Parcijalni izvod funkcija dviju varijabli.
Koncept i primjeri rješenja

U ovoj lekciji nastavit ćemo upoznavanje s funkcijom dvije varijable i razmotriti, možda, najčešći tematski zadatak - pronalaženje parcijalne derivacije prvog i drugog reda, kao i totalni diferencijal funkcije. Vanredni studenti se, po pravilu, suočavaju sa parcijalnim derivatima u 1. godini u 2. semestru. Štaviše, prema mojim zapažanjima, zadatak pronalaženja parcijalnih izvoda gotovo se uvijek nalazi na ispitu.

Kako biste efikasno proučili sljedeći materijal, vi neophodno biti u stanju da više ili manje pouzdano pronađe "uobičajene" derivate funkcije jedne varijable. Na lekcijama možete naučiti kako pravilno rukovati izvedenicama Kako pronaći derivat? I Derivat složene funkcije. Potrebna nam je i tabela izvedenica elementarnih funkcija i pravila diferencijacije, najpogodnije je ako je pri ruci u štampanom obliku. Referentni materijal možete pronaći na stranici Matematičke formule i tabele.

Hajde da brzo ponovimo koncept funkcije dvije varijable, pokušat ću se ograničiti na minimum. Funkcija dvije varijable se obično piše kao , pri čemu se varijable pozivaju nezavisne varijable ili argumentima.

Primjer: - funkcija dvije varijable.

Ponekad se koristi notacija. Postoje i zadaci u kojima se umjesto slova koristi slovo.

Sa geometrijske tačke gledišta, funkcija dvije varijable je najčešće površina trodimenzionalnog prostora (ravnina, cilindar, lopta, paraboloid, hiperboloid itd.). Ali, u stvari, ovo je već više analitička geometrija, a na dnevnom redu imamo matematičku analizu koju mi ​​profesor nikad nije dao da otpišem je moj „konj“.

Prelazimo na pitanje pronalaženja parcijalnih izvoda prvog i drugog reda. Imam dobre vijesti za one od vas koji su popili nekoliko šoljica kafe i raspoloženi za nezamislivo težak materijal: parcijalni derivati ​​su skoro isti kao i "obični" derivati ​​funkcije jedne varijable.

Za parcijalne izvode vrijede sva pravila diferencijacije i tablica izvoda elementarnih funkcija. Postoji samo nekoliko malih razlika koje ćemo sada upoznati:

... da, usput, za ovu temu jesam kreirao mala pdf knjiga, što će vam omogućiti da "napunite ruku" za samo par sati. Ali, koristeći stranicu, vi ćete, naravno, dobiti i rezultat - samo možda malo sporije:

Primjer 1

Naći parcijalne izvode prvog i drugog reda funkcije

Prvo, nalazimo parcijalne izvode prvog reda. Ima ih dvoje.

Notacija:
ili - parcijalni izvod u odnosu na "x"
ili - djelomični izvod u odnosu na "y"

Počnimo sa . Kada pronađemo parcijalni izvod u odnosu na "x", tada se varijabla smatra konstantom (konstantnim brojem).

Komentari na preduzete radnje:

(1) Prva stvar koju radimo kada pronađemo parcijalni izvod je da zaključimo sve funkcija u zagradama ispod crtice sa indeksom.

Pažnja važna! Subscripts NE GUBE u toku rješenja. U ovom slučaju, ako negdje izvan nacrtate „crticu“, onda ga učitelj barem može staviti pored zadatka (odmah odgristi dio bodova zbog nepažnje).

(2) Koristite pravila diferencijacije , . Za jednostavan primjer kao što je ovaj, oba pravila se mogu primijeniti u istom koraku. Obratite pažnju na prvi pojam: od smatra se konstantom, a svaka konstanta se može izvaditi iz predznaka derivacije, onda ga vadimo iz zagrada. Odnosno, u ovoj situaciji nije ništa bolji od običnog broja. Pogledajmo sada treći pojam: ovdje, naprotiv, nema šta da se izvadi. Pošto je konstanta, ona je i konstanta, i u tom smislu nije ništa bolja od posljednjeg pojma – „sedam“.

(3) Koristimo tablične derivate i .

(4) Mi pojednostavljujemo, ili, kako ja volim da kažem, "kombinujemo" odgovor.

Sad . Kada pronađemo parcijalni izvod u odnosu na "y", tada je varijablasmatra se konstantnim (konstantnim brojem).

(1) Koristimo ista pravila diferencijacije , . U prvom članu vadimo konstantu izvan predznaka derivacije, u drugom se ne može ništa izvaditi jer je već konstanta.

(2) Koristimo tablicu izvoda elementarnih funkcija. Mentalno promijenite u tabeli sve "X" u "Y". Odnosno, ova tabela je jednako važeća za (i zaista za skoro svako slovo). Konkretno, formule koje koristimo izgledaju ovako: i .

Šta je značenje parcijalnih izvoda?

U svojoj osnovi parcijalni derivati ​​1. reda liče "obični" derivat:

- ovo funkcije, koji karakterišu stopa promjene funkcionira u smjeru osi i respektivno. Tako, na primjer, funkcija karakteriše strminu "uspona" i "kosine" površine u smjeru ose apscise, a funkcija nam govori o "reljefu" iste površine u smjeru ose ordinate.

! Bilješka : ovdje se odnosi na upute koje su paralelne koordinatne ose.

Radi boljeg razumijevanja, razmotrimo određenu tačku ravnine i izračunamo vrijednost funkcije (“visine”) u njoj:
- a sada zamislite da ste ovdje (NA SAMOJ površini).

Izračunavamo parcijalni izvod u odnosu na "x" u datoj tački:

Negativni predznak derivata "X" nam govori o tome silazno funkcionira u tački u smjeru x-ose. Drugim riječima, ako napravimo mali-mali (beskonačno malo) korak prema vrhu ose (paralelno sa ovom osom), zatim se spustite niz padinu površine.

Sada saznajemo prirodu "terena" u smjeru y-ose:

Izvod u odnosu na "y" je pozitivan, dakle, u tački duž ose, funkcija povećava. Ako je sasvim jednostavno, onda nas čeka uspon uzbrdo.

Osim toga, parcijalni izvod u tački karakterizira stopa promjene funkcioniše u relevantnom pravcu. Što je veća rezultujuća vrijednost modulo- što je površina strmija, i obrnuto, što je bliža nuli, to je površina ravnija. Dakle, u našem primjeru, "nagib" u smjeru ose apscise je strmiji od "planine" u smjeru ose ordinate.

Ali to su bila dva privatna puta. Sasvim je jasno da od tačke na kojoj se nalazimo, (i općenito iz bilo koje tačke date površine) možemo krenuti u nekom drugom pravcu. Dakle, postoji interes za sastavljanje opće "navigacijske karte" koja bi nam govorila o "pejzažu" površine. ako je moguće u svakoj tački opseg ove funkcije na sve dostupne načine. O ovome i drugim zanimljivostima govoriću u jednoj od narednih lekcija, ali za sada, vratimo se tehničkoj strani problema.

Sistematiziramo osnovna primijenjena pravila:

1) Kada razlikujemo po , tada se varijabla smatra konstantom.

2) Kada se diferencijacija vrši prema, tada se smatra konstantom.

3) Pravila i tabela izvoda elementarnih funkcija važe i važe za svaku varijablu (ili bilo koju drugu) u odnosu na koju se vrši diferencijacija.

Drugi korak. Nalazimo parcijalne derivate drugog reda. Ima ih četiri.

Notacija:
ili - drugi izvod u odnosu na "x"
ili - drugi derivat u odnosu na "y"
ili - mješovito izvod "x po y"
ili - mješovito izvedenica "Y sa X"

Sa drugom izvodom nema problema. jednostavnim riječima, drugi izvod je derivat prvog izvoda.

Radi praktičnosti, prepisat ću parcijalne derivate prvog reda koji su već pronađeni:

Prvo nalazimo mješovite derivate:

Kao što vidite, sve je jednostavno: uzimamo parcijalni izvod i ponovo ga diferenciramo, ali u ovom slučaju već sa "y".

Slično:

U praktičnim primjerima, možete se fokusirati na sljedeću jednakost:

Tako je preko mješovitih izvoda drugog reda vrlo zgodno provjeriti da li smo pravilno pronašli parcijalne izvode prvog reda.

Nalazimo drugi izvod u odnosu na "x".
Nema izuma, pretpostavljamo i ponovo ga razlikovati sa "X":

Slično:

Treba napomenuti da kada pronađete , morate pokazati povećana pažnja, pošto ne postoje čudesne jednakosti koje bi ih testirale.

Drugi derivati ​​također nalaze široku praktičnu primjenu, posebno se koriste u problemu pronalaženja ekstremi funkcije dvije varijable. Ali sve ima svoje vreme:

Primjer 2

Izračunajte parcijalne izvode prvog reda funkcije u točki . Pronađite derivate drugog reda.

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovori na kraju lekcije). Ako imate poteškoća s razlikovanjem korijena, vratite se na lekciju Kako pronaći derivat? Općenito, vrlo brzo ćete naučiti kako pronaći slične derivate u hodu.

Punimo ruku složenijim primjerima:

Primjer 3

Provjerite to. Napišite ukupni diferencijal prvog reda.

Rješenje: Nalazimo parcijalne izvode prvog reda:

Obratite pažnju na indeks: pored "x" nije zabranjeno pisati u zagradama da je to konstanta. Ova oznaka može biti vrlo korisna za početnike kako bi se lakše snašli u rješenju.

Dalji komentari:

(1) Izvodimo sve konstante izvan predznaka izvoda. U ovom slučaju, i , i, stoga, njihov proizvod se smatra konstantnim brojem.

(2) Ne zaboravite kako pravilno razlikovati korijene.

(1) Sve konstante uzimamo iz predznaka derivacije, u ovom slučaju konstanta je .

(2) Pod prostim brojem imamo proizvod dvije funkcije, stoga trebamo koristiti pravilo diferencijacije proizvoda .

(3) Ne zaboravite da je to složena funkcija (iako najjednostavnija od složenih). Koristimo odgovarajuće pravilo: .

Sada nalazimo mješovite derivate drugog reda:

To znači da su svi proračuni tačni.

Napišimo ukupni diferencijal. U kontekstu zadatka koji se razmatra, nema smisla reći koliki je ukupni diferencijal funkcije dvije varijable. Važno je da ovaj diferencijal vrlo često treba zapisati u praktičnim problemima.

Totalni diferencijal prvog reda funkcije dvije varijable ima oblik:

U ovom slučaju:

Odnosno, u formuli trebate samo glupo samo zamijeniti već pronađene parcijalne derivate prvog reda. Diferencijalne ikone iu ovoj i sličnim situacijama, ako je moguće, bolje je pisati u brojiocima:

I na ponovljeni zahtjev čitalaca, puni diferencijal drugog reda.

izgleda ovako:

PAŽLJIVO pronađite "jednoslovne" izvedenice 2. reda:

i zapišite "čudovište", pažljivo "pričvršćujući" kvadrate, proizvod i ne zaboravljajući udvostručiti mješoviti derivat:

U redu je ako se nešto činilo teškim, uvijek se kasnije možete vratiti na derivate, nakon što naučite tehniku ​​diferencijacije:

Primjer 4

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije . Provjerite to. Napišite ukupni diferencijal prvog reda.

Razmotrimo niz primjera sa složenim funkcijama:

Primjer 5

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije .

Rješenje:

Primjer 6

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije .
Zapišite ukupni diferencijal.

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije). Neću objavljivati ​​kompletno rješenje jer je prilično jednostavno.

Često se sva gore navedena pravila primjenjuju u kombinaciji.

Primjer 7

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije .

(1) Koristimo pravilo diferenciranja zbira

(2) Prvi član se u ovom slučaju smatra konstantom, jer u izrazu nema ničega što zavisi od "x" - samo "y". Znate, uvijek je lijepo kada se razlomak može pretvoriti u nulu). Za drugi termin primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda. Inače, u tom smislu se ništa ne bi promijenilo da se umjesto nje zada funkcija - to je ovdje bitno proizvod dvije funkcije, SVAKO zavisi od toga "X", te stoga morate koristiti pravilo diferencijacije proizvoda. Za treći član primjenjujemo pravilo diferencijacije složene funkcije.

(1) U prvom članu i brojilac i nazivnik sadrže „y“, stoga morate koristiti pravilo za razlikovanje količnika: . Drugi član zavisi SAMO od "x", što znači da se smatra konstantom i pretvara se u nulu. Za treći član koristimo pravilo diferencijacije kompleksne funkcije.

Za one čitaoce koji su hrabro stigli skoro do kraja lekcije, ispričat ću vam staru Mekhmatovljevu anegdotu za detant:

Jednom se pojavio zli derivat u prostoru funkcija i kako je sve razlikovao. Sve funkcije se raštrkaju na sve strane, niko se ne želi okrenuti! I samo jedna funkcija ne bježi nigdje. Izvod mu prilazi i pita:

"Zašto ne bježiš od mene?"

- Ha. Ali mene nije briga, jer ja sam "e na stepen x", a ti mi ne možeš ništa!

Na šta zli derivat sa podmuklim osmehom odgovara:

- Tu grešiš, ja ću te razlikovati po "y", pa ti neka bude nula.

Ko je shvatio šalu, savladao je derivate, bar za "trojku").

Primjer 8

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije .

Ovo je "uradi sam" primjer. Kompletno rješenje i primjer dizajna problema nalaze se na kraju lekcije.

Pa, to je skoro sve. Konačno, ne mogu a da ne obradujem matematičare još jednim primjerom. Ne radi se čak ni o amaterima, svi imaju različit nivo matematičke obučenosti - ima ljudi (i ne tako rijetkih) koji vole da se takmiče sa težim zadacima. Iako, posljednji primjer u ovoj lekciji nije toliko komplikovan koliko glomazan u smislu proračuna.

Koncept funkcije dvije varijable

Vrijednost z pozvao funkcija dvije nezavisne varijable x I y, ako svaki par dozvoljenih vrijednosti ovih veličina, prema određenom zakonu, odgovara jednoj dobro definiranoj vrijednosti veličine z. Nezavisne varijable x I y pozvao argumentima funkcije.

Takva funkcionalna zavisnost se analitički označava

Z = f (x, y),(1)

Vrijednosti argumenata x i y koje odgovaraju stvarnim vrijednostima funkcije z, razmatrano prihvatljivo, a skup svih dozvoljenih parova vrijednosti x i y se poziva domenu definicije funkcije dvije varijable.

Za funkciju nekoliko varijabli, za razliku od funkcije jedne varijable, koncepti njene djelomični prirast za svaki od argumenata i koncepta puni prirast.

Djelomično povećanje Δ x z funkcije z=f (x,y) po argumentu x je inkrement koji ova funkcija prima ako se njen argument x poveća Δx sa istim y:

Δxz = f (x + Δx, y) -f (x, y), (2)

Djelomični prirast Δ y z funkcije z= f (x, y) u odnosu na argument y je prirast koji ova funkcija prima ako njen argument y primi povećanje Δy sa nepromijenjenim x:

Δy z= f (x, y + Δy) – f (x, y) , (3)

Puni prirast Δz funkcije z= f (x, y) argumentima x I y naziva se inkrement koji funkcija prima ako su oba njena argumenta povećana:

Δz= f (x+Δx, y+Δy) – f (x, y) , (4)

Za dovoljno male korake Δx I Δy argumenti funkcije

postoji približna jednakost:

∆z ∆xz + ∆yz , (5)

i što je tačnije, to manje Δx I Δy.

Parcijalni izvod funkcija dviju varijabli

Parcijalni izvod funkcije z=f (x, y) u odnosu na argument x u tački (x, y) naziva se granica omjera parcijalnog prirasta ∆xz ovu funkciju na odgovarajući prirast Δx argument x kada se teži Δx na 0 i pod uslovom da ovo ograničenje postoji:

, (6)

Slično se definira i derivacija funkcije z=f (x, y) argumentacijom y:

Uz naznačenu notaciju, parcijalni derivati ​​funkcija također se označavaju sa , z΄ x , f΄ x (x, y); , z΄ y , f΄ y (x, y).

Glavno značenje parcijalnog izvoda je sljedeće: parcijalni izvod funkcije nekoliko varijabli u odnosu na bilo koji od njenih argumenata karakterizira stopu promjene ove funkcije kada se ovaj argument promijeni.

Kada se izračunava parcijalni izvod funkcije nekoliko varijabli u odnosu na bilo koji argument, svi ostali argumenti ove funkcije smatraju se konstantnim.

Primjer1. Pronađite parcijalne derivate funkcija

f (x, y)= x 2 + y 3

Rješenje. Kada se pronađe parcijalni izvod ove funkcije u odnosu na argument x, argument y se smatra konstantnom vrijednošću:

;

Kada se pronađe parcijalni izvod u odnosu na argument y, argument x se smatra konstantnom vrijednošću:

.

Parcijalni i totalni diferencijali funkcije više varijabli

Parcijalni diferencijal funkcije nekoliko varijabli u odnosu na koju-bilo iz njegovih argumenata je proizvod parcijalnog izvoda ove funkcije u odnosu na dati argument i diferencijal ovog argumenta:

dxz= ,(7)

dyz= (8)

Evo d x z I d y z-parcijalni diferencijali funkcije z= f (x, y) argumentima x I y. Gde

dx= ∆x; dy=Δy, (9)

puni diferencijal Funkcija nekoliko varijabli naziva se zbroj njenih parcijalnih diferencijala:

dz= d x z + d y z, (10)

Primjer 2 Naći parcijalne i totalne diferencijale funkcije f (x, y)= x 2 + y 3 .

Kako se parcijalni izvod ove funkcije nalazi u primjeru 1, dobijamo

dxz= 2xdx; d y z= 3y 2 dy;

dz= 2xdx + 3y 2dy

Djelomični diferencijal funkcije nekoliko varijabli u odnosu na svaki od njenih argumenata je glavni dio odgovarajućeg parcijalnog priraštaja funkcije.

Kao rezultat, može se napisati:

∆xz dxz, ∆yz d yz, (11)

Analitičko značenje ukupnog diferencijala je da je ukupni diferencijal funkcije nekoliko varijabli glavni dio ukupnog prirasta ove funkcije.

Dakle, postoji približna jednakost

∆zdz, (12)

Upotreba formule (12) zasniva se na korištenju ukupnog diferencijala u približnim proračunima.

Zamislite povećanje Δz as

f (x + Δx; y + Δy) – f (x, y)

i ukupni diferencijal u obliku

tada dobijamo:

f (x + Δx, y + Δy) – f (x, y) ,

, (13)

3. Svrha učenika na času:

Učenik mora znati:

1. Definicija funkcije dvije varijable.

2. Koncept parcijalnog i ukupnog prirasta funkcije dvije varijable.

3. Određivanje parcijalnog izvoda funkcije više varijabli.

4. Fizičko značenje parcijalnog izvoda funkcije nekoliko varijabli u odnosu na bilo koji od njenih argumenata.

5. Određivanje parcijalnog diferencijala funkcije više varijabli.

6. Određivanje ukupnog diferencijala funkcije više varijabli.

7. Analitičko značenje totalnog diferencijala.

Učenik mora biti sposoban da:

1. Pronađite privatne i ukupne inkremente funkcije dvije varijable.

2. Izračunati parcijalne izvode funkcije nekoliko varijabli.

3. Naći parcijalne i totalne diferencijale funkcije nekoliko varijabli.

4. Primijeniti ukupni diferencijal funkcije nekoliko varijabli u približnim proračunima.

Teorijski dio:

1. Koncept funkcije više varijabli.

2. Funkcija dvije varijable. Djelomično i ukupno povećanje funkcije dvije varijable.

3. Parcijalni izvod funkcije više varijabli.

4. Parcijalni diferencijali funkcije više varijabli.

5. Totalni diferencijal funkcije više varijabli.

6. Primjena ukupnog diferencijala funkcije više varijabli u aproksimativnim proračunima.

Praktični dio:

1. Pronađite parcijalne izvode funkcija:

1) ; 4) ;

2) z \u003d e xy + 2 x; 5) z= 2tg xx y;

3) z \u003d x 2 sin 2 y; 6) .

4. Definirajte parcijalni izvod funkcije u odnosu na dati argument.

5. Šta se naziva parcijalni i totalni diferencijal funkcije dvije varijable? Kako su oni povezani?

6. Lista pitanja za provjeru konačnog nivoa znanja:

1. U opštem slučaju proizvoljne funkcije više varijabli, da li je njen ukupni prirast jednak zbiru svih parcijalnih priraštaja?

2. Koje je glavno značenje parcijalnog izvoda funkcije nekoliko varijabli u odnosu na bilo koji od njenih argumenata?

3. Koje je analitičko značenje ukupnog diferencijala?

7. Vremenski okvir lekcije:

1. Organizacioni momenat - 5 minuta.

2. Analiza teme - 20 min.

3. Rješavanje primjera i zadataka - 40 min.

4. Tekuća kontrola znanja -30 min.

5. Sumiranje časa - 5 min.

8. Spisak obrazovne literature za čas:

1. Morozov Yu.V. Osnove više matematike i statistike. M., "Medicina", 2004, §§ 4.1–4.5.

2. Pavlushkov I.V. i dr. Osnove više matematike i matematičke statistike. M., "GEOTAR-Media", 2006, § 3.3.

Svaki parcijalni derivat (preko x i po y) funkcije dvije varijable je običan izvod funkcije jedne varijable s fiksnom vrijednošću druge varijable:

(gde y= const),

(gde x= const).

Dakle, parcijalni derivati ​​se računaju iz formule i pravila za izračunavanje izvoda funkcija jedne varijable, dok drugu varijablu smatramo konstantom (konstantom).

Ako vam nije potrebna analiza primjera i minimalna teorija potrebna za to, već vam je potrebno samo rješenje vašeg problema, onda prijeđite na online kalkulator parcijalnih derivata .

Ako je teško usredotočiti se na praćenje gdje se konstanta nalazi u funkciji, onda možete zamijeniti bilo koji broj u nacrtu rješenja primjera umjesto varijable s fiksnom vrijednošću - tada možete brzo izračunati parcijalni izvod kao običan derivat funkcije jedne varijable. Potrebno je samo da ne zaboravite da vratite konstantu (promenljivu sa fiksnom vrednošću) na njeno mesto kada završite.

Gore opisano svojstvo parcijalnih izvoda proizlazi iz definicije parcijalnog izvoda, koje se može naći u ispitnim pitanjima. Stoga, da biste se upoznali sa definicijom u nastavku, možete otvoriti teorijsku referencu.

Koncept kontinuiteta funkcije z= f(x, y) u tački definira se slično ovom konceptu za funkciju jedne varijable.

Funkcija z = f(x, y) se naziva kontinuiranim u tački ako

Razlika (2) naziva se ukupni prirast funkcije z(dobija se povećanjem oba argumenta).

Neka funkcija z= f(x, y) i tačka

Ako se funkcija promijeni z javlja se kada se promijeni samo jedan od argumenata, na primjer, x, sa fiksnom vrijednošću drugog argumenta y, tada će funkcija biti povećana

naziva se djelomično povećanje funkcije f(x, y) na x.

S obzirom na promjenu funkcije z ovisno o promjeni samo jednog od argumenata, zapravo prelazimo na funkciju jedne varijable.

Ako postoji konačna granica

tada se naziva parcijalni izvod funkcije f(x, y) argumentom x i označava se jednim od simbola

(4)

Slično je definiran i parcijalni prirast z on y:

i parcijalni derivat f(x, y) na y:

(6)

Primjer 1

Rješenje. Nalazimo parcijalni izvod u odnosu na varijablu "x":

(y fiksno);

Nalazimo parcijalni izvod u odnosu na varijablu "y":

(x fiksno).

Kao što vidite, nije bitno u kojoj meri je varijabla fiksna: u ovom slučaju je samo neki broj koji je faktor (kao u slučaju uobičajenog izvoda) sa varijablom pomoću koje nalazimo parcijalni derivat. Ako se fiksna varijabla ne pomnoži s promjenljivom prema kojoj nalazimo parcijalni izvod, tada ova usamljena konstanta, bez obzira u kojoj mjeri, kao u slučaju običnog izvoda, nestaje.

Primjer 2 Zadata funkcija

Pronađite parcijalne derivate

(po x) i (po y) i izračunajte njihove vrijednosti u tački ALI (1; 2).

Rješenje. Na fiksni y derivacija prvog člana nalazi se kao derivacija funkcije stepena ( tablica derivacijskih funkcija jedne varijable):

.

Na fiksni x derivacija prvog člana nalazi se kao izvod eksponencijalne funkcije, a drugog - kao izvod konstante:

Sada izračunavamo vrijednosti ovih parcijalnih izvoda u tački ALI (1; 2):

Rješenje zadataka s parcijalnim derivatima možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Primjer 3 Pronađite parcijalne derivate funkcija

Rješenje. U jednom koraku nalazimo

(y x, kao da je argument sinusa 5 x: na isti način, 5 se pojavljuje ispred znaka funkcije);

(x je fiksna i u ovom slučaju je faktor u y).

Rješenje zadataka s parcijalnim derivatima možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Parcijalni derivati ​​funkcije tri ili više varijabli definiraju se na sličan način.

Ako svaki skup vrijednosti ( x; y; ...; t) nezavisne varijable iz skupa D odgovara jednoj specifičnoj vrijednosti u od mnogih E, onda u naziva se funkcija varijabli x, y, ..., t i označiti u= f(x, y, ..., t).

Za funkcije od tri ili više varijabli ne postoji geometrijska interpretacija.

Također se definiraju i izračunavaju parcijalni derivati ​​funkcije više varijabli pod pretpostavkom da se mijenja samo jedna od nezavisnih varijabli, dok su ostale fiksne.

Primjer 4 Pronađite parcijalne derivate funkcija

.

Rješenje. y I z popravljeno:

x I z popravljeno:

x I y popravljeno:

Nađite sami parcijalne izvode, a zatim pogledajte rješenja

Primjer 5

Primjer 6 Pronađite parcijalne izvode funkcije.

Parcijalni izvod funkcije nekoliko varijabli ima isto mehaničko značenje kao derivacija funkcije jedne varijable, je brzina kojom se funkcija mijenja u odnosu na promjenu jednog od argumenata.

Primjer 8 količina protoka Pželjeznički putnici mogu se izraziti kao funkcija

gdje P- broj putnika, N- broj stanovnika odgovarajućih punktova, R– udaljenost između tačaka.

Parcijalni izvod funkcije P on R jednak

pokazuje da je smanjenje protoka putnika obrnuto proporcionalno kvadratu udaljenosti između odgovarajućih tačaka za isti broj stanovnika u tačkama.

Parcijalni derivat P on N jednak

pokazuje da je povećanje protoka putnika proporcionalno dvostrukom broju stanovnika naselja sa istim rastojanjem između tačaka.

Rješenje zadataka s parcijalnim derivatima možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Puni diferencijal

Proizvod parcijalnog izvoda i prirasta odgovarajuće nezavisne varijable naziva se parcijalni diferencijal. Parcijalni diferencijali se označavaju na sljedeći način:

Zbir parcijalnih diferencijala nad svim nezavisnim varijablama daje ukupni diferencijal. Za funkciju dvije nezavisne varijable, ukupni diferencijal se izražava jednakošću

(7)

Primjer 9 Pronađite puni diferencijal funkcije

Rješenje. Rezultat korištenja formule (7):

Funkcija koja ima totalni diferencijal u svakoj tački neke domene naziva se diferencijabilna u toj domeni.

Sami pronađite ukupni diferencijal i tada vidite rješenje

Kao iu slučaju funkcije jedne varijable, diferencijabilnost funkcije u određenom području implicira njen kontinuitet u ovom području, ali ne i obrnuto.

Formulirajmo bez dokaza dovoljan uslov za diferencijabilnost funkcije.

Teorema. Ako je funkcija z= f(x, y) ima kontinuirane parcijalne izvode

u datom regionu, onda je on diferencibilan u ovom regionu i njegov diferencijal se izražava formulom (7).

Može se pokazati da je, baš kao što je u slučaju funkcije jedne varijable, diferencijal funkcije glavni linearni dio prirasta funkcije, tako je u slučaju funkcije više varijabli ukupni diferencijal glavni, linearan u odnosu na inkremente nezavisnih varijabli, dio ukupnog prirasta funkcije.

Za funkciju od dvije varijable, ukupni prirast funkcije ima oblik

(8)

gdje su α i β beskonačno male za i .

Parcijalni derivati ​​višeg reda

Parcijalni derivati ​​i funkcije f(x, y) su same neke funkcije istih varijabli i, zauzvrat, mogu imati derivate u odnosu na različite varijable, koje se nazivaju parcijalni derivati ​​višeg reda.

Linearizacija funkcije. Tangentna ravan i normalna površina.

Derivati ​​i diferencijali višeg reda.

1. Parcijalni derivati ​​FNP *)

Razmotrite funkciju I = f(P), RÎDÌR n ili, što je isto,

I = f(X 1 , X 2 , ..., x n).

Popravljamo vrijednosti varijabli X 2 , ..., x n, i varijabla X 1 povećajmo D X jedan . Zatim funkcija Iće dobiti prirast određen jednakošću

= f (X 1+D X 1 , X 2 , ..., x n) – f(X 1 , X 2 , ..., x n).

Ovaj prirast se zove privatni prirast funkcije I po varijabli X 1 .

Definicija 7.1. Parcijalni izvod funkcije I = f(X 1 , X 2 , ..., x n) promenljivom X 1 je granica omjera djelomičnog prirasta funkcije i prirasta argumenta D X 1 kod D X 1 ® 0 (ako postoji ova granica).

Parcijalni izvod u odnosu na X 1 karaktera

Dakle, po definiciji

Slično su definirane parcijalne derivacije u odnosu na preostale varijable. X 2 , ..., x n. Iz definicije se vidi da je parcijalni izvod funkcije u odnosu na varijablu x i je običan izvod funkcije jedne varijable x i kada se ostale varijable smatraju konstantama. Stoga se sva prethodno proučavana pravila i formule diferencijacije mogu koristiti za pronalaženje izvoda funkcije nekoliko varijabli.

Na primjer, za funkciju u = x 3 + 3xy – z 2 imamo

Dakle, ako je eksplicitno data funkcija više varijabli, onda se pitanja postojanja i pronalaženja njenih parcijalnih izvoda svode na odgovarajuća pitanja o funkciji jedne varijable - one po kojoj je potrebno odrediti izvod.

Razmotrimo implicitno definiranu funkciju. Neka jednačina F( x, y) = 0 definira implicitnu funkciju jedne varijable X. fer

Teorema 7.1.

Neka F( x 0 , y 0) = 0 i funkcije F( x, y), F¢ X(x, y), F¢ at(x, y) su kontinuirani u nekom susjedstvu tačke ( X 0 , at 0), i F¢ at(x 0 , y 0) ¹ 0. Zatim funkcija at, dato implicitno jednačinom F( x, y) = 0, ima u tački ( x 0 , y 0) derivat, koji je jednak

.

Ako su uslovi teoreme zadovoljeni u bilo kojoj tački domene DÌ R 2 , tada u svakoj tački ovog domena .

Na primjer, za funkciju X 3 –2at 4 + wow+ 1 = 0 nalazi

Neka sada jednačina F( x, y, z) = 0 definira implicitnu funkciju dvije varijable. Nađimo i . Budući da je izračunavanje derivata u odnosu na X proizvedeno po fiksnoj (konstantnoj) at, tada pod ovim uslovima jednakost F( x, y= const, z) = 0 definira z kao funkcija jedne varijable X i prema teoremi 7.1 dobijamo

.

Slično .

Dakle, za funkciju dvije varijable date implicitno jednadžbom , parcijalni derivati ​​se nalaze po formulama: ,

Parcijalni derivati ​​funkcije u slučaju da ne postoje u jednoj tački, već na određenom skupu, su funkcije definirane na ovom skupu. Ove funkcije mogu biti kontinuirane iu nekim slučajevima mogu imati i parcijalne izvode u različitim točkama u domeni.

Parcijalni izvod ovih funkcija naziva se parcijalni izvod drugog reda ili drugi parcijalni izvod.

Parcijalni derivati ​​drugog reda dijele se u dvije grupe:

drugi parcijalni derivati ​​u odnosu na varijablu;

· mješoviti parcijalni derivati ​​u odnosu na varijable i.

Uz naknadnu diferencijaciju, mogu se odrediti parcijalni derivati ​​trećeg reda i tako dalje. Parcijalni derivati ​​višeg reda definiraju se i pišu analognim rezoniranjem.

Teorema. Ako su sve parcijalne derivacije uključene u proračun, koje se posmatraju kao funkcije njihovih nezavisnih varijabli, kontinuirane, onda rezultat parcijalne diferencijacije ne ovisi o slijedu diferencijacije.

Često postoji potreba za rješavanjem inverznog problema, koji se sastoji u određivanju da li je ukupni diferencijal funkcije izraz oblika gdje su kontinuirane funkcije s kontinuiranim derivatima prvog reda.

Neophodan uslov za ukupni diferencijal može se formulisati kao teorema, koju prihvatamo bez dokaza.

Teorema. Da bi diferencijalni izraz bio u domeni ukupni diferencijal funkcije definisane i diferencibilne u ovoj domeni, neophodno je da uslov za bilo koji par nezavisnih varijabli u bude identično zadovoljen u ovoj domeni.

Problem izračunavanja ukupnog diferencijala funkcije drugog reda može se riješiti na sljedeći način. Ako je i izraz ukupnog diferencijala diferencijabilan, onda se drugi totalni diferencijal (ili totalni diferencijal drugog reda) može smatrati izrazom dobivenim kao rezultat primjene operacije diferencijacije na prvi totalni diferencijal, tj. . Analitički izraz za drugi ukupni diferencijal je:

Uzimajući u obzir činjenicu da mješoviti derivati ​​ne ovise o redoslijedu diferencijacije, formula se može grupisati i predstaviti kao kvadratni oblik:

Matrica kvadratnog oblika je:

Neka superpozicija funkcija definiranih u i

Određeni u. Gde. Zatim, ako i imaju kontinuirane parcijalne derivacije do drugog reda u točkama i, tada postoji drugi totalni diferencijal složene funkcije sljedećeg oblika:

Kao što vidite, drugi totalni diferencijal nema svojstvo invarijantnosti oblika. Izraz drugog diferencijala složene funkcije uključuje članove oblika koji su odsutni u formuli drugog diferencijala jednostavne funkcije.

Konstrukcija parcijalnih izvoda funkcije višeg reda može se nastaviti izvođenjem uzastopne diferencijacije ove funkcije:

Gdje indeksi uzimaju vrijednosti od do, tj. derivacija reda se smatra parcijalnim izvodom prvog reda derivacije reda. Slično, možemo uvesti koncept totalnog diferencijala reda funkcije, kao totalnog diferencijala prvog reda diferencijala reda: .

U slučaju jednostavne funkcije dvije varijable, formula za izračunavanje ukupnog diferencijala reda funkcije je

Upotreba operatora diferencijacije omogućava dobijanje kompaktne i lako pamtljive notacije za izračunavanje ukupnog diferencijala reda funkcije, slično Newtonovoj binomnoj formuli. U dvodimenzionalnom slučaju ima oblik