Zamislite mehanički sistem koji se sastoji od materijalne tačke, na koje djeluju sile. Neka sistem ima s stupnjeva slobode i njegov položaj je određen generaliziranim koordinatama (104). Recimo sistemu takav nezavisan moguće pomjeranje, pri čemu se koordinate povećavaju, a preostale koordinate se ne mijenjaju. Tada će svaki od radijus-vektora tačaka sistema dobiti elementarni prirast . Budući da se, prema jednakosti (106), , i samo se koordinate mijenjaju tokom razmatranog pomaka (ostale ostaju konstantne), onda se izračunava kao privatni diferencijal i stoga
Koristeći ovu jednakost i formulu (42) iz § 87, izračunavamo zbir elementarnih radova svih sila koje djeluju na razmatrani pomak koji označavamo
Uzimajući zajednički faktor iz zagrada, konačno nalazimo
gdje je naznačeno
Po analogiji s jednakošću koja određuje elementarni rad sile F, vrijednost se naziva generalizirana sila koja odgovara koordinati
Informirajući sistem o drugom nezavisnom mogućem pomaku, u kojem se mijenja samo koordinata, dobijamo za elementarni rad svih sila koje djeluju na ovaj pomak, izraz
Količina je generalizirana sila koja odgovara koordinati , i tako dalje.
Očigledno, ako je sistem obaviješten o takvom mogućem pomaku, u kojem se sve njegove generalizirane koordinate mijenjaju istovremeno, onda je zbir elementarnih radova primijenjenih sila na ovaj pomak određen jednakošću
Formula (112) daje izraz za ukupan elementarni rad svih sila koje djeluju na sistem u generaliziranim koordinatama. Iz ove jednakosti je jasno da su generalizirane sile veličine, jednaka koeficijentima pri priraštajima generaliziranih koordinata u izrazu ukupnog elementarnog rada sila koje djeluju na sistem.
Ako su sva ograničenja nametnuta sistemu idealna, tada samo aktivne sile obavljaju rad sa mogućim pomacima, a veličine će biti generalizovane aktivne sile sistema.
Dimenzija generalizirane sile ovisi o dimenziji odgovarajuće generalizirane koordinate. Pošto proizvod a ima dimenziju rada, onda
tj. dimenzija generalizovane sile jednaka je dimenziji rada podeljenoj sa dimenzijom odgovarajuće generalizovane koordinate. Ovo pokazuje da ako je q linearna veličina, onda Q ima dimenziju obične sile (u SI se mjeri u njutnima), ako je q ugao (bezdimenzionalna veličina), onda će Q biti mjeren u i ima dimenziju trenutka; ako je q volumen (na primjer, položaj klipa u cilindru može se odrediti zapreminom klipnog prostora), tada će Q biti mjeren u i ima dimenziju tlaka, itd.
Kao što vidimo, po analogiji sa generalizovanom brzinom, koncept generalizovane sile pokriva sve veličine koje su se ranije susrele kao mere mehanička interakcija materijalna tela(sila, moment sile, pritisak).
Generalizovane sile ćemo izračunati koristeći formule oblika (108), (110), što se svodi na proračun mogućeg elementarnog rada (vidi § 140). Prvo treba odrediti broj stupnjeva slobode sistema, odabrati generalizirane koordinate i prikazati na crtežu sve aktivne sile i sile trenja koje se primjenjuju na sistem (ako funkcionišu). Zatim, da bi se utvrdilo, potrebno je izvesti sistem o takvom mogućem pomaku, u kojem se samo promjene koordinata, primajući pozitivan prirast, računaju na ovom pomaku zbir elementarnih radova svih djelujućih sila prema formulama (101) i predstaviti rezultirajući izraz u obliku (108). Zatim koeficijent pri i daje željenu vrijednost . The
Primer 1. Izračunajmo generalizovanu silu za sistem prikazan na sl. 366, gdje će opterećenje A po težini prelaziti duž glatke nagnute ravni, a opterećenje B po težini - duž grube horizontalne ravni, čiji je koeficijent trenja jednak
Tegovi su povezani niti prebačenim preko bloka O. Zanemarujemo masu konca i bloka. Sistem ima jedan stepen slobode, položaj je određen koordinatama (pozitivni referentni smjer je prikazan strelicom). Da bismo odredili, kažemo sistemu mogući pomak pri kojem izračunavamo elementarni rad sila na ovom pomaku, preostale sile ne vrše rad. Od tada
shodno tome,
Primer 2. Zanemarujući trenje, nalazimo generalizovane sile za sistem prikazan na sl. 367. Homogeni štap A B ima dužinu l i težinu P i može se rotirati oko ose A u vertikalnoj ravni. Lopta M nanizana na nju ima težinu. Dužina opruge AM jednaka je u nenapregnutom stanju, a krutost c.
Sistem ima dva stepena slobode (kretanje lopte duž štapa i rotacija štapa oko ose A su nezavisni). Kao generalizovane koordinate biramo ugao i udaljenost lopte od kraja nenapregnute opruge, pozitivni pravci koordinata su prikazani strelicama.
Prvo informiramo sistem o mogućem pomaku, pri čemu kut dobiva prirast . Na ovom pokretu rad obavljaju "sile. Prema drugoj od formula (101) nalazimo (ovdje znak minus jer je smjer trenutka suprotan od smjera )
shodno tome,
Sada kažemo sistemu moguće kretanje, u kojem se mijenja samo koordinata, primajući prirast , i kut . Na ovom pomaku rad obavljaju sila gravitacije i sila elastičnosti, čiji je modul Tada
Analitička mehanika. Klasifikacija veza. Primjeri. Moguća kretanja.
Veza- ovo je odnos koordinata i brzina tačaka sistema koje su međusobno povezane i predstavljene kao jednakosti ili nejednakosti.
Klasifikacija:
Geometrijski– nameće ograničenja samo na koordinate tačaka sistema (brzine nisu uključene)
Kinematic– brzine su uključene u jednačine. Ako se brzine mogu eliminisati, onda je veza integrabilna.
Holonomske veze su geometrijska i integrabilna diferencijalna ograničenja.
Veza se zove zadržavajući se(nametnuta ili ograničenja ostaju u bilo kojoj poziciji sistema) i nezadržavanje, koji ne poseduju ovo svojstvo (od takvih veza, kako kažu, sistem se može "osloboditi"
Moguće preseljenje
Bilo koji mentalni
Infinitezimal
Pomicanje sistemskih tačaka je dozvoljeno
U ovom trenutku
veze nametnute sistemu.
Stvarni pomak- zavisi od sila, vremena, veza, početnih uslova.
Moguće kretanje - zavisi samo od priključaka.
Za stacionarne veze, stvarni pomak je jedan od mogućih.
Idealne veze. Princip mogućih pokreta.
Idealno nazivaju se veze za koje je zbir elementarnih radova svih njihovih reakcija na bilo koji mogući pomak jednak 0.
Princip mogućih pokreta.
Za ravnotežu mehaničkog sistema sa idealnim stacionarnim ograničenjima potrebno je i dovoljno da zbir elementarnog rada svih aktivnih sila na bilo koji mogući pomak bude jednak 0. U ovom slučaju, za dovoljnost, početna brzina mora biti jednaka na nulu. Neophodan saldo => Dovoljan => saldo.
Generalizirane koordinate. Broj stepeni slobode sistema. Generalizovane sile, metode njihovog proračuna. Uslovi ravnoteže za sistem sa holonomskim ograničenjima, izraženi u terminima generalizovanih sila.
Generalizirane koordinate je nezavisni parametar koji u potpunosti određuje položaj sistema i kroz koji se mogu izraziti sve kartezijanske koordinate tačaka sistema.
Broj stupnjeva slobode određen je brojem generaliziranih koordinata
Broj nezavisnih skalarnih veličina koje na jedinstven način određuju položaj mehaničkog sistema u prostoru naziva se broj stepeni slobode.
Generalizovane koordinate mehaničkog sistema su bilo koje međusobno nezavisne geometrijske veličine koje na jedinstven način određuju položaj sistema u prostoru.
Q i = δA j /δq j ili δA j = Q i ⋅ δq j .
Generalizirana sila- to je takva sila koja vrši isti rad na mogućem kretanju po svojoj generalizovanoj koordinati kao i sve sile koje se primenjuju na sistem, na odgovarajuće kretanje tačaka njihove primene.
Da bismo pronašli generaliziranu silu, dajemo mogući pomak duž njene generalizirane koordinate, ostavljajući ostale koordinate nepromijenjene. Zatim nalazimo rad svih sila primijenjenih na sistem i dijelimo ih sa mogućim pomakom.
Princip mogućih pomaka u terminima generalizovanih sila.
Budući da je u ravnoteži zbir elementarnog rada na bilo kojem mogućem pomaku ( bA=bq j , koje ne zavise jedna od druge, onda ovo mora biti tačno: Q 1 =0; Q 2 =0; Q K =0
Fig.71
Fig.70
Fig.69
Položaj tačaka radilice (Sl. 70) može se odrediti podešavanjem ugla rotacije poluge ili udaljenosti s, koji određuje položaj klizača AT(na ).
Položaj sfernog klatna (Sl. 71) određuje se postavljanjem dva parametra, uglova i .
Minimalni iznos generalizovane koordinate nezavisne jedna od druge, koje su dovoljne da potpuno i jedinstveno odrede položaj svih tačaka sistema, nazivaju se broj stepena slobode ovaj sistem.
Općenito, nekoliko generaliziranih koordinata može se dodijeliti bilo kojem materijalnom sistemu. Na primjer, radilica (slika 70) ima dvije generalizirane koordinate i . Ali to ne znači da mehanizam ima dva stepena slobode, jer se jedna koordinata može definirati kroz drugu:
Ali klatno (slika 71) ima dva stepena slobode, jer njegov položaj je određen sa dve nezavisne generalizovane koordinate. Usput, ako se dužina klatna promijeni, onda da se odredi položaj točke M potreban je još jedan parametar - generalizirana koordinata l, dužina navoja. A klatno će imati tri stepena slobode.
Uopštene koordinate u opštem slučaju će biti označene slovom q.
Neka materijalni sistem Ima s stepena slobode. Njegov položaj je određen generaliziranim koordinatama: q 1 , q 2 , q 3 ,…, q k,…, q s . .
Lako je to provjeriti Kartezijanske koordinate n sistemske točke se mogu definirati kao funkcije generaliziranih koordinata i vremena:
Dakle, kod klatna (sl. 71) koordinate tačke M
postoje koordinatne funkcije l, i , i vrijeme t, ako l = l(t).
U skladu s tim, radijus vektor tačaka sistema se također može definirati kao funkcija generaliziranih koordinata i vremena:
Za svaku generalizovanu koordinatu može se izračunati odgovarajuća generalizovana sila Q k.
Obračun se vrši prema ovom pravilu.
Odrediti generaliziranu silu Q k koja odgovara generalizovanoj koordinati q k, morate ovoj koordinati dati prirast (povećati koordinatu za ovaj iznos), ostavljajući sve ostale koordinate nepromijenjene, izračunati zbir rada svih sila primijenjenih na sistem na odgovarajuće pomake tačaka i podijeliti ga s prirastom koordinata:
gdje je pomak i-ta tačka sistema dobijena promenom k– ta generalizovana koordinata.
Generalizirana sila se određuje pomoću elementarnog rada. Stoga se ova sila može izračunati drugačije:
A budući da postoji povećanje radijus vektora zbog povećanja koordinata sa preostalim koordinatama i vremenom nepromijenjenim t, omjer se može definirati kao parcijalni izvod od . Onda
gdje su koordinate tačaka funkcije generaliziranih koordinata (5).
Ako je sistem konzervativan, odnosno kretanje se dešava pod dejstvom sila potencijalno polje, čije su projekcije , gdje su , a koordinate tačaka funkcije generaliziranih koordinata, onda
Generalizovana sila konzervativnog sistema je parcijalni izvod potencijalne energije u odnosu na odgovarajuću generalizovanu koordinatu sa predznakom minus.
Naravno, prilikom izračunavanja ove generalizovane sile potencijalna energija treba definirati kao funkciju generaliziranih koordinata
P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).
Napomene.
Prvo. Prilikom izračunavanja generaliziranih sila reakcije, idealne veze se ne uzimaju u obzir.
Sekunda. Dimenzija generalizirane sile ovisi o dimenziji generalizirane koordinate. Dakle, ako je dimenzija [ q] je metar, zatim dimenzija
Nm/m = Njutn ako [ q] je radijan, tada je = Nm; ako [ q] = m 2 , zatim, itd.
Primjer 23. Prsten klizi duž štapa koji oscilira u okomitoj ravni M vaganje R(sl.72). Pretpostavlja se da je štap bestežinski. Hajde da definišemo generalizovane sile.
Definicija generaliziranih sila
Za sistem sa jednim stepenom slobode, generalizovana sila koja odgovara generalizovanoj koordinati q, naziva se vrijednost određena formulom
gdje d q je mali prirast generalizovane koordinate; je zbir elementarnog rada sila sistema na njegovom mogućem pomeranju.
Podsjetimo da je moguće pomjeranje sistema definirano kao pomicanje sistema u beskonačno blisku poziciju koju dozvoljavaju ograničenja u datom trenutku (za detalje pogledajte Dodatak 1).
Poznato je da je zbir rada reakcionih sila idealnih veza na bilo koji mogući pomak sistema jednak nuli. Stoga, za sistem sa idealnim vezama, izraz treba da uzme u obzir samo rad aktivnih sila sistema. Ako veze nisu idealne, tada se njihove reakcione sile, na primjer, sile trenja, uslovno smatraju aktivnim silama (pogledajte dolje za upute na dijagramu na slici 1.5). B uključuje elementarni rad aktivnih sila i elementarni rad momenata aktivnih parova sila. Napišimo formule za određivanje ovih poslova. Recimo sila ( Fkx ,Fky ,Fkz) se primjenjuje u tački To, čiji je radijus vektor ( xk ,yk ,zk), a mogući pomak - (d x k , d y k , d zk). Elementarni rad sile na mogućem pomaku jednak je tačkasti proizvod, koji u analitički oblik odgovara izrazu
d ALI( ) = F to d r do cos(), (1.3a)
a u koordinatnom obliku izraz
d ALI( ) = Fkx d x k + F ky d y k + F kz d zk. (1.3b)
Ako par sila sa momentom M primijenjeno na rotirajuće tijelo, čija je ugaona koordinata j, a mogući pomak dj, tada je elementarni rad momenta M na mogući pomak dj određuje se formulom
d A(M) = ± M d j. (1.3v)
Ovdje znak (+) odgovara slučaju kada je trenutak M i mogući pomak dj se poklapaju u pravcu; znak (–) kada su u suprotnom smjeru.
Da bismo mogli odrediti generaliziranu silu po formuli (1.3), potrebno je moguće pomake tijela i tačaka u izraziti kroz mali prirast generalizovane koordinate d q, koristeći zavisnosti (1)…(7) pril. jedan.
Generalizirana definicija sile Q koja odgovara izabranoj generalizovanoj koordinati q, preporučljivo je to učiniti sljedećim redoslijedom.
· Prikaži na dijagramu dizajna sve aktivne sile sistema.
Dajte mali prirast generaliziranoj koordinati d q > 0; prikazati na projektnom dijagramu odgovarajuće moguće pomake svih tačaka na koje se primjenjuju sile i moguće kutne pomake svih tijela na koja se primjenjuju momenti parova sila.
Sastaviti izraz za elementarni rad svih aktivnih sila sistema na ovim pomacima, mogući pomaci izraženo kroz d q.
· Odrediti generaliziranu silu formulom (1.3).
Primer 1.4 (pogledajte uslov za sliku 1.1).
Definirajmo generaliziranu silu koja odgovara generaliziranoj koordinati s(Sl. 1.4).
Aktivne sile koje djeluju na sistem su: P- težina tereta; G– težina i obrtni moment bubnja M.
Gruba nagnuta ravan je za opterećenje ALI nesavršena veza. sila trenja klizanja F tr djelujući na opterećenje A sa strane ove veze, jednako je F tr \u003d f N.
Za određivanje snage N normalan pritisak tereta na ravan tokom kretanja, koristimo d'Alembertov princip: ako, pored aktivnih sila i sila reakcija veza, na svaku tačku sistema primenimo i uslovnu silu inercije, tada će formirani skup sila biti uravnotežen i jednačinama dinamike se može dati oblik ravnotežnih jednačina statike. Prateći dobro poznatu metodu primjene ovog principa, prikazujemo sve sile koje djeluju na opterećenje A(Sl. 1.5), - i , gdje - sila zatezanja kabla.
Rice. 1.4 Sl. 1.5
Dodajmo silu inercije, gdje je ubrzanje tereta. Jednadžba d'Alembertovog principa u projekciji na osu y ima oblik N-Pcos a = 0.
Odavde N = Pcos a. Sila trenja klizanja sada se može odrediti formulom F tr \u003d f P cos a.
Dajemo generaliziranu koordinatu s mali prirast d s > 0. U ovom slučaju, opterećenje (slika 1.4) će se pomjeriti nagore u kosoj ravni na udaljenosti d s, a bubanj će se rotirati u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za ugao od dj.
Koristeći formule kao što su (1.3a) i (1.3c), sastavljamo izraz za zbir elementarnog rada trenutka M, sile P i F tr:
izraziti u ovoj jednačini dj u terminima d s: , onda
generaliziranu silu definiramo formulom (1.3)
uzimamo u obzir prethodno napisanu formulu za F tr i konačno dobijamo
Ako u istom primjeru uzmemo ugao j kao generaliziranu koordinatu, onda je generalizirana sila Qj izraženo formulom
1.4.2. Određivanje generalizovanih sila sistema
sa dva stepena slobode
Ako sistem ima n stepena slobode, određuje se njegov položaj n generalizovane koordinate. Svaka koordinata q i(i = 1,2,…,n) odgovara njegovoj generalizovanoj sili Q i, što je određeno formulom
gdje je zbir elementarnog rada aktivnih sila na i-to moguće kretanje sistema kada d q i > 0, a ostale generalizirane koordinate su nepromijenjene.
Prilikom određivanja potrebno je uzeti u obzir upute za određivanje generaliziranih sila prema formuli (1.3).
Generalizovane sile sistema sa dva stepena slobode se preporučuje da se odrede sledećim redosledom.
· Prikaži na dijagramu dizajna sve aktivne sile sistema.
Odredite prvu generalizovanu silu Q1. Da biste to učinili, dajte sistemu prvi mogući pokret kada d q 1 > 0 i d q 2 =q 1 moguća pomeranja svih tela i tačaka sistema; komponovati - izraz elementarnog rada sila sistema na prvom mogućem pomeranju; moguća pomaka u ekspresnom preko d q 1; naći Q1 po formuli (1.4), uz pretpostavku i = 1.
Odredite drugu generalizovanu silu Q2. Da biste to učinili, dajte sistemu drugi mogući pokret, kada d q 2 > 0 i d q 1 = 0; pokazati na šemi proračuna odgovarajuće d q2 moguća pomeranja svih tela i tačaka sistema; komponovati - izraz elementarnog rada sila sistema na drugom mogućem pomeranju; moguća pomaka u ekspresnom preko d q2; naći Q2 po formuli (1.4), uz pretpostavku i = 2.
Primjer 1.5 (vidi uslov za sliku 1.2)
Hajde da definišemo Q1 i Q2, što odgovara generalizovanim koordinatama x D i x A(Sl. 1.6, a).
Na sistem djeluju tri aktivne sile: P A = 2P, P B = P D = P.
Definicija Q1. Dajmo sistemu prvi mogući pomak kada je d x D > 0, d x A = 0 (sl. 1.6, a). U isto vrijeme, teret D x D, blok B okrenite u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za ugao dj B, osovina cilindra A ostaje nepomičan, cilindar A okrenite oko ose A na uglu dj A u smjeru kazaljke na satu. Sastavite zbir rada na navedenim pomacima:
definisati
Hajde da definišemo Q2. Dajmo sistemu drugi mogući pomak kada je d x D = 0, d x A > 0 (sl. 1.6, b). U ovom slučaju, osovina cilindra A kretati se okomito prema dolje na udaljenosti d x A, cilindar A okrenite oko ose A u smjeru kazaljke na satu do dj kuta A, blok B i tereta D ostaće nepomičan. Sastavite zbir rada na navedenim pomacima:
definisati
Primjer 1.6 (vidi uslov za sliku 1.3)
Hajde da definišemo Q1 i Q2, što odgovara generalizovanim koordinatama j, s(Sl. 1.7, a). Na sistem djeluju četiri aktivne sile: težina štapa P, težina lopte , sila opruge i .
Naučimo to. Modul elastičnih sila određen je formulom (a).
Imajte na umu da je tačka primjene sile F2 je nepomična, stoga je rad ove sile na bilo koji mogući pomak sistema jednak nuli, u izrazu generaliziranih sila, sila F2 neće ući.
Definicija Q1. Dajmo sistemu prvi mogući potez kada dj > 0, d s= 0 (sl. 1.7, a). U isto vrijeme, štap AB okrenite oko ose z u smjeru suprotnom od kazaljke na satu po dj kutu, moguća kretanja lopte D i centar Eštapovi su usmjereni okomito na segment AD, dužina opruge se neće promijeniti. Sastavite u koordinatnom obliku [vidi. formula (1.3b)]:
(Imajte na umu da je, dakle, rad ove sile na prvom mogućem pomaku jednak nuli).
Izrazimo pomake d x E i d x D preko dj. Da bismo to učinili, prvo pišemo
Zatim, u skladu sa formulom (7) adj. 1 nalaz
Zamjenom pronađenih vrijednosti u , dobijamo
Formulom (1.4), uzimajući u obzir da , definiramo
Definicija Q2. Dajmo sistemu drugi mogući potez kada dj = 0, d s > 0 (sl. 1.7, b). U isto vrijeme, štap AB ostaje nepomična, a lopta M kretat će se duž štapa za udaljenost d s. Sastavite zbir rada na navedenim pomacima:
definisati
zamjenjujući vrijednost sile F1 iz formule (a), dobijamo
1.5. Izraz kinetička energija sistemima
u generalizovanim koordinatama
Kinetička energija sistema jednaka je zbiru kinetičkih energija njegovih tijela i tačaka (Prilog 2). Da dobijem za T U izrazu (1.2), brzine svih tela i tačaka sistema treba izraziti u terminima generalizovanih brzina primenom metoda kinematike. U ovom slučaju se smatra da je sistem u proizvoljnom položaju, sve njegove generalizirane brzine se smatraju pozitivnim, odnosno usmjerenim u smjeru povećanja generaliziranih koordinata.
Primjer 1 7 (vidi uslov za sliku 1.1)
Odredimo kinetičku energiju sistema (slika 1.8), uzimajući udaljenost kao generalizovanu koordinatu s,
T = T A + T B.
Prema formulama (2) i (3) pril. 2 imamo: .
Zamjena ovih podataka u T i uzimajući u obzir to, dobijamo
Primjer 1.8(vidi uslov za sliku 1.2)
Odredimo kinetičku energiju sistema na sl. 1.9, uzimajući kao generalizovane koordinate veličine x D i x A,
T = T A + T B + T D.
Prema formulama (2), (3), (4) pril. 2 zapišite
Express V A , V D , w B i w A kroz:
Prilikom određivanja w A smatrao da je to poenta O(Sl. 1.9) - trenutni centar brzina cilindra A i V k = V D(vidi relevantna objašnjenja za primjer 2, dodatak 2).
Zamjena dobijenih rezultata u T i s obzirom na to
definisati
Primjer 1.9(pogledajte uslov za sliku 1.3)
Odredimo kinetičku energiju sistema na sl. 1.10, uzimajući kao generalizovane koordinate j i s,
T = T AB + T D.
Prema formulama (1) i (3) pril. 2 imamo
Express w AB i V D kroz i :
gdje - prenosiva brzina lopta D, njegov modul je određen formulom
Usmjeren okomito na segment AD u pravcu povećanja ugla j; je relativna brzina lopte, njen modul je određen formulom , usmjeren je u smjeru povećanja koordinata s. Imajte na umu da je okomito, dakle
Zamjena ovih rezultata u T i s obzirom na to
1.6. Izrada diferencijalne jednadžbe
kretanje mehaničkih sistema
Da bi se dobile željene jednačine, potrebno je u Lagrangeove jednačine (1.1) zamijeniti prethodno pronađeni izraz za kinetičku energiju sistema u generaliziranim koordinatama i generaliziranim silama Q 1 , Q 2 , … , Qn.
Prilikom pronalaženja parcijalnih izvoda T u smislu generalizovanih koordinata i generalizovanih brzina, treba uzeti u obzir da su varijable q 1 , q 2 , … , qn; smatraju se nezavisnim jedna od druge. To znači da definiranjem parcijalnog izvoda T za jednu od ovih varijabli, sve ostale varijable u izrazu za T treba tretirati kao konstante.
Prilikom izvođenja operacije, sve varijable uključene u varijablu treba razlikovati s obzirom na vrijeme.
Naglašavamo da su Lagrangeove jednadžbe napisane za svaku generaliziranu koordinatu q i (i = 1, 2,…n) sistemi.
U analitičkoj mehanici, zajedno sa konceptom sile kao vektorske veličine koja karakteriše uticaj na dato telo od drugih materijalnih tijela, koristite koncept generalizovana sila. Za utvrđivanje generalizovana sila razmotriti virtuelni rad sila primenjenih na tačke sistema.
Ako je mehanički sistem sa holonomskim ograničenjima nametnutim na njega h veze ima s=3n-h stepena slobode ,
tada se određuje pozicija ovog sistema 
( i = s)
generalizirane koordinate i (2.11) :
Prema (2.13), (2.14) virtualni pomak k- th point
(2.13)
(2.14)
Zamjena (2.14): u formulu za virtualni rad sila
(2.24), dobijamo
skalarnu vrijednost 
= (2.26)
pozvao generalizovana sila odgovarajući i-ta generalizovana koordinata.
generalizovana snaga,odgovarajući i-Generalizovana koordinata, naziva se vrednost jednaka množiocu u varijaciji ove generalizovane koordinate u izrazu virtuelnog rada sila koje deluju na mehanički sistem.
virtuelni rad utvrđeno od
¾ postavljene aktivne sile, neovisne o ograničenjima i
¾ reakcije veza (ako veze nisu idealne, tada je za rješavanje problema potrebno dodatno postaviti fizičku ovisnost T j from N j , ( T j ¾ su, po pravilu, sile trenja ili momenti otpora trenju kotrljanja, koje možemo odrediti).
Uglavnom generalizovana sila je funkcija generaliziranih koordinata, brzina sistemskih tačaka i vremena. Iz definicije proizilazi da generalizovana sila¾ je skalarna vrijednost koja ovisi o generaliziranim koordinatama odabranim za dati mehanički sistem. To znači da se sa promjenom skupa generaliziranih koordinata koje određuju položaj datog sistema generalizovane sile.
Primjer 2.10. 
Za disk sa radijusom r i težinu m, koji se kotrlja bez klizanja duž nagnute ravni (slika 2.9), može se uzeti generalizovana koordinata:
¾ ili q = s¾ pomicanje centra mase diska,
¾or q= j ¾ ugao rotacije diska. Ako se zanemari otpor kotrljanja, tada:
¾ u prvom slučaju generalizovana sila bice
Rice. 2.9 Q s = mg sina, a
¾ u drugom slučaju ¾ Q j = mg r cosa.
Generalizirana koordinata također određuje mjernu jedinicu odgovarajućeg generalizovana snaga. Iz izraza (2.25)
(2.27)
iz toga sledi da je jedinica mere generalizovana sila jednaka je jedinici mjere rada podijeljenoj jedinici mjere generalizirane koordinate.
Ako kao generalizovana koordinata q prihvatiti q = s¾ pomaka bilo koje tačke, zatim jedinice mjere generalizovana sila Q s ¾ će biti [newton] ,
Ako, kao q= j ¾ će se uzeti kao ugao rotacije (u radijanima) tela, a zatim jedinica mere generalizovana sila Q j ¾ će biti [ njutn ´ metar].