Predavanje 3 FNP, parcijalni derivati, diferencijal

Šta je glavna stvar koju smo naučili na prošlom predavanju

Saznali smo šta je funkcija nekoliko varijabli sa argumentom iz Euklidskog prostora. Proučavao se koja je granica i kontinuitet za takvu funkciju

Šta ćemo naučiti na ovom predavanju?

Nastavljajući proučavanje FNP, proučavat ćemo parcijalne derivacije i diferencijale za ove funkcije. Naučite kako napisati jednadžbu tangentne ravni i normale na površinu.

Parcijalni izvod, potpuni diferencijalni FNP. Odnos između diferencijabilnosti funkcije i postojanja parcijalnih izvoda

Za funkciju jedne realne varijable, nakon proučavanja tema "Granice" i "Kontinuitet" (Uvod u matematička analiza) proučavani su derivati ​​i diferencijali funkcije. Okrenimo se razmatranju sličnih pitanja za funkciju nekoliko varijabli. Imajte na umu da ako su svi argumenti osim jednog fiksni u FRR-u, tada FRR generiše funkciju jednog argumenta, za koji se može uzeti u obzir inkrement, diferencijal i izvod. Nazvat ćemo ih parcijalni prirast, parcijalni diferencijal, odnosno parcijalni izvod. Pređimo na tačne definicije.

Definicija 10. Neka je data funkcija varijabli gdje - element euklidskog prostora i odgovarajući priraštaji argumenata , ,…, . Kada su vrijednosti, nazivaju se djelomični priraštaji funkcije. Ukupni prirast funkcije je vrijednost .

Na primjer, za funkciju dvije varijable , gdje je tačka na ravni i , odgovarajući inkrementi argumenata, inkrementi , bit će privatni. U ovom slučaju, vrijednost je puni inkrement funkcije dvije varijable.

Definicija 11. Parcijalni izvod funkcije varijabli by varijabla je granica omjera djelomičnog povećanja funkcije ove varijable prema prirastu odgovarajućeg argumenta kada teži 0.

Definiciju 11 pišemo kao formulu ili proširena. (2) Za funkciju od dvije varijable, definicija 11 se može napisati u obliku formula , . Sa praktične tačke gledišta ovu definiciju znači da kada se izračunava parcijalni izvod u odnosu na jednu varijablu, sve ostale varijable su fiksne i smatramo ovu funkciju kao funkcija jedne odabrane varijable. S obzirom na ovu varijablu, uzima se uobičajeni izvod.

Primjer 4. Za funkciju, pronađite parcijalne izvode i tačku u kojoj su oba parcijalna izvoda 0.

Rješenje . Izračunavamo parcijalne derivate, i sistem napiši u obliku Rješenje ovog sistema je dvije tačke i .

Razmotrimo sada kako se koncept diferencijala može generalizirati na FNP. Podsjetimo da se funkcija jedne varijable naziva diferencijabilna ako je njen prirast predstavljen kao , dok je vrijednost glavni dio prirasta funkcije i naziva se njenim diferencijalom. Vrijednost je funkcija , ima svojstvo da , tj. je funkcija koja je infinitezimalna u usporedbi s . Funkcija jedne varijable je diferencibilna u nekoj tački ako i samo ako ima derivaciju u toj tački. Štaviše, konstanta i jednaka je ovom izvodu, tj. formula vrijedi za diferencijal .

Ako uzmemo u obzir djelimično povećanje FNP-a, tada se mijenja samo jedan od argumenata, a ovaj djelimični prirast se može smatrati povećanjem funkcije jedne varijable, tj. funkcionira ista teorija. Dakle, uslov diferencijabilnosti vrijedi ako i samo ako parcijalni izvod postoji, u kom slučaju privatni diferencijal određuje se formulom .

Koliki je ukupni diferencijal funkcije nekoliko varijabli?

Definicija 12. Funkcija varijabli naziva se diferencibilnim u tački , ako je njegov prirast predstavljen kao . U ovom slučaju, glavni dio prirasta naziva se FNP diferencijal.

Dakle, FNP diferencijal je vrijednost . Hajde da razjasnimo šta podrazumevamo pod vrednošću , koji ćemo nazvati beskonačno malim u poređenju sa prirastima argumenata . Ovo je funkcija koja ima svojstvo da ako su svi priraštaji osim jednog jednaki 0, onda je jednakost . U suštini, to znači da = = + +…+ .

I kako su povezani uslovi za diferencijabilnost FNP i uslovi za postojanje parcijalnih izvoda ove funkcije?

Teorema 1. Ako je funkcija varijabli diferencibilna u nekoj tački , tada ima parcijalne derivate u odnosu na sve varijable u ovoj tački iu isto vrijeme .

Dokaz. Zapisujemo jednakost za i u obliku i podijeliti obje strane rezultirajuće jednakosti sa . U rezultirajućoj jednakosti, prelazimo na granicu na . Kao rezultat, dobijamo traženu jednakost. Teorema je dokazana.

Posljedica. Diferencijal funkcije varijabli izračunava se po formuli . (3)

U primjeru 4, diferencijal funkcije je bio jednak . Imajte na umu da je isti diferencijal u tački jednak . Ali ako ga izračunamo u točki s inkrementima , , Tada će diferencijal biti jednak . Imajte na umu da , tačna vrijednost datu funkciju u tački je jednako , ali ista vrijednost, približno izračunata korištenjem 1. diferencijala, jednaka je . Vidimo da zamjenom prirasta funkcije njenim diferencijalom možemo aproksimirati vrijednosti funkcije.

Ali hoće li funkcija nekoliko varijabli biti diferencibilna u jednoj tački ako ima parcijalne izvode u toj tački. Za razliku od funkcije jedne varijable, odgovor na ovo pitanje je ne. Tačnu formulaciju odnosa daje sljedeća teorema.

Teorema 2. Ako je funkcija varijabli u točki postoje kontinuirani parcijalni derivati ​​u odnosu na sve varijable, tada je funkcija diferencibilna u ovoj tački.

kao . Samo jedna varijabla se mijenja u svakoj zagradi, tako da tu i tamo možemo primijeniti Lagrangeovu formulu konačnog priraštaja. Suština ove formule je da je za kontinuirano diferencibilnu funkciju jedne varijable razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke jednaka vrijednosti derivacije u nekoj međutočki, pomnoženoj s udaljenosti između tačaka. Primjenjujući ovu formulu na svaku od zagrada, dobivamo . Zbog kontinuiteta parcijalnih izvoda, derivacija u tački i derivacija u tački se razlikuju od izvoda i u tački po vrijednostima i teže ka 0 kao težeći 0. Ali tada i, očito, . Teorema je dokazana. , i koordinata Provjerite pripada li ova tačka površini. Napišite jednačinu za tangentnu ravan i jednačinu za normalu na površinu u navedenoj tački.

Rješenje. Zaista, . Već smo u prošlom predavanju izračunali diferencijal ove funkcije u proizvoljnoj tački, at dati poen on je jednak. Stoga će jednadžba tangentne ravni biti zapisana u obliku ili , a jednačina normale - u obliku .

privatni derivat funkcije z = f(x, y promenljivom x derivacija ove funkcije se poziva na konstantnu vrijednost varijable y, označava se ili z "x.

privatni derivat funkcije z = f(x, y) promenljivom y naziva se derivacija u odnosu na y na konstantnoj vrijednosti varijable y; označava se ili z "y.

Parcijalni izvod funkcije nekoliko varijabli u odnosu na jednu varijablu definira se kao izvod ove funkcije u odnosu na odgovarajuću varijablu, pod uslovom da se ostale varijable smatraju konstantnim.

puni diferencijal funkcija z = f(x, y) u nekoj tački M(X, y) naziva se izrazom

,

Gdje su i izračunate u tački M(x, y), a dx = , dy = y.

Primjer 1

Izračunajte ukupni diferencijal funkcije.

z \u003d x 3 - 2x 2 y 2 + y 3 u tački M (1; 2)

Rješenje:

1) Pronađite parcijalne izvode:

2) Izračunajte vrijednost parcijalnih izvoda u tački M(1; 2)

() M \u003d 3 1 2 - 4 1 2 2 \u003d -13

() M \u003d - 4 1 2 2 + 3 2 2 \u003d 4

3) dz = - 13dx + 4dy

Pitanja za samokontrolu:

1. Šta se naziva antiderivatom? Navedite svojstva antiderivata.

2. Šta se zove neodređeni integral?

3. Navedite svojstva neodređenog integrala.

4. Navedite osnovne formule integracije.

5. Koje metode integracije poznajete?

6. Koja je suština Newton-Leibnizove formule?

7. Dajte definiciju određenog integrala.

8. Koja je suština izračunavanja određenog integrala metodom zamjene?

9. Koja je suština metode izračunavanja određenog integrala po dijelovima?

10. Koja se funkcija naziva funkcijom dvije varijable? Kako se označava?

11. Koja se funkcija naziva funkcijom od tri varijable?

12. Koji skup se naziva domenom funkcije?

13. Uz pomoć kojih nejednačina se može definirati zatvoreno područje D na ravni?

14. Kako se naziva parcijalni izvod funkcije z \u003d f (x, y) u odnosu na varijablu x? Kako se označava?

15. Kako se naziva parcijalni izvod funkcije z \u003d f (x, y) u odnosu na varijablu y? Kako se označava?

16. Koji izraz se naziva totalni diferencijal funkcije

Tema 1.2 Obične diferencijalne jednadžbe.

Problemi koji vode do diferencijalnih jednadžbi. Diferencijalne jednadžbe sa odvojivim varijablama. Opća i privatna rješenja. Homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda. Linearno homogene jednačine drugog reda sa konstantnim koeficijentima.

Praktična lekcija br. 7 „Pronalaženje općih i posebnih rješenja diferencijalne jednadžbe sa odvojivim varijablama"*

Praktična lekcija br. 8 "Linearne i homogene diferencijalne jednadžbe"

Praktična nastava br. 9 „Rješenje diferencijalnih jednadžbi 2. reda sa konstantni koeficijenti»*

L4, poglavlje 15, str. 243 - 256

Smjernice

Svaki parcijalni derivat (preko x i po y) funkcije dvije varijable je običan izvod funkcije jedne varijable s fiksnom vrijednošću druge varijable:

(gde y= const),

(gde x= const).

Dakle, parcijalni derivati ​​se računaju iz formule i pravila za izračunavanje izvoda funkcija jedne varijable, dok drugu varijablu smatramo konstantom (konstantom).

Ako vam nije potrebna analiza primjera i minimalna teorija potrebna za to, već vam je potrebno samo rješenje vašeg problema, onda nastavite na online kalkulator parcijalnih derivata .

Ako je teško usredotočiti se na praćenje gdje se konstanta nalazi u funkciji, onda možete zamijeniti bilo koji broj u nacrtu rješenja primjera umjesto varijable s fiksnom vrijednošću - tada možete brzo izračunati parcijalni izvod kao običan derivat funkcije jedne varijable. Potrebno je samo da ne zaboravite da vratite konstantu (promenljivu sa fiksnom vrednošću) na njeno mesto kada završite.

Gore opisano svojstvo parcijalnih izvoda proizlazi iz definicije parcijalnog izvoda, koje se može naći u ispitnim pitanjima. Stoga, da biste se upoznali sa definicijom u nastavku, možete otvoriti teorijsku referencu.

Koncept kontinuiteta funkcije z= f(x, y) u tački definira se slično ovom konceptu za funkciju jedne varijable.

Funkcija z = f(x, y) se naziva kontinuiranim u tački ako

Razlika (2) naziva se ukupni prirast funkcije z(dobija se povećanjem oba argumenta).

Neka funkcija z= f(x, y) i tačka

Ako se funkcija promijeni z javlja se kada se promijeni samo jedan od argumenata, na primjer, x, sa fiksnom vrijednošću drugog argumenta y, tada će funkcija biti povećana

naziva se djelomično povećanje funkcije f(x, y) uključeno x.

S obzirom na promjenu funkcije z ovisno o promjeni samo jednog od argumenata, zapravo prelazimo na funkciju jedne varijable.

Ako postoji konačna granica

tada se naziva parcijalni izvod funkcije f(x, y) argumentom x i označava se jednim od simbola

(4)

Slično je definiran i parcijalni prirast z on y:

i parcijalni derivat f(x, y) uključeno y:

(6)

Primjer 1

Rješenje. Nalazimo parcijalni izvod u odnosu na varijablu "x":

(y fiksno);

Nalazimo parcijalni izvod u odnosu na varijablu "y":

(x fiksno).

Kao što vidite, nije bitno u kojoj meri je varijabla fiksna: u ovom slučaju je samo neki broj faktor (kao u slučaju uobičajenog izvoda) sa varijablom pomoću koje nalazimo parcijalni derivat. Ako se fiksna varijabla ne pomnoži s promjenljivom prema kojoj nalazimo parcijalni izvod, tada ova usamljena konstanta, bez obzira u kojoj mjeri, kao u slučaju običnog izvoda, nestaje.

Primjer 2 Zadata funkcija

Pronađite parcijalne derivate

(po x) i (po y) i izračunajte njihove vrijednosti u tački ALI (1; 2).

Rješenje. Na fiksni y derivacija prvog člana nalazi se kao derivacija funkcije stepena ( tablica derivacijskih funkcija jedne varijable):

.

Na fiksni x derivat prvog člana nalazi se kao derivacija eksponencijalna funkcija, a drugi - kao derivat konstante:

Sada izračunavamo vrijednosti ovih parcijalnih izvoda u tački ALI (1; 2):

Rješenje zadataka s parcijalnim derivatima možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Primjer 3 Pronađite parcijalne derivate funkcija

Rješenje. U jednom koraku nalazimo

(y x, kao da je argument sinusa 5 x: na isti način, 5 se pojavljuje ispred znaka funkcije);

(x je fiksna i u ovom slučaju je faktor u y).

Rješenje zadataka s parcijalnim derivatima možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Parcijalni izvod funkcije od tri ili više varijabli definiraju se slično.

Ako svaki skup vrijednosti ( x; y; ...; t) nezavisne varijable iz skupa D odgovara jednom određenu vrijednost u od mnogih E, onda u naziva se funkcija varijabli x, y, ..., t i označiti u= f(x, y, ..., t).

Za funkcije od tri ili više varijabli ne postoji geometrijska interpretacija.

Također se definiraju i izračunavaju parcijalni derivati ​​funkcije više varijabli pod pretpostavkom da se mijenja samo jedna od nezavisnih varijabli, dok su ostale fiksne.

Primjer 4 Pronađite parcijalne derivate funkcija

.

Rješenje. y i z popravljeno:

x i z popravljeno:

x i y popravljeno:

Nađite sami parcijalne izvode, a zatim pogledajte rješenja

Primjer 5

Primjer 6 Pronađite parcijalne izvode funkcije.

Parcijalni izvod funkcije nekoliko varijabli ima isto mehaničko značenje kao derivacija funkcije jedne varijable, je brzina kojom se funkcija mijenja u odnosu na promjenu jednog od argumenata.

Primjer 8 količina protoka P putnika željeznice može se izraziti kao funkcija

gdje P- broj putnika, N- broj stanovnika odgovarajućih punktova, R– udaljenost između tačaka.

Parcijalni izvod funkcije P on R jednak

pokazuje da je smanjenje protoka putnika obrnuto proporcionalno kvadratu udaljenosti između odgovarajućih tačaka za isti broj stanovnika u tačkama.

Parcijalni derivat P on N jednak

pokazuje da je povećanje protoka putnika proporcionalno dvostrukom broju stanovnika naselja sa istim rastojanjem između tačaka.

Rješenje zadataka s parcijalnim derivatima možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Puni diferencijal

Proizvod parcijalnog izvoda i prirasta odgovarajuće nezavisne varijable naziva se parcijalni diferencijal. Parcijalni diferencijali se označavaju na sljedeći način:

Zbir parcijalnih diferencijala nad svim nezavisnim varijablama daje ukupni diferencijal. Za funkciju dvije nezavisne varijable, ukupni diferencijal je izražen jednakošću

(7)

Primjer 9 Pronađite puni diferencijal funkcije

Rješenje. Rezultat korištenja formule (7):

Funkcija koja ima totalni diferencijal u svakoj tački neke domene naziva se diferencijabilna u toj domeni.

Sami pronađite ukupni diferencijal i onda vidite rješenje

Kao iu slučaju funkcije jedne varijable, diferencijabilnost funkcije u određenom području implicira njen kontinuitet u ovom području, ali ne i obrnuto.

Hajde da formulišemo bez dokaza dovoljno stanje diferencijabilnost funkcija.

Teorema. Ako je funkcija z= f(x, y) ima kontinuirane parcijalne izvode

u datom regionu, onda je on diferencibilan u ovom regionu i njegov diferencijal se izražava formulom (7).

Može se pokazati da je, baš kao što je u slučaju funkcije jedne varijable, diferencijal funkcije glavni linearni dio prirasta funkcije, tako je i u slučaju funkcije više varijabli ukupni diferencijal glavni, linearan u odnosu na inkremente nezavisnih varijabli, dio ukupnog prirasta funkcije.

Za funkciju dvije varijable puni prirast funkcija ima oblik

(8)

gdje su α i β beskonačno male za i .

Parcijalni derivati ​​višeg reda

Parcijalne derivacije i funkcije f(x, y) su same neke funkcije istih varijabli i, zauzvrat, mogu imati derivate u odnosu na različite varijable, koje se nazivaju parcijalnim derivatima višeg reda.

Praktični rad №2

"Funkcionalni diferencijal"

Svrha lekcije: Naučite rješavati primjere i probleme na zadatu temu.

Teorijska pitanja (početni nivo):

1. Upotreba derivata za proučavanje funkcija do ekstrema.

2. Diferencijal funkcije, njeno geometrijsko i fizičko značenje.

3. Puni diferencijal funkcije mnogih varijabli.

4. Stanje tijela kao funkcija mnogih varijabli.

5. Približni proračuni.

6. Pronalaženje parcijalnih izvoda i totalnog diferencijala.

7. Primjeri upotrebe ovih pojmova u farmakokinetici, mikrobiologiji itd.

(samoobuka)

1. odgovarati na pitanja o temi časa;

2. rješavati primjere.

Primjeri

Find Differentials sljedeće funkcije:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)

Korištenje derivata za proučavanje funkcija

Uslov za povećanje funkcije y = f(x) na segmentu [a, b]

Uslov da se funkcija y=f(x) smanji na segmentu [a, b]

Uslov za maksimalnu funkciju y=f(x) na x= a

f"(a)=0 i f""(a)<0

Ako za x \u003d a derivacije f "(a) = 0 i f "(a) = 0, tada je potrebno istražiti f "(x) u blizini tačke x \u003d a. Funkcija y = f (x) za x = a ima maksimum, ako prilikom prolaska kroz tačku x = i derivacija f "(x) promijeni znak iz "+" u "-", u slučaju minimuma - od "-" do "+" Ako f "(x) ne promijeni predznak prilikom prolaska kroz tačku x = a, tada funkcija u ovom trenutku nema ekstrem

Funkcijski diferencijal.

Diferencijal nezavisne varijable jednak je njenom inkrementu:

Diferencijal funkcije y=f(x)

Diferencijal zbira (razlike) dvije funkcije y=u±v

Diferencijal proizvoda dviju funkcija y=uv

Diferencijal količnika dvije funkcije y=u/v

dy=(vdu-udv)/v 2

Povećanje funkcije

Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) ≈ dy ≈ f "(x) Δx

gdje je Δx: prirast argumenta.

Približan izračun vrijednosti funkcije:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f "(x) Δx

Primjena diferencijala u aproksimativnim proračunima

Diferencijal se koristi za izračunavanje apsolutne i relativne greške u indirektnim mjerenjima u = f(x, y, z.). Apsolutna greška rezultata mjerenja

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

Relativna greška rezultata mjerenja

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

FUNKCIJSKI DIFERENCIJAL.

Funkcijski diferencijal kao glavni dio prirasta funkcije i. Koncept diferencijala funkcije usko je povezan s konceptom derivacije. Neka funkcija f(x) kontinuirano za date vrijednosti X i ima derivat

D f/Dx = f¢(x) + a(Dx), odakle je inkrement funkcije Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, gdje a(Dx)® 0 at Dx® 0. Hajde da definišemo red beskonačno malog f¢(x)Dx Dx.:

Dakle, beskonačno mali f¢(x)Dx i Dx imaju isti red veličine, tj f¢(x)Dx = O.

Hajde da definišemo red beskonačno malog a(Dh)Dh u odnosu na infinitezimalnu Dx:

Dakle, beskonačno mali a(Dh)Dh ima viši red malenosti od infinitezimalnog Dx, to je a(Dx)Dx = o.

Dakle, beskonačno mali prirast Df diferencijabilna funkcija se može predstaviti u obliku dva pojma: infinitezimalna f¢(x)Dx istog reda malenosti sa Dx i beskonačno mali a(Dh)Dh viši red malenosti u poređenju sa infinitezimalnim Dx. To znači da u jednakosti Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx at Dx® 0 drugi član teži nuli "brže" od prvog, tj. a(Dx)Dx = o.

Prvi mandat f¢(x)Dx, linearno u odnosu na Dx, zvao diferencijalna funkcija f(x) u tački X i označiti dy ili df(čitaj "de game" ili "de ef"). dakle,

dy = df = f¢(x)Dx.

Analitičko značenje diferencijala leži u činjenici da je diferencijal funkcije glavni dio prirasta funkcije Df, linearno u odnosu na prirast argumenta Dx. Diferencijal funkcije razlikuje se od priraštaja funkcije za infinitezimalnu vrijednost višeg reda male vrijednosti od Dx. stvarno, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx ili Df = df + a(Dx)Dx . Diferencijal argumenata dx jednaka njegovom prirastu Dx: dx=Dx.

Primjer. Izračunajte vrijednost diferencijala funkcije f(x) = x 3 + 2x, kada X varira od 1 do 1,1.

Rješenje. Nađimo opći izraz za diferencijal ove funkcije:

Zamjenjivanje vrijednosti dx=Dx=1,1–1= 0,1 i x=1 u posljednjoj formuli, dobijamo željenu vrijednost diferencijala: df½ x=1; = 0,5.

PARCIJALNI DERIVATI I DIFERENCIJALI.

Parcijalni derivati ​​prvog reda. Parcijalni izvod prvog reda funkcije z = f(x,y ) argumentacijom X na razmatranoj tački (x; y) zove granica

ako postoji.

Parcijalni izvod funkcije z = f(x, y) argumentacijom X označeno jednim od sljedećih znakova:

Slično, parcijalni izvod u odnosu na at označeno i definisano formulom:

Pošto je parcijalni izvod uobičajeni izvod funkcije jednog argumenta, nije ga teško izračunati. Da biste to učinili, morate koristiti sva do sada razmatrana pravila diferencijacije, uzimajući u obzir u svakom slučaju koji od argumenata se uzima kao "konstantni broj", a koji služi kao "varijabla diferencijacije".

Komentar. Da biste pronašli parcijalni izvod, na primjer, u odnosu na argument x – df/dx, dovoljno je pronaći običan izvod funkcije f(x,y), uz pretpostavku da je potonji funkcija jednog argumenta X, a at- trajno; naći df/dy- obrnuto.

Primjer. Pronađite vrijednosti parcijalnih izvoda funkcije f(x,y) = 2x2 + y2 u tački P(1;2).

Rješenje. Brojanje f(x,y) funkcija jednog argumenta X i koristeći pravila diferencijacije, nalazimo

U tački P(1;2) vrijednost derivata

Uzimajući u obzir f(x; y) kao funkciju jednog argumenta y, nalazimo

U tački P(1;2) vrijednost derivata

ZADATAK ZA SAMOSTALNI RAD UČENIKA:

Pronađite diferencijale sljedećih funkcija:

Riješite sljedeće zadatke:

1. Za koliko će se smanjiti površina kvadrata sa stranicom x = 10 cm ako se stranica smanji za 0,01 cm?

2. Zadata je jednačina kretanja tijela: y=t 3 /2+2t 2 , gdje je s izraženo u metrima, t u sekundama. Naći putanju s koju tijelo pređe za t=1,92 s od početka kretanja.

LITERATURA

1. Lobotskaya N.L. Osnove više matematike - M.: "Viša škola", 1978.C198-226.

2. Bailey N. Matematika u biologiji i medicini. Per. sa engleskog. M.: Mir, 1970.

3. Remizov A.N., Isakova N.Kh., Maksina L.G. Zbornik zadataka iz medicinske i biološke fizike - M.: "Viša škola", 1987. C16-20.

Razmislite o promjeni funkcije kada povećavate samo jedan od njenih argumenata − x i, i nazovimo to .

Definicija 1.7.privatni derivat funkcije po argumentu x i pozvao .

Oznake: .

Dakle, parcijalni izvod funkcije nekoliko varijabli je zapravo definiran kao izvod funkcije jedna varijabla - x i. Dakle, sva svojstva izvoda dokazana za funkciju jedne varijable vrijede za nju.

Komentar. U praktičnom proračunu parcijalnih izvoda koristimo uobičajena pravila za diferenciranje funkcije jedne varijable, pod pretpostavkom da je argument u odnosu na koji se vrši diferencijacija promjenjiv, a preostali argumenti konstantni.

1. z= 2x² + 3 xy –12y² + 5 x – 4y +2,

2. z = x y ,

Geometrijska interpretacija parcijalnih izvoda funkcije dvije varijable.

Razmotrite jednačinu površine z = f(x,y) i nacrtaj avion x = konst. Odaberimo tačku na liniji presjeka ravnine sa površinom M (x, y). Ako postavite argument at prirast Δ at i razmotrimo tačku T na krivulji sa koordinatama ( x, y+Δ y, z+Δy z), zatim tangenta ugla koji formira sekansa MT sa pozitivnim smerom ose O at, bit će jednako . Prelaskom na granicu na , dobivamo da je parcijalni izvod jednak tangentu ugla kojeg formira tangenta na rezultirajuću krivu u tački M sa pozitivnim smjerom O ose y. Prema tome, parcijalni izvod je jednak tangentu ugla sa O osom X tangenta na krivulju koja je rezultat presjeka površine z = f(x,y) avion y= konst.

Definicija 2.1. Poziva se puni prirast funkcije u = f(x, y, z).

Definicija 2.2. Ako se prirast funkcije u \u003d f (x, y, z) u tački (x 0, y 0, z 0) može predstaviti u obliku (2.3), (2.4), tada se funkcija naziva diferencijabilna u ovoj tački, a izraz se naziva glavnim linearnim dijelom inkrementa ili ukupnim diferencijalom funkcije koja se razmatra.

Oznaka: du, df (x 0 , y 0 , z 0).

Baš kao iu slučaju funkcije jedne varijable, diferencijali nezavisnih varijabli su njihovi proizvoljni priraštaji, stoga

Napomena 1. Dakle, izjava "funkcija je diferencibilna" nije ekvivalentna izjavi "funkcija ima parcijalne izvode" - diferencijabilnost također zahtijeva kontinuitet ovih izvoda u tački koja se razmatra.

4. Tangentna ravan i normalna na površinu. Geometrijsko značenje diferencijala.

Neka funkcija z = f(x, y) je diferencibilan u okolini tačke M (x 0, y 0). Tada su njegove parcijalne derivacije nagibi tangenti na linije presjeka površine z = f(x, y) sa avionima y = y 0 i x = x 0, koja će biti tangenta na samu površinu z = f(x, y). Napišimo jednačinu za ravan koja prolazi kroz ove prave. Vektori pravca tangenti imaju oblik (1; 0; ) i (0; 1; ), pa se normala na ravan može predstaviti kao njihov vektorski proizvod: n = (- ,- , 1). Dakle, jednačina ravnine se može napisati kao:

gdje z0 = .

Definicija 4.1. Ravan definisana jednačinom (4.1) se zove tangentna ravan na graf funkcije z = f(x, y) u tački sa koordinatama (x 0, y 0, z 0).

Iz formule (2.3) za slučaj dvije varijable slijedi da je inkrement funkcije f u blizini tačke M može se predstaviti kao:

Stoga je razlika između primjene grafa funkcije i tangentne ravni beskonačno malog višeg reda od ρ, at ρ→ 0.

U ovom slučaju, diferencijal funkcije f izgleda kao:

što odgovara povećanje primjene tangentne ravni na graf funkcije. Ovo je geometrijsko značenje diferencijala.

Definicija 4.2. Vektor različit od nule okomit na tangentnu ravan u tački M (x 0, y 0) površine z = f(x, y), zove se normalno na površinu u tom trenutku.

Kao normalu na površinu koja se razmatra, zgodno je uzeti vektor - n = { , ,-1}.