosti djelitelj. Na primjer, broj 13 ima prosti faktor 13, broj 4 ima prosti faktor 2, a broj 12 ima prosti faktor 2 i 3.

Svaki složeni broj može se predstaviti kao proizvod njegovih prostih djelitelja. Na primjer,

28 = 2∙2∙7 = 2 2 ∙7;

81 \u003d 3 3 3 3 \u003d Z 4;

100 = 2∙2∙5∙5 = 2 2 ∙5 2 .

Desne strane rezultirajućih jednakosti nazivaju se prostim faktorizacijama brojeva 28, 22, 81 i 100.

Faktorirati dati složeni broj u proste faktore znači predstaviti ga kao proizvod njegovih različitih prostih djelitelja ili njihovih potencija.

Hajde da pokažemo kako možete rastaviti broj 90 na proste faktore.

1) 90 je deljivo sa 2, 90:2 = 45;

2) 45 nije deljivo sa 2, ali je deljivo sa 3, 45:3= 15;

3) 15 je deljivo sa 3, 15:3 = 5;

4) 5 je deljivo sa 5, 5:5 = 1.

Dakle, 90 = 2∙45 = 2∙3∙15 = 2∙3∙3∙5.

Najveći zajednički djelitelj

Broj 12 ima djelitelje 1, 2, 3, 4, 12. Broj 54 ima djelitelje 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. Vidimo da brojevi 12 i 54 imaju zajedničke djelitelje 1, 2 , 3 .6.

Najveći zajednički djelitelj brojeva 12 i 54 je 6.

Najveći zajednički djelitelj brojeva a i b označava: GCD (a, b).

Na primjer, gcd (12, 54) = 6.

Najmanji zajednički višekratnik

Broj djeljiv sa 12 naziva se višekratnik 12. Broj 12 je višekratnik 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, itd. Broj 18 je višestruki od 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, itd.

Vidimo da postoje brojevi koji su u isto vrijeme višekratnici 12 i 18. Na primjer, 36, 72, 108, ... . Ovi brojevi se nazivaju zajedničkim višekratnicima 12 i 18.

Najmanji zajednički višekratnik prirodnih brojeva a i b je najmanji prirodan broj djeljiv čak sa a i b. Ovaj broj je označen sa: NOC (a, b).

Najmanji zajednički višekratnik dva broja obično se nalazi na jedan od dva načina. Hajde da ih razmotrimo.

Naći LCM(18, 24).

I way. Napisaćemo brojeve koji su višestruki od 24 (najveći od ovih brojeva), provjeravajući da li je svaki od njih djeljiv sa 18: 24∙1=24 - nije djeljiv sa 18, 24∙2 = 48 - nije djeljiv sa 18, 24∙3 = 72 – deljivo je sa 18, pa je LCM (24, 18) =
= 72.

II način. Brojeve 24 i 18 rastavljamo na proste faktore: 24 = 2∙2∙2∙3,
18 = 2∙3∙3.

LCM(24, 18) mora biti djeljiv sa 24 i 18. Dakle, željeni broj sadrži sve proste djelitelje više 24 (tj. brojevi 2, 2, 2, 3) i faktori koji nedostaju iz proširenja manjeg broja 18 (još jedan broj 3). Stoga je LCM(18, 24) = 2∙2∙2∙3∙3 = 72.

Budući da zajednički prosti brojevi nemaju zajedničke proste djelitelje, njihov najmanji zajednički višekratnik jednak je proizvodu ovih brojeva. Na primjer, 24 i 25 su relativno prosti brojevi. Prema tome, LCM (24, 25) = 24∙25 = 600.

Ako je jedan od dva broja jednako djeljiv s drugim, tada je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva jednak većem od njih. Na primjer, 120 je jednako djeljivo sa 24, tako da je LCM (120, 24) = 120.

Cijeli brojevi

Podsjetnik. Pozivaju se brojevi koji se koriste prilikom brojanja objekata prirodni brojevi. Nula se ne smatra prirodnim brojem. Prirodni brojevi i nula, napisani uzlaznim redoslijedom i bez praznina, tvore niz nenegativnih cijelih brojeva:

Ovaj odjeljak će uvesti nove brojeve − cijeli broj negativan.

Cjelobrojni negativni brojevi

Osnovni primjer iz života je termometar. Pretpostavimo da pokazuje temperaturu od 7°C. Ako temperatura padne za 4°, termometar će pokazati 3° toplote. Smanjenje temperature odgovara akciji oduzimanja: 7 - 4 \u003d 3. Ako temperatura padne za 7 °, termometar će pokazati 0 °: 7 - 7 \u003d 0.

Ako temperatura padne za 8°, termometar će pokazati -1° (1° mraz). Ali rezultat oduzimanja 7 - 8 ne može se napisati korištenjem prirodnih brojeva i nule, iako ima pravo značenje.

Nemoguće je izbrojati 8 brojeva od broja 7 lijevo u nizu nenegativnih cijelih brojeva. Da bi radnja 7 - 8 bila izvodljiva, širimo raspon nenegativnih cijelih brojeva. Da bismo to učinili, lijevo od nule, pišemo (s desna na lijevo) sve prirodne brojeve, dodajući svakom od njih znak "-", pokazujući da je ovaj broj lijevo od nule.

Unosi -1, -2, -3, ... glase "minus 1", "minus 2", "minus 3" itd.:

–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... .

Rezultirajući niz brojeva naziva se niz cijelih brojeva. Tačke s lijeve i desne strane u ovom unosu znače da se niz može neograničeno nastaviti desno i lijevo.

Desno od broja 0 u ovom redu nalaze se brojevi koji se nazivaju prirodni ili pozitivni cijeli brojevi.

Definicija.Neka su dati prirodni brojevi a i b. Za broj a se kaže da je djeljiv brojem b ako postoji prirodan broj q takav da je a = bq.

U ovom slučaju, broj b pozvao djelitelj a , i broj a je višekratnik od b.

na primjer, 24 je djeljivo sa 8, jer postoji takav q = 3, što je 24 = 8×3. Drugim riječima, 8 je djelitelj broja 24, a 24 je višekratnik broja 8.

U tom slučaju kada a podijeljena b, napišite: a M b. Ovaj unos se često čita ovako: „i višestruko b.

Imajte na umu da koncept "djelitelja datog broja" treba razlikovati od koncepta "djelitelja", koji označava broj kojim se dijeli. Na primjer, ako je 18 podijeljeno sa 5, tada je broj 5 djelitelj, ali 5 nije djelitelj broja 18. Ako je 18 podijeljeno sa 6, tada se u ovom slučaju koriste koncepti "djelitelj" i "djelitelj broja ovaj broj” poklapaju.

Iz definicije relacije djeljivosti i jednakosti a = 1 × a, pošteno za sve prirodne a, iz toga sledi 1 je djelitelj bilo kojeg prirodnog broja.

Saznajte koliko djelitelja može imati prirodni broj a. Razmotrimo prvo sljedeću teoremu.

Teorema 1. Delitelj b datog broja a ne prelazi ovaj broj, tj. ako je a M b, onda je b £ a.

Dokaz. Pošto a M b, postoji qO N takav da je a = bq i, prema tome, a - b = bq - b = b ×(q - 1). Kako je qO N, onda je q ³ 1. . Tada je b ×(q - 1) ³ 0 i, posljedično, b £ a.

Iz ove teoreme slijedi da je skup djelitelja datog broja konačan. Nazovimo, na primjer, sve djelitelje broja 36. Oni čine konačan skup (1,2,3,4,6,9, 12, 18,36).

U zavisnosti od broja djelitelja među prirodnim brojevima razlikuju se prosti i složeni brojevi.

Definicija.Prosti broj je prirodan broj veći od 1 koji ima samo dva djelitelja - jedan i sam broj.

na primjer, 13 je prosto jer ima samo dva djelitelja: 1 i 13.

Definicija.Složeni broj je prirodan broj koji ima više od dva djelitelja.

Dakle, broj 4 je složen, ima tri djelitelja: 1, 2 i 4. Broj 1 nije ni prost ni kompozitni broj jer ima samo jedan djelitelj.

Brojeve koji su višekratnici datog broja možete zvati koliko god želite - postoji beskonačan broj njih. Dakle, brojevi koji su višestruki od 4 čine beskonačan niz: 4, 8, 12, 16, 20, 24, .... i svi se mogu dobiti po formuli a = 4q, gdje q uzima vrijednosti 1, 2, 3,... .

Znamo da relacija djeljivosti na skupu N ima niz svojstava, posebno da je refleksivna, antisimetrična i tranzitivna. Sada, imajući definiciju relacije djeljivosti, možemo dokazati ova i druga njegova svojstva.

Teorema 2. Relacija djeljivosti je refleksivna, tj. Svaki prirodan broj je djeljiv sam sa sobom.

Dokaz. Za bilo koji prirodni a pravedna jednakost a = a× 1. Pošto je 1 n N onda je, po definiciji relacije djeljivosti, aMa.

Teorema 3. Relacija djeljivosti je antisimetrična, tj. ako je a M b i a ¹ b, onda .

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, tj. da bMa. Ali tada a £ b, prema teoremi o kojoj je gore raspravljano.

Po uslovu a M b i a ¹ b. Zatim, prema istoj teoremi, b £ a.

Nejednakosti a £ b i b £ a će važiti samo kada je a = b, što je u suprotnosti sa uslovom teoreme. Stoga je naša pretpostavka pogrešna i teorema je dokazana.

Teorema 4. Relacija djeljivosti je tranzitivna, tj. ako a M b i b M s, zatim a M s.

Dokaz. As a Mb, q,šta a = b q , i od tada bM s, onda postoji prirodan broj R, šta b = cf. Ali onda imamo: a = b q = (cp)q = c(pq). Broj pq - prirodno. Dakle, po definiciji relacije djeljivosti, a. Gospođa.

Teorema 5(znak djeljivosti zbira). Ako je svaki od prirodnih brojeva a 1, a 2, ... a p djeljiv prirodnim brojem b, onda je njihov zbir a 1 + a 2 + ... + a p djeljiv ovim brojem.

na primjer, bez računanja, možemo reći da je zbir 175 + 360 +915 djeljiv sa 5, jer je svaki član ovog zbira djeljiv sa 5.

Teorema 6(znak djeljivosti razlike). Ako su brojevi a 1 i a 2 djeljivi sa b i a 1 ³ a 2, onda je njihova razlika a 1 - a 2 djeljiva sa b.

Teorema 7(znak djeljivosti rada). Ako je broj a djeljiv sa b, tada je proizvod oblika ax, gdje je x e N. djeljiv sa b.

Iz teoreme slijedi da ako je jedan od faktora proizvoda djeljiv prirodnim brojem b, tada je i cijeli proizvod djeljiv sa b.

na primjer, proizvod 24×976×305 je djeljiv sa 12, jer je faktor 24 djeljiv sa 12.

Razmotrimo još tri teoreme vezane za djeljivost zbira i proizvoda, koje se često koriste u rješavanju problema djeljivosti.

Teorema 8. Ako u zbiru jedan član nije djeljiv brojem b, a svi ostali članovi su djeljivi sa b, onda cijeli zbir nije djeljiv sa b.

Na primjer, zbir 34 + 125 + 376 + 1024 nije djeljiv sa 2, jer 34:2.376:2.124:2, ali 125 nije djeljiv sa 2.

Teorema 9. Ako je u proizvodu ab faktor a djeljiv prirodnim brojem m, a faktor b djeljiv prirodnim brojem n, tada je a b djeljiv sa m.

Valjanost ove tvrdnje proizlazi iz teoreme o djeljivosti proizvoda.

Teorema 10. Ako je proizvod ac djeljiv proizvodom bc, a c je prirodan broj, tada je i a djeljiv sa b.

Kraj rada -

Ova tema pripada:

Konzistentan sistem aksioma naziva se nezavisnim ako nijedan od aksioma ovog sistema nije posledica drugih aksioma ovog sistema

At aksiomatska konstrukcija teorija, u suštini, svi iskazi su izvedeni dokazivanjem iz aksioma; dakle, oni su predstavljeni sistemu aksioma.. sistem aksioma se naziva konzistentnim ako je logički nemoguće iz njega.. ako sistem aksioma nema ovo svojstvo, ne može biti prikladno za potkrepljivanje naučne teorije.

Ako vam je potreban dodatni materijal na ovu temu, ili niste pronašli ono što ste tražili, preporučujemo da koristite pretragu u našoj bazi radova:

Šta ćemo sa primljenim materijalom:

Ako vam se ovaj materijal pokazao korisnim, možete ga spremiti na svoju stranicu na društvenim mrežama:

tweet

Sve teme u ovoj sekciji:

kvantitativni prirodni brojevi. Provjeri
Aksiomatska teorija opisuje prirodni broj kao element beskonačnog niza u kojem su brojevi raspoređeni određenim redoslijedom, postoji prvi broj i tako dalje. Drugim riječima, u aksiomatici

Pitanja za samokontrolu
1. Imenujte vrste skupova, dajte im opis. Koje se operacije mogu izvoditi na skupovima? 2. Šta je "broj", "cifra", "račun"? 3. Koja je veza i razlika između brojanja i mjerenja

Glavna literatura; Dalje čitanje Uvod. Uvodeći pojam segmenta prirodne serije, saznali smo

Teorijsko značenje sume
Sabiranje nenegativnih cijelih brojeva povezano je s unijom konačnih disjunktnih skupova. Na primjer, ako skup A sadrži 5 elemenata, a skup B ima 4 elementa i siječe se

U aksiomatskoj teoriji, oduzimanje prirodnih brojeva je definisano kao inverzna operacija sabiranja: a – b = s Û ($ sON) b + s = a. Oduzimanje cijelih nenegativnih brojeva definira

Teorijsko-skupovno značenje djela
Definicija množenja prirodnih brojeva u aksiomatskoj teoriji zasniva se na pojmu "odmah slijedeće" relacije i sabiranja. U školskom predmetu matematike koristi se drugačija definicija.

Teorijsko značenje privatnih prirodnih brojeva
U aksiomatskoj teoriji, dijeljenje je definirano kao inverzna operacija množenja, tako da je uspostavljena bliska veza između dijeljenja i množenja. Ako je a × b = c, tada, znajući proizvod sa

Pozicioni i nepozicioni računski sistemi
Sadržaj 1. Pozicioni i nepozicioni brojevni sistemi. 2. Pisanje broja u decimalnim zapisima. Glavna literatura ;

Jezik za imenovanje, pisanje brojeva i izvođenje operacija nad njima naziva se brojevni sistem.
Ljudi su naučili da imenuju brojeve i broje čak i prije pojave pisanja. U tome su im pomogli, prije svega, prsti na rukama i nogama. Od davnina se koristila i takva vrsta instrumentalnog računa kao što je drvo.

Pisanje broja u decimalnim zapisima
Kao što znate, u decimalnom brojevnom sistemu, 10 karaktera (brojeva) se koristi za pisanje brojeva: 0, 1.2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Od njih formiram konačne nizove koji su kratki zapisi

Algoritam sabiranja
Sabiranje jednocifrenih brojeva može se izvršiti na osnovu definicije ove radnje, ali da se ne bi svaki put pozivali na definiciju, svi zbrojevi koji se dobiju sabiranjem jednocifrenih brojeva,

Algoritam oduzimanja
Oduzimanje jednocifrenog broja b od jednocifrenog ili dvocifrenog broja a, koji ne prelazi 18, svodi se na pronalaženje broja c takvog da je b + c = a, i uzima u obzir tablicu sabiranja jednocifrenih brojeva

Opisani proces nam omogućava da u opštem obliku formulišemo algoritam za oduzimanje brojeva u decimalnom brojevnom sistemu
1. Oduzeto zapisujemo ispod redukovanog tako da odgovarajuće cifre budu jedna ispod druge. 2. Ako cifra u jediničnoj cifri oduzimanja ne prelazi odgovarajuću cifru

Algoritam množenja
Množenje jednocifrenih brojeva može se izvršiti na osnovu definicije ove operacije. Ali da se ne bi svaki put pozivali na definiciju, svi proizvodi jednocifrenih brojeva zapisani su u posebnoj tabeli

Algoritam podjele
Kada je u pitanju tehnika dijeljenja brojeva, ovaj proces se smatra radnjom dijeljenja s ostatkom: dijeljenje nenegativnog cijelog broja a prirodnim brojem b znači pronalaženje

Generalizacija različitih slučajeva dijeljenja nenegativnog cijelog broja a prirodnim brojem b je sljedeći algoritam za dijeljenje uglom
1. Ako je a = b, onda je količnik q = 1, ostatak r = 0. 2. Ako je a\u003e b i broj znamenki u brojevima a i b isti, tada nalazimo količnik q nabrajanjem, sukcesivno množenjem b sa 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

4. Prosti brojevi. 5. Metode za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja i najmanjeg zajedničkog višekratnika brojeva. Glavna literatura ; Dodatno

Znakovi djeljivosti
Relacije deljivosti koje se razmatraju u svojstvima omogućavaju dokazivanje dobro poznatih znakova deljivosti brojeva zapisanih u decimalnom brojevnom sistemu sa 2, 3, 4, 5, 9. Znakovi deljivosti dozvoljavaju

Najmanji zajednički višestruki i najveći zajednički djelitelj
Razmotrimo pojmove najmanjeg zajedničkog višekratnika i najvećeg zajedničkog djelitelja prirodnih brojeva, poznatih iz školskog predmeta matematike, i formulirajmo njihova glavna svojstva, izostavljajući sve dokaze

primarni brojevi
Prosti brojevi igraju veliku ulogu u matematici - oni su u suštini "cigle" od kojih se grade složeni brojevi. Ovo je navedeno u teoremi koja se zove fundamentalna teorema aritmetike.

Načini pronalaženja najvećeg zajedničkog djelitelja i najmanjeg zajedničkog višekratnika brojeva
Razmotrimo prvo metodu zasnovanu na dekomponovanju ovih brojeva na proste faktore. Neka su data dva broja 3600 i 288. Predstavimo ih u kanonskom obliku: 3600 = 24×3

O proširenju skupa prirodnih brojeva
Sadržaj 1. Pojam razlomka. 2. Pozitivni racionalni brojevi. 3. Pišite pozitivno racionalni brojevi u obliku decimala. 4. Važeće radno vrijeme

Koncept razlomka
Neka je potrebno izmjeriti dužinu segmenta x pomoću pojedinačni segment e (slika 1). Kada se izmjeri, pokazalo se

Pozitivni racionalni brojevi
Relacija jednakosti je relacija ekvivalencije na skupu razlomaka, tako da generiše klase ekvivalencije na njemu. Svaka takva klasa sadrži razlomke koji su međusobno jednaki. Na

Sabiranje pozitivnih racionalnih brojeva je komutativno i asocijativno,
("a, b Î Q+) a + b= b + a; ("a, b, c Î Q+) (a + b)+ c = a + (b+ c) Prije formulisanja definicije

Zapisivanje pozitivnih racionalnih brojeva kao decimala
U praksi se široko koriste razlomci čiji su nazivnici stepena 10. Zovu se decimalni. Definicija. deset

Realni brojevi
Jedan od izvora pojave decimalnih razlomaka je podjela prirodnih brojeva, drugi je mjerenje količina. Otkrijmo, na primjer, kako se decimalni razlomci mogu dobiti pri mjerenju dužine segmenta.

Teorijsko značenje razlike
8. Odnosi "više od" i "manje od". 9. Pravila za oduzimanje broja od zbira i zbira od broja. 10. Iz istorije nastanka i razvoja načina pisanja prirodnih brojeva i nule.

Skup pozitivnih racionalnih brojeva kao proširenje skupa prirodnih brojeva
27. Zapišite pozitivne racionalne brojeve kao decimalne razlomke. 28. Realni brojevi. MODUL 4. GEOMETRIJSKE FIGURE I VRIJEDNOSTI

Koncept pozitivne skalarne veličine i njeno mjerenje
Razmotrite dvije tvrdnje koje koriste riječ "dužina": 1) Mnogi objekti oko nas imaju dužinu. 2) Tabela ima dužinu. Prva rečenica kaže

Definicija. Neka su dati prirodni brojevi a i b. Za broj a se kaže da je djeljiv brojem b ako postoji prirodan broj q takav da je a = bq.

U ovom slučaju se poziva broj b djelitelj broja a, broj a - višestruko od b.

Na primjer, 24 je djeljivo sa 8, jer postoji q = 3 tako da je 24 = 8 3. Može se reći drugačije: 8 je djelitelj 24, a 24 je višekratnik 8. U slučaju kada je a podijeljeno sa b, pišu: a:. b. Ovaj zapis "" takođe se čita ovako: "a je višekratnik b". Imajte na umu da koncept "djelitelja datog broja" treba razlikovati od koncepta "djelitelja", koji označava broj kojim se dijeli. Na primjer, ako 18 dijeli sa 5, tada je broj 5 djelitelj, ali 5 nije djelitelj 18. Ako 18 dijeli 6, tada se u ovom slučaju koncepti "djelitelja" i "djelitelja ovog broja" poklapaju.

Iz definicije relacije djeljivosti i jednakosti a = 1·a, važeće za bilo koji prirodni a, slijedi da je 1 djelitelj bilo kojeg prirodnog broja.

Hajde da saznamo koliko djelitelja prirodni broj može imati. Razmotrimo prvo sljedeću teoremu.

Teorema 1. Delitelj b datog broja a ne prelazi ovaj broj, tj. ako

a: . b, zatim b< а.

Dokaz. Od a: . b, onda postoji q Ê N tako da je a = bq u, pa je a-b = bq – b= b (q - jedan). Pošto je q Ê N, onda je q≥ 1. Tada je b (q - 1) ≥ 0 i stoga , b ≤ a.

Iz ove teoreme slijedi da je skup djelitelja datog broja konačan. Nazovimo, na primjer, da svi djelitelji broja 36 čine konačan skup (1,2,3,4,6,9,12,18,36).

U zavisnosti od broja djelitelja među prirodnim brojevima razlikuju se prosti i složeni brojevi.

Definicija. Prosti broj je prirodan broj koji ima samo dva djelitelja - jedan i sam broj.

Na primjer, broj 13 je prost jer ima samo dva djelitelja: 1 i 13.

Definicija. Složeni broj je prirodan broj koji ima više od dva djelitelja.

Dakle, broj 4 je složen, ima tri djelitelja: 1,2 i 4.

Broj 1 nije ni prost ni složen broj zbog činjenice da ima samo jedan djelitelj.

Brojeve koji su višekratnici datog broja možete zvati koliko god želite - postoji beskonačan broj njih. Dakle, brojevi koji su višestruki od 4 čine beskonačan niz: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ..., a svi se mogu dobiti po formuli a = 4q, gdje q uzima vrijednosti 1, 2, 3, ... .

Znamo da relacija djeljivosti ima niz svojstava, a posebno je refleksivna, antisimetrična i tranzitivna. Sada, imajući definiciju relacije djeljivosti, možemo dokazati ova i druga njegova svojstva.

Teorema 2. Relacija djeljivosti je refleksivna, tj. Svaki prirodan broj je djeljiv sam sa sobom.

Dokaz. Za bilo koje prirodno a, jednakost a = a 1 je tačna. Kako je 1 Ê N, onda, po definiciji relacije djeljivosti, a: . a.

Teorema 3. Relacija djeljivosti je antisimetrična, tj. ako: . b i a ≠ b,

onda b ⁞͞ a.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, tj. šta b ⁞ a. Ali tada je a ≤ b, prema teoremi o kojoj smo gore govorili.

Po stanju i ⁞ . b i a ≠ b. Tada je, prema istoj teoremi, b ≤ a.

Nejednakosti a ≤ b i b ≤ a će važiti samo kada je a = b, što je u suprotnosti sa uslovom teoreme. Stoga je naša pretpostavka pogrešna i teorema je dokazana.

Teorema 4. Relacija djeljivosti je tranzitivna, tj. ako a ⁞ b i b ⁞ s, zatim a ⁞ sa.

Dokaz. Od a: . b, onda postoji prirodan broj q takav da je a = bq, a pošto b ⁞ c, onda postoji prirodan broj p takav da je b = cp. Ali tada imamo: a = bq = (cp)q = c(pq)- Broj pq je prirodan. Dakle, po definiciji relacije djeljivosti,

a ⁞ sa.

Teorema 5 (znak djeljivosti zbira). Ako je svaki od prirodnih brojeva a 1 , a 2 , ... i p djeljiv prirodnim brojem b, tada je njihov zbir a 1 + a 2 + ... + a n djeljiv ovim brojem.

Dokaz. Od 1 ⁞ b, onda postoji prirodan broj q 1 takav da je a 1 =bq 1 . Od 2 ⁞ b, onda postoji prirodan broj q 2 takav da je a 2 = bq 2 . Nastavljajući razmišljanje, dobijamo da ako je a n: . b, onda postoji prirodan broj q n takav da je a p = bq n . Ove jednakosti nam omogućavaju da transformiramo zbir a 1 + a 2 + ... + a n u zbir oblika bq 1 + bq 2 + ... + bq n . Izvadimo zajednički faktor b, a prirodni broj q 1 + q 2 + ... + q n dobijen u zagradi označava se slovom q. Onda a 1+ a 2 + ... + a n = b(q 1 + q 2 +... + q n) = bq, tj. pokazalo se da je zbir a 1 + a 2 + ... + a p predstavljen kao proizvod broja b i nekog prirodnog broja q. A to znači da je zbir a 1 + a 2 + ... + a p djeljiv sa b, što je trebalo dokazati.

Na primjer, bez izračunavanja, možemo reći da je 175 + 360 + 915 djeljivo sa 5, jer je svaki član u ovom zbiru djeljiv sa 5.

Teorema 6 (test za djeljivost razlike). Ako su brojevi a 1 i a 2 djeljivi sa b i a 1 ≥ a 2, onda je njihova razlika a 1 - a 2 djeljiva sa b.

Dokaz ove teoreme sličan je dokazu kriterija djeljivosti zbira.

Teorema 7 (test djeljivosti proizvoda). Ako je broj a djeljiv sa b, tada je proizvod oblika ax, gdje je x Ê N, djeljiv sa b.

Dokaz. Od a: . b, onda postoji prirodan broj q takav da a= bq. Pomnožite obje strane ove jednakosti prirodnim brojem x. Tada je ax=(bq)x, odakle je, na osnovu svojstva asocijativnosti množenja, (bq)x = b(qx) i, prema tome, ax = b(qx), gdje je qx prirodan broj. Prema definiciji relacije djeljivosti, ax: . b, što je trebalo dokazati.

Iz dokazane teoreme slijedi da ako je jedan od faktora proizvoda djeljiv prirodnim brojem b, onda je i cijeli proizvod djeljiv sa b. Na primjer, proizvod 24 976 305 je djeljiv sa 12, jer je faktor 24 djeljiv sa 12.

Razmotrimo još tri teoreme vezane za djeljivost zbira i proizvoda, koje se često koriste u rješavanju problema djeljivosti.

Teorema 8. Ako u zbiru jedan član nije djeljiv brojem b, a svi ostali članovi su djeljivi brojem b, onda cijeli zbir nije djeljiv brojem b.

Dokaz. Neka je s = a 1 + a r + ... + a n + "c i poznato je da je a 1: . B, i 2: . B,

a 3: . b, … i n: . b, ali sa: . b. Dokažimo da je onda s: . b

Pretpostavimo suprotno, tj. Neka s: . b. Pretvorimo zbir s u oblik s = s- ( a 1 + a 2 +… + a n). Pošto s: . b po pretpostavci, ( a 1 + a 2 +… + a n) : . b prema kriteriju djeljivosti zbira, zatim po teoremi djeljivosti razlike c: .b

Došao u kontradikciju sa onim što je dato. Prema tome, s: . b.

Na primjer, zbir 34 + 125 + 376 + 1024 nije djeljiv sa 2, pa 34: .2.376: .2.124: .2, ali 125 nije djeljiv sa 2.

Teorema 9 . Ako je u proizvodu ab faktor a je djeljiv prirodnim brojem m, a faktor b je djeljiv prirodnim brojem n, tada je ab djeljiv sa mn.

Valjanost ove tvrdnje proizlazi iz teoreme o djeljivosti proizvoda.

Teorema 10. Ako je posao as je djeljiv proizvodom bc, a c je onda prirodan broj a je djeljiv sa b.

Dokaz. Pošto se as dijeli godine prije Krista, onda postoji prirodan broj q takav da je ac = (bc)q, odakle je ac = (bq)c i, prema tome, a = bq, tj. a:.b.

Vježbe

1. Objasni zašto je 15 djelitelj 60, a ne 70.

2. Konstruisati graf relacije "da bude delilac datog broja", dat na skupu X = (2, 6,. 12, 18, 24). Kako se svojstva odražavaju na ovom grafikonu dati odnos?

3. Poznato je da je broj 24 djelitelj broja 96, a broj 96 djelitelj broja 672. Dokažite da je broj 24 djelitelj broja 672 bez dijeljenja.

4. Zapišite skup djelitelja broja.

a) 24; 6)13; u 1.

5 .Na skupu X =(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11; 12) data je relacija "imaju isti broj djelitelja". Da li je to relacija ekvivalencije?

6 .Konstruirajte zaključak kojim se dokazuje da:

a) broj 19 je prost;

b) broj 22 je složen.

7. Dokažite ili opovrgnite sljedeće tvrdnje:

a) Ako je zbir dva člana djeljiv nekim brojem, tada je i svaki član djeljiv tim brojem.

b) Ako jedan od članova zbira nije djeljiv nekim brojem, onda zbir nije djeljiv ovim brojem.

c) Ako nijedan član nije djeljiv nekim brojem, onda zbir nije djeljiv tim brojem.

d) Ako je jedan od članova zbira djeljiv nekim brojem, a drugi nije djeljiv ovim brojem, onda zbir nije djeljiv ovim brojem.

8. Da li je tačno da:

aa:. tip b: . n =>ab: .mn

b) a: .n i b: .n => ab: .n;

c) ab: .n => a: .p ili b: .n.