Neka je zadan pravougaoni koordinatni sistem.

Teorema 1.1. Za bilo koje dvije tačke M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2) ravnine, udaljenost d između njih izražava se formulom

Dokaz. Ispustimo iz tačaka M 1 i M 2 okomite M 1 B i M 2 A, respektivno

na osama Oy i Ox i označimo sa K tačku preseka pravih M 1 B i M 2 A (slika 1.4). Mogući su sljedeći slučajevi:

1) Tačke M 1, M 2 i K su različite. Očigledno, tačka K ima koordinate (x 2; y 1). Lako je vidjeti da je M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôy 2 – y 1 ô. Jer ∆M 1 KM 2 je pravougaona, tada po Pitagorinoj teoremi d = M 1 M 2 = = .

2) Tačka K se poklapa sa tačkom M 2, ali je različita od tačke M 1 (slika 1.5). U ovom slučaju y 2 = y 1

i d \u003d M 1 M 2 \u003d M 1 K \u003d ôx 2 - x 1 ô \u003d =

3) Tačka K se poklapa sa tačkom M 1, ali je različita od tačke M 2. U ovom slučaju x 2 = x 1 i d =

M 1 M 2 \u003d KM 2 \u003d ôy 2 - y 1 ô \u003d = .

4) Tačka M 2 poklapa se sa tačkom M 1. Tada je x 1 = x 2, y 1 = y 2 i

d \u003d M 1 M 2 \u003d O \u003d.

Podjela segmenta u ovom pogledu.

Neka je na ravni dat proizvoljni segment M 1 M 2 i neka je M bilo koja od toga

segmenta osim tačke M 2 (slika 1.6). Broj l definiran jednakošću l = , zove se stav, u kojoj tačka M dijeli segment M 1 M 2.

Teorema 1.2. Ako tačka M (x; y) dijeli segment M 1 M 2 u odnosu na l, tada su koordinate toga određene formulama

x = , y = , (4)

gdje su (x 1; y 1) koordinate tačke M 1, (x 2; y 2) su koordinate tačke M 2.

Dokaz. Dokažimo prvu od formula (4). Slično se dokazuje i druga formula. Moguća su dva slučaja.

x = x 1 = = = .

2) Prava linija M 1 M 2 nije okomita na osu Ox (slika 1.6). Ispustimo okomice iz tačaka M 1 , M, M 2 na osu Ox i označimo tačke njihovog preseka sa osom Ox odnosno P 1 , P, P 2 . Prema teoremi o proporcionalnim segmentima =l.

Jer P 1 P \u003d ôx - x 1 ô, PP 2 \u003d ôx 2 - xô i brojevi (x - x 1) i (x 2 - x) imaju isti predznak (za x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 su negativni), onda

l == ,

x - x 1 = l (x 2 - x), x + lx \u003d x 1 + lx 2,

x = .

Posljedica 1.2.1. Ako su M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2) dvije proizvoljne tačke i tačka M (x; y) je središte segmenta M 1 M 2, tada

x = , y = (5)

Dokaz. Kako je M 1 M = M 2 M, onda je l = 1 i po formulama (4) dobijamo formule (5).

Površina trougla.

Teorema 1.3. Za bilo koje točke A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) i C (x 3; y 3) koje ne leže na istoj

prava linija, površina S trougla ABC je izražena formulom

S \u003d ô (x 2 - x 1) (y 3 - y 1) - (x 3 - x 1) (y 2 - y 1) ô (6)

Dokaz. Područje ∆ ABC prikazano na sl. 1.7, računamo na sljedeći način

S ABC \u003d S ADEC + S BCEF - S ABFD.

Izračunajte površinu trapeza:

S-ADEC=
,

SBCEF=

S ABFD =

Sada imamo

S ABC \u003d ((x 3 - x 1) (y 3 + y 1) + (x 3 - x 2) (y 3 + y 2) - (x 2 - -x 1) (y 1 + y 2) ) \u003d (x 3 y 3 - x 1 y 3 + x 3 y 1 - x 1 y 1 + + x 2 y 3 - -x 3 y 3 + x 2 y 2 - x 3 y 2 - x 2 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 2 + x 1 y 2) \u003d (x 3 y 1 - x 3 y 2 + x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 -

X 1 y 3) \u003d (x 3 (y 1 - y 2) + x 1 y 2 - x 1 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 1 + y 3 (x 2 - x 1)) \u003d (x 1 (y 2 - y 1) - x 3 (y 2 - y 1) + + y 1 (x 1 - x 2) - y 3 (x 1 - x 2)) \u003d ((x 1 - x 3) ( y 2 - y 1) + (x 1 - x 2) (y 1 - y 3)) \u003d ((x 2 - x 1) (y 3 - y 1) -

- (x 3 - x 1) (y 2 - y 1)).

Za drugu lokaciju ∆ ABC, formula (6) se dokazuje slično, ali se može dobiti sa znakom “-”. Dakle, u formulu (6) stavite znak modula.

Predavanje 2

Jednačina prave linije u ravni: jednačina prave linije sa vodećim koeficijentom, opšta jednačina prava linija, jednačina prave linije u segmentima, jednačina prave linije koja prolazi kroz dvije tačke. Ugao između pravih, uslovi paralelnosti i okomitosti pravih na ravni.

2.1. Neka je na ravni dat pravougaoni koordinatni sistem i neka prava L.

Definicija 2.1. Jednačina oblika F(x;y) = 0 koja povezuje varijable x i y naziva se jednačina linije L(u datom koordinatnom sistemu) ako ovu jednačinu zadovoljavaju koordinate bilo koje tačke koja leži na pravoj L, a ne koordinate bilo koje tačke koja ne leži na ovoj pravoj.

Primjeri jednadžbi pravih na ravni.

1) Razmotrimo pravu liniju, paralelno sa osom Oy pravougaonog koordinatnog sistema (slika 2.1). Označimo slovom A tačku preseka ove prave sa osom Ox, (a; o) ─ njen or-

dinara. Jednačina x = a je jednačina date linije. Zaista, ova jednačina je zadovoljena koordinatama bilo koje tačke M(a;y) ove prave i zadovoljene su koordinate bilo koje tačke koja ne leži na pravoj. Ako je a = 0, tada se linija poklapa sa osom Oy, koja ima jednadžbu x = 0.

2) Jednadžba x - y \u003d 0 definira skup tačaka u ravnini koje čine simetrale I i III koordinatnih uglova.

3) Jednadžba x 2 - y 2 \u003d 0 je jednadžba dvije simetrale koordinatnih uglova.

4) Jednačina x 2 + y 2 = 0 definira jednu tačku O(0;0) na ravni.

5) Jednadžba x 2 + y 2 \u003d 25 je jednadžba kruga polumjera 5 sa središtem u ishodištu.

Rješavanje zadataka iz matematike za učenike često je praćeno mnogim poteškoćama. Da pomognemo studentu da se nosi sa ovim poteškoćama, kao i da ga nauči kako da svoje teorijsko znanje primeni u rešavanju konkretnih zadataka u svim delovima predmeta „Matematika“ je osnovna svrha našeg sajta.

Polazeći od rješavanja zadataka na temu, učenici treba da budu u stanju da izgrade tačku na ravni prema njenim koordinatama, kao i da pronađu koordinate date tačke.

Proračun udaljenosti između dvije tačke uzete na ravni A (x A; y A) i B (x B; y B) vrši se po formuli d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), gdje je d dužina segmenta koji povezuje ove tačke na ravni.

Ako se jedan od krajeva segmenta poklapa sa ishodištem, a drugi ima koordinate M (x M; y M), tada će formula za izračunavanje d imati oblik OM = √ (x M 2 + y M 2).

1. Izračunavanje udaljenosti između dvije tačke date koordinate ovih tačaka

Primjer 1.

Pronađite dužinu segmenta koji spaja koordinatna ravan tačke A(2; -5) i B(-4; 3) (slika 1).

Rješenje.

Dat je uslov zadatka: x A = 2; x B \u003d -4; y A = -5 i y B = 3. Pronađite d.

Primjenom formule d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), dobivamo:

d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10.

2. Izračunavanje koordinata tačke koja je jednako udaljena od tri date tačke

Primjer 2

Naći koordinate tačke O 1, koja je jednako udaljena od tri tačke A(7; -1) i B(-2; 2) i C(-1; -5).

Rješenje.

Iz formulacije uvjeta problema slijedi da je O 1 A = O 1 B = O 1 C. Neka željena tačka O 1 ima koordinate (a; b). Prema formuli d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) nalazimo:

O 1 A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Sastavljamo sistem od dve jednačine:

(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Nakon kvadriranja lijeve i desne strane jednadžbe pišemo:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2 .

Pojednostavljajući, pišemo

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

Nakon što smo riješili sistem, dobijamo: a = 2; b = -1.

Tačka O 1 (2; -1) jednako je udaljena od tri tačke date u uslovu koje ne leže na jednoj pravoj liniji. Ova tačka je centar kružnice koja prolazi kroz tri date bodove (sl. 2).

3. Izračunavanje apscise (ordinate) tačke koja leži na osi apscise (ordinate) i nalazi se na datoj udaljenosti od ove tačke

Primjer 3

Udaljenost od tačke B(-5; 6) do tačke A koja leži na x-osi je 10. Pronađite tačku A.

Rješenje.

Iz formulacije uslova problema proizilazi da je ordinata tačke A nula i AB = 10.

Označavajući apscisu tačke A kroz a, pišemo A(a; 0).

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) = √ ((a + 5) 2 + 36).

Dobijamo jednačinu √((a + 5) 2 + 36) = 10. Pojednostavljujući je, imamo

a 2 + 10a - 39 = 0.

Korijeni ove jednadžbe a 1 = -13; i 2 = 3.

Dobijamo dva boda A 1 (-13; 0) i A 2 (3; 0).

pregled:

A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) = 10.

A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) = 10.

Obe dobijene tačke odgovaraju uslovu zadatka (Sl. 3).

4. Izračunavanje apscise (ordinate) tačke koja leži na osi apscise (ordinate) i nalazi se na istoj udaljenosti od dvije date tačke

Primjer 4

Pronađite tačku na osi Oy koja je na istoj udaljenosti od tačaka A (6; 12) i B (-8; 10).

Rješenje.

Neka koordinate tačke tražene uslovom zadatka, koja leži na osi Oy, budu O 1 (0; b) (u tački koja leži na osi Oy, apscisa je jednaka nuli). Iz uvjeta slijedi da je O 1 A = O 1 B.

Prema formuli d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) nalazimo:

O 1 A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) = √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 V = √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2).

Imamo jednačinu √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) ili 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2 .

Nakon pojednostavljenja, dobijamo: b - 4 = 0, b = 4.

Zahtevano uslovom tačke problema O 1 (0; 4) (Sl. 4).

5. Izračunavanje koordinata tačke koja je na istoj udaljenosti od koordinatnih osa i neke date tačke

Primjer 5

Pronađite tačku M koja se nalazi na koordinatnoj ravni na istoj udaljenosti od koordinatnih osa i od tačke A (-2; 1).

Rješenje.

Tražena tačka M, kao i tačka A (-2; 1), nalazi se u drugom koordinatnom uglu, pošto je jednako udaljena od tačaka A, P 1 i P 2 (sl. 5). Udaljenost tačke M od koordinatnih osa je ista, stoga će njene koordinate biti (-a; a), gdje je a > 0.

Iz uslova zadatka proizilazi da je MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = |-a|,

one. |-a| = a.

Prema formuli d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) nalazimo:

MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Napravimo jednačinu:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

Nakon kvadriranja i pojednostavljenja, imamo: a 2 - 6a + 5 = 0. Rješavamo jednačinu, nalazimo a 1 = 1; i 2 = 5.

Dobijamo dvije tačke M 1 (-1; 1) i M 2 (-5; 5), koje zadovoljavaju uslov zadatka.

6. Izračunavanje koordinata tačke koja je na istoj navedenoj udaljenosti od apscisne (ordinatne) ose i od ove tačke

Primjer 6

Pronađite tačku M takvu da će njena udaljenost od y-ose i od tačke A (8; 6) biti jednaka 5.

Rješenje.

Iz uslova zadatka proizlazi da je MA = 5 i da je apscisa tačke M jednaka 5. Neka je ordinata tačke M jednaka b, tada je M(5; b) (Sl. 6).

Prema formuli d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) imamo:

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

Napravimo jednačinu:

√((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) = 5. Pojednostavljujući, dobijamo: b 2 - 12b + 20 = 0. Korijeni ove jednačine su b 1 = 2; b 2 \u003d 10. Dakle, postoje dvije tačke koje zadovoljavaju uslov problema: M 1 (5; 2) i M 2 (5; 10).

Poznato je da je mnogim studentima, kada samostalno rješavaju probleme, potrebne stalne konsultacije o tehnikama i metodama za njihovo rješavanje. Često učenik ne može pronaći način da riješi problem bez pomoći nastavnika. Student može dobiti potrebne savjete o rješavanju problema na našoj web stranici.

Imate bilo kakvih pitanja? Niste sigurni kako pronaći udaljenost između dvije tačke na ravni?
Da biste dobili pomoć od tutora -.
Prva lekcija je besplatna!

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Svaka tačka A ravni je okarakterisana svojim koordinatama (x, y). One se poklapaju sa koordinatama vektora 0A, koji izlaze iz tačke 0 - početka.

Neka su A i B proizvoljne tačke ravni sa koordinatama (x 1 y 1) i (x 2, y 2), respektivno.

Tada vektor AB očigledno ima koordinate (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Poznato je da je kvadrat dužine vektora jednak zbiru kvadrata njegovih koordinata. Dakle, rastojanje d između tačaka A i B, ili, što je isto, dužina vektora AB, određena je iz uslova

d 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

Rezultirajuća formula vam omogućava da pronađete udaljenost između bilo koje dvije točke ravnine, ako su poznate samo koordinate ovih tačaka

Svaki put, govoreći o koordinatama jedne ili druge tačke ravni, imamo u vidu dobro definisan koordinatni sistem x0y. U principu, koordinatni sistem na ravni se može birati na različite načine. Dakle, umjesto x0y koordinatnog sistema, možemo uzeti u obzir x-y’ koordinatni sistem, koji se dobija rotiranjem starih koordinatnih osa oko polazna tačka 0 suprotno od kazaljke na satu strelice na uglu α .

Ako je neka tačka ravni u koordinatnom sistemu x0y imala koordinate (x, y), onda u novi sistem koordinate hִu' već će imati druge koordinate (x', y').

Kao primjer, razmotrite tačku M koja se nalazi na osi 0x' i udaljena je od tačke 0 na udaljenosti jednakoj 1.

Očigledno, u x0y koordinatnom sistemu ova tačka ima koordinate (cos α , sin α ), au koordinatnom sistemu hִu’ koordinate su (1,0).

Koordinate bilo koje dvije tačke ravni A i B zavise od toga kako je koordinatni sistem postavljen u ovoj ravni. I ovdje udaljenost između ovih tačaka ne zavisi od toga kako je specificiran koordinatni sistem .

Ostali materijali Koordinate određuju lokaciju objekta globus. Koordinate su označene zemljopisnom širinom i dužinom. Geografske širine se mjere od linije ekvatora sa obe strane. Na sjevernoj hemisferi geografske širine su pozitivne, na južnoj su negativne. Geografska dužina se mjeri od početnog meridijana ili prema istoku ili prema zapadu, odnosno dobije se istočna ili zapadna geografska dužina.

Prema opšteprihvaćenom stavu, kao početni se uzima meridijan koji prolazi kroz staru opservatoriju Greenwich u Greenwichu. Geografske koordinate lokacije mogu se dobiti pomoću GPS navigatora. Ovaj uređaj prima signale sa satelitskog sistema za pozicioniranje u WGS-84 koordinatnom sistemu, koji je isti za ceo svet.

Modeli navigatora razlikuju se po proizvođačima, funkcionalnosti i sučelju. Trenutno su ugrađeni GPS navigatori dostupni u nekim modelima mobilnih telefona. Ali svaki model može snimiti i sačuvati koordinate tačaka.

Udaljenost između GPS koordinata

Za rješavanje praktičnih i teorijskih problema u pojedinim industrijama potrebno je moći odrediti udaljenosti između tačaka njihovim koordinatama. Da biste to učinili, možete koristiti nekoliko metoda. Kanonski prikaz geografskih koordinata: stepeni, minute, sekunde.

Na primjer, možete odrediti udaljenost između sljedećih koordinata: tačka br. 1 - geografska širina 55°45′07″ N, geografska dužina 37°36′56″ E; tačka br. 2 - geografska širina 58°00′02″ N, geografska dužina 102°39′42″ E

Najlakši način je korištenje kalkulatora za izračunavanje udaljenosti između dvije tačke. U pretraživaču pretraživača morate postaviti sljedeće parametre pretraživanja: online - za izračunavanje udaljenosti između dvije koordinate. U online kalkulatoru vrijednosti geografske širine i dužine unose se u polja upita za prvu i drugu koordinate. Prilikom izračunavanja, online kalkulator je dao rezultat - 3.800.619 m.

Sljedeća metoda je dugotrajnija, ali i vizualnija. Neophodno je koristiti bilo koji dostupni program za mapiranje ili navigaciju. Programi u kojima možete kreirati tačke po koordinatama i mjeriti udaljenosti između njih uključuju sljedeće aplikacije: BaseCamp (moderni analog programa MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Svi gore navedeni programi dostupni su svakom korisniku mreže. Na primjer, da biste izračunali udaljenost između dvije koordinate u Google Earthu, trebate kreirati dvije oznake koje označavaju koordinate prve i druge tačke. Zatim, pomoću alata „Lenjir“, trebate povezati prvu i drugu oznaku linijom, program će automatski dati rezultat mjerenja i pokazati putanju na satelitskoj slici Zemlje.

U slučaju gornjeg primjera, program Google Earth je vratio rezultat - dužina udaljenosti između tačke #1 i tačke #2 je 3,817,353 m.

Zašto postoji greška u određivanju udaljenosti

Svi proračuni udaljenosti između koordinata zasnovani su na proračunima dužine luka. Radijus Zemlje je uključen u izračunavanje dužine luka. Ali budući da je oblik Zemlje blizak spljoštenom elipsoidu, radijus Zemlje u određenim tačkama je drugačiji. Za izračunavanje udaljenosti između koordinata uzima se prosječna vrijednost Zemljinog radijusa, što daje grešku u mjerenju. Što je veća izmjerena udaljenost, veća je greška.

Predavanje: Formula udaljenosti između dvije tačke; sferna jednačina

Udaljenost između dvije tačke

Da bismo pronašli rastojanje između dve tačke na pravoj liniji u prethodnom pitanju, koristili smo formulu d = x 2 - x 1.

Ali, što se aviona tiče, stvari su drugačije. Nije dovoljno samo pronaći razliku koordinata. Da biste pronašli udaljenost između tačaka po njihovim koordinatama, koristite sljedeću formulu:

Na primjer, ako imate dvije točke s nekim koordinatama, tada možete pronaći udaljenost između njih na sljedeći način:

A (4; -1), B (-4; 6):

AB \u003d ((4 + 4) 2 + (-1 - 6) 2) 1/2 ≈ 10,6.

Odnosno, da bi se izračunala udaljenost između dvije tačke na ravni, potrebno je pronaći korijen zbira kvadrata koordinatnih razlika.

Ako trebate pronaći udaljenost između dvije točke na ravni, trebali biste koristiti sličnu formulu s dodatnom koordinatom:

Sphere Equation

Da biste postavili sferu u prostor, morate znati koordinate njenog centra, kao i poluprečnik, kako biste koristili sljedeću formulu:

Ova jednačina odgovara sferi čiji je centar u početku.

Ako je centar sfere pomaknut za određeni broj jedinica duž osi, tada treba koristiti sljedeću formulu.