Modul broja uvodi novi koncept u matematici. Hajde da detaljno analiziramo šta je modul broja i kako s njim raditi?

Razmotrimo primjer:

Iz kuće smo otišli u prodavnicu. Prošlo je 300 m, matematički se ovaj izraz može napisati kao +300, značenje broja 300 iz znaka “+” se neće promijeniti. Udaljenost ili modul broja u matematici je isti i može se napisati i na sljedeći način: |300|=300. Predznak modula broja označen je sa dvije okomite linije.

A onda unutra obrnuti smjer hodao 200m. Matematički, možemo zapisati povratnu putanju kao -200. Ali mi ne kažemo tako „išli smo na minus dvjesto metara“, iako smo se vratili, jer udaljenost kao količina ostaje pozitivna. Zbog toga je u matematici uveden koncept modula. Možete napisati udaljenost ili modul od -200 na sljedeći način: |-200|=200.

Svojstva modula.

definicija:
Modul broja ili apsolutna vrijednost broja je udaljenost od početne točke do odredišta.

Modul cijelog broja nije uvijek jednak nuli pozitivan broj.

Modul je napisan ovako:

1. Modul pozitivnog broja jednak je samom broju.
| a|=a

2. Modul negativnog broja jednak je suprotnom broju.
|- a|=a

3. Modul nule, jednak nuli.
|0|=0

4. Moduli suprotnih brojeva su jednaki.
| a|=|-a|=a

Povezana pitanja:
Koliki je modul broja?
Odgovor: Modul je udaljenost od početne tačke do odredišta.

Ako stavite znak “+” ispred cijelog broja, šta se dešava?
Odgovor: broj neće promijeniti svoje značenje, na primjer, 4=+4.

Ako stavite znak "-" ispred cijelog broja, šta se događa?
Odgovor: broj će se promijeniti u npr. 4 i -4.

Koji brojevi imaju isti modul?
Odgovor: pozitivni brojevi i nula imat će isti modul. Na primjer, 15=|15|.

Koji brojevi imaju modul - suprotan broj?
Odgovor: za negativne brojeve, modul će biti jednak suprotnom broju. Na primjer, |-6|=6.

Primjer #1:
Pronađite modul brojeva: a) 0 b) 5 c) -7?

Odluka:
a) |0|=0
b) |5|=5
c)|-7|=7

Primjer #2:
Ima li dva razni brojevičiji su moduli jednaki?

Odluka:
|10|=10
|-10|=10

Moduli suprotnih brojeva su jednaki.

Primjer #3:
Koja dva suprotna broja imaju modul 9?

Odluka:
|9|=9
|-9|=9

Odgovor: 9 i -9.

Primjer #4:
Uradite sljedeće: a) |+5|+|-3| b) |-3|+|-8| c)|+4|-|+1|

Odluka:
a) |+5|+|-3|=5+3=8
b) |-3|+|-8|=3+8=11
c)|+4|-|+1|=4-1=3

Primjer #5:
Naći: a) modul broja 2 b) modul broja 6 c) modul broja 8 d) modul broja 1 e) modul broja 0.
Odluka:

a) modul broja 2 označava se kao |2| ili |+2| Ovo je isto.
|2|=2

b) modul broja 6 označava se kao |6| ili |+6| Ovo je isto.
|6|=6

c) modul broja 8 označava se kao |8| ili |+8| Ovo je isto.
|8|=8

d) modul broja 1 označava se kao |1| ili |+1| Ovo je isto.
|1|=1

e) modul broja 0 označava se sa |0|, |+0| ili |-0| Ovo je isto.
|0|=0

Uputstvo

Ako je modul u formi kontinuirana funkcija, tada vrijednost njegovog argumenta može biti pozitivna ili negativna: |h| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

Modul je nula, a modul bilo kojeg pozitivnog broja je njegov modul. Ako je argument negativan, tada se nakon otvaranja zagrada njegov predznak mijenja iz minusa u plus. Na osnovu ovoga slijedi zaključak da su moduli suprotnosti jednaki: |-x| = |x| = x.

Modul kompleksni broj nalazi se po formuli: |a| = √b ² + c ² i |a + b| ≤ |a| + |b|. Ako argument sadrži pozitivan broj kao množitelj, onda se može izvući iz znaka zagrade, na primjer: |4*b| = 4*|b|.

Ako je argument predstavljen kao kompleksan broj, tada je zbog pogodnosti izračunavanja dozvoljen redosled članova izraza u uglastim zagradama: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 jer je (2-3) manje od nule.

Argument podignut na stepen je istovremeno pod znakom korena istog reda - rešava se sa: √a² = |a| = ±a.

Ako imate zadatak u kojem nije naveden uvjet za proširenje zagrada modula, onda ih se ne morate riješiti - to će biti konačni rezultat. A ako želite da ih otvorite, onda morate navesti znak ±. Na primjer, trebate pronaći vrijednost izraza √(2 * (4-b)) ². Njegovo rješenje izgleda ovako: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Pošto je predznak izraza 4-b nepoznat, mora se ostaviti u zagradi. Ako dodate dodatni uvjet, na primjer, |4-b| >

Modul nule jednak je nuli, a modul bilo kojeg pozitivnog broja jednak je samom sebi. Ako je argument negativan, tada se nakon otvaranja zagrada njegov predznak mijenja iz minusa u plus. Na osnovu ovoga slijedi zaključak da su moduli suprotnih brojeva jednaki: |-x| = |x| = x.

Modul kompleksnog broja se nalazi po formuli: |a| = √b ² + c ² i |a + b| ≤ |a| + |b|. Ako argument sadrži pozitivan cijeli broj kao množitelj, onda se može izvući iz znaka zagrade, na primjer: |4*b| = 4*|b|.

Modul ne može biti negativan, tako da se svaki negativan broj pretvara u pozitivan: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2.5.

Ako je argument predstavljen kao kompleksan broj, onda je zbog pogodnosti izračunavanja dozvoljeno promijeniti redosljed članova izraza zatvorenih u uglaste zagrade: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 jer je (2-3) manje od nule.

Ako imate zadatak pred sobom koji ne navodi uvjet za proširenje zagrada modula, onda ih se ne morate riješiti - to će biti konačni rezultat. A ako želite da ih otvorite, onda morate navesti znak ±. Na primjer, trebate pronaći vrijednost izraza √(2 * (4-b)) ². Njegovo rješenje izgleda ovako: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Pošto je predznak izraza 4-b nepoznat, mora se ostaviti u zagradi. Ako dodate dodatni uvjet, na primjer, |4-b| > 0, onda je rezultat 2 * |4-b| = 2 *(4 - b). Nepoznati element se također može dati određeni broj, što treba uzeti u obzir, jer to će uticati na znak izraza.

Termin (modul) u doslovnom prijevodu sa latinskog znači "mjera". Ovaj koncept je u matematiku uveo engleski naučnik R. Cotes. A njemački matematičar K. Weierstrass uveo je znak modula - simbol kojim se ovaj koncept označava prilikom pisanja.

U kontaktu sa

Prvi put ovaj koncept studirao matematiku u okviru 6. razreda srednja škola. Prema jednoj definiciji, modul je apsolutna vrijednost realnog broja. Drugim riječima, da biste saznali modul realnog broja, morate odbaciti njegov predznak.

Grafički apsolutna vrijednost a označeno kao |a|.

Glavna karakteristika ovog koncepta je da je on uvijek nenegativna vrijednost.

Brojevi koji se međusobno razlikuju samo predznakom nazivaju se suprotni brojevi. Ako je vrijednost pozitivna, onda je njena suprotnost negativna, a nula je njena vlastita suprotnost.

geometrijska vrijednost

Ako koncept modula razmatramo sa stanovišta geometrije, tada će on označavati udaljenost, koja se mjeri u jediničnim segmentima od početka do dati poen. Ova definicija u potpunosti otkriva geometrijskog smisla termin koji se proučava.

Grafički, to se može izraziti na sljedeći način: |a| = O.A.

Svojstva apsolutne vrijednosti

U nastavku ćemo razmotriti sva matematička svojstva ovog koncepta i načine pisanja u obliku doslovnih izraza:

Osobine rješavanja jednačina s modulom

Ako govorimo o rješavanju matematičkih jednadžbi i nejednačina koje sadrže modul, onda morate zapamtiti da ćete morati otvoriti ovaj znak da biste ih riješili.

Na primjer, ako znak apsolutne vrijednosti sadrži neki matematički izraz, tada je prije otvaranja modula potrebno uzeti u obzir trenutne matematičke definicije.

|A + 5| = A + 5 ako je A veće ili jednako nuli.

5-A ako je A manje od nule.

U nekim slučajevima, znak se može nedvosmisleno proširiti za bilo koju vrijednost varijable.

Razmotrimo još jedan primjer. Konstruirajmo koordinatnu liniju, na kojoj označavamo sve numeričke vrijednosti, čija će apsolutna vrijednost biti 5.

Prvo morate nacrtati koordinatnu liniju, označiti ishodište koordinata na njoj i postaviti veličinu pojedinačni segment. Osim toga, linija mora imati smjer. Sada je na ovoj pravoj liniji potrebno primijeniti oznake koje će biti jednake vrijednosti jednog segmenta.

Dakle, možemo vidjeti da će na ovoj koordinatnoj liniji biti dvije točke koje nas zanimaju sa vrijednostima 5 i -5.

a je sam broj. Broj u modulu:

|a| = a

Modul kompleksnog broja.

Pretpostavimo da postoji kompleksni broj, koji je upisan u algebarski oblik z=x+i y, gdje x i y- realni brojevi, koji su stvarni i imaginarni dijelovi kompleksnog broja z, a je imaginarna jedinica.

Modul kompleksnog broja z=x+i y je aritmetički kvadratni korijen zbira kvadrata realnog i imaginarnog dijela kompleksnog broja.

Modul kompleksnog broja z označava se na sljedeći način, što znači da se definicija modula kompleksnog broja može napisati na sljedeći način: .

Svojstva modula kompleksnih brojeva.

• Domen definicije: cijela kompleksna ravan.
• Raspon vrijednosti: }