Realni brojevi, označeni sa (tzv. R chopped), uvodi se operacija sabiranja (“+”), odnosno svaki par elemenata ( x,y) sa seta realni brojevi element je dodijeljen x + y iz istog skupa, koji se zove zbir x I y .

Aksiomi množenja

Uvodi se operacija množenja ("·"), odnosno svaki par elemenata ( x,y) iz skupa realnih brojeva dodjeljuje se element (ili, ukratko, xy) iz istog seta, koji se naziva proizvod x I y .

Odnos između sabiranja i množenja

Aksiomi reda

Relacija poretka "" (manja ili jednaka) je data na, to jest, za bilo koji par x, y barem jednog od uslova ili .

Odnos između reda i dodavanja

Odnos reda i množenja

Aksiom kontinuiteta

Komentar

Ovaj aksiom znači da ako X I Y- dva neprazna skupa realnih brojeva tako da bilo koji element iz X ne prelazi nijedan element iz Y, tada se pravi broj može umetnuti između ovih skupova. Za racionalne brojeve ovaj aksiom ne vrijedi; klasičan primjer: razmotrite pozitivne racionalne brojeve i dodijelite ih skupu X oni brojevi čiji je kvadrat manji od 2, a ostali - do Y. Onda između X I Y ne možete umetnuti racionalni broj (nije racionalan broj).

Ovaj ključni aksiom daje gustoću i na taj način omogućava konstrukciju računa. Da bismo ilustrovali njegovu važnost, ističemo dvije njene fundamentalne posljedice.

Posljedice aksioma

Neka važna svojstva realnih brojeva slijede direktno iz aksioma, na primjer,

• jedinstvenost nule,
• jedinstvenost suprotnih i inverznih elemenata.

Književnost

• Zorich V. A. Matematička analiza. Tom I. M.: Fazis, 1997, 2. poglavlje.

vidi takođe

Linkovi

Wikimedia fondacija. 2010 .

Pogledajte šta je "Aksiomatika realnih brojeva" u drugim rječnicima:

Realan ili realan broj je matematička apstrakcija koja je nastala iz potrebe za mjerenjem geometrijskog i fizičke veličine svijet oko nas, kao i izvođenje operacija kao što su vađenje korijena, izračunavanje logaritama, rješavanje ... ... Wikipedia

Realni ili realni brojevi su matematička apstrakcija koja služi, posebno, za predstavljanje i upoređivanje vrijednosti fizičkih veličina. Takav broj se intuitivno može predstaviti kao opis položaja tačke na pravoj liniji. ... ... Wikipedia.

Realni ili realni brojevi su matematička apstrakcija koja služi, posebno, za predstavljanje i upoređivanje vrijednosti fizičkih veličina. Takav broj se intuitivno može predstaviti kao opis položaja tačke na pravoj liniji. ... ... Wikipedia.

Realni ili realni brojevi su matematička apstrakcija koja služi, posebno, za predstavljanje i upoređivanje vrijednosti fizičkih veličina. Takav broj se intuitivno može predstaviti kao opis položaja tačke na pravoj liniji. ... ... Wikipedia.

Realni ili realni brojevi su matematička apstrakcija koja služi, posebno, za predstavljanje i upoređivanje vrijednosti fizičkih veličina. Takav broj se intuitivno može predstaviti kao opis položaja tačke na pravoj liniji. ... ... Wikipedia.

Realni ili realni brojevi su matematička apstrakcija koja služi, posebno, za predstavljanje i upoređivanje vrijednosti fizičkih veličina. Takav broj se intuitivno može predstaviti kao opis položaja tačke na pravoj liniji. ... ... Wikipedia.

Realni ili realni brojevi su matematička apstrakcija koja služi, posebno, za predstavljanje i upoređivanje vrijednosti fizičkih veličina. Takav broj se intuitivno može predstaviti kao opis položaja tačke na pravoj liniji. ... ... Wikipedia.

Wikirečnik ima članak o "aksiomu" Aksiomu (dr. grčki ... Wikipedia

Aksiom koji se javlja u različitim aksiomatskim sistemima. Aksiomatika realnih brojeva Hilbertova aksiomatika euklidske geometrije Kolmogorovljeva aksiomatika teorije verovatnoće ... Wikipedia

Prilikom konstruisanja aksiomatske teorije prirodnih brojeva, primarni termini će biti „element” ili „broj” (koje, u kontekstu ovog priručnika, možemo smatrati sinonimima) i „skup”, glavni odnosi: „pripadnost” ( element pripada skupu), "jednakost" i " pratiti”, označen sa / (čita se „broj koji potez slijedi iza broja a”, na primjer, nakon dva slijedi tri, odnosno 2 / \u003d 3, iza broja 10 slijedi broj 11, tj. , 10 / \u003d 11, itd.).

Mnogi prirodni brojevi(prirodni niz, pozitivni cijeli brojevi) je skup N sa uvedenom relacijom “prati nakon”, u kojem su ispunjena sljedeća 4 aksioma:

A 1 . Skup N sadrži element tzv jedinica, koji ne prati nijedan drugi broj.

A 2 . Za svaki element prirodnog niza, postoji jedan element koji ga prati.

A 3 . Svaki element od N slijedi najviše jedan element prirodnog niza.

A 4 .( Aksiom indukcije) Ako podskup M skupa N sadrži jedinicu, a takođe, zajedno sa svakim svojim elementom a, sadrži i element a / koji ga prati, tada se M poklapa sa N.

Isti aksiomi se mogu ukratko napisati koristeći matematičke simbole:

A 1 ( 1  N) ( a  N) a / ≠ 1

A 2 ( a  N) ( a /  N) a = b => a / = b /

A 3 a / = b / => a = b

Ako element b slijedi element a (b = a /), onda kažemo da element a prethodi elementu b (ili prethodi b). Ovaj sistem aksioma se zove sistema Peanovih aksioma(pošto ga je u 19. veku uveo italijanski matematičar Đuzepe Peano). Ovo je samo jedan od mogući setovi aksiomi, koji omogućavaju definisanje skupa prirodnih brojeva; postoje i drugi ekvivalentni pristupi.

Najjednostavnija svojstva prirodnih brojeva

Nekretnina 1. Ako su elementi različiti, onda su sljedeći elementi različiti, tj.

a  b => a /  b / .

Dokaz se izvodi metodom kontradikcije: pretpostavimo da je a / = b / , zatim (prema A 3) a = b, što je u suprotnosti sa uslovom teoreme.

Nekretnina 2. Ako su elementi različiti, onda su i oni koji im prethode (ako postoje) različiti, tj.

a /  b / => a  b.

Dokaz: pretpostavimo da je a = b, tada, prema A 2, imamo a / = b / , što je u suprotnosti sa uslovom teoreme.

Nekretnina 3. Nijedan prirodan broj nije jednak sljedećem.

Dokaz: Uvedemo u razmatranje skup M koji se sastoji od takvih prirodnih brojeva za koje je ovaj uslov zadovoljen

M = (a  N | a  a / ).

Dokaz će se temeljiti na aksiomu indukcije. Po definiciji, skup M je podskup skupa prirodnih brojeva. Dalje 1M, pošto jedinica ne prati nijedan prirodni broj (A 1), što znači da za a = 1 imamo: 1  1 / . Pretpostavimo sada da je neko a  M. To znači da je a  a / (po definiciji M), odakle je a /  (a /) / (osobina 1), odnosno a /  M. Iz svega navedenog, na osnovu na aksiomima indukcije, možemo zaključiti da je M = N, odnosno da je naša teorema tačna za sve prirodne brojeve.

Teorema 4. Za bilo koga prirodni broj različit od 1, postoji broj koji mu prethodi.

Dokaz: Razmotrite set

M = (1)  (c N | ( a  N) c = a / ).

Dato M je podskup skupa prirodnih brojeva, jedinica jasno pripada datom skupu. Drugi dio ovog skupa su elementi za koje postoje prethodni, dakle, ako je a  M, onda i a / pripada M (njegov drugi dio, pošto a / ima prethodni, je a). Dakle, na osnovu aksioma indukcije, M se poklapa sa skupom svih prirodnih brojeva, što znači da su svi prirodni brojevi ili 1 ili oni za koje postoji prethodni element. Teorema je dokazana.

Konzistentnost aksiomatske teorije prirodnih brojeva

Kao intuitivni model skupa prirodnih brojeva možemo razmotriti skupove crtica: broj 1 će odgovarati |, broj 2 || itd., odnosno prirodni niz će izgledati ovako:

|, ||, |||, ||||, ||||| ….

Ovi redovi crtica mogu poslužiti kao model prirodnih brojeva, ako koristimo "pripisivanje jedne crtice broju" kao relaciju "sljedeća". Valjanost svih aksioma je intuitivno očigledna. Naravno, ovaj model nije striktno logičan. Da bi se izgradio rigorozan model, mora se imati još jedna očigledno konzistentna aksiomatska teorija. Ali takva teorija nam nije na raspolaganju, kao što je gore navedeno. Dakle, ili smo primorani da se oslonimo na intuiciju, ili da ne pribegnemo metodi modela, već da se pozovemo na činjenicu da više od 6 milenijuma, tokom kojih se proučavaju prirodni brojevi, nije bilo kontradiktornosti sa ovim aksiomima. su pronađeni.

Nezavisnost Peanoovog sistema aksioma

Da bi se dokazala nezavisnost prvog aksioma, dovoljno je konstruisati model u kojem je aksiom A 1 netačan, a aksiomi A 2, A 3, A 4 tačni. Razmotrimo brojeve 1, 2, 3 kao primarne pojmove (elemente), a relaciju „slijede“ definišemo relacijama: 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 1.

Ne postoji element u ovom modelu koji ne prati nijedan drugi (aksiom 1 je netačan), ali su svi ostali aksiomi zadovoljeni. Dakle, prvi aksiom ne zavisi od ostalih.

Drugi aksiom se sastoji od dva dijela - postojanja i jedinstvenosti. Nezavisnost ovog aksioma (u smislu postojanja) može se ilustrirati modelom dva broja (1, 2) sa relacijom “prati nakon” datom jednom relacijom: 1 / = 2:

Za dva, ne postoji sljedeći element, dok su aksiomi A 1 , A 3 , A 4 tačni.

Nezavisnost ovog aksioma, u smislu jedinstvenosti, ilustruje model u kojem će skup N biti skup svih običnih prirodnih brojeva, kao i svih vrsta riječi (skupova slova koja nemaju nužno smisla) sastavljenih slova latinice (posle slova z, sljedeće će biti aa, zatim ab ... az, pa ba ...; sve moguće riječi od dva slova, od kojih je zadnja zz, slijedi riječ aaa i tako dalje). Uvodimo relaciju “prati nakon” kao što je prikazano na slici:

Ovdje su aksiomi A 1 , A 3 , A 4 također tačni, ali 1 odmah slijede dva elementa 2 i a. Dakle, aksiom 2 ne zavisi od ostalih.

Nezavisnost aksioma 3 ilustruje model:

u kojima su A 1 , A 2 , A 4 tačni, ali broj 2 slijedi i broj 4 i broj 1.

Da bismo dokazali nezavisnost aksioma indukcije, koristimo skup N koji se sastoji od svih prirodnih brojeva, a također tri slova(a, b, c). Sljedeća relacija u ovaj model se može unijeti kao što je prikazano na sljedećoj slici:

Ovdje se za prirodne brojeve koristi uobičajena relacija niza, a za slova se relacija “prati nakon” definira sljedećim formulama: a / = b, b / = c, c / = a. Očigledno, 1 ne slijedi nijedan prirodan broj, za svaki postoji sljedeći, i štaviše, samo jedan, svaki element slijedi najviše jedan element. Međutim, ako razmotrimo skup M koji se sastoji od običnih prirodnih brojeva, onda će to biti podskup ovog skupa koji sadrži jedinicu, kao i sljedeći element za svaki element iz M. Međutim, ovaj podskup se neće podudarati s cijelim modelom razmatra, jer neće sadržavati slova a, b, c. Dakle, aksiom indukcije ne vrijedi u ovom modelu, pa prema tome, aksiom indukcije ne ovisi o drugim aksiomima.

Aksiomatska teorija prirodnih brojeva je kategoričan(potpuno u užem smislu).

 (n /) =( (n)) / .

Princip potpune matematičke indukcije.

Teorema indukcije. Neka je neka tvrdnja R(n) formulisana za sve prirodne brojeve, i neka je a) R(1) tačna, b) iz činjenice da je R(k) tačna, sledi da je i R(k /) tačna. Tada je izjava P(n) tačna za sve prirodne brojeve.

Da bismo to dokazali, uvodimo skup M takvih prirodnih brojeva n (M  N) za koje je tačan iskaz R(n). Upotrijebimo aksiom A 4, odnosno pokušat ćemo dokazati da:

1. k  M => k /  M.

Ako to uspijemo, onda, prema aksiomu A 4 , možemo zaključiti da je M = N, odnosno da je P(n) tačno za sve prirodne brojeve.

1) Po uslovu a) teoreme, P(1) je tačno, dakle, 1  M.

2) Ako je neko k  M, tada je (po konstrukciji M) P(k) tačno. Prema uslovu b) teoreme, ovo podrazumijeva istinitost P(k /), a time i k /  M.

Dakle, prema aksiomu indukcije (A 4) M = N, pa je P(n) tačno za sve prirodne brojeve.

Dakle, aksiom indukcije omogućava kreiranje metode za dokazivanje teorema "indukcijom". Ova metoda igra ključnu ulogu u dokazivanju osnovnih aritmetičkih teorema o prirodnim brojevima. Sastoji se od sljedećeg:

1) valjanost tvrdnje zan=1 (bazna indukcija) ,

2) pretpostavlja se da je ova izjava tačna zan= k, gdjekje proizvoljan prirodan broj(hipoteza indukcije) , a uzimajući u obzir ovu pretpostavku, valjanost iskaza zan= k / (korak indukcije ).

Dokaz zasnovan na ovom algoritmu naziva se dokaz matematičkom indukcijom .

Zadaci za samostalno rješavanje

br. 1.1. Saznajte koji od navedenih sistema zadovoljavaju Peanoove aksiome (oni su modeli skupa prirodnih brojeva), utvrdite koji su aksiomi ispunjeni, a koji nisu.

a) N = (3, 4, 5 ...), n / \u003d n + 1;

b) N =(n  6, n  N), n / = n + 1;

c) N \u003d (n  - 2, n  Z), n / = n + 1;

d) N \u003d (n  - 2, n  Z), n / = n + 2;

e) neparni prirodni brojevi, n / = n +1;

f) neparni prirodni brojevi, n / = n +2;

g) Prirodni brojevi sa odnosom n / = n + 2;

h) N =(1, 2, 3), 1 / = 3, 2 / = 3, 3 / = 2;

i) N =(1, 2, 3, 4, 5), 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 4, 4 / = 5, 5 / = 1;

j) Prirodni brojevi djeljivi sa 3 sa omjerom n / = n + 3

k) Parni prirodni brojevi sa omjerom n / = n + 2

m) cijeli brojevi,
.

Dati sistem aksioma teorije cijelih brojeva nije nezavisan, kao što je navedeno u vježbi 3.1.4.

Teorema 1. Aksiomatska teorija cijelih brojeva je konzistentna.

Dokaz. Dokazat ćemo konzistentnost aksiomatske teorije cijelih brojeva, polazeći od pretpostavke da je aksiomatska teorija prirodnih brojeva konzistentna. Da bismo to učinili, konstruiramo model na kojem su zadovoljeni svi aksiomi naše teorije.

Prvo napravimo prsten. Razmotrite set

N´ N = {(a, b)ï a, bÎ N}.

a, b) prirodni brojevi. Pod takvim parom podrazumijevamo razliku prirodnih brojeva a-b. Ali dok se ne dokaže postojanje sistema cijelih brojeva u kojem postoji takva razlika, nemamo pravo koristiti takvu oznaku. U isto vrijeme, ovo razumijevanje nam daje priliku da postavimo svojstva parova prema potrebi.

Znamo da različite razlike prirodnih brojeva mogu biti jednake istom cijelom broju. Shodno tome, uvodimo na set N´ N odnos jednakosti:

(a, b) = (c, d) Û a + d = b + c.

Lako je vidjeti da je ovaj odnos refleksivan, simetričan i tranzitivan. Dakle, to je odnos ekvivalencije i ima pravo da se zove jednakost. Faktorski skup skupova N´ N Z. Njegovi elementi će se zvati cijeli brojevi. To su klase ekvivalencije na skupu parova. Klasa koja sadrži par
(a, b), označeno sa [ a, b].

Z a, b] šta kažete na razliku a-b

[a, b] + [c, d] = [a+c, b+d];

[a, b] × [ c, d] = [ac+bd, ad+bc].

Treba imati na umu da, strogo govoreći, upotreba simbola operacija ovdje nije sasvim ispravna. Isti simbol + označava sabiranje prirodnih brojeva i parova. Ali pošto je uvek jasno u kom skupu se data operacija izvodi, ovde nećemo uvoditi odvojene oznake za ove operacije.

Potrebno je provjeriti ispravnost definicija ovih operacija, odnosno da rezultati ne ovise o izboru elemenata a I b definiranje para [ a, b]. Zaista, neka

[a, b] = [a 1 ,b 1 ], [c, d] = [od 1 , d 1 ].

To znači da a+b 1 = b+a 1 , c + d 1 =d + od jedan . Zbrajanjem ovih jednakosti dobijamo

a+b 1 + c + d 1 = b+a 1 +d + od 1 Þ[ a + b, c + d] = [a 1 +od 1 ,b 1 + d 1 ]

Þ [ a, b] + [c, d] = [a 1 ,b 1 ] + [c 1 , d 1 ].

Slično se definira i ispravnost definicije množenja. Ali ovdje prvo moramo provjeriti da [ a, b] × [ c, d] = [a 1 ,b 1]×[ c, d].

Sada treba provjeriti da li je rezultirajuća algebra prsten, odnosno aksiomi (Z1) - (Z6).

Provjerimo, na primjer, komutativnost sabiranja, odnosno aksioma (Z2). Imamo

[c, d] + [a, b] = = [a+c, b+d] = [a, b] + [c, d].

Komutativnost sabiranja za cijele brojeve je izvedena iz komutativnosti sabiranja za prirodne brojeve, za koju se pretpostavlja da je već poznata.

Aksiomi (Z1), (Z5), (Z6) se provjeravaju na sličan način.

Ulogu nule igra par. Označimo ga sa 0 . stvarno,

[a, b] + 0 = [a, b] + = [a+ 1,b+ 1] = [a, b].

Konačno, -[ a, b] = [b, a]. stvarno,

[a, b] + [b, a] = [a+b, b+a] = = 0 .

Sada provjerimo aksiome proširenja. Treba imati na umu da u konstruisanom prstenu ne postoje prirodni brojevi kao takvi, jer su elementi prstena klase parova prirodnih brojeva. Stoga je potrebno pronaći podalgebru izomorfnu poluprstenu prirodnih brojeva. Ovdje opet pojam para [ a, b] šta kažete na razliku a-b. Prirodni broj n može se predstaviti kao razlika dva prirodna broja, na primjer, na sljedeći način: n = (n+ 1) - 1. Otuda i prijedlog za uspostavljanje prepiske f: N ® Z prema pravilu

f(n) = [n + 1, 1].

Ova korespondencija je injektivna:

f(n) = f(m) Þ [ n + 1, 1]= [m+ 1, 1] Þ ( n + 1) + 1= 1 + (m+ 1) n=m.

Dakle, imamo korespondenciju jedan na jedan između N i neki podskup Z, koje označavamo sa N*. Provjerimo da li sprema operacije:

f(n) + f(m) = [n + 1, 1]+ [m + 1, 1] = [n + m + 2, 2]= [n + m+ 1, 1] = f(n+m);

f(n) × f(m) = [n+ 1, 1]× [ m + 1, 1] = [nm+n + m + 2, n+m+ 2]= [nm+ 1, 1] = f(nm).

Tako je utvrđeno da N* formira se u Z pod operacijama sabiranja i množenja, podalgebra izomorfna za N

Označite par [ n+ 1, 1] od N* n, preko n a, b] imamo

[a, b] = [a + 1, 1] + = [a + 1, 1] – [b + 1, 1] = a – b .

Dakle, konačno, koncept para [ a, b] kao razlika prirodnih brojeva. Istovremeno je utvrđeno da svaki element iz konstruisanog skupa Z predstavljen kao razlika dva prirodna broja. Ovo će pomoći da se testira aksiom minimalnosti.

Neka bude M - podset Z, koji sadrži N* i zajedno sa bilo kojim elementima ali I b njihova razlika a - b. Dokažimo to u ovom slučaju M =Z. Zaista, bilo koji element Z predstavljena kao razlika dva prirodna broja, koji po uslovu pripadaju M zajedno sa njegovom razlikom.

Z

Teorema 2. Aksiomatska teorija cijelih brojeva je kategorička.

Dokaz. Dokažimo da su bilo koja dva modela na kojima vrijede svi aksiomi date teorije izomorfna.

Neka a Z 1 , +, ×, N 1 c i b Z 2 , +, ×, N 2 ñ su dva modela naše teorije. Strogo govoreći, operacije u njima moraju biti označene različitim simbolima. Odstupit ćemo od ovog zahtjeva kako ne bismo zatrpavali proračune: svaki put je jasno o kojoj operaciji je riječ. Elementi koji pripadaju razmatranim modelima će biti opremljeni odgovarajućim indeksima 1 ili 2.

Definirat ćemo izomorfno preslikavanje iz prvog modela u drugi. Jer N 1 i N 2 su poluprstenovi prirodnih brojeva, tada postoji izomorfno preslikavanje j prvog polukruga u drugi. Hajde da definišemo mapiranje f: Z 1® Z 2. Svaki cijeli broj X 1 O Z 1 je predstavljen kao razlika dva prirodna broja:
X 1 = a 1 – b jedan . Mi vjerujemo

f (x 1) = j( a 1) – j( b 1).

Dokažimo to f je izomorfizam. Mapiranje je dobro definisano: if X 1 = at 1, gdje y 1 = c 1 – d 1, dakle

a 1 – b 1 = c 1 – d 1 a 1 +d 1 = b 1 + c 1 Þ j( a 1 +d 1) = j( b 1 + c 1)

Þ j( a 1) + j( d 1) = j( b 1) + j( c 1) Þ j( a 1)–j( b 1)=j( c 1) – j( d 1) f(x 1) =f (y 1).

Otuda to slijedi f- nedvosmisleno mapiranje Z 1 in Z 2. Ali za bilo koga X 2 of Z 2 mogu pronaći prirodne elemente a 2 i b 2 tako da X 2 = a 2 – b 2. Pošto je j izomorfizam, ovi elementi imaju inverzne slike a 1 i b jedan . znači, x 2 = j( a 1) – j( b 1) =
= f (a 1 – b 1), i svaki element iz Z 2 je prototip. Otuda i prepiska f međusobno nedvosmisleni. Provjerimo da li sprema operacije.

Ako X 1 = a 1 – b 1 , y 1 = c 1 – d 1, dakle

X 1 + y 1 = (a 1 + c 1) – (b 1 +d 1),

f(X 1 + y 1) = j( a 1 + c 1) – j( b 1 +d 1) =j( a 1)+ j( c 1) – j( b 1) – j( d 1) =

J( a 1) – j( b 1)+ j( c 1)– j( d 1) =f(X 1) + f(y 1).

Slično, provjeravamo da li je množenje sačuvano. Tako je utvrđeno da f je izomorfizam i teorema je dokazana.

Vježbe

1. Dokažite da svaki prsten koji sadrži sistem prirodnih brojeva uključuje i prsten cijelih brojeva.

2. Dokaži da je svaki minimalno uređeni komutativni prsten s jedinstvom izomorfan prstenu cijelih brojeva.

3. Dokažite da svaki uređeni prsten s jedinicom i bez djelitelja nule sadrži samo jedan podprsten izomorfan prstenu cijelih brojeva.

4. Dokažite da matrica drugog reda zvoni preko polja realni brojevi sadrži beskonačno mnogo podbrova izomorfnih prstenu cijelih brojeva.

Polje racionalnih brojeva

Definicija i konstrukcija sistema racionalnih brojeva vrši se na isti način kao što se radi za sistem cijelih brojeva.

Definicija. Sistem racionalnih brojeva je minimalno polje koje je produžetak prstena cijelih brojeva.

U skladu sa ovom definicijom dobijamo sledeću aksiomatsku konstrukciju sistema racionalnih brojeva.

Primarni pojmovi:

Q je skup racionalnih brojeva;

0, 1 su konstante;

+, × su uključene binarne operacije Q;

Z- podset Q, skup cijelih brojeva;

Å, Ä su binarne operacije Z.

Aksiomi:

I. Aksiomi polja.

(Q1) a+ (b+c) = (a+b) + c.

(Q2) a + b = b + a.

(Q3)(" a) a + 0 = a.

(Q4)(" a)($(–a)) a + (–a) = 0.

(Q5) a× ( b× c) = (a× b) × c.

(Q6) a× b = b× a.

(Q7) ali× 1 = ali.

(Q8)(" a¹ 0)($ a –1) a × a –1 = 1.

(Q9) ( a+b) × c = a × c + b× c.

II. Aksiomi proširenja.

(P10) a Z, M, L, 0, 1ñ biti prsten prirodnih brojeva.

(Q11) Z Í Q.

(Q12)(" a,bÎ Z) a+b=aÅ b.

(P13)(" a,bÎ Z) a× b = aÄ b.

III. Aksiom minimalnosti.

(Q14) MÍ Q, ZÍ M, ("a, bÎ M)(b ¹ 0 ® a× b–1 O M)Þ M = Q.

Broj a× b-1 se naziva količnik ali I b, označeno a/b ili .

Teorema 1. Svaki racionalni broj je predstavljen kao količnik dva cijela broja.

Dokaz. Neka bude M je skup racionalnih brojeva koji se mogu predstaviti kao količnik dva cijela broja. Ako n je onda cijeli broj n = n/1 pripada M, Shodno tome, ZÍ M. Ako a, bÎ M, onda a = k/l, b = m/n, gdje k, l, m, nÎ Z. shodno tome, a/b=
= (kn) / (lm)Î M. Po aksiomu (Q14) M= Q, i teorema je dokazana.

Teorema 2. Polje racionalnih brojeva može biti linearno i striktno uređeno, i to na jedinstven način. Red u polju racionalnih brojeva je arhimedov i nastavlja red u prstenu celih brojeva.

Dokaz. Označiti sa Q+ skup brojeva koji se mogu predstaviti kao razlomak, gdje kl> 0. Lako je vidjeti da ovaj uvjet ne ovisi o vrsti razlomka koji predstavlja broj.

Hajde da to proverimo Q + – pozitivan dio terena Q. Budući da je za cijeli broj kl moguća su tri slučaja: kl = 0, klÎ N, –kl Î N, tada za a = dobijamo jednu od tri mogućnosti: a = 0, an Q+ , –aO Q + . Nadalje, ako je a = , b = pripada Q+ , onda kl > 0, mn> 0. Tada je a + b = , i ( kn+ml)ln = kln 2 + mnl 2 > 0. Dakle, a + bn Q + . Slično se može provjeriti da abn Q + . Na ovaj način, Q + je pozitivan dio polja Q.

Neka bude Q++ je neki pozitivan dio ovog polja. Imamo

l =.l 2 n Q ++ .

Odavde NÍ Q++ . Po teoremi 2.3.4 pripadaju i reciproci prirodnih brojeva Q++ . Onda Q + Í Q++ . Prema teoremi 2.3.6 Q + =Q++ . Dakle, redosledi definisani pozitivnim delovima takođe se poklapaju. Q+ i Q ++ .

Jer Z + = NÍ Q+ , zatim redoslijed u Q nastavlja red Z.

Neka je sada a => 0, b => 0. Pošto je red u prstenu cijelih brojeva arhimedov, za pozitivan kn I ml postoji prirodna od takav da od× kn>ml. Odavde od a = od>= b. Dakle, red u polju racionalnih brojeva je arhimedov.

Vježbe

1. Dokazati da je polje racionalnih brojeva gusto, odnosno za bilo koje racionalne brojeve a < b postoji racionalno r takav da a < r < b.

2. Dokažite da je jednačina X 2 = 2 nema rješenja u Q.

3. Dokaži da je skup Q countable.

Teorema 3. Aksiomatska teorija racionalnih brojeva je konzistentna.

Dokaz. Konzistentnost aksiomatske teorije racionalnih brojeva dokazuje se na isti način kao i za cijele brojeve. Da bi se to postiglo, izgrađen je model na kojem su ispunjeni svi aksiomi teorije.

Kao osnovu uzimamo set

Z´ Z* = {(a, b)ï a, bÎ Z, b ¹ 0}.

Elementi ovog skupa su parovi ( a, b) cijeli brojevi. Pod takvim parom podrazumijevamo količnik cijelih brojeva a/b. U skladu s tim postavljamo svojstva parova.

Uvodimo se na setu Z´ Z* odnos jednakosti:

(a, b) = (c, d) Û ad = bc.

Napominjemo da je to odnos ekvivalencije i da ima pravo da se zove jednakost. Faktorski skup skupova Z´ Z* s obzirom na ovu relaciju jednakosti, označavamo sa Q. Njegovi elementi će se zvati racionalni brojevi. Klasa koja sadrži par ( a, b), označeno sa [ a, b].

Uvodimo u konstruisani set Q operacije sabiranja i množenja. To će nam pomoći da napravimo ideju o elementu [ a, b] kako bi bilo privatno a/b. U skladu s tim, po definiciji pretpostavljamo:

[a, b] + [c, d] = [ad+bc, bd];

[a, b] × [ c, d] = [ac, bd].

Provjeravamo ispravnost definicija ovih operacija, odnosno da rezultati ne zavise od izbora elemenata a I b definiranje para [ a, b]. Ovo se radi na isti način kao u dokazu teoreme 3.2.1.

Ulogu nule igra par. Označimo ga sa 0 . stvarno,

[a, b] + 0 = [a, b] + = [a× 1+0× b, b× 1] = [a, b].

Suprotno od [ a, b] je par –[ a, b] = [–a, b]. stvarno,

[a, b] + [–a, b]= [ab-ab, bb] = = 0 .

Jedinica je par = 1 . Inverzno na par [ a, b] - par [ b, a].

Sada provjerimo aksiome proširenja. Hajde da uspostavimo prepisku
f: Z ® Q prema pravilu

f(n) = [n, 1].

Provjeravamo da je ovo korespondencija jedan na jedan između Z i neki podskup Q, koje označavamo sa Z*. Dalje provjeravamo da li čuva operacije, stoga uspostavlja izomorfizam između Z and subring Z* in Q. Dakle, aksiomi proširenja su provjereni.

Označite par [ n, 1] od Z* odgovara prirodnom broju n, preko n . Zatim za proizvoljan par [ a, b] imamo

[a, b] = [a, 1] × = [ a, 1] / [b, 1] = a /b .

Ovo potkrepljuje koncept para [ a, b] kao o količniku cijelih brojeva. Istovremeno je utvrđeno da svaki element iz konstruisanog skupa Q predstavljen kao količnik dva cijela broja. Ovo će pomoći da se testira aksiom minimalnosti. Provjera se vrši kao u teoremi 3.2.1.

Dakle, za izgrađeni sistem Q svi aksiomi teorije cijelih brojeva su zadovoljeni, odnosno izgradili smo model ove teorije. Teorema je dokazana.

Teorema 4. Aksiomatska teorija racionalnih brojeva je kategorična.

Dokaz je sličan dokazu teoreme 3.2.2.

Teorema 5. Arhimedovo uređeno polje je proširenje polja racionalnih brojeva.

Dokaz je kao vježba.

Teorema 6. Neka bude F je arhimedovo uređeno polje, a > b, gdje a, bÎ F. Postoji racionalni broj n F takav da a > > b.

Dokaz. Neka bude a > b³ 0. Onda a-b> 0, i ( a-b) –1 > 0. Postoji prirodan T takav da m×1 > ( a-b) –1 , odakle m –1 < a-b £ ali. Dalje, postoji prirodna k takav da k× m-1³ a. Neka bude k je najmanji broj za koji ova nejednakost vrijedi. Jer k> 1, onda možemo staviti k = n + 1, n Î N. Gde
(n+ 1)× m-1³ a, n× m –1 < a. Ako n× m-1 £ b, onda a = b + (a-b) > b+m-1³ n× m –1 + m –1 =
= (n+ 1)× m-jedan. Kontradikcija. znači, a >n× m –1 > b.

Vježbe

4. Dokažite da svako polje koje sadrži prsten cijelih brojeva uključuje i polje racionalnih brojeva.

5. Dokazati da je svako minimalno uređeno polje izomorfno polju racionalnih brojeva.

Realni brojevi

OMSK DRŽAVNI PEDAGOŠKI UNIVERZITET
FILIJALA OMSPU u TARI
BBK Objavljeno odlukom redakcije i izdavačke kuće
22. 73. sektor filijale OmSPU na Tari
Ch67

Preporuke su za studente pedagoški univerziteti izučavajući disciplinu "Algebra i teorija brojeva". U okviru ove discipline, u skladu sa državni standard u 6. semestru izučava se odsjek „Brojevi sistemi“. Ove preporuke predstavljaju materijal o aksiomatskoj konstrukciji sistema prirodnih brojeva (Peanov sistem aksioma), sistema celih i racionalnih brojeva. Ova aksiomatika vam omogućava da bolje shvatite šta je broj, što je jedan od osnovnih koncepata školskog kursa matematike. Za bolju asimilaciju gradiva daju se zadaci na relevantne teme. Na kraju preporuka nalaze se odgovori, uputstva, rješenja problema.

Recenzent: dr, prof. Dalinger V.A.

(c) Mozhan N.N.

Potpisano za objavljivanje - 22.10.98

novinski papir
Tiraž 100 primjeraka.
Operativni način štampanja
OmGPU, 644099, Omsk, nab. Tuhačevski, 14
filijala, 644500, Tara, ul. Škola, 69

1. PRIRODNI BROJEVI.

U aksiomatskoj konstrukciji sistema prirodnih brojeva, pretpostavićemo da su poznati pojam skupa, relacije, funkcije i drugi koncepti teorijske skupove.

1.1 Sistem Peanovih aksioma i najjednostavnijih posledica.

Početni pojmovi u Peanovoj aksiomatskoj teoriji su skup N (koji ćemo nazvati skup prirodnih brojeva), posebni broj nula (0) iz njega i binarna relacija "sljedi" na N, označena sa S(a) ( ili a().
AKSIOMI:
1. ((a(N) a"(0 (Postoji prirodni broj 0 koji ne prati nijedan broj.)
2. a=b (a"=b" (Za svaki prirodni broj a, postoji sljedeći prirodni broj a", i to samo jedan.)
3. a"=b" (a=b (svaki prirodni broj slijedi najviše jedan broj.)
4. (aksioma indukcije) Ako skup M(N i M) zadovoljava dva uslova:
A) 0(M;
B) ((a(N) a(M ® a"(M, zatim M=N.
U funkcionalnoj terminologiji, to znači da je preslikavanje S:N®N injektivno. Aksiom 1 implicira da mapa S:N®N nije surjektivna. Aksiom 4 je osnova za dokazivanje tvrdnji "metodom matematičke indukcije".
Uočavamo neka svojstva prirodnih brojeva koja direktno slijede iz aksioma.
Svojstvo 1. Svaki prirodni broj a(0 slijedi jedan i samo jedan broj.
Dokaz. Označimo sa M skup prirodnih brojeva koji sadrže nulu i sve te prirodne brojeve, od kojih svaki slijedi neki broj. Dovoljno je pokazati da je M=N, jedinstvenost slijedi iz aksioma 3. Primijenimo aksiom indukcije 4:
A) 0(M - konstrukcijom skupa M;
B) ako je a(M, onda a"(M, jer a" slijedi a.
Dakle, na osnovu aksioma 4, M=N.
Svojstvo 2. Ako je a(b, onda a"(b).
Svojstvo se dokazuje metodom "kontradikcije", koristeći aksiom 3. Sljedeće svojstvo 3 se dokazuje slično, koristeći aksiom 2.
Svojstvo 3. Ako je a"(b", onda a(b.
Svojstvo 4. ((a(N)a(a). (Nijedan prirodan broj ne slijedi sam sebe.)
Dokaz. Neka je M=(x(x(N, x(x"). Dovoljno je pokazati da je M=N. Pošto je po aksiomu 1 ((x(N)x"(0), posebno, 0"(0, i dakle uslov A) aksioma 4 0(M je zadovoljen. Ako je x(M, tj. x(x), onda po svojstvu 2 x"((x")), što znači da je uslov B) x( M ® x"( M. Ali onda, prema aksiomu 4, M=N.
Neka je ( neko svojstvo prirodnih brojeva. Činjenica da broj a ima svojstvo (, zapisaćemo ((a).).
Zadatak 1.1.1. Dokažite da je aksiom 4 iz definicije skupa prirodnih brojeva ekvivalentan sljedećoj tvrdnji: za bilo koje svojstvo (, ako je ((0) i onda.
Zadatak 1.1.2. Na skupu od tri elementa A=(a,b,c), unarna operacija (: a(=c, b(=c, c(=a)) je definirana na sljedeći način. Koji od Peano aksioma je istinit na postavite A operacijom (?
Zadatak 1.1.3. Neka je A=(a) skup od jednog elementa, a(=a. Koji su od Peano aksioma tačni na skupu A sa operacijom (?
Zadatak 1.1.4. Na skupu N definiramo unarnu operaciju postavljanjem za bilo koji. Utvrdite da li su tvrdnje Peanovih aksioma izrečene u terminima operacije tačne u N.
Zadatak 1.1.5. Neka bude. Dokažite da je A zatvoreno prema operaciji (. Provjerite istinitost Peanoovih aksioma na skupu A operacijom (.
Zadatak 1.1.6. Neka bude, . Definiramo unarnu operaciju na A postavljanjem. Koji je od Peanovih aksioma istinit na skupu A sa operacijom?

1.2. Konzistentnost i kategoričnost sistema Peanovih aksioma.

Sistem aksioma se naziva konzistentnim ako je nemoguće dokazati teorem T i njegovu negaciju iz njegovih aksioma. Stoga je konzistentnost sistema aksioma apsolutno neophodan zahtjev.
Ako u aksiomatskoj teoriji ne postoji teorema T i njena negacija (T), onda to ne znači da je sistem aksioma konzistentan, takve teorije se mogu pojaviti u budućnosti. Stoga se mora dokazati konzistentnost sistema aksioma. Najčešći način dokazivanja konzistentnosti je metoda interpretacije zasnovana na činjenici da ako postoji tumačenje sistema aksioma u poznatoj konzistentnoj teoriji S, onda je i sam sistem aksioma konzistentan. Zaista, ako sistem aksioma bili nekonzistentni, onda bi teoreme T i (T) bile dokazive u njemu, ali bi tada ove teoreme bile validne iu njenoj interpretaciji, a to je u suprotnosti sa konzistentnošću teorije S. Metoda interpretacije omogućava da se dokaže samo relativna konzistentnost teorije.
Mnogo različitih interpretacija može se konstruisati za sistem Peanovih aksioma. Teorija skupova je posebno bogata interpretacijama. Naznačimo jedno od ovih tumačenja. Kao prirodne brojeve smatraćemo skupove (, ((), ((()), (((())),..., kao poseban broj ćemo smatrati nulu (. Interpretiraće se relacija "sledi" kako slijedi: iza skupa M slijedi skup (M) čiji je jedini element sam M. Dakle, ("=((), (()"=((()) itd. Validnost aksioma 1-4 može biti Međutim, efikasnost takvog tumačenja je mala: pokazuje da je sistem Peanovih aksioma konzistentan ako je teorija skupova konzistentna. Ali dokaz konzistentnosti sistema aksioma teorije skupova je paran teži zadatak. Najubedljivija interpretacija sistema Peanovih aksioma je intuitivna aritmetika, čiju doslednost potvrđuje viševekovno iskustvo u njenom razvoju.
Konzistentan sistem aksioma naziva se nezavisnim ako se svaki aksiom ovog sistema ne može dokazati kao teorema na osnovu drugih aksioma. Dokazati da aksiom (ne zavisi od drugih aksioma sistema
(1, (2, ..., (n, ((1)
dovoljno je dokazati da je sistem aksioma konzistentan
(1, (2, ..., (n, ((2)
Zaista, kada bi se (dokazali na osnovu preostalih aksioma sistema (1), onda bi sistem (2) bio nekonzistentan, budući da teorema (i aksiom ((.
Dakle, da bi se dokazala nezavisnost aksioma (od ostalih aksioma sistema (1), dovoljno je konstruisati interpretaciju sistema aksioma (2).
Nezavisnost sistema aksioma je izborni zahtjev. Ponekad se, kako bi se izbjeglo dokazivanje "teških" teorema, konstruira namjerno redundantni (zavisni) sistem aksioma. Međutim, "suvišni" aksiomi otežavaju proučavanje uloge aksioma u teoriji, kao i unutrašnjih logičkih veza između različitih dijelova teorije. Osim toga, konstrukcija interpretacija za zavisni sistemi aksiomi su mnogo teži nego za nezavisne; na kraju krajeva, treba provjeriti valjanost "suvišnih" aksioma. Iz ovih razloga, pitanju zavisnosti između aksioma dugo je pridavana najveća važnost. Svojevremeno su pokušaji da se dokaže da je 5. postulat u Euklidovoj aksiomatici „Postoji najviše jedna ravna linija koja prolazi kroz tačku A paralelna pravoj liniji“ teorema (odnosno, zavisi od preostalih aksioma) i doveli su do otkriće geometrije Lobačevskog.
Konzistentan sistem se naziva deduktivno potpunim ako se bilo koja rečenica A date teorije može dokazati ili opovrgnuti, odnosno A ili deduktivno nekompletna. Deduktivna potpunost također nije obavezan zahtjev. Na primjer, sistem aksioma teorije grupa, prsten teorija, teorija polja je nepotpuna; budući da postoje i konačne i beskonačne grupe, prstenovi, polja, tada je u ovim teorijama nemoguće dokazati ili opovrgnuti tvrdnju: „Grupa (prsten, polje) sadrži konačan broj elemenata. "
Treba napomenuti da se u mnogim aksiomatskim teorijama (naime, u neformalizovanim) skup tvrdnji ne može smatrati tačno definisanim, pa je stoga nemoguće dokazati deduktivnu potpunost sistema aksioma takve teorije. Drugi osjećaj potpunosti naziva se kategoričkim. Sistem aksioma se naziva kategoričkim ako su bilo koje dvije njegove interpretacije izomorfne, odnosno postoji takva korespondencija jedan-na-jedan između skupova početnih objekata jedne i druge interpretacije, koja je sačuvana za sve početne relacije. Kategoričnost je takođe izborni uslov. Na primjer, aksiomski sistem teorije grupa nije kategoričan. Ovo proizilazi iz činjenice da konačna grupa ne može biti izomorfna beskonačna grupa. Međutim, pri aksiomatizaciji teorije nekog brojevnog sistema, kategoričnost je obavezna; na primjer, kategorička priroda sistema aksioma koji definiraju prirodne brojeve znači da, do izomorfizma, postoji samo jedan prirodni niz.
Dokažimo kategoričnost sistema Peanovih aksioma. Neka su (N1, s1, 01) i (N2, s2, 02) bilo koje dvije interpretacije sistema Peanovih aksioma. Potrebno je navesti takvo bijektivno (jedan-na-jedan) preslikavanje f:N1®N2 za koje su zadovoljeni sljedeći uvjeti:
a) f(s1(x)=s2(f(x)) za bilo koje x iz N1;
b) f(01)=02
Ako su obje unarne operacije s1 i s2 označene istim prostim brojem, tada se uvjet a) prepisuje kao
a) f(x()=f(x)(.
Definirajmo binarnu relaciju f na skupu N1(N2) slijedećim uvjetima:
1) 01f02;
2) ako je xfy, onda x(fy(.
Uvjerimo se da je ova relacija preslikavanje N1 u N2, odnosno za svaki x iz N1
(((y(N2)xfy(1)
Označimo sa M1 skup svih elemenata x iz N1 za koje je uslov (1) zadovoljen. Onda
A) 01(M1 zbog 1);
B) x(M1 ® x((M1 zbog 2) i svojstva 1 stavke 1.
Dakle, prema aksiomu 4, zaključujemo da je M1=N1, što znači da je relacija f preslikavanje N1 u N2. Štaviše, iz 1) slijedi da je f(01)=02. Uslov 2) se piše na sledeći način: ako je f(x)=y, onda je f(x()=y(. Slijedi da je f(x()=f(x)(. Dakle, za preslikavanje f uslova a) i b) su zadovoljeni. Ostaje dokazati da je mapa f bijektivna.
Označimo sa M2 skup onih elemenata iz N2, od kojih je svaki lik jednog i samo jednog elementa iz N1 pod preslikavanjem f.
Pošto je f(01)=02, onda je 02 slika. Štaviše, ako je x(N2 i x(01), onda, prema svojstvu 1 tačke 1, x slijedi neki element c iz N1, a zatim f(x)=f(c()=f(c)((02. Dakle, 02 je slika jedinog elementa 01, odnosno 02(M2.
Neka dalje y(M2 i y=f(x), gdje je x jedina predslika elementa y. Zatim, pod uvjetom a) y(=f(x)(=f(x()), odnosno y (je slika elementa x (. Neka je c bilo koja inverzna slika elementa y(, tj. f(c)=y(. c)=f(d()=f(d)(, odakle, na osnovu aksioma 3, y=f(d). Ali pošto je y(M2, onda d=x, odakle c=d(=x(. Dokazali smo da ako je y slika jedinstvenog elementa, onda je y( je slika jedinstvenog elementa, odnosno, y(M2 ® y((M2. Oba uslova aksioma 4 su zadovoljena i, prema tome, M2=N2, čime je završen dokaz kategoričnosti.
Sva predgrčka matematika bila je empirijske prirode. Odvojeni elementi teorije utopljeni su u masu empirijskih metoda za rješavanje praktičnih problema. Grci su ovaj empirijski materijal podvrgli logičkoj obradi, pokušali pronaći vezu između različitih empirijskih informacija. U tom smislu, Pitagora i njegova škola (5. vek pne) igrali su važnu ulogu u geometriji. Ideje aksiomatske metode jasno su izražene u Aristotelovim spisima (4. vek pre nove ere). Međutim, praktičnu implementaciju ovih ideja izveo je Euklid u svojim "Počecima" (3. vek pne).
Trenutno se mogu razlikovati tri oblika aksiomatskih teorija.
jedan). Smislena aksiomatika, koja je bila jedina do sredine prošlog veka.
2). Poluformalna aksiomatika nastala u posljednjoj četvrtini prošlog stoljeća.
3). Formalna (ili formalizovana) aksiomatika, čijim se datumom rođenja može smatrati 1904. godina, kada je D. Hilbert objavio svoj čuveni program o osnovnim principima formalizovane matematike.
Svaki novi oblik ne negira prethodni, već je njegov razvoj i usavršavanje, tako da je nivo strogosti svake nove forme veći od prethodnog.
Smislenu aksiomatiku karakterizira činjenica da početni pojmovi imaju intuitivno jasno značenje čak i prije nego što su aksiomi formulirani. Dakle, u Euklidovim elementima tačka se shvata upravo onako kako mi intuitivno zamišljamo pod ovim konceptom. U ovom slučaju se koristi običan jezik i obična intuitivna logika, koja datira još od Aristotela.
Poluformalne aksiomatske teorije također koriste običan jezik i intuitivnu logiku. Međutim, za razliku od smislene aksiomatike, izvornim konceptima nije pridato nikakvo intuitivno značenje, već ih karakteriziraju samo aksiomi. To povećava strogost, jer intuicija u određenoj mjeri ometa strogost. Osim toga, dobiva se općenitost, jer će svaka teorema dokazana u takvoj teoriji vrijediti u bilo kojoj njenoj interpretaciji. Primjer poluformalne aksiomatske teorije je Hilbertova teorija predstavljena u njegovoj knjizi "Osnove geometrije" (1899). Primeri poluformalnih teorija su i teorija prstenova i niz drugih teorija predstavljenih u kursu algebre.
Primjer formalizirane teorije je propozicioni račun, koji se proučava na kursu matematičke logike. Za razliku od supstantivne i poluformalne aksiomatike, formalizirana teorija koristi poseban simbolički jezik. Naime, data je abeceda teorije, odnosno određeni skup simbola koji igraju istu ulogu kao slova u običnom jeziku. Svaki konačni niz znakova naziva se izraz ili riječ. Među izrazima se izdvaja klasa formula i naznačuje se tačan kriterijum koji omogućava svakom izrazu da sazna da li je formula. Formule igraju istu ulogu kao i rečenice u običnom jeziku. Neke od formula su proglašene aksiomima. Osim toga, set logička pravila zaključak; svako takvo pravilo znači da iz određenog skupa formula odmah slijedi potpuno definitivna formula. Sam dokaz teoreme je konačni lanac formula, u kojem je posljednja formula sama teorema, a svaka formula je ili aksiom, ili prethodno dokazana teorema, ili direktno slijedi iz prethodnih formula lanca prema jednoj pravila derivacije. Dakle, pitanje težine dokaza potpuno ne dolazi u obzir: ili je ovaj lanac dokaz, ili nije, sumnjivih dokaza nema. U tom smislu, formalizirana aksiomatika se koristi u posebno suptilnim pitanjima potkrepljivanja matematičkih teorija, kada obična intuitivna logika može dovesti do pogrešnih zaključaka, koji se javljaju uglavnom zbog netočnosti i nejasnoća u našem običnom jeziku.
Budući da se u formaliziranoj teoriji za svaki izraz može reći - da li je formula, onda se skup rečenica formalizirane teorije može smatrati određenim. S tim u vezi, načelno se može postaviti pitanje dokazivanja deduktivne potpunosti, kao i dokazivanja konzistentnosti, bez pribjegavanja tumačenjima. U broju jednostavnim slučajevima ovo se može uraditi. Na primjer, konzistentnost propozicionog računa se dokazuje bez tumačenja.
U neformalizovanim teorijama skup rečenica nije jasno definisan, pa je pitanje dokazivanja konzistentnosti, bez pozivanja na tumačenja, besmisleno. Isto važi i za pitanje dokazivanja deduktivne potpunosti. Međutim, ako postoji takav prijedlog neformalizirane teorije koji se ne može ni dokazati ni opovrgnuti, onda je teorija očito deduktivno nepotpuna.
Aksiomatska metoda se dugo koristi ne samo u matematici, već iu fizici. Prve pokušaje u ovom pravcu napravio je Aristotel, ali je aksiomatska metoda dobila svoju pravu primjenu u fizici tek u Newtonovim djelima o mehanici.
U vezi sa turbulentnim procesom matematizacije nauka, u toku je i proces aksiomatizacije. Trenutno se aksiomatska metoda koristi čak iu nekim granama biologije, na primjer, u genetici.
Pa ipak, mogućnosti aksiomatske metode nisu neograničene.
Prije svega, napominjemo da čak ni u formaliziranim teorijama nije moguće potpuno izbjeći intuiciju. Sama formalizirana teorija bez interpretacija nema nikakvog značenja. Stoga se postavlja niz pitanja o odnosu između formalizirane teorije i njene interpretacije. Osim toga, kao iu formaliziranim teorijama, postavljaju se pitanja o konzistentnosti, nezavisnosti i potpunosti sistema aksioma. Ukupnost svih takvih pitanja čini sadržaj druge teorije, koja se naziva metateorijom formalizirane teorije. Za razliku od formalizirane teorije, jezik metateorije je običan svakodnevni jezik, a logičko rasuđivanje se provodi po pravilima obične intuitivne logike. Tako se intuicija, potpuno izbačena iz formalizirane teorije, ponovo pojavljuje u svojoj metateoriji.
Ali glavna slabost aksiomatske metode nije u tome. Već smo spomenuli program D. Hilberta, koji je postavio temelje za formaliziranu aksiomatsku metodu. Hilbertova glavna ideja bila je izraziti klasičnu matematiku kao formaliziranu aksiomatsku teoriju i zatim dokazati njenu konzistentnost. Međutim, ovaj program se pokazao utopijskim u svojim glavnim tačkama. Godine 1931. austrijski matematičar K. Gödel je dokazao svoje čuvene teoreme, iz kojih je slijedilo da su oba glavna zadatka koje je postavio Hilbert nemoguća. Uspio je pomoću svoje metode kodiranja izraziti neke istinite pretpostavke iz metateorije koristeći formule formalizirane aritmetike i dokazati da se te formule ne mogu izvesti u formaliziranoj aritmetici. Tako se ispostavilo da je formalizirana aritmetika deduktivno nepotpuna. Iz Gödelovih rezultata slijedi da ako se ova nedokaziva formula uvrsti među aksiome, onda će postojati još jedna nedokaziva formula koja izražava neku istinitu tvrdnju. Sve je to značilo da se ne samo sva matematika, nego čak ni aritmetika, njen najjednostavniji dio, ne može u potpunosti formalizirati. Konkretno, Gödel je konstruirao formulu koja odgovara propoziciji „Formalizirana aritmetika je konzistentna“ i pokazao da ova formula također nije izvodljiva. Ova činjenica znači da se konzistentnost formalizirane aritmetike ne može dokazati unutar same aritmetike. Naravno, moguće je konstruisati jaču formalizovanu teoriju i njenim sredstvima dokazati konzistentnost formalizovane aritmetike, ali tada više teško pitanje o konzistentnosti ove nove teorije.
Gödelovi rezultati ukazuju na ograničenja aksiomatske metode. Pa ipak, u teoriji znanja nema apsolutno nikakvih osnova za pesimistične zaključke da postoje nespoznatljive istine. Činjenica da postoje aritmetičke istine koje se ne mogu dokazati u formaliziranoj aritmetici ne znači da postoje nespoznatljive istine, niti znači da je ljudsko mišljenje ograničeno. To samo znači da mogućnosti našeg razmišljanja nisu ograničene na potpuno formalizirane procedure i da čovječanstvo tek treba da otkrije i izmisli nove principe dokaza.

1.3 Sabiranje prirodnih brojeva

Operacije sabiranja i množenja prirodnih brojeva nisu postulirane Peanoovim aksiomima, mi ćemo te operacije definirati.
Definicija. Sabiranje prirodnih brojeva je binarna algebarska operacija + na skupu N, koja ima sljedeća svojstva:
1s. ((a(N)a+0=a;
2c. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
Postavlja se pitanje - postoji li takva operacija, i ako postoji, da li je jedinstvena?
Teorema. Postoji samo jedan dodatak prirodnih brojeva.
Dokaz. Binarna algebarska operacija na skupu N je preslikavanje (:N(N®N. Potrebno je dokazati da postoji jedinstveno preslikavanje (:N(N®N sa svojstvima: 1) ((x(N) (( x,0)=x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y)(. Ako za svaki prirodni broj x dokažemo postojanje preslikavanja fx): N®N sa svojstvima 1() fx(0 )=x; 2() fx(y()=fx(y)(, zatim funkcija ((x,y) definisana jednakošću ((x,y) ( fx(y), i zadovoljiće uslove 1) i 2).
Na skupu N definišemo binarnu relaciju fx uslovima:
a) 0fxx;
b) ako je yfxz, onda y(fxz(.
Uvjerimo se da je ova relacija preslikavanje N u N, odnosno za svako y iz N
(((z(N) yfxz (1)
Označimo sa M skup prirodnih brojeva y za koje je uslov (1) zadovoljen. Tada iz uslova a) sledi da je 0(M, a iz uslova b) i svojstva 1 tačke 1 sledi da ako je y(M, onda i y((M. Dakle, na osnovu aksioma 4, zaključujemo da je M =N, što znači da je relacija fx preslikavanje N u N. Ovo preslikavanje zadovoljava sljedeće uslove:
1() fx(0)=x - zbog a);
2() fx((y)=fx(y() - zbog b).
Time je dokazano postojanje sabiranja.
Dokažimo jedinstvenost. Neka su + i ( bilo koje dvije binarne algebarske operacije na skupu N sa svojstvima 1c i 2c. Potrebno je dokazati da
((x,y(N)x+y=x(y
Hajde da popravimo proizvoljan broj x i označimo sa S skup onih prirodnih brojeva y za koje je jednakost
x+y=x(y (2)
izvedeno. Pošto prema 1c x+0=x i x(0=x, onda
A) 0(S
Neka sada vrijedi y(S, tj. jednakost (2). Pošto je x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y))(i x+y=x(y), onda je aksiom 2 x+y(=x(y(, tj. uslov
C) y(S ® y((S.
Dakle, prema aksiomu 4, S=N, čime je završen dokaz teoreme.
Dokažimo neka svojstva sabiranja.
1. Broj 0 je neutralan element sabiranja, odnosno a+0=0+a=a za svaki prirodni broj a.
Dokaz. Jednakost a+0=a proizlazi iz uslova 1c. Dokažimo jednakost 0+a=a.
Označimo sa M skup svih brojeva za koje vrijedi. Očigledno, 0+0=0 i stoga 0(M. Neka je a(M, tj. 0+a=a. Tada je 0+a(=(0+a)(=a(i stoga a((M. Dakle, M =N, što je trebalo dokazati.
Zatim nam je potrebna lema.
Lemma. a(+b=(a+b)(.
Dokaz. Neka je M skup svih prirodnih brojeva b za koje je jednakost a(+b=(a+b)(tačna za bilo koju vrijednost a. Tada:
A) 0(M, pošto a(+0=(a+0)(;
C) b(M ® b((M.) Zaista, iz činjenice da su b(M i 2c) imamo
a(+b(=(a(+b)(=((a+b)()(=(a+b()(,
odnosno b((M. Dakle, M=N, što je trebalo dokazati.
2. Sabiranje prirodnih brojeva je komutativno.
Dokaz. Neka je M=(a(a(N((b(N)a+b=b+a). Dovoljno je dokazati da je M=N). Imamo:
A) 0(M - zbog svojstva 1.
C) a(M ® a((M. Zaista, primjenom leme i činjenice da je a(M), dobijamo:
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.
Dakle, a((M, a prema aksiomu 4 M=N.
3. Sabiranje je asocijativno.
Dokaz. Neka bude
M=(c(c(N(((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c))
Potrebno je dokazati da je M=N. Kako je (a+b)+0=a+b i a+(b+0)=a+b, onda je 0(M. Neka je c(M, tj. (a+b)+c=a+(b+c). Onda
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c().
Dakle, c((M i po aksiomu 4 M=N.
4. a+1=a(, gdje je 1=0(.
Dokaz. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Ako je b(0, onda ((a(N)a+b(a.
Dokaz. Neka je M=(a(a(N(a+b(a). Pošto je 0+b=b(0), onda je 0(M. Dalje, ako je a(M, odnosno a+b(a).)) svojstvo 2 stavka 1 (a+b)((a(ili a(+b(a(. Dakle a((M i M=N.
6. Ako je b(0, onda ((a(N)a+b(0.
Dokaz. Ako je a=0, onda je 0+b=b(0, ali ako je a(0 i a=c(, onda je a+b=c(+b=(c+b)((0. Dakle, u svakom slučaju, a +b(0.
7. (Zakon trihotomije sabiranja). Za bilo koje prirodne brojeve a i b, tačna je jedna i samo jedna od tri relacije:
1) a=b;
2) b=a+u, gdje je u(0;
3) a=b+v, gdje je v(0.
Dokaz. Fiksiramo proizvoljan broj a i označavamo sa M skup svih prirodnih brojeva b za koje vrijedi barem jedna od relacija 1), 2), 3). Potrebno je dokazati da je M=N. Neka je b=0. Tada ako je a=0, onda je relacija 1) zadovoljena, a ako je a(0, onda je relacija 3) tačna, pošto je a=0+a. Dakle 0 (M.
Pretpostavimo sada da je b(M, odnosno za izabrano a jedna od relacija 1), 2), 3) zadovoljena. Ako je a=b, onda b(=a(=a+1, odnosno za b(relacija 2 vrijedi). Ako je b=a+u, onda b(=a+u(, odnosno za b(relacija 2) Ako je a=b+v, onda su moguća dva slučaja: v=1 i v(1. Ako je v=1, onda je a=b+v=b", tj. za b" relacija 1 je zadovoljena). v(1, zatim v=c", gdje je c(0 i zatim a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, gdje je c(0, tj. za b" odnos 3) Dakle, dokazali smo da je b(M®b"(M, i, prema tome, M=N, odnosno za bilo koje a i b, barem jedan od odnosa 1), 2), 3 zadovoljen ). da nijedna dva od njih ne mogu da važe istovremeno. Zaista, da su relacije 1) i 2) bile zadovoljene, tada bismo imali b=b+u, gde je u(0, a ovo je u suprotnosti sa svojstvom 5. Nemogućnost zadovoljivosti 1) i 3) Konačno, ako su relacije 2) i 3) bile zadovoljene, tada bismo imali a=(a+u)+v = a+ +(u+v), što je nemoguće zbog svojstava 5 i 6. Svojstvo 7 je potpuno dokazano.
Zadatak 1.3.1. Neka je 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9).)). Dokažite da je 3+5=8, 2+4=6.

1.4. MNOŽENJE PRIRODNIH BROJEVA.

Definicija 1. Množenje prirodnih brojeva je takva binarna operacija (na skupu N, za koju su ispunjeni sljedeći uslovi:
1u. ((x(N) x(0=0;
2g. ((x,y(N)x(y"=x(y+x.
Opet se postavlja pitanje - postoji li takva operacija, i ako postoji, da li je jedinstvena?
Teorema. Postoji samo jedna operacija za množenje prirodnih brojeva.
Dokaz je skoro isti kao i za sabiranje. Potrebno je pronaći takvo preslikavanje (:N(N®N) koje zadovoljava uslove
1) ((x(N) ((x,0)=0;
2) ((x,y(N) ((x,y")= ((x,y)+x.
Popravite proizvoljan broj x. Ako za svaki x(N dokažemo postojanje preslikavanja fx: N®N sa svojstvima
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
tada će funkcija ((x,y) definisana jednakošću ((x,y)=fx(y) zadovoljiti uslove 1) i 2).
Dakle, dokaz teoreme se svodi na dokazivanje postojanja i jedinstvenosti za svaki x funkcije fx(y) sa svojstvima 1") i 2"). Uspostavimo korespondenciju na skupu N prema sljedećem pravilu:
a) broj nula je uporediv sa brojem 0,
b) ako je broj y povezan sa brojem c, onda sa brojem y (pridružujemo broj c+x.
Uvjerimo se da s takvim poređenjem svaki broj y ima jedina slika: to će značiti da je korespondencija preslikavanje N u N. Označite sa M skup svih prirodnih brojeva y koji imaju jedinstvenu sliku. Iz uslova a) i aksioma 1 slijedi da 0(M. Neka je y(M. Tada uvjet b) i aksiom 2 impliciraju da je y((M. Dakle, M=N, tj. naša korespondencija je preslikavanje N u N, označimo ga sa fx Tada je fx(0)=0 uslovom a) i fx(y()=fx(y)+x uslovom b).
Dakle, postojanje operacije množenja je dokazano. Neka su sada (i (bilo koje dvije binarne operacije na skupu N sa svojstvima 1y i 2y. Ostaje dokazati da je ((x,y(N) x(y=x(y). Fiksirati proizvoljan broj x i neka
S=(y?y(N(x(y=x(y)
Pošto je, na osnovu 1y, x(0=0 i x(0=0), onda je 0(S. Neka je y(S, tj. x(y=x(y. Tada
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y(
i, posljedično, y((S. Dakle, S=N, čime se završava dokaz teoreme.
Uočavamo neka svojstva množenja.
1. Neutralni element u odnosu na množenje je broj 1=0(, tj. ((a(N) a(1=1(a=a.
Dokaz. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a. Dakle, jednakost a(1=a) je dokazana. Ostaje dokazati jednakost 1(a=a. Neka je M=(a ?a(N (1(a=a). Pošto je 1(0=0, onda je 0(M. Neka je a(M, tj. 1(a=a). Tada je 1(a(=1(a+1= a+1= a(, i, prema tome, a((M. Dakle, prema aksiomu 4, M=N, što je trebalo dokazati.
2. Za množenje važi pravi distributivni zakon, tj.
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc.
Dokaz. Neka je M=(c (c(N (((a,b(N) (a+b)c=ac+bc). Pošto je (a+b)0=0 i a(0+b(0=0), onda je 0(M. Ako je c(M, tj. (a+b)c=ac+bc, onda (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc +a) +b=(ac+a)+(bc+b)=ac(+bc(. Dakle, c((M i M=N.
3. Množenje prirodnih brojeva je komutativno, tj. ((a,b(N) ab=ba.
Dokaz. Hajde da prvo dokažemo za bilo koje b(N jednakost 0(b=b(0=0). Jednakost b(0=0) proizlazi iz uslova 1u. Neka je M=(b(b(N (0(b=0))) . Pošto je 0( 0=0, onda je 0(M. Ako je b(M, tj. 0(b=0, onda je 0(=0(b+0=0 i, prema tome), b((M. Dakle , M=N, tj. jednakost 0(b=b(0) je dokazana za sve b(N. Dalje, neka je S=(a(a(N(ab=ba).) Pošto je 0(b=b( 0), zatim 0(S. Neka je a (S, tj. ab=ba. Tada je a(b=(a+1)b=ab+b=ba+b=ba(, tj. a((S) Dakle, S=N, što je trebalo dokazati.
4. Množenje je distributivno u odnosu na sabiranje. Ovo svojstvo proizlazi iz svojstava 3 i 4.
5. Množenje je asocijativno, tj. ((a,b,c(N) (ab)c=a(bc).
Dokaz se, kao i za sabiranje, izvodi indukcijom na c.
6. Ako je a(b=0, onda je a=0 ili b=0, tj. nema djelitelja nule u N.
Dokaz. Neka je b(0 i b=c(. Ako je ab=0, onda je ac(=ac+a=0, odakle slijedi, po svojstvu 6, stavka 3, da je a=0.
Zadatak 1.4.1. Neka je 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9).)). Dokažite da je 2(4=8, 3(3=9.
Neka su n, a1, a2,...,an prirodni brojevi. Zbir brojeva a1, a2,...,an je broj označen i određen uslovima; za bilo koji prirodan broj k
Umnožak brojeva a1, a2,...,an je prirodan broj, koji je označen i definisan uslovima: ; za bilo koji prirodan broj k
Ako, onda je broj označen sa an.
Zadatak 1.4.2. Dokaži to
ali) ;
b) ;
in) ;
G) ;
e) ;
e) ;
g);
h) ;
i) .

1.5. UREĐENJE SISTEMA PRIRODNIH BROJEVA.

Relacija "sljedi" je antirefleksivna i antisimetrična, ali nije tranzitivna i stoga nije relacija reda. Odnos reda ćemo definirati na osnovu sabiranja prirodnih brojeva.
Definicija 1.a
Definicija 2. a(b (((x(N) b=a+x.
Uvjerimo se da je relacija Napomenimo neka svojstva prirodnih brojeva povezana s odnosima jednakosti i nejednakosti.
1.
1.1 a=b (a+c=b+c.
1.2 a=b (ac=bc.
1.3a
1.4a
1,5 a+c=b+c (a=b.
1,6 ac=bc (c(0 (a=b.
1.7a+c
1.8ac
1.9a
1.10a
Dokaz. Svojstva 1.1 i 1.2 proizlaze iz jedinstvenosti operacija sabiranja i množenja. Ako a
2. ((a(N) a
Dokaz. Pošto je a(=a+1, onda je a
3. Najmanji element u N je 0, a najmanji element u N\(0) je broj 1.
Dokaz. Budući da je ((a(N) a=0+a, onda je 0(a, a time i 0) najmanji element u N). Nadalje, ako je x(N\(0), onda je x=y(, y(N , ili x = y + 1. Ovo implicira da je ((x(N \ (0)) 1 (x, odnosno 1 najmanji element u N \ (0).
4. Relacija ((a,b(N)((n(N)b(0 (nb > a.
Dokaz. Očigledno, za bilo koje prirodno a postoji prirodan broj n takav da
a Takav broj je, na primjer, n=a(. Nadalje, ako je b(N\(0), onda po svojstvu 3
1(b(2)
Iz (1) i (2) na osnovu osobina 1.10 i 1.4 dobijamo aa.

1.6. POTPUNO UREĐENJE SISTEMA PRIRODNIH BROJEVA.

Definicija 1. Ako je svaki neprazan podskup uređenog skupa (M; Provjerimo da je ukupni red linearan. Neka su a i b bilo koja dva elementa iz dobro uređenog skupa (M; Lema . 1) a
Dokaz.
1) a((b (b=a(+k, k(N (b=a+k(, k((N\(0)) (a
2) a(b (b=a+k, k(N (b(=a+k(, k((N\(0) (a
Teorema 1. Prirodni red na skupu prirodnih brojeva je potpuni red.
Dokaz. Neka je M bilo koji neprazan skup prirodnih brojeva, a S skup njegovih donjih granica u N, tj. S=(x(x(N (((m(M) x(m). Iz svojstva 3, stavka 5). slijedi da je 0(S. Ako je drugi uvjet aksioma 4 n(S (n((S), onda bismo imali S=N. U stvari, S(N; naime, ako je a(M, onda a(( S)
Teorema 2. Bilo koji neprazan skup prirodnih brojeva ograničen iznad ima maksimalni element.
Dokaz. Neka je M bilo koji neprazan skup prirodnih brojeva ograničen iznad, a S skup njegovih gornjih granica, to jest, S=(x(x(N (((m(M) m(x). Označite sa x0). najmanji element u S. Tada nejednakost m(x0 vrijedi za sve brojeve m iz M, a stroga nejednakost m
Problem 1.6.1. Dokaži to
ali) ;
b) ;
in) .
Problem 1.6.2. Neka je ( neko svojstvo prirodnih brojeva i k proizvoljan prirodan broj. Dokažite to
a) svaki prirodni broj ima svojstvo (, čim 0 ima ovo svojstvo za svako n (0
b) svaki prirodni broj veći ili jednak k ima svojstvo (, čim k ima ovo svojstvo i za svako n (k(n) iz pretpostavke da n ima svojstvo (, slijedi da je broj n + 1 također ima ovo svojstvo;
c) svaki prirodni broj veći ili jednak k ima svojstvo (, čim k ima ovo svojstvo i za bilo koji n (n>k) iz pretpostavke da su svi brojevi t definisani uslovom k(t

1.7. PRINCIP INDUKCIJE.

Koristeći potpuni poredak sistema prirodnih brojeva, možemo dokazati sljedeću teoremu na kojoj se zasniva jedna od metoda dokaza, nazvana metoda matematičke indukcije.
Teorema (princip indukcije). Svi iskazi iz niza A1, A2, ..., An, ... su tačni ako su ispunjeni sljedeći uvjeti:
1) tvrdnja A1 je tačna;
2) ako su iskazi Ak tačni za k
Dokaz. Pretpostavimo suprotno: uslovi 1) i 2) su ispunjeni, ali teorema nije tačna, odnosno skup M=(m(m(N\(0), Am je netačan)) nije prazan. Prema teoremi 1 , tačka 6, M ima najmanji element, koji označavamo sa n. Pošto je prema uvjetu 1) A1 istinit, a An netačan, onda je 1(n, a time i 1
Kod dokazivanja indukcijom mogu se razlikovati dvije faze. U prvoj fazi, koja se zove baza indukcije, provjerava se zadovoljivost uslova 1). U drugoj fazi, koja se naziva korak indukcije, dokazuje se uslov 2). U ovom slučaju najčešće postoje slučajevi kada, da bi se dokazala istinitost tvrdnje An, nije potrebno koristiti istinitost tvrdnji Ak za k
Primjer. Dokazati nejednakost Neka je =Sk. Potrebno je dokazati istinitost iskaza Ak=(Sk). Niz iskaza na koji se poziva teorema 1 može se dobiti iz predikata A(n) definiranog na skupu N ili na njegovom podskupu Nk=(x (x(N , x(k), gdje je k - bilo koji fiksni prirodni broj.
Konkretno, ako je k=1, onda je N1=N\(0), a numeriranje iskaza može se izvršiti korištenjem jednakosti A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A (n), ... Ako je k(1, onda se niz iskaza može dobiti korištenjem jednakosti A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n -1), .. U skladu sa takvom notacijom, teorema 1 se može formulisati u drugom obliku.
Teorema 2. Predikat A(m) je identično tačan na skupu Nk ako su ispunjeni sljedeći uslovi:
1) tvrdnja A(k) je tačna;
2) ako su iskazi A(m) tačni za m
Problem 1.7.1. Dokažite da sljedeće jednačine nemaju rješenja u području prirodnih brojeva:
a) x+y=1;
b) 3x=2;
c) x2=2;
d) 3x+2=4;
e) x2+y2=6;
f) 2x+1=2y.
Problem 1.7.2. Dokažite korištenjem principa matematičke indukcije:
a) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
b) ;
in) ;
G) ;
e) ;
e).

1.8. ODUZIMANJE I DJELJENJE PRIRODNIH BROJEVA.

Definicija 1. Razlika prirodnih brojeva a i b je prirodan broj x takav da je b+x=a. Razlika između prirodnih brojeva a i b označava se sa a-b, a operacija pronalaženja razlike naziva se oduzimanje. Oduzimanje nije algebarska operacija. Ovo slijedi iz sljedeće teoreme.
Teorema 1. Razlika a-b postoji ako i samo ako je b(a. Ako postoji samo jedna razlika.
Dokaz. Ako je b(a, onda prema definiciji relacije (postoji prirodni broj x takav da je b+x=a. Ali to također znači da je x=ab. Obrnuto, ako razlika ab postoji, onda prema definiciji 1 postoji takav prirodan broj x, da je b+x=a, ali to takođe znači da je b(a.
Dokažimo jedinstvenost razlike a-b. Neka su a-b=x i a-b=y. Tada prema definiciji 1 b+x=a, b+y=a. Dakle, b+x=b+y i stoga x=y.
Definicija 2. Kvocijent dva prirodna broja a i b(0) je prirodan broj c takav da je a=bc. Operacija pronalaženja količnika naziva se deljenje. Pitanje postojanja količnika rješava se u teoriji djeljivost.
Teorema 2. Ako količnik postoji, onda samo jedan.
Dokaz. Neka su =x i =y. Tada prema definiciji 2 a=bx i a=by. Otuda je bx=by i stoga x=y.
Imajte na umu da su operacije oduzimanja i dijeljenja definirane gotovo doslovno na isti način kao u školskim udžbenicima. To znači da je u paragrafima 1-7, na osnovu Peanovih aksioma, postavljena čvrsta teorijska osnova za aritmetiku prirodnih brojeva i njeno dalje predstavljanje se dosledno sprovodi u školskom kursu matematike i na univerzitetskom kursu „Algebra i Teorija brojeva".
Problem 1.8.1. Dokažite valjanost sljedećih tvrdnji, pod pretpostavkom da postoje sve razlike koje se javljaju u njihovim formulacijama:
a) (a-b)+c=(a+c)-b;
b) (a-b)(c=a(c-b(c;
c) (a+b)-(c+b)=a-c;
d) a-(b+c)=(a-b)-c;
e) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
e) (a-b)-(c-d)=a-c;
g) (a+b)-(b-c)=a+c;
h) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
j) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
k) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
l) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
m) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(a-b)(a+b).
Problem 1.8.2. Dokažite valjanost sljedećih tvrdnji, pod pretpostavkom da postoje svi količniki koji se pojavljuju u njihovim formulacijama.
ali) ; b) ; in) ; G) ; e) ; e) ; g); h) ; I) ; do) ; l); m) ; m) ; o) ; P) ; R) .
Problem 1.8.3. Dokažite da sljedeće jednačine ne mogu imati dva različita prirodna rješenja: a) ax2+bx=c (a,b,c(N); b) x2=ax+b (a,b(N); c) 2x=ax2 + b (a,b(N).
Problem 1.8.4. Riješite jednadžbe prirodnim brojevima:
a) x2+(x+1)2=(x+2)2; b) x+y=x(y; c) ; d) x2+2y2=12; e) x2-y2=3; f) x+y+z=x(y(z.
Problem 1.8.5. Dokazati da sljedeće jednačine nemaju rješenja u području prirodnih brojeva: a) x2-y2=14; b) x-y=xy; in) ; G) ; e) x2=2x+1; f) x2=2y2.
Problem 1.8.6. Riješite u prirodnim brojevima nejednačine: a) ; b) ; in) ; d) x+y2 Zadatak 1.8.7. Dokažite da u području prirodnih brojeva vrijede sljedeće relacije: a) 2ab(a2+b2; b) ab+bc+ac(a2+b2+c2; c) c2=a2+b2 (a2+b2+c2 1.9. KVANTITATIVNO OSJETILO PRIRODNI BROJEVI.
U praksi se prirodni brojevi uglavnom koriste za brojanje elemenata, a za to je potrebno utvrditi kvantitativno značenje prirodnih brojeva u Peanovoj teoriji.
Definicija 1. Skup (x (x(N, 1(x(n))) naziva se segment prirodnog niza i označava se sa (1;n(.
Definicija 2. Konačan skup je svaki skup koji je po moći ekvivalentan nekom segmentu prirodnog niza, kao i prazan skup. Skup koji nije konačan naziva se beskonačan.
Teorema 1. Konačan skup A nije ekvivalentan nijednom od svojih podskupova (tj. podskupu koji nije A).
Dokaz. Ako je A=(, tada je teorema tačna, budući da prazan skup nema odgovarajućih podskupova. Neka je A((i A ekvivalentno sa (1,n((A((1,n(). Teoremu ćemo dokazati tako da indukcija na n. Ako je n= 1, to jest, A((1,1(, tada je jedini pravi podskup skupa A prazan skup. Jasno je da je A( i, prema tome, teorema je tačna za n = 1. Pretpostavimo da je teorema tačna za n=m, to jest, svi konačni skupovi ekvivalentni segmentu (1,m( nemaju ekvivalentne odgovarajuće podskupove. Neka je A bilo koji skup ekvivalentan segmentu (1,m+ 1(i (:(1,m+1(®A - neka bijektivna mapa segmenta (1,m+1(u A. Ako je ((k) označeno sa ak, k=1,2,...) ,m+1, onda se skup A može zapisati kao A=(a1, a2, ... , am, am+1).Naš zadatak je dokazati da A nema ekvipotentne prave podskupove. Pretpostavimo suprotno: neka B(A, B(A, B(A i f: A®B)) biti bijektivno preslikavanje (i f takvo da je am+1(B i f(am+1)=am+1).
Razmotrimo skupove A1=A\(am+1) i B1=B\(am+1). Pošto je f(am+1)=am+1, funkcija f će izvršiti bijektivno preslikavanje skupa A1 na skup B1. Dakle, skup A1 će biti ekvivalentan svom podskupu B1. Ali pošto A1((1,m(, ovo je u suprotnosti sa hipotezom indukcije.
Posljedica 1. Skup prirodnih brojeva je beskonačan.
Dokaz. Iz Peanoovih aksioma slijedi da je preslikavanje S:N®N\(0), S(x)=x(bijektivno. Dakle, N je ekvivalentno svom odgovarajućem podskupu N\(0) i, na osnovu teoreme 1 , nije konačan.
Posledica 2. Svaki neprazan konačni skup A po veličini je ekvivalentan jednom i samo jednom segmentu prirodnog niza.
Dokaz. Neka A((1,m(i A((1,n(.. Zatim (1,m(((1,n(,, odakle, na osnovu teoreme 1, slijedi da je m=n). Zaista, ako pretpostavimo da m
Korolar 2 nam omogućava da uvedemo definiciju.
Definicija 3. Ako je A((1,n(, tada se prirodni broj n naziva brojem elemenata skupa A, a proces uspostavljanja korespondencije jedan prema jedan između skupova A i (1,n( se naziva brojanjem elemenata skupa A. Prirodno je uzeti u obzir broj elemenata praznog skupa broj nula.
O ogromnom značaju brojanja u praktičnom životu suvišno je govoriti.
Imajte na umu da bi, znajući kvantitativno značenje prirodnog broja, bilo moguće definirati operaciju množenja sabiranjem, naime:
.
Namjerno nismo krenuli ovim putem kako bismo pokazali da samoj aritmetici nije potreban kvantitativni smisao: kvantitativno značenje prirodnog broja potrebno je samo u primjenama aritmetike.

1.10. SISTEM PRIRODNIH BROJEVA KAO DISKRETAN POTPUNO UREĐEN SKUP.

Pokazali smo da je skup prirodnih brojeva u odnosu na prirodni red dobro uređen. U ovom slučaju, ((a(N) a
1. za bilo koji broj a(N postoji susjedni broj koji slijedi iza njega u odnosu 2. za bilo koji broj a(N\(0) postoji susjedni broj koji mu prethodi u odnosu Dobro uređen skup (A;() sa svojstvima) 1 i 2 će se zvati diskretni bunar. Ispada da je potpuno uređenje sa svojstvima 1 i 2 karakteristično svojstvo sistema prirodnih brojeva. kako slijedi: a(=b ako je b susjedni element koji slijedi a u odnosu (. To jasno je da najmanji element skupa A ne prati nijedan element i stoga je Peanov aksiom 1 zadovoljen.
Budući da je relacija (je linearni poredak, tada za bilo koji element a postoji jedinstveni element koji ga prati i najviše jedan prethodni susjedni element. Ovo implicira izvodljivost aksioma 2 i 3. Neka je sada M bilo koji podskup skupa A za koji su ispunjeni sljedeći uslovi:
1) a0(M, gde je a0 najmanji element u A;
2) a(M (a((M.
Dokažimo da je M=N. Pretpostavimo suprotno, to jest, A\M((. Označimo sa b najmanji element u A\M. Pošto je a0(M, onda b(a0 i, prema tome, postoji element c takav da je c(=b. c
Dakle, dokazali smo mogućnost još jedne definicije sistema prirodnih brojeva.
Definicija. Sistem prirodnih brojeva je svaki dobro uređen skup na kojem su zadovoljeni sljedeći uvjeti:
1. za bilo koji element postoji susjedni element koji ga prati;
2. za bilo koji element osim najmanjeg, postoji susjedni element koji mu prethodi.
Postoje i drugi pristupi određivanju sistema prirodnih brojeva na kojima se ovdje ne zadržavamo.

2. CIJELI I RACIONALNI BROJEVI.

2.1. DEFINICIJA I SVOJSTVA SISTEMA CIJELIH BROJEVA.
Poznato je da je skup cijelih brojeva u njihovom intuitivnom razumijevanju prsten u odnosu na sabiranje i množenje, a ovaj prsten sadrži sve prirodne brojeve. Također je jasno da u prstenu cijelih brojeva ne postoji odgovarajući podprsten koji bi sadržavao sve prirodne brojeve. Ispostavilo se da se ta svojstva mogu koristiti kao osnova za rigoroznu definiciju sistema cijelih brojeva. U odjeljcima 2.2 i 2.3 će se dokazati ispravnost takve definicije.
Definicije 1. Poziva se sistem cijelih brojeva algebarski sistem, za koje su ispunjeni sljedeći uslovi:
1. Algebarski sistem je prsten;
2. Skup prirodnih brojeva je sadržan u, a sabiranje i množenje u prstenu na podskupu poklapaju se sa sabiranjem i množenjem prirodnih brojeva, tj.
3. (minimalno stanje). Z je minimalni skup inkluzije sa svojstvima 1 i 2. Drugim riječima, ako podprsten prstena sadrži sve prirodne brojeve, tada je Z0=Z.
Definiciji 1 se može dati detaljan aksiomatski karakter. Početni koncepti u ovoj aksiomatskoj teoriji će biti:
1) Skup Z, čiji se elementi nazivaju cijeli brojevi.
2) Poseban cijeli broj nazvan nula i označen sa 0.
3) Ternarni odnosi + i (.
Kao i obično, N označava skup prirodnih brojeva sa sabiranjem (i množenjem (. U skladu sa definicijom 1, sistem cijelih brojeva je algebarski sistem (Z; +, (, N)) za koji vrijede sljedeći aksiomi:
1. (Aksiomi prstena.)
1.1.
Ovaj aksiom znači da je + binarna algebarska operacija na skupu Z.
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c).)
1.3. ((a,b(Z)a+b=b+a.
1.4. ((a(Z) a+0=a, to jest, broj 0 je neutralan element u odnosu na sabiranje.
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0, to jest, za svaki cijeli broj postoji suprotan broj a(.
1.6. ((a,b(Z)((! d(Z) a(b=d.
Ovaj aksiom znači da je množenje binarna algebarska operacija na skupu Z.
1.7. ((a,b,c(Z) (a(b)(c=a((b(c).).
1.8. ((a,b,c(Z) (a+b)(c=a(c+b(c, c((a+b)=c(a+c(b).
2. (Aksiomi povezanosti prstena Z sa sistemom prirodnih brojeva.)
2.1. N(Z.
2.2. ((a,b(N)a+b=a(b.
2.3. ((a,b(N) a(b=a(b.
3. (Aksiom minimalnosti.)
Ako je Z0 podprsten prstena Z i N(Z0, onda je Z0=Z.
Napominjemo neka svojstva sistema cijelih brojeva.
1. Svaki cijeli broj je predstavljen kao razlika dva prirodna broja. Ova reprezentacija je dvosmislena, sa z=a-b i z=c-d, gdje je a,b,c,d(N, ako i samo ako je a+d=b+c.
Dokaz. Označimo sa Z0 skup svih cijelih brojeva, od kojih se svaki može predstaviti kao razlika dva prirodna broja. Očigledno, ((a(N) a=a-0, a time i N(Z0.
Zatim, neka je x,y(Z0, tj. x=ab, y=cd, gdje je a,b,c,d(N. Tada je xy=(ab)-(cd)=(a+d)-(b + c)=(a(d)-(b(c), x(y=(ab)(cd)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b)(d))-(a (d(b(c). Ovo pokazuje da je xy, x(y(Z0 i, prema tome, Z0) podprsten prstena Z koji sadrži skup N. Ali tada, prema aksiomu 3, Z0=Z i samim tim prvi dio svojstva 1 je dokazana. Druga tvrdnja ovog svojstva je očigledna.
2. Prsten cijelih brojeva je komutativni prsten sa jedinicom, a nula ovog prstena je prirodni broj 0, a jedinica ovog prstena je prirodni broj 1.
Dokaz. Neka je x,y(Z. Prema svojstvu 1 x=ab, y=cd, gdje je a,b,c,d(N. Tada je x(y=(ab)((cd)=(ac+bd)-( ad +bc)=(a(c(b(d)-(a(d(b(c),), y(x=(cd)(ab)=(ca+db)-(da+cb)=(c) ( a(d(b)-(d(a(c(b).). Dakle, zbog komutativnosti množenja prirodnih brojeva, zaključujemo da je xy=yx. Dokazana je komutativnost množenja u prstenu Z). tvrdnje svojstva 2 slijede iz sljedećih očiglednih jednakosti, gdje 0 i 1 označavaju prirodne brojeve nula i jedan: x+0=(ab)+0=(a+(-b))+0=(a+0)+(- b)=(a(0)+ (-b)=ab=x.x(1=(ab)(1=a(1-b(1=a(1-b)(1=ab=x).

2.2. POSTOJANJE SISTEMA CIJELIH BROJEVA.

Sistem cijelih brojeva je definiran u 2.1 kao inkluzioni minimalni prsten koji sadrži sve prirodne brojeve. Postavlja se pitanje - postoji li takav prsten? Drugim riječima, da li je sistem aksioma iz 2.1 konzistentan? Da bi se dokazala konzistentnost ovog sistema aksioma, potrebno je izgraditi njegovu interpretaciju u poznatoj konzistentnoj teoriji. Aritmetika prirodnih brojeva može se smatrati takvom teorijom.
Dakle, prelazimo na konstrukciju interpretacije sistema aksioma 2.1. Razmotrićemo početni skup. Na ovom skupu definiramo dvije binarne operacije i binarnu relaciju. Pošto se sabiranje i množenje parova svodi na sabiranje i množenje prirodnih brojeva, onda je, što se tiče prirodnih brojeva, sabiranje i množenje parova komutativno, asocijativno, a množenje je distributivno u odnosu na sabiranje. Provjerimo, na primjer, komutativnost sabiranja para: +===+.
Razmotrite svojstva relacije ~. Pošto je a+b=b+a, onda je ~, odnosno relacija ~ refleksivna. Ako je ~, odnosno a+b1=b+a1, onda je a1+b=b1+a, odnosno ~. Dakle, relacija ~ je simetrična. Neka dalje ~ i ~. Tada vrijede jednakosti a+b1=b+a1 i a1+b2=b1+a2. Sabiranjem ovih jednakosti dobijamo a+b2=b+a2, odnosno ~. Stoga je relacija ~ također tranzitivna i stoga ekvivalentna. Klasa ekvivalencije koja sadrži par će biti označena sa. Dakle, klasa ekvivalencije može biti označena bilo kojim njenim parom i, štaviše,
(1)
Skup svih klasa ekvivalencije će biti označen sa. Naš zadatak je da pokažemo da će ovaj skup, uz odgovarajuću definiciju operacija sabiranja i množenja, biti tumačenje sistema aksioma iz 2.1. Operacije na skupu su definisane jednakostima:
(2)
(3)
Ako i, odnosno na skupu N, jednakosti a+b(=b+a(, c+d(=a+c(), onda je jednakost (a+c)+(b(+d()) =(b +d)+(a(+c()), iz čega, na osnovu (1), dobijamo i jedinstvenost množenja klasa. Dakle, jednakosti (2) i (3) definišu binarne algebarske operacije na set.
Pošto se sabiranje i množenje klasa svodi na sabiranje i množenje parova, ove operacije su komutativne, asocijativne, a množenje klasa je distributivno u odnosu na sabiranje. Iz jednakosti zaključujemo da je klasa neutralan element u odnosu na sabiranje, a za svaku klasu postoji suprotna klasa njoj. To znači da je skup prsten, odnosno da su aksiomi grupe 1 iz 2.1 zadovoljeni.
Razmotrimo podskup u prstenu. Ako je a(b, onda na osnovu (1) , a ako je a
Na skupu definišemo binarnu relaciju (sljedi(; naime, nakon klase slijedi klasa, gdje je x(prirodni broj nakon x. Prirodno je klasu koja slijedi nakon x označiti sa (. Jasno je da klasa ne prati nijednu klasu i za svaku klasu postoji klasa koja joj sledi, i štaviše, samo jedna. Ovo poslednje znači da relacija (sledi (je unarna algebarska operacija na skupu N.
Hajde da razmotrimo mapiranje. Očigledno, ovo preslikavanje je bijektivno i uslovi f(0)= , f(x()==(=f(x)(. To znači da je preslikavanje f izomorfizam algebre (N;0,() na algebra (;, (). Drugim riječima, algebra (;, () je interpretacija sistema Peanovih aksioma. Identifikacija ovih izomorfnih algebri, to jest, uz pretpostavku da je sam skup N podskup prstena. Ista identifikacija u očiglednim jednakostima dovodi do jednakosti a(c =a+c, a(c=ac, što znači da se sabiranje i množenje u prstenu na podskupu N poklapaju sa sabiranjem i množenjem prirodnih brojeva. Dakle, zadovoljivost utvrđena je aksioma grupe 2. Ostaje da se provjeri zadovoljivost aksioma minimalnosti.
Neka je Z0 bilo koji podprsten prstena koji sadrži skup N i. Imajte na umu da i, stoga, . Ali pošto je Z0 prsten, razlika ovih klasa pripada i prstenu Z0. Iz jednakosti -= (= zaključujemo da je (Z0 i, posljedično, Z0=. Dokazana je konzistentnost sistema aksioma u Odjeljku 2.1.).

2.3. JEDINSTVO SISTEMA CIJELIH BROJEVA.

Postoji samo jedan sistem cijelih brojeva u njihovom intuitivnom smislu. To znači da sistem aksioma koji definišu cele brojeve mora biti kategoričan, odnosno da su bilo koje dve interpretacije ovog sistema aksioma izomorfne. Kategoričan i znači da, do izomorfizma, postoji samo jedan sistem cijelih brojeva. Hajde da se uverimo da je ovo istina.
Neka (Z1;+,(,N) i (Z2;(,(,N)) budu bilo koje dvije interpretacije sistema aksioma u odjeljku 2.1. Dovoljno je dokazati postojanje bijektivnog preslikavanja f:Z1®Z2 takvog da prirodni brojevi ostaju fiksni i, pored toga, za sve elemente x i y iz prstena Z1, jednakosti
(1)
. (2)
Imajte na umu da pošto N(Z1 i N(Z2), onda
, a(b=a(b. (3)
Neka je x(Z1 i x=ab, gdje je a,b(N. Povežite sa ovim elementom x=ab element u=a(b, gdje je (oduzimanje u prstenu Z2. Ako je ab=cd, tada je a+d=b +c, odakle, na osnovu (3), a(d=b(c) i, sledstveno, a(b=c(d. To znači da naša korespondencija ne zavisi od predstavnika elementa x u obliku razlike dva prirodna broja, pa je tako određeno preslikavanje f: Z1®Z2, f(ab)=a(b. Jasno je da ako je v(Z2 i v=c(d, onda je v=f(cd Dakle, svaki element iz Z2 je slika pod preslikavanjem f i, prema tome, preslikavanje f je surjektivno.
Ako je x=ab, y=cd, gdje je a,b,c,d(N i f(x)=f(y), tada je a(b=c(d. Ali tada a(d=b(d, u (3) a+d=b+c, ​​odnosno ab=cd Dokazali smo da jednakost f(x)=f(y) implicira jednakost x=y, odnosno preslikavanje f je injektivno.
Ako je a(N, onda je a=a-0 i f(a)=f(a-0)=a(0=a. Dakle, prirodni brojevi su fiksirani pod preslikavanjem f. Dalje, ako je x=ab, y= cd, gdje je a,b,c,d(N, zatim x+y=(a+c)- i f(x+y) = (a+c)((b+d)=(a(c)( (b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y). Jednakost (1) je dokazana). Provjerimo jednakost (2).). Pošto je f(xy)=( ac+bd )((ad+bc)=(a(c(b(d)((a(d(b(c)), a s druge strane f(x)(f(y)=(a(b))) )((c (d)=(a(c(b(d)((a(d(b(c).)). Dakle, f(xy)=f(x)(f(y)), čime se završava dokaz da sistem aksioma br.2.1.

2.4. DEFINICIJA I SVOJSTVA SISTEMA RACIONALNIH BROJEVA.

Skup Q racionalnih brojeva u njihovom intuitivnom razumijevanju je polje za koje je skup cijelih brojeva Z podprsten. Očigledno je da ako je Q0 potpolje polja Q koje sadrži sve cijele brojeve, onda je Q0=Q. Upravo ta svojstva ćemo koristiti kao osnovu za rigoroznu definiciju sistema racionalnih brojeva.
Definicija 1. Sistem racionalnih brojeva je algebarski sistem (Q;+,(;Z) za koji su zadovoljeni sljedeći uslovi:
1. algebarski sistem (Q;+,() je polje;
2. prsten Z cijelih brojeva je podprsten polja Q;
3. (uslov minimalnosti) ako potpolje Q0 polja Q sadrži podprsten Z, tada je Q0=Q.
Ukratko, sistem racionalnih brojeva je inkluzivno minimalno polje koje sadrži podprsten cijelih brojeva. Moguće je dati detaljniju aksiomatsku definiciju sistema racionalnih brojeva.
Teorema. Svaki racionalni broj x može se predstaviti kao količnik dva cijela broja, tj
, gdje je a,b(Z, b(0. (1)
Štaviše, ova reprezentacija je dvosmislena, gdje je a,b,c,d(Z, b(0, d(0.
Dokaz. Označimo sa Q0 skup svih racionalnih brojeva koji se mogu predstaviti u obliku (1). Dovoljno je osigurati da je Q0=Q. Neka, gdje je a,b,c,d(Z, b(0, d(0. Tada, prema svojstvima polja, imamo: je potpolje polja Q. Pošto bilo koji cijeli broj a može biti predstavljen u oblik, onda Z(Q0. Otuda, na osnovu uslova minimalnosti, sledi da je Q0=Q. Dokaz drugog dela teoreme je očigledan.

2.5. POSTOJANJE SISTEMA RACIONALNIH BROJEVA.

Sistem racionalnih brojeva je definisan kao minimalno polje koje sadrži podprsten celih brojeva. Naravno, postavlja se pitanje da li takvo polje postoji, odnosno da li je sistem aksioma koji definiše racionalne brojeve konzistentan. Da bi se dokazala konzistentnost, potrebno je konstruisati interpretaciju ovog sistema aksioma. U ovom slučaju, može se osloniti na postojanje sistema cijelih brojeva. Prilikom konstruisanja interpretacije, kao početnu tačku smatraćemo skup Z(Z\(0), na kojem definišemo dve binarne algebarske operacije
, (1)
(2)
i binarnu relaciju
(3)
Svrsishodnost upravo takve definicije operacija i relacije ~ proizlazi iz činjenice da će u interpretaciji koju gradimo par izraziti količnik.
Lako je provjeriti da su operacije (1) i (2) komutativne, asocijativne i da je množenje distributivno u odnosu na sabiranje. Sva ova svojstva se testiraju u odnosu na odgovarajuća svojstva sabiranja i množenja cijelih brojeva. Provjerimo, na primjer, asocijativnost množenja parova: .
Slično, provjerava se da je relacija ~ ekvivalentnost, pa je skup Z(Z\(0) podijeljen na klase ekvivalencije. Skup svih klasa će biti označen sa, a klasa koja sadrži par sa. Dakle, klasa se može označiti bilo kojim njenim parom i zbog uslova (3) dobijamo:
. (4)
Naš zadatak je da definiramo operaciju sabiranja i množenja na skupu na način da on bude polje. Ove operacije su definisane jednakostima:
, (5)
(6)
Ako je, odnosno, ab1=ba1 i, odnosno cd1=dc1, onda množenjem ovih jednakosti dobijamo (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1), što nas uvjerava da je jednakost (6 ) zaista definira jednovrijednu operaciju na skupu klasa, neovisno o izboru predstavnika u svakoj klasi. Jedinstvenost operacije (5) provjerava se na sličan način.
Pošto se sabiranje i množenje klasa svodi na sabiranje i množenje parova, operacije (5) i (6) su komutativne, asocijativne, a množenje je distributivno u odnosu na sabiranje.
Iz jednakosti zaključujemo da je klasa neutralan element u odnosu na sabiranje, a za svaku klasu postoji suprotan element. Slično, iz jednakosti slijedi da je klasa neutralan element u odnosu na množenje, a za svaku klasu postoji inverzna klasa. Dakle, je polje u odnosu na operacije (5) i (6); prvi uslov u definiciji tačke 2.4 je zadovoljen.
Razmotrite sljedeći set. Očigledno, . Skup je zatvoren prema oduzimanju i množenju i stoga je podprsten polja. Zaista, . Razmotrite sljedeće mapiranje, . Surjektivnost ovog mapiranja je očigledna. Ako je f(x)=f(y), tj., onda je x(1=y(1 ili x=y). Dakle, preslikavanje f i je injektivno. Štaviše, . Dakle, preslikavanje f je izomorfizam prstena u Identifikujući da su to izomorfni prstenovi, možemo pretpostaviti da je prsten Z podprsten polja, odnosno da je ispunjen uslov 2 u definiciji tačke 2.4. Ostaje da se dokaže minimalnost polja. Neka je bilo koji podpolje polja i, i neka bude. Od, pa onda. Ali pošto je polje, kvocijent ovih elemenata takođe pripada polju. Dakle, dokazano je da ako , Onda, to je. Dokazano je postojanje sistema racionalnih brojeva.

2.6. JEDINSTVO SISTEMA RACIONALNIH BROJEVA.

Budući da postoji samo jedan sistem racionalnih brojeva u njihovom intuitivnom razumijevanju, aksiomatska teorija racionalnih brojeva, koja je ovdje predstavljena, mora biti kategorična. Kategoričan i znači da, do izomorfizma, postoji samo jedan sistem racionalnih brojeva. Pokažimo da je to zaista tako.
Neka su (Q1;+, (; Z) i (Q2; (, (; Z)) bilo koja dva sistema racionalnih brojeva. Dovoljno je dokazati postojanje bijektivnog preslikavanja tako da svi cijeli brojevi ostaju fiksni i, pored toga, uslove
(1)
(2)
za bilo koje elemente x i y iz polja Q1.
Kvocijent elemenata a i b u polju Q1 će biti označen sa, au polju Q2 - sa a:b. Kako je Z podprsten svakog od polja Q1 i Q2, za bilo koje cijele brojeve a i b imamo jednakosti
, . (3)
Neka i gdje, . Povežite ovaj element x sa elementom y=a:b iz polja Q2. Ako je jednakost tačna u polju Q1, gdje, prema teoremi 2.4, u prstenu Z vrijedi jednakost ab1=ba1, ili, na osnovu (3), jednakost, a zatim, prema istoj teoremi, jednakost a:b=a1:b1 je tačno u polju Q2. To znači da usklađivanjem elementa iz polja Q1 sa elementom y=a:b iz polja Q2, definiramo preslikavanje, .
Bilo koji element iz polja Q2 može se predstaviti kao a:b, gdje je i, prema tome, slika elementa iz polja Q1. Dakle, preslikavanje f je surjektivno.
Ako, onda u polju Q1 i zatim. Dakle, preslikavanje f je bijektivno i svi cijeli brojevi ostaju fiksni. Ostaje da se dokaže valjanost jednakosti (1) i (2). Neka i, gdje je a,b,c,d(Z, b(0, d(0). Tada i odakle, na osnovu (3), f(x+y)=f(x)(f(y) ) Slično, i gdje.
Izomorfizam interpretacija (Q1;+, (; Z) i (Q2; (, (; Z)) je dokazan.

ODGOVORI, UPUTSTVA, RJEŠENJA.

1.1.1. Rješenje. Neka je tačan uslov aksioma 4 (takvo svojstvo prirodnih brojeva da ((0) i. Neka. Tada M zadovoljava premisu aksioma 4, pošto ((0)(0(M i. Dakle, M=N, tj., svaki prirodni broj ima svojstvo (. Obrnuto, pretpostavimo da je za bilo koje svojstvo (iz činjenice da ((0) i, slijedi. Neka je M podskup od N takav da je 0(M i. Pokazaćemo da je M =N. Neka svojstvo (, pod pretpostavkom. Tada je ((0), pošto, i. Dakle, dakle, M=N.
1.1.2. Odgovor: Tvrdnje 1. i 4. Peanove aksiome su tačne. Tvrdnja 2. aksioma je netačna.
1.1.3. Odgovor: tvrdnje 2,3,4 Peanovih aksioma su tačne. Tvrdnja 1. aksioma je netačna.
1.1.4. Izjave 1, 2, 3 Peanovih aksioma su tačne. Tvrdnja 4. aksioma je netačna. Savjet: dokazati da skup zadovoljava premisu aksioma 4, formulisanu u terminima operacije, ali.
1.1.5. Savjet: da biste dokazali istinitost tvrdnje aksioma 4, razmotrite podskup M od A koji zadovoljava uslove: a) 1((M, b) i skup. Dokažite to. Tada je M=A.
1.1.6. Tvrdnje 1., 2., 3. Peanovih aksioma su tačne. Izjava Peanovog 4. aksioma je lažna.
1.6.1. a) Rješenje: Prvo dokažite da ako je 1 ujutro. Nazad. Pusti me
1.6.2. a) Rješenje: Pretpostavite suprotno. Označimo sa M skup svih brojeva koji nemaju svojstvo (. Po pretpostavci, M((. Na osnovu teoreme 1, M ima najmanji element n(0. Bilo koji broj x
1.8.1. f) Koristite e) i c): (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, dakle (a-b)-(c-b)=a-c.
h) Koristite imovinu.
l) Koristite stavku b).
m) Koristite tačku b) i tačku h).
1.8.2. c) Imamo, dakle, . Dakle, .
d) Imamo. Shodno tome, .
g).
1.8.3. a) Ako su (i (su različita rješenja jednadžbe ax2+bx=c, onda a(2+b(=a(2+b). S druge strane, ako je, na primjer, (b)) Neka (i ( biti različita rješenja jednadžbe. Ako ((. Međutim, (2=a(+b>a(, dakle, (>a. Dobili smo kontradikciju.
c) Neka (i (biti različiti korijeni jednadžbe i (>(. Tada je 2((-()=(a(2+b))-(a(2+b)=a((-()((( +( ) Dakle a((+()=2, ali (+(>2, dakle a((+()>2, što je nemoguće.
1.8.4. a) x=3; b) x=y=2. Hint: pošto i, imamo x=y; c) x=y(y+2), y - bilo koji prirodni broj; d) x=y=2; e) x=2, y=1; f) Do permutacija x=1, y=2, z=3. Rješenje: Neka je, na primjer, x(y(z. Tada je xyz=x+y+z(3z, tj. xy(3. Ako je xy=1, onda je x=y=1 i z=2+z, što je nemoguće ako xy=2 onda x=1, y=2 U ovom slučaju 2z=3+z tj. z=3 Ako je xy=3 onda je x=1 y=3 Tada je 3z= 4+z, tj. z=2, što je u suprotnosti sa pretpostavkom y(z.
1.8.5. b) Ako je x=a, y=b rješenje jednačine, tada je ab+b=a, tj. a>ab, što je nemoguće. d) Ako je x=a, y=b rješenje jednačine, tada je b
1.8.6. a) x=ky, gdje su k,y proizvoljni prirodni brojevi i y(1. b) x je proizvoljan prirodan broj, y=1. c) x je proizvoljan prirodan broj, y=1. d) Ne postoji rješenje. e) x1=1; x2=2; x3=3. f) x>5.
1.8.7. a) Ako je a=b, onda je 2ab=a2+b2. Neka, na primjer, a

LITERATURA

1. Redkov M.I. Numerički sistemi. /Metodičke preporuke za izučavanje predmeta "Numerički sistemi". Dio 1. - Omsk: OmGPI, 1984. - 46s.
2. Ershova T.I. Numerički sistemi. / Metodički razvoj za praktične vežbe - Sverdlovsk: SGPI, 1981. - 68s.

Aksiomatska metoda u matematici.

Osnovni pojmovi i odnosi aksiomatske teorije prirodnih nizova. Definicija prirodnog broja.

Sabiranje prirodnih brojeva.

Množenje prirodnih brojeva.

Svojstva skupa prirodnih brojeva

Oduzimanje i dijeljenje prirodnih brojeva.

Aksiomatska metoda u matematici

U aksiomatskoj konstrukciji bilo koje matematičke teorije, određena pravila:

1. Neki koncepti teorije su odabrani kao major i prihvaćeno bez definicije.

2. Formulisano aksiome, koji su u ovoj teoriji prihvaćeni bez dokaza, otkrivaju svojstva osnovnih pojmova.

3. Dat je svaki koncept teorije koji nije sadržan u listi osnovnih definicija, objašnjava njegovo značenje uz pomoć glavnog i prethodnog ovog pojma.

4. Svaka rečenica teorije koja nije sadržana u listi aksioma mora biti dokazana. Takvi prijedlozi se nazivaju teoreme i dokazati ih na osnovu aksioma i teorema koje prethode razmatranoj.

Sistem aksioma bi trebao biti:

a) dosljedan: moramo biti sigurni da, izvodeći sve vrste zaključaka iz datog sistema aksioma, nikada nećemo doći do kontradikcije;

b) nezavisni: nijedan aksiom ne bi trebao biti posljedica drugih aksioma ovog sistema.

u) kompletan, ako je u njegovom okviru uvijek moguće dokazati ili dati iskaz ili njegovu negaciju.

Euklidovo predstavljanje geometrije u njegovim "Principima" (3. vek pne) može se smatrati prvim iskustvom aksiomatske konstrukcije teorije. Značajan doprinos razvoju aksiomatske metode za konstruisanje geometrije i algebre dao je N.I. Lobačevskog i E. Galoa. Krajem 19. vijeka Italijanski matematičar Peano razvio je sistem aksioma za aritmetiku.

Osnovni pojmovi i odnosi aksiomatske teorije prirodnih brojeva. Definicija prirodnog broja.

Kao osnovni (nedefinisani) pojam u određenom skupu N je izabran stav , kao i teorijske koncepte skupova, kao i pravila logike.

Element koji odmah slijedi element ali, odrediti ali".

Odnos "odmah slijedi" zadovoljava sljedeće aksiome:

Peanovi aksiomi:

Aksiom 1. u mnoštvu N postoji element, direktno ne sljedeći za bilo koji element ovog skupa. Hajde da ga pozovemo jedinica i simbolizuju 1 .

Aksiom 2. Za svaki element ali od N postoji samo jedan element ali" odmah nakon toga ali .

Aksiom 3. Za svaki element ali od N postoji najviše jedan element koji odmah slijedi ali .

Aksiom 4. Bilo koji podskup M setovi N poklapa se sa N , ako ima svojstva: 1) 1 sadržano u M ; 2) od čega ali sadržano u M , slijedi da i ali" sadržano u M.

Definicija 1. Mnogo N , za čije se elemente uspostavlja odnos "direktno pratiti» koji zadovoljava aksiome 1-4 se zove skup prirodnih brojeva, a njegovi elementi su prirodni brojevi.

IN ovu definiciju ništa se ne kaže o prirodi elemenata skupa N . Tako da ona može biti bilo šta. Biranje u kompletu N neki određeni skup na kojem je data određena "direktno prateća" relacija koja zadovoljava aksiome 1-4, dobijamo model ovog sistema aksiome.

Standardni model sistema Peanovih aksioma je niz brojeva koji je nastao u procesu istorijskog razvoja društva: 1,2,3,4, ... Prirodni niz počinje brojem 1 (aksiom 1); nakon svakog prirodnog broja odmah slijedi jedan prirodni broj (aksiom 2); svaki prirodni broj odmah slijedi najviše jedan prirodni broj (aksiom 3); počevši od broja 1 i krećući se prema prirodnim brojevima koji neposredno slijede jedan za drugim, dobijamo cijeli skup ovih brojeva (aksiom 4).

Dakle, započeli smo aksiomatsku konstrukciju sistema prirodnih brojeva izborom glavnog "direktno pratiti" odnos i aksiome koji opisuju njegova svojstva. Dalja izgradnja teorije uključuje razmatranje poznatih svojstava prirodnih brojeva i operacija nad njima. Treba ih otkriti u definicijama i teoremama, tj. izvedeno na čisto logičan način iz relacije "odmah slijedi", i aksioma 1-4.

Prvi koncept koji uvodimo nakon definicije prirodnog broja je stav "odmah prethodi" , koji se često koristi kada se razmatraju svojstva prirodnog niza.

Definicija 2. Ako je prirodan broj b direktno sledi prirodni broj ali, taj broj ali pozvao neposredno prethodi(ili prethodni) broj b .

Odnos "prije" ima u blizini imanja.

Teorema 1. Jedan nema prethodni prirodni broj.

Teorema 2. Svaki prirodan broj ali, osim 1, ima jedan prethodni broj b, takav da b"= ali.

Aksiomatska konstrukcija teorije prirodnih brojeva ne razmatra se ni u početnoj ni u in srednja škola. Međutim, ta svojstva relacije "direktno slijede", koja se odražavaju u Peanovim aksiomima, predmet su proučavanja u primarni kurs matematike. Već u prvom razredu, kada se razmatraju brojevi prve desetice, ispada kako se svaki broj može dobiti. Koriste se izrazi “pratiti” i “prije”. Svaki novi broj djeluje kao nastavak proučavanog segmenta prirodnog niza brojeva. Učenici su uvjereni da iza svakog broja slijedi sljedeći, i to samo jedan, da je prirodni niz brojeva beskonačan.

Sabiranje prirodnih brojeva

Prema pravilima za konstruisanje aksiomatske teorije, definicija sabiranja prirodnih brojeva mora se uvesti koristeći samo relaciju "direktno pratiti", i koncepti "prirodni broj" I "prethodni broj".

Hajde da uvodimo definiciju sabiranja sa sljedećim razmatranjima. Ako za bilo koji prirodan broj ali dodajte 1, dobijamo broj ali", odmah nakon toga ali, tj. ali+ 1= a" i stoga dobijamo pravilo dodavanja 1 bilo kojem prirodnom broju. Ali kako dodati broj ali prirodni broj b, razlikuje od 1? Upotrijebimo sljedeću činjenicu: ako je poznato da je 2 + 3 = 5, onda je zbir 2 + 4 = 6, koji odmah slijedi iza broja 5. To se događa jer je u zbiru 2 + 4 drugi član broj odmah nakon broja 3. Dakle 2 + 4 = 2+3 " =(2+3)". IN opšti pogled imamo , .

Ove činjenice leže u osnovi definicije sabiranja prirodnih brojeva u aksiomatskoj teoriji.

Definicija 3. Sabiranje prirodnih brojeva je algebarska operacija koja ima sljedeća svojstva:

Broj a + b pozvao zbir brojeva ali I b , i sami brojevi ali I b - uslovi.