Svojstva

Grupni izlagač

Generatorski set

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z)) je ciklična grupa ako i samo ako Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \varphi(n)=\lambda(n). U slučaju ciklične grupe, generator se naziva primitivnim korijenom.

Primjer

Redukovani sistem ostataka po modulu Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku/README za pomoć pri postavljanju.): 10 sastoji se od Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): 4 odbici: Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku/README za pomoć pri postavljanju.): _(10), _(10), _(10), _(10). S obzirom na množenje definirano za klase ostataka, oni čine grupu, i Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc i Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): _(10) recipročan (tj. Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): _(10)(\cdot)_(10) = _(10)), a Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): _(10) i Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): _(10) su inverzni prema sebi.

Grupna struktura

Snimanje Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): C_n znači "ciklička grupa reda n".

Aplikacija

Priča

Doprinos proučavanju strukture multiplikativne grupe prstena ostatka dali su Artin, Bielharz, Brouwer, Wilson, Gauss, Lagrange, Lemaire, Waring, Fermat, Hooley, Euler. Lagrange je dokazao lemu da ako Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): f(x) \in k[x], i k je polje, tada f ima najviše n različitih korijena, gdje je n snaga f. On je također dokazao važnu posljedicu ove leme, koja se sastoji u poređenju Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): x^(p-1)-1 ≡ Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku/README za pomoć pri podešavanju.): (x-1)(x-2)...(x-p+1)mod(p). Ojler je dokazao Fermatovu malu teoremu. Waring je formulirao Wilsonovu teoremu, a Lagrange je to dokazao. Euler je sugerirao postojanje primitivnih korijena po modulu prostog broja. Gauss je to dokazao. Artin je iznio svoju hipotezu o postojanju i kvantifikaciji primarni brojevi, po modulu kojem je dati cijeli broj primitivni korijen. Brouwer je doprinio proučavanju problema postojanja skupova uzastopnih cijelih brojeva, od kojih je svaki k-ti stepen po modulu p. Bielhartz je dokazao analogiju Artinove pretpostavke. Hooley je dokazao Artinovu pretpostavku uz pretpostavku da proširena Riemannova hipoteza vrijedi u poljima algebarskih brojeva.

Napišite recenziju na članak "Multiplikativna grupa prstenastih ostataka"

Bilješke

Književnost

• Ireland K., Rosen M. Klasičan uvod u modernu teoriju brojeva. - M.: Mir, 1987.
• Alferov A.P., Zubov A.Yu, Kuzmin A.S. Cheremushkin A.V. Osnove kriptografije. - Moskva: "Helios ARV", 2002.
• Rostovtsev A.G., Makhovenko E.B. Teorijska kriptografija. - Sankt Peterburg: NPO "Professional", 2004.

Linkovi

• Bukhshtab A. A. Teorija brojeva. - M.: Obrazovanje, 1966.
• Weisstein, Eric W.(engleski) na web stranici Wolfram MathWorld.

Odlomak koji karakterizira multiplikativnu grupu prstena ostatka

Teorema 7.

Dokaz.

U nastavku ćemo, radi jednostavnosti, sabiranje i množenje po modulu označavati uobičajenim znakovima + i ∙ (ponekad izostavljajući znak množenja), a sabirati

5) Broj reverzibilnih elemenata u prstenu ostatka.

Možemo dokazati sljedeću formulu za Eulerovu funkciju: (3) gdje je p1,….,ps lista svih prostih djelitelja n. Ova formula se može objasniti na sljedeći način:

6) Podgrupe.

10. Ako je podgrupa konačne grupe, onda se dijeli.

11. Dokaz.

12. Posljedica 8.1.

13. 7) Podgrupa koju generiše element grupe.

14. Ako je grupa S konačna, tada će niz biti periodičan (sljedeći element je određen prethodnim, pa kada se jednom ponovi, el

15. Navedeni t elementi čine podgrupu, jer operacija grupe odgovara dodavanju "eksponenata". Ova podgrupa se zove

16. Evo nekoliko podgrupa grupe Z6 generiranih raznim elementima: . Sličan primjer za multiplikativnu grupu: ovdje Iz onoga što je rečeno

17. Neka je konačna grupa. Ako, onda se broj elemenata u podgrupi koju generiše a poklapa sa redom a (tj.).

18. Posljedica 9.1.

19. Posljedica 9.2.

20. 8) Rješenje linearnih diofantovih jednačina.

21. Podsjetimo da označavamo podgrupu koju generiše element a (u ovom slučaju podgrupu grupe Zn). Po definiciji, dakle, jednačine

22. Neka je jednačina rješiva ​​i neka je njeno rješenje. Tada jednačina ima d =gcd(a,n) rješenja u Zn data formulom, gdje je i = 0,1,2,... , n - 1.

23. Dokaz.

24. Neka je n > 1. Ako je gcd(a, n) = 1, onda jednačina ima jedinstveno rješenje (u Zn). Slučaj b=1 je posebno važan - ovdje nalazimo inverzni element od x

25. Korolar 10.2

26. 9) Kineska teorema o ostatku.

27. Neka je neki broj n predstavljen kao proizvod parno prostih brojeva. Kineska teorema o ostatku kaže da je broj

28. 10) Stepeni elementa.

29. 11) Teorema 11 (Euler).

30. 12) Teorema 12 (Fermatova mala teorema).

31. Posljedica 12.1. Neka je p prost broj Korolar 12.2. Neka je p prost broj, tada će Fermatova teorema biti primjenjiva na a=0.

32. 13) Teorema 13 (Pojačavanje Ojlerove teoreme).

33. h.t.d.

34. 14) Računanje stepena ponovljenim kvadriranjem.

35. Neka želimo izračunati ab mod n, gdje je a ostatak po modulu n, a b je nenegativan cijeli broj koji ima oblik (bk,bk-1,...,b1,b0) u binarnoj notaciji ( broj 3

36. Kada se c pomnoži sa 2, broj ac se kvadrira, a kada se c poveća za 1, broj ac se množi sa a. U svakom koraku, binarni prikaz c se pomjera

37. Procijenite vrijeme trajanja procedure. Ako tri broja koji su njegovi početni podaci nemaju više od β bita, tada je broj aritmetičkih operacija ec

38.

Modulo m, što je označeno $\backslash mathbb(Z)\_m^(\backslash puta)$ ili $U(\backslash mathbb(Z)\_m)$ .

Ako a m prvo, onda, kao što je gore navedeno, elementi 1, 2, ..., m-1 uključeno $\backslash mathbb(Z)\_m^(\backslash puta)$. U ovom slučaju $\backslash mathbb(Z)\_m^(\backslash puta)$ je polje.

Oblici ulaska

Modulo rezidualni prsten n odrediti $\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z)$ ili $\backslash mathbb(Z)\_n$. Njegova multiplikativna grupa, kao u općem slučaju grupa invertibilnih elemenata prstenova, označava se $(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))^*,$ $(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))^\backslash \; puta,$ $U(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z)),$ $E(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z)),$ $\backslash mathbb(Z)\_n^(\backslash puta),$ $U(\backslash mathbb(Z)\_n)$.

Najjednostavniji slučaj

Razumjeti strukturu grupe $U(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))$, možemo razmotriti poseban slučaj $n=p^a$, gdje $str$- prost broj i generalizujte ga. Razmotrimo najjednostavniji slučaj gdje $a=1$, tj. $n=p$.

Teorema: $U(\backslash mathbb(Z)/p\backslash mathbb(Z))$ je ciklična grupa.

Primjer : Razmotrite grupu $U(\backslash mathbb(Z)/9\backslash mathbb(Z))$

$U(\backslash mathbb(Z)/9\backslash mathbb(Z))$= (1,2,4,5,7,8) Generator grupe je broj 2. $2^1\; \backslash ekviv.\; 2\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^2\; \backslash ekviv.\; 4\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^3\; \backslash ekviv.\; 8\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^4\; \backslash ekviv.\; 7\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^5\; \backslash ekviv.\; 5\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^6\; \backslash ekviv.\; 1\backslash \; \backslash pmod\; 9$ Kao što vidite, bilo koji element grupe $U(\backslash mathbb(Z)/9\backslash mathbb(Z))$ može se predstaviti u obliku $2^l$, gdje . To je grupa $U(\backslash mathbb(Z)/9\backslash mathbb(Z))$- ciklično.

Opšti slučaj

Da bismo razmotrili opći slučaj, potrebno je definirati primitivni korijen. Primitivni korijen po modulu prost $str$ je broj koji, zajedno sa svojom klasom ostatka, generira grupu $U(\backslash mathbb(Z)/p\backslash mathbb(Z))$.

U slučaju cijelog modula $n$ definicija je ista.

Struktura grupe određena je sljedećom teoremom: Ako je p neparan prost broj, a l pozitivan cijeli broj, tada postoje primitivni korijeni po modulu $p^(l)$, tj $U(\backslash mathbb(Z)/p^(l)\backslash mathbb(Z))$ je ciklična grupa.

Podgrupa svjedoka jednostavnosti

Neka bude $m$- neparan broj veći od 1. Broj $m-1$ jasno predstavljen u formi $m-1\; =\; 2^s\; \backslash cdot\; t$, gdje $t$ odd. Integer $a$, , zove se svjedoči o jednostavnosti brojevi $m$ ako je ispunjen jedan od sljedećih uslova:

• $a^t\backslash equiv\; 1\backslash pmod\; m$

• postoji cijeli broj $k$,

Ako broj $m$- kompozit, postoji podgrupa multiplikativne grupe prstena ostatka, nazvana podgrupa svjedoka jednostavnosti. Njegovi elementi podignuti su na snagu $m-1$, podudaraju se sa $1$ modulo $m$.

Primjer : $m=9$. Tu je $6$ ostaci koprime sa $9$, Ovo $1,2,4,5,7$ i $8$. $8$ ekvivalentno $-1$ modulo $9$, znači $8^\{8\}$ ekvivalentno $1$ modulo $9$. znači, $1$ i $8$- svjedoci jednostavnosti broja $9$. U ovom slučaju (1, 8) je podgrupa svjedoka jednostavnosti.

Svojstva

Grupni izlagač

Generatorski set

$U(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))$ je ciklična grupa ako i samo ako $\backslash varphi(n)=\backslash lambda(n).$ U slučaju ciklične grupe, generator se naziva primitivnim korijenom.

Primjer

Redukovani sistem ostataka po modulu $10$ sastoji se od $4$ odbici: $\_\{10\},\; \_\{10\},\; \_\{10\},\; \_\{10\}$. S obzirom na množenje definirano za klase ostataka, oni čine grupu, i $\_\{10\}$ i $\_\{10\}$ recipročan (tj. $\_(10)(\backslash cdot)\_(10)\; =\; \_(10)$), a $\_\{10\}$ i $\_\{10\}$ su inverzni prema sebi.

Grupna struktura

Snimanje $C\_n$ znači "ciklička grupa reda n".

Aplikacija

Priča

Doprinos proučavanju strukture multiplikativne grupe prstena ostatka dali su Artin, Bielharz, Brouwer, Wilson, Gauss, Lagrange, Lemaire, Waring, Fermat, Hooley, Euler. Lagrange je dokazao lemu da ako $f(x)\; \backslash in\; k[x]$, i k je polje, tada f ima najviše n različitih korijena, gdje je n snaga f. On je također dokazao važnu posljedicu ove leme, koja se sastoji u poređenju $x^(p-1)-1$ ≡ $(x-1)(x-2)...(x-p+1)mod(p)$. Ojler je dokazao Fermatovu malu teoremu. Waring je formulirao Wilsonovu teoremu, a Lagrange je to dokazao. Euler je sugerirao postojanje primitivnih korijena po modulu prostog broja. Gauss je to dokazao. Artin je iznio svoju hipotezu o postojanju i kvantificiranju prostih brojeva po modulu da je dati cijeli broj primitivan korijen. Brouwer je doprinio proučavanju problema postojanja skupova uzastopnih cijelih brojeva, od kojih je svaki k-ti stepen po modulu p. Bielhartz je dokazao analogiju Artinove pretpostavke. Hooley je dokazao Artinovu pretpostavku uz pretpostavku da proširena Riemannova hipoteza vrijedi u poljima algebarskih brojeva.

Napišite recenziju na članak "Multiplikativna grupa prstenastih ostataka"

Bilješke

Književnost

• Ireland K., Rosen M. Klasičan uvod u modernu teoriju brojeva. - M.: Mir, 1987.
• Alferov A.P., Zubov A.Yu, Kuzmin A.S. Cheremushkin A.V. Osnove kriptografije. - Moskva: "Helios ARV", 2002.
• Rostovtsev A.G., Makhovenko E.B. Teorijska kriptografija. - Sankt Peterburg: NPO "Professional", 2004.

Linkovi

• Bukhshtab A. A. Teorija brojeva. - M.: Obrazovanje, 1966.
• Weisstein, Eric W.(engleski) na web stranici Wolfram MathWorld.

Odlomak koji karakterizira multiplikativnu grupu prstena ostatka

- Ma bonne amie, [moj dobri prijatelju] - rekla je mala princeza 19. marta ujutru posle doručka, a njen sunđer sa brkovima se digao iz stare navike; ali kao u svim ne samo osmesima, već i zvucima govora, čak i hodanjem u ovoj kući, od dana kada je primljena strašna vest, vladala je tuga, pa i sada osmeh male princeze, koja je podlegla opštem raspoloženju, iako nije znala njegov uzrok, bio je takav da je još više podsjećala na opštu tugu.
- Ma bonne amie, je crains que le fruschtique (comme dit Foka - kuhar) de ce matin ne m "aie pas fait du mal. [Prijatelju, bojim se da sadašnji frischtik (kako ga šef Foka zove) učini da se osjećam loše. ]
Šta je s tobom, dušo moja? Blijeda si. O, baš si bled, reče uplašeno kneginja Marija, pritrčavši snaji svojim teškim, mekim koracima.
„Vaša ekselencijo, zašto ne pošaljete po Marju Bogdanovnu?“ - rekla je jedna od sobarica koje su bile ovdje. (Marija Bogdanovna je bila babica iz okružnog grada, koja je još nedelju dana živela u Lysy Gory.)
„I zaista“, pokupila je princeza Marija, „možda, sigurno. Ići ću. Hrabrost, mon ange! [Ne boj se, anđele moj.] Poljubila je Lizu i htjela napustiti sobu.
- Oh, ne, ne! - I pored bljedila, lice male princeze izražavalo je detinjast strah od neizbežne fizičke patnje.
- Non, c "est l" estomac ... dites que c "est l" estomac, dites, Marie, dites ..., [Ne, ovo je stomak... reci mi, Maša, da je ovo stomak ...] - i princeza je počela djetinjasto da plače, pateći, hirovito, pa čak i pomalo hinjeno, lomeći im male ruke. Princeza je istrčala iz sobe za Marijom Bogdanovnom.
— Mon Dieu! Mon Dieu! [Moj bože! Moj Bože!] Oh! čula je iza sebe.
Trljajući pune, male, bijele ruke, babica je već išla prema njoj, prilično mirnog lica.
- Marija Bogdanovna! Čini se da je počelo “, rekla je princeza Marija, gledajući svoju baku uplašenih otvorenih očiju.
"Pa, hvala Bogu, princezo", reče Marija Bogdanovna ne dodajući ni koraka. Vi cure ne morate znati za ovo.
„Ali zašto doktor još nije stigao iz Moskve?“ - rekla je princeza. (Na zahtjev Lize i princa Andreja, do roka su poslani u Moskvu po akušera i čekali su ga svakog minuta.)
"U redu je, princezo, ne brini", reče Marija Bogdanovna, "a bez doktora sve će biti u redu."
Pet minuta kasnije princeza je čula iz svoje sobe da se nosi nešto teško. Pogledala je - iz nekog razloga konobari su u spavaću sobu nosili kožnu sofu koja je stajala u kancelariji princa Andreja. Na licima ljudi koji su nosili bilo je nešto svečano i tiho.
Princeza Marija je sedela sama u svojoj sobi, osluškujući zvukove kuće, povremeno otvarajući vrata kada bi prolazili i pažljivo posmatrajući šta se dešava u hodniku. Nekoliko žena je tihim koracima hodalo amo-tamo, osvrnulo se na princezu i okrenulo se od nje. Nije se usudila da pita, zatvori vrata, vrati se u svoju sobu i ili sjedne u stolicu, ili uzme svoj molitvenik, ili klekne pred kiotom. Na svoju nesreću i iznenađenje, osetila je da molitva nije smirila njeno uzbuđenje. Odjednom su se vrata njene sobe tiho otvorila i na pragu se pojavila njena stara dojilja Praskovja Savišna, vezana maramicom, koja gotovo nikada, zbog prinčeve zabrane, nije ulazila u njenu sobu.
„Došla sam da sednem s tobom, Mašenko“, reče dadilja, „da, donela je prinčeve svadbene sveće pred sveca, anđele moj“, rekla je uzdahnuvši.
„Oh, kako mi je drago, dadilje.
„Bog je milostiv, golubice. - Dadilja je zapalila sveće optočene zlatom ispred vitrine i sela na vrata sa čarapom. Princeza Marija uzela je knjigu i počela da čita. Tek kada su se čuli koraci ili glasovi, princeza je izgledala uplašeno, upitno, a dadilja se umirujuće pogledala. Na svim krajevima kuće, isti osjećaj koji je princeza Mary iskusila dok je sjedila u svojoj sobi bio je preplavljen i opsjedao sve. Prema vjerovanju da što manje ljudi zna za patnje puerperala, to ona manje pati, svi su pokušavali da se prave neznalice; niko o tome nije pričao, ali u svim ljudima, osim uobičajenog stepena i poštovanja lepog ponašanja koji je vladao u kneževom domu, postojala je jedna vrsta opšte zabrinutosti, smekšanog srca i svesti o nečem velikom, neshvatljivom, što se dešavalo u tom trenutku .
U velikoj devojačkoj sobi nije bilo smeha. U konobari su svi ljudi sjedili u tišini, spremni na nešto. U dvorištu su palili baklje i svijeće i nisu spavali. Stari knez, stadeći mu na petu, obiđe radnu sobu i posla Tihona kod Marije Bogdanovne da pita: šta? - Samo mi reci: knez je naredio da pitam šta? i dođi i reci mi šta će ona reći.
„Javite princu da je porođaj počelo“, reče Marija Bogdanovna, značajno pogledavši glasnika. Tihon je otišao i javio se knezu.
„Vrlo dobro“, rekao je princ, zatvarajući vrata za sobom, a Tihon više nije čuo ni najmanji zvuk u radnoj sobi. Malo kasnije, Tihon je ušao u kancelariju, kao da želi da popravi sveće. Videvši da princ leži na sofi, Tihon je pogledao princa, njegovo uznemireno lice, odmahnuo glavom, ćutke mu prišao i, poljubivši ga u rame, izašao ne namještajući svijeće i ne govoreći zašto je došao. Nastavilo se obavljati najsvečaniji sakrament na svijetu. Prošlo je veče, došla je noć. A osjećaj iščekivanja i omekšavanja srca pred neshvatljivim nije pao, nego se dizao. Niko nije spavao.

Bila je to jedna od onih martovskih noći kada se čini da zima želi da uzme svoj danak i izlije svoje posljednje snijegove i snježne oluje sa očajničkim bijesom. U susret njemačkom doktoru iz Moskve, kojeg su očekivali svakog minuta i za kojeg je poslata postavka na magistralni put, do skretanja na seoski put, poslani su konjanici sa fenjerima da ga vode po rupama i prazninama.
Princeza Marija je odavno napustila knjigu: sjedila je u tišini, uprla blistave oči u naborano, do najsitnije poznato, lice dadilje: u pramen sijede kose koji je izašao ispod marame, u viseća vreća kože ispod brade.
Dadilja Savišna je sa čarapom u rukama, tihim glasom, ne čujući i ne razumevajući sopstvene reči, stotine puta pričala o tome kako je preminula princeza u Kišinjevu rodila princezu Mariju, sa moldavskom seljankom, umesto sa baka.
„Bože smiluj se, nikad ti ne treba doktor“, rekla je. Odjednom je nalet vjetra zapuhnuo na jedan od otkrivenih okvira sobe (prinčevom voljom uvijek je u svakoj prostoriji bio postavljen po jedan okvir sa ševama) i, otkinuvši loše gurnutu zasun, razmrsio zavjesu od damasta i namirisao hladnoće, snijega, ugasila svijeću. Princeza Marija je zadrhtala; dadilja je, spustivši čarapu, prišla prozoru i nagnuvši se počela da hvata otvoreni okvir. Hladan vjetar mrsio je vrhove njene marame i sijede, zalutale pramenove kose.
- Princezo, majko, neko se vozi po prefekturi! rekla je držeći okvir i ne zatvarajući ga. - Sa fenjerima, mora biti, dokhtur...
- O moj boze! Hvala bogu! - reče princeza Marija, - moramo mu ići u susret: on ne zna ruski.
Princeza Marija je nabacila svoj šal i potrčala u susret putnicima. Kad je prošla pred hodnikom, kroz prozor je vidjela da na ulazu stoji nekakva kočija i lampe. Izašla je na stepenice. Svijeća od loja stajala je na stubu ograde i tekla od vjetra. Konobar Filip, uplašenog lica i sa još jednom svijećom u ruci, stajao je dolje, na prvom podestu stepenica. Još niže, iza krivine, na stepenicama, čuli su se koraci kako se kreću u toplim čizmama. A neki poznati glas, kako se princezi Mariji učinilo, nešto je govorio.

Tijela su grupa čiji su elementi svi različiti od nule elementi datog tijela, a operacija je ista kao operacija množenja u tijelu. M. g. polja su Abelova grupa. O. A. Ivanova ... Mathematical Encyclopedia

Redukovani sistem ostataka po modulu m je skup svih brojeva kompletnog sistema ostataka po modulu m koji je koprost sa m. Redukovani sistem ostataka po modulu m sastoji se od φ(m) brojeva, gdje je φ( ) Eulerova funkcija. Kao smanjeni sistem odbitaka ... ... Wikipedia

Teorija grupa ... Wikipedia

Grupa u apstraktnoj algebri je neprazan skup na kojem je definirana binarna operacija koja zadovoljava sljedeće aksiome. Grana matematike koja se bavi grupama naziva se teorija grupa. Svi poznati realni brojevi su obdareni ... ... Wikipedijom

Grupa automorfizama nekog seskvilinearnog oblika f na desnom K modulu E, gdje je K prsten; štaviše, f i E (a ponekad i K) zadovoljavaju dodatne uslove. Ne postoji tačna definicija K. g. Pretpostavlja se da je f ili nula ili nedegenerisano... ... Mathematical Encyclopedia

Grupa svih inverzibilnih matrica stepena n nad asocijativnim prstenom K sa identitetom; uobičajena notacija: GLn(K) ili GL(n, K). P. l. d. GL(n, K) se takođe može definisati kao grupa automorfizama AutK(V) slobodnog desnog K modula Vs… … Mathematical Encyclopedia

Za opšti opis teorije grupa, pogledajte Grupa (matematika) i Teorija grupa. Kurziv označava vezu sa ovim rječnikom. # A B C D E F G I J K L M N O P R S T U ... Wikipedia

Neka A?<А, ·>- multiplikativna grupa,

H je podskup skupa A, H?.

Definicija 1.<Н,·>- zvao podgrupa multiplikativne grupe I ako su ispunjeni sljedeći uslovi:

1. H - zatvoreno u odnosu na binarnu operaciju "*" a, b H, ab H;

2. Postoji eH = eA - jedini element u odnosu na "°";

3. a H postoji a-1 H.

Definicija 2. Ako je H = A ili H = (e), onda<Н,·>naziva se nepravilna podgrupa grupe A.

Ako je H A, H ispravan podskup skupa A, tada se podgrupa zove vlastitu podgrupu grupe A.

H \u003d A - sama grupa A.

H \u003d (e) - jedna podgrupa.

ciklička podgrupa multiplikativna grupa

Primjer. Radi to<А, ·>, gdje je A \u003d (1, - 1, i, - i), i je imaginarna jedinica, grupa?

1) Provjerite uslove multiplikativne grupe.

"·" je binarna asocijativna operacija na skupu A.

Cayley sto za "·" na kompletu A.

<А, ·>- podgrupa.

Važan primjer multiplikativnih podgrupa su tzv multiplikativne cikličke podgrupe.

Neka bude<А, ·>- Grupa. Element e A je element identiteta. element a? e, a A.

(a) - skup cjelobrojnih potencija elementa a: (a) = (x = a n: n Z, a A, a ? e)

fer

Teorema 1.< (а), ·>je podgrupa grupe<А, ·>.

Dokaz. Provjerimo uslove multiplikativne podgrupe.

1) H \u003d (a) - zatvoreno u odnosu na "·":

x \u003d a n, y \u003d a l, n, e Z, x, y H, xy \u003d a n a l \u003d a n + l H, jer n+lZ;

2) e = 1 = a 0 H, A: x H xa 0 = a 0 x = x;

3) x \u003d a H, x -1 \u003d a -n H: a n a -n \u003d a -n a n \u003d a 0 \u003d 1.

Od 1) - 3) po definiciji H imamo< (а), ·>je podgrupa multiplikativne grupe A.

Definicija 3. Neka<А, ·>je neka multiplikativna grupa i

Redoslijed elementa a je najmanji prirodni broj n takav da je a n = e.

Primjer. Naći redoslijed elemenata a = - 1, b = i, c = - i multiplikativne grupe A = (1; - 1; i; - i)

1: (-1) 1 = - 1, (-1) 2 = 1 = e. dakle,

n = 2 - redosled elemenata - 1.

i: (i) 1 = i, (i) 2 = - 1, (i) 4 = 1 = e. dakle,

n = 4 - red elementa i.

i: (-i) 1 = - i, (-i) 2 = - 1, (-i) 4 = 1 = e. dakle,

n = red 4 elementa - i.

Teorema 2. Neka<А, ·>- grupa, eh A, eh? e, a je element n-tog reda, tada:

1) Podgrupa (a) grupe A ima oblik: (a) \u003d (a 0 \u003d e, a, a 2, ..., a n-1) -

n - elementarni skup nenegativnih snaga elementa a;

2) Svaki cjelobrojni stepen elementa a k , k Z pripada skupu (a) i

a k = e<=>k = nq, nN, qZ.

Dokaz. Pokažimo da su svi elementi (a) različiti. Pretpostavimo suprotno: a k = a l , k > l, tada a k-l = e. k-l< n, что противоречит определению порядка элемента (а). В множестве (а) все элементы различны.

Pokažimo da a k, K Z, pripada skupu (a).

Neka je k = n, k: n, a k = a nq + r = a k × a nq + r = (a n) q × a r = e q × a r = e × a r = a r,

0? r? n? 1 => a k (a). Ako je r = 0, onda je k = nq<=>a k = e.

Definicija 4. Podgrupa< (а), ·>, gdje (a) = (a 0 = e, a, a 2, ..., a n-1), grupa A, a je element n-tog reda, naziva se ciklička podgrupa grupe A(multiplikativna ciklička podgrupa od A).

Definicija 5. Grupa koja se poklapa sa svojom podgrupom<А, ·>, < (а), ·>, multiplikativna ciklička podgrupa, naziva se ciklička grupa.

Teorema 3. Svaka multiplikativna ciklička grupa je abelova.

Dokaz. A = (a), ha? e, a - generirajući element grupe

a k , a l A, a k N a l = a l N a k . Zaista, a k P a l = a k+l = a l+k = a l P a k , l,k Z.