Koncept kompleksnog broja prvenstveno je povezan sa jednačinom. Ne postoji realni brojevi, što bi zadovoljilo ovu jednačinu.

Dakle, kompleksni brojevi su nastali kao generalizacija (proširenje) polja realnih brojeva pri pokušaju rješavanja proizvoljnih kvadratnih (i općenitijih) jednadžbi dodavanjem novih brojeva tako da prošireni skup formira brojevno polje u kojem se izvodi akcija ekstrakcije. korijen bi uvijek bio izvodljiv.

Definicija.Broj čiji je kvadrat - 1, obično se označava slovomi i nazovi imaginarna jedinica.

Definicija. polje kompleksni brojevi OD naziva se minimalno proširenje polja realnih brojeva koje sadrži korijen jednadžbe.

Definicija. Polje OD pozvao polje kompleksnih brojeva ako ispunjava sljedeće uslove:

Teorema. (O postojanju i jedinstvenosti polja kompleksnih brojeva). Postoji samo jedan, do notacije korijena jednadžbe polje kompleksnih brojeva OD .

Svaki element se može jedinstveno predstaviti na sljedeći način:

gdje je , korijen jednadžbe i 2 +1=0.

Definicija. Bilo koji element pozvao kompleksni broj, pravi se broj x zove pravi deo broj z i označen je sa , pravi broj y se zove imaginarni deo broj z i označen je sa .

Dakle, kompleksni broj je uređeni par, kompleks sastavljen od realnih brojeva x i y.

Ako a X=0, zatim broj z= 0+iy=iy pozvao čisto imaginarno ili imaginarni. Ako a y=0, zatim broj z=x+ 0i=x identificira se sa stvarnim brojem X.

Dva kompleksna broja i smatraju se jednakima ako su im stvarni i imaginarni dijelovi jednaki:

Kompleksni broj je nula kada su i njegovi stvarni i imaginarni dijelovi jednaki nuli:

Definicija. Dva kompleksna broja koja imaju isti pravi deo, čiji su imaginarni dijelovi jednaki po apsolutnoj vrijednosti, ali suprotni po predznaku, nazivaju se kompleksni konjugat ili jednostavno konjugirani.

Konjugirani broj z, je označeno sa . Dakle, ako , Tada .

1.3. Modul i argument kompleksnog broja.
Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva

Geometrijski, kompleksni broj je prikazan na ravni (slika 1) kao tačka M sa koordinatama ( x, y).

Definicija. Ravan na kojoj su nacrtani kompleksni brojevi naziva se kompleksna ravan C, ose Ox i Oy, na kojima se nalaze realni brojevi i čisto imaginarne brojeve , su pozvani validan i imaginarni osi, respektivno.

Položaj tačke također se može odrediti pomoću polarne koordinate r i φ , tj. koristeći dužinu radijus-vektora i vrijednost ugla nagiba radijus-vektora tačke M(x, y) na pozitivnu realnu poluos Oh.

Definicija. modul kompleksni broj je dužina vektora koji predstavlja kompleksni broj na koordinatnoj (kompleksnoj) ravni.

Modul kompleksnog broja se označava slovom ili r i jednako je aritmetička vrijednost kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih realnih i imaginarnih dijelova.

razmotrimo skup R2 svih mogućih uređenih parova (x» Y) realnih brojeva xxy € R. Za takve parove (a, b) = (c, d) ako i samo ako je a = c i b - d. Uvedemo na ovom skupu R2 unutrašnje zakone kompozicije u obliku operacija sabiranja i množenja. Sabiranje definiramo jednakošću £faa operacija je asocijativna i komutativna; ima (prema definiciji 4.5) neutralni element (0, 0), a prema definiciji 4.6, za svaki par (a, 6) može se specificirati simetrični (suprotni) element (-a, -6). Zaista, V(a, 6) £ R2 Štaviše, ili Polje kompleksnih brojeva. Definiramo množenje jednakošću Lako je provjeriti da je operacija uvedena na ovaj način asocijativna, komutativna i distributivna u odnosu na sabiranje. Ova operacija ima neutralni element, a to je par (1, 0), budući da je, s obzirom na uvedene operacije sabiranja i množenja, skup R2 Abelov prsten sa jedinicom (vidi tabelu 4.1). u* Između skupa parova (x, 0) € R2 i skupa realnih brojeva x G R lako je uspostaviti korespondenciju jedan-prema jedan (x, 0) x) iz koje slijedi da je polje kompleksni brojevi. one. sabiranje i množenje takvih parova se izvode na isti način kao i za realne brojeve. Zamenimo parove oblika (x, 0) realnim brojevima, tj. umjesto (x, 0) jednostavno ćemo napisati x, konkretno umjesto (1, 0), jednostavno ćemo napisati 1. Par (0, 1) zauzima posebno mjesto u skupu R2. Prema (4.3), ima svojstva i dobio je posebnu oznaku i, a zatim, s obzirom na (4.2) i (4.3), bilo koji par (x, y) ∈ R2 može se predstaviti kao polje kompleksnih brojeva . Označiti z. Element z se naziva kompleksnim konjugatom elementa z. Uzimajući u obzir (4.3) z-z = x2 -by2. Ako z ne odgovara neutralnom elementu (0, 0), tj. ako x i y nisu jednaki 0 ​​u isto vrijeme (označavaju 2^0), tada je x2 + + y2 φ 0. Tada je inverzno (simetrično, suprotno u odnosu na operaciju množenja - vidi 4.1) elementu z \u003d x + iy će biti takav element r "1, da je zz~l = 1 ili zzz~l = z, tj. (x2 + y2)z~l = x - y Dakle -1_ X 2 Y \ Dakle, bilo koji element od gf O ima inverziju svb u odnosu na operaciju množenja, a skup R2 sa operacijama sabiranja i množenja ujedinjenim na njemu u skladu sa (4.1) i (4.3) je stoga polje (vidi tabelu 4.1 ) Zove se polje (ili skup) kompleksnih brojeva i označava se C. B Na osnovu gornje korespondencije jedan prema jedan (r, 0) € R2 ++ x € R razlomku kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih brojeva. Svaki element r u C naziva se kompleksnim brojem, a njegov prikaz u obliku z = x + iy> gdje je x, y £ R i i2 = -l,- algebarski oblik predstavljen kompleksnim brojem. U ovom slučaju, £ se naziva realnim dijelom kompleksnog broja i označava sa Re z, a y se naziva imaginarni dio i označava sa Imz (t se naziva imaginarna jedinica). Imajte na umu da je imaginarni dio kompleksnog broja realan broj. Naziv za y nije sasvim uspješan, ali kao počast istorijskoj tradiciji ostao je do danas. Termin "kompleksni broj"44 uveo je 1803. godine francuski matematičar JI. Carnot (1753-1823), ali je K. Gauss počeo da koristi ovaj termin sistematski od 1828. godine kako bi zamijenio manje uspješan „imaginarni broj“44. U ruskoj matematičkoj literaturi XIX veka. koristio termin "kompozitni broj"44. Već kod R. Descartesa suprotstavljaju se realni i imaginarni dijelovi kompleksnog broja. Kasnije su prva slova francuskih riječi reele (stvarno) i imagimaire (imaginarno) postala oznake ovih dijelova, iako su mnogi matematičari suštinu zamišljenih veličina smatrali nejasnom, pa čak i misterioznom i mističnom. Dakle, I. Newton ih nije uključio u pojam broja, a G. Leibniz pripada frazi: „Imaginarni brojevi su divno i divno utočište božanskog duha, gotovo vodozemac bića sa nebićima44. Pošto se skup R2 svih mogućih parova realnih brojeva može identifikovati sa tačkama na ravni, svaki kompleksni broj z =? x + iy odgovara tački y) (slika 4.1), što nam omogućava da govorimo o geometrijskom obliku reprezentacije kompleksnog broja. Kada se kompleksni brojevi identifikuju sa tačkama ravni, to se naziva kompleksna ravan ili ravan kompleksnih brojeva. Realni brojevi se postavljaju na x-osu, tj. brojevi z, za koje je lmz = y = 0, a na osi Oy - brojevi z = iy, nazvani čisto imaginarnim, za koje je Re r = x = 0. Poeto-Sl. 4,1 mu koordinatne ose u kompleksnoj ravni nazivaju se realnim i imaginarnim, respektivno. Tačke ravni koje odgovaraju kompleksnim konjugiranim elementima z i z (kompleksno konjugirani brojevi) su simetrične u odnosu na realnu os, a tačke koje predstavljaju z i -z su simetrične oko početka. Udaljenost Polje kompleksnih brojeva. tačka M(x, y), koja prikazuje kompleksni broj z = x + iy na ravni, od početka naziva se modul kompleksnog broja i označava \z\ ili r. Ugao koji formira poluprečnik vektora tačka M sa pozitivnim smerom ose Ox naziva se argument kompleksnog broja i označava Argz ili (p (vidi sliku 4.1). Ugao se čita kao u trigonometriji: smer suprotno od kazaljke na satu se smatra pozitivnim smerom od Jasno je da Arg z nije definiran jednoznačno, već do višekratnika od 2n\ Jedina vrijednost argumenta koja zadovoljava uvjet (ponekad se 0 naziva glavnom i označava sa argz. Dakle, Arg * = arg2: + 2mg, m € Z. Za z - 0, vrijednost Args nije definirana.Tačka koja odgovara ovom broju (početak) karakterizira samo uvjet \z\ = r = 0. Dakle , za svaki kompleksni broj z on složena ravan odgovara radijus vektoru tačke M(x, y), koji se može odrediti njegovim polarne koordinate: polarni radijus r ≥ 0, jednak modulu kompleksnog broja, i polarni ugao koji se poklapa sa glavnom vrijednošću argumenta ovog kompleksnog broja. Prema definicijama poznatim iz školskog kursa trigonometrije trigonometrijske funkcije i obrnuto od njih (vidi 3.5), za bilo koju lokaciju tačke z na kompleksnoj ravni imamo x=rcosy>= X Uzimajući u obzir ograničenja nametnuta na glavnu vrijednost argumenta kompleksnog broja, dobijamo ako x > 0; ako je x 0; ako je x = 0 i y. Iz (4.6) proizilazi da vrijedi notacija + tsiny>), (4.8), koja se naziva trigonometrijski oblik reprezentacije kompleksnog broja. Za prijelaz sa algebarskog oblika prikaza na trigonometrijski oblik koristite (4.5) i (4.7) ”a za obrnuti prijelaz - (4.6). Imajte na umu da su dva kompleksna broja različita od nule jednaka ako i samo ako su njihovi moduli jednaki, a argumenti se razlikuju po članovima koji su višekratnici od 2n. Prema (4.1), zbir kompleksnih brojeva z \ i r2 bit će kompleksan broj i njihova razlika - Iz ovih formula slijedi da je sabiranje (ili oduzimanje) kompleksnih brojeva slično sabiranju (ili oduzimanju) vektora u kompleksnoj ravni prema pravilu paralelograma (slika 4.2) (dok se odgovarajuće koordinate vektora sabiraju ili oduzimaju). Dakle, za module kompleksnih brojeva vrijede nejednakosti trougla a u obliku (dužina bilo koje stranice trougla nije veća od zbira dužina njegove dvije druge strane). Međutim, tu se završava analogija između kompleksnih brojeva i vektora. Zbir ili razlika kompleksnih brojeva može biti realan broj (na primjer, zbir kompleksnih konjugata brojevi r-f z = = 2x, x = Rez e R). Prema (4.3), proizvod kompleksnih brojeva z\ i z2 je kompleksan broj. kvocijent Z1/22 za V*2 φ 0 se podrazumijeva kao kompleksni broj -r koji zadovoljava jednakost z^z = z\. Nakon množenja oba dijela ove jednakosti sa 22, dobijamo: Podizanje kompleksnog broja z na stepen n € N je množenje z sam po sebi n puta, uzimajući u obzir činjenicu da je za k 6 N polje kompleksnih brojeva. Trigonometrijska notacija (4.8) omogućava pojednostavljenje množenja, dijeljenja i eksponencijacije kompleksnih brojeva. Dakle, za z\ \u003d r\ (cos (p\ + isiny?i) i Z2 \u003d G2 (co + -f isin br (4.3)) može se ustanoviti da na kompleksnoj ravni (slika 4.3) množenje odgovara na rotaciju segmenta OM za ugao (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu u 0) i promjenu njegove dužine za r2 = \z2\ puta; eksponencijacija n £ N kao množenje z samim sobom n puta, polu-najviše racionalni stepen q = m/n, q € Q, m € Z, n6N, povezano je sa podizanjem ovog broja na stepen 1/n, ili, kako kažu, sa izdvajanjem root nth potencije iz kompleksnog broja. Izdvajanje korijena je inverzna operacija eksponencijacije, tj. = w ako je wn = z. Neka). Tada iz (4.13) imamo i, uzimajući u obzir jednakost kompleksnih brojeva, dobijamo Iz izraza (4.14), nazvanog Moivreova formula za izdvajanje korijena pozitivnog cijelog stepena iz kompleksnog broja), slijedi da među mogućih vrijednosti y/z, postojaće n vrijednosti koje odgovaraju k = = 0, n - 1. Svih n različitih vrijednosti za $fz imaju isti modul, a njihovi argumenti se razlikuju po uglovima koji su višestruki od 2jr/n. Vrijednosti odgovaraju tačkama kompleksne ravni na vrhovima regularni n-gon upisan u krug poluprečnika 1/f sa centrom u početku. U ovom slučaju, radijus vektor jednog od vrhova formira ugao (p/n) sa Ox-osom.Iz (4.13) i (4.14) slijedi formula za podizanje kompleksnog broja z /0 na racionalnu potenciju g € Q. Beli g = m/n, gdje je m € Z i n € N, uzimajući u obzir (4.7) dobijamo (Dakle, u trigonometrijskom obliku. Prema (4.11) i (4.12) nalazimo: Koristeći (4.13) , dižemo z\ na stepen n = 4, primjenom (4.14), izvlačimo korijen stepena n = 3 iz z2 Rezultati proračuna prikazani na slici 4.4. Tri vrijednosti trećeg korijena zi odgovaraju vrhovima pravougaonog trougla ABC, upisan u krug poluprečnika i polarni uglovi ovih vrhova = n*/18, 4>v = 13m/18 i = 25m/18 (ili = -11^/18).

Definicije . Neka a, b su realni brojevi, i je neki karakter. Kompleksni broj je zapis oblika a+bi.

Dodatak i množenje brojevi na skupu kompleksnih brojeva: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d) ja ,

(a+bi)(c+di)=(ac–bd)+(ad+bc)i. .

Teorema 1 . Skup kompleksnih brojeva OD sa operacijama sabiranja i množenja formira polje. Svojstva sabiranja

1) komutativnost b: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i=(c+di)+(a+bi).

2) Asocijativnost :[(a+bi)+(c+di)]+(e+fi)=(a+c+e)+(b+d+f)i=(a+bi)+[(c+di)+(e+fi)].

3) Postojanje neutralni element :(a+bi)+(0 +0i)=(a+bi). Broj 0 +0 i zvaćemo nulu i označiti 0 .

4) Postojanje suprotni element : (a+bi)+(–a–bi)=0 +0i=0 .

5) Komutativnost množenja : (a+bi)(c+di)=(ac–bd)+(bc+ad)i=(c+di)(a+bi).

6) Asocijativnost množenja :if z1=a+bi, z2=c+di, z3=e+fi, onda (z 1 z 2)z 3=z 1 (z 2 z 3).

7) distributivnost: ako z1=a+bi, z2=c+di, z3=e+fi, onda z 1 (z 2+z3)=z 1 z 2+z 1 z 3.

8) Neutralni element za množenje :(a+bi)(1+0i)=(a 1–b 0)+(a 0+b 1)i=a+bi.

9) Broj 1 +0i=1 - jedinica.

9) Postojanje inverzni element : "z¹ 0 $z –1 :zz –1 =1 .

Neka z=a+bi. Realni brojevi a, zvao validan, a b - imaginarne dijelove kompleksni broj z. Koriste se notacije: a=Rez, b=imz.

Ako a b=0 , onda z=a+ 0i=a je pravi broj. Dakle, skup realnih brojeva R je dio skupa kompleksnih brojeva C: R Í C.

Bilješka: i 2=(0 +1i)(0+1i)=–1 +0i=–1 . Korištenje svojstva ovog broja i, kao i svojstva operacija dokazanih u teoremi 1, mogu se izvoditi operacije sa kompleksnim brojevima prema uobičajenim pravilima, zamjenjujući i 2 na - 1 .

Komentar. Relacije £, ³ („manje od“, „veće od“) za kompleksne brojeve nisu definisane.

2 Trigonometrijska notacija .

Poziva se notacija z = a+bi algebarski zapis kompleksnog broja . Razmislite o avionu sa odabranim Kartezijanski sistem koordinate. Hajde da predstavimo broj z tačka sa koordinatama (a,b). Onda pravi brojevi a=a+0iće biti predstavljen točkama osi OX- to se zove validan osa. Osa OY pozvao imaginarni osi, njene tačke odgovaraju brojevima oblika bi, koji se ponekad nazivaju čisto imaginarno . Zove se cijeli avion složena ravan .Broj je pozvan modul brojevi z: ,

polarni ugao j pozvao argument brojevi z: j=argz.

Argument je određen do termina 2kp; vrijednost za koju - str< j £ p , zove se glavni značaj argument. Brojevi r, j su polarne koordinate tačke z. To je jasno a=r cosj, b=r sinj, i dobijamo: z=a+b i=r (cosj+i sinj). trigonometrijski oblik zapis kompleksnog broja.

Konjugirani brojevi . Kompleksni broj naziva se konjugat broja.z = a + bi . Jasno je da . Svojstva : .

Komentar. Zbir i proizvod konjugiranih brojeva su realni brojevi:

Def. Sistem kompleksnih brojeva je min-to polje, koje je proširenje polja realnih brojeva i u kojem se nalazi element i (i 2 -1 = 0)

Def. Algebra<ℂ, +, ∙, 0, 1, ℝ, ⊕, ⊙, i>nazivaju sys-ti comp-th brojevi, ako izdate sljedeće uslove (aksiome):

1. a,b∊ℂ∃!m∊ℂ: a+b=m

2. a,b,c∊ℂ (a+b)+c=a+(b+c)

3. a,b∊ℂa+b=b+a

4. ∃ 0∊ℂ a∊ℂ a+0=a

5. a∊ℂ ∃(-a)∊ℂ a+(-a)=0

6. a,b∊ℂ ∃! n∊ℂa∙b=n

7. a,b,c∊ℂ (a∙b)∙c=a∙(b∙c)

8. a,b∊ℂa∙b=b∙a

9. ∃1∊ℂ a∊ℂ a∙1=a

10. a∊ℂ ∃a -1 ∊ℂ a∙a -1 =1

11. a,b,c∊ℂ (a+b)c=ac+bc

12. - polje akcije brojevi

13. Rêℂ, a,b∊R a⊕b=a+b, a⊙b=a∙b

14. ∃i∊ℂ:i 2 +1=0

15. ℳ≠⌀ 1)ℳ⊂ℂ,R⊂ℳ 2) α,β∊ℳ⇒(α+β)∊ℳ i (α∙β)∊ℳ)⇒ℳ=ℂ

St. va ℂ brojevi:

1. α∊ℂ∃! (a,b) ∊ R:α=a+b∙i

2. Polje komp brojeva ne može biti linearno uređeno, tj. α∊ℂ, α≥0 |+1, α 2 +1≥1, i 2 +1=0, 0≥1-nemoguće.

3. Osnovna teorema algebre: Polje ℂ brojeva je algebarski zatvoreno, odnosno bilo koje pl. stepeni iznad polja ℂ brojeva ima najmanje jedan skup. root

Sljedeći od glavnog. teoreme alg.: Bilo koji položaj množine. stepeni nad poljem kompleksnih brojeva mogu se razložiti u proizvod ... prvog stepena sa pozitivnim koeficijentom.

Dalje: bilo koji kvadrat ur-e ima 2 korijena: 1) D>0 2-a diff. akcija korijen 2)D=0 2-a real. koincident-x korijen 3)D<0 2-а компл-х корня.

4. Aksiomi. teorija kompleksnih brojeva je kategorična i konzistentna

Metodologija.

U nastavi općeg obrazovanja, koncept kompleksnog broja se ne razmatra, oni su ograničeni samo na proučavanje realnih brojeva. Ali u višim razredima, školarci već imaju prilično zrelo matematičko obrazovanje i sposobni su razumjeti potrebu za proširenjem koncepta broja. Sa stanovišta opšteg razvoja, znanje o kompleksnim brojevima se koristi u prirodnim naukama i tehnologiji, što je važno za učenika u procesu izbora budućeg zanimanja. Autori pojedinih udžbenika u svoje udžbenike algebre i principa matematičke analize za specijalizovane nivoe, što je predviđeno državnim standardom, uključuju proučavanje ove teme kao obavezno.

Sa metodološkog stanovišta, tema „Kompleksni brojevi“ razvija i produbljuje ideje o polinomima i brojevima postavljene u osnovnom predmetu matematike, u određenom smislu zaokružujući razvoj pojma broja u srednjoj školi.

Međutim, čak iu srednjoj školi mnogi školarci imaju slabo razvijeno apstraktno razmišljanje, ili je vrlo teško zamisliti “imaginarnu, imaginarnu” jedinicu, razumjeti razlike između koordinatnih i kompleksnih ravnina. Ili obrnuto, učenik operiše apstraktnim pojmovima izolovano od njihovog stvarnog sadržaja.

Nakon izučavanja teme „Kompleksni brojevi“, učenici treba da jasno razumiju kompleksne brojeve, poznaju algebarske, geometrijske i trigonometrijske oblike kompleksnog broja. Učenici treba da znaju da izvode sabiranje, množenje, oduzimanje, dijeljenje, podizanje na stepen, izdvajanje korijena iz kompleksnog broja na kompleksne brojeve; prevesti kompleksne brojeve iz algebarskog oblika u trigonometrijski, imati ideju o geometrijskom modelu kompleksnih brojeva

U udžbeniku za matematičku nastavu N.Ya.Vilenkin, O.S.Ivashev-Musatov, S.I.Shvartsburd "Algebra i početak matematičke analize" tema "Kompleksni brojevi" uvodi se u 11. razredu. Izučavanje teme nudi se u drugoj polovini 11. razreda nakon što se u 10. razredu izučava dio trigonometrije, au 11. razredu - integralne i diferencijalne jednačine, eksponencijalne, logaritamske i stepene funkcije, polinomi. U udžbeniku je tema "Kompleksni brojevi i operacije nad njima" podijeljena u dva dijela: Kompleksni brojevi u algebarskom obliku; Trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva. Razmatranje teme "Kompleksni brojevi i operacije nad njima" počinje razmatranjem pitanja rješavanja kvadratnih jednačina, jednadžbi trećeg i četvrtog stepena i kao rezultat toga otkriva se potreba za uvođenjem "novog broja i". Odmah su dati pojmovi kompleksnih brojeva i operacije nad njima: nalaženje zbira, proizvoda i količnika kompleksnih brojeva. Zatim je data rigorozna definicija pojma kompleksnog broja, svojstva operacija sabiranja i množenja, oduzimanja i dijeljenja. Sljedeći pododjeljak bavi se konjugiranim kompleksnim brojevima i nekim njihovim svojstvima. Dalje, razmatramo pitanje vađenja kvadratnih korijena iz kompleksnih brojeva i rješavanja kvadratnih jednadžbi sa kompleksnim koeficijentima. Sljedeći paragraf se bavi: geometrijskim prikazom kompleksnih brojeva; polarni koordinatni sistem i trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva; množenje, stepenovanje i dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku; de Moivreova formula, primjena kompleksnih brojeva na dokaz trigonometrijskih identiteta; izdvajanje korijena iz kompleksnog broja; temeljni teorem polinomske algebre; kompleksni brojevi i geometrijske transformacije, funkcije kompleksne varijable.

U udžbeniku S.M. Nikolsky, M.K. Potapova, N.N. Reshetnikova, A.V. Ševkin „Algebra i početak matematičke analize“, tema „Kompleksni brojevi se razmatraju u 11. razredu nakon proučavanja svih tema, tj. na kraju školskog kursa algebre. Tema je podijeljena u tri dijela: Algebarski oblik i geometrijsko tumačenje kompleksnih brojeva; Trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva; Korijeni polinoma, eksponencijalni oblik kompleksnih brojeva. Sadržaj paragrafa je prilično obiman, sadrži mnogo koncepata, definicija, teorema. Paragraf "Algebarski oblik i geometrijsko tumačenje kompleksnih brojeva" sadrži tri odeljka: algebarski oblik kompleksnog broja; konjugirani kompleksni brojevi; geometrijska interpretacija kompleksnog broja. Odlomak "Trigonometrijski oblik kompleksnog broja" sadrži definicije i pojmove neophodne za uvođenje pojma trigonometrijskog oblika kompleksnog broja, kao i algoritam za prelazak sa algebarskog oblika zapisa na trigonometrijski oblik kompleksnog broja. U posljednjem paragrafu „Korijeni polinoma. Eksponencijalni oblik kompleksnih brojeva” sadrži tri dijela: korijene iz kompleksnih brojeva i njihova svojstva; korijeni polinoma; eksponencijalni oblik kompleksnog broja.

Udžbenički materijal je predstavljen u malom obimu, ali sasvim dovoljan da učenici shvate suštinu kompleksnih brojeva i ovladaju minimalnim znanjem o njima. Udžbenik ima mali broj vježbi i ne obrađuje pitanje dizanja kompleksnog broja na stepen i De Moivreovu formulu

U udžbeniku A.G. Mordkovich, P.V. Semenov "Algebra i počeci matematičke analize", nivo profila, 10. razred, tema "Kompleksni brojevi" uvodi se u drugoj polovini 10. razreda odmah nakon proučavanja tema "Realni brojevi" i "Trigonometrija". Ovo postavljanje nije slučajno: formule numeričkog kruga i trigonometrije aktivno se koriste u proučavanju trigonometrijskog oblika kompleksnog broja, Moivreove formule, kada se iz kompleksnog broja izvlače kvadratni i kubni korijeni. Tema "Kompleksni brojevi" predstavljena je u 6. poglavlju i podijeljena je u 5 dijelova: kompleksni brojevi i računske operacije nad njima; kompleksni brojevi i koordinatna ravan; trigonometrijski oblik pisanja kompleksnog broja; kompleksni brojevi i kvadratne jednadžbe; dizanje kompleksnog broja na stepen, izdvajanje kubnog korijena kompleksnog broja.

Pojam kompleksnog broja uvodi se kao proširenje pojma broja i nemogućnosti izvođenja određenih operacija u realnim brojevima. Udžbenik sadrži tabelu sa glavnim numeričkim skupovima i operacijama koje su u njima dozvoljene. Navedeni su minimalni uslovi koje kompleksni brojevi moraju zadovoljiti, a zatim se uvode pojam imaginarne jedinice, definicija kompleksnog broja, jednakost kompleksnih brojeva, njihov zbir, razlika, proizvod i količnik.

Iz geometrijskog modela skupa realnih brojeva prelaze na geometrijski model skupa kompleksnih brojeva. Razmatranje teme "Trigonometrijski oblik pisanja kompleksnog broja" počinje definicijom i svojstvima modula kompleksnog broja. Zatim razmatramo trigonometrijski oblik pisanja kompleksnog broja, definiciju argumenta kompleksnog broja i standardni trigonometrijski oblik kompleksnog broja.

Zatim, proučavamo ekstrakciju kvadratnog korijena kompleksnog broja, rješenje kvadratnih jednadžbi. I u posljednjem pasusu, predstavljena je Moivreova formula i izveden je algoritam za izdvajanje kubnog korijena iz kompleksnog broja.

I u udžbeniku koji se razmatra, u svakom pasusu, paralelno sa teorijskim dijelom, razmatra se nekoliko primjera koji ilustruju teoriju i daju sadržajniju percepciju teme. Date su kratke istorijske činjenice.

kompleksni broj z pozvao izraz, gdje a i in- realni brojevi, i je zamišljena jedinica ili poseban znak.

Slijede sljedeći dogovori:

1) sa izrazom a + bi aritmetičke operacije se mogu izvoditi prema pravilima koja su prihvaćena za literalne izraze u algebri;

5) jednakost a+bi=c+di, gdje su a, b, c, d realni brojevi, postoji ako i samo ako je a=c i b=d.

Poziva se broj 0+bi=bi imaginarni ili čisto imaginarno.

Svaki realni broj a je poseban slučaj kompleksnog broja, jer se može zapisati kao a=a+ 0i. Konkretno, 0=0+0i, ali onda ako je a+bi=0, onda je a+bi=0+0i, dakle a=b=0.

Dakle, kompleksni broj a+bi=0 ako i samo ako je a=0 i b=0.

Zakoni transformacije kompleksnih brojeva slijede iz konvencija:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

(a+bi)+(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ad)i;

Vidimo da je zbir, razlika, proizvod i količnik (gdje djelitelj nije jednak nuli) kompleksnih brojeva, zauzvrat, kompleksan broj.

Broj a pozvao realni dio kompleksnog broja z(označeno) in je imaginarni dio kompleksnog broja z (označen sa ).

Kompleksni broj z sa nula realnog dijela se zove. čisto imaginarno, sa nula imaginarnih - čisto stvarno.

Pozivaju se dva kompleksna broja. jednak, ako imaju iste stvarne i imaginarne dijelove.

Pozivaju se dva kompleksna broja. konjugirani ako imaju supstance. dijelovi se poklapaju, a zamišljeni se razlikuju po znakovima. , zatim konjugat na njega .

Zbir konjugiranih brojeva je broj supstanci, a razlika je čisto imaginarni broj. Na skupu kompleksnih brojeva, operacije množenja i sabiranja brojeva su prirodno definirane. Naime, ako su i dva kompleksna broja, onda je zbroj: ; rad: .

Sada definiramo operacije oduzimanja i dijeljenja.

Imajte na umu da je proizvod dva kompleksna broja broj supstanci.

(jer je i=-1). Ovaj broj se zove modul kvadrat brojevi. Dakle, ako je broj , tada je njegov modul realan broj.

Za razliku od realnih brojeva, za kompleksne brojeve se ne uvodi koncept "više", "manje".

Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva. Realni brojevi su predstavljeni tačkama na brojevnoj pravoj:

Ovdje je poenta A znači broj -3, tačka B je broj 2, i O- nula. Nasuprot tome, kompleksni brojevi su predstavljeni tačkama na koordinatnoj ravni. Za to biramo pravokutne (kartezijanske) koordinate sa istim razmjerima na obje ose. Zatim kompleksni broj a + biće biti predstavljena tačkom P sa apscisom a i ordinatom b(pirinač.). Ovaj koordinatni sistem se zove složena ravan.

modul kompleksni broj naziva se dužina vektora OP, koji prikazuje kompleksan broj na koordinati ( integrisan) avion. Kompleksni broj modula a + bi označeno sa | a + bi| ili pismo r i jednak je:

Konjugirani kompleksni brojevi imaju isti modul. __

Argument kompleksni broj je ugao između osa OX i vektor OP predstavlja ovaj kompleksni broj. Dakle, tan = b / a .

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Uz pisanje kompleksnog broja u algebarskom obliku, koristi se i drugi, tzv trigonometrijski.

Neka je kompleksni broj z=a+bi predstavljen vektorom OA sa koordinatama (a,b). Označimo dužinu OA vektora kao r: r=|OA|, i ugao koji on formira sa pozitivnim smjerom ose Ox kroz ugao φ.

Koristeći definicije funkcija sinφ=b/r, cosφ=a/r, kompleksni broj z=a+bi se može napisati kao z=r(cosφ+i*sinφ), gdje je , a ugao φ određen iz uslove

trigonometrijski oblik kompleksni broj z je njegov prikaz u obliku z=r(cosφ+i*sinφ), gdje su r i φ realni brojevi i r≥0.

Zaista, broj r se zove modul kompleksni broj i označen je sa |z|, a ugao φ je označen argumentom kompleksnog broja z. Argument φ kompleksnog broja z je označen sa Arg z.

Operacije sa kompleksnim brojevima predstavljenim u trigonometrijskom obliku:

To je poznato Moivre formula.

8 .Vektorski prostor. Primjeri i jednostavna svojstva vektorskih prostora. Linearna zavisnost i nezavisnost sistema vektora. Osnova i rang konačnog sistema vektora

Vektorski prostor - matematički koncept koji generalizira koncept totaliteta svih (slobodnih) vektora običnog trodimenzionalnog prostora.

Za vektore u trodimenzionalnom prostoru data su pravila za sabiranje vektora i njihovo množenje realnim brojevima. Primijenjeno na sve vektore x, y, z i bilo koje brojeve α, β ova pravila zadovoljavaju sledeće uslove:

1) X+at=at+X(komutativnost sabiranja);

2)(X+at)+z=x+(y+z) (asocijativnost sabiranja);

3) postoji nulti vektor 0 (ili nulti vektor) koji zadovoljava uslov x+0 =x: za bilo koji vektor x;

4) za bilo koji vektor X postoji suprotan vektor at takav da X+at =0 ,

5) 1 x=X,gdje je 1 jedinica polja

6) α (βx)=(αβ )X(asocijativnost množenja), gdje je proizvod αβ je proizvod skalara

7) (α +β )X=αh+βx(distributivna svojstva u odnosu na numerički faktor);

8) α (X+at)=αh+αy(distributivna svojstva u odnosu na vektorski faktor).

Vektorski (ili linearni) prostor je skup R, koji se sastoji od elemenata bilo koje prirode (zvani vektori), koji definiše operacije sabiranja elemenata i množenja elemenata realnim brojevima koji zadovoljavaju uslove 1-8.

Primjeri takvih prostora su skup realnih brojeva, skup vektora na ravni i u prostoru, matrice itd.

Teorema "Najjednostavnija svojstva vektorskih prostora"

1. Postoji samo jedan nulti vektor u vektorskom prostoru.

2. U vektorskom prostoru, svaki vektor ima jedinstvenu suprotnost.

4. .

Doc-in

Neka je 0 nulti vektor vektorskog prostora V. Tada . Neka je drugi nulti vektor. Onda . Uzmimo u prvom slučaju, au drugom - . Zatim i , odakle slijedi da je , p.t.d.

Prvo dokazujemo da je proizvod nultog skalara i bilo kojeg vektora jednak nultom vektoru.

Neka . Zatim, primjenom aksioma vektorskog prostora, dobijamo:

Što se tiče sabiranja, vektorski prostor je Abelova grupa, a zakon poništavanja vrijedi u bilo kojoj grupi. Primjenjujući zakon redukcije, proizlazi iz posljednje jednakosti 0 * x \u003d 0

Sada dokazujemo tvrdnju 4). Neka je proizvoljan vektor. Onda

Ovo odmah implicira da je vektor (-1)x suprotan vektoru x.

Neka je sada x=0. Zatim, primjenom aksioma vektorskog prostora, dobijamo:

Pretpostavimo da . Budući da , gdje je K polje, postoji . Pomnožimo jednakost na lijevoj strani sa: , što implicira ili 1*x=0 ili x=0

Linearna zavisnost i nezavisnost sistema vektora. Skup vektora naziva se vektorski sistem.

Sistem vektora naziva se linearno zavisnim ako postoje brojevi, koji nisu svi jednaki nuli u isto vrijeme, tako da (1)

Sistem od k vektora naziva se linearno nezavisnim ako je jednakost (1) moguća samo za , tj. kada je linearna kombinacija na lijevoj strani jednakosti (1) trivijalna.

napomene:

1. Jedan vektor takođe čini sistem: za linearno zavisne i za linearno nezavisne.

2. Bilo koji dio sistema vektora naziva se podsistem.

Svojstva linearno zavisnih i linearno nezavisnih vektora:

1. Ako sistem vektora uključuje nulti vektor, onda je on linearno zavisan.

2. Ako postoje dva jednaka vektora u sistemu vektora, onda je on linearno zavisan.

3. Ako postoje dva proporcionalna vektora u sistemu vektora, onda je on linearno zavisan.

4. Sistem k>1 vektora je linearno zavisan ako i samo ako je barem jedan od vektora linearna kombinacija ostalih.

5. Svi vektori uključeni u linearno nezavisan sistem formiraju linearno nezavisan podsistem.

6. Sistem vektora koji sadrži linearno zavisan podsistem je linearno zavisan.

7. Ako je sistem vektora linearno nezavisan, a nakon što mu se doda vektor ispostavi se da je linearno zavisan, tada se vektor može proširiti u vektore i, štaviše, jedini način, tj. koeficijenti ekspanzije se nalaze jedinstveno.

Dokažimo, na primjer, posljednju osobinu. Pošto je sistem vektora linearno zavisan, postoje brojevi koji nisu svi jednaki 0, što jeste. u ovoj jednakosti. Zaista, ako , onda. To znači da je netrivijalna linearna kombinacija vektora jednaka nultom vektoru, što je u suprotnosti sa linearnom nezavisnošću sistema. Stoga, i tada, tj. vektor je linearna kombinacija vektora. Ostaje da se pokaže jedinstvenost takve reprezentacije. Pretpostavimo suprotno. Neka postoje dva proširenja i , i nisu svi koeficijenti proširenja međusobno jednaki (na primjer, ).

Tada iz jednakosti dobivamo .

Stoga je linearna kombinacija vektora jednaka nultom vektoru. Pošto nisu svi njegovi koeficijenti jednaki nuli (najmanje ), ova kombinacija je netrivijalna, što je u suprotnosti sa uslovom linearne nezavisnosti vektora . Nastala kontradikcija potvrđuje jedinstvenost dekompozicije.

Rang i osnova sistema vektora. Rang sistema vektora je maksimalni broj linearno nezavisni vektori sistemi.

Osnova sistema vektora je maksimalni linearno nezavisni podsistem datog sistema vektora.

Teorema. Bilo koji sistemski vektor se može predstaviti kao linearna kombinacija bazni vektori sistema. (Bilo koji vektor sistema se može razložiti na bazne vektore.) Koeficijenti proširenja su jednoznačno određeni za dati vektor i datu bazu.

Doc-in:

Neka sistem ima osnovu.

1 slučaj. Vektor - od osnove. Dakle, jednak je jednom od baznih vektora, recimo . Tada = .

2nd case. Vektor nije iz baze. Tada je r>k.

Razmotrimo sistem vektora. Ovaj sistem je linearno zavisna, jer je baza, tj. maksimalno linearno nezavisan podsistem. Dakle, postoje brojevi sa 1 , sa 2 , ..., sa k , sa, koji nisu svi jednaki nuli, tako da

Očigledno je da (ako je c=0, onda je baza sistema linearno zavisna).

Dokažimo da je proširenje vektora u smislu baze jedinstveno. Pretpostavimo suprotno: postoje dva proširenja vektora u smislu baze.

Oduzimajući ove jednakosti, dobijamo

Razmatrati linearnu nezavisnost baznih vektora, dobijamo

Stoga je proširenje vektora u smislu baze jedinstveno.

Broj vektora u bilo kojoj bazi sistema je isti i jednak je rangu sistema vektora.