Glavni integrali koje svaki učenik treba da zna
Navedeni integrali su osnova, osnova temelja. Ove formule, naravno, treba zapamtiti. Prilikom izračunavanja složenijih integrala, morat ćete ih stalno koristiti.
Obratite posebnu pažnju na formule (5), (7), (9), (12), (13), (17) i (19). Ne zaboravite da dodate proizvoljnu konstantu C odgovoru prilikom integracije!
Integral konstante
∫ A d x = A x + C (1)Integracija funkcije snage
Zapravo, moglo bi se ograničiti na formule (5) i (7), ali ostali integrali iz ove grupe su toliko uobičajeni da je vrijedno posvetiti im malo pažnje.
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)
Integrali eksponencijalne funkcije i hiperboličkih funkcija
Naravno, formula (8) (možda najpogodnija za pamćenje) može se smatrati posebnim slučajem formule (9). Formule (10) i (11) za integrale hiperboličkog sinusa i hiperboličkog kosinusa lako se izvode iz formule (8), ali je bolje zapamtiti ove odnose.
∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)
Osnovni integrali trigonometrijskih funkcija
Greška koju učenici često prave: brkaju znakove u formulama (12) i (13). Sjećajući se da je derivacija sinusa jednaka kosinusu, iz nekog razloga mnogi ljudi vjeruju da je integral sinx funkcije jednak cosx. Ovo nije istina! Integral sinusa je "minus kosinus", ali integral cosx je "samo sinus":
∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)
Integrali koji se svode na inverzne trigonometrijske funkcije
Formula (16), koja vodi do tangente luka, prirodno je poseban slučaj formule (17) za a=1. Slično, (18) je poseban slučaj (19).
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)
Složeniji integrali
Ove formule je također poželjno zapamtiti. Oni se također koriste prilično često, a njihov rezultat je prilično zamoran.
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)
Opća pravila integracije
1) Integral zbira dvije funkcije jednak je zbiru odgovarajućih integrala: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) Integral razlike dvije funkcije jednaka je razlici odgovarajući integrali: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) Konstanta se može izvaditi iz predznaka integrala: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
Lako je vidjeti da je svojstvo (26) jednostavno kombinacija svojstava (25) i (27).
4) Integral od složena funkcija, ako unutrašnja funkcija je linearan: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Ovdje je F(x) antiderivat za funkciju f(x). Imajte na umu da ova formula radi samo kada je unutrašnja funkcija Ax + B.
Važno: ne postoji univerzalna formula za integral proizvoda dvije funkcije, kao ni za integral razlomka:
∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (trideset)
To, naravno, ne znači da se razlomak ili proizvod ne može integrirati. Jednostavno, svaki put kada vidite integral poput (30), morate izmisliti način da se "borite" s njim. U nekim slučajevima će vam pomoći integracija po dijelovima, negdje ćete morati napraviti promjenu varijable, a ponekad čak i "školske" formule algebre ili trigonometrije mogu pomoći.
Jednostavan primjer za izračunavanje neodređenog integrala
Primjer 1. Pronađite integral: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d xKoristimo formule (25) i (26) (integral zbira ili razlike funkcija jednak je zbiru ili razlici odgovarajućih integrala. Dobijamo: ∫ 3 x 2 dx + ∫ 2 sin xdx − ∫ 7 exdx + ∫ 12 dx
Podsjetimo da se konstanta može izvaditi iz predznaka integrala (formula (27)). Izraz se pretvara u formu
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x
Sada koristimo samo tabelu osnovnih integrala. Trebat ćemo primijeniti formule (3), (12), (8) i (1). Integrirajmo funkciju stepena, sinus, eksponent i konstantu 1. Ne zaboravite dodati proizvoljnu konstantu C na kraju:
3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C
Nakon elementarnih transformacija, dobijamo konačan odgovor:
X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Testirajte se diferencijacijom: uzmite derivaciju rezultujuće funkcije i uvjerite se da je jednaka originalnom integralu.
Zbirna tabela integrala
| ∫ A d x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = log | x | + C |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) |
| ∫ e x d x = e x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sin x d x = − cos x + C |
| ∫ cos x d x = sin x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | + C |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + C |
| ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) |
| ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) |
| ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) |
Preuzmite tabelu integrala (II dio) sa ovog linka
Ako studirate na fakultetu, ako imate poteškoća sa višom matematikom ( matematička analiza, linearna algebra, teorija vjerovatnoće, statistika), ako su vam potrebne usluge kvalifikovanog nastavnika, idite na stranicu nastavnika više matematike. Hajde da zajedno rešimo vaše probleme!
Možda ćete biti zainteresirani
Na ovoj stranici ćete pronaći:
1. Zapravo, tabela antiderivata - može se preuzeti u PDF formatu i odštampati;
2. Video o tome kako koristiti ovu tabelu;
3. Gomila primjera izračunavanja antiderivata iz raznih udžbenika i testova.
U samom videu ćemo analizirati dosta problema u kojima je potrebno izračunati antiderivativne funkcije, često prilično složene, ali što je najvažnije, nisu po stepenu. Sve funkcije sažete u gore predloženoj tabeli moraju biti poznate napamet, poput izvedenica. Bez njih je nemoguće dalje proučavanje integrala i njihova primjena u rješavanju praktičnih problema.
Danas nastavljamo da se bavimo primitivima i prelazimo na malo složeniju temu. Ako smo prošli put razmatrali antiderivate samo iz funkcija stepena i nešto složenije strukture, danas ćemo analizirati trigonometriju i još mnogo toga.
Kao što sam rekao u prošloj lekciji, antiderivati se, za razliku od derivata, nikada ne rješavaju "prazno" korištenjem standardnih pravila. Štaviše, loša vijest je da, za razliku od derivata, antiderivat se možda uopće ne razmatra. Ako napišemo u potpunosti slučajna funkcija i pokušamo pronaći njegov izvod, onda ćemo uspjeti sa vrlo velikom vjerovatnoćom, ali antiderivat se u ovom slučaju gotovo nikada neće izračunati. Ali ima dobrih vijesti: postoji prilično velika klasa funkcija koje se nazivaju elementarne funkcije, čije je antiderivate vrlo lako izračunati. A svi ostali su više složene strukture, koji se daju na svim vrstama kontrolnih, samostalnih i ispita, zapravo, sastoje se od ovih elementarne funkcije kroz sabiranje, oduzimanje itd. jednostavne radnje. Antiderivati takvih funkcija odavno su izračunati i sažeti u posebne tabele. Upravo s takvim funkcijama i tablicama ćemo danas raditi.
Ali počet ćemo, kao i uvijek, s ponavljanjem: zapamtite šta je antideritiv, zašto ih ima beskonačan broj i kako odrediti njihov opći oblik. Da bih to učinio, uzeo sam dva jednostavna zadatka.
Rješavanje lakih primjera
Primjer #1
Odmah primijetite da je $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ i prisustvo $\text( )\!\!\pi\!\! \ text( )$ nam odmah nagovještava da je traženi antiderivat funkcije povezan s trigonometrijom. I zaista, ako pogledamo tabelu, otkrićemo da $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ nije ništa drugo nego $\text(arctg)x$. Pa da napišemo:
Da biste pronašli, morate napisati sljedeće:
\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]
Primjer #2
Ovdje je također riječ o trigonometrijske funkcije. Ako pogledamo tabelu, onda će, zaista, ispasti ovako:
Moramo pronaći među čitavim skupom antiderivata onaj koji prolazi kroz navedenu tačku:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]
Hajde da to konačno zapišemo:
To je tako jednostavno. Jedini problem je što da biste prebrojali antiderivate jednostavnih funkcija, morate naučiti tablicu antiderivata. Međutim, nakon što naučite tablicu izvedenica za vas, pretpostavljam da to neće biti problem.
Rješavanje problema koji sadrže eksponencijalnu funkciju
Započnimo pisanjem sljedećih formula:
\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
Pogledajmo kako sve ovo funkcionira u praksi.
Primjer #1
Ako pogledamo sadržaj zagrada, uočićemo da u tabeli antiderivata ne postoji izraz da je $((e)^(x))$ u kvadratu, pa se ovaj kvadrat mora otvoriti. Da bismo to učinili, koristimo skraćene formule za množenje:
Nađimo antiderivat za svaki od pojmova:
\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \desno))^(x))\to \frac(((\left(((e)^) (2)) \desno))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \desno))^(x))\to \frac(((\left(((e) )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]
A sada skupljamo sve pojmove u jedan izraz i dobijamo zajednički antiderivat:
Primjer #2
Ovaj put je eksponent već veći, pa će skraćena formula za množenje biti prilično komplikovana. Proširimo zagrade:
Pokušajmo sada uzeti antiderivat naše formule iz ove konstrukcije:
Kao što vidite, nema ničeg kompliciranog i natprirodnog u antiderivacijama eksponencijalne funkcije. Sve se izračunava kroz tabele, međutim, pažljivi učenici će sigurno primijetiti da je antiderivat $((e)^(2x))$ mnogo bliži samo $((e)^(x))$ nego $((a) )^(x ))$. Dakle, možda postoji neko posebno pravilo koje dozvoljava, poznavajući antiderivativ $((e)^(x))$, da pronađemo $((e)^(2x))$? Da, postoji takvo pravilo. I, štaviše, sastavni je dio rada s tablicom antiderivata. Sada ćemo ga analizirati koristeći iste izraze s kojima smo upravo radili kao primjer.
Pravila za rad sa tabelom antiderivata
Prepišimo našu funkciju:
U prethodnom slučaju koristili smo sljedeću formulu za rješavanje:
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]
Ali sada uradimo to malo drugačije: zapamtite na osnovu čega $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Kao što je već rečeno, jer izvod od $((e)^(x))$ nije ništa drugo nego $((e)^(x))$, tako će njegov antiderivat biti jednak istom $((e) ^( x))$. Ali problem je što imamo $((e)^(2x))$ i $((e)^(-2x))$. Pokušajmo sada pronaći izvod $((e)^(2x))$:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
Prepišimo ponovo našu konstrukciju:
\[((\left(((e)^(2x)) \desno))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \desno))^(\prime ))\]
A to znači da kada pronađemo antiderivat $((e)^(2x))$, dobijamo sljedeće:
\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]
Kao što vidite, dobili smo isti rezultat kao i prije, ali nismo koristili formulu da pronađemo $((a)^(x))$. Ovo može izgledati glupo: zašto komplicirati proračune kada postoji standardna formula? Međutim, u malo više složeni izrazi videćete da je ova tehnika veoma efikasna, tj. koristeći derivate za pronalaženje antiderivata.
Hajde da, kao zagrijavanje, pronađemo antiderivat od $((e)^(2x))$ na sličan način:
\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]
Prilikom izračuna, naša konstrukcija će biti napisana na sljedeći način:
\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
Dobili smo potpuno isti rezultat, ali smo krenuli drugim putem. Upravo će ovaj način, koji nam se sada čini malo komplikovanijim, u budućnosti biti efikasniji za izračunavanje složenijih antiderivata i korištenje tabela.
Bilješka! Ovo je vrlo važna stvar: antiderivati, kao i derivati, mogu se smatrati skupom razne načine. Međutim, ako su svi proračuni i proračuni jednaki, onda će odgovor biti isti. Upravo smo se u to uvjerili na primjeru $((e)^(-2x))$ - s jedne strane, ovaj antiderivativ smo izračunali "u cijelosti", koristeći definiciju i izračunavajući ga uz pomoć transformacija, na s druge strane, zapamtili smo da se $ ((e)^(-2x))$ može predstaviti kao $((\left(((e)^(-2)) \desno))^(x))$, a zatim koristite antiderivativ za funkciju $( (a)^(x))$. Međutim, nakon svih transformacija, rezultat je isti kao što se očekivalo.
A sada kada sve ovo razumijemo, vrijeme je da pređemo na nešto značajnije. Sada ćemo analizirati dvije jednostavne konstrukcije, međutim, tehnika koja će biti postavljena prilikom njihovog rješavanja je moćniji i korisniji alat od jednostavnog „trčanja“ između susjednih antiderivata iz tabele.
Rješavanje problema: pronaći antiderivat funkcije
Primjer #1
Dajte iznos koji se nalazi u brojiocima, razložite na tri odvojena razlomka:
Ovo je prilično prirodna i razumljiva tranzicija - većina učenika nema problema s tim. Prepišimo naš izraz na sljedeći način:
Sada se prisjetimo ove formule:
U našem slučaju dobićemo sledeće:
Da biste se riješili svih ovih trokatnih frakcija, predlažem da učinite sljedeće:
Primjer #2
Za razliku od prethodnog razlomka, nazivnik nije proizvod, već zbir. U ovom slučaju više ne možemo dijeliti naš razlomak zbirom nekoliko jednostavnih razlomaka, ali moramo nekako pokušati osigurati da brojnik sadrži približno isti izraz kao i nazivnik. U ovom slučaju, to je prilično lako učiniti:
Takva notacija, koja se na jeziku matematike zove "dodavanje nule", omogućit će nam da ponovo podijelimo razlomak na dva dijela:
Hajde sada da pronađemo ono što smo tražili:
To su sve kalkulacije. Uprkos očigledno većoj složenosti nego u prethodnom problemu, količina proračuna se pokazala još manjom.
Nijanse rješenja
I tu leži glavna poteškoća u radu sa tabelarnim primitivima, to je posebno uočljivo u drugom zadatku. Činjenica je da da bismo odabrali neke elemente koji se lako broje kroz tabelu, moramo znati šta tačno tražimo, a upravo u potrazi za tim elementima sastoji se čitavo izračunavanje antiderivata.
Drugim rečima, nije dovoljno samo zapamtiti tabelu antiderivata – potrebno je da vidite nešto čega još nema, već šta je mislio autor i sastavljač ovog problema. Zbog toga se mnogi matematičari, nastavnici i profesori neprestano raspravljaju: "Šta je uzimanje antiderivata ili integracija - da li je to samo alat ili je prava umjetnost?" Zapravo, po mom ličnom mišljenju, integracija i nije umjetnost – u njoj nema ničeg uzvišenog, to je samo vježba i opet praksa. A da vježbamo, riješimo još tri ozbiljnija primjera.
Praksa integracije u praksi
Zadatak #1
Napišimo sljedeće formule:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\do \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]
Hajde da napišemo sledeće:
Zadatak #2
Prepišimo to na sljedeći način:
Ukupni antiderivat će biti jednak:
Zadatak #3
Složenost ovog zadatka leži u činjenici da, za razliku od prethodnih funkcija, iznad ne postoji varijabla $x$, tj. nije nam jasno šta dodati, oduzeti da bismo dobili bar nešto slično ovome ispod. Međutim, u stvari, ovaj izraz se smatra čak jednostavnijim od bilo kojeg izraza iz prethodnih konstrukcija, jer ovu funkciju može se prepisati ovako:
Sada možete pitati: zašto su ove funkcije jednake? hajde da proverimo:
Hajde da ponovo napišemo:
Hajde da malo promenimo izraz:
I kad sve ovo objasnim svojim studentima, skoro uvijek se javlja isti problem: sa prvom funkcijom je sve manje-više jasno, sa drugom možete i srećom ili vježbom odgonetnuti, ali kakva alternativna svijest da trebate imati da biste riješili treći primjer? Zapravo, nemoj se plašiti. Tehnika koju smo koristili pri izračunavanju posljednjeg antiderivata zove se „dekomponiranje funkcije na najjednostavniju“, a ovo je vrlo ozbiljna tehnika, kojoj će biti posvećena posebna video lekcija.
U međuvremenu, predlažem da se vratimo na ono što smo upravo proučavali, naime, na eksponencijalne funkcije i donekle zakompliciramo zadatke njihovim sadržajem.
Složeniji problemi za rješavanje antiderivativnih eksponencijalnih funkcija
Zadatak #1
Obratite pažnju na sljedeće:
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \desno))^(x))=((10)^(x) )\]
Da biste pronašli antiderivat ovog izraza, jednostavno koristite standardnu formulu $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.
U našem slučaju, primitiv će biti ovakav:
Naravno, na pozadini konstrukcije koju smo upravo riješili, ova izgleda jednostavnije.
Zadatak #2
Opet, lako je vidjeti da je ovu funkciju lako podijeliti na dva odvojena pojma - dva odvojena razlomka. Prepišimo:
Ostaje da pronađemo antiderivat svakog od ovih pojmova prema gornjoj formuli:
Uprkos naizgled složenosti eksponencijalne funkcije u poređenju sa energetskim, ukupna količina proračuna i proračuna se pokazala mnogo jednostavnijom.
Naravno, za upućene studente, ono čime smo se upravo bavili (posebno na pozadini onoga čime smo se ranije bavili) može izgledati elementarni izrazi. Međutim, birajući ova dva zadatka za današnji video tutorijal, nisam si postavio za cilj da vam kažem još jedan složen i otmjen trik - sve što sam želio da vam pokažem je da se ne trebate bojati koristiti standardne algebarske trikove za transformaciju originalnih funkcija .
Koristeći "tajnu" tehniku
U zaključku bih želeo da analiziram još jednu zanimljivu tehniku, koja, s jedne strane, prevazilazi ono što smo danas uglavnom analizirali, ali, s druge strane, nije, kao prvo, nimalo komplikovana, tj. čak i studenti početnici ga mogu savladati, i, drugo, prilično se često nalazi na svim vrstama upravljanja i samostalan rad, tj. poznavanje toga će biti vrlo korisno pored poznavanja tabele antiderivata.
Zadatak #1
Očigledno, imamo nešto vrlo slično funkciji snage. Kako da postupimo u ovom slučaju? Razmislimo o tome: $x-5$ se ne razlikuje od $x$ ne toliko - samo je dodao $-5$. Hajde da to napišemo ovako:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
Pokušajmo pronaći derivat $((\left(x-5 \right))^(5))$:
\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]
Ovo implicira:
\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ desno))^(\prime ))\]
Ne postoji takva vrijednost u tabeli, pa smo sada sami izveli ovu formulu, koristeći standardnu antiderivativnu formulu za funkciju stepena. Napišimo odgovor ovako:
Zadatak #2
Mnogim studentima koji pogledaju prvo rješenje može se učiniti da je sve vrlo jednostavno: dovoljno je zamijeniti $x$ u funkciji stepena linearnim izrazom i sve će doći na svoje mjesto. Nažalost, nije sve tako jednostavno, a sada ćemo to vidjeti.
Po analogiji s prvim izrazom, pišemo sljedeće:
\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\lijevo(4-3x \desno))^(\prime ))=\]
\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]
Vraćajući se na našu izvedenicu, možemo napisati:
\[((\left((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]
\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \desno))^(\prime ))\]
Odavde odmah slijedi:
Nijanse rješenja
Imajte na umu: ako se zadnji put ništa suštinski nije promijenilo, onda se u drugom slučaju pojavilo $-30$ umjesto $-10$. Koja je razlika između $-10$ i $-30$? Očigledno, faktorom od $-3$. Pitanje: odakle je došlo? Ako pažljivo pogledate, možete vidjeti da je uzet kao rezultat izračunavanja derivata kompleksne funkcije - koeficijent koji je iznosio $x$ pojavljuje se u antiderivatu ispod. Ovo je vrlo važno pravilo, koje u početku uopće nisam planirao analizirati u današnjem video tutorijalu, ali bez njega prikaz tabelarnih antiderivata ne bi bio potpun.
Pa hajde da to uradimo ponovo. Neka bude naša glavna funkcija snage:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
A sada umjesto $x$ zamijenimo izraz $kx+b$. Šta će se tada dogoditi? Moramo pronaći sljedeće:
\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1) \desno)\cdot k)\]
Na osnovu čega to tvrdimo? Veoma jednostavno. Nađimo derivat gore napisane konstrukcije:
\[((\left(\frac((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\lijevo(kx+b \desno))^(n))\]
Ovo je isti izraz koji je bio izvorno. Dakle, i ova formula je tačna i može se koristiti za dopunu tabele antiderivata, ali je bolje zapamtiti celu tabelu.
Zaključci iz "tajne: prijema:
- Obje funkcije koje smo upravo razmatrali, zapravo, mogu se svesti na antiderivate naznačene u tabeli otvaranjem stepeni, ali ako možemo više-manje nekako izaći na kraj sa četvrtim stepenom, onda deveti stepen uopšte ne bih radio. usudio otkriti.
- Kada bismo otkrili stepene, onda bismo dobili toliki obim proračuna da bi nas jednostavan zadatak odveo neadekvatno veliki broj vrijeme.
- Zato takve zadatke, unutar kojih se nalaze linearni izrazi, ne treba rješavati "prazno". Čim sretnete antideritiv, koji se od onog u tabeli razlikuje samo po prisustvu izraza $kx+b$ unutra, odmah se setite formule napisane iznad, zamenite je u svoj tabelarni antideritiv i sve će ispasti mnogo brže i lakše.
Naravno, zbog složenosti i ozbiljnosti ove tehnike, više puta ćemo se vraćati na njeno razmatranje u budućim video tutorijalima, ali za danas imam sve. Nadam se da će ova lekcija zaista pomoći onim učenicima koji žele razumjeti antiderivate i integraciju.
Pozdrav još jednom, prijatelji!
Kao što sam obećao, od ove lekcije počet ćemo surfati beskrajnim prostranstvima poetskog svijeta integrala i početi rješavati široku paletu (ponekad vrlo lijepih) primjera. :)
Da bismo se kompetentno kretali kroz čitavu integralnu raznolikost i ne bismo se izgubili, potrebne su nam samo četiri stvari:
1) Tabela integrala. Svi detalji o njoj . Kako tačno raditi s njom - u ovome.
2) Svojstva linearnosti neodređenog integrala (integral zbira/razlike i proizvoda konstantom).
3) Tabela derivata i pravila diferencijacije.
Da, nemojte se iznenaditi! Bez mogućnosti brojanja izvedenica, nema apsolutno ništa za uhvatiti u integraciji. Slažem se, nema smisla, na primjer, učiti dijeljenje bez znanja kako se množi. :) I vrlo brzo ćete vidjeti da bez savršene vještine diferenciranja ne možete izračunati nijedan ozbiljan integral koji izlazi iz okvira elementarnih tabelarnih.
4) Metode integracije.
Ima ih jako, jako puno. Za određenu klasu funkcija - svoje. Ali među svom njihovom bogatom raznolikošću izdvajaju se tri osnovne:
– ,
– ,
– .
O svakom od njih - u zasebnim lekcijama.
I sada, konačno, krenimo s rješavanjem dugo očekivanih primjera. Da ne bih skakao iz odeljka u deo, dupliraću još jednom ceo džentlmenski set, što će nam koristiti za dalji rad. Držite sve alate pri ruci.)
Prije svega, ovo tabela integrala:
Osim toga, potrebna su nam osnovna svojstva neodređenog integrala (svojstva linearnosti):
Pa, potrebna oprema je pripremljena. Vreme je da krenemo! :)
Direktna primjena stola
U ovom odjeljku će se razmotriti najjednostavniji i bezopasni primjeri. Algoritam ovdje je jednostavan za užas:
1) Gledamo u tabelu i tražimo željenu formulu (formule);
2) Primijeniti svojstva linearnosti (gdje je potrebno);
3) Transformaciju vršimo prema tabelarnim formulama i dodamo konstantu na kraju OD (ne zaboravi!) ;
4) Zapišite odgovor.
Pa idemo.)
Primjer 1
Ne postoji takva funkcija u našoj tabeli. Ali postoji integral funkcije moći u opšti pogled(druga grupa). U našem slučaju n=5. Zato zamjenjujemo pet umjesto n i pažljivo izračunavamo rezultat:
Spreman. :)
Naravno, ovaj primjer je prilično primitivan. Čisto za upoznavanje.) Ali sposobnost integracije stepena olakšava izračunavanje integrala iz bilo kojih polinoma i drugih struktura moći.
Primjer 2
Pod integralnim zbrojem. Pa, ok. Za ovaj slučaj imamo svojstva linearnosti. :) Naš integral podijelimo na tri odvojena, izvadimo sve konstante iz predznaka integrala i prebrojimo svaku prema tabeli (grupa 1-2):
Napomena: konstantno OD pojavljuje se baš u trenutku kada SVI znaci integrala nestaju! Naravno, nakon toga ga morate stalno nositi sa sobom. Pa šta da se radi…
Naravno, obično nije potrebno slikati tako detaljno. Ovo je čisto za razumevanje. Da shvatim poentu.)
Na primjer, vrlo brzo, bez mnogo oklijevanja, mentalno ćete dati odgovor čudovištima poput:
Polinomi su najslobodnije funkcije u integralima.) I u difuzijama, u fizici, u čvrstoći materijala i drugim ozbiljnim disciplinama, polinomi će se morati stalno integrirati. Naviknuti se na nešto.)
Sljedeći primjer će biti malo složeniji.
Primjer 3
Nadam se da svi razumiju da se naš integrand može napisati ovako:
Integrand je odvojen, a množitelj dx (ikona diferencijala)- odvojeno.
komentar: u ovoj lekciji množitelj dx u procesu integracije do ne ucestvuje ni na koji nacin, a mi ga za sada mentalno "zakucavamo". :) Radimo samo sa integrand. Ali ne zaboravimo na njega. Vrlo brzo, bukvalno u sljedećoj lekciji posvećenoj, prisjetit ćemo se njega. I osjetit ćemo važnost i moć ove ikone u punoj snazi!)
U međuvremenu, naš je pogled okrenut ka funkciji integranda
Ne liči baš na funkciju napajanja, ali to je to. :) Ako se prisjetimo školskih svojstava korijena i stupnjeva, onda je sasvim moguće transformirati našu funkciju:
A x na stepen minus dvije trećine je već funkcija tablice! Druga grupa n=-2/3. A konstanta 1/2 nam nije prepreka. Uzimamo ga van, izvan predznaka integrala, i direktno prema formuli koju smatramo:
U ovom primjeru nam je pomoglo elementarna svojstva stepeni. I tako bi to trebalo učiniti u većini slučajeva, kada se ispod integrala nalaze pojedinačni korijeni ili razlomci. Dakle, par praktični saveti kada se integrišu strukture moći:
Zamjenjujemo razlomke potencijama s negativnim eksponentima;
Zamjenjujemo korijene potencijama s razlomačnim eksponentima.
Ali u konačnom odgovoru, prijelaz sa stupnjeva natrag na razlomke i korijene je stvar ukusa. Lično se vraćam - estetski je ugodnije, ili tako nešto.
I molim vas, pažljivo prebrojite sve razlomke! Pažljivo pratimo znakove i šta ide kamo - koji je brojilac, a koji imenilac.
Šta? Umorni ste od već dosadnih funkcija napajanja? U redu! Uzimamo bika za rogove!
Primjer 4
Ako sada sve pod integralom svedemo na zajednički nazivnik, onda se možemo ozbiljno i dugo zaglaviti na ovom primjeru.) Ali, pažljivije gledajući integrand, možemo vidjeti da se naša razlika sastoji od dvije tabelarne funkcije. Dakle, nemojmo izopačiti, već umjesto toga proširimo naš integral na dva:
Prvi integral je obična funkcija stepena, (2. grupa, n=-1): 1/x = x -1 .
Naša tradicionalna formula za antiderivativnu funkciju moći
Ne radi ovdje, ali za nas n=-1 postoji dostojna alternativa - formula sa prirodnim logaritmom. Ovaj:
Zatim, prema ovoj formuli, prvi razlomak će biti integriran na sljedeći način:
I drugi razlomak također stolna funkcija! Naučio? Da! Ovo sedmi formula sa "visokim" logaritmom:
Konstanta "a" u ovoj formuli je jednaka dva: a=2.
Važna napomena: Obratite pažnju na konstantuOD sa srednjom integracijom I nigde Ne pripisujem! Zašto? Jer će ona ići do konačnog odgovora cijeli primjer. Ovo je sasvim dovoljno.) Strogo govoreći, konstanta se mora napisati nakon svake pojedinačne integracije, bilo srednje ili konačne: dakle neodređeni integral zahteva...)
Na primjer, nakon prve integracije, morao bih napisati:
Nakon druge integracije:
Ali cijela poenta je da je zbir/razlika proizvoljnih konstanti takođe neka konstanta! U našem slučaju, za konačni odgovor, potreban nam je prvi integral oduzimati sekunda. Onda ćemo uspjeti razlika dvije međukonstante:
C 1 -C 2
I imamo puno pravo da zamijenimo ovu razliku konstanti jedna konstanta! I samo ga preimenujte slovom "C" koje nam je poznato. Volim ovo:
C 1 -C 2 \u003d C
Dakle, ovu istu konstantu pripisujemo OD do konačnog rezultata i dobiti odgovor:
Da, oni su razlomci! Višespratni logaritmi kada su integrisani su najčešća stvar. I mi se naviknemo.)
Zapamtite:
Uz međuintegraciju nekoliko pojmova, konstanta OD iza svakog od njih ne možete pisati. Dovoljno je to uključiti u konačni odgovor cijelog primjera. Na kraju.
Sljedeći primjer je također sa razlomkom. Za zagrevanje.)
Primjer 5
U tabeli, naravno, nema takve funkcije. Ali postoji slično funkcija:
Ovo je najnovije osmo formula. Sa arktangentom. :)
Ovaj:
I sam Bog nam je naredio da svoj integral prilagodimo ovoj formuli! Ali postoji jedan problem: u tabličnoj formuli prije x 2 nema koeficijenta, ali imamo devetku. Još ne možemo direktno koristiti formulu. Ali u našem slučaju problem je potpuno rješiv. Hajde da prvo izvadimo ovu devetku iz zagrada, a onda ćemo je generalno izvaditi iz granica našeg razlomka.)
A novi razlomak je tabelarna funkcija koja nam je potrebna na broju 8! Evo a 2 \u003d 4/9. Or a=2/3.
Sve. Iz predznaka integrala uzimamo 1/9 i koristimo osmu formulu:
Evo odgovora. Ovaj primjer, s koeficijentom prije x 2, ja sam to tako izabrao. Da bude jasno šta učiniti u takvim slučajevima. :) Ako prije x 2 nema koeficijenta, onda će i takvi razlomci biti integrisani u umu.
Na primjer:
Evo a 2 = 5, tako da bi samo "a" bilo "koren od pet". Generalno, razumete.)
A sada ćemo malo modificirati našu funkciju: nazivnik ćemo napisati ispod korijena.) Sada ćemo uzeti takav integral:
Primjer 6
Imenilac ima korijen. Naravno, i odgovarajuća formula za integraciju se promijenila, da.) Opet se penjemo u tabelu i tražimo pravu. Imamo korijene u formulama 5. i 6. grupe. Ali u šestoj grupi razlika je samo ispod korena. I imamo sumu. Tako da radimo na tome peta formula, sa "dugim" logaritmom:
Broj ALI imamo pet. Zamijenite u formuli i dobijete:
I sve stvari. Ovo je odgovor. Da, da, tako je jednostavno!
Ako se uvuku sumnje, tada je uvijek moguće (i potrebno) provjeriti rezultat obrnutom diferencijacijom. Hajde da proverimo? I onda odjednom, neka vrsta sranja?
Razlikujemo (ne obraćamo pažnju na modul i doživljavamo ga kao obične zagrade):
Sve je pošteno. :)
Usput, ako u integrandu ispod korijena promijenimo znak iz plusa u minus, tada će formula za integraciju ostati ista. Nije slučajno da se u tabeli ispod korena nalazi plus/minus. :)
Na primjer:
Bitan! U slučaju minusa prvo mjesto ispod korijena treba biti tačno x 2, i dalje sekunda – broj. Ako je ispod korijena sve suprotno, tada će odgovarajuća tablična formula već biti drugo!
Primjer 7
Pod korijenom opet minus, ali x 2 sa pet promenjenih mesta. Izgleda slično, ali nije isto... Naša tabela također ima formulu za ovaj slučaj.) Formula broj šest, još nismo radili s njom:
A sada - pažljivo. U prethodnom primjeru, naših pet je djelovalo kao broj A . Ovdje će pet djelovati kao broj i 2!
Stoga, za ispravnu primjenu formule, ne zaboravite uzeti korijen od pet:
I sada je primjer riješen u jednom koraku. :)
To je to! Samo su termini pod korijenom promijenili mjesta, a rezultat integracije se značajno promijenio! Logaritam i arcsin... pa molim nemojte brkati ove dvije formule! Iako su integrali vrlo slični...
Bonus:
U tabelarnim formulama 7-8 postoje koeficijenti ispred logaritma i tangenta luka 1/(2a) I 1/a respektivno. A u alarmantnoj borbenoj situaciji, kada pišu ove formule, čak se i štreberi prekaljeni studijama često zbune gdje 1/a, I gdje 1/(2a). Evo jednostavnog trika koji treba da zapamtite.
U formuli broj 7
Imenilac integranda je razlika kvadrata x 2 - a 2. Koja se, prema strašnoj školskoj formuli, razlaže kao (x-a)(x+a). Na dva multiplikator. Ključna riječ - dva. I ove dva kada se integriše, zagrade idu u logaritam: sa minusom gore, sa plusom - dole.) I koeficijent ispred logaritma je takođe 1/( 2 ali).
Ali u formuli broj 8
Imenilac razlomka je zbir kvadrata. Ali zbir kvadrata x2 +a2 neraskidivo na jednostavnije faktore. Dakle, šta god neko rekao, to će ostati u nazivniku jedan faktor. I koeficijent ispred tangente luka će također biti 1/a.
A sada, za promenu, hajde da integrišemo nešto iz trigonometrije.)
Primjer 8
Primjer je jednostavan. Toliko jednostavno da ljudi, čak i ne pogledavši u tabelu, odmah radosno napišu odgovor i ... stigli su. :)
Pratimo znakove! Ovo je najčešća greška pri integraciji sinusa/kosinusa. Nemojte brkati sa derivatima!
da, (grijeh x)" = cos x I (cos x)’ = - grijeh x.
Ali!
Budući da ljudi obično pamte u najmanju ruku izvedenice, kako se ne bi zbunili u znakovima, tehnika pamćenja integrala ovdje je vrlo jednostavna:
Integral od sinusa/kosinusa = oduzeti derivat istog sinusa/kosinusa.
Na primjer, iz škole znamo da je derivacija sinusa jednaka kosinsu:
(grijeh x)" = cos x.
Onda za integralni iz istog sinusa bit će istinito:
I to je to.) Sa kosinusom ista stvar.
Popravimo naš primjer:
preliminarni elementarne transformacije integrand
Do sada je bilo najjednostavnijih primjera. Da steknete osjećaj kako tablica funkcionira i da ne pogriješite u odabiru formule.)
Naravno, uradili smo neke jednostavne transformacije – izvadili smo faktore, razbili ih u termine. Ali odgovor je još uvijek ležao na površini, na ovaj ili onaj način.) Međutim... Ako bi izračunavanje integrala bilo ograničeno samo na direktnu upotrebu tablice, tada bi bilo potpuno besplatno i život bi postao dosadan.)
Pogledajmo sada solidnije primjere. Oni gdje direktno, izgleda, ništa nije odlučeno. Ali vrijedi zapamtiti doslovno nekoliko osnovnoškolskih formula ili transformacija, jer put do odgovora postaje jednostavan i razumljiv. :)
Primjena trigonometrijskih formula
Nastavimo da se zabavljamo sa trigonometrijom.
Primjer 9
Ne postoji takva funkcija u tabeli. Ali unutra školske trigonometrije postoji ovaj malo poznati identitet:
Sada izražavamo kvadrat tangente koja nam je potrebna iz njega i ubacujemo ga ispod integrala:
Zašto se to radi? A onda, da će se naš integral nakon takve transformacije svesti na dva tabelarna i uzeti u obzir!
vidi:
Sada analizirajmo naše postupke. Na prvi pogled sve izgleda jednostavno. Ali razmislimo o ovome. Kad bismo imali zadatak razlikovati istu funkciju, onda bismo upravo tačno znao šta treba da uradi – da se prijavi formula derivat kompleksne funkcije:
I to je to. Jednostavna tehnologija bez problema. Uvek radi i garantovano će dovesti do uspeha.
Ali šta je sa integralom? I ovdje smo morali kopati po trigonometriji, iskopati neku nejasnu formulu u nadi da će nam nekako pomoći da se izvučemo i svedemo integral na tabelarni. I nije činjenica da bi nam to pomoglo, uopće nije činjenica... Zato je integracija kreativniji proces od diferencijacije. Umjetnost, čak bih rekao. :) A ovo nije najvise složen primjer. To je samo početak!
Primjer 10
Šta inspiriše? Tablica integrala je i dalje nemoćna, da. Ali, ako ponovo pogledate u našu riznicu trigonometrijske formule, onda možete iskopati vrlo, vrlo korisno formula dvostrukog ugla kosinusa:
Dakle, ovu formulu primjenjujemo na naš integrand. U ulozi "alfe" imamo x/2.
Dobijamo:
Efekat je neverovatan, zar ne?
Ova dva primjera jasno pokazuju da je prethodna transformacija funkcije prije integracije sasvim prihvatljivo i ponekad uvelike olakšava život! A u integraciji je ovaj postupak (transformacija integranda) za red veličine opravdaniji nego u diferencijaciji. Videćete kasnije.)
Pogledajmo još nekoliko tipičnih transformacija.
Formule skraćenog množenja, proširenje zagrada, smanjenje lajkova i metoda dijeljenja termina.
Uobičajene banalne školske transformacije. Ali ponekad samo oni štede, da.)
Primjer 11
Ako uzmemo u obzir derivat, onda nema problema: formula za izvod proizvoda i - naprijed. Ali standardna formula za integralni iz rada ne postoji. I jedini izlaz ovdje je otvoriti sve zagrade tako da se dobije polinom ispod integrala. I nekako ćemo integrirati polinom.) Ali također ćemo mudro otvoriti zagrade: formule za skraćeno množenje su moćna stvar!
(x 2 - 1) 2 (x 2 + 1) 2 = ((x 2 - 1)(x 2 + 1)) 2 = ((x 2) 2 - 1 2) 2 = (x 4 - 1) 2 = x 8 - 2x 4 + 1
A sada razmatramo:
I sve stvari.)
Primjer 12
Opet, standardna formula za integral frakcije ne postoji. Međutim, nazivnik integranda sadrži lonely x. Ovo radikalno mijenja situaciju.) Podijelimo brojilac sa nazivnikom član po član, svodeći naš strašni razlomak na bezopasan zbir tabelarnih funkcija stepena:
Neću posebno komentirati proceduru integracije diploma: oni više nisu mali.)
Integriramo zbir funkcija moći. Po tanjiru.)
To je sve.) Usput, da imenilac nije x, ali, recimo, x+1, Volim ovo:
Onda ovaj trik sa podjelom po članu ne bi prošao tako lako. To je zbog prisustva korijena u brojniku i jedan u nazivniku. Morao bih da se otarasim korena. Ali takvi integrali su mnogo komplikovaniji. O njima - u drugim lekcijama.
Vidite! Treba samo malo modificirati funkciju - pristup njenoj integraciji se odmah mijenja. Ponekad dramatično!) Ne postoji jasna standardna shema. Svaka funkcija ima svoj pristup. Ponekad čak i jedinstven.
U nekim slučajevima, konverzije u razlomcima su još teže.
Primjer 13
I ovdje, kako se integral svesti na skup tabelarnih? Ovdje možete spretno izbjeći dodavanjem i oduzimanjem izraza x2 u brojniku razlomka iza kojeg slijedi podjela člana. Veoma vješt prijem u integralima! Gledajte majstorsku klasu! :)
A sada, ako originalni razlomak zamijenimo razlikom dva razlomka, onda se naš integral raspada na dva tabelarna - već poznatu funkciju stepena i tangens luka (formula 8):
Pa, šta da kažem? Vau!
Ovaj trik sa brojačem sa sabiranjem/oduzimanjem je vrlo popularan u integraciji racionalnih razlomaka. Veoma! Preporučujem da uzmete u obzir.
Primjer 14
I ovdje vlada ista tehnologija. Trebate samo dodati/oduzeti jedan da biste odabrali izraz u nazivniku iz brojilaca:
Uopšteno govoreći, racionalni razlomci (sa polinomima u brojiocu i nazivniku) su posebna vrlo obimna tema. Stvar je u tome da su racionalni razlomci jedna od rijetkih klasa funkcija za koje postoji univerzalni način integracije postoji. Metoda dekompozicije na jednostavne razlomke, u kombinaciji sa . Ali ova metoda je dugotrajna i obično se koristi kao teška artiljerija. Njemu će biti posvećeno više od jedne lekcije. U međuvremenu, treniramo i dobivamo jednostavne funkcije.
Hajde da rezimiramo današnju lekciju.
Danas smo detaljno ispitali kako se koristi tabela, sa svim nijansama, analizirali mnoge primjere (i to ne one najtrivijalnije) i upoznali se s najjednostavnijim metodama svođenja integrala na tablične. I tako ćemo sada učiniti uvijek. Koja god strašna funkcija bila pod integralom, uz pomoć širokog spektra transformacija, osiguraćemo da se, prije ili kasnije, naš integral, na ovaj ili onaj način, svede na skup tabličnih.
Nekoliko praktičnih savjeta.
1) Ako ispod integrala postoji razlomak u čijem je brojiocu zbir stepeni (korijena), a u nazivniku - lone x, tada koristimo dijeljenje brojnika po članu imeniocem. Zamjenjujemo korijene moćima frakcioni indikatori i rad prema formulama 1-2.
2) U trigonometrijskim konstrukcijama, prije svega, isprobavamo osnovne formule trigonometrije - dvostruki/trostruki ugao,
To može biti velika sreća. Ili možda ne…
3) Gdje je potrebno (posebno u polinomima i razlomcima), koristimoskraćene formule za množenje:
(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2
(a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2
(a-b)(a+b) = a 2 -b 2
4) Kada integrišemo razlomke sa polinomima, pokušavamo da veštački istaknemo izraz(e) u brojniku u nazivniku. Vrlo često se razlomak pojednostavljuje, a integral se svodi na kombinaciju tabelarnih.
Pa, prijatelji? Vidim da počinješ da voliš integrale. :) Zatim punimo ruku i sami rješavamo primjere.) Današnji materijal je sasvim dovoljan da se s njima uspješno nosimo.
Šta? Ne znam, ? Da! Nismo još prošli kroz ovo.) Ali ovdje ih ne treba direktno integrirati. I neka vam školski kurs pomogne!)
Odgovori (u neredu):
Za najbolji rezultati Toplo preporučujem kupovinu zbirke zadataka na G.N. Berman. Cool stvar!
I to je sve što imam za danas. Sretno!
Pokazano je da se integral umnožaka funkcija stepena sin x i cos x može svesti na integral diferencijalnog binoma. Za cjelobrojne vrijednosti eksponenata, takvi se integrali lako izračunavaju u dijelovima ili korištenjem redukcijskih formula. Dato je izvođenje redukcijskih formula. Dat je primjer izračunavanja takvog integrala.
SadržajVidi također:
Tabela neodređenih integrala
Redukcija na integral diferencijalnog binoma
Razmotrimo integrale oblika:
Takvi se integrali svode na integral diferencijalnog binoma jedne od supstitucija t = sin x ili t= cos x.
Pokažimo ovo zamjenom
t = sin x.
Onda
dt = (sin x)′ dx = cos x dx;
cos 2 x = 1 - sin 2 x \u003d 1 - t 2;
Ako su m i n racionalni brojevi, onda treba primijeniti metode diferencijalne binomne integracije.
Integracija sa cijelim brojevima m i n
Zatim, razmotrite slučaj gdje su m i n cijeli brojevi (ne nužno pozitivni). U ovom slučaju, integrand je racionalna funkcija od sin x I cos x. Stoga se mogu primijeniti pravila predstavljena u dijelu "Integracija trigonometrijskih racionalnih funkcija".
Međutim, uzimajući u obzir specifične karakteristike, lakše je koristiti formule redukcije, koje se lako dobijaju integracijom po dijelovima.
Cast formule
Formule redukcije za integral
izgleda kao:
;
;
;
.
Ne treba ih pamtiti, jer se lako dobijaju integracijom po dijelovima.
Formule za dokaz redukcije
Integriramo po dijelovima.
Množenjem sa m + n, dobijamo prvu formulu:
Slično, dobijamo drugu formulu.
Integriramo po dijelovima.
Množenjem sa m + n, dobijamo drugu formulu:
Treća formula.
Integriramo po dijelovima.
Množenje sa n + 1
, dobijamo treću formulu:
Slično, za četvrtu formulu.
Integriramo po dijelovima.
Množenje sa m + 1
, dobijamo četvrtu formulu:
Primjer
Izračunajmo integral:
transformirajmo:
Ovdje m = 10, n = - 4.
Primjenjujemo formulu redukcije:
Za m = 10, n = - 4:
Za m = 8, n = - 2:
Primjenjujemo formulu redukcije:
Za m = 6, n = - 0:
Za m = 4, n = - 0:
Za m = 2, n = - 0:
Izračunavamo preostali integral:
Prikupljamo međurezultate u jednoj formuli.
Reference:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbirka zadataka na višu matematiku, "Lan", 2003.