Razmotrimo multiplikativnu grupu svih cjelobrojnih potencija dvojke (2Z, ), gdje je 2Z= (2 n | P e Z). Aditivni jezički analog ove grupe je aditivna grupa parnih cijelih brojeva (2Z, +), 2Z = (2n | p e Z). Hajde da damo opšta definicija grupe, a ove grupe su posebni primjeri.
Definicija 1.8. Multiplikativna grupa (G,) (poziva se aditivna grupa (G, +)). ciklično, ako se sastoji od svih cjelobrojnih potencija (odnosno, svih cjelobrojnih višekratnika) jednog elementa a e G, one. G=(a p | p e Z) (odnosno, G - (pa | p e Z)). Oznaka: (a), glasi: ciklička grupa koju generiše element a.
Razmotrite primjere.
- 1. Primjer multiplikativne beskonačne cikličke grupe je grupa svih cijelih potencija nekog fiksnog cijelog broja a f±1, označava se i g. Na ovaj način, i d - (a).
- 2. Primjer multiplikativne konačne cikličke grupe je grupa korijena Cn n-ti stepen iz jedinice. Podsjetimo da su n-ti korijeni jedinice
prema formuli e k= cos---hisin^-, gdje k = 0, 1, ..., P - 1. Pratite- p str
Važno je da S „ \u003d (e x) \u003d (e x = 1, e x, ef \u003d e 2, ..., e "-1 \u003d? „_ x). Podsjetimo da kompleksni brojevi e k, k = 1, ..., P - 1, predstavljen tačkama na jediničnom krugu koje ga dijele P jednaki dijelovi.
- 3. Karakterističan primjer aditivne beskonačne cikličke grupe je aditivna grupa cijelih brojeva Z, generisana je brojem 1, tj. Z = (1). Geometrijski se prikazuje kao cjelobrojne tačke brojevne prave. U suštini, multiplikativna grupa je prikazana na isti način 2 7 - = (2), općenito a z \u003d (a), gdje je cijeli broj a f±1 (vidi sliku 1.3). O ovoj sličnosti slika će se raspravljati u Odjeljku 1.6.
- 4. Birajmo proizvoljno multiplikativna grupa G neki element ali. Tada sve cjelobrojne potencije ovog elementa formiraju cikličku podgrupu (a) = (a p p e Z)G.
- 5. Dokažimo da aditivna grupa racionalnih brojeva Q sama po sebi nije ciklična, već bilo koja dva njena elementa leže u cikličnoj podgrupi.
A. Dokažimo da aditivna grupa Q nije ciklična. Pretpostavimo suprotno: neka je Q = (-). Postoji cijeli broj b,
ne dijeli T. Pošto - eQ = (-) = sn-|neZ>, onda postoje
b t/ ( t J
postoji cijeli broj rc 0 takav da je - = n 0 -. Ali onda m = n 0 kb,
gdje t:b- došao do kontradikcije.
B. Dokažimo da su dva proizvoljna racionalni brojevi -
od „ /1
i - pripadaju cikličnoj podgrupi (-), pri čemu T postoji a d t/
manji zajednički višekratnik brojeva b I d. Zaista, neka t-bu
, i ai 1 /1 od cv 1/1
i m = av, u, v e Z, tada - = - = ai-e(-)u - = - = cv-e(-).
b bu t t/ a dv t t/
Teorema 1.3. Red ciklične grupe jednak je redu generirajućeg elementa ove grupe, tj.|(a)| = |a|.
Dokaz. 1. Neka |a| = ">. Dokažimo to sve prirodni stepeni element ali drugačije. Pretpostavimo suprotno: neka a k = a t i 0 do Onda T - to - prirodni broj I a t ~ k = e. Ali to je u suprotnosti sa činjenicom da | | a =°°. Dakle, sve prirodne moći elementa ali su različite, iz čega slijedi da je grupa (a) beskonačna. Stoga, | (a)| = °° = |a |.
2. Neka | a | = n. Dokažimo to (a) \u003d (e - a 0, a, a 2,..., a "-1). Uključivanje (a 0, a, a 2, ..., o" 1-1) c (a) slijedi iz definicije ciklične grupe. Dokažimo obrnuto uključivanje. Proizvoljni element ciklične grupe (ali) ima oblik a t, gdje one Z. Podijelite rakiju s ostatkom: m-nq + r, gdje je 0 p. Pošto a n = e, onda a t = a p i + g \u003d a p h? a r = a r e(a 0 , a, a 2 ,..., a "- 1). Dakle (a) c (a 0, a, a 2, ..., Dakle, (a) \u003d (a 0, a, a 2, ..., a" -jedan).
Ostaje dokazati da su svi elementi skupa (a 0, a, a 2 ,..., a” -1 ) se razlikuju. Pretpostavimo suprotno: neka je 0 i P, ali a" = ali). Onda je - e i 0 j - i - došlo je u kontradikciju sa uslovom | a | = P. Teorema je dokazana.
Cosets, Lagrangeova teorema
Neka bude H grupna podgrupa G. Lijevi koset elementa a po podgrupama H naziva skupom elemenata Ah, gdje h pripada H. Označen je lijevi koset aH. Slično, uvodi se desni koset elementa a po podgrupama H, što znači Ha.
Pošto podgrupa uvijek ima neutralni element, svaki element a sadržano u susednoj klasi aH (Ha).
Svojstvo 2.7. Elementi a I b pripadaju istom lijevom kosetu po podgrupi H ako i samo ako
Dokaz. Ako onda b=Ah, i zbog toga, b pripada lijevom kosetu aH. Obrnuto, neka , Onda postoje da , i .
Teorema 2.2. Ako je lijevo (desno) koset elemenata a I b po podgrupi H imaju zajednički element, onda se poklapaju.
Dokaz. Neka bude . Onda će biti . Proizvoljni element iz lijeve susjedne klase aH sadržano u lijevom kosetu bH. Doista, za , I, stoga, . Uključivanje se dokazuje slično. Tako je teorema dokazana.
Posljedica 2.1. Lijevi kosetovi se ili ne sijeku ili se poklapaju.
Dokaz očigledno.
Posljedica 2.2. Lijevi (desni) koset je ekvikardinalan sa H.
Dokaz. Uspostavite korespondenciju između elemenata podgrupe H i elemente susedne klase aH prema formuli. Prepiska je jedan na jedan. Time je tvrdnja dokazana.
Teorema 2.3 (Lagrange). Red konačne grupe je djeljiv redoslijedom njene podgrupe.
Dokaz. Neka bude G- grupa naloga n, ali H- podgrupa G red k.Jednakost važi. Uklonimo termine koji se ponavljaju s desne strane jednakosti. Kao rezultat, ostat će susjedne klase koje se ne sijeku. Budući da je broj elemenata u susjednoj klasi , onda , gdje m broj različitih koseta. Time se uspostavlja jednakost n=mk, što je bilo potrebno.
Broj različitih koseta naziva se indeks podgrupe H u grupi G.
Skup elemenata iz grupe G naziva se generirajućim ako se G dobije zatvaranjem ovog skupa pod grupnom operacijom.
Grupa koju generiše jedan element naziva se ciklična.
Posljedica 2.3. Svaka grupa sadrži cikličku podgrupu.
Dokaz. Neka bude a- grupni element G. Skup je ciklična podgrupa.
Redoslijed cikličke podgrupe koju generira element a, naziva se redoslijed elementa.
Svojstvo 2.8. Ako element a ima red n, onda a n=e.
Dokaz. Razmotrimo niz. Pošto je broj članova u nizu beskonačan, i za stepene elementa a postoji konačan broj mogućnosti, tada će se isti termini pojaviti u nizu. Neka gde k<j I k prvi termin koji se ponavlja. Zatim , a time i član k-j+ 1 se ponavlja. shodno tome, j=1 (inače ). Dakle, niz se sastoji od ponavljajućih skupova oblika i u njemu k- 1 različite stavke. shodno tome, k=n+1. Od tada .
Dakle, redoslijed bilo kojeg elementa je djelitelj reda grupe a | G | =e za bilo koji element grupe.
Posljedica 2.4. Redoslijed grupe je jednako djeljiv redoslijedom bilo kojeg elementa grupe.
Dokaz očigledno.
Teorema 2.4 (o cikličkim grupama)
I. Za bilo koji prirodni n postoji grupa cikličkih naloga n.
II. Ciklične grupe istog reda su jedna drugoj izomorfne.
III. Ciklična grupa beskonačnog reda je izomorfna grupi cijelih brojeva.
IV. Svaka podgrupa cikličke grupe je ciklična.
V. Za svaki djelitelj m brojevi n(i samo za njih) u cikličnoj grupi n reda postoji jedinstvena podgrupa reda m.
Dokaz. Skup kompleksnih korijena stepena n od 1 u odnosu na operaciju množenja formira cikličku grupu reda n. Dakle, prva tvrdnja je dokazana.
Neka ciklička grupa G red n koju generiše element a, i ciklička grupa H, istog reda, generira element b. Prepiska je jedan na jedan i čuva operaciju. Druga tvrdnja je dokazana
Ciklična grupa beskonačnog reda koju generiše element a, sastoji se od elemenata. Prepiska je jedan na jedan i čuva operaciju. Time je treća tvrdnja dokazana.
Neka bude H je podgrupa cikličke grupe G koju generiše element a. Elementi H su diplome a. Hajde da izaberemo unutra H a. Neka ovo bude element. Pokažimo da je ovaj element generirajući u podgrupi H. Uzmi proizvoljan element iz H. Rad je sadržan u H za bilo koji r. Hajde da izaberemo r jednak količniku dijeljenja k na j, onda k-rj postoji ostatak nakon podjele k na j a samim tim i manje j. Jer u H nema elemenata koji su različiti od nule a, manje od j, onda k-rj= 0, i . Četvrta tvrdnja je dokazana.
Neka ciklička grupa G red n koju generiše element a. Podgrupa koju generiše element ima red m. Razmotrite podgrupu H red m. Hajde da izaberemo unutra H element koji je najmanja snaga različita od nule u apsolutnoj vrijednosti a. Neka ovo bude element. Hajde da to pokažemo j=n/m. Stavka pripada H. Dakle, broj oblika koji nije nula rj-nv ne manje nego u apsolutnoj vrijednosti j, što je moguće samo ako n podijeljena j bez traga. Podgrupa koju generiše ima red n/j=m, Shodno tome, j=n/m. Budući da je generirajući element podgrupe jedinstveno određen svojim redoslijedom, peta tvrdnja je dokazana.
podgrupa se zove ciklička podgrupa. Termin eksponencijacija ovdje znači višestruka primjena na element grupne operacije:Skup koji nastaje ovim procesom u tekstu je označen kao . Imajte na umu da je a 0 = e.
Primjer 5.7
Iz grupe G =< Z 6 , +>mogu se dobiti četiri ciklične podgrupe. Ovo H 1 =<{0},+>, H 2 =<{0, 2, 4}, +>, H 3 =<{0, 3}, +> i H4=G. Imajte na umu da kada je operacija sabiranje, tada n znači množenje n sa a . Imajte na umu da je u svim ovim grupama operacija sabiranje po modulu 6. Sljedeće pokazuje kako nalazimo elemente ovih cikličkih podgrupa.
a. Ciklična podgrupa generirana iz 0 je H 1 i ima samo jedan element (neutralni element).
b. Ciklična podgrupa generirana iz 1 je H 4 , što je sama grupa G.
1 0 mod 6 = 0 1 1 mod 6 = 1 1 2 mod 6 = (1 + 1) mod 6 = 2 1 3 mod 6 = (1 + 1 + 1) mod 6 = 3 1 4 mod 6 = (1 + 1 + 1 + 1) mod 6 = 4 1 5 mod 6 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1) mod 6 = 5 (zaustavi, zatim se proces ponavlja)
in. Ciklična podgrupa generirana iz 2 je H 2 , koja ima tri elementa: 0 , 2 i 4 .
2 0 mod 6 = 0 2 1 mod 6 = 2 2 2 mod 6 = (2 + 2) mod 6 = 4 (zaustavi, zatim se proces ponavlja)
d) Ciklična podgrupa generirana iz 3 je H 3 , koja ima dva elementa: 0 i 3 .
e. Ciklična podgrupa generisana od 4, - H 2 ; ovo nije nova podgrupa.
4 0 mod 6 = 0 4 1 mod 6 = 4 4 2 mod 6 = (4 + 4) mod 6 = 2 (zaustavi, zatim se proces ponavlja)
e. Ciklična podgrupa generirana iz 5 je H 4 , što je sama grupa G.
5 0 mod 6 = 0 5 1 mod 6 = 5 5 2 mod 6 = 4 5 3 mod 6 = 3 5 4 mod 6 = 2 5 5 mod 6 = 1 (zaustavi, ponovi proces)
Primjer 5.8
Iz grupe se mogu dobiti tri ciklične podgrupe. G ima samo četiri elementa: 1, 3, 7 i 9. Ciklične podgrupe - 
i . Sljedeće pokazuje kako nalazimo elemente ovih podgrupa.
a. Ciklična podgrupa generirana iz 1 je H 1 . Podgrupa ima samo jedan element, i to neutralni.
b. Ciklična podgrupa generirana iz 3 je H 3 , što je grupa G .
3 0 mod 10 = 1 3 1 mod 10 = 3 3 2 mod 10 = 9 3 3 mod 10 = 7 (zaustavi, zatim se proces ponavlja)
in. Ciklična podgrupa generirana iz 7 je H 3 , što je grupa G .
7 0 mod 10 = 1 7 1 mod 10 = 7 7 2 mod 10 = 9 7 3 mod 10 = 3 (zaustavi, zatim se proces ponavlja)
d. Ciklična podgrupa generirana iz 9 je H 2 . Podgrupa ima samo dva elementa.
9 0 mod 10 = 1 9 1 mod 10 = 9 (zaustavi, onda se proces ponavlja)
Ciklične grupe
Ciklična grupa je grupa koja je pravilna ciklička podgrupa od . U primjeru 5.7 grupa G ima cikličku podgrupu H 5 = G . To znači da je grupa G ciklična grupa. U ovom slučaju, element koji generiše cikličku podgrupu može takođe generisati samu grupu. Ovaj element se u daljem tekstu naziva "generator". Ako je g generator, elementi u konačnoj cikličkoj grupi mogu se zapisati kao
(e,g,g 2 ,….., g n-1 ) , gdje je g n = e .
Imajte na umu da ciklična grupa može imati mnogo generatora.
Primjer 5.9
ali. Grupa G =
b. Grupa je ciklična grupa sa dva generatora, g = 3 i g = 7 .
Lagrangeova teorema
Lagrangeova teorema pokazuje odnos između reda grupe i reda njene podgrupe. Pretpostavimo da je G grupa, a H podgrupa od G. Ako je red G i H |G| i |H| , odnosno, onda prema ovoj teoremi |H| dijeli |G| . U primjeru 5.7 |G| = 6 . Redoslijed podgrupa - |H1| = 1, | H2| = 3, |H3| = 2 i |H4| = 6 . Očigledno, svi ovi redovi su djelitelji 6 .
Lagrangeova teorema ima vrlo zanimljivu primjenu. Kada je grupa G i njen red |G| , redosled potencijalnih podgrupa se može lako odrediti ako se mogu pronaći delioci. Na primjer, red grupe G =
Redoslijed elemenata
Redoslijed elemenata u grupi ord(a) (red(a)) je najmanji cijeli broj n takav da je a n = e . Drugim riječima: redoslijed elementa je red grupe koju generiše.
Primjer 5.10
a. U grupi G =
b. U grupi G =
Grupa O se naziva cikličkom ako su svi njeni elementi potenci istog elementa. Ovaj element se naziva generator cikličke grupe O. Svaka ciklička grupa je očigledno abelova.
Ciklična grupa je, na primjer, grupa cijelih brojeva sabiranjem. Ovu grupu ćemo označiti simbolom 2. Njena generatriksa je broj 1 (i broj - 1). Ciklična grupa je i grupa koja se sastoji od samo jednog elementa (jednog).
U proizvoljnoj grupi O, potencije bilo kojeg elementa g čine cikličku podgrupu sa generatorom g. Red ove podgrupe se očigledno poklapa sa redom elementa g. Otuda, na osnovu Lagrangeove teoreme (vidi str. 32), slijedi da red bilo kojeg elementa grupe dijeli red grupe (imajte na umu da su svi elementi konačne grupe elementi konačnog reda).
Stoga, za bilo koji element g grupe konačnog reda vrijedi jednakost
Ova jednostavna napomena često je od pomoći.
Zaista, ako je grupa O ciklična i njen generator, tada je redoslijed elementa . Obrnuto, ako grupa O ima element reda, tada među potencijama ovog elementa postoje različite, pa stoga ovi stupnjevi iscrpljuju cijelu grupu O.
Vidimo, dakle, da ciklička grupa može imati nekoliko različitih generatora (naime, svaki element reda je generator).
Zadatak. Dokaži da bilo koja grupa jednostavan red je ciklična grupa.
Zadatak. Dokazati da ciklična grupa reda ima tačno generatore, gdje je broj pozitivni brojevi, manji i koprimeran sa .
Uz red, bilo kojoj konačnoj grupi može se dodijeliti broj - najmanji zajednički višekratnik redova svih njenih elemenata.
Zadatak. Dokažite da za bilo koju konačnu grupu O broj dijeli red grupe.
Očigledno, za cikličnu grupu, broj se poklapa sa redoslijedom. Obratno uglavnom nije tačno. Ipak, vrijedi sljedeća tvrdnja koja karakterizira cikličke grupe u klasi konačnih Abelovih grupa:
konačna Abelova grupa O kojoj je broj jednak njenom redu je ciklična grupa.
Zaista, neka
Redovi svih mogućih ne-jedan elemenata konačne Abelove grupe O su reda , i neka je njihov najmanji zajednički višekratnik.
Proširimo broj u proizvod stepena različitih prostih brojeva:
Neka Budući da je broj, po definiciji, najmanji zajednički višekratnik brojeva (1), među ovim brojevima postoji barem jedan broj djeljiv tačno sa ie, koji ima oblik , gdje je b koprost sa . Neka ovaj broj bude red elementa g. Tada element ima poredak (vidi Korolar 1) na str. 29).
Dakle, za bilo koji u grupi O postoji barem jedan element reda. Birajući za svaki takav element, razmotrite njihov proizvod. Prema tvrdnji dokazanoj na stranicama 29-30, redoslijed ovog proizvoda jednak je proizvodu narudžbi od , tj. jednak je broju. Budući da je posljednji broj po uvjetu jednak , to dokazuje da postoji element reda n u grupi O. Dakle, ova grupa je ciklična grupa.
Neka je sada O proizvoljna ciklička grupa sa generatorom, a H neka od njenih podgrupa. Budući da je bilo koji element podgrupe H element grupe O, može se predstaviti kao , gdje je d neki pozitivan ili negativan cijeli broj (općenito govoreći, nije jednoznačno definiran). Razmotrimo skup svih pozitivnih brojeva za koje element pripada podgrupi H. Pošto ovaj skup nije prazan (zašto?), u njemu postoji najmanji broj Ispada da je bilo koji element h podgrupe H stepen elementa . Zaista, po definiciji, postoji broj d takav da (broj d može biti i negativan). Podijelite (sa ostatkom) broj d brojem
Budući da , Zatim, zbog minimalnosti broja, ostatak mora biti jednak nuli. Na ovaj način, .
Ovo dokazuje da je element generator grupe H, odnosno da je grupa H ciklična. Dakle, svaka podgrupa cikličke grupe je ciklička grupa.
Zadatak. Dokažite da je broj jednak indeksu podgrupe H i da, prema tome, dijeli red grupe O (ako je grupa O konačna).
Također primjećujemo da za bilo koji djelitelj reda konačne cikličke grupe Q u grupi O postoji jedna i samo jedna podgrupa H reda (naime, podgrupa s generatorom
Ovo implicira da ako je konačna ciklička grupa jednostavna, onda je i njen red prost broj(ili jedinica).
Konačno, primjećujemo da je svaka količnik grupa, dakle svaka homomorfna slika) cikličke grupe Q ciklička grupa.
Za dokaz je dovoljno napomenuti da je generator grupe koset koji sadrži generator grupe O.
Konkretno, bilo koja faktor grupa grupe cijelih brojeva Z je ciklična grupa. Proučimo ove cikličke grupe detaljnije.
Pošto je grupa Z abelova, svaka od njenih podgrupa R je normalni delilac. S druge strane, prema onome što je gore dokazano, podgrupa H je ciklična grupa. Pošto su nam poznate kvocijentne grupe po trivijalnim podgrupama, možemo smatrati da je podgrupa Η netrivijalna. Neka je broj generator podgrupe H. Ovaj broj možemo smatrati pozitivnim (zašto?) i, prema tome, većim od jedan.
Podgrupa H. očito se sastoji od svih cijelih brojeva djeljivih sa . Dakle, dva broja pripadaju istom razredu u odnosu na podgrupu H ako i samo ako je njihova razlika djeljiva sa , tj. kada su uporedivi po modulu (vidi Kurs, str. 277). Dakle, kosetovi u odnosu na podgrupu H nisu ništa drugo nego klase brojeva koji su uporedivi po modulu.
Drugim riječima, faktor grupa grupe Z u odnosu na podgrupu H je grupa (sabiranjem) klasa brojeva koji su uporedivi po modulu. Ovu grupu ćemo označiti sa Njen generator je klasa koja sadrži broj 1.
Ispada da je bilo koja ciklička grupa izomorfna ili grupi Z (ako je beskonačna) ili nekoj od grupa (ako je njen red konačan).
Zaista, neka je generator grupe O. Definiramo preslikavanje grupe 2 u grupu O postavljanjem
konačne grupe
Grupa (polugrupa) se zove krajnji ako se sastoji od konačnog broja elemenata. Broj elemenata konačne grupe naziva se njenim u redu. Svaka podgrupa konačne grupe je konačna. I ako HÍ G– podgrupa grupe G, zatim za bilo koji element aliÎ G mnogo Na={X: x=h◦a, za bilo koje hÎ H) se zove lijeva susjedna klasa za G relativno H. Jasno je da broj elemenata u Na jednak poretku H. (Slično se može formulisati definicija a N– desni polurez u odnosu na H).
Važno je da za bilo koju podgrupu H grupe G bilo koja dva lijeva (desna) slijed H ili se poklapaju ili se ne seku, tako da se bilo koja grupa može predstaviti kao unija disjunktnih levih (desnih) koseta sa H.
Zaista, ako dvije klase N / A I Hb, gdje a, bÎ G, imaju zajednički element X, tada postoji tÎ H takav da x = t◦a. A onda levi razred za X: H x={y: y=h◦x= h◦(t◦a) = (h◦t)◦a} Í H a, ali a=t ‑1 ◦x I N / A={y: y=h◦a= h◦(t ‑1 ◦x) = (h◦t ‑1)◦x} Í H x. Odavde H x=N / A. Slično, to se može pokazati H x=H b. I zbog toga N / A=H b. Ako su časovi N / A I Hb Dont Have zajednički elementi, onda se ne sijeku.
Takva podjela grupe na lijeve (desne) košete naziva se dekompozicija grupe u smislu podgrupe H.
Teorema 2.6.1. Red konačne grupe djeljiv je redoslijedom bilo koje njene podgrupe.
Dokaz. Jer G je konačna grupa, onda bilo koja od njenih podgrupa H ima konačan poredak. Razmotrimo dekompoziciju grupe na podgrupe H. U svakom skupu u ovoj dekompoziciji, broj elemenata je isti i jednak redu H. Stoga, ako n- grupni nalog G, ali k- red podgrupe H, onda n=m× k, gdje m je broj koseta po H u grupnoj dekompoziciji G.
Ako za bilo koji element aÎ G Þ N / A=a N(lijevi i desni koset po podgrupama H utakmica), zatim H pozvao normalni djelitelj grupe G.
Izjava: ako G je komutativna grupa, onda bilo koja od njenih podgrupa H je normalni djelitelj G.
S obzirom na asocijativnost radnje u grupi (polugrupi), možemo govoriti o „proizvodu“ od tri elementa ( ali◦b◦c) =(ali◦b)◦c = ali◦(b◦c). Pojam složen posao od n elementi: ali 1 ◦ali 2 ◦…◦a n = ◦ a n = = ◦.
Posao n identični elementi grupe se nazivaju stepen elementa i označeno a n=. Ova definicija ima smisla za svaki prirodni n. Za bilo koji element grupe aÎ G odrediti ali 0 =e je neutralni element grupe G. I negativne moći elementa a ‑ n definisano kao ( a ‑1)n ili ( a n) -1 , gdje a-1 - inverzni element prema ali. Obje definicije a ‑ n utakmicu, jer a n◦(a ‑1)n = (ali◦ali◦ ¼◦ ali)◦(a ‑1 ◦a-1◦ ¼◦ a ‑1) = ali◦ali◦¼◦( ali◦a ‑1)◦a-1 ◦¼◦ a ‑1 =e n =e. Na ovaj način, ( a ‑1)n = (a n) ‑1 .
U aditivnoj grupi, analog stepena elementa a nće n-više toga, obično označeno N / A, koji ne treba uzimati kao proizvod n na ali, ukoliko nÎℕ i moguće nÏ G. To. N / A⇋ gdje n nℕ i 0 ali=e⇋0, i (- n)a = ‑(N / A) = n(‑a) za bilo koji prirodni n, gdje (- a) je obrnuto od aÎ G.
Lako je to pokazati pod odabranom notacijom za bilo koje cijele brojeve m I n i za bilo koje aÎ G dobro poznata svojstva su ispunjena: ali) s multiplikativnim zapisom a n ◦a m = a n + m i ( a n)m = a nm; b) sa aditivnom notacijom N / A+ma = (n+m)a I n(ma)=(nm)a.
Razmotrite podskup grupe G, sastavljen od svih potencija proizvoljnog elementa gÎ G. Označimo ga A g. Na ovaj način, A g ={g 0 , g 1 , g ‑1 , g 2 , g-2,¼). Očigledno, A g je podgrupa grupe G, jer za bilo koje elemente X,atÎ A g slijedi da ( X◦at)Î A g, i za bilo koji element XÎ A g tamo će biti X-1 O A g, Osim toga, g 0 =eÎ A g.
Podgrupa A g pozvao ciklička podgrupa grupe G koju generiše element g. Ova podgrupa je uvijek komutativna, čak i ako je sama po sebi G nije komutativno. Ako grupa G koincidira sa jednom od svojih cikličkih podgrupa, onda se zove ciklička grupa koju generiše element g.
Ako su sve snage elementa g drugačija, onda grupa G pozvao beskrajno ciklička grupa i element g- element beskonačan red.
Ako među elementima cikličke grupe ima jednakih, npr. g k=g m at k>m, onda gk-m=e; i označavanje k-m preko n, dobijamo gn=e, nÎℕ.
Najmanje prirodni pokazatelj n takav da gn=e, zove se redosled elementa g, i sam element g pozvao element konačnog reda.
Takav element se uvijek može naći u konačnoj grupi, ali može biti i u beskonačnoj grupi.
Zovu se grupe čiji su svi elementi konačnog reda periodični.
Pošto bilo koji element konačne grupe ima konačan red, sve konačne grupe su periodične. Štaviše, sve su periodične. cikličke podgrupe konačne grupe, pošto su one konačne, i svaki element konačnog reda n generira cikličku grupu istog reda n, koji se sastoji od elemenata ( g 0 , g 1 , g 2,¼, gn-jedan). Zaista, kada bi broj elemenata bio jednak nekom k<n, onda g k=e=gn, što je suprotno izboru n, kao najmanji stepen takav da gn=e; S druge strane, k>n takođe je nemoguće, jer u ovom slučaju, postojali bi identični elementi.
Izjava: 1) svi stepeni g 0 , g 1 , g 2,¼, gn-1 se razlikuju jer kada bi bilo jednako, npr. gi=gj (i>j), onda g i-j=e, ali ( i‑j)<n, i po definiciji n- najmanji stepen takav da gn=e.
2) Bilo koji drugi stepen g, pozitivan ili negativan, jednak je jednom od elemenata g 0 , g 1 , g 2,¼, gn-1 jer bilo koji cijeli broj k može se predstaviti izrazom: k=nq+r, gdje q,rÎℤ i 0£ r<n, r- ostatak i g k=gnq + r= gnq° r= (gn)q° r= e q° r= r.
1) Svaka grupa ima jedinstveni element prvog reda ( e) generiranje ciklične podgrupe prvog reda koja se sastoji od jednog elementa e.
2) Razmotrimo grupu permutacija S 3 , koji se sastoji od elemenata: , , , , , . Red S 3=6. Redoslijed elemenata ali jednako 2, jer . Redoslijed elemenata b je takođe jednako 2, jer . Redoslijed elemenata od jednako 3, jer i . Redoslijed elemenata f je takođe jednako 3, jer i . I na kraju red d jednako 2, jer . Dakle, ciklične podgrupe S 3 generiran elementima e, a, b, d, c I f, odnosno, jednaki su: ( e}, {e, a}, {e, b}, {e, d}, {e, c, f) I ( e, f, c), gdje se posljednja dva poklapaju. Imajte na umu da red svake cikličke podgrupe dijeli red grupe bez ostatka. Sljedeća teorema je tačna.
Teorema 2.7.1. (Lagrange) Red konačne grupe je djeljiv redoslijedom bilo kojeg njenog elementa (jer se red elementa i red ciklične podgrupe koju on generiše poklapaju).
Iz ovoga također slijedi da bilo koji element konačne grupe, kada se podigne na stepen reda grupe, daje identitet grupe. (Jer g m=gnk=e k=e, gdje m- grupni nalog n- redosled elemenata g, k je cijeli broj).
U grupi S postoje 3 podgrupe H={e, c, f) je normalni djelitelj, dok podgrupe reda 2 nisu normalni djelitelji. Ovo je lako provjeriti pronalaženjem lijevog i desnog razreza po H za svaki element grupe. Na primjer, za element ali lijeva susjedna klasa Na={e ◦ a, od◦ ali, f◦ a} = {ali, b, d) i desni koset a N={a ◦ e, ali◦ c, ali◦ f} = {ali, d, b) match. Slično za sve ostale elemente S 3 .
3) Skup svih cijelih brojeva sa sabiranjem čini beskonačnu cikličku grupu sa generirajućim elementom 1 (ili -1), jer bilo koji cijeli broj koji je višekratnik od 1.
4) Razmotrimo skup korijena n‑. stepen iz jedinice: E n=. Ovaj skup je grupa s obzirom na operaciju množenja korijena. Zaista, proizvod bilo koja dva elementa e k I e m od E n, gdje k, m £ n-1 će također biti element E n, budući da je = = , gdje r=(k+m)mod n I r £ n-jedan; množenje je asocijativni, neutralni element e=e 0 =1 i za bilo koji element e k postoji inverzna i . Ova grupa je ciklična, njen generirajući element je primitivni korijen. Lako je vidjeti da su svi stepeni različiti: , dalje za k³ n korijeni počinju da se vraćaju. Na kompleksnoj ravni, korijeni se nalaze na krugu jediničnog polumjera i dijele ga na n jednaki lukovi, kao što je prikazano na slici 11.
Posljednja dva primjera iscrpljuju u suštini sve cikličke grupe. Pošto je sljedeća teorema tačna.
Teorema 2.7.2. Sve beskonačne cikličke grupe su jedna drugoj izomorfne. Sve konačne cikličke grupe reda n izomorfne jedna drugoj.
Dokaz. Neka bude ( G, ∘) je beskonačna ciklična grupa sa generatorom g. Zatim postoji bijektivno preslikavanje f: ℤ ® G tako da za bilo koje cijele brojeve k I m njihove slike f(k) I f(m), jednake redom g k I g m, su elementi G. I gde f(k+m)=f(k)∘f(m), ukoliko g k + m=g k∘ g m.
pusti sada ( G, ∘) je konačna ciklička grupa reda n sa roditeljskim elementom g. Zatim svaki element g kÎ G jedini način je uskladiti element e kÎ E n(0£ k<n), prema pravilu f(g k)=e k. Pa ipak, za bilo koje g k I g mÎ G sledi to f(g k∘ g m)=f(g k) ∘f(g m), ukoliko f(g k∘ g m)=f(g k + m)=f(r), gdje r=(k+m)mod n, And f(r)=er=e k× e m. Jasno je da je takvo poređenje bijektivno preslikavanje.