PoglavljeI. RANDOM DOGAĐAJI. VJEROJATNOST

1.1. Pravilnost i slučajnost, slučajna varijabilnost u egzaktnim naukama, u biologiji i medicini

Teorija vjerovatnoće je grana matematike koja proučava obrasce u slučajnim pojavama. Slučajni fenomen je fenomen koji se, uz ponovljeno reprodukovanje istog iskustva, svaki put može odvijati na malo drugačiji način.

Očigledno, ne postoji niti jedna pojava u prirodi u kojoj elementi slučajnosti ne bi bili prisutni u ovoj ili onoj mjeri, ali u različitim situacijama ih na različite načine uzimamo u obzir. Dakle, u nizu praktičnih problema mogu se zanemariti i umjesto realnog fenomena, može se razmatrati njegova pojednostavljena shema – “model” pod pretpostavkom da se u datim eksperimentalnim uvjetima fenomen odvija na potpuno određen način. Istovremeno se izdvajaju najvažniji, odlučujući faktori koji karakterišu fenomen. Upravo se ova shema za proučavanje fenomena najčešće koristi u fizici, tehnologiji i mehanici; ovako se otkriva glavni obrazac , karakterističan za datu pojavu i omogućava da se predvidi rezultat eksperimenta prema datim početnim uslovima. A utjecaj slučajnih, sekundarnih faktora na rezultat eksperimenta ovdje se uzima u obzir slučajnim greškama mjerenja (u nastavku ćemo razmotriti metodu njihovog izračunavanja).

Međutim, opisana klasična shema takozvanih egzaktnih nauka slabo je prilagođena rješavanju mnogih problema u kojima brojni, usko isprepleteni slučajni faktori igraju primjetnu (često odlučujuću) ulogu. Ovdje dolazi do izražaja nasumična priroda pojave, koja se više ne može zanemariti. Ovaj fenomen se mora proučavati upravo sa stanovišta zakona koji su mu inherentni kao slučajna pojava. U fizici, primjeri takvih pojava su Brownovo kretanje, radioaktivni raspad, brojni kvantnomehanički procesi, itd.

Predmet proučavanja biologa i ljekara je živi organizam, čiji nastanak, razvoj i postojanje određuju vrlo mnogi i raznoliki, često slučajni vanjski i unutrašnji faktori. Zato su i pojave i događaji u živom svijetu također u velikoj mjeri nasumične prirode.

Elementi neizvjesnosti, složenosti, više uzročnosti svojstveni slučajnim pojavama zahtijevaju stvaranje posebnih matematičkih metoda za proučavanje ovih pojava. Razvoj takvih metoda, uspostavljanje specifičnih obrazaca svojstvenih slučajnim pojavama, glavni su zadaci teorije vjerovatnoće. Karakteristično je da su ove pravilnosti ispunjene samo kada su slučajne pojave masovne. Štaviše, pojedinačne karakteristike pojedinačnih slučajeva, takoreći, poništavaju jedna drugu, a prosječni rezultat za masu slučajnih pojava više nije slučajan, već sasvim prirodan. . Ova okolnost je u velikoj mjeri bila razlog širenja probabilističke metode istraživanja u biologiji i medicini.

Razmotrite osnovne koncepte teorije vjerovatnoće.

1.2. Vjerovatnoća slučajnog događaja

Svaka nauka koja razvija opštu teoriju određenog niza pojava zasniva se na nizu osnovnih koncepata. Na primjer, u geometriji, to su koncepti tačke, prave linije; u mehanici - pojmovi sile, mase, brzine itd. Osnovni koncepti postoje u teoriji vjerovatnoće, jedan od njih je slučajni događaj.

Slučajni događaj je svaki fenomen (činjenica) koji se, kao rezultat iskustva (testiranja), može, ali i ne mora dogoditi.

Slučajni događaji su označeni slovima A, B, C… itd. Evo nekoliko primjera slučajni događaji:

ALI- gubitak orla (grba) pri bacanju standardnog novčića;

AT- rođenje djevojčice u ovoj porodici;

OD– rođenje djeteta sa unaprijed određenom tjelesnom težinom;

D- pojava epidemije bolesti u određenom regionu u određenom vremenskom periodu i sl.

Glavna kvantitativna karakteristika slučajnog događaja je njegova vjerovatnoća. Neka ALI neki slučajni događaj. Vjerovatnoća slučajnog događaja A je matematička vrijednost koja određuje mogućnost njegovog nastanka. Određeno je R(ALI).

Razmotrite dvije glavne metode za određivanje ove vrijednosti.

Klasična definicija vjerovatnoće slučajnog događaja obično se zasniva na rezultatima analize spekulativnih eksperimenata (testova), čija je suština određena uslovom zadatka. U ovom slučaju, vjerovatnoća slučajnog događaja P(A) je jednako:

gdje m- broj slučajeva povoljnih za nastanak događaja ALI; n je ukupan broj jednako vjerovatnih slučajeva.

Primjer 1 Laboratorijski štakor je smješten u labirint u kojem samo jedan od četiri moguća puta vodi do nagrade za hranu. Odredite vjerovatnoću da štakor odabere takav put.

Rješenje: prema uslovu zadatka iz četiri podjednako moguća slučaja ( n=4) događaj ALI(pacov pronalazi hranu)
favorizuje samo jednu, tj. m= 1 Onda R(ALI) = R(pacov pronalazi hranu) = = 0,25 = 25%.

Primjer 2. U urni se nalazi 20 crnih i 80 bijelih loptica. Iz nje se nasumično izvlači jedna loptica. Odredite vjerovatnoću da je ova lopta crna.

Rješenje: broj svih kuglica u urni je ukupan broj jednako vjerojatnih slučajeva n, tj. n = 20 + 80 = 100, od čega događaj ALI(izvlačenje crne lopte) moguće je samo na 20, tj. m= 20. Onda R(ALI) = R(H.W.) = = 0,2 = 20%.

Navodimo svojstva vjerovatnoće koja proizlaze iz njene klasične definicije - formule (1):

1. Vjerovatnoća slučajnog događaja je bezdimenzionalna veličina.

2. Vjerovatnoća slučajnog događaja je uvijek pozitivna i manja od jedan, tj. 0< P (A) < 1.

3. Vjerovatnoća određenog događaja, tj. događaja koji će se definitivno dogoditi kao rezultat iskustva ( m = n) je jednako jedan.

4. Vjerovatnoća nemogućeg događaja ( m= 0) jednako je nuli.

5. Vjerovatnoća bilo kojeg događaja nije negativna i ne prelazi jedan:
0 £ P (A) 1 £.

Statističko određivanje vjerovatnoće slučajnog događaja koristi se kada nije moguće koristiti klasičnu definiciju (1). To je često slučaj u biologiji i medicini. U tom slučaju, vjerovatnoća R(ALI) utvrđuje se sumiranjem rezultata stvarno sprovedenih serija ispitivanja (eksperimenata).

Hajde da uvedemo koncept relativne učestalosti pojavljivanja slučajnog događaja. Pretpostavimo niz N iskustva (broj N može biti unapred odabran) događaj koji nas zanima ALI dogodilo u M Od njih ( M < N). Omjer broja eksperimenata M, u kojoj se ovaj događaj dogodio, na ukupan broj izvedenih eksperimenata N naziva se relativna učestalost pojavljivanja slučajnog događaja ALI u ovoj seriji eksperimenata R* (ALI)

R*(ALI) = .

Eksperimentalno je utvrđeno da ako se provede serija ispitivanja (eksperimenata) u isti uslovi a u svakom od njih broj N je dovoljno velika, tada relativna frekvencija pokazuje svojstvo stabilnosti : ne menja se mnogo od epizode do epizode. , približavajući se sa povećanjem broja eksperimenata određenoj konstantnoj vrijednosti . Uzima se kao statistička vjerovatnoća slučajnog događaja ALI:

R(ALI)= lim , at N , (2)

Dakle, statistička vjerovatnoća R(ALI) slučajni događaj ALI nazovite granicu kojoj teži relativna učestalost pojavljivanja ovog događaja uz neograničeno povećanje broja pokušaja (za N → ∞).

Otprilike, statistička vjerovatnoća slučajnog događaja jednaka je relativnoj učestalosti pojave ovog događaja u veliki brojevi testovi:

R(ALI)≈ R*(ALI)= (za velike N) (3)

Na primjer, u eksperimentima s bacanjem novčića, relativna učestalost ispadanja grba pri 12 000 bacanja pokazala se 0,5016, a pri 24 000 bacanja - 0,5005. Prema formuli (1):

P(grb) == 0,5 = 50%

Primjer . Prilikom ljekarskog pregleda 500 osoba, kod njih 5 pronađen je tumor na plućima (o.l.). Odredite relativnu učestalost i vjerovatnoću ove bolesti.

Rješenje: prema stanju problema M = 5, N= 500, relativna frekvencija R*(o.l.) = M/N= 5/500 = 0,01; zbog N je dovoljno velika, može se s dobrom preciznošću smatrati da je vjerovatnoća tumora u plućima jednaka relativnoj učestalosti ovog događaja:

R(o.l.) = R* (o.l.) \u003d 0,01 \u003d 1%.

Svojstva vjerovatnoće slučajnog događaja navedena iznad su također sačuvana za statistička definicija datu vrijednost.

1.3. Vrste slučajnih događaja. Osnovne teoreme teorije vjerovatnoće

Svi slučajni događaji se mogu podijeliti na:

¾ nekompatibilno;

¾ nezavisni;

¾ zavisno.

Svaka vrsta događaja ima svoje karakteristike i teoreme teorije vjerovatnoće.

1.3.1. Nekompatibilni slučajni događaji. Teorema sabiranja

Slučajni događaji (A, B, C,D…) nazivaju se nedosljednim , ako pojava jednog od njih isključuje pojavu drugih događaja u istom ispitivanju.

Primjer1 . Novčić je bačen. Kada padne, izgled “grba” isključuje pojavu “repa” (natpis koji određuje cijenu novčića). Događaji “ispao grb” i “ispali repovi” su nespojljivi.

Primjer 2 . Dobivanje od strane studenta na jednom ispitu ocjene “2”, ili “3”, ili “4” ili “5” su nedosljedni događaji, jer jedna od ovih ocjena isključuje drugu na istom ispitu.

Za nekompatibilne slučajne događaje, teorema sabiranja: vjerovatnoća pojave jedan, ali ipak koji, od nekoliko nespojivih događaja A1, A2, A3 ... Ak jednak je zbiru njihovih vjerovatnoća:

P(A1 ili A2 ... ili Ak) = R(A1) + R(A2) + …+ R(Ak). (4)

Primjer 3. U urni se nalazi 50 loptica: 20 bijelih, 20 crnih i 10 crvenih. Pronađite vjerovatnoću pojave bijelog (događaj ALI) ili crvena lopta (događaj AT) kada se loptica nasumično izvuče iz urne.

Rješenje: R(A ili B)= P(ALI)+ P(AT);

R(ALI) = 20/50 = 0,4;

R(AT) = 10/50 = 0,2;

R(ALI ili AT)= P(b. sh. ili k. sh.) = 0,4 + 0,2 = 0,6 = 60%.

Primjer 4 . U razredu je 40 djece. Od toga, uzrasta od 7 do 7,5 godina, 8 dječaka ( ALI) i 10 djevojaka ( AT). Pronađite vjerovatnoću da u razredu ima djece ovog uzrasta.

Rješenje: R(ALI)= 8/40 = 0,2; R(AT) = 10/40 = 0,25.

P(A ili B) = 0,2 + 0,25 = 0,45 = 45%

Sljedeći važan koncept je kompletna grupa događaja: nekoliko nespojivih događaja čine potpunu grupu događaja ako svako ispitivanje može rezultirati samo jednim od događaja u ovoj grupi i nijednim drugim.

Primjer 5 . Strijelac je pucao u metu. Jedan od sljedećih događaja će se sigurno dogoditi: pogoditi "desetku", "devetku", "osam", .., "jedan" ili promašaj. Ovih 11 nepovezanih događaja čine kompletnu grupu.

Primjer 6 . Na ispitu na Univerzitetu student može dobiti jednu od sljedeće četiri ocjene: 2, 3, 4 ili 5. Ova četiri nezajednička događaja takođe čine kompletnu grupu.

Ako su nekompatibilni događaji A1, A2 ... Ak formiraju kompletnu grupu, tada je zbir vjerovatnoća ovih događaja uvijek jednak jedan:

R(A1)+ P(A2)+ … P(ALIk) = 1, (5)

Ova izjava se često koristi u rješavanju mnogih primijenjenih problema.

Ako su dva događaja jedinstvena i nekompatibilna, onda se nazivaju suprotnim i označavaju ALI i . Takvi događaji čine kompletnu grupu, pa je zbir njihovih vjerovatnoća uvijek jednak jedan:

R(ALI)+ P() = 1. (6)

Primjer 7. Neka R(ALI) je vjerovatnoća smrtnog ishoda kod određene bolesti; poznato je i jednako je 2%. Tada je vjerovatnoća uspješnog ishoda ove bolesti 98% ( R() = 1 – R(ALI) = 0,98), pošto R(ALI) + R() = 1.

1.3.2. nezavisnih slučajnih događaja. Teorema množenja vjerovatnoće

Slučajni događaji se nazivaju nezavisnim ako pojava jednog od njih ne utiče na vjerovatnoću nastanka drugih događaja.

Primjer 1 . Ako postoje dvije ili više urni sa obojenim kuglicama, tada izvlačenje bilo koje lopte iz jedne urne ne utiče na vjerovatnoću izvlačenja drugih kuglica iz preostalih urni.

Za samostalne događaje, teorem množenja vjerovatnoće: spoj vjerovatnoće(simultano)pojava nekoliko nezavisnih slučajnih događaja jednaka je proizvodu njihovih vjerovatnoća:

P(A1 i A2 i A3 ... i Ak) = P(A1) ∙P(A2) ∙…∙P(Ak). (7)

Zajednička (istovremena) pojava događaja znači da se događaji dešavaju i A1, i A2, i A3… i ALIk .

Primjer 2 . Postoje dvije urne. Jedna sadrži 2 crne i 8 bijelih kuglica, druga 6 crnih i 4 bijele. Neka događaj ALI- slučajni odabir bijele kuglice iz prve urne, AT- od drugog. Kolika je vjerovatnoća da se iz ovih urni nasumično odabere bela kugla, tj. R (ALI i AT)?

Rješenje: vjerovatnoća izvlačenja bijele lopte iz prve urne
R(ALI) = = 0,8 od drugog – R(AT) = = 0,4. Verovatnoća dobijanja bele kugle iz obe urne u isto vreme je
R(ALI i AT) = R(ALI)· R(AT) = 0,8∙ 0,4 = 0,32 = 32%.

Primjer 3 Ishrana sa smanjenim unosom joda uzrokuje povećanje štitne žlijezde kod 60% životinja u velikoj populaciji. Za eksperiment su potrebne 4 uvećane žlijezde. Pronađite vjerovatnoću da će 4 nasumično odabrane životinje imati povećanu štitnu žlijezdu.

Rješenje: Slučajni događaj ALI- slučajni odabir životinje sa povećanom štitnom žlijezdom. Prema stanju problema, vjerovatnoća ovog događaja R(ALI) = 0,6 = 60%. Tada će vjerovatnoća zajedničke pojave četiri nezavisna događaja - slučajnog izbora 4 životinje s povećanom štitnom žlijezdom - biti jednaka:

R(ALI 1 i ALI 2 i ALI 3 i ALI 4) = 0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 ∙ 0,6=(0,6)4 ≈ 0,13 = 13%.

1.3.3. zavisni događaji. Teorema množenja vjerovatnoće za zavisne događaje

Slučajni događaji A i B nazivaju se zavisnima ako pojava jednog od njih, na primjer, A mijenja vjerovatnoću pojave drugog događaja - B. Stoga se za zavisne događaje koriste dvije vrijednosti vjerovatnoće: bezuslovne i uslovne vjerovatnoće .

Ako a ALI i AT zavisni događaji, zatim vjerovatnoća da će se događaj dogoditi AT prvo (tj. prije događaja ALI) se zove bezuslovno vjerovatnoća ovog događaja i određen je R(AT). Vjerovatnoća događaja AT pod uslovom da je događaj ALI već se dogodilo, zove se uslovna verovatnoća razvoj događaja AT i označeno R(AT/ALI) ili RA(AT).

Bezuslovno - R(ALI) i uslovno - R(A/B) vjerovatnoće za događaj ALI.

Teorema množenja vjerovatnoće za dva zavisna događaja: vjerovatnoća istovremene pojave dva zavisna događaja A i B jednaka je proizvodu bezuslovne vjerovatnoće prvog događaja na uslovnu vjerovatnoću drugog:

R(A i B)= P(ALI)∙P(B/A) , (8)

ALI, ili

R(A i B)= P(AT)∙P(A/B), (9)

ako se događaj prvi dogodi AT.

Primjer 1. U urni se nalaze 3 crne i 7 bijelih kuglica. Odrediti vjerovatnoću da će 2 bijele kugle biti izvađene iz ove urne jedna po jedna (a prva lopta neće biti vraćena u urnu).

Rješenje: vjerovatnoća izvlačenja prve bijele lopte (događaj ALI) je jednako 7/10. Nakon vađenja u urni ostaje 9 loptica, od kojih su 6 bijele. Zatim je vjerovatnoća pojave druge bijele lopte (događaj AT) je jednako R(AT/ALI) = 6/9, a vjerovatnoća dobijanja dvije bijele lopte u nizu je

R(ALI i AT) = R(ALI)∙R(AT/ALI) = = 0,47 = 47%.

Dati teorem množenja vjerovatnoće za zavisne događaje može se generalizirati na bilo koji broj događaja. Konkretno, za tri događaja koji su međusobno povezani:

R(ALI i AT i OD)= P(ALI)∙ R(B/A)∙ R(TAKSI). (10)

Primjer 2. U dva vrtića, od kojih svaki pohađa po 100 djece, došlo je do izbijanja zarazne bolesti. Udio slučajeva je 1/5 odnosno 1/4, i to u prvoj ustanovi 70%, au drugoj - 60% slučajeva su djeca do 3 godine. Jedno dijete se bira nasumično. Odredite vjerovatnoću da:

1) odabrano dijete pripada prvom vrtiću (događaj ALI) i bolesni (događaj AT).

2) dijete se bira iz drugog vrtić(događaj OD), bolestan (događaj D) i stariji od 3 godine (događaj E).

Rješenje. 1) željena vjerovatnoća -

R(ALI i AT) = R(ALI) ∙ R(AT/ALI) = = 0,1 = 10%.

2) željena vjerovatnoća:

R(OD i D i E) = R(OD) ∙ R(D/C) ∙ R(E/CD) = = 5%.

1.4. Bayesova formula

Ako je vjerovatnoća zajedničkog nastupa zavisnih događaja ALI i AT onda ne zavisi od redosleda kojim se javljaju R(ALI i AT)= P(ALI)∙P(B/A)= P(AT) × R(A/B). U ovom slučaju, uslovna vjerovatnoća jednog od događaja može se pronaći znajući vjerovatnoće oba događaja i uslovnu vjerovatnoću drugog:

R(B/A) = (11)

Generalizacija ove formule za slučaj mnogih događaja je Bayesova formula.

neka " n» nekompatibilni slučajni događaji H1, H2, …, Hn, čine kompletnu grupu događaja. Vjerovatnoće ovih događaja su R(H1), R(H2), …, R(Hn) su poznati i pošto čine kompletnu grupu, onda je = 1.

neki slučajni događaj ALI povezane sa događajima H1, H2, …, Hn, a poznate su uslovne vjerovatnoće nastanka događaja ALI sa svakim događajem Hi, odnosno poznato R(A/H1), R(A/H2), …, R(A/Nn). U ovom slučaju, zbir uslovnih vjerovatnoća R(A/Ni) ne može biti jednaka jedan, tj. ≠ 1.

Zatim uslovna vjerovatnoća nastanka događaja Hi kada se događaj realizuje ALI(tj. pod uslovom da je događaj ALI dogodilo) određuje Bayesova formula :

I za ove uslovne vjerovatnoće .

Bayesova formula je našla široku primjenu ne samo u matematici, već iu medicini. Na primjer, koristi se za izračunavanje vjerovatnoće određenih bolesti. Sta ako H 1,…, Hn- procijenjene dijagnoze za ovog pacijenta, ALI- neki znak koji se odnosi na njih (simptom, određeni pokazatelj krvnog testa, urina, detalj rendgenskog snimka, itd.), te uslovne vjerovatnoće R(A/Ni) manifestacije ovog simptoma u svakoj dijagnozi Hi (i = 1,2,3,…n) su unaprijed poznati, tada nam Bayesova formula (12) omogućava da izračunamo uslovne vjerovatnoće bolesti (dijagnoze) R(Hi/ALI) nakon što se ustanovi da je karakteristična osobina ALI prisutan kod pacijenta.

Primjer1. Prilikom inicijalnog pregleda pacijenta pretpostavljaju se 3 dijagnoze H 1, H 2, H 3. Njihove vjerovatnoće su, prema ljekaru, raspoređene na sljedeći način: R(H 1) = 0,5; R(H 2) = 0,17; R(H 3) = 0,33. Stoga se prva dijagnoza čini probno najvjerojatnijom. Da bi se to razjasnilo, na primjer, propisan je krvni test u kojem se očekuje povećanje ESR (događaj ALI). Unaprijed je poznato (na osnovu rezultata istraživanja) da su vjerovatnoće povećanja ESR kod sumnjivih bolesti jednake:

R(ALI/H 1) = 0,1; R(ALI/H 2) = 0,2; R(ALI/H 3) = 0,9.

U dobijenoj analizi zabilježeno je povećanje ESR (događaj ALI dogodilo). Tada izračun prema Bayesovoj formuli (12) daje vrijednosti vjerovatnoće navodnih bolesti s povećanom vrijednošću ESR: R(H 1/ALI) = 0,13; R(H 2/ALI) = 0,09;
R(H 3/ALI) = 0,78. Ove brojke pokazuju da je, uzimajući u obzir laboratorijske podatke, najrealnija ne prva, već treća dijagnoza, čija se vjerojatnost sada pokazala prilično visokom.

Navedeni primjer je najjednostavnija ilustracija kako se pomoću Bayesove formule može formalizirati logika doktora prilikom postavljanja dijagnoze i zahvaljujući tome kreirati kompjuterske dijagnostičke metode.

Primjer 2. Odrediti vjerovatnoću kojom se procjenjuje stepen rizika od perinatalne* smrti djeteta kod žena sa anatomski uskom karlicom.

Rješenje: neka događaj H 1 - sigurna dostava. Prema kliničkim izvještajima, R(H 1) = 0,975 = 97,5%, onda ako H2- činjenica perinatalne smrtnosti, dakle R(H 2) = 1 – 0,975 = 0,025 = 2,5 %.

Označiti ALI- činjenica prisustva uske karlice kod trudnice. Iz sprovedenih studija poznato je: a) R(ALI/H 1) - vjerovatnoća uske karlice s povoljnim porodom, R(ALI/H 1) = 0,029, b) R(ALI/H 2) - vjerovatnoća uske karlice u perinatalnom mortalitetu,
R(ALI/H 2) = 0,051. Tada se željena vjerovatnoća perinatalnog mortaliteta u uskoj zdjelici u porođajne žene izračunava po Bays-ovoj formuli (12) i jednaka je:

Dakle, rizik perinatalnog mortaliteta u anatomski uskoj karlici značajno je veći (skoro dva puta) od prosječnog rizika (4,4% naspram 2,5%).

Takvi proračuni, koji se obično izvode pomoću kompjutera, čine osnovu metoda za formiranje grupa pacijenata s povećanim rizikom povezanih s prisustvom jednog ili drugog otežavajućih faktora.

Bayesova formula je vrlo korisna za procjenu mnogih drugih biomedicinskih situacija, što će postati vidljivo pri rješavanju zadataka datih u priručniku.

1.5. O slučajnim događajima sa vjerovatnoćama blizu 0 ili 1

Prilikom rješavanja mnogih praktičnih zadataka treba se suočiti sa događajima čija je vjerovatnoća vrlo mala, odnosno blizu nule. Na osnovu iskustva sa ovakvim događajima, usvojen je sljedeći princip. Ako slučajni događaj ima vrlo malu vjerovatnoću, onda u praksi možemo pretpostaviti da se neće dogoditi u jednom pokušaju, drugim riječima, mogućnost njegovog nastanka se može zanemariti. Odgovor na pitanje kolika bi ta vjerovatnoća trebala biti određen je suštinom problema koji se rješavaju, koliko je za nas važan rezultat predviđanja. Na primjer, ako je vjerovatnoća da se padobran neće otvoriti tokom skoka 0,01, tada je upotreba takvih padobrana neprihvatljiva. Međutim, ista vjerovatnoća od 0,01 da će međugradski voz kasniti čini nas gotovo sigurnim da će stići na vrijeme.

Naziva se dovoljno mala vjerovatnoća pri kojoj se (u datom specifičnom problemu) neki događaj može smatrati praktično nemogućim nivo značajnosti. U praksi se za nivo značajnosti obično uzima 0,01 (nivo značajnosti od jedan posto) ili 0,05 (nivo značajnosti od pet posto), mnogo rjeđe se uzima kao 0,001.

Uvođenje nivoa značaja omogućava nam da tvrdimo da je neki događaj ALI praktično nemoguće, onda suprotan događaj - praktično pouzdan, tj. za njega R() » 1.

PoglavljeII. RANDOM VRIJEDNOSTI

2.1. Slučajne varijable, njihove vrste

U matematici, količina je opšti naziv za razne kvantitativne karakteristike predmeta i pojava. Dužina, površina, temperatura, pritisak, itd. su primjeri različitih veličina.

Vrijednost koja se razlikuje numeričke vrijednosti pod utjecajem slučajnih okolnosti, naziva se slučajna varijabla. Primjeri slučajnih varijabli: broj pacijenata u ordinaciji; tačne dimenzije unutrašnjih organa ljudi itd.

Razlikovati diskretne i kontinuirane slučajne varijable .

Slučajna varijabla se naziva diskretna ako uzima samo određene vrijednosti odvojene jedna od druge, koje se mogu postaviti i nabrojati.

Primjeri diskretne slučajne varijable su:

- broj učenika u publici - može biti samo cijeli broj pozitivan broj: 0,1,2,3,4….. 20…..;

- broj koji se pojavljuje na gornjoj strani kada se baci kockice– može uzeti samo cjelobrojne vrijednosti od 1 do 6;

- relativna učestalost pogađanja mete sa 10 hitaca - njene vrijednosti: 0; 0,1; 0,2; 0,3 …1

- broj događaja koji se dešavaju u istim vremenskim intervalima: puls, broj poziva hitne pomoći po satu, broj operacija mjesečno sa smrtnim ishodom itd.

Slučajna varijabla se naziva kontinuiranom ako može poprimiti bilo koju vrijednost unutar određenog intervala, koji ponekad ima oštro definirane granice, a ponekad ne.*. Kontinuirane slučajne varijable uključuju, na primjer, tjelesnu težinu i visinu odraslih, tjelesnu težinu i volumen mozga, kvantitativni sadržaj enzima kod zdravih ljudi, veličinu krvnih stanica, R H krv, itd.

koncept slučajna varijabla igra odlučujuću ulogu u moderna teorija vjerovatnoće, koja je razvila posebne tehnike za prijelaz sa slučajnih događaja na slučajne varijable.

Ako slučajna varijabla ovisi o vremenu, onda možemo govoriti o slučajnom procesu.

2.2. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable

Da bismo dali potpuni opis diskretne slučajne varijable, potrebno je navesti sve njene moguće vrijednosti i njihove vjerovatnoće.

Korespondencija između mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable i njihovih vjerovatnoća naziva se zakonom distribucije ove varijable.

Označite moguće vrijednosti slučajne varijable X kroz Xi, i odgovarajuće vjerovatnoće kroz Ri *. Tada se zakon raspodjele diskretne slučajne varijable može specificirati na tri načina: u obliku tabele, grafikona ili formule.

U stolu zv blizu distribucije, navedene su sve moguće vrijednosti diskretne slučajne varijable X i vjerovatnoće koje odgovaraju ovim vrijednostima R(X):

X

…..

…..

P(X)

…..

…..

U ovom slučaju, zbir svih vjerovatnoća Ri mora biti jednak jedan (uslov normalizacije):

Ri = str1 + str2 + ... + pn = 1. (13)

Grafički zakon je predstavljen isprekidanom linijom, koja se obično naziva poligon distribucije (slika 1). Ovdje su duž horizontalne ose iscrtane sve moguće vrijednosti slučajne varijable Xi, , a na vertikalnoj osi - odgovarajuće vjerovatnoće Ri

Analitički zakon je izražen formulom. Na primjer, ako je vjerovatnoća da jednim udarcem pogodite metu R, tada je vjerovatnoća da će metu pogoditi 1 put u n shots je dat formulom R(n) = n qn-1 × str, gdje q= 1 - str- vjerovatnoća promašaja sa jednim udarcem.

2.3. Zakon distribucije kontinuirane slučajne varijable. Gustoća vjerovatnoće

Za kontinuirane slučajne varijable, nemoguće je primijeniti zakon raspodjele u gore navedenim oblicima, jer takva varijabla ima nebrojiv („nebrojiv“) skup mogućih vrijednosti koje u potpunosti ispunjavaju određeni interval. Stoga je nemoguće napraviti tabelu u kojoj su navedene sve njene moguće vrijednosti, niti izgraditi poligon distribucije. Osim toga, vjerovatnoća bilo koje određene vrijednosti je vrlo mala (blizu 0)*. Istovremeno, različita područja (intervali) mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable nisu jednako vjerovatna. Dakle, i u ovom slučaju djeluje određeni zakon raspodjele, ali ne u prethodnom smislu.

Razmotrite kontinuiranu slučajnu varijablu X, čije moguće vrijednosti u potpunosti ispunjavaju određeni interval (a, b)**. Zakon raspodjele vjerovatnoće takve vrijednosti trebao bi nam omogućiti da pronađemo vjerovatnoću da njena vrijednost padne u bilo koji dati interval ( x1, x2) leži unutra ( a,b), sl.2.

Ova vjerovatnoća je R(x1< Х < х2 ), ili
R(x1£ X£ x2).

Razmotrite prvo vrlo mali raspon vrijednosti X- od X prije ( x +DX); vidi sl.2. mala vjerovatnoća dR da je slučajna varijabla Xće uzeti neku vrijednost iz intervala ( x, x +DX), bit će proporcionalna vrijednosti ovog intervala DX:dR~ DX, ili uvođenjem faktora proporcionalnosti f, od čega može zavisiti X, dobijamo:

dP =f(X) × D x =f(x) × dx (14)

Funkcija predstavljena ovdje f(X) se zove gustina vjerovatnoće slučajna varijabla X, ili, ukratko, gustina vjerovatnoće, gustina distribucije. Jednadžba (13) je diferencijalna jednadžba čije rješenje daje vjerovatnoću dostizanja vrijednosti X u interval ( x1,x2):

R(x1<X<x2) = f(X) dX. (15)

Grafička vjerovatnoća R(x1<X<x2) jednaka je površini krivolinijskog trapeza omeđenog osom apscise, krivulja f(X) i direktno X = x1 i X = x2(Sl. 3). Ovo proizilazi iz geometrijskog značenja definitivne integralne (15) krive f(X) naziva se kriva distribucije.

Iz (15) slijedi da ako je funkcija f(X), tada, promjenom granica integracije, možemo pronaći vjerovatnoću za bilo koji interval koji nas zanima. Dakle, to je zadatak funkcije f(X) u potpunosti određuje zakon raspodjele za kontinuirane slučajne varijable.

Za gustinu vjerovatnoće f(X) uslov normalizacije mora biti zadovoljen u obliku:

f(X) dx = 1, (16)

ako se zna da su sve vrijednosti X leži u intervalu ( a,b), ili u obliku:

f(X) dx = 1, (17)

ako je interval granica za vrijednosti X tačno nedefinisano. Uslovi za normalizaciju gustine verovatnoće (16) ili (17) posledica su činjenice da su vrednosti slučajne varijable X pouzdano leži unutar ( a,b) ili (-¥, +¥). Iz (16) i (17) proizilazi da je površina figure ograničena krivuljom raspodjele i x-osom uvijek jednaka 1 .

2.4. Osnovne numeričke karakteristike slučajnih varijabli

Rezultati predstavljeni u odjeljcima 2.2 i 2.3 pokazuju da se potpuna karakterizacija diskretnih i kontinuiranih slučajnih varijabli može dobiti poznavanjem zakona njihove distribucije. Međutim, u mnogim praktično značajnim situacijama koriste se tzv. numeričke karakteristike slučajnih varijabli, a glavna svrha ovih karakteristika je da se u sažetom obliku iskažu najznačajnije karakteristike distribucije slučajnih varijabli. Važno je da su ovi parametri specifične (konstantne) vrijednosti koje se mogu procijeniti na osnovu podataka dobijenih u eksperimentima. Ove procjene obrađuje deskriptivna statistika.

U teoriji vjerojatnosti i matematičkoj statistici koristi se dosta različitih karakteristika, ali ćemo razmotriti samo one najčešće korištene. I samo za neke od njih dat ćemo formule po kojima se izračunavaju njihove vrijednosti, u drugim slučajevima prepustit ćemo proračune kompjuteru.

Razmislite karakteristike položaja - matematičko očekivanje, mod, medijan.

Oni karakteriziraju položaj slučajne varijable na brojevnoj osi , tj. označavaju neku približnu vrijednost oko koje su grupisane sve moguće vrijednosti slučajne varijable. Među njima, matematičko očekivanje igra najvažniju ulogu. M(X).

Šta je vjerovatnoća?

Suočen sa ovim terminom po prvi put, ne bih razumeo šta je to. Zato ću pokušati da objasnim na razumljiv način.

Vjerovatnoća je šansa da će se željeni događaj dogoditi.

Na primjer, odlučili ste posjetiti prijatelja, zapamtiti ulaz, pa čak i sprat na kojem živi. Ali zaboravio sam broj i lokaciju stana. A sada stojite na stepeništu, a ispred vas su vrata za izbor.

Kolika je šansa (vjerovatnoća) da ako pozvonite na prva vrata, vaš prijatelj vam ih otvori? Cijeli stan, a samo iza jednog od njih živi prijatelj. Uz jednake šanse, možemo izabrati bilo koja vrata.

Ali kakva je ovo šansa?

Vrata, desna vrata. Vjerovatnoća pogađanja zvonjavom na prva vrata: . Odnosno, jednom od tri sigurno ćete pogoditi.

Želimo znati ako jednom pozovemo, koliko često ćemo pogoditi vrata? Pogledajmo sve opcije:

1. pozvali ste 1st Vrata
2. pozvali ste 2nd Vrata
3. pozvali ste 3rd Vrata

A sada razmotrite sve opcije na kojima prijatelj može biti:

a. Per 1st vrata
b. Per 2nd vrata
in. Per 3rd vrata

Uporedimo sve opcije u obliku tabele. Kvačica označava opcije kada se vaš izbor poklapa sa lokacijom prijatelja, križić - kada se ne poklapa.

Kako vidite sve Možda opcije lokacija prijatelja i vaš izbor na koja vrata ćete zvoniti.

ALI povoljni ishodi svih . Odnosno, vremena ćete pogoditi tako što ćete jednom zazvoniti na vrata, tj. .

Ovo je vjerovatnoća - omjer povoljnog ishoda (kada se vaš izbor poklopio sa lokacijom prijatelja) prema broju mogućih događaja.

Definicija je formula. Verovatnoća se obično označava sa p, pa:

Nije baš zgodno napisati takvu formulu, pa uzmimo za - broj povoljnih ishoda, a za - ukupan broj ishoda.

Vjerovatnoća se može napisati kao postotak, za to morate pomnožiti rezultirajući rezultat sa:

Vjerovatno vam je za oko zapela riječ “ishodi”. Budući da matematičari razne radnje (za nas je takva akcija zvono na vratima) nazivaju eksperimentima, uobičajeno je rezultat takvih eksperimenata nazvati ishodom.

Pa, ishodi su povoljni i nepovoljni.

Vratimo se našem primjeru. Recimo da smo pozvonili na jedna od vrata, ali nam je otvorio stranac. Nismo pogodili. Kolika je vjerovatnoća da će nam prijatelj otvoriti ako pozvonimo na neka od preostalih vrata?

Ako ste tako mislili, onda je ovo greška. Hajde da to shvatimo.

Ostala su nam dvoja vrata. Dakle, imamo moguće korake:

1) Pozovite na 1st Vrata
2) Pozovite 2nd Vrata

Prijatelj uz sve ovo definitivno stoji iza jednog od njih (uostalom, nije stajao iza onoga koga smo zvali):

a) prijatelj 1st vrata
b) prijatelj za 2nd vrata

Ponovo nacrtajmo tabelu:

Kao što vidite, postoje opcije za sve, od kojih su one povoljne. Odnosno, vjerovatnoća je jednaka.

Zašto ne?

Situacija koju smo razmatrali je primjer zavisnih događaja. Prvi događaj je prvo zvono na vratima, drugi događaj je drugo zvono na vratima.

A nazivaju se zavisnim jer utiču na sledeće radnje. Na kraju krajeva, ako bi prijatelj otvorio vrata nakon prvog zvona, kolika bi bila vjerovatnoća da je on bio iza jednog od druga dva? Ispravno, .

Ali ako postoje zavisni događaji, onda ih mora biti nezavisni? Istina, postoje.

Primjer iz udžbenika je bacanje novčića.

1. Bacamo novčić. Kolika je vjerovatnoća da će, na primjer, iskrsnuti glave? Tako je – jer opcije za sve (bilo glave ili repa, zanemarićemo verovatnoću da novčić stane na ivicu), već samo nama odgovara.
2. Ali repovi su ispali. Ok, uradimo to ponovo. Kolika je vjerovatnoća da ćete se sada pojaviti? Ništa se nije promenilo, sve je isto. Koliko opcija? Dva. Koliko smo zadovoljni? Jedan.

I neka ispadnu repovi barem hiljadu puta zaredom. Vjerovatnoća da će odjednom pasti glave će biti ista. Uvek postoje opcije, ali one povoljne.

Lako je razlikovati zavisne događaje od nezavisnih događaja:

1. Ako se eksperiment izvede jednom (jednom kada se baci novčić, jednom zazvoni zvono na vratima itd.), tada su događaji uvijek nezavisni.
2. Ako se eksperiment izvodi nekoliko puta (jednom se baci novčić, nekoliko puta se zvoni na vratima), tada je prvi događaj uvijek nezavisan. A onda, ako se promijeni broj povoljnih ili broj svih ishoda, onda su događaji zavisni, a ako ne, nezavisni.

Vježbajmo malo da odredimo vjerovatnoću.

Primjer 1

Novčić se baca dva puta. Kolika je vjerovatnoća da se dva puta uzastopno dobije glava?

Rješenje:

Razmotrite sve moguće opcije:

1. eagle eagle
2. tails eagle
3. repovi orao
4. Repovi-repovi

Kao što vidite, sve opcije. Od ovih smo samo zadovoljni. To je vjerovatnoća:

Ako uslov jednostavno traži da se pronađe vjerovatnoća, onda se odgovor mora dati kao decimalni razlomak. Ako bi bilo naznačeno da se odgovor mora dati u procentima, onda bismo pomnožili sa.

odgovor:

Primjer 2

U kutiji čokolade svi bomboni su upakovani u isti omot. Međutim, od slatkiša - s orasima, konjakom, trešnjama, karamelom i nugatom.

Kolika je vjerovatnoća da uzmete jedan slatkiš i dobijete bombon sa orasima. Odgovor dajte u procentima.

Rješenje:

Koliko je mogućih ishoda? .

Odnosno, ako uzmete jedan slatkiš, to će biti jedan od onih u kutiji.

I koliko je povoljnih ishoda?

Jer kutija sadrži samo čokolade sa orasima.

odgovor:

Primjer 3

U kutiji loptica. od kojih su bijele i crne.

1. Kolika je vjerovatnoća da izvučete bijelu loptu?
2. Dodali smo još crnih loptica u kutiju. Kolika je vjerovatnoća da sada izvučete bijelu kuglu?

Rješenje:

a) U kutiji su samo loptice. od kojih su bijele.

Vjerovatnoća je:

b) Sada su loptice u kutiji. I belaca je ostalo isto toliko.

odgovor:

Puna vjerovatnoća

Vjerovatnoća svih mogućih događaja je ().

Na primjer, u kutiji crvenih i zelenih kuglica. Kolika je vjerovatnoća da izvučete crvenu kuglu? Zelena lopta? Crvena ili zelena lopta?

Verovatnoća izvlačenja crvene lopte

zelena lopta:

Crvena ili zelena lopta:

Kao što vidite, zbir svih mogućih događaja je jednak (). Razumijevanje ove tačke pomoći će vam da riješite mnoge probleme.

Primjer 4

U kutiji se nalaze flomasteri: zeleni, crveni, plavi, žuti, crni.

Kolika je vjerovatnoća da NE nacrtate crveni marker?

Rješenje:

Hajde da izbrojimo broj povoljni ishodi.

NIJE crveni marker, to znači zeleno, plavo, žuto ili crno.

Vjerovatnoća svih događaja. A vjerovatnoća događaja koje smatramo nepovoljnim (kada izvučemo crveni flomaster) je .

Dakle, vjerovatnoća da NE nacrtate crveni flomaster je -.

odgovor:

Vjerovatnoća da se događaj neće dogoditi je minus vjerovatnoća da će se događaj dogoditi.

Pravilo za množenje vjerovatnoća nezavisnih događaja

Već znate šta su nezavisni događaji.

A ako trebate pronaći vjerovatnoću da će se dva (ili više) nezavisnih događaja dogoditi zaredom?

Recimo da želimo da znamo kolika je verovatnoća da ćemo, bacivši novčić jednom, dvaput videti orla?

Već smo razmotrili - .

Šta ako bacimo novčić? Kolika je vjerovatnoća da ćete vidjeti orla dvaput zaredom?

Ukupno mogućih opcija:

1. Eagle-eagle-eagle
2. Eagle-head-tails
3. Glava-rep-orao
4. Glava-rep-rep
5. tails-eagle-eagle
6. Repovi-glavi-repovi
7. Repovi-repovi-glave
8. Repovi-repovi-repovi

Ne znam za vas, ali ja sam jednom pogrešio ovu listu. Vau! I jedina opcija (prva) nam odgovara.

Za 5 rolni možete sami napraviti listu mogućih ishoda. Ali matematičari nisu tako marljivi kao vi.

Stoga su prvo uočili, a zatim i dokazali da se vjerovatnoća određenog niza nezavisnih događaja svaki put smanjuje za vjerovatnoću jednog događaja.

Drugim riječima,

Razmotrimo primjer istog, nesretnog novčića.

Vjerovatnoća da ćete se pojaviti na suđenju? . Sada bacamo novčić.

Kolika je vjerovatnoća da dobijete repove u nizu?

Ovo pravilo ne funkcionira samo ako se od nas traži da pronađemo vjerovatnoću da će se isti događaj dogoditi nekoliko puta zaredom.

Ako želimo da pronađemo sekvencu REP-ORA-REP na uzastopnim okretima, uradili bismo isto.

Verovatnoća dobijanja repova - , glava - .

Verovatnoća dobijanja sekvence REPOVI-ORAO-REPOVI-REPOVI:

To možete sami provjeriti tako što ćete napraviti tabelu.

Pravilo za sabiranje vjerovatnoća nekompatibilnih događaja.

Zato prestani! Nova definicija.

Hajde da to shvatimo. Uzmimo naš istrošeni novčić i bacimo ga jednom.
Moguće opcije:

1. Eagle-eagle-eagle
2. Eagle-head-tails
3. Glava-rep-orao
4. Glava-rep-rep
5. tails-eagle-eagle
6. Repovi-glavi-repovi
7. Repovi-repovi-glave
8. Repovi-repovi-repovi

Dakle, ovdje su nespojivi događaji, ovo je određeni, dati slijed događaja. su nekompatibilni događaji.

Ako želimo da odredimo kolika je verovatnoća dva (ili više) nekompatibilnih događaja, onda sabiramo verovatnoće tih događaja.

Morate shvatiti da su gubitak orla ili repova dva nezavisna događaja.

Ako želimo da odredimo kolika je verovatnoća da niz ispadne) (ili bilo koji drugi), onda koristimo pravilo množenja verovatnoća.
Kolika je vjerovatnoća da dobijete glavu pri prvom bacanju, a rep pri drugom i trećem?

Ali ako želimo da znamo kolika je verovatnoća da dobijemo jednu od nekoliko sekvenci, na primer, kada se pojavi tačno jednom, tj. opcije i tada moramo dodati vjerovatnoće ovih nizova.

Ukupne opcije nam odgovaraju.

Istu stvar možemo dobiti ako zbrojimo vjerovatnoće pojavljivanja svakog niza:

Stoga, dodajemo vjerovatnoće kada želimo da odredimo vjerovatnoću nekih, nekompatibilnih, nizova događaja.

Postoji sjajno pravilo koje će vam pomoći da se ne zbunite kada množiti, a kada sabirati:

Vratimo se na primjer gdje smo bacili novčić puta i želimo znati vjerovatnoću da ćemo jednom vidjeti glave.
šta će se dogoditi?

Trebalo bi ispasti:
(glave I repovi I repovi) ILI (repovi I glave I repovi) OR (repovi I repovi I glave).
I tako ispada:

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 5

U kutiji su olovke. crvena, zelena, narandžasta i žuta i crna. Kolika je vjerovatnoća da ćete nacrtati crvene ili zelene olovke?

Rješenje:

Šta će se dogoditi? Moramo se izvući (crveno ILI zeleno).

Sada je jasno, zbrajamo vjerovatnoće ovih događaja:

odgovor:

Primjer 6

Kocka je bačena dvaput, kolika je vjerovatnoća da će se pojaviti ukupno 8?

Rješenje.

Kako možemo dobiti bodove?

(i) ili (i) ili (i) ili (i) ili (i).

Vjerovatnoća ispadanja s jednog (bilo kojeg) lica je .

Izračunavamo vjerovatnoću:

odgovor:

Vježbati.

Mislim da vam je sada postalo jasno kada treba da brojite verovatnoće, kada da ih saberete, a kada da ih pomnožite. Nije li? Hajde da malo vežbamo.

Zadaci:

Uzmimo špil karata u kojem su karte pik, srca, 13 batina i 13 tambura. Od do asa svake boje.

1. Kolika je vjerovatnoća izvlačenja štapa u nizu (prvu izvučenu kartu vraćamo u špil i miješamo)?
2. Kolika je vjerovatnoća izvlačenja crne karte (pik ili trefa)?
3. Kolika je vjerovatnoća da se izvuče slika (valet, dama, kralj ili as)?
4. Kolika je vjerovatnoća da se izvuku dvije slike zaredom (izvlačimo prvu izvučenu kartu iz špila)?
5. Kolika je vjerovatnoća da se, uzimajući dvije karte, sakupi kombinacija - (Valet, Dama ili Kralj) i As. Redoslijed u kojem će karte biti izvučene nije bitan.

odgovori:

1. U špilu karata svake vrijednosti to znači:
2. Događaji su zavisni, jer se nakon prve izvučene karte smanjio broj karata u špilu (kao i broj „slika“). Ukupan broj džakova, dama, kraljeva i asova u špilu na početku, što znači vjerovatnoću izvlačenja "slike" s prvom kartom:

   S obzirom da vadimo prvu kartu iz špila, to znači da je u špilu već ostala karta na kojoj se nalaze slike. Verovatnoća crtanja slike sa drugom karticom:

   Pošto nas zanima situacija kada iz špila dobijemo: "slika" I "slika", onda treba da pomnožimo vjerovatnoće:

   odgovor:

3. Nakon što se prva karta izvuče, broj karata u špilu će se smanjiti, tako da imamo dvije opcije:
   1) Prvom kartom vadimo asa, drugom - džaka, damu ili kralja
   2) Prvom kartom vadimo džaka, damu ili kralja, drugom - asa. (kec i (valet ili dama ili kralj)) ili ((valet ili dama ili kralj) i as). Ne zaboravite na smanjenje broja karata u špilu!

Ako si uspeo sam da rešiš sve probleme, onda si odličan momak! Sada ćete zadatke iz teorije vjerovatnoće na ispitu kliknuti kao ludi!

TEORIJA VEROVATNOSTI. PROSJEČAN NIVO

Razmotrimo primjer. Recimo da bacimo kocku. Kakva je ovo kost, znate li? Ovo je naziv kocke sa brojevima na stranama. Koliko lica, toliko brojeva: od do koliko? Prije.

Zato bacamo kocku i želimo da se pojavi ili. I ispali smo.

U teoriji vjerovatnoće kažu šta se dogodilo povoljan događaj(ne brkati sa dobrim).

Ako bi ispao, događaj bi takođe bio povoljan. Ukupno se mogu desiti samo dva povoljna događaja.

Koliko loših? Pošto su svi mogući događaji, onda su nepovoljni od njih događaji (ovo je ako ispadne ili).

definicija:

Vjerovatnoća je omjer broja povoljnih događaja i broja svih mogućih događaja.. Odnosno, vjerovatnoća pokazuje koliki je udio svih mogućih događaja povoljan.

Označavaju vjerovatnoću latiničnim slovom (navodno, od engleske riječi vjerovatnoća - vjerovatnoća).

Uobičajeno je da se vjerovatnoća mjeri u procentima (pogledajte teme i). Da biste to učinili, vrijednost vjerovatnoće se mora pomnožiti sa. U primjeru s kockicama, vjerovatnoća.

I u procentima: .

Primjeri (odlučite sami):

1. Kolika je vjerovatnoća da će bacanje novčića pasti na glave? A kolika je vjerovatnoća repa?
2. Kolika je vjerovatnoća da će se pojaviti paran broj kada se baci kocka? I sa čime - čudnim?
3. U ladici običnih, plavih i crvenih olovaka. Nasumično crtamo jednu olovku. Kolika je vjerovatnoća izvlačenja jednostavnog?

rješenja:

1. Koliko opcija postoji? Glave i repovi - samo dva. A koliko ih je povoljnih? Samo jedan je orao. Dakle, vjerovatnoća

   Isto sa repovima: .

2. Ukupno opcija: (koliko strana ima kocka, toliko različitih opcija). Povoljni: (ovo su sve parni brojevi :).
   Vjerovatnoća. Uz čudno, naravno, istu stvar.
3. Ukupno: . Povoljno: . Verovatnoća: .

Puna vjerovatnoća

Sve olovke u fioci su zelene. Kolika je vjerovatnoća da ćete nacrtati crvenu olovku? Nema šanse: vjerovatnoća (na kraju krajeva, povoljni događaji -).

Takav događaj se naziva nemogućim.

Kolika je vjerovatnoća da nacrtate zelenu olovku? Pogodnih događaja ima tačno onoliko koliko je ukupno (svi događaji su povoljni). Dakle, vjerovatnoća je ili.

Takav događaj se naziva izvjesnim.

Ako se u kutiji nalaze zelene i crvene olovke, kolika je vjerovatnoća da ćete nacrtati zelenu ili crvenu? Još jednom. Obratite pažnju na sljedeću stvar: vjerovatnoća izvlačenja zelene boje je jednaka, a crvenog je .

Sve u svemu, ove vjerovatnoće su potpuno jednake. To je, zbir vjerovatnoća svih mogućih događaja jednak je ili.

primjer:

U kutiji olovaka, među njima su plave, crvene, zelene, jednostavne, žute, a ostale su narandžaste. Kolika je vjerovatnoća da ne nacrtate zeleno?

Rješenje:

Zapamtite da se sve vjerovatnoće sabiraju. I vjerovatnoća da se izvuče zeleno je jednaka. To znači da je vjerovatnoća da se ne izvuče zeleno jednaka.

Zapamtite ovaj trik: Vjerovatnoća da se događaj neće dogoditi je minus vjerovatnoća da će se događaj dogoditi.

Nezavisni događaji i pravilo množenja

Bacate novčić dva puta i želite da oba puta padne na glavu. Kolika je vjerovatnoća za ovo?

Prođimo kroz sve moguće opcije i odredimo koliko ih ima:

Orao-Orao, Repovi-Orao, Orao-Repi, Repovi-Repi. Šta još?

Cela varijanta. Od njih nam samo jedan odgovara: Orao-Orao. Dakle, vjerovatnoća je jednaka.

Dobro. Sada bacimo novčić. Broji se. Desilo se? (odgovor).

Možda ste primijetili da se sa dodavanjem svakog sljedećeg bacanja vjerovatnoća smanjuje za faktor. Opšte pravilo se zove pravilo množenja:

Vjerovatnoće nezavisnih događaja se mijenjaju.

Šta su nezavisni događaji? Sve je logično: to su oni koji ne zavise jedni od drugih. Na primjer, kada bacimo novčić nekoliko puta, svaki put se napravi novo bacanje, čiji rezultat ne ovisi o svim prethodnim bacanjima. Sa istim uspjehom, možemo baciti dva različita novčića u isto vrijeme.

Više primjera:

1. Kocka se baca dva puta. Kolika je vjerovatnoća da će se pojaviti oba puta?
2. Novčić se baca puta. Kolika je vjerovatnoća da se prvo dobije glava, a zatim dva puta rep?
3. Igrač baca dvije kockice. Kolika je vjerovatnoća da će zbir brojeva na njima biti jednak?

odgovori:

1. Događaji su nezavisni, što znači da pravilo množenja radi: .
2. Vjerovatnoća orla je jednaka. Verovatnoća repova takođe. množimo:
3. 12 se može dobiti samo ako ispadnu dva -ki: .

Nekompatibilni događaji i pravilo zbrajanja

Nekompatibilni događaji su događaji koji se međusobno nadopunjuju s punom vjerovatnoćom. Kao što naziv implicira, ne mogu se desiti u isto vrijeme. Na primjer, ako bacimo novčić, može ispasti ili glava ili rep.

Primjer.

U kutiji olovaka, među njima su plave, crvene, zelene, jednostavne, žute, a ostale su narandžaste. Kolika je vjerovatnoća da izvučete zeleno ili crveno?

Rješenje .

Vjerovatnoća da se nacrta zelena olovka je jednaka. Crvena - .

Povoljni događaji od svih: zeleno + crveno. Dakle, vjerovatnoća da se izvuče zeleno ili crveno je jednaka.

Ista vjerovatnoća se može predstaviti u sljedećem obliku: .

Ovo je pravilo dodavanja: vjerovatnoće nekompatibilnih događaja se zbrajaju.

Mješoviti zadaci

Primjer.

Novčić se baca dva puta. Koja je vjerovatnoća da će rezultat bacanja biti drugačiji?

Rješenje .

To znači da ako se glave pojave prve, repovi bi trebali biti drugi i obrnuto. Ispostavilo se da ovdje postoje dva para nezavisnih događaja, a ti parovi su međusobno nekompatibilni. Kako se ne zbuniti oko toga gdje pomnožiti, a gdje dodati.

Za takve situacije postoji jednostavno pravilo. Pokušajte da opišete šta treba da se desi povezujući događaje sa sindikatima "I" ili "ILI". Na primjer, u ovom slučaju:

Mora se kotrljati (glave i repovi) ili (repovi i glave).

Gdje je spoj "i", bit će množenje, a gdje je "ili" zbrajanje:

Probajte sami:

1. Kolika je vjerovatnoća da dva bacanja novčića oba puta dođu na istu stranu?
2. Kocka se baca dva puta. Kolika je vjerovatnoća da će zbir pasti na poene?

rješenja:

1. (Glava gore i glava gore) ili (podiže se i diže): .
2. Koje su opcije? i. onda:
   Valjani (i) ili (i) ili (i): .

Drugi primjer:

Jednom bacimo novčić. Kolika je vjerovatnoća da će se glave barem jednom pojaviti?

Rješenje:

Oh, kako ne želim da prebirem po opcijama... Glava-rep-rep, Orao-glav-rep,... Ali ne morate! Hajde da pričamo o punoj verovatnoći. Zapamtite? Kolika je vjerovatnoća da je orao nikada neće pasti? Jednostavno je: repovi stalno lete, znači.

TEORIJA VEROVATNOSTI. UKRATKO O GLAVNOM

Vjerovatnoća je omjer broja povoljnih događaja i broja svih mogućih događaja.

Nezavisni događaji

Dva događaja su nezavisna ako pojava jednog ne mijenja vjerovatnoću da se drugi dogodi.

Puna vjerovatnoća

Vjerovatnoća svih mogućih događaja je ().

Vjerovatnoća da se događaj neće dogoditi je minus vjerovatnoća da će se događaj dogoditi.

Pravilo za množenje vjerovatnoća nezavisnih događaja

Vjerovatnoća određenog niza nezavisnih događaja jednaka je proizvodu vjerovatnoća svakog od događaja

Nekompatibilni događaji

Nekompatibilni događaji su oni događaji koji se ne mogu dogoditi istovremeno kao rezultat eksperimenta. Brojni nekompatibilni događaji čine kompletnu grupu događaja.

Vjerovatnoće nekompatibilnih događaja se zbrajaju.

Nakon što smo opisali šta bi se trebalo dogoditi, koristeći sindikate "AND" ili "OR", umjesto "AND" stavljamo znak množenja, a umjesto "OR" - sabiranje.

Postanite student YouClevera,

Pripremite se za OGE ili USE iz matematike,

I također dobijte neograničen pristup YouClever tutorialu...

Vjerovatnoća Događaj je omjer broja elementarnih ishoda koji favoriziraju dati događaj i broja svih jednako mogućih ishoda iskustva u kojima se ovaj događaj može dogoditi. Verovatnoća događaja A označava se sa P(A) (ovde je P prvo slovo francuske reči probabilite - verovatnoća). Prema definiciji
(1.2.1)
gdje je broj elementarnih ishoda koji favorizuju događaj A; - broj svih podjednako mogućih elementarnih ishoda iskustva, koji čine kompletnu grupu događaja.
Ova definicija vjerovatnoće se naziva klasičnom. Nastala je u početnoj fazi razvoja teorije vjerovatnoće.

Vjerovatnoća događaja ima sljedeća svojstva:
1. Vjerovatnoća određenog događaja jednaka je jedan. Označimo određeni događaj slovom . Za određeni događaj, dakle
(1.2.2)
2. Vjerovatnoća nemogućeg događaja je nula. Nemogući događaj označavamo slovom. Za nemoguć događaj, dakle
(1.2.3)
3. Vjerovatnoća slučajnog događaja se izražava kao pozitivan broj manji od jedan. Budući da su nejednakosti , ili su zadovoljeni za slučajni događaj, onda
(1.2.4)
4. Vjerovatnoća bilo kojeg događaja zadovoljava nejednakosti
(1.2.5)
To slijedi iz relacija (1.2.2) -(1.2.4).

Primjer 1 Urna sadrži 10 kuglica iste veličine i težine, od kojih su 4 crvene, a 6 plave. Jedna lopta se izvlači iz urne. Kolika je vjerovatnoća da je izvučena lopta plava?

Rješenje. Događaj "izvučena lopta ispala je plava" označićemo slovom A. Ovaj test ima 10 podjednako mogućih elementarnih ishoda, od kojih 6 favorizuju događaj A. U skladu sa formulom (1.2.1) dobijamo

Primjer 2 Svi prirodni brojevi od 1 do 30 ispisani su na identičnim karticama i stavljeni u urnu. Nakon temeljnog miješanja karata, jedna karta se vadi iz urne. Kolika je vjerovatnoća da je broj na izvučenoj kartici višestruki od 5?

Rješenje. Označite sa A događaj "broj na uzetoj kartici je višekratnik 5". U ovom testu postoji 30 podjednako mogućih elementarnih ishoda, od kojih 6 ishoda favorizuju događaj A (brojevi 5, 10, 15, 20, 25, 30). shodno tome,

Primjer 3 Bacaju se dvije kocke, izračunava se zbir bodova na gornjim stranama. Nađite vjerovatnoću događaja B, koji se sastoji u tome da će gornje strane kocke imati ukupno 9 bodova.

Rješenje. U ovom ispitivanju postoji 6 2 = 36 jednako mogućih elementarnih ishoda. Događaju B favoriziraju 4 ishoda: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), pa

Primjer 4. Nasumično se bira prirodan broj koji ne prelazi 10. Kolika je vjerovatnoća da je ovaj broj prost?

Rješenje. Označite slovom C događaj "odabrani broj je prost". U ovom slučaju, n = 10, m = 4 (prosti brojevi 2, 3, 5, 7). Dakle, željena vjerovatnoća

Primjer 5 Bacaju se dva simetrična novčića. Kolika je vjerovatnoća da oba novčića imaju cifre na gornjoj strani?

Rješenje. Označimo slovom D događaj "na gornjoj strani svakog novčića bio je broj". U ovom testu postoje 4 podjednako moguća elementarna ishoda: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Oznaka (G, C) znači da se na prvom novčiću nalazi grb, na drugom - broj). Događaju D favorizuje jedan elementarni ishod (C, C). Pošto je m = 1, n = 4, onda

Primjer 6 Kolika je vjerovatnoća da su cifre u slučajno odabranom dvocifrenom broju iste?

Rješenje. Dvocifreni brojevi su brojevi od 10 do 99; takvih brojeva ima ukupno 90. 9 brojeva ima iste cifre (to su brojevi 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Pošto je u ovom slučaju m = 9, n = 90, onda
,
gdje je A događaj "broj sa istim ciframa".

Primjer 7 Od slova riječi diferencijal jedno slovo se bira nasumično. Kolika je vjerovatnoća da će ovo slovo biti: a) samoglasnik b) suglasnik c) slovo h?

Rješenje. Riječ diferencijal ima 12 slova, od kojih su 5 samoglasnici, a 7 suglasnici. Pisma h ova riječ ne. Označimo događaje: A - "samoglasnik", B - "suglasnik", C - "slovo". h". Broj povoljnih elementarnih ishoda: - za događaj A, - za događaj B, - za događaj C. Pošto je n \u003d 12, onda
, i .

Primjer 8 Bacaju se dvije kockice, broj bodova na gornjoj strani svake kocke se zapisuje. Pronađite vjerovatnoću da obje kockice imaju isti broj bodova.

Rješenje. Označimo ovaj događaj slovom A. Događaju A favorizira 6 elementarnih ishoda: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). Ukupno su podjednako mogući elementarni ishodi koji čine kompletnu grupu događaja, u ovom slučaju n=6 2 =36. Dakle, željena vjerovatnoća

Primjer 9 Knjiga ima 300 stranica. Kolika je vjerovatnoća da će nasumično otvorena stranica imati redni broj koji je višekratnik 5?

Rješenje. Iz uslova zadatka proizilazi da će svih podjednako mogućih elementarnih ishoda koji čine kompletnu grupu događaja biti n = 300. Od toga m = 60 favorizuje nastanak navedenog događaja. Zaista, broj koji je višekratnik od 5 ima oblik 5k, gdje je k prirodan broj, i , odakle . shodno tome,
, gdje A - događaj "stranica" ima redni broj koji je višekratnik 5".

Primjer 10. Bacaju se dvije kocke, izračunava se zbir bodova na gornjim stranama. Šta je vjerojatnije da dobijete ukupno 7 ili 8?

Rješenje. Označimo događaje: A - "ispalo je 7 bodova", B - "ispalo je 8 bodova". Događaju A favorizuje 6 elementarnih ishoda: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), a događaju B - 5 ishoda: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Postoji n = 6 2 = 36 svih jednako mogućih elementarnih ishoda. i .

Dakle, P(A)>P(B), odnosno dobijanje ukupno 7 bodova je vjerovatniji događaj od dobivanja ukupno 8 bodova.

Zadaci

1. Nasumično se bira prirodni broj koji ne prelazi 30. Kolika je vjerovatnoća da je taj broj višekratnik od 3?
2. U urni a crvena i b plave kuglice iste veličine i težine. Kolika je vjerovatnoća da je nasumično izvučena lopta iz ove urne plava?
3. Slučajno se bira broj koji ne prelazi 30. Kolika je vjerovatnoća da je taj broj djelilac zo?
4. U urni a plava i b crvene kuglice iste veličine i težine. Iz ove urne se izvuče jedna lopta i ostavi na stranu. Ova lopta je crvena. Zatim se iz urne izvlači još jedna lopta. Nađite vjerovatnoću da je i druga lopta crvena.
5. Nasumično se bira prirodni broj koji ne prelazi 50. Kolika je vjerovatnoća da je ovaj broj prost?
6. Bacaju se tri kocke, izračunava se zbir bodova na gornjim stranama. Šta je vjerovatnije - dobiti ukupno 9 ili 10 bodova?
7. Bacaju se tri kockice, izračunava se zbir ispuštenih bodova. Što je vjerojatnije da dobijete ukupno 11 (događaj A) ili 12 bodova (događaj B)?

Odgovori

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - vjerovatnoća da dobijete ukupno 9 bodova; p 2 \u003d 27/216 - vjerovatnoća da dobijete ukupno 10 bodova; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Pitanja

1. Šta se naziva vjerovatnoća događaja?
2. Kolika je vjerovatnoća određenog događaja?
3. Kolika je vjerovatnoća nemogućeg događaja?
4. Koje su granice vjerovatnoće slučajnog događaja?
5. Koje su granice vjerovatnoće bilo kojeg događaja?
6. Koja se definicija vjerovatnoće naziva klasičnom?

Malo je vjerovatno da mnogi ljudi razmišljaju o tome da li je moguće izračunati događaje koji su manje-više nasumični. Jednostavno rečeno, da li je realno znati koja će strana kockice sljedeća pasti. Upravo su to pitanje postavila dva velika naučnika, koji su postavili temelje za takvu nauku kao što je teorija vjerovatnoće, u kojoj se vjerovatnoća događaja prilično opširno proučava.

Porijeklo

Ako pokušate da definišete takav koncept kao teorija verovatnoće, dobićete sledeće: ovo je jedna od grana matematike koja proučava konstantnost slučajnih događaja. Naravno, ovaj koncept zapravo ne otkriva cijelu suštinu, pa ga je potrebno detaljnije razmotriti.

Želeo bih da počnem sa tvorcima teorije. Kao što je već spomenuto, bilo ih je dvoje, a upravo su oni među prvima pokušali izračunati ishod nekog događaja koristeći formule i matematičke proračune. U cjelini, počeci ove nauke javljaju se u srednjem vijeku. Tada su razni mislioci i naučnici pokušavali da analiziraju kockanje, kao što su rulet, craps i tako dalje, utvrđujući tako obrazac i procenat ispadanja određenog broja. Osnovu su postavili u sedamnaestom veku pomenuti naučnici.

U početku se njihov rad nije mogao pripisati velikim dostignućima u ovoj oblasti, jer su sve što su radili bile jednostavno empirijske činjenice, a eksperimenti su rađeni vizualno, bez upotrebe formula. Vremenom se pokazalo da postiže odlične rezultate, koji su se pojavili kao rezultat posmatranja bacanja kocke. Upravo je ovaj alat pomogao da se izvuku prve razumljive formule.

Istomišljenici

Nemoguće je ne spomenuti takvu osobu kao što je Christian Huygens, u procesu proučavanja teme koja se zove "teorija vjerovatnoće" (vjerovatnoća događaja je pokrivena upravo u ovoj nauci). Ova osoba je veoma interesantna. On je, kao i gore predstavljeni naučnici, pokušao da izvede pravilnost slučajnih događaja u obliku matematičkih formula. Važno je napomenuti da to nije radio zajedno sa Pascalom i Fermatom, odnosno da se sva njegova djela ni na koji način nisu ukrštala s tim umovima. Huygens je izveo

Zanimljiva je činjenica da je njegov rad izašao mnogo prije rezultata rada otkrivača, odnosno dvadeset godina ranije. Među naznačenim konceptima najpoznatiji su:

• koncept vjerovatnoće kao veličine slučaja;
• matematičko očekivanje za diskretne slučajeve;
• teoreme množenja i sabiranja vjerovatnoća.

Također je nemoguće ne sjetiti se ko je također dao značajan doprinos proučavanju problema. Provodeći vlastite testove, nezavisno od bilo koga, uspio je predstaviti dokaz zakona velikih brojeva. Zauzvrat, naučnici Poisson i Laplace, koji su radili na početku devetnaestog veka, uspeli su da dokažu originalne teoreme. Od tog trenutka se teorija vjerovatnoće počela koristiti za analizu grešaka u toku posmatranja. Ovu nauku nisu mogli zaobići ni ruski naučnici, odnosno Markov, Čebišev i Djapunov. Na osnovu rada velikih genija, fiksirali su ovaj predmet kao granu matematike. Ove ličnosti su delovale već krajem devetnaestog veka, a zahvaljujući njihovom doprinosu pojavile su se pojave kao što su:

• zakon velikih brojeva;
• teorija Markovljevih lanaca;
• centralna granična teorema.

Dakle, sa istorijom rađanja nauke i sa glavnim ljudima koji su na nju uticali, sve je manje-više jasno. Sada je vrijeme da konkretiziramo sve činjenice.

Osnovni koncepti

Prije nego što se dotaknemo zakona i teorema, vrijedi proučiti osnovne koncepte teorije vjerovatnoće. Događaj u tome ima vodeću ulogu. Ova tema je prilično obimna, ali bez nje neće biti moguće razumjeti sve ostalo.

Događaj u teoriji vjerovatnoće je bilo koji skup ishoda eksperimenta. Nema toliko koncepata ovog fenomena. Dakle, naučnik Lotman, koji radi u ovoj oblasti, rekao je da u ovom slučaju govorimo o onome što se „dogodilo, iako se možda nije dogodilo“.

Slučajni događaji (teorija vjerovatnoće im posvećuje posebnu pažnju) je koncept koji podrazumijeva apsolutno svaki fenomen koji ima sposobnost da se dogodi. Ili, obrnuto, ovaj scenario se možda neće dogoditi kada su ispunjeni mnogi uslovi. Takođe je vredno znati da su slučajni događaji ti koji obuhvataju čitav opseg pojava koje su se dogodile. Teorija vjerovatnoće pokazuje da se svi uvjeti mogu stalno ponavljati. Upravo se njihovo ponašanje zvalo "eksperiment" ili "test".

Određeni događaj je onaj koji će se 100% dogoditi u datom testu. Prema tome, nemoguć događaj je onaj koji se neće dogoditi.

Kombinacija para radnji (uslovno slučaj A i slučaj B) je pojava koja se javlja istovremeno. Oni su označeni kao AB.

Zbroj parova događaja A i B je C, drugim riječima, ako se dogodi barem jedan od njih (A ili B), onda će se dobiti C. Formula opisanog fenomena je napisana na sljedeći način: C \u003d A + B.

Disjunktni događaji u teoriji vjerovatnoće impliciraju da se ova dva slučaja međusobno isključuju. Nikada se ne mogu dogoditi u isto vrijeme. Zajednički događaji u teoriji vjerovatnoće su njihov antipod. Ovo implicira da ako se A dogodilo, onda to ni na koji način ne sprječava B.

Suprotni događaji (teorija vjerovatnoće ih se bavi vrlo detaljno) lako je razumjeti. Najbolje je pozabaviti se njima u poređenju. Oni su skoro isti kao nekompatibilni događaji u teoriji vjerovatnoće. Ali njihova razlika leži u činjenici da se jedan od mnogih fenomena u svakom slučaju mora dogoditi.

Jednako vjerovatni događaji su one radnje čija je mogućnost ponavljanja jednaka. Da bi bilo jasnije, možemo zamisliti bacanje novčića: gubitak jedne od njegovih strana jednako je vjerovatno da će ispasti s druge.

Povoljan događaj je lakše uočiti na primjeru. Recimo da postoje epizoda B i epizoda A. Prva je bacanje kockice sa pojavom neparnog broja, a druga je pojava broja pet na kockici. Tada se ispostavilo da A favorizuje B.

Nezavisni događaji u teoriji vjerovatnoće se projektuju samo na dva ili više slučajeva i podrazumijevaju neovisnost bilo koje akcije od drugog. Na primjer, A - ispuštanje repova prilikom bacanja novčića, i B - dobijanje džaka iz špila. Oni su nezavisni događaji u teoriji vjerovatnoće. U ovom trenutku je postalo jasnije.

Zavisni događaji u teoriji vjerovatnoće su također prihvatljivi samo za njihov skup. Oni podrazumijevaju ovisnost jednog od drugog, odnosno pojava B može nastati samo ako se A već dogodio ili se, naprotiv, nije dogodio kada je to glavni uvjet za B.

Ishod slučajnog eksperimenta koji se sastoji od jedne komponente su elementarni događaji. Teorija vjerovatnoće objašnjava da se radi o fenomenu koji se dogodio samo jednom.

Osnovne formule

Dakle, gore su razmotreni koncepti "događaja", "teorije vjerovatnoće", data je i definicija glavnih pojmova ove nauke. Sada je vrijeme da se direktno upoznate sa važnim formulama. Ovi izrazi matematički potvrđuju sve glavne koncepte u tako teškom predmetu kao što je teorija vjerovatnoće. Vjerovatnoća događaja također igra veliku ulogu.

Bolje je početi s glavnim, a prije nego što pređete na njih, vrijedi razmisliti o čemu se radi.

Kombinatorika je prvenstveno grana matematike, bavi se proučavanjem ogromnog broja cijelih brojeva, kao i raznim permutacijama kako samih brojeva tako i njihovih elemenata, raznih podataka itd., što dovodi do pojave niza kombinacija. Pored teorije vjerovatnoće, ova grana je važna za statistiku, računarstvo i kriptografiju.

Dakle, sada možete prijeći na prezentaciju samih formula i njihove definicije.

Prvi od njih će biti izraz za broj permutacija, izgleda ovako:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Jednačina se primjenjuje samo ako se elementi razlikuju samo po svom redoslijedu.

Sada će se uzeti u obzir formula plasmana, ona izgleda ovako:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Ovaj izraz je primjenjiv ne samo na redoslijed elementa, već i na njegov sastav.

Treća jednačina iz kombinatorike, a ujedno je i posljednja, zove se formula za broj kombinacija:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

Kombinacija se naziva selekcijom koja nije naručena, odnosno, i ovo pravilo se primjenjuje na njih.

Pokazalo se da je lako odgonetnuti formule kombinatorike, sada možemo prijeći na klasičnu definiciju vjerovatnoća. Ovaj izraz izgleda ovako:

U ovoj formuli, m je broj uslova pogodnih za događaj A, a n je broj apsolutno svih jednako mogućih i elementarnih ishoda.

Postoji veliki broj izraza, članak neće obuhvatiti sve njih, ali će se dotaknuti najvažnijih od njih, kao što je, na primjer, vjerovatnoća zbira događaja:

P(A + B) = P(A) + P(B) - ova teorema je za dodavanje samo nekompatibilnih događaja;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - a ovo je za dodavanje samo kompatibilnih.

Verovatnoća nastanka događaja:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - ova teorema je za nezavisne događaje;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - a ovo je za zavisne osobe.

Formula događaja će završiti listu. Teorija vjerovatnoće nam govori o Bayesovoj teoremi, koja izgleda ovako:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

U ovoj formuli, H 1 , H 2 , …, H n je puna grupa hipoteza.

Primjeri

Ako pažljivo proučavate bilo koju granu matematike, ona nije potpuna bez vježbi i uzoraka rješenja. Isto tako i teorija vjerovatnoće: događaji, primjeri ovdje su sastavna komponenta koja potvrđuje naučne proračune.

Formula za broj permutacija

Recimo da ima trideset karata u špilu karata, počevši od jedne nominalne vrijednosti. Sljedeće pitanje. Koliko postoji načina da se špil složi tako da karte nominalne vrijednosti jedan i dva ne budu jedna pored druge?

Zadatak je postavljen, a sada idemo na njegovo rješavanje. Prvo morate odrediti broj permutacija od trideset elemenata, za to uzimamo gornju formulu, ispada P_30 = 30!.

Na osnovu ovog pravila saznat ćemo koliko postoji opcija za preklapanje špila na različite načine, ali od njih trebamo oduzeti one u kojima su prva i druga karta sljedeće. Da bismo to učinili, počnimo s opcijom kada je prva iznad druge. Ispostavilo se da prva karta može zauzeti dvadeset devet mjesta - od prve do dvadeset devete, a druga karta od druge do tridesete, ispada samo dvadeset devet mjesta za par karata. Zauzvrat, ostatak može zauzeti dvadeset osam mjesta, i to bilo kojim redoslijedom. To jest, za permutaciju od dvadeset osam karata, postoji dvadeset osam opcija P_28 = 28!

Kao rezultat toga, ispada da ako uzmemo u obzir rješenje kada je prva karta iznad druge, postoji 29 ⋅ 28 dodatnih mogućnosti! = 29!

Koristeći istu metodu, morate izračunati broj redundantnih opcija za slučaj kada je prva kartica ispod druge. Ispada i 29 ⋅ 28! = 29!

Iz ovoga proizilazi da postoji 2 ⋅ 29! dodatnih opcija, dok postoji 30 neophodnih načina za izgradnju špila! - 2 ⋅ 29!. Ostaje samo računati.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Sada trebate pomnožiti sve brojeve od jedan do dvadeset devet među sobom, a zatim na kraju sve pomnožiti sa 28. Odgovor je 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Primjer rješenja. Formula za broj plasmana

U ovom zadatku morate saznati na koliko načina postoji da se petnaest tomova stavi na jednu policu, ali pod uslovom da ima ukupno trideset tomova.

U ovom problemu rješenje je nešto jednostavnije nego u prethodnom. Koristeći već poznatu formulu, potrebno je izračunati ukupan broj aranžmana od trideset svezaka od petnaest.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 000

Odgovor će, respektivno, biti jednak 202.843.204.931.727.360.000.

Hajdemo sada da malo težimo zadatak. Morate saznati na koliko načina možete rasporediti trideset knjiga na dvije police za knjige, s tim da samo petnaest tomova može biti na jednoj polici.

Prije nego krenem s rješavanjem, želio bih pojasniti da se neki problemi rješavaju na više načina, tako da u ovom postoje dva načina, ali se u oba koristi ista formula.

U ovom zadatku možete preuzeti odgovor iz prethodnog, jer smo tamo izračunali koliko puta možete napuniti policu sa petnaest knjiga na različite načine. Ispostavilo se A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Drugu policu računamo prema formuli permutacije, jer je u nju smješteno petnaest knjiga, a ostalo je samo petnaest. Koristimo formulu P_15 = 15!.

Ispostavilo se da će ukupno postojati A_30^15 ⋅ P_15 načina, ali, osim toga, proizvod svih brojeva od trideset do šesnaest morat će se pomnožiti s umnoškom brojeva od jedan do petnaest, kao rezultat toga, dobiće se proizvod svih brojeva od jedan do trideset, odnosno odgovor je 30!

Ali ovaj problem se može riješiti na drugačiji način - lakše. Da biste to učinili, možete zamisliti da postoji jedna polica za trideset knjiga. Svi su postavljeni na ovu ravan, ali kako uvjet zahtijeva da postoje dvije police, jednu dugu prepolovimo, ispada po dvije po petnaest. Iz ovoga se ispostavlja da opcije postavljanja mogu biti P_30 = 30!.

Primjer rješenja. Formula za kombinovani broj

Sada ćemo razmotriti varijantu trećeg problema iz kombinatorike. Morate saznati na koliko načina postoji da rasporedite petnaest knjiga, s tim da morate izabrati između trideset potpuno identičnih.

Za rješenje će se, naravno, primijeniti formula za broj kombinacija. Iz uslova postaje jasno da redosled identičnih petnaest knjiga nije važan. Stoga, u početku morate saznati ukupan broj kombinacija od trideset knjiga od petnaest.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : petnaest ! = 155 117 520

To je sve. Koristeći ovu formulu, u najkraćem mogućem vremenu bilo je moguće riješiti takav problem, odgovor je 155 117 520.

Primjer rješenja. Klasična definicija vjerovatnoće

Koristeći gornju formulu, možete pronaći odgovor u jednostavnom zadatku. Ali to će pomoći da se vizualno vidi i prati tijek radnji.

Problem je što se u urni nalazi deset apsolutno identičnih loptica. Od toga, četiri su žute, a šest plave. Jedna lopta se uzima iz urne. Morate saznati vjerovatnoću da dobijete plavu boju.

Za rješavanje problema potrebno je naznačiti dobijanje plave lopte kao događaj A. Ovo iskustvo može imati deset ishoda, koji su, pak, elementarni i jednako vjerovatni. Istovremeno, šest od deset je povoljno za događaj A. Rješavamo pomoću formule:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Primjenom ove formule saznali smo da je vjerovatnoća da dobijemo plavu kuglu 0,6.

Primjer rješenja. Vjerovatnoća zbira događaja

Sada će biti predstavljena varijanta koja se rješava pomoću formule za vjerovatnoću zbira događaja. Dakle, pod uslovom da postoje dvije kutije, prva sadrži jednu sivu i pet bijelih loptica, a druga osam sivih i četiri bijele kuglice. Kao rezultat toga, jedan od njih je uzet iz prve i druge kutije. Potrebno je saznati kolika je šansa da izvađene lopte budu sivo-bijele.

Za rješavanje ovog problema potrebno je označiti događaje.

• Dakle, A - uzmi sivu loptu iz prve kutije: P(A) = 1/6.
• A '- uzeli su bijelu loptu također iz prve kutije: P (A ") \u003d 5/6.
• B - već iz druge kutije je izvađena siva lopta: P(B) = 2/3.
• B' - uzeli su sivu loptu iz druge kutije: P(B") = 1/3.

U skladu sa uslovom zadatka, potrebno je da se desi jedna od pojava: AB 'ili A'B. Koristeći formulu, dobijamo: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Sada se koristi formula za množenje vjerovatnoće. Dalje, da biste saznali odgovor, morate primijeniti jednadžbu za njihovo sabiranje:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Dakle, koristeći formulu, možete riješiti slične probleme.

Ishod

Članak je pružio informacije o temi "Teorija vjerovatnoće", u kojoj vjerovatnoća događaja igra ključnu ulogu. Naravno, nije sve uzeto u obzir, ali se, na osnovu prikazanog teksta, teoretski može upoznati sa ovim dijelom matematike. Nauka o kojoj je riječ može biti korisna ne samo u profesionalnom radu, već iu svakodnevnom životu. Uz njegovu pomoć možete izračunati svaku mogućnost bilo kojeg događaja.

Tekst se dotakao i značajnih datuma u istoriji formiranja teorije vjerovatnoće kao nauke, te imena ljudi čiji su radovi u nju uloženi. Tako je ljudska radoznalost dovela do činjenice da su ljudi naučili izračunati čak i slučajne događaje. Nekada ih je to samo zanimalo, a danas već svi znaju za to. I niko neće reći šta nas čeka u budućnosti, koja će još briljantna otkrića vezana za teoriju koja se razmatra će biti napravljena. Ali jedno je sigurno - istraživanje ne stoji mirno!

U privredi, kao iu drugim oblastima ljudske djelatnosti ili u prirodi, stalno se suočavamo sa događajima koji se ne mogu točno predvidjeti. Dakle, obim prodaje robe zavisi od potražnje, koja može značajno da varira, i od niza drugih faktora koje je gotovo nemoguće uzeti u obzir. Stoga, prilikom organizacije proizvodnje i prodaje, ishod takvih aktivnosti treba predvidjeti na osnovu ili vlastitog prethodnog iskustva, ili sličnog iskustva drugih ljudi, ili intuicije, koja se također u velikoj mjeri zasniva na eksperimentalnim podacima.

Da bi se na neki način vrednovao događaj koji se razmatra, potrebno je uzeti u obzir ili posebno organizirati uslove u kojima se ovaj događaj snima.

Zove se implementacija određenih uslova ili radnji za identifikaciju dotičnog događaja iskustvo ili eksperiment.

Događaj se zove nasumično ako se, kao rezultat eksperimenta, može dogoditi ili ne mora.

Događaj se zove pouzdan, ako se nužno pojavi kao rezultat ovog iskustva, i nemoguće ako se ne može pojaviti u ovom iskustvu.

Na primjer, snježne padavine u Moskvi 30. novembra su slučajni događaj. Dnevni izlazak sunca može se smatrati određenim događajem. Snježne padavine na ekvatoru mogu se smatrati nemogućim događajem.

Jedan od glavnih problema u teoriji vjerovatnoće je problem određivanja kvantitativne mjere mogućnosti nastanka događaja.

Algebra događaja

Događaji se nazivaju nekompatibilnim ako se ne mogu posmatrati zajedno u istom iskustvu. Dakle, prisustvo dva i tri automobila u jednoj prodavnici u isto vreme su dva nespojiva događaja.

suma događaj je događaj koji se sastoji od pojave barem jednog od ovih događaja

Primjer zbroja događaja je prisustvo barem jednog od dva proizvoda u trgovini.

rad događaji se nazivaju događaji koji se sastoje od istovremenog nastupa svih ovih događaja

Događaj koji se sastoji u pojavi dvije robe u isto vrijeme u prodavnici je proizvod događaja: - pojava jednog proizvoda, - pojave drugog proizvoda.

Događaji čine kompletnu grupu događaja ako se barem jedan od njih nužno javlja u iskustvu.

Primjer. Luka ima dva veza za brodove. Mogu se smatrati tri događaja: - odsustvo plovila na vezovima, - prisustvo jednog plovila na jednom od vezova, - prisustvo dva plovila na dva veza. Ova tri događaja čine kompletnu grupu događaja.

Nasuprot nazivaju se dva jedinstvena moguća događaja koji čine kompletnu grupu.

Ako je jedan od događaja koji su suprotni označen sa , tada se suprotni događaj obično označava sa .

Klasične i statističke definicije vjerovatnoće događaja

Svaki od jednako mogućih rezultata ispitivanja (eksperimenata) naziva se elementarni ishod. Obično se označavaju slovima. Na primjer, baca se kocka. Prema broju bodova na stranama može biti šest elementarnih ishoda.

Od elementarnih ishoda možete sastaviti složeniji događaj. Dakle, događaj parnog broja bodova određen je sa tri ishoda: 2, 4, 6.

Kvantitativna mjera mogućnosti nastanka događaja koji se razmatra je vjerovatnoća.

Dvije definicije vjerovatnoće događaja se najčešće koriste: klasična i statistički.

Klasična definicija vjerovatnoće povezana je sa pojmom povoljnog ishoda.

Egzodus se zove povoljno ovaj događaj, ako njegovo pojavljivanje povlači nastanak ovog događaja.

U datom primjeru, događaj koji se razmatra je paran broj bodova na oborenoj ivici, ima tri povoljna ishoda. U ovom slučaju, general
broj mogućih ishoda. Dakle, ovdje možete koristiti klasičnu definiciju vjerovatnoće događaja.

Klasična definicija jednak je omjeru broja povoljnih ishoda i ukupnog broja mogućih ishoda

gdje je vjerovatnoća događaja, broj povoljnih ishoda za događaj, ukupan broj mogućih ishoda.

U razmatranom primjeru

Statistička definicija vjerovatnoće povezana je sa konceptom relativne učestalosti pojavljivanja događaja u eksperimentima.

Relativna učestalost pojavljivanja događaja izračunava se po formuli

gdje je broj pojavljivanja događaja u nizu eksperimenata (testova).

Statistička definicija. Vjerovatnoća događaja je broj u odnosu na koji se relativna frekvencija stabilizuje (uspostavlja) uz neograničeno povećanje broja eksperimenata.

U praktičnim problemima, relativna učestalost za dovoljno veliki broj pokušaja uzima se kao vjerovatnoća događaja.

Iz ovih definicija vjerovatnoće događaja, može se vidjeti da nejednakost uvijek vrijedi

Za određivanje vjerovatnoće događaja na osnovu formule (1.1), kombinatoričke formule se često koriste za pronalaženje broja povoljnih ishoda i ukupnog broja mogućih ishoda.