Grupa O se naziva cikličkom ako su svi njeni elementi potenci istog elementa. Ovaj element se naziva generator cikličke grupe O. Svaka ciklička grupa je očigledno abelova.

Ciklična grupa je, na primjer, grupa cijelih brojeva sabiranjem. Ovu grupu ćemo označiti simbolom 2. Njena generatriksa je broj 1 (i broj - 1). Ciklična grupa je i grupa koja se sastoji od samo jednog elementa (jednog).

U proizvoljnoj grupi O, potencije bilo kojeg elementa g čine cikličku podgrupu sa generatorom g. Red ove podgrupe se očigledno poklapa sa redom elementa g. Odavde, na osnovu Lagranžeove teoreme (videti str. 32), sledi da red bilo kog elementa grupe deli red grupe (imajte na umu da svi elementi konačna grupa su elementi konačnog reda).

Stoga, za bilo koji element g grupe konačnog reda vrijedi jednakost

Ova jednostavna napomena često je od pomoći.

Zaista, ako je grupa O ciklična i njen generator, tada je redoslijed elementa . Obrnuto, ako grupa O ima element reda, tada među potencijama ovog elementa postoje različite, pa stoga ovi stupnjevi iscrpljuju cijelu grupu O.

Vidimo, dakle, da ciklička grupa može imati nekoliko različitih generatora (naime, svaki element reda je generator).

Zadatak. Dokaži da bilo koja grupa primarna narudžba je ciklična grupa.

Zadatak. Dokazati da ciklična grupa reda ima tačno generatore, gdje je broj pozitivni brojevi, manji i koprimeran sa .

Uz red, bilo kojoj konačnoj grupi može se dodijeliti broj - najmanji zajednički višekratnik redova svih njenih elemenata.

Zadatak. Dokažite da za bilo koju konačnu grupu O broj dijeli red grupe.

Očigledno, za cikličnu grupu, broj se poklapa sa redoslijedom. Obrnuto generalno nije tačno. Ipak, vrijedi sljedeća tvrdnja koja karakterizira cikličke grupe u klasi konačnih Abelovih grupa:

konačna Abelova grupa O kojoj je broj jednak njenom redu je ciklična grupa.

Zaista, neka

Redovi svih mogućih ne-jedan elemenata konačne Abelove grupe O su reda , i neka je njihov najmanji zajednički višekratnik.

Proširimo broj u proizvod različitih stepena primarni brojevi:

Neka Budući da je broj, po definiciji, najmanji zajednički višekratnik brojeva (1), među ovim brojevima postoji barem jedan broj djeljiv tačno sa ie, koji ima oblik , gdje je b koprost sa . Neka ovaj broj bude red elementa g. Tada element ima poredak (vidi Korolar 1) na str. 29).

Dakle, za bilo koji u grupi O postoji barem jedan element reda. Odabirom po jedan takav element za svaki, razmotrite njihov proizvod. Prema tvrdnji dokazanoj na stranicama 29-30, redoslijed ovog proizvoda jednak je proizvodu narudžbi od , tj. jednak je broju. Budući da je posljednji broj jednak , to dokazuje da grupa O sadrži element reda n. Dakle, ova grupa je ciklična grupa.

Neka je sada O proizvoljna ciklička grupa sa generatorom, a H neka od njenih podgrupa. Budući da je bilo koji element podgrupe H element grupe O, može se predstaviti kao , gdje je d neki pozitivan ili negativan cijeli broj (općenito govoreći, nije jednoznačno definiran). Razmotrimo skup svih pozitivnih brojeva za koje element pripada podgrupi H. Pošto ovaj skup nije prazan (zašto?), u njemu postoji najmanji broj Ispada da je bilo koji element h podgrupe H stepen elementa . Zaista, po definiciji, postoji broj d takav da (broj d može biti i negativan). Podijelite (sa ostatkom) broj d brojem

Budući da , Zatim, zbog minimalnosti broja, ostatak mora biti jednak nuli. Na ovaj način, .

Ovo dokazuje da je element generator grupe H, odnosno da je grupa H ciklična. Dakle, svaka podgrupa cikličke grupe je ciklička grupa.

Zadatak. Dokažite da je broj jednak indeksu podgrupe H i da, prema tome, dijeli red grupe O (ako je grupa O konačna).

Također primjećujemo da za bilo koji djelitelj reda konačne cikličke grupe Q u grupi O postoji jedna i samo jedna podgrupa H reda (naime, podgrupa s generatorom

Ovo implicira da ako je konačna ciklička grupa jednostavna, onda je njen red prost broj (ili jedan).

Konačno, primjećujemo da je svaka količnik grupa, dakle svaka homomorfna slika) cikličke grupe Q ciklička grupa.

Za dokaz je dovoljno napomenuti da je generator grupe koset koji sadrži generator grupe O.

Konkretno, bilo koja faktor grupa grupe cijelih brojeva Z je ciklična grupa. Proučimo ove cikličke grupe detaljnije.

Pošto je grupa Z abelova, svaka od njenih podgrupa R je normalni delilac. S druge strane, prema onome što je gore dokazano, podgrupa H je ciklična grupa. Pošto su nam poznate kvocijentne grupe po trivijalnim podgrupama, možemo smatrati da je podgrupa Η netrivijalna. Neka je broj generator podgrupe H. Ovaj broj možemo smatrati pozitivnim (zašto?) i, prema tome, većim od jedan.

Podgrupa H. očito se sastoji od svih cijelih brojeva djeljivih sa . Dakle, dva broja pripadaju istom razredu u odnosu na podgrupu H ako i samo ako je njihova razlika djeljiva sa , tj. kada su uporedivi po modulu (vidi Kurs, str. 277). Dakle, kosetovi u odnosu na podgrupu H nisu ništa drugo nego klase brojeva koji su uporedivi po modulu.

Drugim riječima, faktor grupa grupe Z u odnosu na podgrupu H je grupa (sabiranjem) klasa brojeva koji su uporedivi po modulu. Ovu grupu ćemo označiti sa Njen generator je klasa koja sadrži broj 1.

Ispada da je bilo koja ciklička grupa izomorfna ili grupi Z (ako je beskonačna) ili nekoj od grupa (ako je njen red konačan).

Zaista, neka je generator grupe O. Definiramo preslikavanje grupe 2 u grupu O postavljanjem

Definicija 1.22. Neka bude R- Prost broj. Grupa G pozvao p-grupa, ako je poredak bilo kojeg elementa grupe jednak nekom stepenu prostog broja R.

Definicija 1.23. Silovska p-podgrupa konačna grupa G naziva se p-podgrupa ove grupe koja nije sadržana u većoj p-podgrupi date grupe.

Teorema 1.25. Konačna Abelova grupa jednaka je direktnom proizvodu njenih silovskih p-podgrupa.

Dokaz. Razmotrimo konačnu abelovu grupu G red n i neka n = R" ! p 2 2 p*1 k - proširenje broja P u proizvod potencija raznih prostih brojeva. za 1, 2,..., to označavamo sa λ, Sylow rg podgrupu, a sa λ, podgrupu koju generiraju svi λ; for; * i. Lako je dokazati da je I, n I, = (e). Stoga, I \u003d (H 1, H 2, ..., H do) \u003d H 1 xH 2 x ... xH do. Pretpostavimo da postoji element g e g, takav da je g g H. Prema posljedicama 2 Lagrangeove teoreme, |G| : |g|. Otuda to slijedi

|g| = pf "pjf 2 pk k > g D e Pi - a i Za bilo koji i = 1, 2, to. Kao posledica teoreme 1.23, postoje elementi g 1; g2, ..., gk e g, takav da je = x x... x (g k) i | g,-1 = pf 1 za i = 1, 2, ..., /s. Ako pretpostavimo da je g, g R za neko r, onda dobijamo p,-podgrupu (gi, ja,) F I, što je u suprotnosti sa definicijom silovske p,-podgrupe. Dakle, za bilo koji i = 1, 2,..., /npr., e e Odakle sam g e H. shodno tome, H = G i teorema je dokazana.

Teorema 1.26. Konačna Abelova p-grupa je jednaka direktnom proizvodu cikličkih podgrupa.

Dokaz. Neka je dana konačna Abelova p-grupa G. Odaberimo element ali maksimalnog reda p“, i neka je H maksimalna podgrupa takva da je (a) n H = (e). Tada je (a, R) = (a) x R. Označimo Gj = (a) x R.

Pretvarajmo se to G F G y Od svih elemenata koji ne pripadaju G x biramo element g minimalnog reda pP. Ako pretpostavimo da je gPg Gb onda od |gp| = pP- 1 , dolazimo do kontradikcije sa izborom elementa g. Dakle, gP e G x = (a) x I i postoje cijeli broj /c i element h e I, takav da je gP = a fc /i. Odavde a k= gp/i -1 . Ako je gcd(/c, p) = 1, onda je gcd(/c, p°9 = 1 i postoje cijeli brojevi u, v takvi da je /u + p a v = 1. Onda

Zbog maksimalnog | | a = p a imamo gP" = e i e F aR“ _1 = = (gP"/i _u)P“ _1 =gP“h~ u P a~1=/i _u p““ 1 e R, što je u suprotnosti sa uslovom (a) p R = (e). Prema tome, /s: r.

Neka bude to= r/s x. Tada aP fc i \u003d a k \u003d g Ph ~ 1, gdje h = a~P k igP == (a _fc ig)P. Označimo gj=a _/c ig. Onda gf -heH. Pod pretpostavkom da je gj =ar fc "geG] \u003d (a) xH, onda g e G x , što je u suprotnosti sa izborom elementa g. Dakle, g x g G x , a time i gj g I. Pošto je I maksimalna podgrupa sa uslovom (ali) n I = (e), zatim (a) n (g x, I) ^ (e). Dakle, postoje t, str e Z i element hj e i takav da e * a t= gf

Ako to pretpostavimo n:r,top=rp 1 kod nekih n,eZ i e g a m = gf/ij = gf ni /ii e I, što je u suprotnosti sa uslovom (a) n I = = (e). Prema tome, gcd(p, p) = 1 Hgf =am /if 1 . Ako je |g x | =pY, tada je gcd(n, p'0 = 1 i postoje u x , v x g Z, takav da je gsh x -t-pYv x = 1. Otuda g, =gf u i + P Yv i = gf Ul gf Yvi = gf Ul =(a m /i 1 - 1) u i Opet smo došli do kontradikcije. Dakle, ostaje da to prihvatimo G - (a) x I. Sada, u podgrupi I, slično izdvajamo direktnim faktorom cikličnu podgrupu maksimalnih u H red, itd., dok ne dobijemo dekompoziciju grupe G u direktan proizvod cikličkih podgrupa. Teorema je dokazana.

Teorema 1.27. Konačna Abelova grupa jednaka je direktnom proizvodu cikličkih p-podgrupa.

Dokaz slijedi iz teorema 1.25 i 1.26.

U zaključku poglavlja o grupama, napominjemo da se grupa može posmatrati kao skup sa jednom binarnom operacijom, koja je asocijativna i za bilo koje elemente ali I Kommersant jednačine su jedinstveno rješive ax = b uya-b. Ovakav pogled na grupu vodi do dvije generalizacije. S jedne strane, može se fokusirati na proučavanje značenja asocijativnosti operacije, a to dovodi do koncepta polugrupe kao skupa sa jednom asocijativnom operacijom (vidi rad). S druge strane, zahtjev asocijativnosti se može zanemariti, a to dovodi do koncepta kvazigrupe kao skupa sa jednom binarnom operacijom, u odnosu na koji su imenovane jednačine jedinstveno rješive. Kvazigrupa sa identitetom naziva se petlja (vidi rad). Teorija polugrupa i teorija kvazigrupa pretvorile su se u dvije neovisno razvijajuće supstantivne teorije. Ne spominjemo ih u glavnom tekstu zbog "maksimalno mogućeg minimalnog" volumena.

konačne grupe

Grupa (polugrupa) se zove krajnji ako se sastoji od konačnog broja elemenata. Broj elemenata konačne grupe naziva se njenim u redu. Svaka podgrupa konačne grupe je konačna. I ako HÍ G– podgrupa grupe G, zatim za bilo koji element aliÎ G mnogo Na={X: x=h◦a, za bilo koje hÎ H) se zove lijeva susjedna klasa za G relativno H. Jasno je da broj elemenata u Na jednak poretku H. (Slično se može formulisati definicija a N– desni polurez u odnosu na H).

Važno je da za bilo koju podgrupu H grupe G bilo koja dva lijeva (desna) slijed H ili se poklapaju ili se ne seku, tako da se bilo koja grupa može predstaviti kao unija disjunktnih levih (desnih) koseta sa H.

Zaista, ako dvije klase N / A I Hb, gdje a, bÎ G, imaju zajednički element X, tada postoji tÎ H takav da x = t◦a. A onda levi razred za X: H x={y: y=h◦x= h◦(t◦a) = (h◦t)◦a} Í H a, ali a=t ‑1 ◦x I N / A={y: y=h◦a= h◦(t ‑1 ◦x) = (h◦t ‑1)◦x} Í H x. Odavde H x=N / A. Slično, to se može pokazati H x=H b. I zbog toga N / A=H b. Ako su časovi N / A I Hb Dont Have zajednički elementi, onda se ne sijeku.

Takva podjela grupe na lijeve (desne) košete naziva se dekompozicija grupe u smislu podgrupe H.

Teorema 2.6.1. Red konačne grupe djeljiv je redoslijedom bilo koje njene podgrupe.

Dokaz. Jer G je konačna grupa, onda bilo koja od njenih podgrupa H ima konačan poredak. Razmotrimo dekompoziciju grupe na podgrupe H. U svakom skupu u ovoj dekompoziciji, broj elemenata je isti i jednak redu H. Stoga, ako n- grupni nalog G, ali k- red podgrupe H, onda n=m× k, gdje m je broj koseta po H u grupnoj dekompoziciji G.

Ako za bilo koji element aÎ G Þ N / A=a N(lijevi i desni koset po podgrupama H utakmica), zatim H pozvao normalni djelitelj grupe G.

Izjava: ako G je komutativna grupa, onda bilo koja od njenih podgrupa H je normalni djelitelj G.

S obzirom na asocijativnost radnje u grupi (polugrupi), možemo govoriti o „proizvodu“ od tri elementa ( ali◦b◦c) =(ali◦b)◦c = ali◦(b◦c). Pojam složen posao od n elementi: ali 1 ◦ali 2 ◦…◦a n = ◦ a n = = ◦.

Posao n identični elementi grupe se nazivaju stepen elementa i označeno a n=. Ova definicija ima smisla za svaki prirodni n. Za bilo koji element grupe aÎ G odrediti ali 0 =e je neutralni element grupe G. I negativne moći elementa a ‑ n definisano kao ( a ‑1)n ili ( a n) -1 , gdje a-1 - inverzni element prema ali. Obje definicije a ‑ n utakmicu, jer a n◦(a ‑1)n = (ali◦ali◦ ¼◦ ali)◦(a ‑1 ◦a-1◦ ¼◦ a ‑1) = ali◦ali◦¼◦( ali◦a ‑1)◦a-1 ◦¼◦ a ‑1 =e n =e. Na ovaj način, ( a ‑1)n = (a n) ‑1 .

U aditivnoj grupi, analog stepena elementa a nće n-više toga, obično označeno N / A, koji ne treba uzimati kao proizvod n na ali, ukoliko nÎℕ i moguće nÏ G. To. N / A⇋ gdje n nℕ i 0 ali=e⇋0, i (- n)a = ‑(N / A) = n(‑a) za bilo koji prirodni n, gdje (- a) je obrnuto od aÎ G.

Lako je to pokazati pod odabranom notacijom za bilo koje cijele brojeve m I n i za bilo koje aÎ G dobro poznata svojstva su ispunjena: ali) s multiplikativnim zapisom a n ◦a m = a n + m i ( a n)m = a nm; b) sa aditivnom notacijom N / A+ma = (n+m)a I n(ma)=(nm)a.

Razmotrite podskup grupe G, sastavljen od svih potencija proizvoljnog elementa gÎ G. Označimo ga A g. Na ovaj način, A g ={g 0 , g 1 , g ‑1 , g 2 , g-2,¼). Očigledno, A g je podgrupa grupe G, jer za bilo koje elemente X,atÎ A g slijedi da ( X◦at)Î A g, i za bilo koji element XÎ A g tamo će biti X-1 O A g, Osim toga, g 0 =eÎ A g.

Podgrupa A g pozvao ciklička podgrupa grupe G koju generiše element g. Ova podgrupa je uvijek komutativna, čak i ako je sama po sebi G nije komutativno. Ako grupa G koincidira sa jednom od svojih cikličkih podgrupa, onda se zove ciklička grupa koju generiše element g.

Ako su sve snage elementa g drugačija, onda grupa G pozvao beskrajno ciklička grupa i element g- element beskonačan red.

Ako među elementima cikličke grupe ima jednakih, npr. g k=g m at k>m, onda gk-m=e; i označavanje k-m preko n, dobijamo gn=e, nÎℕ.

Najmanje prirodni pokazatelj n takav da gn=e, zove se redosled elementa g, i sam element g pozvao element konačnog reda.

Takav element se uvijek može naći u konačnoj grupi, ali može biti i u beskonačnoj grupi.

Zovu se grupe čiji su svi elementi konačnog reda periodični.

Pošto bilo koji element konačne grupe ima konačan red, sve konačne grupe su periodične. Osim toga, sve cikličke podgrupe konačne grupe su periodične, budući da su konačne, a svaki element konačnog reda n generira cikličku grupu istog reda n, koji se sastoji od elemenata ( g 0 , g 1 , g 2,¼, gn-jedan). Zaista, kada bi broj elemenata bio jednak nekom k<n, onda g k=e=gn, što je suprotno izboru n, kao najmanji stepen takav da gn=e; S druge strane, k>n takođe je nemoguće, jer u ovom slučaju, postojali bi identični elementi.

Izjava: 1) svi stepeni g 0 , g 1 , g 2,¼, gn-1 se razlikuju jer kada bi bilo jednako, npr. gi=gj (i>j), onda g i-j=e, ali ( i‑j)<n, i po definiciji n- najmanji stepen takav da gn=e.

2) Bilo koji drugi stepen g, pozitivan ili negativan, jednak je jednom od elemenata g 0 , g 1 , g 2,¼, gn-1 jer bilo koji cijeli broj k može se predstaviti izrazom: k=nq+r, gdje q,rÎℤ i 0£ r<n, r- ostatak i g k=gnq + r= gnq° r= (gn)q° r= e q° r= r.

1) Svaka grupa ima jedinstveni element prvog reda ( e) generiranje ciklične podgrupe prvog reda koja se sastoji od jednog elementa e.

2) Razmotrimo grupu permutacija S 3 , koji se sastoji od elemenata: , , , , , . Red S 3=6. Redoslijed elemenata ali jednako 2, jer . Redoslijed elemenata b je takođe jednako 2, jer . Redoslijed elemenata od jednako 3, jer i . Redoslijed elemenata f je takođe jednako 3, jer i . I na kraju red d jednako 2, jer . Dakle, cikličke podgrupe S 3 generiran elementima e, a, b, d, c I f, odnosno, jednaki su: ( e}, {e, a}, {e, b}, {e, d}, {e, c, f) I ( e, f, c), gdje se posljednja dva poklapaju. Imajte na umu da red svake cikličke podgrupe dijeli red grupe bez ostatka. Sljedeća teorema je tačna.

Teorema 2.7.1. (Lagrange) Red konačne grupe je djeljiv redoslijedom bilo kojeg njenog elementa (pošto se poredak elementa i poredak ciklične podgrupe koju on generira poklapaju).

Ovo takođe implicira da bilo koji element konačne grupe, kada se podigne na stepen reda grupe, daje identitet grupe. (Jer g m=gnk=e k=e, gdje m- grupni nalog n- redosled elemenata g, k je cijeli broj).

U grupi S postoje 3 podgrupe H={e, c, f) je normalni djelitelj, dok podgrupe reda 2 nisu normalni djelitelji. Ovo je lako provjeriti pronalaženjem lijevog i desnog razreza po H za svaki element grupe. Na primjer, za element ali lijeva susjedna klasa Na={e ◦ a, od◦ ali, f◦ a} = {ali, b, d) i desni koset a N={a ◦ e, ali◦ c, ali◦ f} = {ali, d, b) match. Slično za sve ostale elemente S 3 .

3) Skup svih cijelih brojeva sa sabiranjem čini beskonačnu cikličku grupu sa generirajućim elementom 1 (ili -1), jer bilo koji cijeli broj koji je višekratnik od 1.

4) Razmotrimo skup korijena n‑. stepen iz jedinice: E n=. Ovaj skup je grupa s obzirom na operaciju množenja korijena. Zaista, proizvod bilo koja dva elementa e k I e m od E n, gdje k, m £ n-1 će također biti element E n, budući da je = = , gdje r=(k+m)mod n I r £ n-jedan; množenje je asocijativni, neutralni element e=e 0 =1 i za bilo koji element e k postoji inverzna i . Ova grupa je ciklična, njen generirajući element je primitivni korijen. Lako je vidjeti da su svi stepeni različiti: , dalje za k³ n korijeni počinju da se vraćaju. Na kompleksnoj ravni, korijeni se nalaze na krugu jediničnog polumjera i dijele ga na n jednaki lukovi, kao što je prikazano na slici 11.

Posljednja dva primjera iscrpljuju u suštini sve cikličke grupe. Pošto je sljedeća teorema tačna.

Teorema 2.7.2. Sve beskonačne cikličke grupe su jedna drugoj izomorfne. Sve konačne cikličke grupe reda n izomorfne jedna drugoj.

Dokaz. Neka bude ( G, ∘) je beskonačna ciklična grupa sa generatorom g. Zatim postoji bijektivno preslikavanje f: ℤ ® G tako da za bilo koje cijele brojeve k I m njihove slike f(k) I f(m), jednake redom g k I g m, su elementi G. I gde f(k+m)=f(k)∘f(m), ukoliko g k + m=g k∘ g m.

pusti sada ( G, ∘) je konačna ciklička grupa reda n sa roditeljskim elementom g. Zatim svaki element g kÎ G jedini način je uskladiti element e kÎ E n(0£ k<n), prema pravilu f(g k)=e k. Pa ipak, za bilo koje g k I g mÎ G sledi to f(g k∘ g m)=f(g k) ∘f(g m), ukoliko f(g k∘ g m)=f(g k + m)=f(r), gdje r=(k+m)mod n, And f(r)=er=e k× e m. Jasno je da je takvo poređenje bijektivno preslikavanje.

• 1. Grupa Z cijeli brojevi sa operacijom sabiranja.
• 2. Grupa svih kompleksnih korijena stepena n iz jedinstva sa operacijom množenja. Pošto je ciklički broj izomorfizam

grupa je ciklična, a element je generator.

Vidimo da cikličke grupe mogu biti ili konačne ili beskonačne.

3. Neka je proizvoljna grupa i proizvoljan element. Skup je ciklična grupa sa generatorom g. Zove se ciklička podgrupa koju generiše element g, a njen red je red elementa g. Prema Lagrangeovom teoremu, red elementa je djelitelj reda grupe. Display

postupajući prema formuli:

je očito homomorfizam i njegova slika se poklapa s . Mapiranje je surjektivno ako i samo ako je grupa G- ciklični i g njen sastavni element. U ovom slučaju, nazvat ćemo standardni homomorfizam za cikličku grupu G sa izabranom generatricom g.

Primjenom teoreme o homomorfizmu u ovom slučaju dobijamo važno svojstvo cikličkih grupa: svaka ciklička grupa je homomorfna slika grupe Z .

U bilo kojoj grupi G može se definisati stepeni element sa cjelobrojnim eksponentima:

Ima imanje

Ovo je očigledno ako . Razmotrite slučaj kada . Onda

Slično se razmatraju i drugi slučajevi.

Iz (6) slijedi da

Takođe, po definiciji. Tako moći elementa formiraju podgrupu u grupi G. To se zove ciklička podgrupa koju generiše element, i označava se sa .

Moguća su dva fundamentalno različita slučaja: ili su svi stepeni elementa različiti, ili ne. U prvom slučaju, podgrupa je beskonačna. Razmotrimo drugi slučaj detaljnije.

Neka bude ,; onda. Najmanji prirodni broj T, za koji se u ovom slučaju poziva u redu element i označava se sa .

Prijedlog 1. Ako , onda

Dokaz. 1) Podijelite m na P sa ostatkom:

Zatim, po definiciji reda

Na osnovu prethodnog

Posljedica. Ako, mo podgrupa sadrži n elemenata.

Dokaz. stvarno,

a svi navedeni elementi su različiti.

Ako nema takvog prirodnog T, da (tj., prvi od gore opisanih slučajeva se dogodi), pretpostavljamo . Zapiši to; redosled svih ostalih elemenata grupe je veći od 1.

U aditivnoj grupi ne govore o moći elementa , već o njemu višestruki, koji su označeni sa . U skladu s tim, redoslijed elementa grupe aditiva G je najmanji prirodan broj T(ako postoji) za koje

PRIMJER 1. Karakteristika polja je redoslijed bilo kojeg elementa koji nije nula u njegovoj aditivnoj grupi.

PRIMJER 2. Očigledno, u konačnoj grupi, red bilo kojeg elementa je konačan. Hajde da pokažemo kako se izračunavaju redosledi elemenata grupe. Zamena se zove ciklus dužina i označava se ako ciklički permutira

i ostavlja sve ostale brojeve na mjestu. Očigledno, redosled ciklusa dužine je R. Ciklusi se nazivaju nezavisni ako među brojevima koje su oni stvarno preuredili nema zajedničkih; u ovom slučaju . Svaka permutacija se jedinstveno razlaže u proizvod nezavisnih ciklusa. Na primjer,

što je jasno prikazano na slici, gdje je akcija zamjene prikazana strelicama. Ako se permutacija razloži u proizvod nezavisnih ciklusa dužina , onda

PRIMJER 3. Red kompleksnog broja c u grupi je konačan ako i samo ako je ovaj broj korijen neke moći jedinice, što se, zauzvrat, odvija ako i samo ako je a uporedivo sa, tj. .

PRIMJER 4. Nađimo elemente konačnog reda u grupi ravninskih kretanja. Neka bude. Za bilo koju tačku

ciklički se preuređuju kretanjem , pa njihov centar gravitacije o relativno nepomično. Dakle, - ili rotacija za ugao gledanja oko tačke o, ili razmišljanje o nekoj pravoj liniji koja prolazi o.

PRIMJER 5. Nađimo redoslijed matrice

kao dio grupe. Imamo

tako. Naravno, ovaj primjer je posebno odabran: vjerovatnoća da će red nasumično odabrane matrice biti konačan je nula.

Prijedlog 2. Ako , onda

Dokaz. Neka bude

tako. Imamo

Shodno tome, .

Definicija 1 . Grupa G pozvao ciklično, ako postoji takav element , šta . Svaki takav element se zove generativni element grupe G.

PRIMJER 6. Aditivna grupa cijelih brojeva je ciklična, jer je generirana elementom 1.

PRIMJER 7. Modulo grupa ostataka aditiva n je cikličan, budući da ga generiše element .

PRIMJER 8. Multiplikativna grupa kompleksnih n-tih korijena od 1 je ciklična. Zaista, ovi korijeni su brojevi

To je jasno . Dakle, grupu generiše element.

Lako je vidjeti da su u beskonačnoj cikličkoj grupi samo i generirajući elementi. Dakle, u grupi Z, jedini generirajući elementi su 1 i -- 1.

Broj konačnih grupnih elemenata G nazvao je u redu i označeno sa. Red konačne cikličke grupe jednak je redu njenog generirajućeg elementa. Prema tome, Propozicija 2 implicira

Prijedlog 3 . Element ciklične grupe reda n generira ako i samo ako

PRIMJER 9. Generirajući elementi grupe se pozivaju primitivnim korenima n th stepen od 1. Ovo su korijeni oblika , gdje. Na primjer, primitivni korijeni 12. stepena od 1 su.

Ciklične grupe su najjednostavnije grupe koje se mogu zamisliti. (Naročito su Abelovci.) Sljedeća teorema daje njihov potpuni opis.

Teorema 1. Svaka beskonačna ciklična grupa je izomorfna grupi. Svaka konačna ciklička grupa reda n je izomorfna grupi.

Dokaz. Ako je beskonačna ciklička grupa, onda je prema formuli (4) preslikavanje izomorfizam.

Neka je konačna ciklička grupa reda P. Razmotrite mapiranje

tada je preslikavanje dobro definisano i bijektivno. Nekretnina

proizlazi iz iste formule (1). Dakle, je izomorfizam.

Teorema je dokazana.

Za razumijevanje strukture grupe, poznavanje njenih podgrupa igra važnu ulogu. Sve podgrupe cikličke grupe mogu se lako opisati.

Teorema 2. 1) Svaka podgrupa cikličke grupe je ciklična.

2)U grupi cikličkog reda n redoslijed bilo koje podgrupe se dijeli n i za bilo koji djelitelj q broja n postoji tačno jedna podgrupa reda q.

Dokaz. 1) Neka je ciklička grupa i H-- njegova podgrupa različita od (Podgrupa identiteta je očito ciklična.) Imajte na umu da ako za neke, onda . Neka bude T je najmanji prirodan broj za koji . Dokažimo to . Neka bude . Hajde da se podelimo to na T sa ostatkom:

odakle, na osnovu definicije broja T iz toga slijedi da i, prema tome, .

2) Ako , onda se prethodno obrazloženje odnosilo na (u ovom slučaju ), pokazuje to . Gde

I H je jedina podgrupa reda q u grupi G. Obrnuto, ako q-- bilo koji djelitelj brojeva P I , zatim podskup H, definirana jednakošću (9) je podgrupa reda q. Teorema je dokazana.

Posljedica . U cikličnoj grupi prostog reda, svaka netrivijalna podgrupa se poklapa sa cijelom grupom.

PRIMJER 10. U grupi, svaka podgrupa ima oblik gdje.

PRIMJER 11. U n-toj korijenskoj grupi od 1, svaka podgrupa je korijenska grupa q- stepen od 1, gde.