DELTA FUNCTION

Definicija. delta funkcija

(2.1)

a generalizovana funkcija

Fig.1. delta funkcija

Stanje normalizacije

, . (2.2)

a, kao što je prikazano na slici 1, b

Paritet funkcija proizlazi iz (2.1)

. (2.2a)

, (2.2b)

kao što je prikazano na slici 1, b.

ortonormalnost. Puno mogućnosti

DELTA FUNCTION Svojstva

svojstvo filtera

dobijamo

b, mi nalazimo

,

, . (2.5)

Ortonormalna osnova

U (2.5) postavljamo

, ,

. (2.7)

Izvedeno

,

, (2.8)

Dokaz

Pojednostavljivanje argumenta

Ako su korijeni funkcije , onda

. (2.9)

Dokaz

.

U malom naselju se širimo u Taylor seriji

i ograničimo se na prva dva pojma

Koristimo (2.8)

Usporedimo integrande i dobijemo (2.9).

Konvolucija

Iz definicije konvolucije (1.22)

,

at dobijamo

.

Mi vjerujemo , i pronađite

.. (2.35a)

i (2.35a) dati

. (2.35b)

dobijamo

. (2.36a)

i (2.36a) dati

. (2.36b)

. (2.37a)

dobijamo

. (2.37b)

funkcija češlja

(2.53)

Simulira neograničeno kristalna rešetka, antene i druge periodične strukture.

Fourierova transformacija transformira funkciju češlja u funkciju češlja.

,

(2.8)

dobijamo

. (2.54)

Svojstva

Funkcija je ujednačena

,

periodični

,

period . Svojstvo filtriranja delta funkcija daje

. (2.55)

Fourierova transformacija

Za periodičnu funkciju s tačkom L Fourierova slika se izražava u terminima Fourierovih koeficijenata

, (1.47)

, (1.49)

Za funkciju češlja s tačkom dobivamo

,

gdje se uzima u obzir svojstvo filtriranja delta funkcije. Iz (1.47) nalazimo Fourierovu sliku

. (2.56)

Fourierova transformacija funkcije češlja je funkcija češlja.

Iz (2.56), pomoću Fourierove teoreme o skaliranju argumenta, dobijamo

. (2.59)

Povećanje perioda funkcije češlja ()smanjuje period i povećava amplitudu njegovog spektra .

Fourierova serija

Koristimo

Za , dobijamo

DELTA FUNCTION

Definicija. delta funkcija

modelira tačku poremećaja i definira se kao

(2.1)

Funkcija je nula u svim tačkama osim gdje je njen argument nula i gdje je funkcija beskonačna, kao što je prikazano na slici. jedan, a. Određivanje vrijednosti u tačkama argumenta je dvosmisleno zbog njegovog odlaska u beskonačnost, tako da je delta funkcija generalizovana funkcija , i zahtijeva dodatnu definiciju u obliku normalizacije.

Fig.1. delta funkcija

Stanje normalizacije

, . (2.2)

Površina ispod grafa funkcije jednaka je jedinici u bilo kojem intervalu koji sadrži tačku a, kao što je prikazano na slici 1, b. Stoga, delta funkcija modelira perturbaciju tačke jedne vrijednosti.

Paritet funkcija proizlazi iz (2.1)

. (2.2a)

Iz simetrije oko tačke dobijamo

, (2.2b)

kao što je prikazano na slici 1, b.

ortonormalnost. Puno mogućnosti

formira ortonormalnu beskonačno-dimenzionalnu osnovu.

Delta funkciju je u optici primijenio Kirchhoff 1882., u elektromagnetskoj teoriji Heaviside 90-ih godina godine XIX in.

Gustav Kirchhoff (1824–1887) Oliver Hevisajd (1850–1925)

Oliver Heaviside - samouki naučnik, prvi je koristio vektore u fizici, razvio vektorsku analizu, uveo koncept operatora i razvio operativni račun - operatorsku metodu rješenja diferencijalne jednadžbe. Uveo je funkciju uključivanja, kasnije nazvanu po njemu, koristio je funkciju točkastog impulsa - delta funkciju. primijenjeno kompleksni brojevi u teoriji električnih kola. Po prvi put je napisao Maxwellove jednačine u obliku 4 jednakosti umjesto 20 jednačina, koliko je imao Maxwell. Uvedeni termini: provodljivost, impedansa, induktivnost, elektret . Razvio je teoriju telegrafske komunikacije na velikim udaljenostima, predvidio prisustvo jonosfere u blizini Zemlje - sloj Kennelly-Heaviside.

Matematičku teoriju generalizovanih funkcija razvio je Sergej L'vovič Sobolev 1936. godine. Bio je jedan od osnivača Novosibirske akademije. Institut za matematiku SB RAN nosi njegovo ime.

Sergej Lvovič Sobolev (1908–1989)

DELTA FUNCTION Svojstva

svojstvo filtera

Za glatku funkciju bez diskontinuiteta, iz (2.1)

dobijamo

Uz pretpostavku i korištenje delta funkcije u obliku ograničenja na , prikazanoj na sl. jedan, b, mi nalazimo

,

Integracija daje svojstvo filtera u integralnom obliku

, . (2.5)

Ortonormalna osnova

U (2.5) postavljamo

, ,

i dobijamo uslov ortonormalnosti za bazu sa kontinuiranim spektrom

. (2.7)

Skaliranje argumenata

Izvedeno

,

, (2.8)

Dokaz

Integriramo proizvod delta funkcije s glatkom funkcijom preko intervala, gdje je:

gdje se vrši zamjena varijable i koristi se svojstvo filtriranja. Poređenje početnog i krajnjeg izraza daje (2.8).

Pojednostavljivanje argumenta

Ako su korijeni funkcije , onda

. (2.9)

Dokaz

Funkcija je različita od nule samo blizu tačaka , u tim tačkama je beskonačna.

Da bismo pronašli težinu s kojom beskonačnost ulazi, integriramo proizvod s glatkom funkcijom u intervalu . Doprinosi su različiti od nule samo u okolini tačaka

. , (2.10) .. (2.35a)

Fourierova teorema pomaka argumenta

i (2.35a) dati

. (2.35b)

Iz (1.1) i integralnog prikaza (2.24)

dobijamo

. (2.36a)

Fourierov teorem o faznom pomaku funkcije

i (2.36a) dati

. (2.36b)

Iz (2.35a) i Fourierove teoreme diferencijacije

. (2.37a)

Iz (2.36a) i Fourierove teoreme o množenju argumentom

dobijamo

. (2.37b)

1. Heaviside jedinica inkluzije, Dirac delta funkcija i njihova glavna svojstva

Heaviside funkcija identiteta

Heaviside funkcija (funkcija koraka jedinice, jedinica hop funkcija, uključena jedinica) je parametarska konstantna funkcija jednaka nuli za negativne vrijednosti argumenta i jedan za pozitivne. Na nuli ova funkcija nije definirana, ali se obično u ovoj tački proširuje za određeni broj tako da domen funkcije sadrži sve točke realne ose. Najčešće nije važno koju vrijednost funkcija zauzima na nuli, pa se mogu koristiti različite definicije Heaviside funkcije, pogodne iz ovog ili onog razloga, na primjer:

Još jedna uobičajena definicija:

Hevisajdova funkcija se široko koristi u matematičkom aparatu teorije upravljanja i teorije obrade signala za predstavljanje signala koji prelaze iz jednog stanja u drugo u određenom trenutku. U matematičkoj statistici, ova funkcija se koristi za pisanje empirijske funkcije distribucije.

Heaviside funkcija je antiderivat za Diracovu delta funkciju, H" = δ, ovo se takođe može napisati kao:

delta funkcija

δ -funkcija(ilidelta funkcija,δ -Diracova funkcija, Diracova delta, jedinična impulsna funkcija) omogućava vam da upišete prostornu gustinu fizička količina(masa, naboj, intenzitet izvora toplote, sila, itd.) koncentrisane ili primenjene u jednoj tački.

Na primjer, gustina jedinične tačke mase koja se nalazi u tački a Euklidski prostor , zapisuje se pomoću δ-funkcije u obliku δ( x − a). Također primjenjivo za opisivanje distribucije naboja, mase, itd. na površinama ili linijama.

δ-funkcija je generalizirana funkcija, što znači da je formalno definirana kao kontinuirana linearna funkcija na prostoru diferencijabilnih funkcija.

δ-funkcija nije funkcija u klasičnom smislu; ipak, nije teško pronaći nizove običnih klasičnih funkcija koje slabo konvergiraju δ-funkciji.

Može se razlikovati jednodimenzionalne i višedimenzionalne delta funkcije, međutim, potonje se mogu predstaviti kao proizvod jednodimenzionalnih u količini koja je jednaka dimenziji prostora na kojem je multidimenzionalna definirana.

Svojstva

Antiderivat jednodimenzionalne delta funkcije je Heaviside funkcija:

Svojstvo filtriranja delta funkcije:

2. Filtervisoki tonovi(HPF)- elektronski ili bilo koji drugi filter koji propušta visoke frekvencije ulaznog signala, potiskujući signalne frekvencije manje od granične frekvencije. Stepen potiskivanja zavisi od specifičnog tipa filtera. Pasivni filter - Elektronski filter koji se sastoji samo od pasivnih komponenti kao što su kondenzatori i otpornici. Pasivni filteri ne zahtijevaju nikakav izvor energije za rad. Za razliku od aktivnih filtera, pasivni filteri ne pojačavaju signal u smislu snage. Gotovo uvijek pasivni filteri su linearni.

Najjednostavniji elektronski visokopropusni filtar sastoji se od kondenzatora i otpornika spojenih u seriju. Kondenzator propušta samo naizmjeničnu struju, a izlazni napon se uzima iz otpornika. Proizvod otpora i kapacitivnosti (R×C) je vremenska konstanta za takav filter, koja je obrnuto proporcionalna graničnoj frekvenciji u hercima.

(U svakom slučaju)

Pretvorite LPF odgovor u HPF odgovor može se izvršiti korištenjem promjene varijable: gdje je n granična frekvencija LPF pojasa i

Pretvorite strujne krugove pasivnoLC-filteri. Promjena varijabli (2.31) i (2.32) u izrazu za kvadrat frekvencijskog odziva |H p (j )| 2 niskopropusna filtera, kada implementiraju ovu funkciju, dovode do konverzije niskopropusnog kruga u visokopropusni filter i PF kola. Induktivni otpor niskopropusnog filtera j n.h. L n.h. prelazi pri pretvaranju frekvencija (17.31) u otpor: tj. u kapacitet visokofrekventnog filtera, gdje je C v.ch = 1/ p 2 L n.h.

Kapacitivna provodljivost: pretvara se u induktivnu provodljivost visokopropusnog filtera sa induktivnošću L visoka frekvencija = 1/ n 2 C niska frekvencija.

Transformacija funkcije prijenosa aktivnih RC filtera. U aktivnim RC filterima, da bi se prešlo s prijenosne funkcije LPF prototipa na prijenosne funkcije HPF i PF, kompleksna varijabla p mora se zamijeniti. Iz (17.31) dobijamo za HPF

ili (17.34) gdje je n.h = n.h/p i v.h = v.h/p.

(Ili kako su napisali na izbornom)

Definicija. delta funkcija

,

modelira tačku poremećaja i definira se kao

(2.1)

Funkcija je jednaka nuli u svim tačkama osim
, gdje je njen argument nula, a gdje je funkcija beskonačna, kao što je prikazano na sl. jedan, a. Vježbajte
vrijednosti u tačkama argumenta su dvosmislene zbog svog odlaska u beskonačnost, pa je delta funkcija generalizovana funkcija , i zahtijeva dodatnu definiciju u obliku normalizacije.

Fig.1. delta funkcija

Stanje normalizacije

,
. (2.2)

Površina ispod grafa funkcije jednaka je jedinici u bilo kojem intervalu koji sadrži tačku a, kao što je prikazano na slici 1, b. Stoga, delta funkcija modelira perturbaciju tačke jedne vrijednosti.

Paritet funkcija proizlazi iz (2.1)

,

. (2.2a)

Od simetrije
u odnosu na tačku
dobijamo

, (2.2b)

kao što je prikazano na slici 1, b.

ortonormalnost. Puno mogućnosti

,
,

formira ortonormalnu beskonačno-dimenzionalnu osnovu.

Delta funkciju je u optici primijenio Kirchhoff 1882. godine, au elektromagnetskoj teoriji Heaviside 1990-ih.

Gustav Kirchhoff (1824–1887) Oliver Hevisajd (1850–1925)

Oliver Hevisajd je samouk naučnik koji je prvi koristio vektore u fizici, razvio vektorsku analizu, uveo koncept operatora i razvio operativni račun, metodu operatora za rešavanje diferencijalnih jednačina. Uveo je funkciju uključivanja, kasnije nazvanu po njemu, koristio je funkciju točkastog impulsa - delta funkciju. Primenio je kompleksne brojeve u teoriji električnih kola. Po prvi put je napisao Maxwellove jednačine u obliku 4 jednakosti umjesto 20 jednačina, koliko je imao Maxwell. Uvedeni termini: provodljivost, impedansa, induktivnost, elektret . Razvio je teoriju telegrafske komunikacije na velikim udaljenostima, predvidio prisustvo jonosfere u blizini Zemlje - Kennelly-Heaviside sloj .

Matematičku teoriju generalizovanih funkcija razvio je Sergej L'vovič Sobolev 1936. godine. Bio je jedan od osnivača Novosibirske akademije. Njegovo ime nosi Institut za matematiku SB RAN, čiji je osnivač i direktor bio od 1957. do 1983. godine.

Sergej Lvovič Sobolev (1908–1989)

Svojstva Delta funkcije Svojstvo filtera

Za glatku funkciju
, koji nema diskontinuiteta, iz (2.1)

dobijamo svojstvo filtriranja delta funkcije u diferencijalnom obliku utiče na jednu tačku
:

Mi vjerujemo
, i koristite ograničenje za delta funkciju na
prikazano na sl. jedan, b. Mi nalazimo

,

. (2.4)

Integriramo (2.3) preko intervala
, uključujući tačku a, uzimamo u obzir normalizaciju (2.2) i dobijamo svojstvo filtriranja delta funkcije u integralnom obliku

,
. (2.5)

Ortonormalna osnova

U (2.5) postavljamo

,
,

i dobijamo uslov ortonormalnosti za bazu
sa kontinuiranim rasponom vrijednosti

. (2.7)

Uvod

Razvoj nauke iziskuje sve više za svoje teoretsko utemeljenje visoka matematika“, od kojih su jedno od dostignuća generalizirane funkcije, posebno Diracova funkcija. Trenutno je teorija generaliziranih funkcija relevantna u fizici i matematici, jer ima niz izvanrednih svojstava koja proširuju mogućnosti klasičnog matematička analiza, proširuje raspon problema koji se razmatraju i, osim toga, dovodi do značajnih pojednostavljenja u proračunima, automatizirajući elementarne operacije.

Ciljevi ovog rada:

1) proučavati koncept Diracove funkcije;

2) razmotriti fizičke i matematičke pristupe njegovom definisanju;

3) pokazati primjenu za pronalaženje izvoda diskontinuiranih funkcija.

Zadaci rada: pokazati mogućnosti korištenja delta funkcije u matematici i fizici.

Rad predstavlja razne načine definicije i uvođenje Diracove delta funkcije, njena primjena u rješavanju problema.

Definicija Diracove funkcije

Osnovni koncepti.

U različitim pitanjima matematičke analize, termin "funkcija" se mora razumjeti s različitim stepenom općenitosti. Ponekad se razmatraju kontinuirane, ali ne diferencibilne funkcije, u drugim pitanjima se mora pretpostaviti da je riječ o funkcijama koje su diferencibilne jednom ili više puta, itd. Međutim, u nekim slučajevima klasični koncept funkcije, čak i tumačene u najširem smislu, tj. po proizvoljnom pravilu, dodeljivanje svakoj vrednosti x iz domena ove funkcije određenog broja y=f(x), pokazuje se nedovoljnim.

Evo jednog važnog primjera: pri primjeni aparata matematičke analize na određene probleme, moramo se suočiti sa situacijom u kojoj se određene operacije analize pokazuju nemogućim; na primjer, funkcija koja nema izvod (u nekim točkama ili čak posvuda) ne može se razlikovati ako se izvod shvati kao elementarna funkcija. Poteškoće ovog tipa mogle bi se izbjeći ograničavanjem razmatranja samo analitičkih funkcija. Međutim, takvo sužavanje zaliha dozvoljenih funkcija je u mnogim slučajevima krajnje nepoželjno. Posebno je akutna potreba za daljim proširenjem koncepta funkcije.

1930. godine, da bi riješio probleme teorijske fizike, najveći engleski teorijski fizičar P. Dirac, jedan od osnivača kvantna mehanika, nedostajao je aparat klasične matematike, te je uveo novi objekt nazvan “delta funkcija”, koji je otišao daleko dalje od klasična definicija funkcije.

P. Dirac u knjizi “Principi kvantne mehanike” definirao je delta funkciju q(x) na sljedeći način:

Osim toga, postavljen je uslov:

Možete vizualizirati graf funkcije slične q(x), kao što je prikazano na slici 1. Što je traka između lijeve i desne grane uža, to ova traka mora biti viša da bi površina trake bila (tj. integral) da zadrži svoju zadatu vrijednost jednaku 1. Kako se traka sužava, približavamo se uvjetu q(x) = 0 at x? 0, funkcija se približava delta funkciji.

Ova ideja je općenito prihvaćena u fizici.

Treba naglasiti da q(x) nije funkcija u uobičajenom smislu, jer ova definicija implicira nespojive uslove sa stanovišta klasične definicije funkcije i integrala:

at i.

U klasičnoj analizi ne postoji funkcija koja ima svojstva koja je propisao Dirac. Samo nekoliko godina kasnije, u radovima S.L. Sobolev i L. Schwartz, delta funkcija je dobila svoj matematički dizajn, ali ne kao obična, već kao generalizirana funkcija.

Prije nego što pređemo na razmatranje Diracove funkcije, uvodimo glavne definicije i teoreme koje će nam trebati:

Definicija 1. Slika funkcije f(t) ili L - slika datu funkciju f(t) je funkcija kompleksne varijable p definirane jednakošću:

Definicija 2. Funkcija f(t) definiran ovako:

pozvao Heaviside funkcija identiteta i označeno sa. Grafikon ove funkcije prikazan je na slici 2

Hajde da nađemo L- slika Heaviside funkcije:

Neka je funkcija f(t) za t<0 тождественно равна нулю (рис.3). Тогда функция f(t-t 0) будет тождественно равна нулю при t

Da biste pronašli sliku q(x) koristeći pomoćnu funkciju, razmotrite teoremu kašnjenja:

Teorema 1. Ako je F(p) slika funkcije f(t), onda postoji slika funkcije f(t-t 0 ), odnosno, ako je L(f(t))=F(p), onda .

Dokaz.

Po definiciji slike, imamo

Prvi integral je nula jer f(t-t 0 )=0 at t 0 . U posljednjem integralu vršimo promjenu varijable t-t 0 =z:

Na ovaj način, .

Za jediničnu Heaviside funkciju, utvrđeno je da. Na osnovu dokazane teoreme slijedi da je za funkciju, L- slika će biti, tj

Definicija 3. Kontinuirana ili djelomično kontinuirana funkcija d(t,l) argument t, u zavisnosti od parametra l, zove se u obliku igle, ako:

Definicija 4. Numerička funkcija f, definiran na nekom linearnom prostoru L, zvao funkcionalnost.

Definirajmo skup onih funkcija na koje će funkcionirati. Kao ovaj skup, razmotrite skup K sve stvarne funkcije c(x), od kojih svaki ima kontinuirane izvode svih redova i konačan je, odnosno nestaje izvan nekog ograničenog područja (svoje za svaku od funkcija c(x)). Ove funkcije će biti pozvane main, i cijeli njihov set To - glavni prostor.

Definicija 5. Generalizirana funkcija je bilo koja linearna kontinuirana funkcionalnost definirana na baznom prostoru To.

Hajde da dešifrujemo definiciju generalizovane funkcije:

1) generalizovana funkcija f postoji funkcionalnost na glavnim funkcijama c, odnosno svaki c preslikava na (kompleksni) broj (f, c);

2) funkcionalnost f linearni, odnosno za bilo koje kompleksne brojeve l 1 i l 2 i sve osnovne funkcije c 1 i c 2 ;

3) funkcionalnost f kontinuirano, odnosno ako.

Definicija 6.Puls- jednokratni, kratkotrajni skok električne struje ili napona.

Definicija 7.Prosječna gustina- odnos telesne težine m na njenu zapreminu V, to je .

Teorema 2.(Uopštena teorema srednje vrijednosti).

Ako je f(t) kontinuirana i integrabilna funkcija na , i ne mijenja predznak na ovom intervalu, onda gdje.

Teorema 3.Neka je funkcija f(x) ograničena i ima najviše konačan broj točaka diskontinuiteta. Tada je funkcija antiderivat za funkciju f(x) na intervalu, a za bilo koji antiderivat F(x) formula.

Definicija 8. Skup svih kontinuiranih linearnih funkcionala definiranih na nekom linearnom prostoru E, formira linearni prostor. To se zove prostor konjugirati With E, i označava se E * .

Definicija 9. linearni prostor E, u kojem je data neka norma, naziva se normirani prostor.

Definicija 10. Slijed se zove slabo konvergentan k, ako relacija vrijedi za svaki.

Teorema 4.Ako je (x n ) je slabo konvergentan niz u normiranom prostoru, tada postoji konstantan broj C takav da .

Diracova delta funkcija

Delta funkciju (5-funkcija) uveo je engleski fizičar P. A. M. Dirac "iz nužde" kada je stvorio matematički aparat kvantne mehanike. Matematičari ga neko vrijeme "nisu prepoznavali", nakon čega su stvorili teoriju generaliziranih funkcija, čiji je poseban slučaj δ-funkcija.

Prema (naivnoj) definiciji, δ-funkcija je svugdje jednaka nuli osim u jednoj tački, ali je područje koje pokriva ova funkcija jednako jedan:

Ovi konfliktni

zahtjeve ne može ispuniti funkcija "regularnog" tipa.

Zeldovich Ya.B. Viša matematika za fizičare i tehničare početnike. -M.: Nauka, 1982.

Zapravo, kao diferencijal δh nije broj (jednak nuli), a izraz "beskonačno mala vrijednost" teško je kvalitativno razumjeti, pravilno razumjeti δh ne kao broj, već kao granicu (proces), takođe je ispravno shvatiti δ-funkciju kao granicu (proces). Na sl. 3.7.1 i 3.7.2 prikazuju nekoliko funkcija (ovisno o parametru), čija je granica δ-funkcija. Takvih funkcija ima beskonačno mnogo - svako može izabrati svoje.

δ-funkcija ima mnoga korisna svojstva, a posebno je kontinualni analog Kroneckerovog simbola δkk

uporedi sa

Još jedna iznenađujuća relacija pokazuje kako možete razlikovati integracijom:

gdje 8 - derivat 8- funkcije.

Rice. 3.7.1 - Dvije uzastopne aproksimacije δ-

Diracove funkcije. Prikazana funkcija

Rice. 3.7.2 - Dvije funkcije koje su u limitu a ->∞ dati δ-funkcije:

Konačno, imajte na umu da je interval δ-funkcije:

gdje u (x)- Heaviside funkcija,

korak, sa prekidom u tački x= 0 .

Fazni prelazi

Da bismo govorili o faznim prelazima, potrebno je definisati šta su to faze. Pojam faza javlja se u mnogim pojavama, stoga ćemo, umjesto da damo opštu definiciju (što je općenitija, apstraktnija i nevidljivija, kako bi trebala biti), navesti nekoliko primjera.

Prvo, primjer njihove fizike. Za uobičajenu, najčešću tečnost u našem životu - vodu, poznate su tri faze: tečna, čvrsta (led) i gasovita (para). Svaki od njih karakteriziraju vlastite vrijednosti parametara. Bitno je da kada se spoljni uslovi promene, jedna faza (led) pređe u drugu (tečnost). Još jedan omiljeni predmet teoretičara je feromagnet (gvožđe, nikl i mnogi drugi čisti metali i legure). Na niskim temperaturama (za nikal ispod T= 3600 OD) uzorak nikla je feromagnet; kada se ukloni vanjsko magnetsko polje, ostaje magnetizirano, tj. može se koristiti kao trajni magnet. Na temperaturama iznad Ts ovo svojstvo se gubi, kada se eksterno magnetno polje isključi, ono prelazi u paramagnetno stanje i nije trajni magnet. Kada se temperatura promijeni, dolazi do prijelaza - faznog prijelaza - iz jedne faze u drugu.

Navedimo još jedan geometrijski primjer iz teorije perkolacije. Nasumično izrezivanje priključaka iz mreže, na kraju, kada se koncentracija preostalih veza - R postaje manja od neke vrijednosti rs, više neće biti moguće prolaziti duž rešetke "s jednog kraja na drugi". Tako će mreža iz stanja perkolacije - faze "curenja", preći u stanje faze "bez curenja".

Iz ovih primjera jasno je da za svaki od razmatranih sistema postoji takozvani parametar reda koji određuje u kojoj se fazi sistem nalazi. U feromagnetizmu, parametar reda je magnetizacija u nultom vanjskom polju; u teoriji perkolacije, to je mrežna povezanost, ili, na primjer, njena vodljivost ili gustina beskonačnog klastera.

Fazni prijelazi su raznih vrsta. Fazni prijelazi prve vrste su takvi prijelazi kada u sistemu može istovremeno postojati više faza. Na primjer, na temperaturi od 0° C led pliva u vodi. Ako je sistem u termodinamičkoj ravnoteži (nema dovoda i odvođenja toplote), tada se led ne topi i ne raste. Za fazne prelaze druge vrste nemoguće je postojanje nekoliko faza istovremeno. Komad nikla je ili u paramagnetnom ili u feromagnetnom stanju. Mreža sa nasumično isečenim vezama je ili povezana ili ne.

Odlučujući u stvaranju teorije faznih prelaza druge vrste, čiji je početak postavio L.D. Landau, došlo je do uvođenja parametra narudžbe (mi ćemo ga označiti G]) kao prepoznatljiva karakteristika faze sistema. U jednoj od faza, na primjer, paramagnetna, r] = 0, a u drugom, feromagnetna, G ^ 0. Za magnetne pojave, parametar reda ] je magnetizacija sistema.

Za opis faznih prelaza uvodi se određena funkcija parametara koji određuju stanje sistema - G(n, T,...). U fizičkim sistemima, ovo je Gibbsova energija. U svakom fenomenu (perkolacija, mreža "malih svjetova" itd.) ova funkcija će biti određena "nezavisno". Glavno svojstvo ove funkcije, prva pretpostavka L.D. Landau - u stanju ravnoteže, ova funkcija uzima minimalnu vrijednost:

U fizičkim sistemima se govori o termodinamičkoj ravnoteži, u teoriji složenih lanaca može se govoriti o stabilnosti. Imajte na umu da se uvjet minimalnosti određuje mijenjanjem parametra reda.

Druga pretpostavka L.D. Landau - pri faznoj transformaciji n = 0. Prema ovoj pretpostavci, funkcija b(n, T, ...) u blizini tačke faznog prijelaza može se proširiti u niz po stupnjevima parametra reda n:

gdje je n = 0 u jednoj fazi (paramagnetnoj, ako govorimo o magnetizmu i nepovezanoj, ako govorimo o mreži) i n ^ 0 u drugoj (feromagnetnoj ili spojenoj).

Od uslova

što nam daje dva rješenja

Za T > Tc mora postojati rješenje n = 0, i za T< Тс rješenje n ^ 0. Ovo se može zadovoljiti ako je za slučaj T > Tc i n = 0 izabrati A > 0 . U ovom slučaju nema drugog korijena. I za slučaj T < Ts drugo rješenje se mora dogoditi, tj. mora biti sprovedena ALI< 0. Ovako:

A > 0 at T > Tc, ALI< 0 at T< Тс ,

Landauova druga pretpostavka zahtijeva A(Tc) = 0. Najjednostavnija vrsta funkcija A(T) koja zadovoljava ove zahtjeve je

Takozvani kritični indeks i funkcija C(g], T) ima oblik:

Na sl. 3.8.1 prikazuje zavisnost b(n, T) za T > Tc i T< Тс .

Rice. 3.8.1 - Grafičke funkcije parametara G(n, T) za T > Tc i T< Тс

Poston T., Stuart I. Teorija katastrofe i njene primjene. - M.: Mir, 1980. Gilmour R. Primijenjena teorija katastrofe. - M.: Mir, 1984.

Kvalitativna zavisnost parametara G(j], T) na parametru narudžbe ] je prikazano na sl. 3.8.1 (G0 = 0). Temperaturna zavisnost parametra reda ] prikazana je na Sl. 3.8.2.

Naprednija teorija uzima u obzir da kada T > Tc parametar reda ], iako vrlo mali, nije baš nula.

Tranzicija sistema iz stanja s h = 0 at T > Tc u državi sa h- 0 kada se smanjuje T i dostizanje vrednosti T £ Tc može se shvatiti kao gubitak stabilnosti položaja h = 0 at T £ Tc. Najnovija matematička teorija

sa zvučnim nazivom "Teorija katastrofa" koja sa jedne tačke gledišta opisuje mnoge različite pojave. Sa stanovišta teorije katastrofa, fazna tranzicija druge vrste je "katastrofa montaže".

Rice. 3.8.2 - Ovisnost parametara reda n temperatura: at T< Tc i blizu Tc parametar naloga n Ponašaj se kao funkcija snage, i kada T > Tc n = 0