Elementi analitičke mehanike

U mojim pokušajima da saznam svijet ljudsku prirodu karakteriše težnja da se sistem znanja iz ove oblasti svede na najmanji broj početne pozicije. To se prvenstveno odnosi na naučne oblasti. U mehanici je ta želja dovela do stvaranja temeljnih principa iz kojih proizilaze glavni diferencijalne jednadžbe pokreti za razne mehaničke sisteme. Ovaj dio tutorijala ima za cilj da upozna čitatelja s nekim od ovih principa.

Počnimo proučavanje elemenata analitičke mehanike sa razmatranjem problema klasifikacije veza koje se javljaju ne samo u statici, već iu dinamici.

Klasifikacija odnosa

Veza – bilo kakve vrste ograničenja nametnutih pozicijama i brzinama tačaka mehanički sistem .

Veze se klasifikuju:

Promjenom tokom vremena:

- nestacionarne komunikacije, one. mijenjaju se tokom vremena. Nosač koji se kreće u prostoru je primjer nestacionarne veze.

- fiksne komunikacije, one. ne mijenja se tokom vremena. Stacionarne veze uključuju sve veze o kojima se govori u odjeljku "Statika".

Po vrsti nametnutih kinematičkih ograničenja:

- geometrijske veze nameću ograničenja na pozicije tačaka u sistemu;

- kinematička, ili diferencijalne veze nameću ograničenja na brzinu tačaka u sistemu. Ako je moguće, smanjite jednu vrstu odnosa na drugu:

- integrabilan, ili holonomski(jednostavno) veza, ako se kinematička (diferencijalna) veza može predstaviti kao geometrijska. U takvim vezama, ovisnosti između brzina mogu se svesti na ovisnost između koordinata. Cilindar koji se kotrlja bez klizanja primjer je integrabilnog diferencijalnog ograničenja: brzina ose cilindra povezana je s njegovom ugaona brzina prema poznatoj formuli , ili , a nakon integracije se svodi na geometrijski odnos između pomaka ose i ugla rotacije cilindra u obliku .

- neintegrabilan, ili neholonomska veza– ako se kinematička (diferencijalna) veza ne može predstaviti kao geometrijska. Primjer je kotrljanje lopte bez klizanja tokom njenog nepravolinijskog kretanja.

Ako je moguće, "oslobodite" komunikacije:

- držeći kravate, pod kojima su ograničenja koja im nameću uvijek očuvana, na primjer, klatno okačeno na krutu šipku;

- nezadržive veze - ograničenja mogu biti prekršena za određenu vrstu kretanja sistema, na primjer, klatno okačeno na zgužvanoj niti.

Hajde da uvedemo nekoliko definicija.

· Moguće(ili virtuelno) kreće se(označeno) je elementaran (beskonačno mali) i takav je da ne krši ograničenja nametnuta sistemu.

Primjer: tačka, koja se nalazi na površini, ima skup elementarnih pomaka u bilo kojem smjeru duž referentne površine, bez odvajanja od nje. Kretanje tačke, koje dovodi do njenog odvajanja od površine, prekida vezu i, u skladu sa definicijom, nije moguće kretanje.

Za stacionarne sisteme, uobičajeni realni (stvarni) elementarni pomaci uključeni su u skup mogućih pomaka.

· Broj stepeni slobode mehaničkog sistema – je broj njegovih nezavisnih mogućih pomaka.

Dakle, kada se tačka kreće po ravni, svako njeno moguće kretanje se izražava u terminima njene dve ortogonalne (i stoga nezavisne) komponente.

Za mehanički sistem sa geometrijskim ograničenjima, broj nezavisnih koordinata koje određuju položaj sistema poklapa se sa brojem njegovih stepena slobode.

Dakle, tačka na ravni ima dva stepena slobode. Slobodna materijalna tačka - tri stepena slobode. At slobodno telo– šest (zaokreti pod Eulerovim uglovima se dodaju) itd.

· Mogući rad – je elementarni rad sile na mogućem pomaku.

Princip mogućih pokreta

Ako je sistem u ravnoteži, tada za bilo koju njegovu tačku vrijedi jednakost, gdje su rezultante aktivnih sila i sila reakcije koje djeluju na tačku. Tada je zbir rada ovih sila za bilo koji pomak također jednak nuli . Sumirajući sve tačke, dobijamo: . Drugi član za idealne veze jednak je nuli, odakle i formulišemo princip mogućih kretanja :

.

(3.82)

U uslovima ravnoteže mehaničkog sistema sa idealnim ograničenjima, zbir elementarni radovi svih aktivnih sila koje na njega djeluju za bilo koji mogući pomak sistema jednaka je nuli.

Vrijednost principa mogućih pomaka leži u formulaciji uslova ravnoteže za mehanički sistem (3.81), u kojem se ne pojavljuju nepoznate reakcije ograničenja.

PITANJA ZA SAMOPROVERU

1. Koje kretanje tačke se naziva mogućim?

2. Kako se naziva mogući rad sile?

3. Formulirajte i zapišite princip mogućih pokreta.

d'Alambertov princip

Prepišimo jednačinu dinamike to tačku mehaničkog sistema (3.27), prenoseći lijevu stranu na desnu. Uvedemo u obzir količinu

Sile u jednačini (3.83) čine uravnoteženi sistem sila.

Proširujući ovaj zaključak na sve tačke mehaničkog sistema, dolazimo do formulacije d'Alambertov princip, nazvan po francuskom matematičaru i mehaničaru Jean Leron D'Alembert (1717–1783), sl. 3.13:

Sl.3.13

Ako se sve sile inercije dodaju svim silama koje djeluju u datom mehaničkom sistemu, rezultirajući sistem sila će biti uravnotežen i na njega se mogu primijeniti sve jednačine statike.

U stvari, to znači da se iz dinamičkog sistema, dodavanjem sila inercije (D'Alembertove sile), prelazi na pseudostatski (skoro statički) sistem.

Koristeći d'Alembertov princip, može se dobiti procjena glavni vektor inercijskih sila i glavni moment inercije oko centra kao:

Dinamičke reakcije koje djeluju na os rotirajućeg tijela

Zamislite kruto tijelo koje se ravnomjerno rotira ugaonom brzinom ω oko ose fiksirane u ležajevima A i B (sl. 3.14). Povežimo sa tijelom ose Axyz koje rotiraju s njim; prednost takvih osa je u tome što će u odnosu na njih koordinate centra mase i momenti inercije tijela biti konstantne vrijednosti. Pustite tijelo da djeluje date snage. Označimo projekcije glavnog vektora svih ovih sila na os Axyz kroz ( itd.), a njihovi glavni momenti oko istih ose - kroz ( itd.); u međuvremenu, pošto ω = const, dakle = 0.

Sl.3.14

Za određivanje dinamičkih odgovora X A, Y A, Z A, X B , Y B ležajevi, tj. reakcije koje nastaju pri rotaciji tijela, svim datim silama koje djeluju na tijelo dodajemo i reakcije veza inercijsku silu svih čestica tijela, dovodeći ih u centar A. Tada sile inercije će biti predstavljen jednom silom jednakom i primijenjen u tački A , i par sila sa momentom jednakim . Projekcije ovog momenta na osu to i at bice: , ; evo opet , as ω = konst.

Sada, sastavljanje jednadžbi (3.86) u skladu sa d’Alembertovim principom u projekcijama na osu Axyz i postavljanjem AB =b, dobijamo

.

(3.87)

Zadnja jednačina je zadovoljan identično, pošto .

Glavni vektor sile inercije , gdje t - tjelesna težina (3,85). At ω =konst centar mase C ima samo normalno ubrzanje , gdje je udaljenost tačke C od ose rotacije. Dakle, smjer vektora poklapa se sa smjerom OS . Računarske projekcije na koordinatne ose i s obzirom na to gde - koordinate centra mase, nalazimo:

Za određivanje i , Razmotrite neku česticu tijela s masom m k , udaljen od ose na udaljenosti h k . Za nju u ω =const sila inercije također ima samo centrifugalnu komponentu , čije projekcije, kao i vektori R", su jednaki.

1. Generalizirane koordinate i broj stupnjeva slobode.

Kada se mehanički sistem kreće, sve njegove tačke ne mogu se kretati proizvoljno, jer su ograničene vezama. To znači da nisu sve koordinate tačaka nezavisne. Položaj tačaka se određuje navođenjem samo nezavisnih koordinata.

generalizovane koordinate. Za holonomske sisteme (odnosno one čije su veze izražene jednačinama koje zavise samo od koordinata), broj nezavisnih generalizovanih koordinata mehaničkog sistema jednak broju stepeni slobode ovaj sistem.

primjeri:

Položaj svih tačaka je jedinstveno određen uglom rotacije

ručica.

Jedan stepen slobode.

2. Položaj slobodne tačke u prostoru određen je sa tri nezavisne jedna od druge koordinate. Dakle tri stepena slobode.

3. Kruto rotirajuće tijelo, položaj određen uglom rotacije j . Jedan stepen slobode.

4. Slobodno kruto tijelo čije je kretanje određeno sa šest jednačina - šest stepeni slobode.

2. Mogući pomaci mehaničkog sistema.

Idealne veze.

Moguće pomaci su imaginarni beskonačno mali pomaci dozvoljeni u datom trenutku ograničenjima nametnutim sistemu. Moguća pomaka tačaka mehaničkog sistema se stoga smatraju veličinama prvog reda male veličine krivolinijski pokreti tačke se zamjenjuju pravim segmentima položenim tangencijalno na putanje tačaka i označavaju se dS.

dS A = dj . OA

Sve sile koje djeluju na materijalna tačka, dijele se na date i reakcijske veze.

Ako je zbir rada reakcija veza na bilo koji mogući pomak sistema jednak nuli, tada se takve veze nazivaju idealan.

3. Princip mogućih pokreta.

Za ravnotežu mehaničkog sistema sa idealnim ograničenjima potrebno je i dovoljno da zbir elementarnih radova svih aktivnih sila koje na njega djeluju za bilo koji mogući pomak sistema bude jednak nuli.

Značenje princip mogućih pokreta:

1. U obzir se uzimaju samo aktivne snage.

2. Daje u opštem obliku uslov ravnoteže za bilo koji mehanički sistem, dok je u statici potrebno posmatrati ravnotežu svakog tela sistema posebno.

Zadatak.

Za dati položaj kliznog mehanizma u ravnoteži, pronaći odnos između momenta i sile ako OA = ℓ.

Opća jednadžba dinamike.

Princip mogućih pomaka daje opšti metod za rešavanje problema statike. S druge strane, d'Alembertov princip omogućava korištenje metoda statike za rješavanje problema dinamike. Stoga se istovremenom primjenom ova dva principa može dobiti opći metod za rješavanje problema dinamike.

Razmotrimo mehanički sistem na koji su nametnuta idealna ograničenja. Ako svim tačkama sistema, osim aktivnim silama koje djeluju na njih i reakcijama veza, dodamo odgovarajuće sile inercije, tada će prema d'Alembertovom principu rezultirajući sistem sila biti u ravnoteži. Primjenom principa mogućih pomaka dobijamo:

Pošto su veze idealne, onda:

Ova jednakost predstavlja opšta jednačina dinamika.

Iz toga proizilazi d'Alembert-Lagrangeov princip- kada se sistem kreće sa idealnim ograničenjima u svakom trenutku vremena, zbir elementarnih radova svih primenjenih aktivnih sila i svih inercijalnih sila na bilo koje moguće kretanje sistema biće jednak nuli.

Zadatak.

U zupčanici 2 težina 2G sa radijusom R2=R primenjeni obrtni moment M=4GR.

Odredite ubrzanje podignutog tereta ALI vaganje G, zanemarujući težinu užeta i trenje u osovinama. Bubanj na koji je namotano uže i za njega čvrsto pričvršćen zupčanik 1 , imaju ukupnu težinu 4G i radijus rotacije r = R. radijus bubnja R A = R i zupčanici 1

R 1 = 0,5R.

Opišimo sve djelujuće sile, smjer ubrzanja i moguće pomake.

________________

Zamjenjujemo u opštu jednačinu dinamike

Pomak izražavamo kroz ugao rotacije δφ 1

Zamijenite vrijednosti

δφ 1 ≠0

Izrazimo sva ubrzanja u terminima željenog aa i izjednačiti izraz u zagradama sa nulom

Zamijenite vrijednosti

Princip mogućih pokreta.

a = 0,15 m

b = 2a = 0,3 m

m = 1,2 Nm __________________

x V; na B; N / A ; Mp

Odluka: Nađimo reakciju pokretnog oslonca ALI zašto mentalno odbacujemo ovu vezu, zamjenjujući njeno djelovanje reakcijom N / A

Moguće pomicanje štapa AC je njegova rotacija oko šarke With na uglu dj. Kernel sunce ostaje nepomičan.

Sastavimo jednačinu rada vodeći računa da je rad sila pri rotaciji tijela jednak proizvodu momenta sile oko centra rotacije i ugla rotacije tijela.

Odrediti reakcije krutog pričvršćivanja u podupiraču AT prvo pronađite trenutak reakcije M str. Da bismo to učinili, odbacujemo ograničenje koje sprječava okretanje šipke sunce, zamjenjujući kruto pričvršćivanje sa zglobno-fiksiranim osloncem i primjenom momenta M str .

Reci štapu moguću rotaciju pod uglom dj 1.

Sastavite jednadžbu rada za štap sunce:

Definirajmo pomake:

Da bismo odredili vertikalnu komponentu krute reakcije pričvršćivanja, odbacujemo ograničenje koje sprječava da se točka pomjeri okomito AT, zamjena krute fiksacije kliznom (nemoguće je okretati) i primjena reakcije:

Obavijestimo lijevu stranu (šip sunce sa klizačem AT) moguća brzina V B kretanje napred dolje. Kernel AC rotirati oko tačke ALI .

Napravimo jednačinu radova:

Da bismo odredili horizontalnu komponentu krute reakcije sidrenja, odbacujemo ograničenje koje sprječava horizontalno pomicanje točke AT zamjena krutog završetka kliznim i primjena reakcije:

Obavijestimo lijevu stranu (klizač AT zajedno sa štapom sunce) moguća brzina V B kretanje naprijed ulijevo. Od podrške ALI na valjcima, tada će se desna strana kretati naprijed istom brzinom. Dakle .

Napravimo jednadžbu radova za sav dizajn.

Da bismo provjerili ispravnost rješenja, sastavljamo jednadžbe ravnoteže za cijeli sistem:

Uslov je ispunjen.

odgovor: y B = -14,2 H; X B = -28,4 H; N A = 14,2 H; V P = 3,33 Nm.

Generalizirane brzine. Generalizovane sile.

Nezavisne veličine koje jednoznačno određuju položaj svih tačaka mehaničkog sistema nazivaju se generalizovane koordinate. – q

Ako sistem ima S stepena slobode, tada će se odrediti njegov položaj S generalizovane koordinate:

q1; q2; …; q s .

Ukoliko generalizovane koordinate su nezavisni jedni od drugih, tada će elementarni prirast ovih koordinata također biti nezavisni:

dq 1 ; dq 2 ; …; dq S .

Istovremeno, svaka od količina dq 1 ; dq 2 ; …; dq S određuje odgovarajuće, nezavisno od drugih, moguće kretanje sistema.

Kada se sistem kreće, njegove generalizirane koordinate će se kontinuirano mijenjati tokom vremena, zakon ovog kretanja je određen jednadžbama:

, …. ,

Ovo su jednačine kretanja sistema u generalizovanim koordinatama.

Derivati ​​generalizovanih koordinata u odnosu na vreme nazivaju se generalizovanim brzinama sistema:

Dimenzija zavisi od dimenzije q.

Zamislite mehanički sistem koji se sastoji od n materijalnih tačaka na koje djeluju sile F 1 , F 2 , F n. Neka sistem ima S stepena slobode i njegov položaj je određen generalizovanim koordinatama q1; q2; q 3. Recimo sistemu moguće kretanje, u kojem je koordinata q 1 dobija povećanje dq 1, a ostale koordinate se ne mijenjaju. Tada vektor radijusa k-te tačke dobija elementarni prirast (dr k) 1. Ovo je prirast koji radijus vektor prima kada se promijeni samo koordinata. q 1 po iznosu dq 1. Ostale koordinate ostaju nepromijenjene. Dakle (dr k) 1 izračunati as privatni diferencijal:

Izračunajmo elementarni rad svih primijenjenih sila:

Izvadimo to iz zagrada dq 1, dobijamo:

gdje - generalizovana moć.

dakle, generalizovana sila – je koeficijent za prirast generalizirane koordinate.

Proračun generaliziranih sila svodi se na proračun mogućeg elementarnog rada.

Ako se sve promeni q, zatim:

Po principu mogućih pomaka, za ravnotežu sistema potrebno je i dovoljno da SdA a k = 0. U generaliziranim koordinatama Q1. dq 1 + Q 2 . dq 2 + … + Q s . dqs = 0 dakle, za ravnoteža sistema neophodno je i dovoljno da generalizovane sile odgovaraju mogućim pomacima odabranim za sistem, a time i generalizovanim koordinatama, bile jednake nuli.

Q1 = 0; Q2 = 0; …Qs = 0.

Lagrangeove jednadžbe.

Koristeći opštu jednačinu dinamike za mehanički sistem, mogu se naći jednačine kretanja mehaničkog sistema.

4) odrediti kinetičku energiju sistema, izraziti ovu energiju u terminima generalizovanih brzina i generalizovanih koordinata;

5) naći odgovarajuće parcijalne izvode od T za i i zamijenite sve vrijednosti u jednadžbi.

Teorija uticaja.

Kretanje tijela pod djelovanjem običnih sila karakterizira kontinuirana promjena modula i smjerova brzina ovog tijela. Međutim, postoje slučajevi kada su brzine tačaka tijela, a time i količina kretanja čvrsto telo u veoma kratkom vremenskom periodu dobijaju se konačne promene.

fenomen, u kojem se, za zanemarljivo mali vremenski period, brzine tačaka tijela mijenjaju za konačan iznos, naziva se udarac.

snage, pod čijom akcijom nastaje udar nazivaju se udaraljke.

Mali vremenski period t tokom kojeg dolazi do udara naziva se vreme udara.

Pošto su udarne sile veoma velike i značajno se menjaju tokom udara, u teoriji udara, ne same udarne sile, već njihovi impulsi se smatraju merom interakcije tela.

Impulsi neudarnih sila tokom vremena t veoma su male i mogu se zanemariti.

Teorema o promjeni impulsa tačke pri udaru:

gdje v je brzina tačke na početku udara,

u je brzina tačke na kraju udara.

Osnovna jednadžba teorije udara.

Kretanje tačaka u vrlo kratkom vremenskom periodu, odnosno za vreme udara, takođe će biti malo, pa ćemo zato telo smatrati nepokretnim.

Dakle, možemo izvući sljedeće zaključke o silama udara:

1) dejstvo neudarnih sila pri udaru se može zanemariti;

2) pomeranja tačaka tela pri udaru se mogu zanemariti i telo se može smatrati nepomično za vreme udara;

Za rješavanje statičkih problema metodama dinamike formuliran je princip mogućih pomaka.

Definicije

veze nazivaju se sva tijela koja ograničavaju kretanje razmatranog tijela.

Idealno koje se nazivaju veze, čiji je rad reakcija na bilo koji mogući pomak jednak nuli.

Broj stepeni slobode mehaničkog sistema je broj takvih parametara nezavisnih jedan od drugog, uz pomoć kojih se jednoznačno određuje pozicija sistema.

Na primjer, lopta koja se nalazi na ravni ima pet stupnjeva slobode, a cilindrična šarka ima jedan stupanj slobode.

Općenito, mehanički sistem može imati beskonačan broj stupnjeva slobode.

Moguća kretanja nazvaćemo takva pomaka, koja su, prvo, dozvoljena superponiranim ograničenjima, i, kao drugo, beskonačno mala.

Pokretno-klizni mehanizam ima jedan stepen slobode. Parametri se mogu uzeti kao mogući pomaci -  ,  x i sl.

Za bilo koji sistem, broj mogućih pomaka nezavisnih jedan od drugog jednak je broju stupnjeva slobode.

Neka je neki sistem u ravnoteži i neka su veze nametnute ovom sistemu idealne. Tada za svaku tačku sistema možemo napisati jednačinu

, (102)

gdje
- rezultanta aktivnih sila primijenjenih na materijalnu tačku;

- rezultirajuće reakcije veza.

Pomnožite (102) skalarno sa vektorom mogućeg pomaka tačke

,

pošto su veze idealne, uvek je tako
, ostaje zbir elementarnog rada aktivnih sila koje djeluju na tačku

. (103)

Jednačina (103) se može napisati za sve materijalne tačke, zbrajanjem koje dobijamo

. (104)

Jednačina (104) izražava sljedeći princip mogućih pomaka.

Za ravnotežu sistema sa idealnim ograničenjima potrebno je i dovoljno da zbir elementarnih radova svih aktivnih sila koje na njega djeluju za bilo koji mogući pomak sistema bude jednak nuli.

Broj jednačina (104) jednak je broju stepeni slobode datog sistema, što je prednost ove metode.

Opća jednadžba dinamike (d'Alembert-Lagrangeov princip)

Princip mogućih pomaka omogućava rješavanje problema statike metodama dinamike, s druge strane, d'Alembertov princip daje opći metod rješavanja problema dinamike metodama statike. Kombinujući ova dva principa, može se dobiti opšti metod za rešavanje problema u mehanici, koji se naziva d'Alembert-Lagrangeov princip.

. (105)

Kada se sistem kreće sa idealnim ograničenjima u svakom trenutku vremena, zbir elementarnih radova svih primenjenih aktivnih sila i svih sila inercije na bilo koje moguće kretanje sistema biće jednak nuli.

AT analitički oblik jednačina (105) ima oblik

Lagrangeove jednadžbe druge vrste

Generalizirane koordinate (q) nazivaju se takvi nezavisni jedan od drugog parametri koji na jedinstven način određuju ponašanje mehaničkog sistema.

Broj generaliziranih koordinata uvijek je jednak broju stupnjeva slobode mehaničkog sistema.

Svi parametri koji imaju bilo koju dimenziju mogu se odabrati kao generalizirane koordinate.

H
Na primjer, kada se proučava kretanje matematičkog klatna sa jednim stepenom slobode, kao generalizovana koordinata q mogu se prihvatiti parametri:

x(m), y(m) – koordinate tačke;

s(m) – dužina luka;

 (m 2) - površina sektora;

 (rad) – ugao rotacije.

Kada se sistem kreće, njegove generalizirane koordinate će se kontinuirano mijenjati tokom vremena

Jednačine (107) su jednačine kretanja sistema u generaliziranim koordinatama.

Derivati ​​generaliziranih koordinata u odnosu na vrijeme se nazivaju generalizovane brzine sistema

. (108)

Dimenzija generalizirane brzine ovisi o dimenziji generalizirane koordinate.

Bilo koje druge koordinate (kartezijanske, polarne, itd.) mogu se izraziti kroz generalizirane koordinate.

Uz pojam generalizovane koordinate uvodi se i pojam generalizovane sile.

Ispod generalizovana sila razumjeti vrijednost jednaku omjeru zbira elementarnih radova svih sila koje djeluju na sistem na nekom elementarnom prirastu generalizirane koordinate prema ovom prirastu

, (109)

gdje S je indeks generalizirane koordinate.

Dimenzija generalizirane sile ovisi o dimenziji generalizirane koordinate.

Za pronalaženje jednadžbi gibanja (107) mehaničkog sistema sa geometrijskim ograničenjima u generaliziranim koordinatama koriste se diferencijalne jednadžbe u Lagrangeovom obliku druge vrste

. (110)

U (110) kinetičkoj energiji T sistem se izražava u terminima generalizovanih koordinata q S i generalizovane brzine .

Lagrangeove jednadžbe pružaju jedinstvenu i prilično jednostavnu metodu za rješavanje problema dinamike. Vrsta i broj jednačina ne zavisi od broja tela (tačaka) uključenih u sistem, već samo od broja stepeni slobode. Kod idealnih veza ove jednadžbe omogućavaju da se isključe sve ranije nepoznate reakcije veza.

KLASIFIKACIJA VEZA

Koncept veza uveden u § 3 ne pokriva sve njihove vrste. Budući da su i razmatrane metode za rješavanje problema u mehanici općenito primjenjive na sisteme bez ograničenja, razmotrimo pitanje ograničenja i njihovu klasifikaciju nešto detaljnije.

Vezama se nazivaju bilo koje vrste ograničenja koja su nametnuta pozicijama i brzinama tačaka mehaničkog sistema i izvode se bez obzira na to koje sile djeluju na sistem. Pogledajmo kako su ove veze klasifikovane.

Relacije koje se ne mijenjaju s vremenom nazivaju se stacionarnim, a one koje se mijenjaju s vremenom nestacionarne.

Karike koje nameću ograničenja na položaje (koordinate) tačaka sistema nazivaju se geometrijskim, a one koje nameću ograničenja i na brzine (prve izvode koordinata u odnosu na vreme) tačaka sistema nazivaju se kinematičke ili diferencijalne.

Ako se diferencijalna veza može predstaviti kao geometrijska, tj. ovisnost između brzina uspostavljenih ovom vezom može se svesti na ovisnost između koordinata, tada se takva veza naziva integrabilnom, a inače - neintegrabilnom.

Geometrijska i integrabilna diferencijalna ograničenja nazivaju se golonomska ograničenja, a neintegrabilna diferencijalna ograničenja nazivaju se neholonomska.

Prema vrsti ograničenja, mehanički sistemi se također dijele na holonomske (sa holonomskim ograničenjima) i neholonomske (sadrže neholonomska ograničenja).

Konačno, razlikuju sputavajuće veze (ograničenja koja im nameću se čuvaju u bilo kojoj poziciji sistema) i one koje ne zadržavaju, koje nemaju ovo svojstvo (kako kažu, sistem se može „osloboditi“ takvih veza) . Razmotrite primjere.

1. Sva ograničenja koja se razmatraju u § 3 su geometrijska (holonomska) i, štaviše, stacionarna. Pokretni lnft prikazan na sl. 271, a, bit će za teret koji leži u njemu, kada se položaj tereta razmatra u odnosu na osi Ox, nestacionarna geometrijska veza (pod kabine koji implementira vezu mijenja svoj položaj u prostoru tokom vremena) .

2 Položaj točka koji se kotrlja bez klizanja (vidi sliku 328) određen je koordinatom centra C točka i kutom rotacije. Prilikom valjanja, stanje odn

Ovo je diferencijalna veza, ali rezultirajuća jednadžba je integrirana i daje , tj. svodi se na odnos između koordinata. Stoga je nametnuto ograničenje holonomsko.

3. Za razliku od točka za lopticu koja se kotrlja bez klizanja po gruboj ravni, uslov da je brzina tačke lopte koja dodiruje ravan jednaka nuli ne može se smanjiti (kada se centar lopte ne pomjera prava linija) na neke zavisnosti između koordinata, određujući položaj lopte. Ovo je primjer nehaloiom veze. Drugi primjer daju ograničenja nametnuta kontrolisanom kretanju. Na primjer, ako se kretanju točke (rakete) postavi uvjet (spoj) da njena brzina u bilo kojem trenutku mora biti usmjerena na drugu pokretnu tačku (zrakoplov), onda se ovaj uvjet ne može svesti na bilo kakvu ovisnost između koordinata bilo, a ograničenje je neholonomsko .

4. U § 3 veze prikazane na sl. drže, a na sl. 8 i 9 - nezadrživi (na slici 8, a lopta može napustiti površinu, a na slici 9 - pomjeriti se prema tački A, lomeći nit). Uzimajući u obzir osobenosti obveznica koje se ne zadržavaju, naišli smo u zadacima 108, 109 (§ 90) i u zadatku 146 (§ 125).

Pređimo na razmatranje još jednog principa mehanike, koji uspostavlja opšti uslov za ravnotežu mehaničkog sistema. Pod ravnotežom (vidi § 1) podrazumijevamo stanje sistema u kojem sve njegove tačke pod djelovanjem primijenjenih sila miruju u odnosu na inercijalni referentni sistem (razmatramo tzv. "apsolutnu" ravnotežu). Istovremeno, smatraćemo da su sve komunikacije postavljene na sistem stacionarne, i nećemo to posebno propisivati ​​svaki put u budućnosti.

Uvedemo koncept mogućeg rada kao elementarnog rada koji bi sila koja djeluje na materijalnu tačku mogla izvršiti pri pomaku koji se poklapa s mogućim pomakom ove tačke. Mogući rad aktivne sile označit ćemo simbolom, a mogući rad reakcije N veze simbolom

Dajmo sada opšta definicija koncept idealnih veza, koji smo već koristili (vidi § 123): idealne veze su one za koje je zbir elementarnih djela njihovih reakcija na bilo koji mogući pomak sistema jednak nuli, tj.

Dat u § 123 i izražen jednakošću (52), uslov idealnosti veza, kada su one istovremeno stacionarne, odgovara definiciji (98), budući da se kod stacionarnih veza svaki realni pomak poklapa s jednim od mogućih . Stoga će primjeri idealnih veza biti svi primjeri dati u § 123.

Da bismo odredili neophodan uslov ravnoteže, dokazujemo da ako je mehanički sistem sa idealnim ograničenjima u ravnoteži pod dejstvom primenjenih sila, onda za svaki mogući pomak sistema važi jednakost

gdje je ugao između sile i mogućeg pomaka.

Označimo rezultante svih (i vanjskih i unutrašnjih) aktivnih sila i reakcija veza koje djeluju na nekoj tački sistema, respektivno, kroz . Tada, pošto je svaka od tačaka sistema u ravnoteži, pa će zbir rada ovih sila za bilo koje kretanje tačke takođe biti jednak nuli, tj. Sastavljajući takve jednakosti za sve tačke sistema i zbrajajući ih član po član, dobijamo

Ali pošto su veze idealne, predstavljaju moguće pomake tačaka sistema, onda će drugi zbir prema uslovu (98) biti jednak nuli. Tada je i prvi zbir jednak nuli, odnosno vrijedi jednakost (99). Tako smo dokazali da jednakost (99) izražava neophodno stanje balans sistema.

Pokažimo da je i ovaj uslov dovoljan, odnosno da ako se aktivne sile koje zadovoljavaju jednačinu (99) primjenjuju na tačke mehaničkog sistema u mirovanju, onda će sistem ostati u mirovanju. Pretpostavimo suprotno, tj. da će sistem početi da se kreće i da će neke njegove tačke praviti stvarna pomeranja. Tada će sile izvršiti rad na tim pomacima i, prema teoremi o promjeni kinetičke energije, to će biti:

gde je, očigledno, pošto je sistem u početku mirovao; dakle, i . Ali kod stacionarnih veza, stvarni pomaci se poklapaju s nekim od mogućih pomaka, a ti pomaci također moraju imati nešto što je u suprotnosti s uvjetom (99). Dakle, kada primijenjene sile zadovolje uvjet (99), sistem ne može napustiti stanje mirovanja, a ovaj uslov je dovoljan uslov za ravnotežu.

Iz dokazanog proizlazi sljedeći princip mogućih pomaka: za ravnotežu mehaničkog sistema sa idealnim vezama potrebno je i dovoljno da zbir elementarnih radova svih aktivnih sila koje na njega djeluju za svaki mogući pomak sistema bude jednak na nulu. Matematički formulirani uvjet ravnoteže izražava se jednakošću (99), koja se također naziva jednačina mogući radovi. Ova jednakost se takođe može predstaviti u analitičkom obliku (vidi § 87):

Princip mogućih pomaka uspostavlja opšti uslov za ravnotežu mehaničkog sistema, koji ne zahteva razmatranje ravnoteže pojedinih delova (tela) ovog sistema i omogućava da se sa idealnim vezama isključe iz razmatranja sve ranije nepoznate reakcije obveznice.

Kao što je poznato sa kursa teorijske mehanike, stanje ravnoteže objekta može imati formulaciju sile ili energije. Prva opcija je uvjet jednakosti nuli glavnog vektora i glavnog momenta svih sila i reakcija koje djeluju na tijelo. Drugi pristup (varijacijski), nazvan princip mogućih pomaka, pokazao se vrlo korisnim za rješavanje niza problema u strukturnoj mehanici.

Za sistem apsolutno krutih tijela, princip mogućih pomaka je formuliran na sljedeći način: ako je sistem apsolutno krutih tijela u ravnoteži, tada je zbir rada svih vanjskih sila na bilo koji mogući beskonačno mali pomak jednak nuli. Mogućim (ili virtuelnim) se naziva kretanje koje ne narušava kinematičke veze i kontinuitet tijela. Za sistem na sl. 3.1, moguća je samo rotacija štapa u odnosu na oslonac. Prilikom skretanja kroz proizvoljan mali ugao, sile i rade Prema principu mogućih pomaka, ako je sistem u ravnoteži, onda mora postojati . Zamjenjujući ovdje geometrijske odnose dobijamo uslov ravnoteže u formulaciji sile

Princip mogućih pomaka za elastična tijela je formuliran na sljedeći način: ako je sistem elastičnih tijela u ravnoteži, tada je zbir rada svih vanjskih i unutrašnje sile na bilo kojem mogućem beskonačno malom pomaku je nula. Ovaj princip se zasniva na konceptu ukupne energije elastično deformisanog sistema P. Ako je konstrukcija statički opterećena, tada je ta energija jednaka radu spoljnih U i unutrašnjih W sila kada se sistem prebaci iz deformisanog stanja. na početnu:

Sa ovim prevođenjem, vanjske sile ne mijenjaju svoju vrijednost i vrše negativan rad U= -F . U ovom slučaju, unutrašnje sile se smanjuju na nulu i rade pozitivan rad, jer su to sile prianjanja čestica materijala i usmjerene su u smjeru suprotnom od vanjskog opterećenja:

gdje - specifična potencijalna energija elastične deformacije; V je zapremina tijela. Za linearni sistem, gdje . Prema Lagrange-Dirichletovom teoremu, stanje stabilne ravnoteže odgovara minimumu ukupnog potencijalna energija elastični sistem, tj.

Posljednja jednakost u potpunosti odgovara formulaciji principa mogućih pomaka. Energetski priraštaji dU i dW mogu se izračunati na svim mogućim pomacima (odstupanja) elastičnog sistema od ravnotežnog stanja. Da bi se izračunale strukture koje ispunjavaju zahtjeve linearnosti, beskonačno mali mogući pomak d može se zamijeniti vrlo malim konačnim pomakom, koji može biti bilo koje deformirano stanje strukture stvoreno proizvoljno odabranim sistemom sila. Imajući ovo na umu, rezultujući uslov ravnoteže treba zapisati kao

Rad vanjskih sila

Razmotrimo metodu izračunavanja rada vanjskih sila na stvarnom i mogućem pomaku. Sistem šipki je opterećen silama i (slika 3.2, a), koje djeluju istovremeno, a u svakom trenutku odnos ostaje konstantan. Ako uzmemo u obzir generaliziranu silu, tada po vrijednosti u bilo kojem trenutku možete izračunati sva ostala opterećenja (u ovom slučaju, ). Isprekidana linija pokazuje stvarni elastični pomak koji proizlazi iz ovih sila. Ovo stanje označavamo indeksom 1. Pomicanje tačaka primjene sila i u smjeru tih sila u stanju 1 označavamo sa i .

U procesu opterećenja linearnog sistema silama i, sile rastu, a pomaci i rastu proporcionalno njima (slika 3.2, c). Stvarni rad sila i pomaka koje stvaraju jednak je zbiru površina grafika, tj. . Pišući ovaj izraz kao , dobijamo proizvod generalizovane sile i generalizovanog pomaka . U ovom obrascu možete predati

rad sila pod bilo kojim opterećenjem, ako se sva opterećenja mijenjaju sinhrono, tj. omjer njihovih vrijednosti ostaje konstantan.

Zatim razmotrite rad vanjskih sila na moguće pomake. Kao mogući pomak uzet ćemo, na primjer, deformirano stanje sistema koje je rezultat primjene sile u određenoj tački (slika 3.2, b). Ovo stanje, koje odgovara dodatnom pomaku tačaka primene sila i rastojanjem i , biće označeno sa 2. Sile i , bez promene njihove vrednosti, obavljaju virtuelni rad na pomacima i (slika 3.2, c):

Kao što možete vidjeti, u zapisu pomaka, prvi indeks pokazuje stanje u kojem su navedene tačke i smjerovi ovih pomaka. Drugi indeks pokazuje stanje u kojem djeluju sile koje uzrokuju ovo kretanje.

Rad jedinične sile F 2 na stvarni pomak

Ako stanje 1 smatramo mogućim pomakom za silu F 2, onda njen virtualni rad na pomaku

Rad unutrašnjih snaga

Nađimo rad unutrašnjih sila stanja 1, odnosno od sila i , na virtuelnim pomacima stanja 2, tj. koji su rezultat primjene opterećenja F 2 . Da biste to učinili, odaberite element šipke dužine dx (sl. 3.2 i 3.3, a). Kako je sistem koji se razmatra ravan, u presjecima elementa djeluju samo dvije sile S i Q z i moment savijanja Mu, koje su za rezni element vanjske. Unutrašnje sile su kohezivne sile koje obezbeđuju čvrstoću materijala. One su po vrijednosti jednake vanjskim, ali su usmjerene u smjeru suprotnom od deformacije, pa je njihov rad pod opterećenjem negativan (sl. 3.3, b-d, prikazano sivom bojom). Izračunajmo sekvencijalno rad koji je obavio svaki faktor sile.

Rad uzdužnih sila na pomaku, koji stvaraju sile S 2 koje su nastale kao rezultat primjene opterećenja F 2 (sl. 3.2, b, 3.3, b),

Izduženje štapa dužine dx nalazimo koristeći dobro poznatu formulu

gdje je A površina presjeka štapa. Zamjenom ovog izraza u prethodnu formulu nalazimo

Slično, definišemo rad koji moment savijanja vrši na ugaonom pomaku stvorenom momentom (slika 3.3, c):

Nalazimo ugao rotacije kao

gdje je J moment inercije presjeka šipke u odnosu na y osu. Nakon zamjene, dobijamo

Nađimo rad poprečne sile na pomaku (slika 3.3, d). Tangencijalni naponi i pomaci od sile smicanja Q z nisu raspoređeni linearno po presjeku šipke (za razliku od normalnih napona i izduženja u prethodnim slučajevima opterećenja). Stoga je za određivanje posmičnog rada potrebno uzeti u obzir rad posmičnog naprezanja u slojevima šipke.

Tangencijalni naponi od sile Q z, koji djeluju u sloju koji leži na udaljenosti z od neutralne ose (slika 3.3, e), izračunavaju se po Zhuravsky formuli

gdje je Su statički moment dijela površine poprečnog presjeka koji leži iznad ovog sloja, uzet u odnosu na y-os; b je širina presjeka na nivou sloja koji se razmatra. Ovi naponi stvaraju smicanje sloja pod uglom, koji se, prema Hookeovom zakonu, definira kao - modul smicanja. Kao rezultat toga, kraj sloja je pomjeren za

Ukupni rad posmičnih napona prvog stanja koji djeluju na kraj ovog sloja, na pomake drugog stanja izračunava se integracijom proizvoda po površini poprečnog presjeka

Nakon zamjene ovdje izraza za i dobijamo

Izvadimo ispod integralne vrijednosti koje ne zavise od z, pomnožimo i podijelimo ovaj izraz sa A, dobićemo

Ovdje se uvodi bezdimenzionalni koeficijent,

ovisno samo o konfiguraciji i omjeru dimenzija sekcija. Za pravougaonik \u003d 1,2, za I-grede i kutije (A c - površina presjeka zida ili u kutiji - dva zida).

Kako je rad svake od razmatranih komponenti opterećenja (S, Q, M) na pomacima uzrokovanim drugim komponentama jednak nuli, onda je ukupan rad svih unutrašnjih sila za razmatrani element štapa dužine dx

(3.3)

Ukupan rad unutrašnjih sila stanja 1 na pomacima stanja 2 za sistem ravnog štapa dobija se integracijom rezultujućeg izraza preko preseka dužine 1 Z, unutar kojih su dijagrami integrabilne funkcije, i zbrajanjem po svim presecima:

U preseku elementa prostornog štapnog sistema deluje šest unutrašnjih sila (S, Q, Q z, M x, Mu, M 2), pa će za njega izraz za ukupan rad unutrašnjih sila izgledati ovako ,

Ovdje M x - obrtni moment u šipki; J T je moment inercije štapa u slobodnoj torziji (geometrijska torzijska krutost). U integrandu, indeksi "i" su izostavljeni.

U formulama (3.3) i (3.4) S v Q yV Q zl , M x1 , M y1 , M g1 označavaju analitičke izraze dijagrama unutrašnjih sila iz djelovanja sila F (i F (, aS 2 , Q y 2 , Q z 2 , M x2 , M y2 , M r2 - opisi dijagrama unutrašnjih sila od sile F 2 .

Teoreme o elastičnim sistemima

Struktura formula (3.3) i (3.4) pokazuje da su one „simetrične“ u odnosu na stanja 1 i 2, tj. rad unutrašnjih sila stanja 1 na pomacima stanja 2 jednak je radu unutrašnjeg sile stanja 2 na pomake stanja 1 Ali prema (3.2)

Prema tome, ako je rad unutrašnjih sila jednak, onda je rad vanjskih sila jednak - Ova izjava se naziva teorema rada reciprociteta (Betijeva teorema, 1872).

Za sistem štapa opterećen silom F 1 (slika 3.4, a) kao mogući pomak uzimamo deformirano stanje koje je nastalo kada je bio opterećen silom F 2 (slika 3.4, b). Za ovaj sistem, prema Betijevoj teoremi 1- Ako stavimo , onda dobijamo

(3.5)

Ova formula izražava Maxwellov teorem (1864) o reciprocitetu pomaka: pomak tačke primjene prve jedinične sile u njenom smjeru, uzrokovan djelovanjem druge jedinične sile, jednak je pomaku tačke primjene druge jedinične sile u svom smjeru, uzrokovano djelovanjem prve jedinične sile. Ova teorema se takođe može primijeniti na sistem na sl. 3.2. Ako postavimo = 1 N (odjeljak 3.1.2), onda ćemo dobiti jednakost generaliziranih pomaka .

Razmotrimo statički neodređeni sistem sa osloncima kojima se može dati potreban pomak, uzet koliko je to moguće (sl. 3.4, c, d). U prvom stanju pomičemo oslonac 1 na a u drugom - postavljamo rotaciju ugradnje za kut - U ovom slučaju će se reakcije dogoditi u prvom stanju i , au drugom - i . Prema teoremi reciprociteta rada pišemo Ako postavimo (ovdje je dimenzija = m, a vrijednost je bezdimenzionalna), onda dobijamo

Ova jednakost je numerička, jer je dimenzija reakcije = H, a = N-m. Dakle, reakcija R 12 u fiksnoj vezi 1, koja se javlja kada se veza 2 pomakne za jedan, numerički je jednaka reakciji koja se javlja u vezi 2 sa jediničnim pomakom veze 1. Ova izjava se naziva teorem reciprociteta reakcije.

Teoreme navedene u ovaj odjeljak, koriste se za analitički proračun statički neodređenih sistema.

Definicija pomaka

Opća formula pomaka

Za izračunavanje pomaka koji nastaju u štapnom sistemu pod dejstvom datog opterećenja (stanje 1), potrebno je formirati pomoćno stanje sistema u kojem deluje jedna jedinična sila koja vrši rad na traženom pomaku (stanje 2) . To znači da je pri određivanju linearnog pomaka potrebno odrediti jediničnu silu F 2 = 1 N koja se primjenjuje u istoj tački iu istom smjeru u kojem se pomak treba odrediti. Ako je potrebno odrediti ugao rotacije bilo kojeg presjeka, tada se na ovom presjeku primjenjuje pojedinačni moment F 2 = 1 N m. Nakon toga se sastavlja energetska jednačina (3.2), u kojoj se stanje 2 uzima kao glavni i deformisani

stanje 1 se tretira kao virtuelni potez. Iz ove jednačine se izračunava željeni pomak.

Nađimo horizontalni pomak tačke B za sistem na sl. 3.5, a. Da bi željeni pomak D 21 pao u jednačinu radova (3.2), za glavno stanje uzimamo pomak sistema pod dejstvom jedinične sile F 2 - 1 N (stanje 2, sl. 3.5, b). Stvarno deformirano stanje konstrukcije smatrat ćemo mogućim pomakom (slika 3.5, a).

Rad vanjskih sila stanja 2 na pomacima stanja 1 nalazi se kao Prema (3.2),

dakle, željeni pomak

Budući da se (odjeljak 3.1.4), rad unutrašnjih sila stanja 2 na pomacima stanja 1 izračunava po formuli (3.3) ili (3.4). Zamjenjujući u (3.7) izraz (3.3) za rad unutrašnjih sila sistema ravnog štapa, nalazimo

Za dalju upotrebu ovog izraza preporučljivo je uvesti koncept pojedinačnih dijagrama faktora unutrašnjih sila, tj. od kojih su prve dvije bezdimenzionalne, i dimenzija . Rezultat će biti

Ove integrale treba zamijeniti izrazima za dijagrame raspodjele odgovarajućih unutrašnjih sila od djelotvornog opterećenja i i od sile F 2 = 1. Dobiveni izraz se naziva Mohrova formula (1881).

Prilikom izračunavanja sistema prostornih šipki, treba koristiti formulu (3.4) za izračunavanje ukupnog rada unutrašnjih sila, tada će se ispostaviti

Sasvim je očigledno da su izrazi za dijagrame unutrašnjih sila S, Q y , Q z , M x, M y, M g i vrijednosti geometrijske karakteristike sekcije A, J t, Jy, J, za odgovarajuću n-tu sekciju. Da bi se skratio zapis u zapisu ovih veličina, indeks "i" je izostavljen.

3.2.2. Posebni slučajevi određivanja pomaka

Formula (3.8) se koristi u opštem slučaju planarnog štapnog sistema, ali se u nekim slučajevima može značajno pojednostaviti. Razmotrite posebne slučajeve njegove implementacije.

1. Ako se deformacije od uzdužnih sila mogu zanemariti, što je tipično za sisteme greda, tada će se formula (3.8) napisati kao

2. Ako ravni sistem sastoji se samo od savijenih greda tankog zida sa omjerom l/h> 5 za konzole ili l/h> 10 za raspone (I i h su dužina grede i visina presjeka), tada je po pravilu energija deformacije pri savijanju značajno premašuje energiju deformacije od uzdužnih i posmičnih sila, pa se one mogu zanemariti u proračunu pomaka. Tada formula (3.8) poprima oblik

3. Za rešetke čije šipke, pod čvornim opterećenjem, doživljavaju uglavnom uzdužne sile, možemo pretpostaviti M = 0 i Q = 0. Tada se pomak čvora izračunava po formuli

Integracija se vrši po dužini svakog štapa, a zbrajanje se vrši po svim štapovima. Imajući u vidu da je sila S u in i-m rod a površina poprečnog presjeka se ne mijenja duž svoje dužine, možemo pojednostaviti ovaj izraz:

Uz svu prividnu jednostavnost ove formule, analitički proračun pomaka u rešetkama je vrlo naporan, jer zahtijeva određivanje sila u svim šipkama rešetke iz djelotvornog opterećenja () i iz jedinične sile () primijenjene u točki čiji je pomak potreban da se nađe.

3.2.3. Metodologija i primjeri za određivanje pomaka

Razmotrimo izračunavanje Mohrovog integrala metodom A. N. Vereshchagina (1925). Mohrov integral ima oblik (3.8), gdje se kao D 1 , D 2 mogu pojaviti dijagrami momenata savijanja, uzdužnih ili poprečnih sila. Najmanje jedan od dijagrama () u integrandu je linearan ili komadno linearan, budući da je izgrađen od jednog opterećenja. Stoga, za

rješenje integrala, može se primijeniti sljedeći trik. Pretpostavimo da je u razmatranom preseku dužine I prvi dijagram D 1 proizvoljnog oblika, a drugi linearan: (Sl. 3.6). Zamjenjujući ovo u Mohrov integral, nalazimo

Prvi od integrala je numerički jednak površini podgrafa (zasjenjen na slici 3.6), a drugi je statički moment ove površine u odnosu na osu. Statički moment se može zapisati kao , gdje je koordinata položaja težišta područja (tačka A). S obzirom na rečeno, dobijamo

(3.13)

Vereshchaginovo pravilo je formulirano na sljedeći način: ako je barem jedan od dijagrama linearan na dijagramu, tada se Mohrov integral izračunava kao proizvod površine proizvoljnog

parcela na ordinati linearne parcele, koja se nalazi ispod težišta ovog područja. Ako se oba dijagrama nalaze na istoj strani ose, onda je proizvod pozitivan, ako je s različitih strana, onda je negativan. Ova metoda se može primijeniti za izračunavanje bilo kojeg od integrala u izrazima (3.8) i (3.9).

Prilikom izračunavanja struktura u Mathcad okruženju, nema potrebe za korištenjem Vereshchaginovog pravila, jer možete izračunati integral numeričkom integracijom.

Primjer 3.1(Slika 3.7, a). Greda je opterećena s dvije simetrično locirane sile. Naći pomake tačaka primjene sila.

1. Napravimo dijagram momenata savijanja M 1 od sila F 1 . Reakcije podrške Maksimalni moment savijanja pod silom

2. Pošto je sistem simetričan, progibi pod silama će biti isti. Kao pomoćno stanje uzimamo opterećenje grede od dvije jedinične sile F 2 = 1 N, primijenjene na istim tačkama kao i sile F 1

(Sl. 3.7, b). Dijagram momenata savijanja za ovo opterećenje je sličan prethodnom, a maksimalni moment savijanja M 2max = 0,5 (L-b).

3. Opterećenje sistema dvjema silama drugog stanja karakteriziraju generalizirana sila F 2 i generalizirani pomak koji stvaraju rad vanjskih sila na pomak stanja 1, jednak . Izračunajmo pomak koristeći formulu (3.11). Množenjem dijagrama po sekcijama prema pravilu Vereshchagina, nalazimo

Nakon zamjene vrijednosti dobijamo

Primjer 3.2. Odrediti horizontalni pomak pokretnog nosača okvira u obliku slova U opterećenog silom F x (slika 3.8, a).

1. Napravimo dijagram momenata savijanja od sile F 1 reakcije oslonca . Maksimalni moment savijanja pod silom F 1

2. Kao pomoćno stanje uzimamo opterećenje grede jediničnom horizontalnom silom F 2 primijenjenom u tački B (slika 3.8, b). Izrađujemo dijagram momenata savijanja za ovaj slučaj opterećenja. Reakcije podrške A 2y \u003d B 2y \u003d 0, A 2x \u003d 1. Maksimalni moment savijanja.

3. Izračunavamo pomak prema formuli (3.11). Na vertikalnim presjecima proizvod je nula. Na horizontalnom presjeku, dijagram M 1 nije linearan, ali je dijagram linearan. Množenjem dijagrama metodom Vereshchagin, dobijamo

Proizvod je negativan, jer dijagrami leže na suprotnim stranama. Dobivena negativna vrijednost pomaka pokazuje da je njegov stvarni smjer suprotan smjeru jedinične sile.

Primjer 3.3(Sl. 3.9). Nađite kut rotacije presjeka dvonosne grede pod djelovanjem sile i pronađite položaj sile pri kojem će ovaj kut biti najveći.

1. Napravimo dijagram momenata savijanja M 1 od sile F 1. Da bismo to uradili, naći ćemo reakciju oslonca A 1. Iz jednačine ravnoteže za sistem u cjelini maksimalni moment savijanja pod dejstvom sile Fj

2. Kao pomoćno stanje uzimamo opterećenje grede s jednim momentom F 2 = 1 Nm u presjeku čija se rotacija mora odrediti (slika 3.9, b). Izrađujemo dijagram momenata savijanja za ovaj slučaj opterećenja. Reakcije podrške A 2 \u003d -B 2 \u003d 1 / L, momenti savijanja

Oba momenta su negativna, jer su usmjerena u smjeru kazaljke na satu. Dijagrami su izgrađeni na rastegnutom vlaknu.

3. Izračunavamo ugao rotacije prema formuli (3.11), vršeći množenje na dva preseka,

Označavajući , ovaj izraz možete dobiti u prikladnijem obliku:

Grafikon zavisnosti ugla rotacije od položaja sile F 1 prikazan je na sl. 3.9, c. Razlikovanjem ovog izraza, iz uslova nalazimo položaj sile pri kojoj će ugao nagiba grede ispod nje biti najveći u apsolutnoj vrednosti. To će se dogoditi na vrijednostima jednakim 0,21 i 0,79.