Vratite oblik funkcije pomoću njenog diferencijala. Jednadžba u totalnim diferencijalima

Postavljanje problema u dvodimenzionalnom slučaju

Oporavak funkcije nekoliko varijabli iz njenog ukupnog diferencijala

9.1. Postavljanje problema u dvodimenzionalnom slučaju. 72

9.2. Opis rješenja. 72

Ovo je jedna od primjena krivolinijskog integrala druge vrste.

Dat je izraz za ukupni diferencijal funkcije dvije varijable:

Nađi funkciju.

1. Pošto nije svaki izraz forme totalni diferencijal neke funkcije U(x,y), tada je potrebno provjeriti ispravnost iskaza problema, odnosno provjeriti potreban i dovoljan uvjet za ukupni diferencijal, koji za funkciju od 2 varijable ima oblik . Ovaj uslov proizilazi iz ekvivalencije iskaza (2) i (3) u teoremi iz prethodnog odjeljka. Ako je naznačeni uslov ispunjen, onda problem ima rješenje, odnosno funkciju U(x,y) može se vratiti; ako uslov nije ispunjen, onda problem nema rješenja, odnosno funkcija se ne može vratiti.

2. Funkciju možete pronaći po njenom ukupnom diferencijalu, na primjer, koristeći krivolinijski integral druge vrste, računajući je duž linije koja povezuje fiksnu tačku ( x 0 ,y 0) i promjenjiva točka ( x;y) (Rice. osamnaest):

Tako se dobija da krivolinijski integral II vrsta od totalnog diferencijala dU(x,y) jednaka je razlici vrijednosti funkcije U(x,y) na krajnjoj i početnoj tački integracijske linije.

Znajući sada ovaj rezultat, moramo zamijeniti umjesto dU u krivolinijski integralni izraz i izračunaj integral duž izlomljene linije ( ACB), uzimajući u obzir njegovu nezavisnost od oblika integracijske linije:

na ( AC): na ( SW) :

(1)

Tako je dobijena formula uz pomoć koje se vraća funkcija 2 varijable iz njenog ukupnog diferencijala.

3. Funkciju je moguće vratiti iz njenog totalnog diferencijala samo do konstantnog člana, jer d(U+ const) = dU. Stoga, kao rezultat rješavanja problema, dobijamo skup funkcija koje se međusobno razlikuju po konstantnom članu.

Primjeri (vraćanje funkcije dvije varijable iz njenog ukupnog diferencijala)

1. Pronađite U(x,y), ako dU = (x 2 – y 2)dx – 2xydy.

Provjeravamo uvjet ukupnog diferencijala funkcije dvije varijable:

Uslov ukupnog diferencijala je zadovoljen, dakle, funkcija U(x,y) može se vratiti.

Verifikacija: tačna.

odgovor: U(x,y) = x 3 /3 – xy 2 + C.

2. Pronađite funkciju takvu da

Provjeravamo potrebno dovoljne uslove ukupni diferencijal funkcije tri varijable: , , , ako je dat izraz.

U problemu koji se rješava

svi uslovi ukupnog diferencijala su zadovoljeni, pa se funkcija može vratiti (problem je ispravno postavljen).

Vratit ćemo funkciju koristeći krivolinijski integral druge vrste, računajući je duž određene linije koja povezuje fiksnu i promjenjivu tačku, budući da

(ova jednakost se izvodi na isti način kao u dvodimenzionalnom slučaju).

S druge strane, krivolinijski integral druge vrste ukupnog diferencijala ne zavisi od oblika integracione linije, pa ga je najlakše izračunati duž izlomljene linije koja se sastoji od segmenata, paralelno sa osama koordinate. Istovremeno, kao fiksnu tačku možete jednostavno uzeti tačku sa određenim numeričkim koordinatama, prateći samo da je u ovoj tački i na cijeloj integracijskoj liniji zadovoljen uslov postojanja krivolinijskog integrala (tj. funkcije , i biti kontinuiran). Imajući na umu ovu napomenu, u ovom problemu možemo uzeti fiksnu tačku, na primjer, tačku M 0 . Zatim ćemo na svakoj od karika isprekidane linije imati

10.2. Proračun površinskog integrala prve vrste. 79

10.3. Neke primjene površinskog integrala prve vrste. 81

Može se desiti da lijeva strana diferencijalna jednadžba

je ukupni diferencijal neke funkcije:

i stoga jednačina (7) poprima oblik .

Ako je funkcija rješenje jednadžbe (7), onda , i, prema tome,

gdje je konstanta, i obrnuto, ako neka funkcija konačnu jednačinu (8) pretvori u identitet, onda, diferenciranjem rezultirajućeg identiteta, dobivamo , i stoga, , gdje je proizvoljna konstanta, je opći integral od originalna jednadžba.

Ako su date početne vrijednosti, tada se konstanta određuje iz (8) i

je željeni parcijalni integral. Ako je u točki , tada se jednadžba (9) definira kao implicitna funkcija od .

Da bi lijeva strana jednadžbe (7) bila ukupni diferencijal neke funkcije, potrebno je i dovoljno da

Ako je ovaj uslov, naznačen Ojlerom, zadovoljen, onda se jednačina (7) lako integriše. Zaista, . S druge strane, . shodno tome,

Prilikom izračunavanja integrala vrijednost se smatra konstantom, stoga je proizvoljna funkcija od . Da bismo odredili funkciju, diferenciramo pronađenu funkciju s obzirom na i, budući da , dobivamo

Iz ove jednačine određujemo i, integrirajući, nalazimo .

Kao što je poznato sa kursa matematička analiza, još je lakše definirati funkciju prema njenom totalnom diferencijalu uzimanjem krivolinijskog integrala između neke fiksne točke i točke s promjenjivim koordinatama duž bilo koje putanje:

Najčešće je kao put integracije zgodno uzeti izlomljenu liniju sastavljenu od dvije veze paralelne sa koordinatnim osa; u ovom slučaju

Primjer. .

Lijeva strana jednadžbe je ukupni diferencijal neke funkcije, budući da

Dakle, opšti integral ima oblik

Možete koristiti drugu metodu za definiranje funkcije:

Iza polazna tačka biramo, na primjer, ishodište koordinata, kao put integracije - isprekidanu liniju. Onda

a opšti integral ima oblik

Što se poklapa sa prethodnim rezultatom, što dovodi do zajedničkog nazivnika.

U nekim slučajevima, kada lijeva strana jednačine (7) nije totalni diferencijal, lako je pronaći funkciju , nakon množenja kojom se lijeva strana jednačine (7) pretvara u totalni diferencijal . Takva funkcija se zove integrirajući faktor. Imajte na umu da množenje integrirajućim faktorom može dovesti do pojave dodatnih posebnih rješenja koja ovaj faktor pretvaraju na nulu.

Primjer. .

Očigledno, nakon množenja sa faktorom, lijeva strana se pretvara u totalni diferencijal. Zaista, nakon množenja sa dobijamo

ili, integracijom, . Množenjem sa 2 i potenciranjem, imaćemo .

Naravno, faktor integracije se ne bira uvijek tako lako. U općem slučaju, da bi se pronašao integrirajući faktor, potrebno je odabrati barem jedno posebno rješenje jednadžbe u parcijalnim izvodima koje nije identično nuli, ili u proširenom obliku

koji se nakon dijeljenja sa i prenošenja nekih članova na drugi dio jednakosti svodi na oblik

U opštem slučaju, integracija ove parcijalne diferencijalne jednadžbe nipošto nije jednostavniji zadatak od integracije originalne jednačine, ali u nekim slučajevima odabir određenog rješenja jednačine (11) nije težak.

Osim toga, uz pretpostavku da je integrirajući faktor funkcija samo jednog argumenta (na primjer, funkcija je samo ili samo , ili funkcija samo , ili samo, itd.), možemo lako integrirati jednačinu (11) i naznačiti uslove pod kojima postoji integrirajući faktor forme koja se razmatra. Tako se izdvajaju klase jednačina za koje se lako može naći integrirajući faktor.

Na primjer, hajde da pronađemo uslove pod kojima jednačina ima integrirajući faktor koji zavisi samo od , tj. . U ovom slučaju, jednadžba (11) je pojednostavljena i poprima oblik , odakle, uz pretpostavku kontinuirana funkcija od , dobijamo

Ako je funkcija samo od , tada integrirajući faktor koji ovisi samo o , postoji i jednak je (12), inače integrirajući faktor oblika ne postoji.

Uslov za postojanje integracionog faktora koji zavisi samo od je zadovoljen, na primer, za linearna jednačina ili . Zaista, i, prema tome, . Slično se mogu naći uslovi za postojanje integrirajućih faktora oblika itd.

Primjer. Da li jednačina ima integrirajući faktor u obliku ?

Označimo . Jednadžba (11) at ima oblik , odakle ili

Za postojanje integracionog faktora datog oblika potrebno je i, pod pretpostavkom kontinuiteta, dovoljno je da samo . U ovom slučaju, dakle, integrirajući faktor postoji i jednak je (13). Kad stignemo. Množenjem izvorne jednadžbe sa , dovodimo je do oblika

Integrirajući, dobivamo , a nakon potenciranja imamo , ili u polarne koordinate- porodica logaritamskih spirala.

Primjer. Pronađite oblik ogledala koje reflektuje paralelno sa datim smjerom sve zrake koje izlaze iz date tačke.

Polazište koordinata postavljamo na dati poen i usmjeriti osu apscise paralelno sa smjerom navedenim u uvjetima problema. Neka zrak padne na ogledalo u tački . Razmotrimo presjek ogledala ravninom koja prolazi kroz apscisnu osu i tačku . Nacrtajmo tangentu na razmatrani presjek površine zrcala u tački . Budući da je upadni ugao zraka jednak kutu refleksije, trokut je jednakokraki. shodno tome,

Primljeno homogena jednačina može se lako integrirati promjenom varijabli , ali je još lakše riješiti se iracionalnosti u nazivniku i prepisati ga u obliku . Ova jednačina ima očigledan integrirajući faktor , , , (familija parabola).

Ovaj problem je još lakše riješiti u koordinatama i , gdje , dok jednačina za presjek željenih površina ima oblik .

Moguće je dokazati postojanje integrirajućeg faktora, ili, što je isto, postojanje različitog od nule rješenja parcijalne diferencijalne jednadžbe (11) u nekom domenu, ako funkcije i imaju kontinuirane izvode i barem jedan od ovih funkcije ne nestaju. Stoga se metoda integrirajućeg faktora može smatrati općom metodom za integraciju jednačina oblika , međutim, zbog teškoće pronalaženja integrirajućeg faktora, ova metoda se najčešće koristi u slučajevima kada je integrirajući faktor očigledan.

U ovoj temi ćemo razmotriti metodu za oporavak funkcije iz njenog totalnog diferencijala, dati primjere problema sa potpunom analizom rješenja.

Dešava se da diferencijalne jednadžbe (DE) oblika P (x, y) d x + Q (x, y) d y \u003d 0 mogu sadržavati ukupne diferencijale nekih funkcija u lijevim dijelovima. Tada možemo pronaći opći integral DE ako prvo vratimo funkciju iz njenog ukupnog diferencijala.

Primjer 1

Razmotrimo jednačinu P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. Zapis njegove lijeve strane sadrži diferencijal neke funkcije U(x, y) = 0. Za ovo mora biti zadovoljen uslov ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Ukupni diferencijal funkcije U (x , y) = 0 ima oblik d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y . Uzimajući u obzir uslov ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x, dobijamo:

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Transformacijom prve jednačine iz rezultirajućeg sistema jednačina možemo dobiti:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Funkciju φ (y) možemo pronaći iz druge jednačine prethodno dobijenog sistema:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) dx ∂ y + φ y "(y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) dx ∂ ydy

Tako smo pronašli željenu funkciju U (x, y) = 0.

Primjer 2

Naći za DE (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 opšte rešenje.

Rješenje

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Provjerimo da li je uvjet ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x zadovoljen:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Naš uslov je ispunjen.

Na osnovu proračuna možemo zaključiti da je lijeva strana originalnog DE ukupni diferencijal neke funkcije U (x , y) = 0 . Moramo pronaći ovu funkciju.

Kako je (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y ukupni diferencijal funkcije U (x, y) = 0, onda

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Integriramo prvu jednačinu sistema s obzirom na x:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) \u003d x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Sada razlikujemo rezultat s obzirom na y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y "(y)

Transformisanjem druge jednačine sistema dobijamo: ∂ U ∂ y = - 2 x y . To znači da
- 2 x y + φ y "(y) = - 2 x y φ y" (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

gdje je C proizvoljna konstanta.

Dobijamo: U (x, y) \u003d x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Opšti integral originalne jednadžbe je x 3 3 - x y 2 + C = 0 .

Analizirajmo drugu metodu za pronalaženje funkcije iz poznatog totalnog diferencijala. Uključuje primenu krivolinijskog integrala od fiksne tačke (x 0, y 0) do tačke sa promenljivim koordinatama (x, y):

U (x, y) = ∫ (x 0, y 0) (x, y) P (x, y) d x + Q (x, y) d y + C

U takvim slučajevima, vrijednost integrala ni na koji način ne ovisi o putu integracije. Kao put integracije možemo uzeti izlomljenu liniju, čije su veze paralelne sa koordinatnim osa.

Primjer 3

Pronađite opšte rješenje diferencijalne jednadžbe (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0 .

Rješenje

Provjerimo da li je uvjet ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x zadovoljen:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Ispada da je lijeva strana diferencijalne jednadžbe predstavljena ukupnim diferencijalom neke funkcije U (x, y) = 0. Da bismo pronašli ovu funkciju, potrebno je izračunati krivolinijski integral iz tačke (1 ; 1) prije (x, y). Uzmimo kao put integracije izlomljenu liniju, čiji će dijelovi prolaziti duž prave linije y=1 od tačke (1, 1) do (x, 1), a zatim od tačke (x, 1) do (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 dx + (x - 2 xy) dy = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) dx + (x - 2 xy) ) dy + + ∫ (x, 1) (x, y) (y - y 2) dx + (x - 2 xy) dy = = ∫ 1 x (1 - 1 2) dx + ∫ 1 y (x - 2 xy) dy = (xy - xy 2) y 1 = = xy - xy 2 - (x 1 - x 1 2) = xy - xy 2

Dobili smo opšte rješenje diferencijalne jednadžbe oblika x y - x y 2 + C = 0 .

Primjer 4

Odrediti opšte rješenje diferencijalne jednadžbe y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

Rješenje

Provjerimo da li je uslov ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x zadovoljen.

Pošto je ∂ (y cos x) ∂ y = cos x , ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x cos x , uslov neće biti zadovoljen. To znači da lijeva strana diferencijalne jednadžbe nije ukupni diferencijal funkcije. Ovo je odvojiva diferencijalna jednadžba i druga rješenja su pogodna za njeno rješavanje.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

neke funkcije. Ako povratimo funkciju iz njenog ukupnog diferencijala, tada ćemo pronaći opći integral diferencijalne jednadžbe. U nastavku ćemo govoriti o metoda vraćanja funkcije iz njenog ukupnog diferencijala.

Lijeva strana diferencijalne jednadžbe je ukupni diferencijal neke funkcije U(x, y) = 0 ako je uslov ispunjen.

Jer totalni diferencijal funkcije U(x, y) = 0 ovo , što znači da pod uslovima kažu da .

onda, .

Iz prve jednačine sistema dobijamo . Funkciju nalazimo pomoću druge jednadžbe sistema:

Tako ćemo pronaći željenu funkciju U(x, y) = 0.

Primjer.

Hajde da nađemo opšte rešenje DE .

Rješenje.

U našem primjeru. Uslov je ispunjen jer:

Tada je lijeva strana početnog DE ukupni diferencijal neke funkcije U(x, y) = 0. Moramo pronaći ovu funkciju.

Jer je ukupni diferencijal funkcije U(x, y) = 0, znači:

Integracija završena x 1. jednadžba sistema i diferencibilna s obzirom na y rezultat:

Iz 2. jednačine sistema dobijamo . znači:

Gdje OD je proizvoljna konstanta.

Dakle, i opšti integral zadata jednačinaće .

Postoji drugi metoda za izračunavanje funkcije iz njenog ukupnog diferencijala. Sastoji se od uzimanja krivolinijskog integrala fiksne tačke (x0, y0) do tačke sa promenljivim koordinatama (x, y): . U ovom slučaju, vrijednost integrala je nezavisna od puta integracije. Pogodno je uzeti kao put integracije izlomljenu liniju čije su veze paralelne sa koordinatnim osa.

Primjer.

Hajde da nađemo opšte rešenje DE .

Rješenje.

Provjeravamo ispunjenost uslova:

Dakle, lijeva strana DE je totalni diferencijal neke funkcije U(x, y) = 0. Ovu funkciju nalazimo izračunavanjem krivolinijskog integrala tačke (1; 1) prije (x, y). Poliliniju uzimamo kao put integracije: proći ćemo kroz prvi dio polilinije duž prave linije y=1 sa tačke (1, 1) prije (x, 1), kao drugi dio putanje uzimamo pravi segment od tačke (x, 1) prije (x, y):

Dakle, generalno rješenje DE izgleda ovako: .

Primjer.

Definirajmo generalno rješenje DE .

Rješenje.

Jer , tada uvjet nije ispunjen, tada lijeva strana DE neće biti totalni diferencijal funkcije i trebate koristiti drugu metodu rješenja (ova jednadžba je diferencijalna jednadžba sa odvojivim varijablama).

Diferencijal naziva se jednačina oblika

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 ,

gdje je lijeva strana ukupni diferencijal neke funkcije dvije varijable.

Označimo nepoznatu funkciju dvije varijable (to je ono što treba da nađemo pri rješavanju jednadžbi u totalnim diferencijalima) kroz F i uskoro ćemo se vratiti na to.

Prva stvar na koju treba obratiti pažnju je da na desnoj strani jednačine mora biti nula, a znak koji povezuje dva člana na lijevoj strani mora biti plus.

Drugo, mora se poštovati određena jednakost, što je potvrda da je data diferencijalna jednačina jednačina u totalnim diferencijalima. Ova provjera je obavezan dio algoritma za rješavanje jednačina u totalnim diferencijalima (nalazi se u drugom pasusu ove lekcije), tako da proces nalaženja funkcije F prilično dugotrajno i važno je u početnoj fazi osigurati da ne gubimo vrijeme uzalud.

Dakle, nepoznata funkcija koju treba pronaći je označena sa F. Zbir parcijalnih diferencijala nad svim nezavisnim varijablama daje ukupni diferencijal. Stoga, ako je jednadžba totalna diferencijalna jednadžba, lijeva strana jednačine je zbir parcijalnih diferencijala. Onda po definiciji

dF = P(x,y)dx + Q(x,y)dy .

Podsjećamo na formulu za izračunavanje ukupnog diferencijala funkcije dvije varijable:

Rješavajući posljednje dvije jednakosti možemo pisati

Prva jednakost je diferencibilna s obzirom na varijablu "y", druga - u odnosu na varijablu "x":

što je uslov da je data diferencijalna jednačina zaista jednačina u totalnim diferencijalima.

Algoritam za rješavanje diferencijalnih jednadžbi u totalnim diferencijalima

Korak 1. Uvjerite se da je jednadžba jednačina u totalnim diferencijalima. Da bi izraz bio je totalni diferencijal neke funkcije F(x, y), potrebno je i dovoljno da . Drugim riječima, moramo uzeti parcijalni izvod u odnosu na x i parcijalni izvod u odnosu na y drugi član i, ako su ovi derivati jednaki, onda je jednačina jednačina u totalnim diferencijalima.

Korak 2 Zapišite sistem parcijalnih diferencijalnih jednadžbi koje čine funkciju F:

Korak 3 Integrisati prvu jednačinu sistema - preko x (y F:

,
y.

Alternativna opcija (ako je na ovaj način lakše pronaći integral) je da se integriše druga jednačina sistema - pomoću y (x ostaje konstantan i izbacuje se iz predznaka integrala). Tako je i funkcija vraćena F:

,
odakle je nepoznata funkcija X.

Korak 4 Rezultat koraka 3 (pronađeni opšti integral) se razlikuje po y(alternativno, od x) i izjednačiti sa drugom jednačinom sistema:

i alternativno, na prvu jednačinu sistema:

Iz rezultirajuće jednačine određujemo (u alternativnoj verziji)

Korak 5 Rezultat koraka 4 je integriran i pronađen (alternativno find ).

Korak 6 Zamijenite rezultat koraka 5 u rezultat koraka 3 - u funkciju vraćenu djelomičnom integracijom F. Proizvoljna konstanta Cčešće se piše iza znaka jednakosti - na desnoj strani jednačine. Tako dobijamo opšte rešenje diferencijalne jednadžbe u totalnim diferencijalima. Ona, kao što je već pomenuto, ima formu F(x, y) = C.

Primjeri rješenja diferencijalnih jednadžbi u totalnim diferencijalima

Primjer 1

Korak 1. jednadžba u totalnim diferencijalima x jedan pojam na lijevoj strani izraza

i parcijalni izvod u odnosu na y drugi termin
jednadžba u totalnim diferencijalima .

Korak 2 F:

Korak 3 on x (y ostaje konstantan i izbacuje se iz predznaka integrala). Na taj način vraćamo funkciju F:

odakle je nepoznata funkcija y.

Korak 4 y

Korak 5

Korak 6 F. Proizvoljna konstanta C :
.

Koja je ovdje najvjerovatnija greška? Najčešće greške su uzeti parcijalni integral preko jedne od varijabli za uobičajeni integral proizvoda funkcija i pokušati integrirati po dijelovima ili zamjenskom varijablom, a također uzeti parcijalni izvod dva faktora kao izvod proizvod funkcija i potražite izvod koristeći odgovarajuću formulu.

Ovo se mora imati na umu: kada se izračunava parcijalni integral u odnosu na jednu od varijabli, drugi je konstanta i uzima se iz predznaka integrala, a kada se izračunava parcijalni izvod u odnosu na jednu od varijabli, drugi je također konstanta i derivacija izraza se nalazi kao izvod "djelujuće" varijable pomnožen konstantom.

Među jednadžbe u totalnim diferencijalima nije neuobičajeno - primjeri sa eksponentom. Ovo je sljedeći primjer. Značajan je i po tome što se u njegovom rješenju koristi alternativna opcija.

Primjer 2 Riješite diferencijalnu jednačinu

Korak 1. Uvjerite se da je jednačina jednadžba u totalnim diferencijalima . Da bismo to učinili, nalazimo parcijalni izvod u odnosu na x jedan pojam na lijevoj strani izraza

i parcijalni izvod u odnosu na y drugi termin
. Ovi derivati su jednaki, pa je jednačina jednadžba u totalnim diferencijalima .

Korak 2 Zapisujemo sistem parcijalnih diferencijalnih jednadžbi koje čine funkciju F:

Korak 3 Integriramo drugu jednačinu sistema - preko y (x ostaje konstantan i izbacuje se iz predznaka integrala). Na taj način vraćamo funkciju F:

odakle je nepoznata funkcija X.

Korak 4 Rezultat koraka 3 (pronađen opći integral) je diferencibilan u odnosu na X

i izjednačiti se sa prvom jednačinom sistema:

Iz rezultirajuće jednačine određujemo:
.

Korak 5 Integriramo rezultat koraka 4 i nalazimo:
.

Korak 6 Rezultat koraka 5 zamjenjujemo rezultatom koraka 3 - u funkciju vraćenu djelomičnom integracijom F. Proizvoljna konstanta C pisati iza znaka jednakosti. Tako dobijamo general rješenje diferencijalne jednadžbe u totalnim diferencijalima :
.

U sljedećem primjeru vraćamo se sa alternative na glavnu.

Primjer 3 Riješite diferencijalnu jednačinu

Korak 1. Uvjerite se da je jednačina jednadžba u totalnim diferencijalima . Da bismo to učinili, nalazimo parcijalni izvod u odnosu na y jedan pojam na lijevoj strani izraza

i parcijalni izvod u odnosu na x drugi termin
. Ovi derivati su jednaki, pa je jednačina jednadžba u totalnim diferencijalima .

Korak 2 Zapisujemo sistem parcijalnih diferencijalnih jednadžbi koje čine funkciju F:

Korak 3 Integrišemo prvu jednačinu sistema - on x (y ostaje konstantan i izbacuje se iz predznaka integrala). Na taj način vraćamo funkciju F:

odakle je nepoznata funkcija y.

Korak 4 Rezultat koraka 3 (pronađen opći integral) je diferencibilan u odnosu na y

i izjednačiti sa drugom jednačinom sistema:

Iz rezultirajuće jednačine određujemo:
.

Korak 5 Integriramo rezultat koraka 4 i nalazimo:

Primjer 4 Riješite diferencijalnu jednačinu

Korak 1. Uvjerite se da je jednačina jednadžba u totalnim diferencijalima . Da bismo to učinili, nalazimo parcijalni izvod u odnosu na y jedan pojam na lijevoj strani izraza

i parcijalni izvod u odnosu na x drugi termin
. Ovi derivati su jednaki, što znači da je jednačina jednačina u totalnim diferencijalima.

Korak 2 Zapisujemo sistem parcijalnih diferencijalnih jednadžbi koje čine funkciju F:

Korak 3 Integrišemo prvu jednačinu sistema - on x (y ostaje konstantan i izbacuje se iz predznaka integrala). Na taj način vraćamo funkciju F:

odakle je nepoznata funkcija y.

Korak 4 Rezultat koraka 3 (pronađen opći integral) je diferencibilan u odnosu na y

i izjednačiti sa drugom jednačinom sistema:

Iz rezultirajuće jednačine određujemo:
.

Korak 5 Integriramo rezultat koraka 4 i nalazimo:

Primjer 5 Riješite diferencijalnu jednačinu