Definicija 8.3 (1).
Dužina |z| vektor z = (x, y) naziva se modulom kompleksnog broja z = x + yi
Budući da dužina svake strane trokuta ne prelazi zbir dužina njegove druge dvije strane, a apsolutna vrijednost razlike u dužinama dviju stranica trokuta nije manja od dužine treće strane , tada za bilo koja dva kompleksna broja z 1 i z 2 vrijede nejednakosti
Definicija 8.3 (2).
Argument kompleksnog broja. Ako je φ ugao koji formira vektor z različit od nule sa realnom osom, tada će svaki ugao oblika (φ + 2πn, gdje je n cijeli broj, a samo takav ugao) također biti ugao formiran od strane vektora z sa realnom osom.
Skup svih uglova koje nenulti vektor z = (x, y) formira sa realnom osom naziva se argument kompleksnog broja z = x + yi i označava se sa arg z. Svaki element ovog skupa naziva se vrijednost argumenta broja z (slika 8.3(1)).
Rice. 8.3(1).
Pošto je vektor ravnine različit od nule jedinstveno određen svojom dužinom i uglom koji formira sa x-osom, tada dva kompleksni brojevi, koji su različiti od nule, jednaki su ako i samo ako su njihove apsolutne vrijednosti i argumenti jednaki.
Ako je, na primjer, uvjet 0≤φ nametnut vrijednostima argumenta φ broja z<2π или условие -π<φ≤π, то значение аргумента будет определено однозначно. Такое значение называется главным значением аргумента.
Definicija 8.3.(3)
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Realni i imaginarni dijelovi kompleksnog broja z = x + yi ≠ 0 izražavaju se u smislu njegovog modula r= |z| i argument φ kako slijedi (iz definicije sinusa i kosinusa):
Desna strana ove jednakosti naziva se trigonometrijski oblik kompleksnog broja z. Takođe ćemo ga koristiti za z = 0; u ovom slučaju r = 0, a φ može uzeti bilo koju vrijednost - argument broja 0 nije definiran. Dakle, bilo koji kompleksni broj se može napisati u trigonometrijskom obliku.
Također je jasno da ako se kompleksni broj z zapiše kao
tada je broj r njegov modul, pošto
A φ je jedna od vrijednosti njegovog argumenta
Trigonometrijski oblik pisanja kompleksnih brojeva može biti zgodan za korištenje pri množenju kompleksnih brojeva, posebno vam omogućava da saznate geometrijsko značenje proizvoda kompleksnih brojeva.
Pronađimo formule za množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku njihovog zapisa. Ako
zatim po pravilu množenja kompleksnih brojeva (koristeći formule za sinus i kosinus zbroja)
Dakle, kada se množe kompleksni brojevi, njihove apsolutne vrijednosti se množe, a argumenti se dodaju:
Primenjujući ovu formulu sukcesivno na n kompleksnih brojeva, dobijamo
Ako su svih n brojeva jednaki, dobijamo
Gdje da
izvedeno
Dakle, za kompleksni broj čija je apsolutna vrijednost 1 (dakle, ima oblik
Ova jednakost se zove De Moivre formule
Drugim riječima, kada se dijele kompleksni brojevi, dijele se njihovi moduli,
a argumenti se oduzimaju.
Primjeri 8.3(1).
Nacrtajte na kompleksnoj ravni C skup tačaka koje zadovoljavaju sljedeće uslove:
Kompleksni broj je broj oblika z = x + i * y, gdje su x i y realni brojevi, i i = imaginarna jedinica (tj. broj čiji je kvadrat -1). Definisati koncept argument sveobuhvatan brojevi, potrebno je uzeti u obzir kompleksni broj na kompleksnoj ravni u polarnom koordinatnom sistemu.
Uputstvo
Avion na kome se nalazi kompleks brojevi, naziva se složenim. Na ovoj ravni horizontalnu osu zauzima real brojevi(x), a vertikalna os - imaginarna brojevi(y). Na takvoj ravni, broj je dan sa dvije koordinate z = (x, y). U polarnom koordinatnom sistemu, koordinate tačke su modul i argument. Modul je udaljenost |z| od tačke do početka. Argument je ugao između vektora koji povezuje tačku i ishodište i horizontalne ose koordinatnog sistema (vidi sliku).
Sa slike se vidi da je modul kompleksa brojevi z = x + i * y se nalazi po Pitagorinoj teoremi: |z| = ? (x^2 + y^2). Dalji argument brojevi z se nalazi kao oštar ugao trokuta - kroz vrednosti trigonometrijskih funkcija sin, cos, tg:sin = y / ? (x^2 + y^2),
cos = x/? (x^2 + y^2),
tg = y / x.
Na primjer, neka je zadan broj z = 5 * (1 + ?3 * i). Prije svega, odaberite stvarni i imaginarni dio: z = 5 +5 * ?3 * i. Ispada da je realni dio x = 5, a imaginarni dio y = 5 * ?3. Izračunajte modul brojevi: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Zatim pronađite sinus kuta: sin = 5 / 10 = 1 / 2. Ovo daje argument brojevi z je 30°.
Primjer 2. Neka je zadan broj z = 5 * i. Slika pokazuje da je ugao = 90°. Provjerite ovu vrijednost pomoću gornje formule. Zapišite koordinate ovoga brojevi na kompleksnoj ravni: z = (0, 5). Modul brojevi|z| = 5. Tangent ugla tg = 5 / 5 = 1. Iz toga slijedi da je = 90°.
Primjer 3. Neka je potrebno pronaći argument zbira dva kompleksna broja z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. Prema pravilima sabiranja, zbrojite ova dva kompleksa brojevi: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Nadalje, prema gornjoj shemi, izračunajte argument: tg = 9 / 3 = 3.
Odgovara ovom broju: .
Modul kompleksnog broja z obično se označava sa | z| ili r.
Neka su i realni brojevi takvi da je kompleksan broj (uobičajena notacija). Onda
Wikimedia fondacija. 2010 .
Pogledajte šta je "Modulus kompleksnog broja" u drugim rječnicima:
modul kompleksnog broja- kompleksinio skaičiaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. modul kompleksnog broja vok. Betrag der complexen Zahl, m rus. modul kompleksnog broja, m pranc. module du nombre complexe, m … Fizikos terminų žodynas
- (modulus) Veličina broja u smislu njegove udaljenosti od 0. Modul, ili apsolutna vrijednost realnog broja x (označenog sa |x|), je razlika između x i 0, bez obzira na predznak. Dakle, ako je x0, onda |x|=x i ako je x 0, onda |x|=–x... Ekonomski rječnik
Za kompleksni broj pogledajte apsolutnu vrijednost. Modul prijelaza iz sistema logaritama na bazi a u sistem na bazi b je broj 1/logab ... Veliki enciklopedijski rječnik
Apsolutna vrijednost ili modul realnog ili kompleksnog broja x je udaljenost od x do početka. Preciznije: apsolutna vrijednost realnog broja x je nenegativan broj označen sa |x| i definisan na sljedeći način: ... ... Wikipedia
Modul iz matematike, 1) M. (ili apsolutna vrijednost) kompleksnog broja z \u003d x + iy je broj ═ (korijen se uzima sa znakom plus). Prilikom predstavljanja kompleksnog broja z u trigonometrijskom obliku z \u003d r (cos j + i sin j), pravi broj r je ... ...
- (u matematici) mjera za poređenje homogenih veličina i za izražavanje jedne od njih korištenjem druge; m se izražava kao broj. Rječnik stranih riječi uključenih u ruski jezik. Pavlenkov F., 1907. MODUL (lat.). 1) broj kojim se množe ... ... Rečnik stranih reči ruskog jezika
MODUL kompleksnog broja, vidi Apsolutna vrijednost (vidi APSOLUTNA VRIJEDNOST). Modul prijelaza iz sistema logaritama na bazi a u sistem na bazi b je broj 1/logab ... enciklopedijski rječnik
I Modul (od latinskog modulus mjera) u arhitekturi, konvencionalna jedinica usvojena za koordinaciju dimenzija dijelova zgrade ili kompleksa. U arhitekturi različitih naroda, u zavisnosti od karakteristika građevinske opreme i sastava zgrada za M. ... ... Velika sovjetska enciklopedija
I; m. [od lat. mjera modula] 1. šta. Specijalista. Vrijednost koja karakterizira ono što l. svojstvo krutog tijela. M. kompresija. M. elastičnost. 2. Math. Realan broj, apsolutna vrijednost negativnog ili pozitivnog broja. M. kompleksni broj. M... enciklopedijski rječnik
Numerička karakteristika bilo koje matematike. objekt. Obično je vrijednost M. nenegativan realan broj, element koji ima određene karakteristike. svojstva zbog svojstava skupa objekata koji se razmatraju. Koncept M...... Mathematical Encyclopedia
Koji predstavlja dati kompleksni broj $z=a+bi$ naziva se modul datog kompleksnog broja.
Modul datog kompleksnog broja izračunava se pomoću sljedeće formule:
Primjer 1
Izračunajte modul datih kompleksnih brojeva $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.
Modul kompleksnog broja $z=a+bi$ izračunava se po formuli: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.
Za originalni kompleksni broj $z_(1) =13$ dobijamo $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) =13$
Za originalni kompleksni broj $\, z_(2) =4i$ dobijamo $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$
Za originalni kompleksni broj $\, z_(3) =4+3i$ dobijamo $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$
Definicija 2
Ugao $\varphi $ formiran pozitivnim smjerom realne ose i vektorom radijusa $\overrightarrow(OM) $, koji odgovara datom kompleksnom broju $z=a+bi$, naziva se argumentom ovog broja i je označen sa $\arg z$.
Napomena 1
Modul i argument datog kompleksnog broja se eksplicitno koriste kada se kompleksni broj predstavlja u trigonometrijskom ili eksponencijalnom obliku:
- $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - trigonometrijski oblik;
- $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ je eksponencijalni oblik.
Primjer 2
Napišite kompleksni broj u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku date sljedećim podacima: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.
1) Zamijenite podatke $r=3;\varphi =\pi $ u odgovarajuće formule i dobijete:
$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - trigonometrijski oblik
$z=3\cdot e^(i\pi ) $ je eksponencijalni oblik.
2) Zamijenite podatke $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ u odgovarajuće formule i dobijete:
$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - trigonometrijski oblik
$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ je eksponencijalni oblik.
Primjer 3
Odredite modul i argument datih kompleksnih brojeva:
1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.
Modul i argument pronalazimo koristeći formule za pisanje datog kompleksnog broja u trigonometrijskom, odnosno eksponencijalnom obliku
\ \
1) Za originalni kompleksni broj $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ dobijamo $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .
2) Za originalni kompleksni broj $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ mi dobiti $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $.
3) Za originalni kompleksni broj $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ dobijamo $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.
4) Za originalni kompleksni broj $z=13\cdot e^(i\pi ) $ dobijamo $r=13;\varphi =\pi $.
Argument $\varphi $ datog kompleksnog broja $z=a+bi$ može se izračunati korištenjem sljedećih formula:
\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) .\]
U praksi, za izračunavanje vrijednosti argumenta datog kompleksnog broja $z=a+bi$, obično se koristi sljedeća formula:
$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi ,a
ili riješiti sistem jednačina
$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \end(array)\right. $. (**)
Primjer 4
Izračunajte argument datih kompleksnih brojeva: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.
Pošto je $z=3$, onda je $a=3,b=0$. Izračunajte argument originalnog kompleksnog broja koristeći formulu (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]
Pošto je $z=4i$, onda je $a=0,b=4$. Izračunajte argument originalnog kompleksnog broja koristeći formulu (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2) .\]
Pošto je $z=1+i$, onda je $a=1,b=1$. Izračunajte argument originalnog kompleksnog broja rješavanjem sistema (**):
\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \end(niz)\desno. .\]
Iz kursa trigonometrije je poznato da je $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ za ugao koji odgovara prvom koordinatnom kvadrantu i jednak je $\varphi =\frac (\pi )( 4) $.
Pošto je $z=-5$, onda je $a=-5,b=0$. Izračunajte argument originalnog kompleksnog broja koristeći formulu (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]
Pošto je $z=-2i$, onda je $a=0,b=-2$. Izračunajte argument originalnog kompleksnog broja koristeći formulu (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]
Napomena 2
Broj $z_(3) $ predstavljen je tačkom $(0;1)$, stoga je dužina odgovarajućeg radijus vektora jednaka 1, tj. $r=1$, a argument $\varphi =\frac(\pi )(2) $ prema napomeni 3.
Broj $z_(4) $ predstavljen je tačkom $(0;-1)$, stoga je dužina odgovarajućeg radijus vektora jednaka 1, tj. $r=1$, a argument $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ prema napomeni 3.
Broj $z_(5) $ predstavljen je tačkom $(2;2)$, stoga je dužina odgovarajućeg radijus vektora jednaka $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, tj. $r=2\sqrt(2) $, a argument $\varphi =\frac(\pi )(4) $ svojstvom pravouglog trougla.
Kompleksni brojevi
Imaginarno I kompleksni brojevi. Apscisa i ordinata
kompleksni broj. Konjugirajte kompleksne brojeve.
Operacije sa kompleksnim brojevima. Geometrijski
predstavljanje kompleksnih brojeva. složena ravan.
Modul i argument kompleksnog broja. trigonometrijski
oblik kompleksnog broja. Operacije sa kompleksom
brojevi u trigonometrijskom obliku. Moivre formula.
Osnovne informacije o imaginarni I kompleksni brojevi dati su u dijelu "Zamišljeni i kompleksni brojevi". Potreba za ovim brojevima novog tipa pojavila se prilikom rješavanja kvadratnih jednadžbi za slučaj
D< 0 (здесь Dje diskriminanta kvadratne jednačine). Dugo vremena ovi brojevi nisu našli fizičku upotrebu, zbog čega su nazvani "imaginarni" brojevi. Međutim, sada se vrlo široko koriste u različitim poljima fizike.i tehnologija: elektrotehnika, hidro- i aerodinamika, teorija elastičnosti itd.
Kompleksni brojevi su napisani kao:a+bi. Evo a I b – realni brojevi , ali i – imaginarna jedinica. e. i 2 = –1. Broj a pozvao apscisa, a b - ordinatakompleksni broja + b .Dva kompleksna brojaa+bi I a-bi pozvao konjugirati kompleksni brojevi.
Glavni dogovori:
1. Realni broj
alitakođe može biti napisan u formikompleksni broj:a + 0 i ili a - 0 i. Na primjer, unosi 5 + 0i i 5 - 0 iznači isti broj 5 .2. Kompleksni broj 0 + bipozvao čisto imaginarno broj. Snimanjebiznači isto što i 0 + bi.
3. Dva kompleksna brojaa+bi Ic + dismatraju se jednakim akoa = c I b = d. Inače kompleksni brojevi nisu jednaki.
Dodatak. Zbir kompleksnih brojevaa+bi I c + dinaziva se kompleksnim brojem (a+c ) + (b+d ) i .Na ovaj način, kada se doda kompleksni brojevi, njihove apscise i ordinate se dodaju posebno.
Ova definicija prati pravila za rad sa običnim polinomima.
Oduzimanje. Razlika između dva kompleksna brojaa+bi(smanjeno) i c + di(oduzeto) se naziva kompleksnim brojem (a-c ) + (b-d ) i .
Na ovaj način, pri oduzimanju dva kompleksna broja, njihove apscise i ordinate se oduzimaju odvojeno.
Množenje. Proizvod kompleksnih brojevaa+bi I c + di naziva se kompleksnim brojem.
(ac-bd ) + (ad+bc ) i .Ova definicija proizilazi iz dva zahtjeva:
1) brojevi a+bi I c + ditreba da se množi kao algebarski binomi,
2) broj iima glavnu imovinu:i 2 = – 1.
PRIMJER ( a + bi )(a-bi) = a 2 +b 2 . shodno tome, rad
dva konjugirana kompleksna broja jednaka je realnom
pozitivan broj.
divizija. Podijelite kompleksan broja+bi (djeljivo) na druguc + di(razdjelnik) - znači pronaći treći broje + fi(chat), koji, kada se pomnoži sa djeliteljemc + di, što rezultira dividendoma + b .
Ako djelitelj nije nula, dijeljenje je uvijek moguće.
PRIMJER Pronađite (8+i ) : (2 – 3 i) .
Rješenje. Prepišimo ovaj omjer kao razlomak:
Množenjem brojioca i imenioca sa 2 + 3i
I nakon izvođenja svih transformacija dobijamo:
Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva. Realni brojevi su predstavljeni tačkama na brojevnoj pravoj:
Ovdje je poenta Aznači broj -3, tačkaB je broj 2, i O- nula. Nasuprot tome, kompleksni brojevi su predstavljeni tačkama na koordinatnoj ravni. Za to biramo pravougaone (kartezijanske) koordinate sa istim razmerama na obe ose. Zatim kompleksni broja+bi će biti predstavljena tačkom P sa apscisom a i ordinata b (vidi sl.). Ovaj koordinatni sistem se zove složena ravan .
modul kompleksni broj naziva se dužina vektoraOP, koji prikazuje kompleksan broj na koordinati ( integrisan) avion. Kompleksni broj modulaa+bi označeno sa | a+bi| ili pismo r