U ovom članku ćemo razumjeti šta je stepen of. Ovdje ćemo dati definicije stepena broja, uz detaljno razmatranje svih mogućih eksponenta stepena, počevši od prirodnog eksponenta, završavajući sa iracionalnim. U materijalu ćete pronaći mnogo primjera stupnjeva koji pokrivaju sve suptilnosti koje se pojavljuju.

Navigacija po stranici.

Stepen sa prirodnim eksponentom, kvadrat broja, kocka broja

Počnimo sa . Gledajući unaprijed, recimo da je definicija stepena a sa prirodnim eksponentom n data za a , koji ćemo nazvati osnova stepena, i n , koje ćemo nazvati eksponent. Također napominjemo da se stepen s prirodnim pokazateljem određuje kroz proizvod, tako da da biste razumjeli materijal u nastavku, morate imati ideju o množenju brojeva.

Definicija.

Potencija broja a sa prirodnim eksponentom n je izraz oblika a n , čija je vrijednost jednaka proizvodu n faktora, od kojih je svaki jednak a , odnosno .
Konkretno, stepen broja a sa eksponentom 1 je sam broj a, odnosno a 1 =a.

Odmah je vrijedno spomenuti pravila za čitanje diploma. Univerzalni način čitanja unosa a n je: "a na stepen n". U nekim slučajevima su prihvatljive i takve opcije: "a na n-ti stepen" i "n-ti stepen broja a". Na primjer, uzmimo stepen 8 12, ovo je "osam na stepen od dvanaest", ili "osam na dvanaesti stepen", ili "dvanaesti stepen od osam".

Drugi stepen broja, kao i treći stepen broja, imaju svoja imena. Drugi stepen broja se zove kvadrat broja, na primjer, 7 2 se čita kao "sedam na kvadrat" ili "kvadrat broja sedam". Treći stepen broja se zove broj kocke, na primjer, 5 3 se može pročitati kao "pet kocki" ili reći "kocka broja 5".

Vrijeme je da donesete primjeri stupnjeva sa fizičkim pokazateljima. Počnimo sa stepenom od 5 7 , gdje je 5 osnova stepena, a 7 eksponent. Dajemo još jedan primjer: 4,32 je baza, i prirodni broj 9 - eksponent (4.32) 9 .

Imajte na umu da u posljednji primjer osnova stepena 4.32 je zapisana u zagradama: da bismo izbegli neslaganja, u zagradi ćemo uzeti sve baze stepena koje se razlikuju od prirodnih brojeva. Kao primjer dajemo sljedeće stepene sa prirodnim pokazateljima , njihove baze nisu prirodni brojevi, pa se pišu u zagradama. Pa, radi potpune jasnoće u ovom trenutku, pokazaćemo razliku sadržanu u zapisima oblika (−2) 3 i −2 3 . Izraz (−2) 3 je stepen −2 sa prirodnim eksponentom 3, a izraz −2 3 (može se napisati kao −(2 3) ) odgovara broju, vrijednosti stepena 2 3 .

Imajte na umu da postoji oznaka za stepen a sa eksponentom n oblika a^n . Štaviše, ako je n viševrijedan prirodan broj, eksponent se uzima u zagrade. Na primjer, 4^9 je još jedna notacija za potenciju 4 9 . A evo još primjera pisanja stupnjeva pomoću simbola “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . U nastavku ćemo uglavnom koristiti zapis stepena oblika a n .

Jedan od problema, obrnuto od eksponencijacije sa prirodnim eksponentom, je problem pronalaženja baze stepena iz poznate vrijednosti stepena i poznatog eksponenta. Ovaj zadatak vodi do .

Poznato je da mnogi racionalni brojevi sastoji se od cijelih i razlomaka, svaki razlomak broj može se predstaviti kao pozitivan ili negativan zajednički razlomak. Stepen smo definisali celobrojnim eksponentom u prethodnom pasusu, stoga, da bismo završili definiciju stepena sa racionalnim eksponentom, treba da damo značenje stepena broja a sa razlomačnim eksponentom m / n, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj. Hajde da to uradimo.

Razmotrimo stepen sa razlomkom eksponenta oblika . Da bi svojstvo stepena u stepenu ostalo validno, jednakost mora da važi . Ako uzmemo u obzir rezultirajuću jednakost i način na koji smo definirali , onda je logično prihvatiti, pod uvjetom da za date m, n i a izraz ima smisla.

Lako je potvrditi da su sva svojstva stepena sa celobrojnim eksponentom validna za as (ovo se radi u odeljku o svojstvima stepena sa racionalnim eksponentom).

Gornje rezonovanje nam omogućava da napravimo sljedeće zaključak: ako za date m, n i a izraz ima smisla, onda se stepen broja a sa razlomkom eksponenta m / n naziva korijenom n-tog stepena od a do stepena m.

Ova izjava nas približava definiciji stepena sa razlomkom eksponenta. Ostaje samo da se opiše za koje m, n i a izraz ima smisla. U zavisnosti od ograničenja nametnutih na m , n i a, postoje dva glavna pristupa.

Najlakši način da se ograniči a je pretpostaviti a≥0 za pozitivno m i a>0 za negativno m (jer m≤0 nema snagu od 0 m). Tada dobijamo sljedeću definiciju stepena sa razlomkom eksponenta.

Definicija.

Potencija pozitivnog broja a sa razlomanim eksponentom m/n, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj, naziva se korijenom n-tog broja a na stepen m, to jest, .

Dio stepena nule je također definiran uz jedino upozorenje da eksponent mora biti pozitivan.

Definicija.

Potencija nule sa razlomanim pozitivnim eksponentom m/n, gdje je m pozitivan cijeli broj, a n prirodan broj, definira se kao .
Kada stepen nije definisan, odnosno stepen broja nula sa razlomačnim negativnim eksponentom nema smisla.

Treba napomenuti da kod takve definicije stepena sa razlomačnim eksponentom postoji jedna nijansa: za neke negativne a i neke m i n, izraz ima smisla, te smo ove slučajeve odbacili uvođenjem uslova a≥0 . Na primjer, ima smisla pisati ili , i gornja definicija nas tjera da kažemo da stupnjevi s razlomkom eksponenta oblika su besmislene, jer baza ne smije biti negativna.

Drugi pristup određivanju stepena sa razlomanim eksponentom m/n je da se odvojeno razmatraju parni i neparni eksponenti korena. Ovaj pristup zahtijeva dodatni uvjet: stepen broja a, čiji je eksponent , smatra se stepenom broja a, čiji je eksponent odgovarajući nesvodljivi razlomak (važnost ovog uvjeta će biti objašnjena u nastavku). To jest, ako je m/n nesvodljiv razlomak, tada se za bilo koji prirodan broj k stepen prvo zamjenjuje sa .

Za paran n i pozitivno m, izraz ima smisla za bilo koje nenegativno a (korijen parnog stepena iz negativnog broja nema smisla), za negativno m, broj a i dalje mora biti različit od nule (inače postoji će biti podjela sa nulom). A za neparan n i pozitivan m, broj a može biti bilo šta (korijen neparnog stepena je definiran za bilo koji pravi broj), a za minus m, broj a mora biti različit od nule (tako da nema dijeljenja nulom).

Gornje rezonovanje nas dovodi do takve definicije stepena sa razlomkom eksponenta.

Definicija.

Neka je m/n nesvodljivi razlomak, m cijeli broj, a n prirodan broj. Za bilo koji obični razlomak koji se može reducirati, stupanj se zamjenjuje sa . Potencija a sa nesmanjivim frakcijskim eksponentom m / n je za



Hajde da objasnimo zašto se stepen sa svodljivim razlomačnim eksponentom prvo zamenjuje stepenom sa nesvodljivim eksponentom. Kada bismo jednostavno definisali stepen kao , a ne rezervisali se o nesvodljivosti razlomka m / n , tada bismo naišli na situacije slične sljedećoj: budući da je 6/10=3/5 , onda je jednakost , ali , a .

Imajte na umu da u ovaj odeljak razume koncept stepeni samo sa prirodnim indikatorom i nula.

Pojam i svojstva stepeni sa racionalni indikatori(sa negativnim i razlomcima) će se razgovarati u lekcijama za 8. razred.

Dakle, hajde da shvatimo šta je stepen broja. Za pisanje samog proizvoda broja, skraćena notacija se koristi nekoliko puta.

Umjesto množenja šest identičnih faktora 4 4 4 4 4 4 oni pišu 4 6 i kažu "četiri na šesti stepen."

4 4 4 4 4 4 = 4 6

Izraz 4 6 naziva se stepenom broja, gdje je:

• 4 — osnova stepena;
• 6 — eksponent.

AT opšti pogled stepen sa bazom "a" i eksponentom "n" zapisuje se izrazom:

Zapamtite!

Stepen broja "a" sa prirodnim eksponentom "n", većim od 1, je proizvod" n» Identični faktori, od kojih je svaki jednak je broju"a".

Zapis " a n"Gledi ovako:" i na stepen n "ili" n-ti stepen broja a".

Izuzetak su unosi:

• a 2 - može se izgovoriti kao "na kvadrat";
• a 3 - može se izgovoriti kao "a u kocki".

• a 2 - "i do drugog stepena";
• a 3 - "a do trećeg stepena."

Posebni slučajevi nastaju ako je eksponent jednak jedan ili nula (n = 1; n = 0).

Zapamtite!

Stepen broja "a" s eksponentom n = 1 je sam ovaj broj:
a 1 = a

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan.
a 0 = 1

Nula na bilo koju prirodnu snagu jednaka je nuli.
0 n = 0

Jedan na bilo koji stepen je jednak 1.
1n=1

Izraz 0 0 ( nula do nula snage) smatra se besmislenim.

• (−32) 0 = 1
• 0 253 = 0
• 1 4 = 1

Kada rješavate primjere, morate zapamtiti da se podizanje na stepen naziva pronalaženje numeričke ili literalne vrijednosti nakon podizanja na stepen.

Primjer. Podigni na potenciju.

• 5 3 = 5 5 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5 2,5 = 6,25
• ( · = = 81

  256

Eksponencijacija negativnog broja

Osnova stepena (broj koji se podiže na stepen) može biti bilo koji broj - pozitivan, negativan ili nula.

Zapamtite!

Podizanje pozitivnog broja na stepen rezultira pozitivan broj.

Prilikom podizanja nule na prirodni stepen ispada nula.

Kada se negativan broj podiže na stepen, rezultat može biti pozitivan ili negativan broj. Zavisi da li je eksponent bio paran ili neparan broj.

Razmotrimo primjere podizanja negativnih brojeva na stepen.

Iz razmatranih primjera se može vidjeti da ako se negativan broj podigne na neparan stepen, onda se dobije negativan broj. Pošto je proizvod neparnog broja negativnih faktora negativan.

Ako se negativan broj podigne na paran stepen, onda se dobije pozitivan broj. Budući da je proizvod parnog broja negativnih faktora pozitivan.

Zapamtite!

Negativan broj podignut na paran stepen je pozitivan broj.

Negativan broj podignut na neparan stepen je negativan broj.

Kvadrat bilo kojeg broja je pozitivan broj ili nula, odnosno:

a 2 ≥ 0 za bilo koji a .

• 2 (−3) 2 = 2 (−3) (−3) = 2 9 = 18
• −5 (−2) 3 = −5 (−8) = 40

Bilješka!

Prilikom rješavanja primjera stepenovanja često se prave greške, zaboravljajući da su unosi (−5) 4 i −5 4 različiti izrazi. Rezultati podizanja na stepen ovih izraza će biti drugačiji.

Izračunati (−5) 4 znači pronaći vrijednost četvrtog stepena negativnog broja.

(−5) 4 = (−5) (−5) (−5) (−5) = 625

Dok pronalaženje "-5 4" znači da primjer treba riješiti u 2 koraka:

1. Podignite pozitivan broj 5 na četvrti stepen.
   5 4 = 5 5 5 5 = 625
2. Stavite znak minus ispred dobijenog rezultata (to jest, izvršite akciju oduzimanja).
   −5 4 = −625

Primjer. Izračunaj: −6 2 − (−1) 4

−6 2 − (−1) 4 = −37

1. 6 2 = 6 6 = 36
2. −6 2 = −36
3. (−1) 4 = (−1) (−1) (−1) (−1) = 1
4. −(−1) 4 = −1
5. −36 − 1 = −37

Procedura za primjere sa diplomama

Izračunavanje vrijednosti naziva se radnja eksponencijacije. Ovo je treća faza akcije.

Zapamtite!

U izrazima sa stepenima koji ne sadrže zagrade, prvo izvedite eksponencijacija, onda množenje i dijeljenje, i na kraju sabiranje i oduzimanje.

Ako u izrazu postoje zagrade, tada se prvo, gore navedenim redoslijedom, izvode radnje u zagradama, a zatim preostale radnje istim redoslijedom s lijeva na desno.

Primjer. Izračunati:

Da biste olakšali rješavanje primjera, korisno je znati i koristiti tabelu stupnjeva, koju možete besplatno preuzeti na našoj web stranici.

Da biste provjerili svoje rezultate, možete koristiti kalkulator na našoj web stranici "

"Uporedni stepen" - tvor je živio u jednoj rupi. N.f. Pametno + VIŠE - pametnije N.f. Pametno + MANJE - manje pametno. ulogu u prijedlogu. Naši manje okretni psi Idite da navijate za miševe na trkama. Općinski obrazovne ustanove"Elgai osnovna srednja škola". Hrčak je spretniji od šteneta. Nekako je manje okretno komšijsko štene odvuklo našu cipelu.

"Stepen sa prirodnim indikatorom" - Stepen sa prirodnim i celobrojnim indikatorom. (-1)2k=1, (-1)2k-1= -1. Svojstva stepena sa prirodnim eksponentom. Određivanje stepena prirodnim pokazateljem. 1 na bilo koji stepen je jednako 1 1n=1. Šta je diploma? Kako pisati kraće Množenje snaga sa istom osnovom. N termina. 10n=100000…0.

"Stepen sa celobrojnim eksponentom" - Izračunajte. Izrazite izraz kao moć. Izrazite x-12 kao proizvod dva stepena sa bazom x ako je poznat jedan faktor. Rasporedite u opadajućem redosledu. Pojednostavite. Za koje vrijednosti x je tačna jednadžba?

"Jednačine trećeg stepena" - (U trećem slučaju - minimum, u četvrtom - maksimum). U prvom i drugom slučaju za funkciju se kaže da je monotona u tački x =. Naša formula daje: "Velika umjetnost." Tako se Tartaglia dao uvjeriti. Lemma. U trećem i četvrtom slučaju, kaže se da funkcija ima ekstrem u tački x =. Otvaramo zagrade.

"Svojstva stepena" - Uopštavanje znanja i veština o primeni svojstava stepena sa prirodnim indikatorom. Svojstva stepena sa prirodnim eksponentom. Brainstorm. Kocka kog broja je 64? Računarska pauza. Svojstva stepena sa prirodnim eksponentom. Razvoj istrajnosti, mentalne aktivnosti i kreativne aktivnosti.

"Koren n-tog stepena" - Definicija 2: A). Stavimo na kocku obje strane jednačine: - Radikalni izraz. Razmotrimo jednačinu x? = 1. Podignimo obje strane jednačine na četvrti stepen: Nacrtajmo grafike funkcija y = x? i y = 1. Koncept n-tog korijena realnog broja. Ako je n neparno, onda jedan korijen: Napravimo grafove funkcija y = x? i y=1.