Problem nalaženja antiderivativne funkcije nema uvijek rješenje, dok bilo koju funkciju možemo razlikovati. Ovo objašnjava nedostatak univerzalna metoda integracija.

U ovom članku ćemo pogledati primjere s detaljne odluke osnovne metode za pronalaženje neodređenog integrala. Takođe grupišemo tipove integranda karakteristične za svaku metodu integracije.

Navigacija po stranici.

Direktna integracija.

Nesumnjivo, glavna metoda pronalaženja antiderivativne funkcije je direktna integracija korištenjem tabele antiderivata i svojstava neodređenog integrala. Sve druge metode se koriste samo za dovođenje originalnog integrala u tabelarni oblik.

Primjer.

Naći skup antiderivata funkcije.

Rješenje.

Zapišimo funkciju u obliku .

Pošto je integral zbira funkcija jednak zbiru integrala, onda

Numerički koeficijent se može izvaditi iz predznaka integrala:

Prvi od integrala je sveden na tabelarni oblik, pa iz tabele antiderivata za eksponencijalnu funkciju imamo .

Da bismo pronašli drugi integral, koristimo tablicu antiderivata za funkciju stepena i vladaj . tj, .

shodno tome,

gdje

Integracija metodom supstitucije.

Suština metode je da uvodimo novu varijablu, izražavamo integrand u terminima ove varijable i kao rezultat dolazimo do tabelarnog (ili jednostavnijeg) oblika integrala.

Vrlo često, metoda zamjene pomaže pri integraciji trigonometrijskih funkcija i funkcija s radikalima.

Primjer.

Pronađite neodređeni integral .

Rješenje.

Hajde da uvedemo novu varijablu. Izrazimo x u terminima z:

Izvodimo supstituciju dobijenih izraza u originalni integral:

Iz tabele antiderivata imamo .

Ostaje da se vratimo na originalnu varijablu x:

odgovor:

Vrlo često se metoda zamjene koristi u integraciji trigonometrijskih funkcija. Na primjer, upotreba univerzalne trigonometrijske supstitucije omogućava transformaciju integranda u frakciono racionalni oblik.

Metoda zamjene nam omogućava da objasnimo pravilo integracije .

Tada uvodimo novu varijablu

Dobivene izraze zamjenjujemo u originalni integral:

Ako prihvatimo i vratimo se na originalnu varijablu x, onda ćemo dobiti

Dovođenje pod znak diferencijala.

Metoda podvođenja pod diferencijalni predznak zasniva se na svođenju integranda na oblik . Zatim se primjenjuje metoda zamjene: uvodi se nova varijabla i nakon pronalaženja antiderivata za novu varijablu vraćamo se na originalnu varijablu, tj.

Radi praktičnosti, stavite pred oči u obliku diferencijala, tako da je lakše transformisati integrand, kao i tabelu antiderivata, kako biste videli u koji oblik treba konvertovati integrand.

Na primjer, pronađimo skup antiderivata kotangens funkcije.

Primjer.

Pronađite neodređeni integral.

Rješenje.

Integrand se može pretvoriti pomoću trigonometrijskih formula:

Gledajući tablicu derivacija, zaključujemo da se izraz u brojniku može podvesti pod diferencijalni predznak , zbog toga

tj .

Neka onda . Iz tabele antiderivata to vidimo . Vraćanje na originalnu varijablu .

Bez objašnjenja rješenje se piše na sljedeći način:

Integracija po dijelovima.

Integracija po dijelovima se zasniva na predstavljanju integranda kao proizvoda i zatim primjeni formule. Ova metoda je vrlo moćan alat za integraciju. Ovisno o integrandu, ponekad se metoda integracije po dijelovima mora primijeniti nekoliko puta zaredom dok se ne dobije rezultat. Na primjer, pronađimo skup antiderivata funkcije arktangensa.

Primjer.

Izračunajte neodređeni integral.

Rješenje.

Neka onda

Treba napomenuti da se pri pronalaženju funkcije v(x) ne dodaje proizvoljna konstanta C.

Sada primjenjujemo formulu za integraciju po dijelovima:

Posljednji integral se izračunava metodom podvođenja pod predznak diferencijala.

Od tada . Zbog toga

shodno tome,

gdje .

odgovor:

Glavne poteškoće u integraciji po dijelovima nastaju izborom: koji dio integranda treba uzeti kao funkciju u(x), a koji kao diferencijal d(v(x)) . Međutim, postoji niz standardnih smjernica s kojima vam preporučujemo da se upoznate u odjeljku Integracija prema dijelovima.

Kada integrišu izraze stepena, na primer ili , oni koriste ponavljajuće formule koje vam omogućavaju da snižavate stepen od koraka do koraka. Ove formule se dobijaju uzastopnim višestrukim integracijama po delovima. Preporučujemo da se upoznate sa odjeljkom o integraciji korištenjem rekurentnih formula.

U zaključku, želio bih sumirati cijeli materijal ovog članka. Osnova osnova je metoda direktne integracije. Metode zamjene, dovođenje pod znak diferencijala i metoda integracije po dijelovima omogućavaju vam da izvorni integral dovedete do tabelarnih.

Dat je pregled metoda proračuna neodređeni integrali. Razmatraju se glavne metode integracije koje uključuju integraciju zbira i razlike, vađenje konstante iz predznaka integrala, promjenu varijable i integraciju po dijelovima. Također se razmatraju posebne metode i tehnike za integraciju razlomaka, korijena, trigonometrijskih i eksponencijalne funkcije.

Sadržaj

Pravilo integracije zbroja (razlike).

Izuzimanje konstante iz predznaka integrala

Neka je c konstanta nezavisna od x. Tada se može izvaditi iz predznaka integrala:

Zamjena varijable

Neka je x funkcija varijable t , x = φ(t) , tada
.
Ili obrnuto, t = φ(x) ,
.

Uz pomoć promjene varijable, ne možete samo izračunati jednostavne integrale, već i pojednostaviti izračunavanje složenijih.

Pravilo integracije po dijelovima

Integracija razlomaka (racionalne funkcije)

Hajde da uvedemo notaciju. Neka P k (x), Q m (x), R n (x) označavaju polinome stepena k, m, n , respektivno, u odnosu na varijablu x .

Razmotrimo integral koji se sastoji od razlomka polinoma (tzv. racionalna funkcija):

Ako je k ≥ n, tada prvo morate odabrati cijeli broj razlomka:
.
Integral polinoma S k-n (x) izračunava se iz tabele integrala.

Ostaje integral:
, gdje m< n .
Da bi se to izračunalo, integrand se mora razložiti na jednostavne razlomke.

Da biste to učinili, morate pronaći korijene jednadžbe:
Q n (x) = 0 .
Koristeći dobijene korijene, trebate predstaviti nazivnik kao proizvod faktora:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Ovdje je s koeficijent za x n , x 2 + ex + f > 0 , x 2 + gx + k > 0 , ... .

Nakon toga razlomak razložite na najjednostavniji:

Integracijom dobijamo izraz koji se sastoji od jednostavnijih integrala.
Integrali oblika

svode se na tabelarnu supstituciju t = x - a .

Razmotrimo integral:

Transformirajmo brojilac:
.
Zamjenom u integrand, dobijamo izraz koji uključuje dva integrala:
,
.
Prvo, zamjena t \u003d x 2 + ex + f se svodi na tablicu.
Drugi, prema formuli redukcije:

svodi se na integral

Njegov imenilac dovodimo do sume kvadrata:
.
Zatim zamjenom, integral

je takođe dato u tabeli.

Integracija iracionalnih funkcija

Hajde da uvedemo notaciju. Neka R(u 1 , u 2 , ... , u n) označava racionalnu funkciju varijabli u 1 , u 2 , ... , u n . tj
,
gdje su P, Q polinomi u varijablama u 1 , u 2 , ... , u n .

Frakciona linearna iracionalnost

Razmotrimo integrale oblika:
,
gdje su racionalni brojevi, m 1 , n 1 , ..., m s , n s su cijeli brojevi.
Neka je n zajednički imenitelj brojeva r 1 , ..., r s .
Tada se integral svodi na integral racionalnih funkcija zamjenom:
.

Integrali iz diferencijalnih binoma

Razmotrimo integral:
,
gdje su m, n, p racionalni brojevi, a, b realni brojevi.
Takvi se integrali svode na integrale racionalnih funkcija u tri slučaja.

1) Ako je p cijeli broj. Zamjena x = t N , gdje je N zajednički imenitelj razlomaka m i n .
2) Ako je cijeli broj. Zamjena a x n + b = t M , gdje je M imenilac p.
3) Ako je cijeli broj. Zamjena a + b x - n = t M , gdje je M imenilac p.

Ako nijedan od tri broja nije cijeli broj, onda se po Čebiševljevom teoremu integrali ovog oblika ne mogu izraziti konačnom kombinacijom elementarne funkcije.

U nekim slučajevima može biti korisno prvo smanjiti integral na pogodnije vrijednosti m i p. To se može učiniti pomoću formula za izlijevanje:
;
.

Integrali koji sadrže kvadratni korijen kvadratnog trinoma

Ovdje razmatramo integrale oblika:
,

Ojlerove zamene

Takvi se integrali mogu svesti na integrale racionalnih funkcija jedne od tri Eulerove zamjene:
, za a > 0 ;
, za c > 0 ;
, gdje je x 1 korijen jednačine a x 2 + b x + c = 0. Ako ova jednadžba ima realne korijene.

Trigonometrijske i hiperboličke zamjene

Direktne metode

U većini slučajeva, Eulerove zamjene rezultiraju dužim proračunima od direktnih metoda. Koristeći direktne metode, integral se svodi na jedan od sljedećih tipova.

kucam

Integral forme:
,
gdje je P n (x) polinom stepena n.

Takvi integrali se nalaze metodom neodređenih koeficijenata, koristeći identitet:

Diferencirajući ovu jednačinu i izjednačavajući lijevu i desnu stranu, nalazimo koeficijente A i .

II tip

Integral forme:
,
gdje je P m (x) polinom stepena m.

Zamjena t = (x - α) -1 ovaj integral se svodi na prethodni tip. Ako je m ≥ n, tada bi razlomak trebao imati cijeli broj.

III tip

Treći i najteži tip:
.

Ovdje trebate izvršiti zamjenu:
.
Tada će integral poprimiti oblik:
.
Nadalje, konstante α, β moraju biti odabrane tako da koeficijenti pri t nestanu:
B = 0, B 1 = 0 .
Tada se integral razlaže u zbir integrala dva tipa:
;
,
koji su integrisani, respektivno, supstitucijama:
z 2 \u003d A 1 t 2 + C 1;
y 2 \u003d A 1 + C 1 t -2.

Opšti slučaj

Integracija transcendentalnih (trigonometrijskih i eksponencijalnih) funkcija

Unaprijed napominjemo da su one metode koje su primjenjive na trigonometrijske funkcije primjenjive i na hiperboličke funkcije. Iz tog razloga, nećemo posebno razmatrati integraciju hiperboličkih funkcija.

Integracija racionalnih trigonometrijskih funkcija cos x i sin x

Razmotrimo integrale trigonometrijskih funkcija oblika:
,
gdje je R racionalna funkcija. Ovo također može uključivati ​​tangente i kotangense, koje treba pretvoriti kroz sinuse i kosinuse.

Prilikom integracije takvih funkcija korisno je imati na umu tri pravila:
1) ako je R( cosx, sinx) pomnoženo sa -1 od promjene predznaka ispred jedne od veličina cos x ili sin x, onda je korisno drugu od njih označiti sa t .
2) ako je R( cosx, sinx) ne mijenja se od promjene predznaka u isto vrijeme ranije cos x I sin x, onda je korisno staviti tan x = t ili ctg x = t.
3) zamjena u svim slučajevima dovodi do integrala racionalnog razlomka. Nažalost, ova zamjena rezultira dužim proračunima od prethodnih, ako je primjenjivo.

Proizvod funkcija stepena cos x i sin x

Razmotrimo integrale oblika:

Ako su m i n racionalni brojevi, onda je jedna od permutacija t = sin x ili t= cos x integral se svodi na integral od diferencijalni binom.

Ako su m i n cijeli brojevi, tada se integrali izračunavaju integracijom po dijelovima. Ovo rezultira sledeće formule glumci:

;
;
;
.

Integracija po dijelovima

Primjena Eulerove formule

Ako je integrand linearan u odnosu na jednu od funkcija
cos ax ili sinax, tada je zgodno primijeniti Ojlerovu formulu:
e iax = cos ax + isin ax(gdje je i 2 = - 1 ),
zamjenjujući ovu funkciju sa eiax i isticanje stvarnog (prilikom zamjene cos ax) ili imaginarni deo(prilikom zamjene sinax) iz rezultata.

Reference:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbirka zadataka na višu matematiku, "Lan", 2003.

Vidi također:

Pošto ćemo sada govoriti samo o neodređenom integralu, izostavićemo termin „neodređeni“ radi kratkoće.

Da biste naučili kako izračunati integrale (ili, kako kažu, integrirati funkcije), prvo morate naučiti tablicu integrala:

Tabela 1. Tabela integrala

2. ( ), u>0. 2a. (α=0); 2b. (α=1); 2c. (α= ). 3. 3a. 4. 5. 5a) 6a. 7. 7a.

8. 9. 10. 10a. 11. 11a. 12. 13. 13a.

Osim toga, trebat će vam sposobnost izračunavanja izvedenice od datu funkciju, što znači da morate zapamtiti pravila diferencijacije i tablicu izvoda glavnih elementarnih funkcija:

Tabela 2. Tabela derivacija i pravila diferencijacije:

6.a .

(grijeh I) = cos I  I (cos u) = – sin I I

A potrebna nam je i sposobnost da pronađemo diferencijal funkcije. Podsjetimo da je diferencijal funkcije
pronađite po formuli
, tj. diferencijal funkcije jednak je proizvodu derivacije ove funkcije i diferencijala njenog argumenta. Korisno je imati na umu sljedeće poznate relacije:

Tabela 3. Tabela diferencijala

1. (b= Konst) 2. ( ) 3. 4. 5. (b= Konst) 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 14. 15. 16. 17.

Štaviše, možete koristiti ove formule, čitajući ih s lijeva na desno i s desna na lijevo.

Razmotrimo sukcesivno tri osnovne metode za izračunavanje integrala. Prvi se zove metoda direktne integracije. Zasniva se na upotrebi svojstava neodređenog integrala i uključuje dvije glavne tehnike: proširenje integrala u algebarski zbir jednostavnije i dovodeći pod znak diferencijala, a ove metode se mogu koristiti i samostalno iu kombinaciji.

ALI) Razmislite algebarska dekompozicija sume- ova tehnika uključuje korištenje identičnih transformacija integranda i linearnih svojstava neodređenog integrala:
i .

Primjer 1 Pronađite integrale:

ali)
; b)
;

u)
G)

e)
.

Rješenje.

ali)Transformiramo integrand dijeljenjem člana po članu brojioca sa nazivnikom:

Ovdje se koristi svojstvo stupnjeva:
.

b) Prvo transformiramo brojilac razlomka, a zatim podijelimo brojilac sa nazivnikom član po član:

Svojstvo stepeni se takođe koristi ovde:
.

Evo korištene imovine:
,
.

.

Ovdje se koriste formule 2 i 5 iz Tabele 1.

Primjer 2 Pronađite integrale:

ali)
; b)
;

u)
G)

e)
.

Rješenje.

ali)Transformiramo integrand koristeći trigonometrijski identitet:

.

Ovdje se ponovo koristi podjela brojila po član imenilac i formule 8 i 9 iz Tabele 1.

b) Slično transformiramo koristeći identitet
:

.

c) Prvo, podijelimo brojilac sa nazivnikom član po član i izvadimo konstante iz predznaka integrala, zatim koristimo trigonometrijski identitet
:

d) Primijenite formulu za snižavanje stepena:

,

e) Koristeći trigonometrijske identitete, transformiramo:

B) Razmotrimo tehniku ​​integracije, koja se zove str oduzimajući pod znakom diferencijala. Ova tehnika se zasniva na svojstvu invarijantnosti neodređenog integrala:

ako
, zatim za bilo koju diferencijabilnu funkciju I = I(X) se dešava:
.

Ovo svojstvo vam omogućava da značajno proširite tablicu najjednostavnijih integrala, budući da, na osnovu ovog svojstva, formule u Tabeli 1 vrijede ne samo za nezavisnu varijablu I, ali iu slučaju kada I je diferencijabilna funkcija neke druge varijable.

Na primjer,
, ali takođe
, And
, And
.

Or
I
, And
.

Suština metode je da se izdvoji diferencijal određene funkcije u datom integrandu tako da ovaj razlikovni diferencijal, zajedno sa ostatkom izraza, formira tabelarnu formulu za ovu funkciju. Ako je potrebno, konstante se mogu dodati na odgovarajući način za takvu konverziju. Na primjer:

(u posljednjem primjeru piše ln(3 + x 2) umjesto ln|3 + x 2 | , budući da je izraz 3 + x 2 je uvijek pozitivno).

Primjer 3 Pronađite integrale:

ali)
; b)
; u)
;

G)
; e)
; e)
;

g)
; h)
.

Rješenje.

ali) .

Ovdje se koriste formule 2a, 5a i 7a iz Tabele 1, od kojih se posljednje dvije dobivaju samo zamjenom pod diferencijalnim predznakom:

Integrirajte funkcije prikaza
javlja se vrlo često u izračunavanju integrala složenijih funkcija. Kako ne biste svaki put ponavljali gore opisane korake, preporučujemo da zapamtite odgovarajuće formule date u Tabeli 1.

.

Ovdje se koristi formula 3 iz Tabele 1.

c) Slično, uzimajući u obzir da , transformiramo:

.

Ovdje se koristi formula 2 u Tabeli 1.

G)

.

e) ;

e)

.

g);

h)

.

Primjer 4 Pronađite integrale:

ali)
b)

u)
.

Rješenje.

a) Hajde da transformišemo:

Formula 3 iz Tabele 1 se također koristi ovdje.

b) Koristite formulu redukcije
:

Ovdje se koriste formule 2a i 7a iz Tabele 1.

Ovdje se, uz formule 2 i 8 tabele 1, koriste i formule iz tabele 3:
,
.

Primjer 5 Pronađite integrale:

ali)
; b)

u)
; G)
.

Rješenje.

a) Rad
može se dopuniti (vidi formule 4 i 5 u Tabeli 3) na diferencijal funkcije
, gdje ali I b- bilo koje konstante,
. Zaista, gde
.

tada imamo:

.

b) Koristeći formulu 6 tabele 3, imamo
, kao i
, što znači da je prisutnost u integrandu proizvoda
znači nagoveštaj: ispod znaka diferencijala treba dodati izraz
. Dakle, dobijamo

c) Kao u stavu b), proizvod
može se dopuniti diferencijalu funkcije
. Tada dobijamo:

.

d) Prvo, koristimo svojstva linearnosti integrala:

Primjer 6 Pronađite integrale:

ali)
; b)
;

u)
; G)
.

Rješenje.

ali)S obzirom na to
(formula 9 tabele 3), transformišemo:

b) Koristeći formulu 12 iz tabele 3, dobijamo

c) Uzimajući u obzir formulu 11 tabele 3, vršimo transformaciju

d) Koristeći formulu 16 tabele 3, dobijamo:

.

Primjer 7 Pronađite integrale:

ali)
; b)
;

u)
; G)
.

Rješenje.

ali)Svi integrali prikazani u ovom primjeru imaju zajedničku osobinu: integrand sadrži kvadratni trinom. Stoga će se metoda izračunavanja ovih integrala zasnivati ​​na istoj transformaciji – odabiru punog kvadrata u ovom kvadratnom trinomu.

.

b)

.

u)

G)

Metoda sabiranja pod znakom diferencijala je usmena implementacija općenitije metode izračunavanja integrala, koja se zove metoda zamjene ili promjene varijable. Zaista, svaki put, birajući odgovarajuću formulu iz Tabele 1 za funkciju dobijenu kao rezultat dovođenja pod diferencijalni predznak, mentalno smo zamijenili slovom I funkcija pod diferencijalnim predznakom. Stoga, ako integracija podvođenjem pod znak diferencijala ne radi dobro, možete direktno napraviti promjenu varijable. Više o tome u sljedećem paragrafu.

Direktna integracija

Proračun neodređenih integrala pomoću tablice integrala i njihovih osnovnih svojstava se zove direktnu integraciju.

Primjer 1 Nađimo integral

.

Primenom drugog i petog svojstva neodređenog integrala dobijamo

.(*)

Zatim, koristeći formuleII, W,IV, VIIItabele i treće svojstvo integrala, nalazimo svaki od članova integrala posebno:

= ,

,

Ove rezultate zamjenjujemo u (*) i označavamo zbir svih konstanti(Z OD 1 +7OD 2 +4OD 3 +2OD 4 +OD 5) pismo OD, konačno dobijamo:

Provjerimo rezultat diferencijacijom. Pronađite izvod rezultujućeg izraza:

Dobili smo integrand, koji dokazuje da je integracija ispravna.

Primjer 2 . Hajde da nađemo

.

Tabela integrala pokazuje korolarIIIali iz formule III:

Da bismo koristili ovaj zaključak, nalazimo diferencijal funkcije u eksponentu:

Da biste napravili ovaj diferencijal, dovoljno je pomnožiti nazivnik razlomka ispod integrala brojem 2 (očigledno, da se razlomak ne bi promijenio, potrebno je pomnožiti sa 2 i brojilac). Nakon što se faktor konstante izvuče iz predznaka integrala, postaje spreman za primjenu tabelarne formuleIIIali:

.

pregled:

stoga je integracija ispravna.

Primjer 3 . Hajde da nađemo

Budući da se diferencijal kvadratne funkcije može konstruirati iz izraza u brojniku, u nazivniku treba razlikovati sljedeću funkciju:

.

Da stvori svoj diferencijal dovoljno je pomnožiti brojilac sa 4 (i imenilac množimo sa 4 i ovaj činilac nazivnika izvaditi iz integrala). Kao rezultat, moći ćemo koristiti tabelarnu formuluX:

pregled:

,

one. integracija je ispravna.

Primjer 4 . Hajde da nađemo

Imajte na umu da je sada kvadratna funkcija čiji je diferencijal može se kreirati u brojiocu, radikalan je izraz. Stoga bi bilo razumno napisati integrand kao funkciju stepena kako bi se koristila formulaIintegralne tablice:

pregled:

Zaključak: integral je pravilno pronađen.

Primjer 5. Hajde da nađemo

Imajte na umu da integrand sadrži

funkcija ; i njegov diferencijal. Ali razlomak je također diferencijal cijelog radikalnog izraza (do predznaka):

Stoga je razumno predstaviti razlomak u obliku stepeni:

Zatim nakon množenja brojnika i nazivnika sa (-1) dobijamo integral snage (tabelarna formulaI):

Razlikovanjem rezultata osiguravamo da je integracija izvedena ispravno.

Primjer 6 Hajde da nađemo

Lako je vidjeti da se u ovom integralu iz izraza ne može dobiti diferencijal radikalne funkcije pomoću numeričkih koeficijenata. stvarno,

,

gdje k -konstantno. Ali, iz iskustva primjer 3 , moguće je konstruisati integral koji se po formi poklapa sa formulomXiz tabele integrala:

Primjer 7. Hajde da nađemo

Obratimo pažnju na činjenicu da je u brojniku lako kreirati diferencijal kubične funkcijed(x 3 ) = 3 x 2 dx. Tada dobijamo priliku da koristimo tabelarnu formuluVI:

Primjer 8 Hajde da nađemo

Poznato je da je derivacija funkcije arc sin x je razlomak

onda

.

Ovo nas dovodi do zaključka da željeni integral ima oblik integrala stepena: , u kojemi = arc sin x, što znači

Primjer 9 . Za pronalaženje

koristite istu tabelu formula I i činjenica da

Get

Primjer 10 . Hajde da nađemo

Budući da je izraz diferencijal funkcije , onda, koristeći formulu I tabele integrala, dobijamo

Primjer 11. Da pronađemo integral

koristiti u nizu: trigonometrijska formula

,

činjenica da

i formula IIintegralne tablice:

Primjer 12 . Hajde da nađemo

.

Od izraza

je diferencijal funkcije , zatim koristeći istu formuluII, dobijamo

Primjer 13 . Nađimo integral

Imajte na umu da je stepen varijable u brojiocu za jedan manji nego u nazivniku. Ovo vam omogućava da kreirate diferencijal u brojiocuimenilac. Hajde da nađemo

.

Nakon što iz predznaka integrala izvadimo konstantni faktor, pomnožimo brojilac i imenilac integrala sa (-7), dobićemo:

(Ovdje smo koristili istu formuluIIiz tabele integrala).

Primjer 14 Nađimo integral

.

Predstavimo brojilac u drugom obliku: 1 + 2 X 2 = (1 + X 2 )+ x 2 i izvršimo podjelu po član, nakon čega koristimo peto svojstvo integrala i formuluI I VIII stolovi:

Primjer 15 Hajde da nađemo

Uzimamo konstantni faktor iz predznaka integrala, oduzimamo i dodajemo 5 u brojiocu, a zatim izvodimo dijeljenje brojila po član po nazivniku i koristimo peto svojstvo integrala:

Za izračunavanje prvog integrala koristimo treće svojstvo integrala, a drugi integral predstavljamo u obliku pogodnom za primjenu formuleIX:

Primjer 16 Hajde da nađemo

Imajte na umu da je eksponent varijable u brojiocu za jedan manji nego u nazivniku (što je tipično za izvod), što znači da se diferencijal imenioca može konstruisati u brojiocu. Nađimo diferencijal izraza u nazivniku:

d(x2- 5)=(X 2 - 5)" dx= 2 xdx .

Da bismo dobili diferencijal nazivnika u brojiocu, nema dovoljno konstantnog faktora 2. Pomnožimo i podijelimo integrand sa 2 i izvadimo konstantni faktor -

za integralni predznak

mi smo tu korištenoIItabelarni integral.

Razmotrite sličnu situaciju u sljedećem primjeru.

Primjer 17. Hajde da nađemo

.

Izračunajte razliku nazivnika:

.

Kreirajmo ga u brojiocu koristeći četvrto svojstvo integrala:

=

Složenija situacija će biti razmotrena u primjer 19.

Primjer 18, Hajde da nađemo

.

Biramo pun kvadrat u nazivniku:

Get

.

Nakon odabira punog kvadrata u nazivniku, dobili smo integral sličan formulamaVIII I IXtablicama integrala, ali u nazivniku formuleVIIIčlanovi punih kvadrata imaju iste predznake, a u nazivniku našeg integrala predznaci članova su različiti, iako se ne poklapaju sa predznacima devete formule. Postići potpunu podudarnost znakova članova u nazivniku sa predznacima u formuliIXuspijeva tako što se koeficijent (-1) izvadi iz integrala. Dakle, primijeniti formuluIXtabele integrala, izvršićemo sledeće aktivnosti:

1) izvaditi (-1) iz zagrada u nazivniku, a zatim iz integrala;

2) naći diferencijal izraza

3) kreirati pronađeni diferencijal u brojiocu;

4) predstavljaju broj 2 u obliku pogodnom za primenu formuleIX stolovi:

Onda

Koristeći IXformulu tabele integrala, dobijamo

Primjer 19. Hajde da nađemo

.

Koristeći iskustvo stečeno u pronalaženju integrala u prethodna dva primjera i rezultate dobijene u njima, imaćemo

.

Hajde da generalizujemo neko iskustvo dobijeno kao rezultat rešenja primjeri 17,18,19.

Dakle, ako imamo integral forme

(primjer 18 ), onda, isticanjem punog kvadrata u nazivniku, možete doći do jedne od tabelarnih formulaVIII ili IX.

Integral forme

(primjer 19 ) nakon kreiranja derivacije nazivnika u brojniku, on se razlaže u dva integrala: prvi je oblika

( primjer 17 ), formulaP, a drugi je oblika

(primjer 18 ), uzeti prema jednoj od formulaVIII ili IX.

Primjer 20 . Hajde da nađemo

.

Integral forme

mogu se svesti na oblik tabelarnih formulaX ili XI, naglašavajući puni kvadrat u radikalnom izrazu. IN naš slučaj

= .

Korijenski izraz ima oblik izraza

Isto se uvijek radi kada se računaju integrali oblika

,

ako je jedan od eksponenata pozitivan neparan broj, a drugi proizvoljan pravi broj (primjer 23 ).

Primjer 23 . Hajde da nađemo

Koristeći iskustvo iz prethodnog primjera i identitet

2 sin 2 φ \u003d l - cos 2 φ,2 cos 2 φ \u003d l + cos 2 φ

Zamjenom rezultujuće sume pod integral, dobijamo

Ne možemo uvijek izračunati antiderivativne funkcije, ali problem diferencijacije se može riješiti za bilo koju funkciju. Zbog toga ne postoji jedinstvena metoda integracije koja se može koristiti za bilo koju vrstu proračuna.

U okviru ovog materijala analiziraćemo primjere rješavanja problema vezanih za pronalaženje neodređenog integrala i vidjeti za koje vrste integrala je svaka metoda pogodna.

Metoda direktne integracije

Glavna metoda za izračunavanje antiderivativne funkcije je direktna integracija. Ova akcija se zasniva na svojstvima neodređenog integrala, a za proračun nam je potrebna tabela antiderivata. Druge metode mogu samo pomoći da se originalni integral dovede u tabelarni oblik.

Primjer 1

Izračunajte skup antiderivata funkcije f (x) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 .

Rješenje

Prvo, promijenimo oblik funkcije u f (x) = 2 x + 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3 .

Znamo da će integral zbira funkcija biti jednak zbiru ovih integrala, što znači:

∫ f (x) d x = ∫ 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3 d x = ∫ 3 2 5 x + 4 1 3 d x

Izvodimo numerički koeficijent izvan predznaka integrala:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 3 2 (5 x + 4) 1 3 d x = = ∫ 2 x d x + 2 3 ∫ (5 x + 4) 1 3 d x

Da bismo pronašli prvi integral, moraćemo da se pozovemo na tabelu antiderivata. Od toga uzimamo vrijednost ∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C 1

Da bismo pronašli drugi integral, potrebna nam je tabela antiderivata za funkciju stepena ∫ x p d x = x p + 1 p + 1 + C , kao i pravilo ∫ f k x + b d x = 1 k F (k x + b) + C .

Dakle, ∫ f (x) dx = ∫ 2 xdx + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 dx = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x log 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

dobili smo sljedeće:

∫ f (x) dx = ∫ 2 xdx + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 dx = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x log 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

gdje je C = C 1 + 3 2 C 2

odgovor:∫ f (x) d x = 2 x log 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Poseban članak smo posvetili direktnoj integraciji pomoću tabela antiderivata. Preporučujemo da ga pogledate.

Metoda zamjene

Takav metod integracije sastoji se u izražavanju integranda u terminima nove varijable koja je uvedena posebno za ovu svrhu. Kao rezultat, trebali bismo dobiti tabelarni oblik integrala ili samo manje složeni integral.

Ova metoda je vrlo korisna kada trebate integrirati funkcije s radikalima ili trigonometrijskim funkcijama.

Primjer 2

Izračunajte neodređeni integral ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Rješenje

Dodajmo još jednu varijablu z = 2 x - 9 . Sada moramo izraziti x u terminima z:

z 2 \u003d 2 x - 9 ⇒ x \u003d z 2 + 9 2 ⇒ d x \u003d d z 2 + 9 2 \u003d z 2 + 9 2 "d z = 1 2 z d z \u003d z d z

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9

Uzimamo tabelu antiderivata i saznajemo da je 2 ∫ d z z 2 + 9 = 2 3 a r c t g z 3 + C .

Sada se moramo vratiti na varijablu x i dobiti odgovor:

2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C

odgovor:∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Ako moramo integrirati funkcije sa iracionalnošću oblika x m (a + b x n) p , gdje su vrijednosti m , n , p racionalni brojevi, tada je važno pravilno sastaviti izraz za uvođenje nove varijable. Više o tome pročitajte u članku o integraciji iracionalne funkcije.

Kao što smo rekli gore, metoda zamjene je pogodna za korištenje kada želite integrirati trigonometrijska funkcija. Na primjer, koristeći univerzalnu zamjenu, možete dovesti izraz u frakciono racionalan oblik.

Ova metoda objašnjava pravilo integracije ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C .

Dodajemo još jednu varijablu z = k · x + b. Dobijamo sljedeće:

x = z k - b k ⇒ d x = d z k - b k = z k - b k "d z = d z k

Sada uzimamo rezultirajuće izraze i dodajemo ih integralu datom u uvjetu:

∫ f (k x + b) d x = ∫ f (z) d z k = 1 k ∫ f (z) d z = = 1 k F z + C 1 = F (z) k + C 1 k

Ako uzmemo C 1 k = C i vratimo se na originalnu varijablu x , onda ćemo dobiti:

F (z) k + C 1 k = 1 k F k x + b + C

Metoda sabiranja pod znakom diferencijala

Ova metoda se zasniva na transformaciji integranda u funkciju oblika f (g (x)) d (g (x)) . Nakon toga vršimo supstituciju, uvodeći novu varijablu z = g (x) , nalazimo njen antiderivat i vraćamo se na originalnu varijablu.

∫ f(g(x)) d(g(x)) = g(x) = z = ∫ f(z) d(z) == F(z) + C = z = g(x) = F( g(x)) + C

Da biste brže riješili probleme pomoću ove metode, držite pri ruci tablicu derivacija u obliku diferencijala i tablicu antiderivata kako biste pronašli izraz na koji će se integrand svesti.

Analizirajmo problem u kojem je potrebno izračunati skup antiderivata kotangens funkcije.

Primjer 3

Izračunati neodređeni integral ∫ c t g x d x .

Rješenje

Originalni izraz transformiramo pod integral koristeći osnovne trigonometrijske formule.

c t g x d x = cos s d x sin x

Gledamo tablicu derivacija i vidimo da se brojilac može dovesti pod znak diferencijala cos x d x = d (sin x), što znači:

c t g x d x \u003d cos x d x sin x = d sin x sin x, tj. ∫ c t g x d x = ∫ d sin x sin x .

Pretpostavimo da je sin x = z, u kom slučaju je ∫ d sin x sin x = ∫ d z z. Prema tabeli antiderivata, ∫ d z z = ln z + C . Sada se vratimo na originalnu varijablu ∫ d z z = ln z + C = ln sin x + C .

Cijelo rješenje se može napisati u kratkom obliku na sljedeći način:

∫ c t g x d x = ∫ cos x d x sin x = ∫ d sin x sin x = s i n x = t = = ∫ d t t = ln t + C = t = sin x = ln sin x + C

Odgovor: ∫ sa t g x d x = ln sin x + C

Metoda diferencijalnih znakova se vrlo često koristi u praksi, pa vam savjetujemo da pročitate poseban članak posvećen tome.

Metoda integracije po dijelovima

Ova metoda se zasniva na transformaciji integranda u proizvod oblika f (x) dx = u (x) v "xdx = u (x) d (v (x)) , nakon čega je formula ∫ u (x) d ( v (x)) \u003d u (x) v (x) - ∫ v (x) du (x) Ovo je vrlo zgodna i uobičajena metoda rješenja. Ponekad se djelomična integracija u jednom problemu mora primijeniti nekoliko puta prije nego što se dobije željeni rezultat.

Analizirajmo problem u kojem je potrebno izračunati skup antiderivata tangente luka.

Primjer 4

Izračunati neodređeni integral ∫ a r c t g (2 x) d x .

Rješenje

Recimo da je u (x) = a r c t g (2 x) , d (v (x)) = d x , u ovom slučaju:

d (u (x)) = u "(x) d x = a r c t g (2 x) " d x = 2 d x 1 + 4 x 2 v (x) = ∫ d (v (x)) = ∫ d x = x

Kada izračunavamo vrijednost funkcije v (x), ne treba dodati proizvoljnu konstantu C.

∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2

Rezultirajući integral se izračunava metodom zbrajanja pod predznakom diferencijala.

Pošto je ∫ arctan (2 x) dx = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = x arctan (2 x) - ∫ 2 xdx 1 + 4 x 2, onda je 2 xdx = 1 4 d (1 + 4 x 2) .

∫ arctg (2 x) dx = x arctg (2 x) - ∫ 2 xdx 1 + 4 x 2 = = x arctg (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C 1 = = x arctg (2 x ) - 1 4 log 1 + 4 x 2 + C

odgovor:∫ a r c t g (2 x) d x = x a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C .

Glavna poteškoća u primjeni takve metode je potreba da se izabere koji dio uzeti za diferencijal, a koji dio za funkciju u (x). U članku o načinu integracije po dijelovima dat je nekoliko savjeta o ovom pitanju koje biste trebali pročitati.

Ako trebamo pronaći skup antiderivata frakciono racionalne funkcije, onda prvo moramo predstaviti integrand kao zbir prostih razlomaka, a zatim integrirati rezultirajuće razlomke. Pogledajte članak o integraciji jednostavnih razlomaka za više detalja.

Ako integrišemo izraz stepena oblika sin 7 x d x ili d x (x 2 + a 2) 8 , tada će nam biti korisne rekurzivne formule koje mogu postepeno snižavati stepen. Izvedeni su korištenjem uzastopne višestruke integracije po dijelovima. Savjetujemo vam da pročitate članak „Integracija pomoću rekurentnih formula.

Hajde da sumiramo. Za rješavanje problema vrlo je važno poznavati metodu direktne integracije. Druge metode (dovođenje pod predznak diferencijala, zamjena, integracija po dijelovima) također omogućavaju pojednostavljenje integrala i dovođenje u tabelarni oblik.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter