Hipoteze u savijanju. Neutralni sloj, polumjer zakrivljenosti, zakrivljenost, raspodjela deformacija i normalnih napona po visini poprečnog presjeka štapa. Smična naprezanja u ravni poprečna krivinaštapovi. Proračun greda za čvrstoću na savijanje. Pokreti savijanja.

Normalni naponi sa čistim ravnim krivinom. Budući da normalni naponi ovise samo o momentima savijanja, izvođenje formule za proračun može se izvršiti u odnosu na čisto savijanje. Napominjemo da se metode teorije elastičnosti mogu koristiti za dobivanje točne ovisnosti za normalna naprezanja pri čistom savijanju, ali ako se ovaj problem rješava metodama otpornosti materijala, potrebno je uvesti neke pretpostavke.

Postoje tri takve hipoteze za savijanje:

1) hipoteza ravnim sekcijama(Bernoullijeva hipoteza) - ravni presjeci prije deformacije ostaju ravni nakon deformacije, ali se samo rotiraju u odnosu na određenu liniju, koja se naziva neutralna os presjeka grede. U tom slučaju, vlakna grede, koja leže s jedne strane neutralne ose, bit će rastegnuta, a s druge stisnuta; vlakna koja leže na neutralnoj osi ne mijenjaju svoju dužinu;

2) hipoteza konstantnosti normalnih napona - naponi koji djeluju na istoj udaljenosti y od neutralne ose konstantni su po širini grede;

3) hipoteza o odsustvu bočnih pritisaka - susjedna uzdužna vlakna ne pritiskaju jedno na drugo.

Rice. 28. Bernulijeva pretpostavka

Problem savijanja statičke ravni. Moment savijanja u presjeku je zbir momenata svih elementarnih unutrašnjih normalnih sila σ.dA koje nastaju na elementarnim površinama poprečnog presjeka grede (slika 29), u odnosu na neutralnu osu: .

Ovaj izraz predstavlja statičku stranu problema savijanja u ravnini. Ali ne može se koristiti za određivanje normalnih napona, jer je zakon raspodjele naprezanja po poprečnom presjeku nepoznat.

Rice. 29. Statička strana problema

Geometrijska strana problema savijanja ravnine. Izdvojimo element grede dužine dz sa dva poprečna presjeka. Pod opterećenjem, neutralna os je savijena (radijus zakrivljenosti ρ), a presjeci su rotirani u odnosu na svoje neutralne linije za kut dθ. Dužina segmenta vlakana neutralnog sloja ostaje nepromijenjena (slika 30, b):

Rice. 30. Geometrijska strana problema:
a - element grede; b - zakrivljenost neutralne ose; c - dijagram σ.dA; d - dijagram ε

Odredimo dužinu segmenta vlakana udaljenog od neutralnog sloja na udaljenosti y

dz 1 = (ρ + y)dθ .

Relativno izduženje u ovom slučaju će biti

Ovisnost odražava geometrijsku stranu problema ravnog savijanja, iz koje se vidi da se deformacije uzdužnih vlakana mijenjaju po visini presjeka po linearnom zakonu.

Skup vlakana koja ne mijenjaju svoju dužinu kada se greda savija naziva se neutralnim slojem.

Linija gdje se poprečni presjek grede siječe s neutralnim slojem grede naziva se linija neutralnog presjeka.

Fizička strana problema savijanja ravnine. Koristeći Hookeov zakon za aksijalna napetost, dobijamo

Zamjenom vrijednosti σ u izraz koji odražava statičku stranu problema savijanja u ravni, dobijamo

Zamjenom vrijednosti u originalnoj formuli, dobijamo

(13)

Ovaj izraz odražava fizičku stranu problema savijanja u ravnini, što omogućava izračunavanje normalnih napona po visini presjeka.

Iako je ovaj izraz dobiven za slučaj čistog savijanja, ali kao što pokazuju teorijski i eksperimentalne studije, može se koristiti i za ravno poprečno savijanje.

Neutralna linija. Položaj neutralne linije određuje se iz uvjeta jednakosti nuli normalne sile u presjecima grede s čistim savijanjem

Kako je M x ≠ 0 i I x ≠ 0, neophodno je da integral bude jednak nuli. Ovaj integral predstavlja statički moment presjeka oko neutralne ose. Pošto je statički moment presjeka nula samo u odnosu na centralna osovina, dakle, neutralna linija za ravno savijanje poklapa se sa glavnom središnjom osom inercije presjeka.

Smična naprezanja. Naponi posmika koji se javljaju u presjecima grede s ravnim poprečnim savijanjem određeni su ovisnošću:

(14)

gdje je Q poprečna sila u razmatranom presjeku grede; S xo - statički moment površine odsječenog dijela presjeka u odnosu na neutralnu osu grede; b - širina presjeka u razmatranom sloju; Ix je moment inercije presjeka u odnosu na neutralnu osu.

Posmična naprezanja su jednaka nuli u krajnjim vlaknima presjeka, a maksimalna su u vlaknima neutralnog sloja.

Proračun greda za čvrstoću na savijanje. Čvrstoća grede će biti osigurana ako su ispunjeni sljedeći uslovi:

(15)

Maksimalna normalna naprezanja savijanja javljaju se u presjecima na kojima djeluje maksimalni moment savijanja, u točkama presjeka koje su najudaljenije od neutralne ose

Maksimalna posmična naprezanja javljaju se u presjecima grede, gdje djeluje najveća poprečna sila

Posmična naprezanja τmax su obično mala u odnosu na σmax i po pravilu se ne uzimaju u obzir u proračunima. Ispitivanje posmičnog naprezanja izvodi se samo za kratke grede.

Pokreti savijanja. Pod proračunom krutosti podrazumijeva se procjena elastične usklađenosti grede pod djelovanjem primijenjenih opterećenja i odabir takvih dimenzija poprečnog presjeka pri kojima pomaci neće prelaziti granice utvrđene standardima.

Uvjet krutosti na savijanje

Pomicanje težišta presjeka u smjeru okomitom na os grede naziva se otklon. Otklon je označen slovom W.

Najveći otklon u rasponu ili na konzoli grede naziva se strelica za otklon i označava se slovom ƒ.

Injekcija q, po kojem se svaka sekcija rotira u odnosu na svoj prvobitni položaj i predstavlja ugao rotacije.

Ugao rotacije se smatra pozitivnim kada se sekcija rotira suprotno od kazaljke na satu

Ugao rotacije presjeka jednak je vrijednosti derivacije otklona duž koordinate Z u istom presjeku, odnosno:

Jednačina elastične linije grede

(16)

Postoje tri metode za rješavanje diferencijalne jednadžbe elastične linije grede. Ovo je metoda direktnu integraciju, Clebsch metoda i metoda početnih parametara.

Metoda direktne integracije. Nakon što smo prvi put integrisali jednadžbu elastične linije grede, dobija se izraz za određivanje uglova rotacije:

Integrirajući po drugi put, oni pronalaze izraze za određivanje otklona:

Vrijednosti konstanti integracije C i D su određene iz početni uslovi na nosačima greda

Clebsch metoda. Za sastavljanje jednadžbi moraju biti ispunjeni sljedeći osnovni uvjeti:

• ishodište koordinata, za sve sekcije, mora biti locirano na krajnjem lijevom kraju grede;
• integraciju diferencijalne jednadžbe elastične linije grede treba izvesti bez otvaranja zagrada;
• kada je vanjski koncentrirani moment M uključen u jednačinu, on se mora pomnožiti sa (Z - a), gdje je a koordinata presjeka u kojem je moment primijenjen;
• u slučaju prekida raspoređenog opterećenja, produžava se do kraja grede, a za vraćanje stvarnih uvjeta opterećenja uvodi se "kompenzacijsko" opterećenje suprotnog smjera

Metoda početnih parametara

Za uglove rotacije

(17)

Za krivine:

(18)

gdje je θ ugao rotacije presjeka; w - otklon; θo - ugao rotacije u početku; w0 - otklon na početku; dí je rastojanje od početka koordinata do i-tog oslonca grede; ai je rastojanje od početka koordinata do tačke primene koncentrisanog momenta Mi; bi je rastojanje od početka koordinata do tačke primene koncentrisane sile Fi; si - udaljenost od početka koordinata do početka presjeka raspoređenog opterećenja qi; Ri i Mpi - reakcija i reaktivni moment u nosačima grede.

Određivanje progiba za jednostavne slučajeve

Rice. 31. Primjeri opterećenja grede

Proračun pomaka po Mohrovoj metodi

Ako ne trebate znati jednadžbu krive linije grede, već morate odrediti samo linearne ili kutne pomake pojedinog presjeka, najpogodnije je koristiti Mohrovu metodu. Za grede i ravne okvire, Mohrov integral ima oblik:

gdje je δ traženi pomak (linearni ili kutni); M p , M i - analitički izrazi momenata savijanja, respektivno, iz date i jedinične sile; EJ x - krutost presjeka grede u ravni savijanja. Prilikom određivanja pomaka treba uzeti u obzir dva stanja sistema: 1 - stvarno stanje, sa primijenjenim vanjskim opterećenjem; 2 - pomoćno stanje u kojem se greda oslobađa od vanjskog opterećenja, a na presjek se primjenjuje jedinična sila, čiji je pomak određen, ako je određen linearni pomak, ili jedinični moment, ako je određen kutni pomak ( Slika 32).

Rice. 32. Definicija kretanja:
a - stvarno stanje; b, c - pomoćna stanja

Mohrova formula se može dobiti, na primjer. koristeći princip mogućih pomaka.

Rice. 33. Dijagram okvira:
a - pod dejstvom sile; b - unutrašnji napori

Razmotrimo šemu (slika 33a), kada se jedinična sila primjenjuje u tački A u smjeru željenog pomaka ΔA, uzrokujući unutrašnje faktore sile u poprečnom presjeku sistema (slika 33, b). U skladu s principom mogućih pomaka, rad ovih faktora unutrašnjih sila na bilo koji mogući pomak trebao bi biti jednak radu jedinične sile na mogućem pomaku δΔA:

Izaberi mogućim pokretima proporcionalno stvarnim:

I nakon zamjene dobijamo:

S obzirom na to

dolazimo do Mohrove formule

(19)

koji služi za određivanje bilo kakvih generaliziranih pomaka u sistemima štapova.

U slučaju kada greda radi samo na savijanje (Mx ≠ 0, Nz = Mz = My = Qx = Qy = 0), izraz (1) ima oblik:

(20)

Vereščaginovo pravilo omogućava vam da zamijenite direktnu integraciju u Mohrovim formulama sa takozvanim množenjem dijagrama. Metoda za izračunavanje Mohrovog integrala zamjenom direktne integracije množenjem odgovarajućih dijagrama naziva se Vereščaginova metoda (ili pravilo) koja se sastoji u sljedećem: da biste pomnožili dva dijagrama, od kojih je barem jedan pravolinijski, potrebno je pomnožite površinu jednog dijagrama sa ordinatom drugog dijagrama koji se nalazi ispod težišta prvog (ordinate se koriste samo iz pravolinijskih dijagrama). Dijagrami složenog oblika mogu se podijeliti na nekoliko jednostavnih: pravougaonik, trokut, kvadratna parabola itd. (Sl. 34).

Rice. 34. Najjednostavniji dijagrami

Valjanost Vereščaginovog pravila.

Rice. 35. Šema množenja dijagrama:
a - proizvoljan dijagram; b - pravolinijski

Dana su dva dijagrama momenata savijanja, od kojih je jedan Mk proizvoljan oblik, a drugi Mi pravolinijski (Sl. 35). Pretpostavlja se da je poprečni presjek štapa konstantan. U ovom slučaju

Vrijednost Mkdz je elementarna površina dω dijagrama Mk (osjenčano). Dobijamo

Ali Mi = ztg α, dakle,

Izraz je statički moment površine Mk dijagrama u odnosu na os y koja prolazi kroz tačku O, jednak ωkΖc, gdje je ωk površina dijagrama momenta; Ζs - rastojanje od y-ose do centra gravitacije dijagrama M k . Iz slike je jasno:

z c \u003d M i /tg α,

gdje je Mi ordinata dijagrama Mi, koja se nalazi ispod težišta dijagrama Mk (ispod tačke C).

(21)

Formula (21) predstavlja pravilo za izračunavanje Mohrovog integrala: integral je jednak proizvodu površine krivolinijskog dijagrama i ordinate preuzete iz pravolinijskog dijagrama i smještene ispod težišta krivolinijskog dijagrama.

Krivolinijski dijagrami koji se susreću u praksi mogu se podijeliti na nekoliko jednostavnih: pravougaonik, trokut, simetrična kvadratna parabola itd.

Podjelom dijagrama na dijelove moguće je postići da, kada se pomnože, svi dijagrami imaju jednostavnu strukturu.

Primjer proračuna pomaka. Metodom Mohr-Vereshchagina potrebno je odrediti otklon u sredini raspona i kut rotacije lijevog potpornog dijela grede opterećene ravnomjerno raspoređenim opterećenjem (slika 36, ​​a).

Razmotrimo 3 stanja grede: stanje opterećenja (pod dejstvom raspoređenog opterećenja q;) odgovara dijagramu Mq (slika 36, ​​b), i dva pojedinačna: pod dejstvom sile primenjene u tački C ( dijagram, sl. 36, c), i moment primijenjen u tački B (grafikon, sl. 36, d).

Otklon grede u sredini raspona:

Imajte na umu da se množenje dijagrama izvodi za polovinu grede, a zatim se, zbog simetrije), rezultat udvostručuje. Prilikom izračunavanja ugla rotacije presjeka u tački B, površina dijagrama Mq se množi sa ordinatom dijagrama koji se nalazi ispod njegovog centra gravitacije (1/2, slika 9, d), jer radnja se menja pravolinijski:

Rice. 36. Primjer izračuna:
a - data shema grede; b - dijagram momenata opterećenja;
u - pojedinačni dijagram od jedne sile; d - od jednog trenutka

U opštem slučaju (šip promenljivog poprečnog preseka, složen sistem opterećenja) Mohrov integral je određen numeričkom integracijom. U mnogim praktičnim važnim slučajevima, kada je krutost presjeka konstantna duž dužine šipke, Mohrov integral se može izračunati korištenjem Vereshchaginovog pravila. Razmotrimo definiciju Mohrovog integrala u dijelu od a do 6 (slika 9.18).

Rice. 9.18. Vereščaginovo pravilo za izračunavanje Mohrovog integrala

Dijagrami momenata iz jednog faktora sile sastoje se od pravih segmenata. Bez gubitka općenitosti, pretpostavljamo da je unutar područja

gdje su A i B parametri prave linije:

Mohrov integral na razmatranom presjeku konstantnog poprečnog presjeka ima oblik

gdje je F površina ispod krivulje (površina grafikona momenata savijanja od spoljne sile u dijelu z).

gdje je apscisa težišta područja.

Jednakost (109) vrijedi kada ne mijenja predznak unutar parcele i može se smatrati elementom površine parcele. Sada iz relacija (107) -(109) dobijamo

Trenutak od jednog opterećenja u sekciji

Pomoćna tabela za korištenje Vereshchaginovog pravila data je na Sl. 9.19.

Napomene. 1. Ako je dijagram djelovanja vanjskih sila na mjestu linearan (na primjer, pod djelovanjem koncentriranih sila i momenata), tada se pravilo može primijeniti u obrnutom obliku: površina dijagrama iz jedinice faktor sile se množi sa ordinatom dijagrama koja odgovara težištu područja. Ovo slijedi iz gornjeg dokaza.

2. Vereščaginovo pravilo se može proširiti na Mohrov integral u opšti pogled(Jednačina (103)).

Rice. 9.19. Područja i položaj centara gravitacije momentnih dijagrama

Rice. 9.20. Primjeri određivanja otklona i uglova rotacije prema pravilu Vereshchagina

Glavni zahtjev u ovom slučaju je sljedeći: unutar presjeka moraju biti unutrašnji faktori sile iz jednog opterećenja linearne funkcije duž ose štapa (linearnost dijagrama!).

Primjeri. 1. Odrediti otklon u tački A konzolne šipke pod dejstvom koncentrisanog momenta M (sl. 9.20, a).

Otklon u tački A određuje se formulom (zbog sažetosti, indeks je izostavljen)

Znak minus je zbog činjenice da imaju različiti znakovi.

2. Odrediti otklon u tački A konzolne šipke pod djelovanjem raspoređenog opterećenja.

Progib se određuje formulom

Dijagrami momenta savijanja M i posmične sile Q od vanjskog opterećenja prikazani su na sl. 9.20, b, ispod na ovoj slici su dijagrami pod dejstvom jedinične sile. Dalje nalazimo

3. Odredite otklon u tački A i kut rotacije u tački B za gredu s dva oslonca opterećenu koncentriranim momentom (slika 9.20.).

Progib se određuje formulom (posmična deformacija se zanemaruje)

Pošto dijagram momenta iz jedinične sile nije prikazan jednom linijom; tada je integral podijeljen na dva dijela:

Ugao rotacije u tački B jednak je

Komentar. Iz gornjih primjera može se vidjeti da je Vereščaginova metoda u jednostavnim slučajevima omogućava vam brzo određivanje otklona i uglova rotacije. Važno je samo primijeniti pravilo jednog znaka za Ako se složimo da nacrtamo dijagrame momenta savijanja na “rastegnutom vlaknu” prilikom savijanja šipke (vidi sliku 9.20), tada je odmah lako vidjeti pozitivne i negativne vrijednosti momenta.

Posebna prednost Vereščaginovog pravila je da se može koristiti ne samo za šipke, već i za okvire (čl. 17).

Ograničenja za primjenu Vereščaginovog pravila.

Ova ograničenja proizlaze iz izvođenja formule (110), ali obratimo pažnju na njih još jednom.

1. Dijagram momenta savijanja od jednog opterećenja treba biti u obliku jedne prave linije. Na sl. 9.21, prikazan je slučaj kada ovaj uslov nije ispunjen. Mohrov integral se mora izračunati posebno za segmente I i II.

2. Moment savijanja od vanjskog opterećenja unutar presjeka mora imati jedan znak. Na sl. 9.21, b prikazuje slučaj kada pravilo Vereščagina treba primijeniti za svaki odjeljak posebno. Ovo ograničenje se ne odnosi na trenutak iz jednog opterećenja.

Rice. 9.21. Ograničenja kada se koristi Vereščaginovo pravilo: a - dijagram ima prekid; b - parcela ima različite znakove; c - štap ima različite sekcije

3. Krutost šipke unutar presjeka mora biti konstantna, u suprotnom integraciju treba proširiti zasebno na dijelove s konstantnom krutošću. Ograničenja konstantne krutosti mogu se izbjeći crtanjem.

2013_2014 akademska godina II semestar Predavanje br. 2.6 strana 12

Deformacija greda tokom savijanja. Diferencijalna jednadžba savijene ose grede. Metoda početnih parametara. Univerzalna jednadžba elastične linije.

6. Deformacija greda pri ravnom savijanju

6.1. Osnovni pojmovi i definicije

Razmotrimo deformaciju grede pod ravnim savijanjem. Os grede pod dejstvom opterećenja je savijena u ravni delovanja sila (ravnina x 0y), dok su poprečni presjeci rotirani i pomjereni za određenu količinu. Zakrivljena os grede tokom savijanja naziva se zakrivljena osovina ili elastična linija.

Deformacija greda tokom savijanja biće opisana sa dva parametra:

otklon(y) - pomak težišta presjeka grede u smjeru okomitom na

pirinač. 6.1 na svoju osu.

Nemojte brkati otklon y sa koordinatom y tačke presjeka greda!

Najveći otklon grede naziva se strelica za otklon ( f= y max);

2) ugao rotacije sekcije() - ugao za koji se presek rotira u odnosu na svoj prvobitni položaj (ili ugao između tangente na elastičnu liniju i početne ose grede).

U opštem slučaju, otklon snopa u datoj tački je funkcija koordinate z i može se napisati kao sljedeća jednačina:

Zatim ugao između tangente na savijenu os grede i ose xće se odrediti iz sljedećeg izraza:

.

Budući da su uglovi i pomaci mali, možemo to pretpostaviti

ugao rotacije presjeka je prvi izvod otklona grede duž apscise presjeka.

6.2. Diferencijalna jednadžba zakrivljene ose grede

Na osnovu fizičke prirode fenomena savijanja, možemo tvrditi da zakrivljena os neprekidne grede mora biti kontinuirana i glatka (bez prekida) kriva. U ovom slučaju, deformacija jednog ili drugog dijela grede određena je zakrivljenošću njegove elastične linije, odnosno zakrivljenošću ose grede.

Prethodno smo dobili formulu za određivanje zakrivljenosti grede (1/ρ) tokom savijanja

.

S druge strane, sa kursa višu matematiku Poznato je da je jednadžba zakrivljenosti ravne krive sljedeća:

.

Izjednačavanjem pravih delova ovih izraza dobijamo diferencijalna jednadžba savijena os grede, koja se zove tačna jednačina savijene ose grede

U koordinatnom sistemu otklona z0 y kada je os y je usmjeren prema gore, znak momenta određuje predznak drugog izvoda od y on z.

Integracija ove jednačine očigledno predstavlja određene poteškoće. Stoga se obično piše u pojednostavljenom obliku, zanemarujući vrijednost u zagradama u odnosu na jedinicu.

Onda diferencijalna jednadžba elastične linije grede razmotrićemo to u obliku:

(6.1)

Rješenje diferencijalne jednadžbe (6.1) nalazimo integracijom oba njena dijela u odnosu na varijablu z:

(6.2)

(6.3)

Integracijske konstante C 1 , D 1 se nalazi iz graničnih uslova - uslova za pričvršćivanje grede, dok će se za svaki presek grede odrediti njihove konstante.

Razmotrimo proceduru za rješavanje ovih jednačina na konkretnom primjeru.

D ano:

Dužina konzolne grede l, opterećen poprečnom silom F. Materijal grede ( E), oblik i dimenzije njegovog presjeka ( I x) se također smatraju poznatim.

O limit zakon promjene ugla rotacije ( z) i otklon y(z) grede duž njegove dužine i njihove vrijednosti u karakterističnim presjecima.

Rješenje

a) definirati reakcije u terminaciji

b) metodom preseka određujemo unutrašnji moment savijanja:

c) odrediti ugao rotacije presjeka grede

trajno C 1 nalazimo iz uslova pričvršćivanja, naime, u krutom pričvršćenju, ugao rotacije jednak je nuli, tada


(0) = 0  C 1 =0.

Pronađite ugao rotacije slobodnog kraja grede ( z = l) :

Znak minus označava da se sekcija rotirala u smjeru kazaljke na satu.

d) odrediti otklone grede:

trajno D 1 nalazimo iz uslova fiksiranja, naime, u krutom spoju, otklon je jednak nuli, tada

y(0) = 0 + D 1  D 1 = 0

Pronađite otklon slobodnog kraja grede ( x= l)

.

Znak minus označava da se dionica spustila.

Na usluzi. Ali aksiomi: "ako želite da posao bude dobro obavljen, uradi to sam" još nije poništen. Činjenica je da u raznim vrstama priručnika i priručnika ponekad postoje greške u kucanju ili greške, pa korištenje gotovih formula nije uvijek dobro.

11. Određivanje ugla rotacije.

Progib građevinske konstrukcije, au našem slučaju greda, jedina je vrijednost koju je najlakše empirijski odrediti, a najteže teorijski. Kada smo na lenjir primenili opterećenje (pritisnuli ga prstom ili snagom intelekta), videli smo golim okom da je lenjir opušten:

Slika 11.1. Pomak težišta poprečnog presjeka grede u središtu grede i kut rotacije uzdužne ose koja prolazi kroz težište poprečnog presjeka na jednom od nosača.

Ako bismo željeli empirijski odrediti količinu otklona, ​​tada bi bilo dovoljno izmjeriti udaljenost od stola na kojem leže knjige (nije prikazano na slici) do vrha ili dna ravnala, zatim primijeniti opterećenje i izmjeriti udaljenost od stola do vrha ili dna ravnala. Razlika u udaljenostima je potreban otklon (na fotografiji je vrijednost otklona označena narandžastom linijom):

Slika 1.

Ali pokušajmo doći do istog rezultata, slijedeći trnovit put teorije sopromata.

Budući da je greda savijena (u dobrom smislu riječi), ispada da se uzdužna os koja prolazi kroz težišta poprečnih presjeka svih tačaka grede, a prije primjene opterećenja, poklopila s osom X, pomaknut. Ovo je pomak težišta poprečnog presjeka duž ose at zove se otklon snopa f. Osim toga, očito je da je na osloncu ova najduža os sada pod određenim kutom θ do ose X, a u tački djelovanja koncentriranog opterećenja, kut rotacije = 0, budući da je opterećenje primijenjeno u sredini, a greda je savijena simetrično. Ugao rotacije se obično označava " θ "i skretanje" f"(u mnogim referentnim knjigama o čvrstoći materijala, otklon je označen kao" ν ", "w " ili bilo koje druge znakove, ali za nas, kao praktičare, zgodnije je koristiti oznaku " f"prihvaćeno u SNiP-ovima).

Još ne znamo kako odrediti ovaj otklon, ali znamo da opterećenje koje djeluje na gredu stvara moment savijanja. A moment savijanja stvara unutarnja normalna tlačna i vlačna naprezanja u poprečnim presjecima grede. Ove iste unutrašnja naprezanja dovode do toga da je u gornjem dijelu greda sabijena, a u donjem dijelu istegnuta, dok dužina grede duž ose koja prolazi kroz težišta poprečnih presjeka ostaje ista, u u gornjem dijelu dužina grede se smanjuje, au donjem se povećava, a što su točke poprečnih presjeka dalje od uzdužne ose, to će biti veća deformacija. Ovu deformaciju možemo odrediti koristeći još jednu karakteristiku materijala - modul elastičnosti.

Ako uzmemo komad gume za zavoje i pokušamo da ga rastegnemo, ustanovit ćemo da se guma vrlo lako rasteže, a naučno gledano značajno se deformiše čak i pri malom opterećenju. Ako pokušamo to učiniti i s našim ravnalom, teško da ga rukama nećemo moći rastegnuti čak i za desetinke milimetra, čak i ako na ravnalo nanesemo desetine puta veće opterećenje nego na gumu za zavoj. Ovo svojstvo bilo kojeg materijala je opisano Youngovim modulom, koji se često naziva jednostavno modulom elastičnosti. fizičko značenje Youngov modul pri maksimalnom dopuštenom opterećenju proračunate konstrukcije je približno sljedeći: Youngov modul pokazuje omjer normalnih naprezanja, (koji su pod maksimalno dopuštenim opterećenjem jednaki projektnoj otpornosti materijala na relativnu deformaciju pri takvom opterećenju:

E = R/∆ (11.1.1)

a to znači da za rad materijala u području elastičnih deformacija vrijednost unutrašnjih normalnih naprezanja, koja djeluju ne apstraktno, već na dobro definiranu površinu poprečnog presjeka, uzimajući u obzir relativnu deformaciju, ne bi trebala premašiti vrijednost modula elastičnosti:

E ≥ N/ΔS (11.1.2)

u našem slučaju greda ima pravougaoni presjek, dakle S = b h, gdje je b širina grede, h visina grede.

Youngov modul se mjeri u Pascalima ili kgf / m 2. Za veliku većinu građevinskih materijala moduli elastičnosti se određuju empirijski; vrijednost modula za određeni materijal možete saznati iz priručnika ili pivot table .

Određivanje količine deformacije za poprečni presjek na koji se primjenjuje ravnomjerno raspoređeno opterećenje ili koncentrirana sila u težištu poprečnog presjeka vrlo je jednostavno. U takvom presjeku nastaju normalna tlačna ili vlačna naprezanja, jednaka vrijednosti djelujućoj sili, usmjerena suprotno i konstantna po cijeloj visini grede (prema jednom od aksioma teorijske mehanike):

Slika 507.10.1

i tada nije teško odrediti relativnu deformaciju, ako su poznati geometrijski parametri grede (dužina, širina i visina), najjednostavnije matematičke transformacije formule (11.1.2) daju sljedeći rezultat:

Δ = Q/(S· E)(11.2.1) ili Δ = q h/(S· E) (11.2.2)

Pošto izračunati otpor pokazuje šta maksimalno opterećenje može se primijeniti na određeno područje, onda u ovom slučaju možemo razmotriti djelovanje koncentriranog opterećenja na cjelokupnu površinu poprečnog presjeka naše konstrukcije. U nekim slučajevima je važno odrediti deformacije na mjestu primjene koncentriranog opterećenja, ali sada te slučajeve ne razmatramo. Da biste odredili ukupnu deformaciju, trebate pomnožiti obje strane jednadžbe s dužinom grede:

Δl = Q l/(b h E)(11.2.3) ili Δl = q h l/(b h E) (11.2.4)

Ali u slučaju koji razmatramo, na poprečne presjeke grede ne djeluje koncentrirana sila primijenjena na težište poprečnog presjeka, već moment savijanja, koji se može predstaviti kao sljedeće opterećenje:

Slika 149.8.3

S takvim opterećenjem, maksimalna unutrašnja naprezanja i, shodno tome, maksimalne deformacije će se pojaviti u najgornjem i najdonjem dijelu grede, a u sredini neće biti deformacija. Rezultantu za tako raspoređeno opterećenje i rame djelovanja koncentrirane sile pronašli smo u prethodnom dijelu (), kada smo određivali moment otpora grede. Dakle, sada bez većih poteškoća možemo odrediti ukupnu deformaciju u najgornjem i najdonjem dijelu grede:

Δx \u003d M x / ((h / 3) b (h / 2) E) (11.3.1)

Δx \u003d M x / (W E) (11.3.2)

jer Š \u003d b h 2 / 6 (10.6)

Istu formulu možemo dobiti i na drugi način. Kao što znamo, modul poprečnog presjeka grede mora zadovoljiti sljedeći uvjet:

W ≥ M / R (10.3)

Ako ovu zavisnost razmotrimo kao jednačinu i zamijenimo vrijednost R sa ΔE u ovoj jednačini, dobićemo sljedeću jednačinu:

W=M/ΔE (11.4.1)

M = WΔE(11.4.2) a Δ = M/(W E)(11.4.5) i shodno tome Δx \u003d M x / (W E) (11.3.2)

Kao rezultat deformacije koju smo upravo definirali, naša bi greda mogla izgledati ovako:

Slika 11.2. Pretpostavljena (radi jasnoće) deformacija grede

odnosno, kao rezultat deformacija, najgornja i najniža tačka poprečnog presjeka će se pomaknuti za Δx. A to znači da znajući veličinu deformacije i visinu grede možemo odrediti kut rotacije θ poprečnog presjeka na nosaču grede. Iz školskog predmeta geometrije znamo da je odnos nogu pravougaonog trougla(u našem slučaju kraci Δh i h/2) jednaka je tangenti ugla θ:

tgφ = Δh/(h/2) (11.5.1)

tgφ \u003d 2 M x / (h W E) (11.5.3)

Ako se prisjetimo da je moment inercije moment otpora poprečnog presjeka, pomnožen s udaljenosti od težišta do krajnje točke presjeka, ili obrnuto, moment otpora je moment inercije podijeljen sa udaljenost od centra gravitacije do krajnje tačke presjeka:

W = I/(h/2)(10.7) ili I = Wh/2 (10.7.2)

tada možemo zamijeniti moment otpora momentom inercije:

tgφ \u003d M x / (I E) (11.5.4)

iako to nije bilo potrebno činiti, ali na ovaj način smo dobili formulu za ugao rotacije skoro istu kao što je data u svim udžbenicima i priručnicima o čvrstoći materijala. Glavna razlika je u tome što obično govorimo o kutu rotacije, a ne o tangentu ugla. I iako su za male deformacije vrijednosti ​​​tangenta kuta i ugla usporedive, ipak su kut i tangenta kuta različite stvari (međutim, u nekim referentnim knjigama, na primjer: Fesik SP " Priručnik o čvrstoći materijala" Kijev: Budivelnik. - 1982. pominje se prelaz sa tangente na ugao, iako po mom mišljenju bez dovoljnih objašnjenja). Štaviše, da budemo vrlo precizni, na ovaj način određujemo omjer uzdužne deformacije i visine grede

Izračunati elementi nemaju uvijek pravokutni poprečni presjek, kao što je naš razmatrani ravnalo. Kao grede i nadvratnici mogu se koristiti razni toplo valjani profili, tesani i netesani balvani i sve ostalo. Ipak, razumijevanje principa izračunavanja momenta inercije omogućava vam da odredite moment inercije za poprečni presjek bilo kojeg, čak i vrlo složenog geometrijskog oblika. U velikoj većini slučajeva nema potrebe za izračunavanjem samog momenta inercije; za metalne profile složenog presjeka (uglovi, kanali, I-grede itd.) moment inercije, kao i moment otpora , određuje se prema asortiman . Za elemente okruglog ovalnog, trouglastog presjeka i nekih drugih tipova presjeka, moment inercije može se odrediti iz odgovarajućeg sto .

Ako uzmemo u obzir ukupnu deformaciju cijele grede, tj. cijelom dužinom l , onda je očito da ukupna deformacija pod našim opterećenjima ne može biti samo na jednoj strani grede, kao što je prikazano na slici 11.3.a:

Slika 11.3.

Budući da je opterećenje na našu gredu u sredini, zbog čega su reakcije na oslonce koje nastaju djelovanjem opterećenja međusobno jednake i svaka je jednaka polovini primijenjenog opterećenja, vjerovatnije je da će pod U ovim uslovima ukupna deformacija će izgledati kao na slici 11.3.b i tada će, u našem konkretnom slučaju, ugao nagiba poprečnog preseka na svakom od oslonaca biti:

tgθ = M x/(2IE) (11.5.5)

Do sada smo jednostavnom grafičko-analitičkom metodom određivali tangentu ugla rotacije, a u slučaju kada je opterećenje na gredu u sredini, to smo dobro uradili. Ali postoje razne mogućnosti za primjenu opterećenja na gredu, i iako će ukupna deformacija uvijek biti jednaka Δl, ali kut nagiba poprečnih presjeka na nosačima može biti različit. Ako bolje pogledamo formule (11.5.4) i (11.5.5), vidjet ćemo da množimo vrijednost trenutka u nekom trenutku sa vrijednošću X, koji se sa stanovišta teorijske mehanike ne razlikuje od koncepta - "rame sile". Ispada da da bismo odredili tangent ugla rotacije, moramo pomnožiti vrijednost momenta s ramenom djelovanja momenta, što znači da se koncept "rame" može primijeniti ne samo na silu, već i na takođe do trenutka. Kada smo koristili koncept ramena djelovanja sile, koji je otkrio Arhimed, pretpostavili smo i dokle nas to može dovesti. Metoda prikazana na slici 5.3 dala nam je vrijednost momenta arm = x/2. Pokušajmo sada odrediti rame trenutka na drugačiji način (grafsko-analitička metoda). Ovdje će nam trebati dijagrami napravljeni za gredu na zglobnim nosačima:

Slika 149.7.1 Slika 149.7.2

Teorija otpora materijala omogućava nam da unutarnja normalna naprezanja, okarakterizirana dijagramom "M" na slici 149.7.1 za gredu konstantne krutosti, smatramo nekom vrstom vanjskog fiktivnog opterećenja. Tada je područje dijagrama "M" od početka grede do sredine raspona fiktivna reakcija nosača materijala grede na jednoliko promjenjivo opterećenje. A fiktivni moment savijanja je površina dijagrama "M" pomnožena s udaljenosti od centra gravitacije dijagrama "M" do razmatrane točke. Budući da je vrijednost momenta savijanja u sredini raspona Ql/4, površina takve figure će biti Ql/4(l/2)(1/2) = Ql 2 /16. A ako se ova vrijednost podijeli sa krutošću EI, onda dobijamo vrijednost tangenta kuta rotacije.

Gledajući unaprijed, određujemo vrijednost otklona. Udaljenost od centra gravitacije trouglastog dijagrama "M" do sredine raspona je l/6, tada će fiktivni moment savijanja biti (Ql 2 /16)l/2 - (Ql 2 /16)l/ 6 = Ql 3 /48. Tada je otklon f = Ql 3 /48EI. A budući da se dijagram momenta nalazi na dnu grede, takvo fiktivno opterećenje će na kraju dati negativnu vrijednost kuta rotacije i otklona, ​​što je općenito logično, budući da se pri takvom djelovanju opterećenja otklon - pomak težište poprečnog presjeka će se pojaviti niz y osi.

Karakteristična karakteristika grafičko-analitičke metode je da se broj proračuna može dodatno smanjiti. Da biste to učinili, trebate pomnožiti površinu dijagrama fiktivnog opterećenja s udaljenosti od težišta dijagrama do ishodišta koordinata, a ne do razmatrane točke na osi. Na primjer, za gornji slučaj (Ql 2 /16)l/3 = Ql 3 /48

Kod ravnomjerno raspoređenog opterećenja, opisan je dijagram momenta kvadratna parabola, teže je odrediti površinu takve figure i udaljenost do centra gravitacije, ali za to nam je potrebno znanje geometrije kako bismo mogli odrediti površinu bilo koje figure i položaj težišta takve figure.

Dakle, ispada da za gredu na koju koncentrirano opterećenje djeluje u sredini grede pri x = l / 2:

tgθ \u003d M (x / 2) / (EI) = ((Ql / 4) (l / 4)) / (EI) = Ql 2 / (16EI) (11.6.1)

Ono što smo upravo uradili zove se integracija, jer ako pomnožimo vrijednost dijagrama "Q" (Slika 149.7.1) sa dužinom tereta, na taj način odredimo površinu pravokutnika sa stranicama "Q" i x, dok je površina ovog pravougaonika jednaka vrijednosti crteža "M" u tački X.

Teoretski, ispada da možemo odrediti vrijednost tangente ugla rotacije integracijom jedne od jednadžbi momenta sastavljenih za našu gredu. Maksimalna vrijednost tangenta kuta rotacije za gredu na dva zglobna nosača, na koje koncentrirano opterećenje djeluje u sredini (slika 149.7.1), bit će na x = l / 2

tgθ = ∫Mdx/(EI)= ∫Axdx/(EI)\u003d Ax 2 / (2EI) \u003d (Q / 2) (l / 2) 2 / (2EI) \u003d Ql 2 / (16EI) (11.6.2)

gdje ALI je reakcija podrške Q/2

Sa raspoređenim opterećenjem, integracija jednadžbe momenata: q(l/2) x - qx 2 /2 za lijevu stranu grede daje sljedeći rezultat:

tgθ =∫Mdx/(EI)\u003d q (l / 2) (l / 2) 2 / (2EI) -q (l / 2) 3 / (6EI) \u003d ql 3 / (24EI) (11.6.3)

Isti rezultat ćemo dobiti i kada koristimo grafsko-analitičku metodu.

Kada smo odredili ugao rotacije, radi jasnoće, pretpostavili smo da je greda deformisana kao što je prikazano na slici 5.2, zatim kao što je prikazano na slici 11.3.b, tada smo otkrili da ako nije bilo drugog oslonca, onda se greda okrenula prvi oslonac, ali u stvarnosti postoji drugi oslonac i stoga se greda ne može deformirati na ovaj način (sa našim opterećenjem na gredu). Budući da nema momenta na osloncu i, shodno tome, nema unutrašnjih naprezanja koja mogu promijeniti geometrijski oblik grede, geometrijski oblik grede na nosaču ostaje nepromijenjen, a unutarnji naponi, koji rastu duž grede, deformiraju greda sve više i više, a to dovodi do činjenice da se greda rotira oko zglobnih nosača i da je ovaj kut rotacije jednak kutu nagiba poprečnog presjeka θ (pošto razmatramo gredu paralelepipeda):

Slika 11.4. Prava deformacija grede.

Ako jednostavno nacrtamo uglove rotacije za gredu s koncentriranim opterećenjem u sredini prema jednadžbi za lijevi i desni dio grede, tada će dijagram izgledati ovako:

Slika 11.5.

Ovaj dijagram bi bio tačan samo za gredu prikazanu na slici 5.3.a. Očigledno, u našem slučaju dijagram ne može izgledati ovako, a da bi se napravio ispravan dijagram, mora se uzeti u obzir da poprečni presjeci grede imaju nagib na oba oslonca, a taj nagib je isti po vrijednosti , ali različit u smjeru, a nagib poprečnog presjeka grede u sredini \u003d 0. Ako dijagram spustimo na Ql 2 /16EI, koji dobijemo integracijom jednadžbe momenata za lijevu stranu grede i koji pokazuje ugao nagiba poprečnog presjeka tačno na osloncu, dobijamo dijagram sljedeći obrazac:

Slika 11.6.

Ovaj dijagram apsolutno tačno prikazuje promjenu kuta rotacije poprečnih presjeka duž cijele grede, a vrijednost tangente kuta rotacije na lijevom nosaču grede nije ništa drugo do određena konstanta Od 1, koji dobijamo ako se integracija izvede ispravno. A zatim jednadžba ugla rotacije za gredu pri datom opterećenju na presjeku 0će izgledati ovako:

tgθ x \u003d - tgθ A + Ax 2 / (2EI) (11.6.5)

Dijagram uglova rotacije za gredu sa raspoređenim opterećenjem vizuelno se ni po čemu ne razlikuje od dijagrama uglova rotacije za gredu sa koncentrisanim opterećenjem, jedina razlika je u tome što dijagram uglova rotacije za gredu sa raspoređenim opterećenjem je kubna parabola. Jednadžba ugla rotacije za gredu s ravnomjerno raspoređenim opterećenjem će izgledati ovako:

tgθ x \u003d - tgθ A + Ax 2 / (2EI) - qx 3 / (6EI) (11.6.6)

O predznacima u ovoj jednadžbi. "-" znači da razmatrani član jednadžbe, takoreći, pokušava rotirati snop u smjeru suprotnom od kazaljke na satu u odnosu na razmatrani poprečni presjek, a "+" - u smjeru kazaljke na satu. Međutim, iz dijagrama uglova rotacije može se vidjeti da je vrijednost tgθ A mora biti negativan. Dakle, ako presjek ima nagib u smjeru kazaljke na satu u odnosu na x-osu, tada će biti negativan, a ako je u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada će biti pozitivan.

Pa, sada najvažnije, trebala su nam sva ova rastavljanja s uglom rotacije poprečnog presjeka kako bismo odredili otklon grede.

12. Definicija otklona.

Kao što možemo vidjeti na slici 11.4, trokut sa katetama h/2 i Δx sličan je trokutu sa katetama X i drugi krak, jednak f+y, što znači da sada možemo odrediti vrijednost otklona:

tgθ = (f + y)/X (12.1)

f + y = tgθ X(12.2.1) ili f + y \u003d M x X / (2EI) (12.2)

za male vrijednosti X značenje at blizu 0, ali na udaljenijim tačkama sekcije, vrijednost at povećava. Značenje at- ovo je uticaj na veličinu otklona prisustva drugog oslonca. Imajte na umu da je ova vrijednost at pokazuje razliku između stvarnog nagiba uzdužne ose grede i nagiba uzdužne ose grede, ako bi se greda jednostavno rotirala oko oslonca, a ispostavilo se da je vrijednost at zavisi od ugla rotacije. Osim toga, opet smo dobili jednačinu u kojoj vrijednost otklona u nekoj tački zavisi od tangente ugla rotacije (12.2.1) i tako se ispostavlja da i ugao rotacije ima „rame dejstva“ . Na primjer, sa y = f / 2 (ako pogledate lijevu stranu fotografije 1, onda će u sredini grede biti negdje) dobili bismo sljedeću formulu za određivanje otklona:

f \u003d M x 2 / (3EI) (12.3.1)

Ali nećemo ništa pretpostavljati, već ćemo koristiti integraciju. Ako integriramo jednadžbu momenta za lijevu stranu grede, dobićemo vrijednost at(parcela za at prikazano u tirkiznoj boji na fotografiji 1):

y \u003d ∫ ∫ ∫ (Q / 2) dx = 2 (Q / 2) (l / 2) 3 / 6EI = Ql 3 / (96EI) (12.3.2)

ili područje ljubičastog dijagrama za lijevu stranu grede (slika 5.5), ali nam je potrebna površina plavog dijagrama na lijevom dijelu grede (slika 5.6), koja je 2 puta veća od površine ljubičastog dijagrama. Na ovaj način:

f =2∫∫∫(Q/2)dh =2 (Q/2) (l/2) 3 /6EI = Ql 3 /(48EI) (12.3.3)

Zašto je površina plave grafike 2 puta veća od površine ljubičaste, vrlo je lako objasniti. Površina trokuta jednaka je 1/2 površine pravokutnika sa istim stranicama, površina figure opisane kvadratnom parabolom je 1/3 površine pravokutnika sa istim stranama. Kada bismo rasklopili ljubičastu grafiku, dobili bismo pravougaonik formiran od plave i ljubičaste grafike. Prema tome, ako od površine pravokutnika oduzmemo 1/3, dobićemo 2/3. Ovaj logički niz ima nastavak - površina figure opisane kubičnom parabolom je 1/4 površine pravokutnika s istim stranicama, i tako dalje.

Vrijednost otklona možemo pronaći na drugi način. Iz slike 11.4 i formule (12.2) proizilazi:

f x = - tgθx + ∫tgθdx (12.3.4)

f l / 2 = - (Ql 2 / 16EI) l / 2 + (Ql 3 / 96EI) \u003d - (Ql 3 / 48EI) (12.3.5)

U ovom slučaju, znak "-" označava da će se središte poprečnog presjeka grede pomjeriti prema dolje duž ose at oko ose X. A sada nazad na fotografiju 1. Prikazana je dijagram ispod uzdužne ose grede at, to je ta vrijednost u tački l/2 koju smo oduzeli prilikom rješavanja jednačine (12.3.3). Štaviše, ispostavilo se da je omjer između f I at zavisi od koeficijenta prethodne integracije, tj. y = kf ili f = y/k. Kada smo integrisali jednačinu sila, dobili smo koeficijent 1/2. Međutim, istu vrijednost smo dobili kada smo odredili polugu trenutka. Ako nastavimo ovaj logički niz, ispada da pri određivanju otklona od raspoređenog opterećenja moramo koristiti koeficijent 1/3, odnosno možemo izračunati otklon u sredini grede koristeći sljedeću formulu:

f= 2∫∫∫(ql/2)dx - 3∫∫∫∫ qdx \u003d (2 (qlx 3 / 6) - 3 (qx 4 / 24)) / EI = 5ql 4 / (384EI) (12.4.4)

f x = - ∫tgθdx + ∫∫∫(ql/2)dx -∫∫∫∫qdh (12.4.5)

f l / 2 \u003d (- ql 3 x / 24 + (qlx 3 / 6) - (qx 4 / 24)) / EI = - 5ql 4 / (384EI) (12.4.6)

U ovom slučaju, znak "-" znači da se težište poprečnog presjeka pomiče prema dolje duž ose at.

Bilješka: Predložena metoda za određivanje otklona donekle se razlikuje od općeprihvaćenih, jer sam se pokušao usredotočiti na jasnoću.

Ako je ugib određen grafičko-analitičkom metodom, tada će površina ​​fiktivnog opterećenja - moment dijagram opisan kvadratnom parabolom, biti (prema tabeli 378.1) (2ql 2 / (8 3)) l / 2 = ql 3 / 24. A udaljenost od centra gravitacije dijagrama do ishodišta je 5/8. Tada je fiktivni moment (ql3/24)(5l/(8 2)) = 5ql 4 /384.

Naravno, koncentrirano opterećenje može se primijeniti na gredu koja nije u sredini, raspoređeno opterećenje može biti ne samo ravnomjerno raspoređeno i ne djelovati duž cijele dužine grede, a opcije za pričvršćivanje grede na nosače su različite. Ali zato postoje gotove formule da ih koristim.

Dozvolite mi! - Reći ćete, - Sve je ovo dobro, ali šta je sa posmičnim naprezanjima? Na kraju krajeva, oni djeluju duž y-ose i stoga moraju nekako utjecati na otklon!

U redu. Posmična naprezanja utječu na progib, međutim, za grede s omjerom l/h > 10, ovaj učinak je vrlo neznatan i stoga je dopušteno koristiti metodu opisanu u ovom članku za određivanje progiba.

Ali to nije sve, kao što smo već rekli, vrlo je jednostavno odrediti vrijednost otklona empirijski koristeći metodu opisanu na samom početku članka. Kako ništa bolje nije bilo pri ruci, uzeo sam drveni lenjir, čiji sam prototip tako dugo opisivao (vidi sliku 1). Drveni ravnalo je bilo dimenzija oko 91,5 cm, širine b=4,96 cm i visine h=0,32 cm (visina i širina su određene kaliperom). Zatim sam stavio ravnalo na nosače, dok je razmak između nosača bio oko 90 cm i tako dobio gredu raspona l=90 cm.Pod uticajem sopstvene težine, lenjir se, naravno, malo savio , ali tako mali otklon me nije zanimao. Izmjerio sam mjernom trakom (preciznost do 1 mm) razmak od poda do dna ravnala (77,65 cm), a zatim na sredinu stavio uslovno koncentriran teret (postavio sam mjernu čašu od oko 52 grama sa 250 grama vode u sredini) i izmjerili udaljenost od poda do dna ravnala pod opterećenjem (75,5 cm). Razlika između ova dva mjerenja bila je željeni otklon. Dakle, empirijski utvrđena veličina ugiba bila je 77,65 - 75,5 = 2,15 cm Ostaje samo pronaći modul elastičnosti za drvo, odrediti moment inercije za dati presjek i precizno izračunati opterećenje. Modul elastičnosti E za drvo = 10 5 kgf / cm 2, moment inercije pravokutnog presjeka I z = bh 3 /12 = 4,98 0,32 3 /12 = 0,01359872 cm 4, puno opterećenje - 0,302 kg.

Proračun ugiba prema formuli dao je: f = Ql 3 / (48EI) = 0,302 90 3 / (48 10 5 0,0136) = 3,37 cm Podsjećam da je empirijski utvrđena deformacija bila: f = 2,15 cm. Možda je trebalo uzeti u obzir utjecaj na otklon prvog izvoda funkcije - tangenta kuta rotacije? Uostalom, ugao nagiba, sudeći po fotografiji, prilično je velik.

Provjerite: tgθ = Ql 2 /(16EI) = 0,302 90 2 /(16 10 5 0,0136) = 0,11233. Tada prema formuli (542.12) f = 3.37/((1 + 0.112 2) 3/2) = 3.307 cm. uticaja svakako postoji, ali ne prelazi 2% ili 0,63 mm.

Rezultat me u početku iznenadio, ali onda je postojalo nekoliko objašnjenja za takvo neslaganje, posebno u sredini, poprečni presjek ravnala nije bio pravougaonik, jer je ravnalo deformisano od vremena i izlaganja vodi, odnosno moment inercije za takav presjek je veći nego za pravougaoni, osim toga, ravnalo nije od borovine, već od tvrđeg drveta, za koje modul elastičnosti treba uzeti veći. A sa naučne tačke gledišta, jedan rezultat apsolutno nije dovoljan da se govori o bilo kakvim pravilnostima. Nakon toga sam provjerio vrijednost ugiba za drvenu šipku momenta inercije I = 2,02 cm 4, dužine više od 2 m sa rasponom od 2 m pod opterećenjem od 2 kg na sredini šipke, a zatim vrijednost ugiba, određena teoretski i empirijski, poklapala se sa desetinkama milimetra. Naravno, bilo bi moguće nastaviti eksperimente, ali se desilo da su stotine drugih ljudi to već radile prije mene i u praksi su dobile rezultate koji su vrlo bliski teorijskim. A ako uzmemo u obzir da idealno izotropni materijali postoje samo u teoriji, onda su to vrlo dobri rezultati.

Određivanje ugla rotacije kroz otklon.

Odredite vrijednost ugla rotacije za zglobnu gredu, na koju utječe samo moment savijanja M na jednom od nosača, na primjer na nosaču ALI izgleda jednostavno kao:

tgθ x \u003d - tgθ A + Mx / (EI) - Ax 2 / (2EI) (13.1.1)

gdje A \u003d M / l, (B = - M/l), ali za to morate znati ugao rotacije na nosaču ALI, ali mi to ne znamo, međutim, pomaže ga izračunati razumijevanjem da će otklon na osloncima biti jednak nuli i tada:

f A = tgθ B l - Bl 3 /(6EI) = 0; tgθ B = - Ml 3 /(6l 2 EI) = - Ml/(6EI) (13.1.2)

f B \u003d tgθ A l + Ml 2 / (2EI) - Al 3 / (6EI) = 0; tgθ A = - Ml/(3EI) (13.1.3)

Kao što vidite, ugao rotacije na osloncu na koji se primjenjuje moment savijanja je dvostruko veći od ugla rotacije na suprotnom nosaču, ovo je vrlo važan obrazac, koji će nam biti od velike koristi u budućnosti.

Kada se koncentrirano opterećenje ne primjenjuje na gredu na težištu ili je raspoređeno opterećenje neravnomjerno, tada se kutovi rotacije na nosačima određuju kroz otklon, kao u gornjem primjeru. Drugim riječima, vrijednosti početnih parametara se određuju tokom rješenja

TEMA 6

ODREĐIVANJE POMAKA PRI SAVIJANJU. PRORAČUN GREDA ZA KRUĆOST

6.1. Koncept elastične linije. Otklon i ugao rotacije. Diferencijalna jednadžba elastične linije. Uvjet krutosti na savijanje

Za procjenu rada savijenih greda nije dovoljno znati samo naprezanja koja nastaju u presjecima grede od datog opterećenja. Izračunati naponi vam omogućavaju da provjerite čvrstoću sistema. Međutim, vrlo jake grede mogu biti neupotrebljive zbog nedovoljne krutosti. Ako se greda snažno savija pod opterećenjem, tada će tijekom rada konstrukcije s fleksibilnim gredama nastati poteškoće i, osim toga, mogu se pojaviti oscilacije grede s velikim amplitudama, a istovremeno i značajna dodatna naprezanja.

Ispod rigidnost treba razumjeti sposobnost konstrukcijskih elemenata i dijelova stroja da izdrže vanjska opterećenja bez vidljivih deformacija. Proračun krutosti sastoji se u procjeni elastične usklađenosti grede pod djelovanjem primijenjenih opterećenja i odabiru takvih dimenzija poprečnog presjeka za koje pomaci neće prelaziti granice utvrđene standardima. Da biste izvršili takav proračun, potrebno je naučiti kako izračunati pomake presjeka grede pod djelovanjem bilo kojeg vanjskog opterećenja.

Razmotrimo deformaciju grede pri jednostavnom savijanju. Os grede (slika 6.1, a) pod dejstvom opterećenja koje se nalazi u jednoj od glavnih ravni inercije (u ravni DIV_ADBLOCK65 ">)

Tačka https://pandia.ru/text/79/355/images/image003_20.gif" width="13" height="15">.gif" width="24" height="19 src=">.gif "width="13" height="15">. Ako se u tački povuče tangenta na osu zakrivljene grede, tada će se ona rotirati za ugao u odnosu na početni položaj ose. vremena, presek u tački će se rotirati za isti ugao. Dakle, tri veličine- , i su komponente pomaka proizvoljnog poprečnog presjeka grede. Pomicanje težišta presjeka u smjeru okomitom na os grede naziva se otklon. Najveći otklon se naziva sag i označen je slovom.

Ugao https://pandia.ru/text/79/355/images/image010_4.gif" width="24" height="19 src=">.

Font-weight:normal"> Sl.6.1

Ispitivanje krutosti grede svodi se na zahtjev da je maksimalni otklon font-weight:normal"> .

Broj https://pandia.ru/text/79/355/images/image014_4.gif" width="17" height="15 src="> uzima se jednakim 1000.

Ovo pokazuje da su progibi savijanja obično mali u odnosu na raspon grede. Ovo omogućava neka pojednostavljenja. Prvo, kod malih otklona font-weight:normal">font-weight:normal">Drugo, horizontalni pomaci se mogu zanemariti, jer su znatno manji https://pandia.ru/text/79/355/images /image016_5. gif" width="45" height="15 src=">). U tom smislu, u proračunima ćemo koristiti šemu uslovnog pomaka prikazanu na slici 6.1, b. Prema ovoj šemi, svaka tačka se kreće okomito na uzdužna os grede.

Da bi se utvrdila potpuna slika deformacija, potrebno je dobiti jednadžbu elastične linije

Na osnovu fizičke prirode zakrivljene ose grede, možemo tvrditi da elastična linija mora biti kontinuirana i glatka kriva, dakle, funkcija i njen prvi izvod moraju biti kontinuirani po cijeloj osi grede. Progibi i uglovi rotacije su pomaci presjeka grede tijekom savijanja. Deformacija jednog ili drugog dijela grede određena je njegovom zakrivljenošću.

Prilikom izvođenja formule za normalna naprezanja savijanja, dobili smo odnos između zakrivljenosti i momenta savijanja:

font-weight:normal"> Iz predmeta više matematike poznata je sljedeća jednačina za zakrivljenost ravne krive:

Font-weight:normal"> Zamjenom vrijednosti zakrivljenosti u jednačinu (6.2) i zamjenom koordinata sa otklonom, dobijamo tačnu diferencijalnu jednačinu elastične linije grede:

Font-weight:normal">Integracija ove nelinearne diferencijalne jednadžbe je povezana sa velikim poteškoćama. S obzirom da se u praksi mora nositi sa malim otklonima i da će tangente uglova nagiba tangente na osu biti mali, kvadrat prve derivacije https://pandia.ru/text/79/355/images/image024_4.gif" width="101 height=48" height="48"> (6.5)

Dva predznaka u jednadžbi (6.5) su postavljena jer se predznak zakrivljenosti možda ne poklapa sa predznakom momenta savijanja. Predznak zakrivljenosti ovisi o smjeru koordinatnih osa. Znak momenta savijanja se birao ovisno o tome gdje se nalaze rastegnuta vlakna. Tako, na primjer, za slučaj kada je os usmjerena prema gore, pozitivan moment (slika 6.2, a) odgovara pozitivnoj krivini, a negativan moment negativnoj krivini.

Veličina fonta:14.0pt"> Slika 6.2

Dakle, u slučaju kada je os usmjerena prema gore, znaci zakrivljenosti i momenta savijanja poklapaju se. Stoga se u diferencijalnoj jednadžbi uzima predznak“ + ” . Ako je os EN-US" style="font-size: 14.0pt">“- ” .

6.2. Metoda direktne integracije približne (osnovne) diferencijalne jednadžbe elastične linije

Rješavajući zadatak analitičkom metodom, uglovi rotacije i otklona izračunavaju se sukcesivnom integracijom približne diferencijalne jednadžbe (6.5). Integracijom jednačine (6.5) po prvi put dobijamo izraz za ugao rotacije:

https://pandia.ru/text/79/355/images/image030_3.gif" width="12" height="23">

gdje font-family:Symbol">- konstanta integracije.

Integracijom po drugi put, dobijamo izraz za otklon:

font-size:14.0pt">.gif" width="17" height="17 src=">- integracione konstante.

Da bi se izračunali integrali u (6.6) i (6.7), prvo se moraju napisati analitički izrazi za moment savijanja i krutost. Integracijske konstante nalaze se iz graničnih uslova, koje zavise od uslovapomeranje granica preseka greda.

Razmotrimo nekoliko primjera primjene metode direktne integracije približne jednadžbe elastične linije grede.

Primjer 6.1.Odredite otklon i ugao rotacije presjeka B grede prikazanog na slici 6.3.

Veličina fonta:14.0pt"> Sl.6.3

Rješenje:

; .

- nadesno.

.

Potpiši “+”

5. Prvi put integrišemo jednačinu. Dobijamo:

EN-US" style="font-size: 14.0pt">.(ali)

EN-US" style="font-size: 14.0pt">.(b)

Pošto su otklon i ugao rotacije u ugradnji jednaki nuli, da bi se odredile konstante integracije granični uslovi izgleda kao:

Uz https://pandia.ru/text/79/355/images/image042_3.gif" width="37" height="19 src=">font-size:14.0pt"> Jednačina (a) pokazuje da je konstanta je ugao rotacije na početku (presjek A). Postavljanjem u jednačinu (a), nalazimo . Iz jednačine (b) slijedi da je konstantna veličina fonta: 14.0pt; font-family:Symbol">-otklon na početku..gif" width="43" height="19 src=">.

Tako dobijamo sledeće izraze za otklon i ugao rotacije:

,

.

Zamjenom u prvoj jednadžbi, nalazimo strelicu otklona:

.

Zamjenom u drugu jednačinu nalazimo maksimalni ugao rotacije

Potpiši "-" na otklonu označava da se njegov smjer ne poklapa s pozitivnim smjerom ose. Potpiši“ - ” u izrazu za ugao rotacije pokazuje da se sekcija B rotirala ne u smeru kazaljke na satu, već u smeru kazaljke na satu.

Primjer 6.2.Odredite otklon dvonosne grede i uglove rotacije potpornih dijelova A i B (slika 6.4).

Veličina fonta:14.0pt"> Sl.6.4

Rješenje:

1. Iz uslova ravnoteže određujemo reakcije potpore:

2. Odabiremo ishodište koordinata na lijevom kraju grede, kombinujući ga sa tačkom A. Usmjeravamo os prema gore, os- nadesno.

3. Sastavljamo jednačinu momenta savijanja u presjeku:

.

4. Uz pretpostavku da je krutost grede konstantna, zapisujemo približnu diferencijalnu jednačinu elastične linije grede:

.

Potpiši “+” u jednadžbi je uzeta linija elastičnosti jer je os usmjerena prema gore.

5. Prvi put integrišemo jednačinu. Dobijamo:

EN-US" style="font-size: 14.0pt">.(u)

Ponovo integrirajući, dobijamo jednačinu za otklon u presjeku:

EN-US" style="font-size: 14.0pt">.(G)

Konstante integracije nalazimo iz graničnih uslova:

Sa https://pandia.ru/text/79/355/images/image049_2.gif" width="35" height="19 src=">font-size:14.0pt"> Zamjena u jednadžbu (d) i izjednačenje otklon nula, dobijamo; zamjena u istoj jednadžbi https://pandia.ru/text/79/355/images/image031_4.gif" width="16" height="19">:

Pronađene vrijednosti integracijskih konstanti zamjenjujemo u jednadžbe (c) i (d) i dobijamo jednadžbe za uglove rotacije i otklona:

;

.

Zamjenom https://pandia.ru/text/79/355/images/image049_2.gif" width="35" height="19 src="> u prvu jednačinu, dobijamo uglove rotacije presjeka A i B, odnosno:

; .

Zbog simetrije opterećenja, maks otklon će biti u sredini grede. Zamjena font-size:14.0pt"> u drugu jednačinu .

Kao iu prethodnom primjeru, znak“ - ” na otklonu označava da se njegov smjer ne poklapa s pozitivnim smjerom osi EN-US style="font-size:14.0pt"">“- ” u izrazu ugla rotacije pokazuje da se presek A okrenuo ne protiv znaka, već u smeru kazaljke na satu“ + ” u izrazu kuta rotacije font-size:14.0pt">Primjer 6.3. Koliko je puta otklon u presjeku B na kraju grede prikazan na slici 6.5 veći od otklona u presjeku C u sredini grede?

EN-US" style="font-size:14.0pt"> Sl.6.5

Rješenje:

Koristimo rezultate dobijene u primjeru 6.1. Napišimo konačni izraz za otklon:

i zamijenimo koordinate tačaka C i B u ovu jednačinu. Dobijamo:

Na https://pandia.ru/text/79/355/images/image070_2.gif" width="264" height="101 src=">;