Sistem linearne jednačine ima oblik

gdje - koeficijenti; - slobodni članovi; su nepoznate količine.

Rješenje ovog sistema je skup brojeva koji, zamjenjujući nepoznanice u jednačinama, pretvaraju ove jednačine u identitete. Sistem jednačina naziva se konzistentan ako ima barem jedno rješenje. Ako sistem nema rješenje, onda se naziva nedosljednim.

Zajednički sistem naziva se definitivnim ako ima samo jedno rješenje, a neodređenim ako ima više rješenja.

nazivaju se matrica i proširena matrica sistema (2), respektivno.

Kronecker-Capelli teorema. Da bi sistem (2) bio kompatibilan, potrebno je i dovoljno da rang matrice ovog sistema bude jednak rangu proširene matrice:

Cramerovo pravilo. Ako je rang matrice zglobnog sistema jednak je broju njegove nepoznanice, onda je sistem određen. Ako se broj nepoznanica u sistemu (2) poklapa sa brojem jednačina i matrica sistema je nedegenerisana, onda sistem ima jedinstveno rešenje, koje se nalazi prema Cramerovom pravilu:

U ovim formulama, je determinanta sistema, i determinanta je dobijena iz determinante sistema zamenom kolone sa kolonom slobodnih članova

Matrično rješenje sistema. Sistem linearnih jednačina (2) može se napisati u matričnom obliku

gdje je A matrica sistema; X - kolona matrica nepoznatih; B - matrica-kolona slobodnih članova. Ako je matrica A kvadratna i nesingularna, tada se rješenje sistema (3) može zapisati u matričnom obliku:

Ekvivalentni sistemi jednačina. Za dva sistema linearnih jednačina se kaže da su ekvivalentna ako su skupovi njihovih rješenja isti. Pronalaženje rješenja sistema linearnih jednačina zasniva se na prelasku na ekvivalentni sistem koji je jednostavniji od prvobitnog. Navodimo najjednostavnije operacije koje vode do ekvivalentnog sistema:

1) zamena dve jednačine u sistemu;

2) množenje bilo koje jednačine sistema sa pravi broj(osim nule);

3) dodavanjem jedne jednačine druge jednačine, pomnožene proizvoljnim brojem.

Nepoznata se naziva razriješenom ili osnovnom ako je bilo koja jednačina sistema sadrži sa koeficijentom 1 i nije uključena u sve ostale jednačine.

Ako svaka jednadžba sistema sadrži razriješenu nepoznanicu, onda se takav sistem naziva riješenim. Njegove nepoznanice, koje nisu osnovne, nazivaju se slobodnim.

Za pronalaženje svih rješenja konzistentnog sistema linearnih jednačina, dovoljno je pronaći ekvivalentni dozvoljeni sistem. Ako se sve nepoznanice pokažu kao osnovne, tada razriješeni sistem daje vrijednosti ovih nepoznanica koje čine jedinstveno rješenje originalnog sistema. Inače, osnovne nepoznanice se izražavaju u terminima slobodnih.

Jordan-Gaussova metoda. Sistem linearnih jednadžbi (2) zapisujemo u obliku tabele

Jordanova transformacija sistema sa elementom za razrješenje je sljedeći niz akcija:

1) množenje reda tabele brojem;

2) dodavanje u prvi red tabele njegovog reda (dobijenog nakon prve radnje), pomnoženog sa -

3) dodavanje u drugi red linije pomnožene sa -, itd.

Nakon ovih transformacija, nepoznata će se riješiti, svi koeficijenti kolone će biti jednaki nuli, osim

Izvođenjem uzastopnih Jordanovih transformacija sa razlučujućim elementima uzetim u različitim redovima, dobijamo dozvoljeni sistem ekvivalentan originalnom.

Ako se, kao rezultat transformacija, svi koeficijenti za nepoznate u nekom redu ispostavi da su jednaki nuli, a slobodni član ovog reda nije jednak nuli, onda je ovaj sistem jednačina nekonzistentan. Ako dobijete string koji se sastoji samo od nula, onda se briše iz tabele.

Primjer 1. Riješite sistem jednačina

Rješenje. Ovaj sistem pišemo u obliku tabele i transformišemo ga u dozvoljeni oblik u šest koraka.

Sistem od m linearnih jednadžbi sa n nepoznatih naziva sistem forme

gdje aij I b i (i=1,…,m; b=1,…,n) su neki poznati brojevi, i x 1 ,…,x n- nepoznato. U zapisu koeficijenata aij prvi indeks i označava broj jednačine, a drugi j je broj nepoznate na kojoj stoji ovaj koeficijent.

Koeficijenti za nepoznate biće zapisani u obliku matrice , koje ćemo nazvati sistemska matrica.

Brojevi na desnoj strani jednadžbe b 1 ,…,b m pozvao besplatni članovi.

Agregat n brojevi c 1 ,…,c n pozvao odluka ovog sistema, ako svaka jednadžba sistema postane jednakost nakon zamjene brojeva u nju c 1 ,…,c n umjesto odgovarajućih nepoznanica x 1 ,…,x n.

Naš zadatak će biti pronaći rješenja za sistem. U ovom slučaju mogu se pojaviti tri situacije:

Zove se sistem linearnih jednačina koji ima najmanje jedno rješenje joint. Inače, tj. ako sistem nema rješenja, onda se zove nekompatibilno.

Razmotrite načine za pronalaženje rješenja za sistem.

MATRIČNA METODA ZA RJEŠAVANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA

Matrice omogućavaju da se ukratko zapiše sistem linearnih jednačina. Neka je zadan sistem od 3 jednadžbe sa tri nepoznate:

Razmotrimo matricu sistema i matrične kolone nepoznatih i slobodnih članova

Hajde da pronađemo proizvod

one. kao rezultat proizvoda dobijamo leve strane jednadžbi ovog sistema. Zatim koristeći definiciju matrične jednakosti ovaj sistem može se napisati u obliku

ili kraće A∙X=B.

Evo matrice A I B poznati su i matrica X nepoznato. Treba je pronaći, jer. njegovi elementi su rješenje ovog sistema. Ova jednačina se zove matrična jednačina.

Neka je determinanta matrice različita od nule | A| ≠ 0. Tada se matrična jednačina rješava na sljedeći način. Pomnožite obje strane jednačine na lijevoj strani matricom A-1, inverzno od matrice A: . Ukoliko A -1 A = E I E∙X=X, tada dobijamo rješenje matrične jednadžbe u obliku X = A -1 B .

Imajte na umu da budući da se inverzna matrica može pronaći samo za kvadratne matrice, onda matrična metoda može riješiti samo one sisteme u kojima broj jednačina je isti kao i broj nepoznatih. Međutim, matrična notacija sistema je moguća i u slučaju kada broj jednačina nije jednak broju nepoznanica, tada je matrica A nije kvadratna i stoga je nemoguće pronaći rješenje sistema u obliku X = A -1 B.

Primjeri. Rješavanje sistema jednačina.

CRAMEROVO PRAVILO

Razmotrimo sistem od 3 linearne jednadžbe sa tri nepoznate:

Determinanta trećeg reda koja odgovara matrici sistema, tj. sastavljena od koeficijenata na nepoznatim,

pozvao sistemska determinanta.

Sastavljamo još tri determinante na sljedeći način: zamjenjujemo sukcesivno 1, 2 i 3 stupca u determinanti D kolonom slobodnih članova

Tada možemo dokazati sljedeći rezultat.

Teorema (Cramerovo pravilo). Ako je determinanta sistema Δ ≠ 0, onda sistem koji se razmatra ima jedno i samo jedno rješenje, i

Dokaz. Dakle, razmotrite sistem od 3 jednačine sa tri nepoznate. Pomnožite 1. jednačinu sistema sa algebarskim komplementom A 11 element a 11, 2. jednačina - na A21 i 3. - na A 31:

Dodajmo ove jednačine:

Razmotrimo svaku od zagrada i desnu stranu ove jednačine. Po teoremi o proširenju determinante u smislu elemenata 1. stupca

Slično, može se pokazati da i .

Konačno, to je lako uočiti

Dakle, dobijamo jednakost: .

Shodno tome, .

Jednakosti i se izvode na sličan način, odakle slijedi tvrdnja teoreme.

Dakle, primjećujemo da ako je determinanta sistema Δ ≠ 0, onda sistem ima jedinstveno rješenje i obrnuto. Ako je determinanta sistema jednaka nuli, onda sistem ili ima beskonačan skup rješenja ili nema rješenja, tj. nekompatibilno.

Primjeri. Riješite sistem jednačina

GAUSSOVA METODA

Prethodno razmatrane metode mogu se koristiti za rješavanje samo onih sistema u kojima se broj jednačina poklapa sa brojem nepoznanica, a determinanta sistema mora biti različita od nule. Gausova metoda je univerzalnija i pogodna je za sisteme s bilo kojim brojem jednačina. Sastoji se u sukcesivnom eliminisanju nepoznatih iz jednačina sistema.

Razmotrite ponovo sistem tri jednačine sa tri nepoznanice:

.

Prvu jednačinu ostavljamo nepromijenjenom, a iz 2. i 3. isključujemo članove koji sadrže x 1. Da bismo to učinili, drugu jednačinu podijelimo sa ali 21 i pomnoži sa - ali 11, a zatim saberite sa 1. jednačinom. Slično, dijelimo treću jednačinu na ali 31 i pomnoži sa - ali 11, a zatim ga dodajte prvom. Kao rezultat, originalni sistem će poprimiti oblik:

Sada, iz posljednje jednačine, eliminiramo pojam koji sadrži x2. Da biste to učinili, podijelite treću jednačinu sa , pomnožite sa i dodajte je drugoj. Tada ćemo imati sistem jednačina:

Stoga je iz posljednje jednačine lako pronaći x 3, zatim iz 2. jednačine x2 i konačno od 1. - x 1.

Kada se koristi Gaussova metoda, jednadžbe se mogu zamijeniti ako je potrebno.

Često umjesto pisanja novi sistem jednadžbe su ograničene na ispisivanje proširene matrice sistema:

a zatim ga dovedite u trouglasti ili dijagonalni oblik koristeći elementarne transformacije.

TO elementarne transformacije matrice uključuju sljedeće transformacije:

1. permutacija redova ili kolona;
2. množenje niza brojem koji nije nula;
3. dodajući u jedan red druge redove.

primjeri: Riješite sisteme jednačina Gaussovom metodom.

Dakle, sistem ima beskonačan broj rješenja.

Sistemi jednadžbi se široko koriste u ekonomskoj industriji sa matematičko modeliranje razne procese. Na primjer, prilikom rješavanja problema upravljanja i planiranja proizvodnje, logističkih ruta (problem transporta) ili smještaja opreme.

Sistemi jednačina se koriste ne samo u oblasti matematike, već iu fizici, hemiji i biologiji, kada se rešavaju problemi određivanja veličine populacije.

Sistem linearnih jednačina je pojam za dvije ili više jednačina sa više varijabli za koje je potrebno pronaći zajedničko rješenje. Takav niz brojeva za koji sve jednačine postaju istinite jednakosti ili dokazuju da niz ne postoji.

Linearna jednačina

Jednačine oblika ax+by=c nazivaju se linearne. Oznake x, y su nepoznanice, čija se vrijednost mora pronaći, b, a su koeficijenti varijabli, c je slobodni član jednačine.
Rješavanje jednadžbe iscrtavanjem njenog grafika izgledat će kao prava linija, čije su sve točke rješenje polinoma.

Vrste sistema linearnih jednačina

Najjednostavniji su primjeri sistema linearnih jednadžbi s dvije varijable X i Y.

F1(x, y) = 0 i F2(x, y) = 0, gdje su F1,2 funkcije, a (x, y) funkcionalne varijable.

Riješite sistem jednačina - to znači pronaći takve vrijednosti (x, y) za koje sistem postaje istinska jednakost, ili utvrditi da ne postoje odgovarajuće vrijednosti za x i y.

Par vrijednosti (x, y), zapisan kao koordinate tačke, naziva se rješenjem sistema linearnih jednadžbi.

Ako sistemi imaju jedno zajedničko rješenje ili ne postoji rješenje, nazivaju se ekvivalentnim.

Homogeni sistemi linearnih jednačina su sistemi čija je desna strana jednaka nuli. Ako desni dio iza znaka "jednako" ima vrijednost ili je izražen funkcijom, takav sistem nije homogen.

Broj varijabli može biti mnogo veći od dvije, tada bi trebalo govoriti o primjeru sistema linearnih jednačina sa tri ili više varijable.

Suočeni sa sistemima, školarci pretpostavljaju da se broj jednačina nužno mora podudarati s brojem nepoznanica, ali to nije tako. Broj jednačina u sistemu ne zavisi od varijabli, može ih biti proizvoljno veliki broj.

Jednostavne i složene metode za rješavanje sistema jednačina

Ne postoji opći analitički način rješavanja ovakvih sistema, sve metode su bazirane na numeričkim rješenjima. Školski predmet matematike detaljno opisuje metode kao što su permutacija, algebarsko sabiranje, supstitucija, kao i grafička i matrična metoda, rješenja Gaussovom metodom.

Osnovni zadatak u nastavi metoda rješavanja je naučiti kako pravilno analizirati sistem i pronaći optimalni algoritam rješenja za svaki primjer. Glavna stvar nije zapamtiti sistem pravila i radnji za svaku metodu, već razumjeti principe primjene određene metode.

Rješenje primjera sistema linearnih jednačina 7. razreda opšteobrazovnog programa prilično je jednostavno i detaljno je objašnjeno. U svakom udžbeniku matematike, ovom dijelu se posvećuje dovoljno pažnje. Rješenje primjera sistema linearnih jednačina po metodi Gauss-a i Cramera detaljnije se proučava na prvim kursevima visokoškolskih ustanova.

Rješenje sistema metodom supstitucije

Radnje metode zamjene imaju za cilj izražavanje vrijednosti jedne varijable kroz drugu. Izraz se zamjenjuje u preostalu jednačinu, a zatim se svodi na jedan oblik varijable. Akcija se ponavlja u zavisnosti od broja nepoznatih u sistemu

Dajemo primjer sistema linearnih jednadžbi 7. klase metodom zamjene:

Kao što se može vidjeti iz primjera, varijabla x je izražena kroz F(X) = 7 + Y. Rezultirajući izraz, zamijenjen u 2. jednadžbu sistema umjesto X, pomogao je da se dobije jedna varijabla Y u 2. jednačini . Rješenje ovog primjera ne izaziva poteškoće i omogućava vam da dobijete vrijednost Y. Zadnji korak je provjera dobivenih vrijednosti.

Nije uvijek moguće riješiti primjer sistema linearnih jednačina zamjenom. Jednačine mogu biti složene i izraz varijable u terminima druge nepoznate bit će previše glomazan za dalje proračune. Kada postoji više od 3 nepoznate u sistemu, rješenje zamjene je također nepraktično.

Rješenje primjera sistema linearnih nehomogenih jednadžbi:

Rješenje korištenjem algebarskog sabiranja

Prilikom traženja rješenja sistema metodom sabiranja, zbrajanjem po članu i množenjem jednačina sa razni brojevi. Krajnji cilj matematičkih operacija je jednačina sa jednom promenljivom.

Za aplikacije ovu metodu potrebna je praksa i posmatranje. Nije lako riješiti sistem linearnih jednadžbi metodom sabiranja sa brojem varijabli 3 ili više. Algebarsko sabiranje je korisno kada jednadžbe sadrže razlomke i decimalne brojeve.

Algoritam akcije rješenja:

1. Pomnožite obje strane jednačine nekim brojem. Kao rezultat aritmetička operacija jedan od koeficijenata varijable mora postati jednak 1.
2. Dodajte rezultirajući izraz pojam po član i pronađite jednu od nepoznatih.
3. Zamijenite rezultujuću vrijednost u 2. jednadžbu sistema da biste pronašli preostalu varijablu.

Metoda rješenja uvođenjem nove varijable

Nova varijabla se može uvesti ako sistem treba da pronađe rješenje za najviše dvije jednačine, broj nepoznatih također ne smije biti veći od dvije.

Metoda se koristi za pojednostavljenje jedne od jednadžbi uvođenjem nove varijable. Nova jednačina se rješava s obzirom na unesenu nepoznatu, a rezultirajuća vrijednost se koristi za određivanje originalne varijable.

Primjer pokazuje da je uvođenjem nove varijable t bilo moguće svesti 1. jednadžbu sistema na standardnu kvadratni trinom. Polinom možete riješiti pronalaženjem diskriminanta.

Potrebno je pronaći vrijednost diskriminanta koristeći dobro poznatu formulu: D = b2 - 4*a*c, gdje je D željeni diskriminant, b, a, c su množitelji polinoma. U datom primjeru, a=1, b=16, c=39, dakle D=100. Ako je diskriminanta veća od nule, tada postoje dva rješenja: t = -b±√D / 2*a, ako je diskriminanta manja od nule, postoji samo jedno rješenje: x= -b / 2*a.

Rješenje za rezultirajuće sisteme nalazi se metodom sabiranja.

Vizuelna metoda za rješavanje sistema

Pogodno za sisteme sa 3 jednačine. Metoda je da se nadogradi koordinatna osa grafike svake jednačine uključene u sistem. Koordinate tačaka preseka krivih biće opšte rešenje sistema.

Grafička metoda ima niz nijansi. Razmotrimo nekoliko primjera rješavanja sistema linearnih jednadžbi na vizuelni način.

Kao što se može vidjeti iz primjera, za svaku liniju su konstruirane dvije tačke, vrijednosti varijable x su odabrane proizvoljno: 0 i 3. Na osnovu vrijednosti x pronađene su vrijednosti za y: 3 i 0. Tačke sa koordinatama (0, 3) i (3, 0) označene su na grafikonu i povezane linijom.

Koraci se moraju ponoviti za drugu jednačinu. Tačka preseka pravih je rešenje sistema.

U sljedećem primjeru potrebno je pronaći grafičko rješenje za sistem linearnih jednačina: 0,5x-y+2=0 i 0,5x-y-1=0.

Kao što se može vidjeti iz primjera, sistem nema rješenja, jer su grafovi paralelni i ne seku se cijelom dužinom.

Sistemi iz primjera 2 i 3 su slični, ali kada se konstruišu, postaje očigledno da su njihova rješenja različita. Treba imati na umu da nije uvijek moguće reći da li sistem ima rješenje ili ne, uvijek je potrebno izgraditi graf.

Matrica i njene varijante

Matrice se koriste za kratko zapisivanje sistema linearnih jednačina. Matrica je posebna vrsta tabele ispunjene brojevima. n*m ima n - redova i m - kolona.

Matrica je kvadratna kada je broj kolona i redova jednak. Matrica-vektor je matrica sa jednim stupcem sa beskonačno mogućim brojem redova. Matrica s jedinicama duž jedne od dijagonala i drugim nultim elementima naziva se identitet.

Inverzna matrica je takva matrica, kada se pomnoži s kojom se originalna pretvara u jediničnu, takva matrica postoji samo za originalnu kvadratnu.

Pravila za transformaciju sistema jednačina u matricu

Što se tiče sistema jednačina, koeficijenti i slobodni članovi jednačina zapisuju se kao brojevi matrice, jedna jednačina je jedan red matrice.

Red matrice se naziva nenultim ako barem jedan element reda nije jednak nuli. Stoga, ako se u bilo kojoj od jednadžbi razlikuje broj varijabli, tada je potrebno unijeti nulu umjesto nepoznate koja nedostaje.

Kolone matrice moraju striktno odgovarati varijablama. To znači da se koeficijenti varijable x mogu upisati samo u jedan stupac, na primjer prvi, koeficijent nepoznatog y - samo u drugi.

Prilikom množenja matrice, svi elementi matrice se sekvencijalno množe brojem.

Opcije za pronalaženje inverzne matrice

Formula za pronalaženje inverzne matrice je prilično jednostavna: K -1 = 1 / |K|, gdje je K -1 - inverzna matrica, i |K| - matrična determinanta. |K| ne smije biti jednak nuli, tada sistem ima rješenje.

Determinanta se lako izračunava za matricu dva po dva, potrebno je samo pomnožiti elemente dijagonalno jedan s drugim. Za opciju "tri po tri" postoji formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Možete koristiti formulu, ili se možete sjetiti da trebate uzeti po jedan element iz svakog reda i svake kolone kako se brojevi stupaca i redova elemenata ne bi ponavljali u proizvodu.

Rješenje primjera sistema linearnih jednadžbi matričnom metodom

Matrična metoda pronalaženja rješenja omogućava smanjenje glomaznih unosa pri rješavanju sistema sa velikim brojem varijabli i jednačina.

U primjeru, a nm su koeficijenti jednadžbi, matrica je vektor x n su varijable, a b n su slobodni članovi.

Rješenje sistema Gaussovom metodom

IN višu matematiku Gaussova metoda se proučava zajedno sa Cramer metodom, a proces pronalaženja rješenja za sisteme naziva se Gauss-Cramerovom metodom rješenja. Ove metode se koriste za pronalaženje varijabli sistema sa velikim brojem linearnih jednačina.

Gausova metoda je vrlo slična rješenjima zamjene i algebarskog sabiranja, ali je sistematičnija. U školskom predmetu se koristi Gausovo rješenje za sisteme od 3 i 4 jednačine. Svrha metode je da se sistem dovede u oblik obrnutog trapeza. Algebarskim transformacijama i supstitucijama, vrijednost jedne varijable se nalazi u jednoj od jednačina sistema. Druga jednačina je izraz sa 2 nepoznate, a 3 i 4 - sa 3 i 4 varijable, respektivno.

Nakon dovođenja sistema u opisani oblik, dalje rješenje se svodi na sekvencijalnu zamjenu poznatih varijabli u jednačine sistema.

U školskim udžbenicima za 7. razred primjer Gaussovog rješenja je opisan na sljedeći način:

Kao što se može vidjeti iz primjera, u koraku (3) su dobijene dvije jednačine 3x 3 -2x 4 =11 i 3x 3 +2x 4 =7. Rješenje bilo koje od jednadžbi će vam omogućiti da saznate jednu od varijabli x n.

Teorema 5, koja se spominje u tekstu, kaže da ako se jedna od jednačina sistema zamijeni ekvivalentnom, onda će i rezultirajući sistem biti ekvivalentan izvornom.

Učenicima je teško razumjeti Gaussovu metodu srednja škola, ali je jedan od najzanimljivijih načina za razvijanje domišljatosti djece upisane na napredni studijski program na časovima matematike i fizike.

Radi lakšeg snimanja proračuna, uobičajeno je učiniti sljedeće:

Koeficijenti jednadžbi i slobodni termini zapisani su u obliku matrice, pri čemu svaki red matrice odgovara jednoj od jednačina sistema. odvaja lijevu stranu jednačine od desne. Rimski brojevi označavaju brojeve jednačina u sistemu.

Prvo zapisuju matricu s kojom će raditi, a zatim sve radnje koje se izvode s jednim od redova. Rezultirajuća matrica se upisuje nakon znaka "strelica" i nastavlja izvoditi potrebne algebarske operacije dok se ne postigne rezultat.

Kao rezultat toga, treba dobiti matricu u kojoj je jedna od dijagonala 1, a svi ostali koeficijenti jednaki nuli, odnosno matrica se svodi na jedan oblik. Ne smijemo zaboraviti napraviti proračune sa brojevima obje strane jednačine.

Ova notacija je manje glomazna i omogućava vam da vas ne ometa navođenje brojnih nepoznanica.

Besplatna primjena bilo koje metode rješenja zahtijevat će brigu i određeno iskustvo. Ne primjenjuju se sve metode. Neki načini pronalaženja rješenja su poželjniji u određenom području ljudske djelatnosti, dok drugi postoje u svrhu učenja.

Jednačina s jednom nepoznatom, koja nakon otvaranja zagrada i smanjenja sličnih članova, poprima oblik

ax + b = 0, gdje su a i b proizvoljnim brojevima, zove se linearna jednačina sa jednom nepoznatom. Danas ćemo shvatiti kako riješiti ove linearne jednačine.

Na primjer, sve jednadžbe:

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - linearno.

Vrijednost nepoznate koja pretvara jednačinu u pravu jednakost naziva se odluka ili korijen jednadžbe .

Na primjer, ako u jednadžbi 3x + 7 \u003d 13 zamijenimo broj 2 umjesto nepoznatog x, tada ćemo dobiti tačnu jednakost 3 2 + 7 = 13. To znači da je vrijednost x = 2 rješenje ili korijen jednadžbe.

A vrijednost x = 3 ne pretvara jednadžbu 3x + 7 = 13 u pravu jednakost, budući da je 3 2 + 7 ≠ 13. Dakle, vrijednost x = 3 nije rješenje ili korijen jednadžbe.

Rješenje bilo koje linearne jednadžbe svodi se na rješenje jednačina oblika

ax + b = 0.

Prenosimo slobodni član s lijeve strane jednačine na desnu, dok mijenjamo predznak ispred b na suprotan, dobijamo

Ako je a ≠ 0, tada je x = – b/a .

Primjer 1 Riješite jednačinu 3x + 2 =11.

Prenosimo 2 sa leve strane jednačine na desnu, dok menjamo predznak ispred 2 u suprotan, dobijamo
3x \u003d 11 - 2.

Onda uradimo oduzimanje
3x = 9.

Da biste pronašli x, morate proizvod podijeliti sa poznatim faktorom, tj.
x = 9:3.

Dakle, vrijednost x = 3 je rješenje ili korijen jednadžbe.

Odgovor: x = 3.

Ako je a = 0 i b = 0, tada dobijamo jednačinu 0x = 0. Ova jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja, jer kada množimo bilo koji broj sa 0, dobivamo 0, ali b je također 0. Rješenje ove jednačine je bilo koji broj.

Primjer 2 Riješite jednačinu 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.

Proširimo zagrade:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Evo sličnih članova:
0x = 0.

Odgovor: x je bilo koji broj.

Ako je a = 0 i b ≠ 0, tada dobijamo jednačinu 0x = - b. Ova jednadžba nema rješenja, jer množenjem bilo kojeg broja sa 0 dobijamo 0, ali b ≠ 0.

Primjer 3 Riješite jednačinu x + 8 = x + 5.

Grupirajmo pojmove koji sadrže nepoznate na lijevoj strani, a slobodne na desnoj strani:
x - x \u003d 5 - 8.

Evo sličnih članova:
0x = - 3.

Odgovor: nema rješenja.

Na slika 1 prikazana je šema za rješavanje linearne jednačine

Hajde da komponujemo opšta šema rješenja jednačina sa jednom promjenljivom. Razmotrimo rješenje primjera 4.

Primjer 4 Hajde da riješimo jednačinu

1) Pomnožite sve članove jednačine najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika, jednakim 12.

2) Nakon smanjenja dobijamo
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Da odvojite članove koji sadrže nepoznate i slobodne članove, otvorite zagrade:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) U jednom dijelu grupiramo pojmove koji sadrže nepoznate, au drugom - slobodne pojmove:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Evo sličnih članova:
- 22x = - 154.

6) Podijelimo sa - 22 , Dobijamo
x = 7.

Kao što vidite, korijen jednačine je sedam.

Općenito, takav jednadžbe se mogu riješiti na sljedeći način:

a) dovesti jednačinu u cjelobrojni oblik;

b) otvorene zagrade;

c) grupirati članove koji sadrže nepoznatu u jednom dijelu jednačine, a slobodne članove u drugom;

d) dovesti slične članove;

e) riješiti jednačinu oblika ah = b, koja je dobijena donošenjem sličnih članova.

Međutim, ova šema nije potrebna za svaku jednačinu. Kada se rješavaju mnoge jednostavnije jednadžbe, mora se poći ne od prve, već od druge ( Primjer. 2), treći ( Primjer. 13) pa čak i od pete faze, kao u primjeru 5.

Primjer 5 Riješite jednačinu 2x = 1/4.

Nalazimo nepoznati x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .

Razmotrimo rješenje nekih linearnih jednadžbi koje se susreću na glavnom državnom ispitu.

Primjer 6 Riješite jednačinu 2 (x + 3) = 5 - 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

Odgovor: - 0,125

Primjer 7 Riješite jednadžbu - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

Odgovor: 2.3

Primjer 8 Riješite jednačinu

3(3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

Primjer 9 Pronađite f(6) ako je f (x + 2) = 3 7

Rješenje

Pošto moramo pronaći f(6), a znamo f (x + 2),
tada je x + 2 = 6.

Rješavamo linearnu jednačinu x + 2 = 6,
dobijamo x \u003d 6 - 2, x = 4.

Ako je x = 4 onda
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Odgovor: 27.

Ako i dalje imate pitanja, postoji želja da detaljnije shvatite rješenja jednačina, prijavite se na moje lekcije u RASPORED. Biće mi drago da vam pomognem!

TutorOnline također preporučuje gledanje novog video tutorijala naše učiteljice Olge Aleksandrovne, koji će vam pomoći da razumijete i linearne jednačine i druge.

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.