PLAN LEKCIJE čas algebre u 7. razredu
Učiteljica Prilepova O.A.
Ciljevi lekcije:
Prikaži aplikaciju razne načine za faktorizaciju polinoma
Ponoviti metode faktorizacije i učvrstiti svoje znanje tokom vježbi
Razvijati vještine i sposobnosti učenika u primjeni skraćenih formula za množenje.
Develop logičko razmišljanje učenika i interesovanje za predmet.
Zadaci:
u pravcu lični razvoj:
Razvijanje interesovanja za matematičku kreativnost i matematičke sposobnosti;
Razvijanje inicijative, aktivnosti u rješavanju matematičkih zadataka;
Negovanje sposobnosti donošenja nezavisnih odluka.
u metasubjektnom pravcu :
Formiranje opštih načina intelektualne aktivnosti, svojstvenih matematici i koji su osnova kognitivne kulture;
Upotreba ICT tehnologije;
u predmetnoj oblasti:
Ovladavanje matematičkim znanjima i vještinama neophodnim za nastavak školovanja;
Formiranje kod učenika sposobnosti da traže načine za faktorizaciju polinoma i pronađu ih za polinom koji je faktorizovan.
Oprema:materijali, putni listovi sa kriterijima evaluacije,multimedijalni projektor, prezentacija.
Vrsta lekcije:ponavljanje, generalizacija i sistematizacija obrađenog gradiva
Oblici rada:rad u parovima i grupama, individualni, kolektivni,samostalan, frontalni rad.
Tokom nastave:
| Faze | Plan | UUD | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Org moment. | Podjela na grupe i parove: Učenici biraju drugara prema sljedećem kriteriju: Najmanje komuniciram sa ovim razrednikom. Psihološko raspoloženje: Odaberite emotikon po svom izboru (raspoloženje na početku časa) i ispod njega pogledajte ocjenu koju biste željeli dobiti danas na lekciji (SLAJD). - Stavite sebe u svesku na margine razreda koji biste danas želeli da dobijete na lekciji. Svoje rezultate ćete označiti u tabeli (SLIDE).
Kriterijumi ocjenjivanja: 1. Sve sam riješio tačno, bez grešaka - 5 2. Prilikom rješavanja napravio sam od 1 do 2 greške - 4 3. Napravio 3 do 4 greške pri rješavanju - 3 4. Napravio više od 4 greške pri rješavanju - 2 | Novi pristupi nastavi (dijalog) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Aktualizacija. | Kolektivni rad. - Danas ćete na lekciji moći da pokažete svoje znanje, učestvujete u međusobnoj kontroli i samokontroli vaših aktivnosti Utakmica (SLAJD): Na sljedećem slajdu obratite pažnju na izraze, šta primjećujete? (SLAJD) 15x3y2 + 5x2y Izuzimanje zajedničkog množitelja iz zagrada p 2 + pq - 3 p -3 q Metoda grupisanja 16m2 - 4n2 Skraćena formula za množenje Kako se ove radnje mogu objediniti jednom riječju? (Metode ekspanzije polinoma) Izjava učenika o temi i svrsi časa kao sopstvenom zadatku za učenje (SLAJD). Na osnovu toga, formulirajmo temu naše lekcije i postavimo ciljeve. Pitanja za studente: Navedite temu lekcije; Formulirajte svrhu lekcije; Svi imaju kartice sa nazivima formula. (Raditi u parovima). Dajte formule svim formulama | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Primena znanja | Raditi u parovima. Provjeravam slajd 1. Odaberite tačan odgovor (SLAJD). karte:
| 2. Pronađite greške (SLAJD): Kartice br. Provjeravam slajd 1 par: o ( b- y)2 = b2 - 4 by+y2 o 49- c2=(49-c)(49+s) 2 para: o (r- 10) 2=r2- 20r+10 o (2a+1)2=4a2+2a+1 3 para: o (3y+1)2=9y+6y+1 o ( b- a) 2 =b²- 4ba+a2 4 para: o x²- 25= ( x-25)( 25+x) o (7- a) 2 \u003d 7- 14a + a² | Obuka prema starosne karakteristike | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3. Svaki par ima zadatke i ograničeno vrijeme za rješavanje (SLAJD) Provjeravamo na karticama za odgovore 1. Slijedite korake: a) (a + 3c) 2; b) x 2 - 12 x + 36; c) 4v2-y2. 2. Faktorizirajte: a) ; b) ; u 2 x - a 2 y - 2 a 2 x + y 3. Pronađite vrijednost izraza: (7 p + 4)2 -7 p (7 p - 2) na p = 5. | Menadžment i liderstvo | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 4. Grupni rad. Gledajte, nemojte pogriješiti (SLAJD). Karte. Hajde da proverimo slajd. (a+…)²=…+2…s+s² (... + y)² \u003d x² + 2x ... + ... (... + 2x)² \u003d y² + 4xy + 4x² (…+2 m)²=9+…+4 m² (n + 2v)²= n²+…+4v² | Podučavanje kritičkom mišljenju. Menadžment i liderstvo | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5. Grupni rad (konsultacije oko rješenja, diskusija o zadacima i njihovim rješenjima) Svaki član grupe dobija zadatke nivoa A, B, C. Svaki član grupe za sebe bira izvodljiv zadatak. Karte. (Slajd) Provjera s karticama za odgovore Nivo A 1. Razdvojite to: a) c 2 - a 2 ; b) 5x2-45; c) 5a2 + 10av + 5v2; d) ax2-4ax + 4a 2. Uradite sljedeće: a) (x - 3) (x + 3); b) (x - 3)2; c) x (x - 4). Nivo B 1. Pojednostavite: a) (3a + p) (3a-p) + p2; b) (a + 11) 2 - 20a; c) (a-4) (a + 4) -2a (3-a). 2. Izračunajte: a) 962 - 862; b) 1262 - 742. Nivo C 1. Riješite jednačinu: (7 x - 8) (7x + 8) - (25x - 4)2 + 36(1 - 4x)2 =44 1. Riješite jednačinu: (12 x - 4) (12 x + 4) - (12 x - 1)2 - (4 x - 5) = 16. 1. | Podučavanje talentovanih i nadarenih | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Sažetak lekcije | - Da sumiramo, izvešćemo procene prema rezultatima tabele. Uporedite svoje rezultate sa svojim procenjenim rezultatom. Odaberite emotikon koji odgovara vašoj ocjeni (SLAJD). c) nastavnik ocenjuje rad odeljenja (aktivnost, nivo znanja, veštine, samoorganizovanost, marljivost) Samostalan rad u obliku testa sa provjerom REZERVE | Procjena za učenje i procjena za učenje | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Zadaća | Nastavite sa učenjem skraćenih formula za množenje. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Refleksija | Ljudi, poslušajte parabolu: (SLIDE) Mudrac je hodao, a sretala su ga tri čovjeka, noseći sa sobom kola Kamenje za izgradnju Hrama. Mudrac je stao i pitao svakoga Pitanje. Prvi je pitao: - Šta si radio ceo dan? A on je sa smiješkom odgovorio da je cijeli dan nosio ukleto kamenje. Drugi je pitao: „A šta si radio ceo dan? ” A on je odgovorio: “Savjesno sam radio svoj posao.” A treći mu se nasmiješi, lice mu se ozarilo radošću i zadovoljstvom i odgovori: „A Učestvovao sam u izgradnji Hrama.” Koji je tvoj hram? (Znanje) Momci! Ko je radio od prvog lica? (prikaži emotikone) (Ocjena 3 ili 2) (SLAJD) Ko je radio u dobroj namjeri? (ocjena 4) A ko je učestvovao u izgradnji Hrama znanja? (ocjena 5) | Trening kritičkog razmišljanja | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
Svrha časa: formiranje vještine faktoringa polinoma na faktore na različite načine; Negovati tačnost, upornost, marljivost, sposobnost rada u paru. Oprema: multimedijalni projektor, računar, didaktički materijali. Plan časa: 1. Organiziranje vremena; 2. Provjera domaćeg zadatka; 3. Usmeni rad; 4. Učenje novog gradiva; 5. Fizičko vaspitanje; 6. Objedinjavanje proučenog gradiva; 7. Rad u parovima; 8. Domaći zadatak; 9. Sumiranje. Tok časa: 1. Organizacioni momenat. Dodijelite učenike na lekciju. Obrazovanje se ne sastoji u količini znanja, već u potpunom razumijevanju i vještoj primjeni svega što se zna. (Georg Hegel) 2. Provjera domaćeg zadatka. Analiza zadataka u čijem rješavanju su učenici imali poteškoća. 3. Usmeni rad. faktorisati: 1) 2) 3) ; četiri) . Uspostavite korespondenciju između izraza lijevog i desnog stupca: a. 1. b. 2. c. 3. d. 4. d. 5. . Riješite jednačine: 1. 2. 3. 4. Učenje novog gradiva. Za faktorizaciju polinoma koristili smo zagrade, grupiranje i skraćene formule za množenje. Ponekad je moguće faktorizirati polinom primjenom nekoliko metoda uzastopno. Trebali biste započeti transformaciju, ako je moguće, izvlačenjem zajedničkog faktora iz zagrada. U cilju uspješnog rješavanja ovakvih primjera, danas ćemo pokušati izraditi plan njihove dosljedne primjene.
150.000₽ nagradni fond 11 počasnih dokumenata Dokaz o objavljivanju u medijima
Postoji nekoliko različitih načina faktorizacija polinoma. Najčešće se u praksi ne koristi jedna, već nekoliko metoda odjednom. Ovdje ne može biti određenog redoslijeda radnji, u svakom primjeru sve je individualno. Ali možete pokušati slijediti sljedeći redoslijed:
1. Ako postoji zajednički faktor, onda ga izbacite iz zagrade;
2. Nakon toga, pokušajte da faktorizujete polinom koristeći skraćene formule za množenje;
3. Ako nakon toga još nismo dobili željeni rezultat, pokušajmo koristiti metodu grupisanja.
Skraćene formule za množenje
1. a^2 - b^2 = (a+b)*(a-b);
2. (a+b)^2 = a^2+2*a*b+b^2;
3. (a-b)^2 = a^2-2*a*b+b^2;
4. a^3+b^3 = (a+b)*(a^2 - a*b+b^2);
5. a^3 - b^3 = (a-b)*(a^2 + a*b+b^2);
Pogledajmo sada nekoliko primjera:
Primjer 1
Faktorizujte polinom: (a^2+1)^2 - 4*a^2
Prvo, primjenjujemo skraćenu formulu množenja "razlika kvadrata" i otvaramo unutrašnje zagrade.
(a^2+1)^2 - 4*a^2 = ((a^2+1)-2*a)*((a^2+1)+2*a) = (a^2+1 -2*a)*(a^2+1+2*a);
Imajte na umu da se izrazi za kvadrat zbira i kvadrat razlike dvaju izraza dobijaju u zagradama. Primijenite ih i dobijte odgovor.
a^2+1-2*a)*(a^2+1+2*a) = (a-1)^2*(a+1)^2;
odgovor:(a-1)^2*(a+1)^2;
Primjer 2
Faktorizujte polinom 4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y.
Kao što možete vidjeti direktno ovdje, nijedna od metoda nije prikladna. Ali postoje dva kvadrata, mogu se grupirati. Pokusajmo.
4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y = (4*x^2 - y^2) +(4*x +2*y);
Dobili smo formulu za razliku kvadrata u prvoj zagradi, au drugoj zagradi je zajednički faktor dva. Primijenimo formulu i izvadimo zajednički faktor.
(4*x^2 - y^2) +(4*x +2*y)= (2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y);
Vidi se da su dobijene dvije identične zagrade. Mi ih izdvajamo kao zajednički faktor.
(2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y) = (2*x+y)*(2*x - y)+2)= (2*x+ y) )*(2*x-y+2);
odgovor:(2*x+y)*(2*x-y+2);
Kao što vidite, ne postoji univerzalni način. S iskustvom, vještina će doći i rastavljanje polinoma u faktore će biti vrlo lako.
Ovo je jedan od najelementarnijih načina za pojednostavljenje izraza. Da bismo primijenili ovu metodu, sjetimo se distributivnog zakona množenja u odnosu na sabiranje (ne bojte se ovih riječi, morate znati ovaj zakon, samo ste možda zaboravili njegovo ime).
Zakon kaže: da biste pomnožili zbir dva broja sa trećim brojem, morate svaki član pomnožiti sa ovim brojem i sabrati rezultate, drugim riječima,.
Možete napraviti i obrnutu operaciju, evo je obrnuti rad mi smo zainteresovani. Kao što se može vidjeti iz uzorka, zajednički faktor a, može se izvaditi iz zagrade.
Slična operacija se može izvesti i sa varijablama, kao što su i, na primjer, i sa brojevima: .
Da, ovo je previše elementaran primjer, baš kao i prethodni primjer, sa dekompozicijom broja, jer svi znaju šta su brojevi, i sa kojima su djeljivi, ali šta ako dobijete kompliciraniji izraz:
Kako saznati na što je, na primjer, broj podijeljen, ne, s kalkulatorom svako može, ali bez njega je slab? A za to postoje znakovi djeljivosti, ovi znakovi su zaista vrijedni poznavanja, oni će vam pomoći da brzo shvatite da li je moguće izvući zajednički faktor iz zagrade.
Znakovi djeljivosti
Nije ih tako teško zapamtiti, najvjerovatnije vam je većina njih već bila poznata, a nešto će biti novo korisno otkriće, više detalja u tabeli:
Napomena: tablici nedostaje znak djeljivosti sa 4. Ako su zadnje dvije cifre djeljive sa 4, tada je cijeli broj djeljiv sa 4.
Pa, kako ti se sviđa znak? Savjetujem vam da ga zapamtite!
Pa, da se vratimo izrazu, možda ga izvadimo iz zagrade i dosta je? Ne, uobičajeno je da matematičari pojednostavljuju, dakle do kraja, izvadi SVE što se izvadi!
I tako, sa igračem je sve jasno, ali šta je sa numeričkim dijelom izraza? Oba broja su neparna, tako da se ne možete podijeliti sa
Možete koristiti znak djeljivosti sa, zbir cifara, i, od kojih se broj sastoji, jednak je i djeljiv je sa, što znači da je djeljiv sa.
Znajući to, možete se sigurno podijeliti u stupac, kao rezultat dijeljenja sa dobijemo (znakovi djeljivosti su nam dobro došli!). Dakle, možemo uzeti broj iz zagrade, baš kao y, i kao rezultat imamo:
Da biste bili sigurni da je sve ispravno razloženo, možete provjeriti proširenje množenjem!
Takođe, zajednički faktor se može izvaditi u izrazima stepena. Evo, na primjer, vidite li zajednički faktor?
Svi članovi ovog izraza imaju x - vadimo, sve dijelimo po - vadimo ponovo, gledamo šta se dogodilo: .
2. Skraćene formule množenja
Skraćene formule množenja su već spomenute u teoriji, ako se jedva možete sjetiti o čemu se radi, trebali biste ih osvježiti u sjećanju.
Pa, ako se smatrate vrlo pametnim i previše ste lijeni da pročitate takav oblak informacija, onda samo čitajte, pogledajte formule i odmah uzmite primjere.
Suština ovog proširenja je da uočite u izrazu pred vama neke određene formule, primijeniti i tako dobiti proizvod nečega i nečega, to je sve razlaganje. Slijede formule:
Sada pokušajte faktorizirati sljedeće izraze koristeći gornje formule:
A evo šta je trebalo da se desi:
Kao što ste primijetili, ove formule su vrlo efikasan način faktorizacija, nije uvijek prikladna, ali može biti vrlo korisna!
3. Grupisanje ili metod grupisanja
Evo još jednog primjera za vas:
Pa, šta ćeš s tim? Čini se da je djeljivo na i na nešto, a nešto na i na
Ali ne možete sve zajedno podijeliti u jednu stvar, dobro ne postoji zajednički faktor, kako ne tražiti šta, a ostaviti bez faktoringa?
Ovdje treba pokazati domišljatost, a naziv ove genijalnosti je grupisanje!
Koristi se samo kada svi članovi nemaju zajedničke djelitelje. Za grupisanje vam je potrebno pronaći grupe pojmova koji imaju zajedničke djelitelje i preuredi ih tako da se iz svake grupe može dobiti isti množitelj.
Naravno, nije potrebno preuređivati na mjestima, ali to daje vidljivost, radi jasnoće možete uzeti pojedine dijelove izraza u zagrade, nije ih zabranjeno stavljati koliko god želite, glavna stvar je da ne zbuniti znakove.
Sve ovo nije jasno? Dozvolite mi da objasnim na primjeru:
U polinomu - stavite član - nakon člana - dobijamo
grupiramo prva dva člana zajedno u posebnu zagradu i grupišemo treći i četvrti član na isti način, ostavljajući znak minus izvan zagrade, dobijamo:
A sada gledamo posebno svaku od dvije "gomile" u koje smo izraz razbili zagradama.
Trik je u tome da se razbije na takve hrpe iz kojih će biti moguće izvaditi najveći mogući faktor, ili, kao u ovom primjeru, pokušati grupirati članove tako da nakon vađenja faktora iz zagrada iz hrpa, imaju iste izraze unutar zagrada.
Iz obe zagrade vadimo zajedničke faktore članova, iz prve zagrade, a iz druge zagrade dobijamo:
Ali to nije raspadanje!
Pmagarac dekompozicija treba da ostane samo množenje, ali za sada imamo polinom jednostavno podijeljen na dva dijela ...
ALI! Ovaj polinom ima zajednički faktor. to
izvan zagrade i dobijamo konačni proizvod
Bingo! Kao što vidite, proizvod već postoji i van zagrada nema ni sabiranja ni oduzimanja, dekompozicija je završena, jer nemamo više šta da izvadimo iz zagrada.
Može izgledati kao čudo da nakon uzimanja faktora iz zagrada imamo i dalje iste izraze u zagradama, koje smo, opet, izvukli iz zagrada.
I nije to nikakvo čudo, činjenica je da su primjeri u udžbenicima i na ispitu posebno napravljeni na način da većina izraza u zadacima za pojednostavljenje ili faktorizacija uz pravi pristup njima, lako se pojednostavljuju i naglo se srušavaju kao kišobran kada pritisnete dugme, pa potražite baš to dugme u svakom izrazu.
Nešto što skrećem pažnju, šta mi tu imamo sa pojednostavljenjem? Složeni polinom je dobio jednostavniji oblik: .
Slažete se, nije tako glomazan kao što je bio?
4. Odabir punog kvadrata.
Ponekad je, da bi se primijenile formule za skraćeno množenje (ponoviti temu), potrebno transformirati postojeći polinom, predstavljajući jedan od njegovih članova kao zbir ili razliku dva člana.
U kom slučaju to morate učiniti, naučit ćete iz primjera:
Polinom u ovom obliku ne može se razložiti korištenjem skraćenih formula za množenje, pa se mora pretvoriti. Možda vam u početku neće biti jasno na koji pojam podijeliti, ali s vremenom ćete naučiti da odmah vidite skraćene formule za množenje, čak i ako nisu u cijelosti, i brzo ćete utvrditi šta ovdje nedostaje prije puna formula, ali za sada - studija, student, odnosno školarac.
Za punu formulu kvadrata razlike, ovdje vam je potrebno. Predstavimo treći član kao razliku, dobijamo: Možemo primijeniti formulu kvadrata razlike na izraz u zagradama (ne brkati s razlikom kvadrata!!!), imamo: , na ovaj izraz možemo primijeniti formulu za razliku kvadrata (ne treba se brkati sa razlikom na kvadrat!!!), zamišljajući kako, dobijamo: .
Izraz koji nije uvijek faktoriziran izgleda jednostavnije i manje nego što je bio prije dekompozicije, ali u ovom obliku postaje pokretljiviji, u smislu da ne možete brinuti o promjeni znakova i drugim matematičkim glupostima. Pa, evo za tebe nezavisna odluka, sljedeći izrazi moraju biti faktorisani.
primjeri:
Odgovori:
5. Faktorizacija kvadratnog trinoma
Za faktorizaciju kvadratnog trinoma, pogledajte dolje u primjerima dekompozicije.
Primjeri 5 metoda za faktoriranje polinoma
1. Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrada. Primjeri.
Sjećate li se šta je distributivni zakon? Ovo je takvo pravilo:
primjer:
Faktorizirajte polinom.
Rješenje:
Drugi primjer:
Pomnožite.
Rješenje:
Ako se cijeli pojam izvadi iz zagrada, umjesto njega jedan ostaje u zagradi!
2. Formule za skraćeno množenje. Primjeri.
Najčešće korištene formule su razlika kvadrata, razlika kocki i zbroj kocki. Sjećate se ovih formula? Ako ne, hitno ponovite temu!
primjer:
Faktor izraza.
Rješenje:
U ovom izrazu lako je saznati razliku kocki:
primjer:
Rješenje:
3. Metoda grupisanja. Primjeri
Ponekad je moguće zamijeniti termine na način da se iz svakog para susjednih članova može izdvojiti jedan te isti faktor. Ovaj zajednički faktor se može izvaditi iz zagrade i originalni polinom će se pretvoriti u proizvod.
primjer:
Odvojite polinom.
Rješenje:
Grupiramo termine na sljedeći način:
.
U prvoj grupi izvlačimo zajednički faktor iz zagrada, au drugoj - :
.
Sada se i zajednički faktor može izvući iz zagrada:
.
4. Metoda odabira punog kvadrata. Primjeri.
Ako se polinom može predstaviti kao razlika kvadrata dva izraza, ostaje samo da se primeni skraćena formula za množenje (razlika kvadrata).
primjer:
Odvojite polinom.
Rješenje:primjer:
\begin(niz)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\underbrace(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(kvadrat\ sume\ ((\lijevo (x+3 \desno))^(2)))-9-7=((\levo(x+3 \desno))^(2))-16= \\
=\levo(x+3+4 \desno)\levo(x+3-4 \desno)=\levo(x+7 \desno)\levo(x-1 \desno) \\
\end (niz)
Odvojite polinom.
Rješenje:
\begin(niz)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\underbrace(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(kvadrat\ razlike((\left(((x)^(2))-2 \desno))^(2)))-4-1=((\left(((x)^ (2))-2 \desno))^(2))-5= \\
=\left(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \desno)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \desno) \\
\end (niz)
5. Faktorizacija kvadratnog trinoma. Primjer.
Kvadratni trinom je polinom oblika, gdje je nepoznata, štoviše, neki brojevi.
Vrijednosti varijable koje pretvaraju kvadratni trinom na nulu nazivaju se korijeni trinoma. Prema tome, korijeni trinoma su korijeni kvadratne jednadžbe.
Teorema.
primjer:
Razložimo kvadratni trinom na faktore: .
Prvo, rješavamo kvadratnu jednačinu: Sada možemo zapisati faktorizaciju ovog kvadratnog trinoma u faktore:
E sad tvoje misljenje...
Detaljno smo opisali kako i zašto faktorizirati polinom.
Naveli smo puno primjera kako se to radi u praksi, ukazali na zamke, dali rješenja...
Šta kažeš?
Kako vam se sviđa ovaj članak? Koristite li ove trikove? Razumijete li njihovu suštinu?
Pišite u komentare i... spremite se za ispit!
Do sada ti je to najvažnija stvar u životu.
Polinomi su najvažnija vrsta matematičkih izraza. Na osnovu polinoma konstruisan je skup jednadžbi, nejednačina i funkcija. Problemi različitih nivoa složenosti često sadrže faze svestrane transformacije polinoma. Budući da je matematički svaki polinom algebarski zbir nekoliko monoma, najosnovnija i neophodna promjena je transformacija niza polinoma u proizvod dva (ili više) faktora. U jednadžbama koje imaju mogućnost nuliranja jednog od dijelova, prevođenje polinoma u faktore omogućava vam da izjednačite neki dio sa nulom, i tako riješite cijelu jednačinu.
Prethodni video tutorijali su nam pokazali da u linearnoj algebri postoje tri glavna načina za prevođenje polinoma u faktore. Ovo je vađenje zajedničkog faktora iz zagrada, pregrupisavanje prema sličnim terminima, koristeći skraćene formule za množenje. Ako svi članovi polinoma imaju neku zajedničku osnovu, onda se on može lako izvaditi iz zagrada, ostavljajući ostatak podjela u obliku modificiranog polinoma u zagradama. Ali najčešće, jedan faktor ne odgovara svim monomima, utječući samo na dio njih. U ovom slučaju, drugi dio monoma može imati svoju zajedničku osnovu. U takvim slučajevima se primenjuje metod grupisanja – zapravo, stavljanje u zagrade nekoliko faktora i kreiranje složen izraz, koji se može konvertovati na druge načine. I, konačno, postoji čitav kompleks posebnih formula. Svi su formirani apstraktnim proračunima metodom najjednostavnijeg množenja član po član. Tokom izračunavanja, mnogi elementi u početnom izrazu se smanjuju, ostavljajući male polinome. Kako ne biste svaki put provodili opsežne proračune, možete koristiti gotove formule, njihove inverzne verzije ili generalizirane zaključke ovih formula.
U praksi se često dešava da u jednoj vježbi morate kombinirati nekoliko tehnika, uključujući i one iz kategorije polinomskih transformacija. Razmotrimo primjer. Faktoriziraj po binomu:
Izvlačimo zajednički faktor 3 iz zagrada:
3x3 - 3x2 = 3x(x2 - y2)
Kao što možete vidjeti u videu, druge zagrade sadrže razliku kvadrata. Primjenjujemo inverznu skraćenu formulu množenja, dobivajući:
3x(x2 - y2) = 3x(x + y)(x - y)
Još jedan primjer. Transformirajmo izraz oblika:
18a2 - 48a + 32
Numeričke koeficijente smanjujemo stavljanjem u zagrade dvojke:
18a2 - 48a + 32 = 2(9a2 - 24a + 16)
Da bismo pronašli odgovarajuću skraćenu formulu množenja za ovaj slučaj, potrebno je malo prilagoditi izraz prilagođavanjem formule uslovima:
2(9a2 - 24a + 16) = 2((3a)2 - 2(3a)4 + (4)2)
Ponekad formulu u zbunjujućem izrazu nije tako lako uočiti. Potrebno je primijeniti metode dekomponiranja izraza na njegove sastavne elemente, ili dodati imaginarne parove konstrukcija, kao što je +x-x. Ispravljajući izraz, moramo se pridržavati pravila sukcesije znakova, te očuvanja značenja izraza. Istovremeno, treba pokušati dovesti polinom u potpunu usklađenost sa apstraktnom verzijom formule. U našem primjeru primjenjujemo formulu kvadrata razlike:
2((3a)2 - 2(3a)4 + (4)2) = 2(3a - 4)
Hajde da uradimo težu vežbu. Hajde da faktorizujemo polinom:
U3 - 3y2 + 6y - 8
Za početak, izvršimo prikladno grupiranje - prvi i četvrti element u jednu grupu, drugi i treći - u drugu:
Y3 - 3y2 + 6y - 8 = (y3 - 8) - (3y2 - 6y)
Imajte na umu da su predznaci u drugim zagradama obrnuti, pošto smo pomaknuli minus iz izraza. U prvim zagradama možemo napisati:
(y3 - (2)3) - (3y2 - 6y)
Ovo vam omogućava da primijenite formulu smanjenog množenja kako biste pronašli razliku kocki:
(y3 - (2)3) - (3y2 - 6y) = (y - 2) (y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y)
Zajednički faktor 3y vadimo iz druge zagrade, nakon čega izvlačimo zagrade (y - 2) iz cijelog izraza (binom), dajemo slične pojmove:
(y - 2)(y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y) = (y - 2)(y2 + 2y + 4) - 3y(y - 2) =
\u003d (y - 2) (y2 + 2y + 4 - 3y) \u003d (y - 2) (y2 - y + 4)
U općoj aproksimaciji, postoji određeni algoritam radnji pri rješavanju ovakvih vježbi.
1. Tražimo zajedničke faktore za cjelokupni izraz;
2. Grupišemo slične monome, tražimo zajedničke faktore za njih;
3. Trudimo se da stavimo u zagrade najprikladniji izraz;
4. Primjenjujemo formule skraćenog množenja;
5. Ako u nekoj fazi proces ne ide, unosimo zamišljeni par izraza oblika -x + x, ili druge samoponištavajuće konstrukcije;
6. Dajemo slične termine, smanjujemo nepotrebne elemente
Sve tačke algoritma su rijetko primjenjive u jednom zadatku, ali opći tok rješavanja bilo koje vježbe na temu može se pratiti određenim redoslijedom.