Projekcija tačke na ravan je jednačina. Tačkasta projekcija

Projekcija tačke na ravan je poseban slučaj opšteg problema nalaženja projekcije tačke na površinu. Zbog jednostavnosti izračunavanja projekcije tačke na ravan tangentu površine, koristi se kao nulta aproksimacija u rješavanju općeg problema.

Razmotrimo problem projektovanja tačke na ravan datu radijus vektorom

Pretpostavićemo da vektori nisu kolinearni. Pretpostavimo da u opštem slučaju vektori nisu ortogonalni i da imaju nejediničnu dužinu. Ravan prolazi kroz tačku u kojoj su parametri jednaki nuli, a vektori definišu parametarske pravce. Data tačka ima jedinstvenu projekciju na ravan (4.6.1). Konstruirajmo jedinicu normalnu na ravan

Rice. 4.6.1. Projekcija tačke na ravan s(u, v)

Izračunajmo vektor radijusa projekcije tačke na ravan kao razliku između vektora radijusa projektovane tačke i komponente vektora paralelne sa normalom na ravan,

(4.6.4)

Na sl. 4.6.1 prikazuje vektore njegove ravni polazna tačka i projekciju date tačke.

Parametri i dužine projekcija povezani su jednadžbama

gdje je kosinus ugla između vektora određen formulom (1.7.13).

Iz sistema ovih jednačina nalazimo parametre projekcije tačke na ravan

(4.6.6)

gdje su koeficijenti prvog osnovnog kvadratnog oblika ravni (1.7.8), oni su također kovarijantne komponente metričkog površinskog tenzora, su kontravarijantne komponente metričkog površinskog tenzora. Ako su vektori ortogonalni, tada formule (4.6.6) i (4.6.7) imaju oblik

Udaljenost od tačke do njene projekcije na ravan se općenito izračunava kao dužina vektora. Udaljenost od tačke do njene projekcije na ravan može se odrediti bez izračunavanja projekcije tačke, već izračunavanjem projekcije vektora na normalu na ravan

(4.6.8)

Posebni slučajevi.

Projekcije tačke na neke analitičke površine mogu se naći bez upotrebe numeričkih metoda. Na primjer, da biste pronašli projekciju točke na površinu kružnog cilindra, konusa, sfere ili torusa, potrebno je prevesti projektiranu tačku u lokalni koordinatni sustav površine, gdje je lako pronaći parametre projekcije. Slično, mogu se naći projekcije na ekstruzijskim i rotacijskim površinama. U nekim posebnim slučajevima, pozicije projektovane tačke njene projekcije mogu se lako pronaći i na drugim površinama.

Opšti slučaj.

Razmotrimo problem projektovanja tačke na površinu u opštem slučaju. Neka je potrebno pronaći sve projekcije točke na površinu. Svaka željena tačka površine zadovoljava sistem dve jednačine

Sistem jednačina (4.6.9) sadrži dvije nepoznate veličine - parametre u i v. Ovaj problem se rješava na isti način kao i problem nalaženja projekcije date tačke na krivu.

U prvoj fazi određujemo nulte aproksimacije parametara površine za projekcije tačke, a u drugoj fazi nalazimo tačne vrijednosti parametara koji određuju projekcije date tačke na površinu

Pređimo preko površine sa koracima izračunatim po formulama (4.2.4) i (4.2.5), gore opisanim načinom kretanja duž parametarskog područja. Označimo parametre tačaka kroz koje ćemo proći. U svakoj tački ćemo izračunati skalarne proizvode vektora

(4.6.10)

Ako se željeno rješenje nalazi u blizini točke s parametrima , tada ćemo imati različiti znakovi, kao i i imat će različite znakove. Promjena predznaka skalarnih proizvoda ukazuje da je željeno rješenje u blizini. Za nultu aproksimaciju parametara uzimamo vrijednosti Počevši od nulte aproksimacije parametara, jedna od metoda za rješavanje nelinearnih jednadžbi će pronaći rješenje problema sa zadatom tačnošću. Na primjer, u Newtonovoj metodi, na iteracijama, priraštaji parametara projekcije mogu se naći iz sistema linearnih jednačina

gdje su parcijalne derivacije radijus vektora u odnosu na parametre. sledeća aproksimacija parametri projekcije tačke su jednaki . Proces preciziranja parametara će biti završen kada se nejednakosti ispune na sljedećoj iteraciji, gdje je navedena greška. Na isti način nalazimo sve ostale korijene sistema jednačina (4.6.9).

Ako trebate pronaći samo najbližu projekciju date tačke na površinu, onda možete proći kroz iste tačke geometrijskog objekta i odabrati onu najbližu datoj tački. Parametri najbliže tačke i treba izabrati kao nultu aproksimaciju rješenja problema.

Projekcija tačke na površinu u datom pravcu.

U određenim slučajevima nastaje problem određivanja projekcije tačke na površinu ne duž normale na nju, već duž datog pravca. Neka je smjer projekcije zadan vektorom jedinične dužine q. Izgradimo pravu liniju

(4.6.12)

prolazi kroz dati poen i ima smjer datog vektora. Projekcije tačke na površinu u datom pravcu definišemo kao tačke preseka površine sa pravom linijom (4.6.12) koja prolazi kroz datu tačku u datom pravcu.

Algebarska vektorska projekcija na bilo kojoj osi jednak je proizvodu dužine vektora i kosinusa ugla između ose i vektora:

Desno a b = |b|cos(a,b) ili

Gdje je a b skalarni proizvod vektora, |a| - modul vektora a .

Uputstvo. Da biste pronašli projekciju vektora Pp a b na mreži, morate odrediti koordinate vektora a i b. U ovom slučaju, vektor se može dati u ravni (dvije koordinate) iu prostoru (tri koordinate). Rezultirajuće rješenje se pohranjuje u Word datoteku. Ako su vektori dati kroz koordinate tačaka, onda morate koristiti ovaj kalkulator.

Klasifikacija vektorske projekcije

Vrste projekcija po definiciji vektorske projekcije

Geometrijska projekcija vektora AB na osu (vektor) naziva se vektor A"B", čiji je početak A' projekcija početka A na osu (vektor), a kraj B' je projekcija kraja B na istu osu.
Algebarska projekcija vektora AB na osu (vektor) naziva se dužina vektora A"B" uzeta sa znakom + ili -, u zavisnosti od toga da li vektor A"B" ima isti pravac kao i os ( vektor).

Vrste projekcija po koordinatnom sistemu

Svojstva vektorske projekcije

Geometrijska projekcija vektora je vektor (ima pravac).
Algebarska projekcija vektora je broj.

Teoreme vektorske projekcije

Teorema 1. Projekcija zbroja vektora na bilo koju osu jednaka je projekciji članova vektora na istu osu.

AC"=AB"+B"C"

Teorema 2. Algebarska projekcija vektora na bilo koju osu jednaka je proizvodu dužine vektora i kosinusa ugla između ose i vektora:

Pr a b = |b| cos(a,b)

Vrste vektorskih projekcija

projekcija na osu OX.
projekcija na osu OY.
projekcija na vektor.

Projekcija na osovinu OX	Projekcija na osu OY	Projekcija u vektor
Ako se smjer vektora A'B' poklapa sa smjerom ose OX, tada projekcija vektora A'B' ima pozitivan predznak.	Ako se smjer vektora A'B' poklapa sa smjerom ose OY, tada projekcija vektora A'B' ima pozitivan predznak.	Ako se smjer vektora A'B' poklapa sa smjerom vektora NM, tada projekcija vektora A'B' ima pozitivan predznak.
Ako je smjer vektora suprotan smjeru ose OX, tada projekcija vektora A'B' ima negativan predznak.	Ako je smjer vektora A'B' suprotan smjeru ose OY, tada projekcija vektora A'B' ima negativan predznak.	Ako je smjer vektora A'B' suprotan smjeru vektora NM, tada projekcija vektora A'B' ima negativan predznak.
Ako je vektor AB paralelan sa osom OX, tada je projekcija vektora A'B' jednaka modulu vektora AB.	Ako je vektor AB paralelan sa OY osom, tada je projekcija vektora A'B' jednaka modulu vektora AB.	Ako je vektor AB paralelan vektoru NM, tada je projekcija vektora A'B' jednaka modulu vektora AB.
Ako je vektor AB okomit na osu OX, tada je projekcija A'B' jednaka nuli (nulti vektor).	Ako je vektor AB okomit na osu OY, tada je projekcija A'B' jednaka nuli (nulti vektor).	Ako je vektor AB okomit na vektor NM, tada je projekcija A'B' jednaka nuli (nulti vektor).

1. Pitanje: Može li projekcija vektora imati negativan predznak. Odgovor: Da, vektorske projekcije mogu biti negativne. U ovom slučaju, vektor ima suprotan smjer (pogledajte kako su os OX i AB vektor usmjereni)
2. Pitanje: Može li se projekcija vektora poklapati sa modulom vektora. Odgovor: Da, može. U ovom slučaju, vektori su paralelni (ili leže na istoj liniji).
3. Pitanje: Može li projekcija vektora biti jednaka nuli (nulti vektor). Odgovor: Da, može. U ovom slučaju, vektor je okomit na odgovarajuću osu (vektor).

Primjer 1. Vektor (slika 1) formira ugao od 60 o sa OX osom (dat je vektorom a). Ako je OE jedinica skale, onda |b|=4, dakle .

Zaista, dužina vektora ( geometrijska projekcija b) jednak je 2, a smjer je isti kao i smjer ose OX.

Primjer 2. Vektor (slika 2) formira ugao sa OX osom (sa vektorom a) (a,b) = 120 o . Dužina |b| vektor b je jednak 4, pa je pr a b=4 cos120 o = -2.

Zaista, dužina vektora je jednaka 2, a smjer je suprotan smjeru ose.

Prilikom odlučivanja geometrijski problemi u prostoru se često javlja problem određivanja udaljenosti između ravnine i tačke. U nekim slučajevima to je neophodno za kompletno rješenje. Ova vrijednost se može izračunati pronalaženjem projekcije na ravan tačke. Razmotrimo ovo pitanje detaljnije u članku.

Jednačina za opisivanje ravni

Prije nego što nastavite s razmatranjem pitanja kako pronaći projekciju točke na ravninu, trebali biste se upoznati s vrstama jednadžbi koje definiraju potonju u trodimenzionalnom prostoru. Više detalja u nastavku.

Opća jednačina koja definira sve tačke koje pripadaju datoj ravni je sljedeća:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Prva tri koeficijenta su koordinate vektora, koji se naziva vodilja za ravan. Ona se poklapa sa normalom za njega, odnosno okomita je. Ovaj vektor je označen sa n¯(A; B; C). Slobodni koeficijent D je jedinstveno određen iz poznavanja koordinata bilo koje tačke koja pripada ravni.

Pojam projekcije tačke i njen proračun

Pretpostavimo da su date neka tačka P(x 1 ; y 1 ; z 1) i ravan. Definisano je jednadžbom u opšti pogled. Ako povučemo okomitu liniju od P do dati avion, onda je očito da će presjeći potonju u jednoj određenoj tački Q (x 2 ; y 2 ; z 2). Q se naziva projekcija P na ravan koja se razmatra. Dužina segmenta PQ naziva se rastojanje od tačke P do ravni. Dakle, sam PQ je okomit na ravan.

Kako možete pronaći koordinate projekcije tačke na ravan? Ovo nije teško uraditi. Prvo morate nacrtati jednadžbu za pravu liniju koja će biti okomita na ravan. Njoj će pripadati tačka P. Kako vektor normale n¯(A; B; C) ove prave mora biti paralelan, jednačina za nju u odgovarajućem obliku može se napisati na sljedeći način:

(x; y; z) = (x 1; y 1; z 1) + λ*(A; B; C).

Gdje λ - pravi broj, koji se obično naziva parametrom jednačine. Promjenom možete dobiti bilo koju tačku linije.

Nakon što je napisana vektorska jednadžba za pravu okomitu na ravan, potrebno je pronaći zajedničku presječnu točku za razmatrane geometrijske objekte. Njegove koordinate će biti projekcija P. Pošto moraju zadovoljiti obje jednakosti (za pravu i za ravan), problem se svodi na rješavanje odgovarajućeg sistema linearnih jednačina.

Koncept projekcije se često koristi u proučavanju crteža. Oni prikazuju bočne i horizontalne projekcije dijela na ravnine zy, zx i xy.

Izračunavanje udaljenosti od ravni do tačke

Kao što je gore navedeno, poznavanje koordinata projekcije na ravan točke omogućava vam da odredite udaljenost između njih. Koristeći notaciju uvedenu u prethodnom pasusu, dobijamo da je željena udaljenost jednaka dužini segmenta PQ. Da biste ga izračunali, dovoljno je pronaći koordinate vektora PQ¯, a zatim izračunati njegov modul koristeći dobro poznatu formulu. Konačni izraz za udaljenost d između P tačke i ravni postaje:

d = |PQ¯| \u003d √ ((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).

Rezultirajuća vrijednost d je predstavljena u jedinicama u kojima je specificiran trenutni Dekartov koordinatni sistem xyz.

Primjer zadatka

Pretpostavimo da postoji tačka N(0; -2; 3) i ravan, koja je opisana sledećom jednačinom:

Trebali biste pronaći točke projekcije na ravni i izračunati udaljenost između njih.

Najprije ćemo formulirati jednadžbu prave linije koja siječe ravan pod uglom od 90o. Imamo:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + λ*(2; -1; 1).

Eksplicitnim pisanjem ove jednakosti dolazimo do sljedećeg sistema jednačina:

Zamjenom koordinatnih vrijednosti iz prve tri jednakosti u četvrtu, dobijamo vrijednost λ, koja određuje koordinate zajedničke tačke prave i ravni:

2*(2*λ) - (-2 - λ) + λ + 3 + 4 = 0 =>
6*λ + 9 = 0
λ = 9/6 = 3/2 = 1,5.

Pronađeni parametar zamjenjujemo u i nalazimo koordinate projekcije početne točke na ravan:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + 1,5*(2; -1; 1) = (3; -3,5; 4,5).

Za izračunavanje udaljenosti između geometrijskih objekata navedenih u izjavi problema, primjenjujemo formulu za d:

d = √((3 - 0) 2 + (-3,5 + 2) 2 + (4,5 - 3) 2) = 3,674.

U ovom zadatku smo pokazali kako pronaći projekciju tačke na proizvoljnu ravan i kako izračunati udaljenost između njih.

Izgradiće se kada se uspostavi okomica na datu ravan koja prolazi kroz tačku i izgradi tačka preseka okomice sa ravni:
Prava i ravan;
Presek prave sa ravninom

Gradiće se kada se vrati okomica na datu ravan, spusti iz tačke u ravan i izgradi tačka preseka okomice sa ravninom. Ove konstrukcije se izvode kada se udaljenost od tačke do ravni određuje metodom pravouglog trokuta.

Podaci o projekciji: bodovi A(A`, A") i avion α (α H , α V). Pronađite udaljenost od tačke A do aviona α metoda pravouglog trougla.

HTML kod tabele, primjeri

Zadatak br. 4 je ugrađen u grafički rad br. 2 za dvije tačke segmenta EF: Grafički rad 2

Konstruirajte dijagram tačke B simetrične A u odnosu na pravu m

Evo jednog od mnogih načina za rješavanje ovog problema.
1. Upotrijebite kosu projekciju sa smjerom S paralelnim sa datom pravom m:
a) Provući pravu n kroz tačku A i pronaći tragove nH, mH i nV, mV;
b) naći tragove ravni α po tragovima paralelnih pravih njenih generatora nH, mH i nV, mV;
c) pronaći tragove kH i kV prave k simetrične u odnosu na pravu m na istoimenim tragovima u ravni α.
2. Kroz tačku A povučemo ravan β okomitu na paralelne prave m, n i k ravni α:
a) Kroz tačku A povučemo horizontalu i frontal ravni β;
b) Naći tragove horizontale i fronte ravni β;
c) Nacrtaj tragove ravni β kroz tragove njene horizontalne h i frontalne f.
3. Pronađite tačku B susreta prave k sa ravninom β:
a) Naći liniju preseka 1 - 2 ravni α i β;
b) Nađite željenu tačku B na preseku prave 1-2 sa pravom k.

Pronađite oštar ugao između dijagonala paralelograma izgrađenog na vektorima

5) Odredite koordinate vektora c, usmjerene duž simetrale ugla između vektora a i b, ako vektor c = 3 korijena od 42. a = (2; -3; 6), b \ u003d (-1; 2; -2)

Hajde da nađemo jedinični vektor e_a kosmjerno s a:

slično e_b = b/|b|,

tada će željeni vektor biti usmjeren na isti način kao vektorska suma e_a+e_b, jer (e_a+e_b) je dijagonala romba, što je yavl. simetrala njegovog ugla.

Označimo (e_a+e_b)=d,

Nađimo jedinični vektor koji je usmjeren duž simetrale: e_c = d/|d|

Ako |c| = 3*sqrt(42), tada c = |c|*e_c. To je sve.

Nađi linearna zavisnost između data četiri nekoplanarna vektora: p=a+b; q=b-c; r=a-b+c; s=b+(1/2)*c

Od prve tri jednakosti, pokušajte izraziti `a,b,c` u terminima `p,q,r` (počnite dodavanjem druge i treće jednačine). Zatim zamijenite `b` i `c` u posljednjoj jednadžbi pronađenim izrazima preko `p,q,r`.

13) Naći jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tačke A(2, -1, 4) i B(3, 2, -1) okomito na ravan x + y + 2z - 3 = 0.Željena jednačina ravni ima oblik: Ax + By + Cz + D = 0, vektor normale na ovu ravan (A, B, C). Vektor (1, 3, -5) pripada ravni. Ravan koja nam je data, okomita na željenu, ima vektor normale (1, 1, 2). Jer tačke A i B pripadaju obe ravni, a ravni su međusobno okomite, tada je vektor normale (11, -7, -2). Jer tačka A pripada željenoj ravni, tada njene koordinate moraju zadovoljiti jednačinu ove ravni, tj. 11x2 + 7x1 - 2x4 + D = 0; D = -21. Ukupno dobijamo jednačinu ravnine: 11x - 7y - 2z - 21 = 0.

14) Jednadžba ravni koja prolazi kroz pravu paralelnu vektoru.

Neka željena ravan prolazi kroz pravu (x-x1)/a1 = (y-y1)/b1 = (z-z1)/c1 paralelno sa pravom (x-x2)/a2 = (y-y2)/b2 = (z -z2)/c2 .

Tada je vektor normale ravni poprečni proizvod vektora smjera ovih linija:

Neka koordinate vektorski proizvod(A;B;C). Željena ravan prolazi kroz tačku (x1;y1;z1). Vektor normale i tačka kroz koju ravnina prolazi - jednoznačno određuju jednačinu željene ravni:

A (x-x1) + B (y-y1) + C (z-z1) = 0

17) Pronađite jednačinu prave koja prolazi kroz tačku A(5, -1) okomito na pravu 3x - 7y + 14 = 0.

18) Sastaviti jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M okomitu na datu ravan M(4,3,1) x+3y+5z-42=0

(x - x0) / n = (y - y0) / m = (z - z0) / p

M(x0,y0,z0) - vaša tačka M(4,3,1)

(n, m, p) - vektor pravca prave linije, on je takođe vektor normalan za datu površinu (1, 3, 5) (koeficijenti na varijable x,y,z u jednadžbi ravni)

Pronađite projekciju tačke na ravan

Tačka M(1,-3,2), ravan 2x+5y-3z-19=0