U 8. poglavlju razmatrani su tipovi objekata nenumeričke prirode kao što su rasplinuti i slučajni skupovi. Svrha ovog dodatka je da dublje prouči svojstva rasplinutih skupova i pokaže da se teorija rasplinutih skupova u određenom smislu svodi na teoriju slučajnih skupova. Da bi se postigao ovaj cilj, formulisan je i dokazan lanac teorema.
U nastavku se pretpostavlja da su svi razmatrani fazi skupovi podskupovi istog skupa Y.
P2-1. De Morganovi zakoni za rasplinute skupove
Kao što je poznato, sljedeći identiteti algebre skupova nazivaju se Morganovi zakoni
Teorema 1.Za rasplinute skupove, identiteti
(3)
Dokaz teoreme 1 sastoji se u direktnoj provjeri valjanosti relacija (2) i (3) izračunavanjem vrijednosti funkcija pripadnosti rasplinutih skupova koji učestvuju u ovim relacijama na osnovu definicija datih u 8. poglavlju.
Identiteti (2) i (3) će biti pozvani de Morganovi zakoni za rasplinute skupove. Za razliku od klasičnog slučaja relacija (1), one se sastoje od četiri identiteta, od kojih se jedan par odnosi na operacije unije i presjeka, a drugi par na operacije proizvoda i zbira. Kao i relacija (1) u algebri skupova, de Morganovi zakoni u algebri rasplinutih skupova omogućavaju transformaciju izraza i formula, koje uključuju operacije negacije.
P2-2. Distributivni zakon za rasplinute skupove
Neka svojstva skupova operacija ne vrijede za rasplinute skupove. Da, osim kada ALI- "očisti" skup (tj. funkcija članstva uzima samo vrijednosti 0 i 1).
Da li je distributivni zakon istinit za rasplinute skupove? U literaturi se ponekad nejasno navodi da „ne uvijek“. Hajde da to bude potpuno jasno.
Teorema 2.Za bilo koje rasplinute skupove A, B i C
Istovremeno, jednakost
je istina ako i samo ako, za sve
Dokaz. Fiksiramo proizvoljan element. Da bismo skratili zapis, označavamo Za dokaz identiteta (4) potrebno je to pokazati
Razmotrite različite redoslijed tri broja a, b, c. Neka je prva Tada je lijeva strana relacije (6), a desna strana, tj. vrijedi jednakost (6).
Neka Tada na relaciji (6) stoji lijevo i desno, tj. relacija (6) je opet jednakost.
Ako tada na relaciji (6) stoji lijevo i desno, tj. oba dijela se ponovo poklapaju.
Tri druga reda brojeva a, b, c nema potrebe za rastavljanjem, jer su u odnosu (6) brojevi b I c ulazite simetrično. Identitet (4) je dokazan.
Druga tvrdnja teoreme 2 proizilazi iz činjenice da je, u skladu sa definicijama operacija na rasplinutim skupovima (vidi Poglavlje 8)
Ova dva izraza se poklapaju ako i samo ako, kada je ono što je trebalo dokazati.
Definicija 1.Nosilac rasplinutog skupa A je skup svih tačaka , za koji
Korolar teoreme 2.Ako se oslonci rasplinutih skupova B i C poklapaju sa Y, onda jednakost (5) vrijedi ako i samo ako je A "jasan" (tj. običan, klasičan, a ne rasplinut) skup.
Dokaz. Po stanju 
sa svim . Tada iz teoreme 2 slijedi da je 
one. ili , što znači da ALI- jasan set.
P2-3. Fazni skupovi kao projekcije slučajnih skupova
Od samog početka pojavljivanja moderna teorija fuzziness je 1960-ih započeo diskusiju o njegovom odnosu sa teorijom vjerovatnoće. Činjenica je da funkcija pripadnosti rasplinutog skupa liči na distribuciju vjerovatnoće. Jedina razlika je u tome što je zbir vjerovatnoća nad svim mogućim vrijednostima slučajne varijable (ili integrala, ako je skup mogućih vrijednosti nebrojiv) uvijek jednak 1, a zbir S Vrijednosti funkcije pripadnosti (u kontinuiranom slučaju - integral funkcije članstva) mogu biti bilo koje nenegativan broj. Postoji iskušenje normalizacije funkcije članstva, tj. podijeliti sve njegove vrijednosti sa S(u S 0) da se svede na distribuciju vjerovatnoće (ili gustinu vjerovatnoće). Međutim, stručnjaci za fuzziness s pravom prigovaraju takvoj "primitivnoj" redukciji, budući da se ona provodi posebno za svaki rasplinutost (fazi skup), a definicije običnih operacija na rasplinutim skupovima ne mogu se složiti s tim. Posljednja izjava znači sljedeće Neka su funkcije pripadnosti rasplinutih skupova ALI I IN. Kako se transformiraju funkcije članstva u ovom slučaju? Instalirajte ga nemoguće u principu. Posljednja izjava postaje sasvim jasna nakon razmatranja nekoliko primjera parova rasplinutih skupova s istim zbrojima vrijednosti funkcija pripadnosti, ali različitim rezultatima teoretskih operacija na njima, i sumama vrijednosti odgovarajućih funkcija pripadnosti jer su ovi rezultati teoretskih operacija, na primjer, za presjeke skupova također različiti.
U radovima o rasplinutim skupovima prilično se često navodi da je teorija rasplinutosti samostalna grana primijenjene matematike i da nema nikakve veze sa teorijom vjerovatnoće (vidi, na primjer, pregled literature u monografijama). Autori koji su upoređivali fuzzy teoriju i teoriju vjerovatnoće obično su naglašavali razliku između ovih područja teorijskog i primijenjenog istraživanja. Obično se uspoređuje aksiomatika i upoređuju se područja primjene. Odmah treba napomenuti da argumenti u drugom tipu poređenja nemaju dokaznu snagu, budući da postoje različita mišljenja o granicama primjenjivosti čak i tako dugogodišnje naučne oblasti kao što su vjerovatno-statističke metode. Podsjetimo, rezultat razmišljanja jednog od najpoznatijih francuskih matematičara, Henrija Lebesguea, o granicama primjenjivosti aritmetike je sljedeći: "Aritmetika je primjenjiva kada je primjenjiva" (vidi njegovu monografiju).
Kada se porede različiti aksiomi fuzzy teorije i teorije verovatnoće, lako je uočiti da se liste aksioma razlikuju. Iz ovoga, međutim, nikako ne proizlazi da je između ovih teorija nemoguće uspostaviti vezu, kao što je dobro poznata redukcija euklidske geometrije na ravni na aritmetiku (tačnije, na teoriju brojevnog sistema – v. na primjer, monografija). Podsjetimo da su ove dvije aksiomatike - euklidska geometrija i aritmetika - na prvi pogled vrlo različite.
Može se razumjeti želja entuzijasta novog trenda da naglase temeljnu novinu svog naučnog aparata. Međutim, podjednako je važno uspostaviti veze između novog pristupa i ranije poznatih.
Kako se pokazalo, teorija rasplinutih skupova je usko povezana sa teorijom slučajnih skupova. Još 1974. godine u radu je pokazano da je prirodno da se fazi skupovi posmatraju kao "projekcije" slučajnih skupova. Razmotrimo ovu metodu svođenja teorije rasplinutih skupova na teoriju slučajnih skupova.
Definicija 2.Neka bude - slučajni podskup konačnog skupa Y. Fazi skup B definisan na Y naziva se projekcija A i označava se sa Proj A ako
(7)
za sve
Očigledno, svaki nasumični skup ALI može se staviti u korespondenciju uz pomoć formule (7) fazi skupa B = ProjA. Ispostavilo se da je i suprotno.
Teorema 3. Za bilo koji rasplinuti podskup B konačnog skupa Y, postoji slučajni podskup A skupa Y takav da je B = Proj A.
Dokaz. Dovoljno je navesti distribuciju slučajnog skupa ALI. Neka bude 1- nosač IN(vidi definiciju 1 gore). Bez gubljenja opštosti, možemo to pretpostaviti 
kod nekih m i elementi 1 numerisan na takav način da
Hajde da predstavimo skupove
Za sve ostale podskupove X setovi At stavimo P(A=X)=0. Od elementa y t uključeno u set Y(1), Y(2),…, Y(t) i nije uključena u
setovi Y(t+1),…, Y(m), onda
iz gornjih formula proizilazi da 
Ako je onda, očigledno, teorema 3 dokazana.
Distribucija slučajnog skupa sa nezavisnim elementima, kao što slijedi iz razmatranja poglavlja 8, u potpunosti je određena njegovom projekcijom. Za konačan slučajni skup opšti pogled ovo nije istina. Da bismo razjasnili ono što je rečeno, potrebna nam je sljedeća teorema.
Teorema 4. Za slučajni podskup A skupa Y iz konačnog broj elemenata skupovi brojeva 
I 
izražavaju jedno kroz drugo.
Dokaz. Drugi skup se izražava u terminima prvog na sljedeći način:
Elementi prvog skupa mogu se izraziti u terminima drugog pomoću formule uključivanja i isključenja iz formalne logike, prema kojoj
U ovoj formuli, u prvom zbroju at prolazi kroz sve elemente skupa Y\X, u drugom zbroju, varijable sumiranja 1 I u 2 ne poklapaju i takođe prolaze kroz ovaj skup, i tako dalje. Pozivanje na formulu uključivanja i isključenja dovršava dokaz teoreme 4.
U skladu sa teoremom 4, slučajni skup A može se okarakterisati ne samo distribucijom, već i skupom brojeva 
U ovom skupu a nema drugih relacija tipa jednakosti. Ovaj skup uključuje brojeve, stoga je fiksiranje projekcije slučajnog skupa ekvivalentno fiksiranju k = kartica (Y) parametri iz (2k-1) parametri koji specificiraju distribuciju slučajnog skupa ALI Uglavnom.
Sljedeća teorema će biti korisna.
Teorema 5. Ako Projekt A = B, onda
Da bismo to dokazali, dovoljno je koristiti identitet iz teorije slučajnih skupova, formulu za vjerovatnoću pokrivanja iz poglavlja 8, definiciju negacije rasplinutog skupa i činjenicu da je zbir svih P(A= X) je jednako 1.
P2-4. Presjeci i proizvodi rasplinutih i slučajnih skupova
Hajde da saznamo kako su operacije nad slučajnim skupovima povezane sa operacijama nad njihovim projekcijama. Na osnovu de Morganovih zakona (teorema 1) i teorema 5, dovoljno je razmotriti operaciju preseka slučajnih skupova.
Teorema 6. Ako su nasumični podskupovi A 1 i A 2 konačnog skupa su nezavisni, onda rasplinuti skup je proizvod rasplinuti skupovi Proj A 1 i Proj A 2 .
Dokaz. To moramo pokazati za bilo koga
Prema formuli za vjerovatnoću pokrivanja tačke slučajnim skupom (poglavlje 8)
Kao što je poznato, distribucija presjeka slučajnih skupova može se izraziti kroz njihovu zajedničku distribuciju na sljedeći način:
Iz relacija (9) i (10) slijedi da se vjerovatnoća pokrivanja za presjek slučajnih skupova može predstaviti kao dvostruki zbir
Zapazite sada da se desna strana formule (11) može prepisati na sljedeći način:
(12)
Zaista, formula (11) se razlikuje od formule (12) samo po tome što sadrži članove u kojima presjek varijabli sumiranja poprima konstantnu vrijednost. Koristeći definiciju nezavisnosti slučajnih skupova i pravilo množenja zbrojeva, dobijamo da iz (11) i (12) slijedi jednakost
Da bismo dovršili dokaz teoreme 6, dovoljno je još jednom se osvrnuti na formulu za vjerovatnoću da će tačka biti pokrivena slučajnim skupom (poglavlje 8).
Definicija 3. Nositelj slučajnog skupa C je skup svih tih elemenata za koji
Teorema 7.Jednakost
je istinit ako i samo ako je presjek nosača slučajnih skupova I prazan.
Dokaz. Potrebno je saznati pod kojim uslovima
Tada se jednakost (13) svodi na uvjet
Jasno je da je relacija (14) zadovoljena ako i samo ako R 2 R 3=0 za sve, tj. ne postoji takav element koji bi istovremeno 
I 
, a to je ekvivalentno praznini presjeka nosača slučajnih skupova i .
Teorema 7 je dokazana.
P2-5. Redukcija niza operacija na rasplinutim skupovima
na niz operacija na slučajnim skupovima
Gore su dobijene neke veze između rasplinutih i slučajnih skupova. Vrijedi napomenuti da je proučavanje ovih odnosa u radu (ovaj rad obavljen 1974. i izvještavan na seminaru „Multidimenzionalni Statistička analiza i probabilističko modeliranje realnih procesa "18. decembra 1974. - vidi) počelo je uvođenjem slučajnih skupova u cilju razvoja i generalizacije aparata rasplinutih skupova L. Zadeh. Činjenica je da matematički aparat rasplinutih skupova ne dozvoljava da se uzeti u obzir razne opcije ovisnosti između koncepata (objekata) modeliranih uz njegovu pomoć nije dovoljno fleksibilan. Dakle, da bismo opisali "zajednički dio" dva nejasna skupa, postoje samo dvije operacije - proizvod i presjek. Ako se koristi prvi od njih, onda se pretpostavlja da se skupovi ponašaju kao projekcije nezavisnih nasumičnih skupova (vidi teoremu 6 iznad). Operacija preseka takođe nameće dobro definisana ograničenja na tip zavisnosti između skupova (videti teoremu 7 gore), iu ovom slučaju se pronalaze čak i neophodni i dovoljni uslovi. Poželjno je imati više mogućnosti za modeliranje zavisnosti između skupova (pojmova, objekata). Upotreba matematički aparat nasumični skupovi pružaju takve mogućnosti.
Svrha redukcije rasplinutih skupova na nasumične je da se iza bilo koje konstrukcije iz rasplinutih skupova vidi konstrukcija iz slučajnih skupova koja određuje svojstva prvog, baš kao što vidimo slučajnu varijablu pomoću gustine raspodjele vjerovatnoće. U ovom pododjeljku predstavljamo rezultate o redukciji algebre rasplinutih skupova na algebru slučajnih skupova.
Definicija 4.Prostor vjerovatnoće { W, G, P)nazivamo djeljivim ako za bilo koji mjerljivi skup X G i bilo koji pozitivan broj , manji od P(X), može se specificirati mjerljiv skup takav da
Primjer. Neka je jedinična kocka konačno-dimenzionalnog linearni prostor, G je sigma-algebra Borelovih skupova, i P je Lebesgueova mjera. Onda { W, G, P)- deljivi prostor verovatnoće.
Dakle, deljivi prostor verovatnoće nije egzotičan. Pravilna kocka je primjer takvog prostora.
Dokaz tvrdnje formulirane u primjeru izvodi se standardnim matematičkim metodama zasnovanim na činjenici da se mjerljivi skup može proizvoljno precizno aproksimirati otvoreni setovi, potonje su predstavljene kao zbir ne više od prebrojivog broja otvorenih kuglica, a za kuglice se provjerava deljivost direktno (telo zapremine je odvojeno od kuglice X odgovarajućom ravninom).
Teorema 8.Neka je slučajni skup A dat na deljivom prostoru verovatnoće (W, G, P) sa vrijednostima u skupu svih podskupova skupa Y konačnog broja elemenata, i rasplinutim skupom D na Y. Tada postoje nasumični skupovi ~ 1, Od 2, Od 3, C 4 na istom prostoru vjerovatnoće tako da
gdje je B = ProjA.
Dokaz. Zbog valjanosti de Morganovih zakona za rasplinute (vidi teoremu 1 gore) i za slučajne skupove, kao i gornju teoremu 5 (o negacijama), dovoljno je dokazati postojanje slučajnih skupova Od 1 I Od 2 .
Razmotrimo distribuciju vjerovatnoće u skupu svih podskupova skupa At, što odgovara slučajnom skupu OD takav da Projekt C = D(postoji na osnovu teoreme 3). Hajde da napravimo nasumični skup C 2 Isključi element samo za 
istog skupa Y tako da
i, pored toga, rezultati teoretskih operacija skupova povezani su sličnim relacijama
gde znak znači da je mesto koje se razmatra simbol preseka slučajnih skupova, ako definicija B m sadrži simbol preseka ili simbol proizvoda rasplinutih skupova, i, prema tome, simbol unije slučajnih skupova, ako B m sadrži simbol unije ili simbol zbira rasplinutih skupova.
De Morganovi zakoni su logička pravila, koji je uspostavio škotski matematičar Augustus de Morgan, povezujući parove logičkih operacija koristeći logičku negaciju.
Augustus de Morgan je primijetio da su sljedeće relacije istinite u klasičnoj logici:
ne (A i B) = (ne A) ili (ne B)
ne (A ili B) = (ne A) i (ne B)
U nama poznatijem obliku, ovi omjeri se mogu napisati u sljedećem obliku:
De Morganovi zakoni se mogu formulisati na sledeći način:
I de Morganov zakon: Negacija disjunkcije dva jednostavna iskaza je ekvivalentna konjunkciji negacija ovih iskaza.
II de Morganov zakon: Negacija konjunkcije dvaju jednostavnih iskaza je ekvivalentna disjunciji negacija ovih iskaza.
Razmotrite primjenu de Morganovih zakona na konkretnim primjerima.
Primjer 1 Transformirajte formulu tako da nema negacija složenih iskaza.
Koristimo prvi de Morganov zakon, dobijamo:
primijenimo drugi de Morganov zakon na negaciju konjunkcije jednostavnih iskaza B i C, dobićemo:
,
ovako:
.
Kao rezultat, dobili smo ekvivalentan iskaz u kojem nema negacija složenih iskaza, a sve negacije se odnose samo na jednostavne iskaze.
Ispravnost rješenja možete provjeriti pomoću tablica istinitosti. Da bismo to učinili, sastavljamo tablice istinitosti za originalnu izjavu:
i za iskaz dobijen kao rezultat transformacija izvršenih korištenjem de Morganovih zakona:
.
Tabela 1.
|
B/\C |
A\/B/\C |
||||
Kao što vidimo iz tabela, originalni logički iskaz i logički iskaz dobijen uz pomoć de Morganovih zakona su ekvivalentni. O tome svjedoči činjenica da smo u tabelama istinitosti dobili iste skupove vrijednosti.
Formule i zakoni logike
Na uvodna lekcija posvećen osnove matematičke logike, upoznali smo se sa osnovnim pojmovima ovog odsjeka matematike, a sada tema dobiva prirodan nastavak. Pored novog teoretskog, odnosno ne čak ni teoretskog - već općeobrazovnog materijala, očekuju nas i praktični zadaci, pa stoga ako ste na ovu stranicu došli iz tražilice i/ili ste loše orijentirani u materijalu, slijedite link gore i počnite od prethodnog članka. Osim toga, za vježbu nam je potrebno 5 tabele istine logičke operacije koji ja toplo preporučujem prepisati rukom.
NEMOJTE pamtiti, NEMOJTE štampati, naime, još jednom shvatite i prepišite na papir svojom rukom - tako da vam budu pred očima:
– tabela NE;
- tabela I;
– ILI tabela;
– tabela implikacija;
- Tabela ekvivalencije.
To je veoma važno. U principu, bilo bi zgodno da ih numerišemo "Tabela 1", "Tabela 2" itd., ali sam više puta isticao manu ovog pristupa - kako se kaže, u jednom izvoru tabela će biti prva, a u drugom - sto prva. Stoga ćemo koristiti "prirodna" imena. Nastavljamo:
U stvari, već ste upoznati s konceptom logičke formule. Daću standardno, ali prilično duhovito definicija: formule propozicijske algebre se nazivaju:
1) bilo koje elementarne (jednostavne) izjave;
2) ako su i formule, onda su formule i izrazi oblika
.
Nema drugih formula.
Konkretno, formula je svaka logička operacija, kao što je logičko množenje. Obratite pažnju na drugu tačku - to dozvoljava rekurzivno način da se "kreira" proizvoljno duga formula. Ukoliko 
su formule, onda je i formula; budući da su i formule, onda 
- takođe formula, itd. Bilo koja elementarna izjava (opet po definiciji) može unijeti formulu više puta.
Formula ne je, na primjer, rekord - i ovdje je očigledna analogija sa "algebarskim smećem", iz koje nije jasno da li treba zbrajati ili množiti brojeve.
Logička formula se može zamisliti kao logička funkcija. Zapišimo isti veznik u funkcionalnom obliku: 
Elementarni iskazi u ovom slučaju također igraju ulogu argumenata (nezavisnih varijabli), koji u klasičnoj logici mogu imati 2 vrijednosti: tačno ili Netačno. U daljem tekstu, radi pogodnosti, ponekad ću nazivati jednostavne izjave varijable.
Tablica koja opisuje logičku formulu (funkciju) naziva se, kao što je već spomenuto, tabela istine. Molim vas - poznata slika: 
Princip formiranja tabele istinitosti je sledeći: "na ulazu" treba da navedete sve moguće kombinacije istine i laži koje elementarni prijedlozi (argumenti) mogu prihvatiti. U ovom slučaju formula uključuje dvije tvrdnje, a lako je otkriti da postoje četiri takve kombinacije. “Na izlazu” dobijamo odgovarajuće logičke vrijednosti cijele formule (funkcije).
Moram reći da se "izlaz" ovdje pokazao "u jednom koraku", ali u općenitom slučaju logička formula je složenija. I u takvim "teškim slučajevima" potrebno je promatrati redosled izvođenja logičkih operacija:
- prvo se vrši negacija;
- drugo - konjunkcija;
- zatim - disjunkcija;
- zatim implikacija ;
- i, konačno, najniži prioritet ima ekvivalent.
Tako, na primjer, unos podrazumijeva da prvo treba izvršiti logičko množenje, a zatim - logičko zbrajanje:. Baš kao u "običnoj" algebri - "prvo množimo, a onda sabiramo."
Redoslijed radnji se može promijeniti na uobičajen način - zagrade:
- ovdje se prije svega vrši disjunkcija, a tek onda "jača" operacija.
Vjerovatno svi razumiju, ali za svaki slučaj vatrogasac: i to dva različita formule! (formalno i sadržajno)
Napravimo tabelu istinitosti za formulu. Ova formula uključuje dva elementarna iskaza i „na ulazu“ moramo navesti sve moguće kombinacije jedinica i nula. Kako bismo izbjegli zabunu i nedosljednosti, slažemo se da navedemo kombinacije striktno tim redosledom (koji zapravo koristim de facto od samog početka):
Formula uključuje dvije logičke operacije, a prema njihovom prioritetu, prije svega, morate izvršiti negacija izjave. Pa, negiramo kolonu "pe" - pretvaramo jedinice u nule, a nule u jedinice: 
U drugom koraku gledamo kolone i primjenjujemo na njih OR operacija. Gledajući malo unapred, reći ću da je disjunkcija promenljiva (i ista stvar), te se stoga kolone mogu analizirati uobičajenim redoslijedom - slijeva na desno. Prilikom izvođenja logičkog sabiranja zgodno je koristiti sljedeće primijenjeno razmišljanje: “Ako postoje dvije nule, stavljamo nulu, ako je barem jedna jedinica, stavljamo jedan”:
Tabela istine je napravljena. A sada se prisjetimo dobre stare implikacije: 
…pažljivo-pažljivo… pogledajte zadnje kolone…. U propozicionoj algebri takve formule se nazivaju ekvivalentan ili identičan:
(tri horizontalne linije su ikona identiteta)
U 1. dijelu lekcije obećao sam da ću izraziti implikaciju kroz osnovne logičke operacije, a ispunjenje obećanja nije se dugo čekalo! Oni koji žele mogu da unesu smisleno značenje u implikaciju (npr. "Ako pada kiša, vani je vlažno") i samostalno analizirati ekvivalentnu izjavu.
Hajde da formulišemo opšta definicija : pozivaju se dvije formule ekvivalent (identičan), ako uzimaju iste vrijednosti za bilo koji skup vrijednosti uključenih u ove formule varijabli (elementarni iskazi). I oni to kažu "formule su ekvivalentne ako su njihove tabele istinitosti iste", ali mi se ova fraza baš i ne sviđa.
Vježba 1
Napravite tablicu istinitosti za formulu i uvjerite se da je identitet koji poznajete istinit.
Ponovimo proceduru za rješavanje problema:
1) Pošto formula uključuje dvije varijable, bit će 4 moguća skupa nula i jedinica ukupno. Zapisujemo ih gore navedenim redoslijedom.
2) Implikacije su „slabije“ od veznika, ali se nalaze u zagradama. Popunjavamo kolonu, a zgodno je koristiti sljedeće primijenjeno rezonovanje: “ako nula proizlazi iz jedan, onda stavljamo nulu, u svim ostalim slučajevima - jedan”. Zatim popunite kolonu za implikaciju i istovremeno, Pažnja!– kolone i treba ih analizirati “s desna na lijevo”!
3) I u završnoj fazi, popunite završnu kolonu. I ovdje je zgodno raspravljati ovako: “ako su u kolonama dvije jedinice, onda stavljamo jedan, u svim ostalim slučajevima - nula”.
I na kraju, provjeravamo tabelu istinitosti ekvivalencije .
Osnovne ekvivalencije propozicione algebre
Upravo smo ih upoznali sa dvojicom, ali stvar, naravno, nije ograničena samo na njih. Ima dosta identiteta, a ja ću navesti najvažnije i najpoznatije od njih:
Komutativnost konjunkcije i komutativnost disjunkcije
komutativnost je permutacija:
Poznata pravila iz 1. razreda: “Od preraspodjele faktora (termina), proizvod (zbir) se ne mijenja”. Ali uz svu prividnu elementarnost ovog svojstva, to je daleko od uvijek istinito, posebno je nekomutativno množenje matrice (u principu, ne mogu se preurediti), ali unakrsni proizvod vektora– antikomutativno (permutacija vektora podrazumijeva promjenu predznaka).
Osim toga, ovdje ponovo želim naglasiti formalizam matematičke logike. Tako, na primjer, fraze "Učenik je položio ispit i pio" I "Učenik je pio i položio ispit" različit sa sadržajne tačke gledišta, ali se ne može razlikovati sa stanovišta formalne istine. ... Svako od nas poznaje takve studente, a iz etičkih razloga nećemo imenovati konkretna imena =)
Asocijativnost logičkog množenja i sabiranja
Ili, ako je "školski stil" asocijativno svojstvo:
Distribution Properties
Imajte na umu da će u drugom slučaju biti netačno govoriti o "otvaranju zagrada", na neki način, ovdje je "fikcija" - na kraju krajeva, oni se mogu potpuno ukloniti: množenje je jača operacija.
I opet – ova naizgled “banalna” svojstva su daleko od ispunjenja u svemu algebarski sistemi, i, osim toga, zahtijevaju dokaz (o čemu ćemo vrlo brzo pričati). Inače, drugi distributivni zakon ne važi čak ni u našoj „običnoj“ algebri. I zaista:
Zakon idempotencije
Šta da se radi latino....
Samo neki princip zdrave psihe: "ja i ja sam ja", "ja ili ja sam isto ja" =)
A evo nekoliko sličnih identiteta: 
...pa, nešto sam čak i spustio slušalicu... pa se sutra probudiš sa doktoratom =)
Zakon dvostruke negacije
Pa, ovdje se već nagovještava primjer sa ruskim jezikom - svi dobro znaju da dvije čestice "ne" znače "da". A kako bi se poboljšala emocionalna boja poricanja, često se koriste tri „ne“:
- čak i sa malo dokaza da je uspelo!
Zakoni apsorpcije
- Je li to bio dječak? =)
U pravom identitetu zagrade se mogu izostaviti.
De Morganovi zakoni
Pretpostavimo da je strog učitelj (čije ime takođe znaš :)) polaže ispit ako - Učenik je odgovorio na 1. pitanje I – Učenik je odgovorio na 2. pitanje. Zatim izjava u kojoj se to navodi Student ne položio ispit, bit će ekvivalentno izjavi - Student ne odgovorio na 1. pitanje ili na 2. pitanje.
Kao što je gore navedeno, ekvivalentnosti su podložne dokazu, koji se standardno provodi pomoću tablica istinitosti. U stvari, već smo dokazali ekvivalentnosti koje izražavaju implikaciju i ekvivalenciju, a sada je vrijeme da popravimo tehniku rješavanja ovog problema.
Dokažimo identitet. Pošto uključuje jednu naredbu, tada su moguće samo dvije opcije „na ulazu“: jedan ili nula. Zatim dodjeljujemo jednu kolonu i primjenjujemo se na njih pravilo I:
Kao rezultat, "na izlazu" se dobiva formula, čija se istinitost poklapa s istinitošću izjave. Ekvivalencija je dokazana.
Da, ovaj dokaz je primitivan (a neko će reći da je "glupo"), ali tipičan nastavnik matematike će mu istresti dušu. Stoga se čak ni prema takvim jednostavnim stvarima ne treba odnositi s prezirom.
Sada se uvjerimo, na primjer, u valjanost de Morganovog zakona.
Prvo, napravimo tabelu istine za lijevu stranu. Pošto je disjunkcija u zagradama, prvo je izvodimo, nakon čega negiramo stupac: 
Zatim sastavljamo tabelu istinitosti za desnu stranu. I ovdje je sve transparentno - prije svega izvodimo više "jakih" negativa, a zatim primjenjujemo na stupce pravilo I:
Rezultati su se poklopili, tako da je identitet dokazan.
Bilo koja ekvivalentnost se može predstaviti kao identično istinita formula. To znači da ZA BILO KOJI početni skup nula i jedinica"na izlazu" se dobija striktno jedinica. A za to postoji vrlo jednostavno objašnjenje: pošto se tablice istinitosti i poklapaju, onda su, naravno, ekvivalentne. Kombinirajmo, na primjer, lijevi i desni dio upravo dokazanog de Morganovog identiteta ekvivalentnošću: 
Ili, kompaktnije:
Zadatak 2
Dokažite sljedeće ekvivalentnosti:
b) 
Kratko rješenje na kraju lekcije. Nemojmo biti lijeni! Pokušajte ne samo napraviti tablice istine, već i jasno formulisati zaključke. Kao što sam nedavno primetio, zanemarivanje jednostavnih stvari može biti veoma, veoma skupo!
Nastavljamo da se upoznajemo sa zakonima logike!
Da, potpuno tačno - već radimo s njima uveliko:
Tačno at , zove se identično istinita formula ili zakon logike.
Na osnovu prethodno opravdanog prijelaza sa ekvivalencije na identično istinitu formulu, svi gore navedeni identiteti su zakoni logike.
Formula koja uzima vrijednost Lazi at bilo koji skup vrijednosti varijabli uključenih u njega, zove se identično lažna formula ili kontradikcija.
Karakteristični primjer kontradikcije starih Grka:
Nijedna izjava ne može biti istinita i lažna u isto vrijeme.
Dokaz je trivijalan: 
“Izlaz” je dobio isključivo nule, dakle, formula je zaista identično lažno.
Međutim, svaka kontradikcija je također zakon logike, posebno: 
Nemoguće je obraditi tako veliku temu u jednom članku, pa ću se ograničiti na još nekoliko zakona:
Zakon isključene sredine
- u klasičnoj logici, bilo koja izjava je istinita ili lažna, i ne postoji treći način. “Biti ili ne biti” – to je pitanje.
Napravite sopstvenu tabelu istine i uverite se da jeste identično istinito formula.
Zakon kontrapozicije
Ovaj zakon se aktivno preuveličavao kada smo razgovarali o suštini neophodno stanje, zapamtite: “Ako je napolju vlažno tokom kiše, onda sledi da ako je napolju suvo, onda definitivno nije padala kiša”.
Iz ovog zakona također proizilazi da ako je pošteno ravno teorema, zatim iskaz, koji se ponekad naziva suprotno teorema.
Ako je istina obrnuto teorema, onda na osnovu zakona kontrapozicije, teorema također vrijedi, suprotno obrnuto:
I vratimo se našim smislenim primjerima: za izjave - broj je djeljiv sa 4, - broj je djeljiv sa 2 fer ravno I suprotno teoreme, ali netačne obrnuto I suprotno obrnuto teoreme. Za "odraslu" formulaciju Pitagorine teoreme, sva 4 "smjera" su tačna.
Zakon silogizma
Takođe klasik žanra: „Svi hrastovi su drveće, sva stabla su biljke, dakle, svi hrastovi su biljke“.
Pa, ovdje bih opet želio primijetiti formalizam matematičke logike: ako naš strogi Učitelj misli da je određeni Učenik hrast, onda je sa formalne tačke gledišta, ovaj Učenik svakako biljka =) ... iako, ako razmislite o tome, može biti i iz neformalnog = )
Napravimo tabelu istinitosti za formulu. U skladu sa prioritetom logičkih operacija, pridržavamo se sljedećeg algoritma:
1) izvršiti implikacije i . Uopšteno govoreći, možete odmah izvršiti 3. implikaciju, ali je s njom pogodnije (i dozvoljeno!) shvatite malo kasnije
2) primijeniti na stupce pravilo I;
3) sada izvršavamo;
4) i u završnom koraku primijeniti implikaciju na stupce 
i .
Slobodno kontrolirajte proces kažiprstom i srednjim prstom :)) 
Iz zadnje kolumne mislim da je sve jasno bez komentara:
, što je trebalo dokazati.
Zadatak 3
Saznajte da li je to zakon logike sledeća formula:
Kratko rješenje na kraju lekcije. Da, i skoro sam zaboravio - hajde da se dogovorimo da navedemo početne skupove nula i jedinica potpuno istim redosledom kao u dokazu zakona silogizma. Naravno, linije se mogu preurediti, ali to će jako otežati pomirenje sa mojim rješenjem.
Pretvaranje Booleovih formula
Pored njihove "logičke" svrhe, ekvivalentnosti se široko koriste za transformaciju i pojednostavljenje formula. Grubo govoreći, jedan dio identiteta može se zamijeniti drugim. Tako, na primjer, ako naiđete na fragment u logičkoj formuli, tada, prema zakonu idempotencije, možete (i trebali biste) jednostavno napisati umjesto njega. Ako vidite , onda, prema zakonu apsorpcije, pojednostavite notaciju na . itd.
Osim toga, postoji još jedna važna stvar: identiteti vrijede ne samo za elementarne propozicije, već i za proizvoljne formule. Na primjer:
, gdje ih ima (kompleksno koliko god želite) formule.
Transformirajmo, na primjer, kompleksnu implikaciju 
(1. identitet):
Nadalje, na zagradu primjenjujemo „složeni“ de Morganov zakon, dok je, zbog prioriteta operacija, zakon , gdje 
:
Zagrade se mogu ukloniti, jer unutra je "jači" veznik:
Pa, s komutativnošću, općenito, sve je jednostavno - ne morate ništa ni označavati ... nešto mi je potonulo u dušu zakon silogizma :))
Dakle, zakon se može prepisati u zamršenijem obliku:
Izgovorite naglas logički lanac „sa hrastom, drvetom, biljkom“ i shvatićete da se suštinsko značenje zakona nije nimalo promenilo od prestrojavanja implikacija. Je li da je formulacija postala originalnija.
Kao trening, pojednostavljujemo formulu.
Gdje početi? Prije svega, da shvatimo redoslijed radnji: ovdje se negacija primjenjuje na cijelu zagradu, koja je „učvršćena“ sa iskazom „malo slabijim“ veznikom. U suštini, imamo pred sobom logički proizvod dva faktora: . Od dvije preostale operacije, implikacija ima najniži prioritet, te stoga cijela formula ima sljedeću strukturu: .
Po pravilu, na prvom koraku (koracima) oslobodite se ekvivalencije i implikacije (ako jesu) i svesti formulu na tri osnovne logičke operacije. Šta da kažem…. Logično.
(1) Koristimo identitet 
. I u našem slučaju.
Nakon toga obično slijedi "demontaža" sa zagradama. Prvo cijelo rješenje, pa komentari. Kako ne bih dobio "maslac ulje", koristit ću "uobičajene" ikone jednakosti: 
(2) Mi primjenjujemo de Morganov zakon na vanjske zagrade, gdje je .
Teorema apsorpcije pisano u dva oblika - disjunktivnom i
konjunktiv, odnosno:
A + AB \u003d A (16)
A(A + B)=A (17)
Dokažimo prvu teoremu. Izvadimo slovo A iz zagrada:
ALI + AB \u003d A (1 + B)
Prema teoremi (3) 1 + B = 1, dakle
A(1 + B) = A 1 = A
Da bismo dokazali drugu teoremu, širimo zagrade:
A(A + B) = A A + AB = A + AB
Rezultat je izraz koji je upravo dokazan.
Razmotrimo nekoliko primjera primjene teoreme apsorpcije za
pojednostavljenje Bulovih formula.
Teorema lepljenja također ima dva oblika - disjunktivni i
konjuktiva:
Dokažimo prvu teoremu:
budući da prema teoremama (5) i (4)
Da bismo dokazali drugu teoremu, otvaramo zagrade:
Prema teoremi (6), dakle:
Prema teoremi apsorpcije (16) A + AB \u003d A
Teorema apsorpcije, kao i teorema lijepljenja, primjenjuje se prilikom pojednostavljivanja
booleove formule, na primjer:
De Morganova teorema povezuje sve tri osnovne operacije booleove algebre
Disjunkcija, konjunkcija i inverzija:
Prva teorema glasi kako slijedi: inverzija konjunkcije je disjunkcija
inverzije. Drugo, inverzija disjunkcije je konjunkcija inverzija. Morganove teoreme možete dokazati koristeći tablice istinitosti za lijevu i desnu stranu.
De Morganova teorema se također primjenjuje na više varijable:
Predavanje 5
Invert složeni izrazi
De Morganova teorema se ne primjenjuje samo na pojedinačne konjunkcije
ili disjunkcija, ali i na složenije izraze.
Nađimo inverzni izraz od izraza AB + CD , predstavljeno kao disjunkcija veznika. Inverzija će se smatrati završenom ako su negativni predznaci samo iznad varijabli. Hajde da uvedemo notaciju: AB = X;
CD=Y onda
Pronađite i zamijenite u izraz (22):
Na ovaj način:
Razmotrimo izraz predstavljen u konjunktivnom obliku:
(A + B) (C + D)
Nađimo njegovu inverziju u obliku
Hajde da uvedemo notaciju: A + B = X; C + D \u003d Y, onda
Pronađite i zamijenite ih u izraz
Na ovaj način:
Prilikom invertiranja složenih izraza, možete koristiti sljedeće pravilo. Da bi se pronašla inverzija, potrebno je znake konjunkcije zamijeniti znakovima disjunkcije, a znakove disjunkcije znakovima konjunkcije, te staviti inverzije preko svake varijable:
Koncept Booleove funkcije
IN u opštem slučaju, funkcija (lat. functio - učinak, usklađenost,
preslikavanje) je određeno pravilo (zakon), prema kojem svaki element skupa x, što je raspon nezavisne varijable X, određeni element skupa je dodijeljen F,
što se podrazumijeva kao raspon vrijednosti zavisne varijable f . U slučaju logičkih funkcija X=F = (0,1). Pravilo kojim je funkcija specificirana može biti bilo koja Booleova formula, na primjer:
Simbol f ovdje je funkcija koja je, poput argumenata A, B, C, binarna varijabla.
Argumenti su nezavisne varijable, mogu uzeti bilo koju vrijednost - 0 ili 1. Funkcija f - zavisna varijabla. Njegovo značenje je u potpunosti određeno vrijednostima varijabli i logičkim vezama između njih.
Glavna karakteristika funkcije je da je za određivanje njene vrijednosti, u općenitom slučaju, potrebno znati vrijednosti svih argumenata od kojih ona ovisi. Na primjer, gornja funkcija ovisi o tri argumenta A, V, S. Ako uzmemo A = 1, onda dobijamo
tj. dobije se novi izraz koji nije jednak ni nuli ni
jedinica. Pusti sada IN= 1. Onda
tj. u ovom slučaju nije poznato da li je funkcija jednaka nuli ili jedinici.
Konačno, uzmimo OD= 0. Tada dobijamo: f = 0. Dakle, ako uzmemo A = 1 u originalnom izrazu, IN= 1, OD = 0, tada će funkcija uzeti nultu vrijednost: f= 0.
Razmislite pojam skupa varijabilnih vrijednosti .
Ako se svim argumentima od kojih zavisi funkcija dodijele određene vrijednosti, onda se govori o skupu vrijednosti argumenata koji se mogu
nazovi to samo set. Skup vrijednosti argumenata je niz nula i jedinica, na primjer, 110, gdje prva znamenka odgovara prvom argumentu, druga drugom, a treća trećem. Očigledno, potrebno je unaprijed dogovoriti šta je prvi, drugi ili recimo peti argument. Da biste to učinili, prikladno je koristiti abecedni raspored slova.
Na primjer, ako 
onda je prema latinici prvi argument R, sekunda -
Q, treći - x, četvrti - U. Tada je, po skupu vrijednosti argumenata, lako
pronaći vrijednost funkcije. Neka je, na primjer, dat skup 1001. Prema njegovom
unosi odnosno na skupu 1001 datu funkciju je jednako jedan.
Imajte na umu ponovo da je skup vrijednosti argumenata skup
nule i jedinice. Binarni brojevi su također skupovi nula i jedinica.
Ovo postavlja pitanje - da li se skupovi mogu smatrati binarnim
brojevi? Moguće je, a u mnogim slučajevima je vrlo zgodno, posebno ako je binarno
pretvoriti broj u decimalni. Na primjer, ako
A = 0, B = 1, C = 1, D = 0,
0 * 2 3 +1 * 2 2 +1 * 2 1 +0 * 2 0 = 4+2 = 6
tj. dati skup ima broj 6 u decimalu.
Ako želite pronaći vrijednosti argumenata po decimalnom broju, onda
ulazimo obrnuti niz: prvo decimalni broj pretvaramo u binarni, zatim dodajemo što više nula s lijeve strane tako da ukupan broj znamenki bude jednak broju argumenata, nakon čega nalazimo vrijednosti argumenata.
Neka je, na primjer, potrebno pronaći vrijednosti argumenata A, B, C, D, E, F skupom sa brojem 23. Konvertujemo broj 23 u binarni sistem metodom
dijeljenje sa dva:
Kao rezultat, dobijamo 23 10 = 10111 2 . Ovo je petocifreni broj, i to ukupno
postoji šest argumenata, dakle, jedna nula mora biti napisana na lijevoj strani:
23 10 = 010111 2 . Odavde nalazimo:
A = 0, B = 1, C = 0, D = 1, E = 1, F = 1.
Koliko ima skupova ako je broj poznat P argumenti? Očigledno, onoliko koliko ima n-bitnih binarnih brojeva, tj. 2 n
Predavanje 6
Postavljanje logičke funkcije
Već znamo jedan način. Analitičan je, odnosno u obliku matematičkog izraza koji koristi binarne varijable i logičke operacije. Osim toga, postoje i drugi načini, od kojih je najvažniji tabelarni. Tabela navodi sve mogući setovi vrijednosti argumenata i za svaki skup je naznačena vrijednost funkcije. Takva tabela se zove tabela korespondencije (istine).
Na primjeru funkcije
Hajde da shvatimo kako da napravimo tabelu za traženje za to.
Funkcija ovisi o tri argumenta A, B, C. Dakle, u tabeli
obezbediti tri kolone za argumenti A,B,C i jedan stupac za vrijednosti funkcije f. Lijevo od kolone A, korisno je postaviti još jednu kolonu. U njemu ćemo pisati decimalni brojevi, koji odgovaraju skupovima kada se posmatraju kao trocifreni binarni brojevi. Ova decimala
stupac je uveden radi praktičnosti rada s tablicom, stoga, u principu,
može se zanemariti.
Popunjavamo tabelu. Red sa brojem LLC preduzeća glasi:
A = B = C = 0.
Definirajmo vrijednost funkcije na ovom skupu:
U kolonu f upisujemo nulu u red sa skupom 000.
Sljedeći set: 001, tj. e. A = B = 0, C = 1. Pronađite vrijednost funkcije
na ovom setu:
Na skupu 001, funkcija je jednaka 1, dakle, u koloni f u redu sa
broj 001 zapisujemo jedinicu.
Slično, izračunavamo vrijednosti funkcija na svim ostalim skupovima i
popuni celu tabelu.