Webinar o kako razumjeti teoriju vjerovatnoće i kako početi koristiti statistiku u poslovanju. Znajući kako raditi s takvim informacijama, možete napraviti vlastiti posao.
Evo primjera problema koji ćete riješiti bez razmišljanja. U maju 2015. Rusija je lansirala svemirski brod Progres i izgubila kontrolu nad njim. Ova gomila metala, pod uticajem Zemljine gravitacije, trebalo je da se sruši na našu planetu.
Pažnja, pitanje je: kolika je bila vjerovatnoća da Progres padne na kopno, a ne u okean, i da li je trebalo da se brinemo.
Odgovor je vrlo jednostavan - šanse da padnete na kopno bile su 3 do 7.
Zovem se Aleksandar Skakunov, nisam ni naučnik ni profesor. Pitao sam se samo zašto nam trebaju teorija vjerovatnoće i statistika, zašto smo ih polagali na fakultetu? Stoga sam za godinu dana pročitao više od dvadeset knjiga na ovu temu - od Crnog labuda do Užitka X. Čak sam sebi unajmio 2 tutora.
Na ovom webinaru podijelit ću svoja saznanja sa vama. Na primjer, naučit ćete kako je statistika pomogla u stvaranju ekonomskog čuda u Japanu i kako se to odražava u scenariju za film Povratak u budućnost.
Sada ću vam pokazati uličnu magiju. Ne znam koliko će vas se prijaviti za ovaj webinar, ali samo 45% će se pojaviti.
Bit će zanimljivo. Prijaviti se!
3 faze razumijevanja teorije vjerovatnoće
Postoje 3 faze kroz koje prolazi svako ko se upozna sa teorijom vjerovatnoće.
Faza 1. “Pobijediću u kazinu!”. Čovjek vjeruje da može predvidjeti ishod slučajnih događaja.
Faza 2. “Nikada neću pobijediti u kazinu!..” Osoba je razočarana i vjeruje da se ništa ne može predvidjeti.
I faza 3. “Probajmo van kazina!”. Čovjek razumije da se u prividnom haosu svijeta šansi mogu pronaći obrasci koji mu omogućavaju da se dobro snalazi u svijetu oko sebe.
Naš zadatak je samo da dođemo do 3. faze, kako biste naučili kako primijeniti osnovne odredbe teorije vjerovatnoće i statistike u korist sebe i svog poslovanja.
Dakle, odgovor na pitanje "zašto je potrebna teorija vjerovatnoće" naučit ćete na ovom webinaru.
Matematika je kraljica svih nauka, koju mladi često sude. Postavili smo tezu „Matematika je beskorisna“. A mi opovrgavamo na primjeru jedne od najzanimljivijih tajanstvenih i zanimljivih teorija. Kako teorija vjerovatnoće pomaže u životu, spašava svijet, koje su tehnologije i dostignuća zasnovana na ovim naizgled neopipljivim i daleko od života formulama i složenim proračunima.
Istorija teorije verovatnoće
Teorija vjerovatnoće- grana matematike koja proučava slučajne događaje, i, naravno, njihovu vjerovatnoću. Ovakva matematika uopće nije rođena u dosadnim sivim kancelarijama, već ... kockarnicama. Prvi pristupi procjeni vjerovatnoće događaja bili su popularni još u srednjem vijeku među „hamlerima“ tog vremena. Međutim, tada su imali samo empirijsku studiju (odnosno procjenu u praksi, metodom eksperimenta). Nemoguće je pripisati autorstvo teorije vjerojatnosti određenoj osobi, jer su na njoj radili mnogi poznati ljudi, od kojih je svaki uložio svoj dio.
Prvi od ovih ljudi bili su Pascal i Fermat. Proučavali su teoriju vjerovatnoće o statistici kockica. Otkrila je prve pravilnosti. H. Hajgens je uradio sličan posao 20 godina ranije, ali teoreme nisu bile tačno formulisane. Važan doprinos teoriji vjerovatnoće dali su Jacob Bernoulli, Laplace, Poisson i mnogi drugi.
Pierre Fermat
Teorija vjerovatnoće u životu
Iznenadiću vas: svi mi, u ovom ili onom stepenu, koristimo teoriju verovatnoće, zasnovanu na analizi događaja koji su se desili u našim životima. Znamo da je vjerovatnija smrt od saobraćajne nesreće nego od udara groma, jer se prva, nažalost, dešava vrlo često. Na ovaj ili onaj način, obraćamo pažnju na vjerovatnoću stvari kako bismo predvidjeli svoje ponašanje. Ali evo uvrede, nažalost, ne uvijek osoba može točno odrediti vjerovatnoću određenih događaja.
Na primjer, bez poznavanja statistike, većina ljudi sklona je mišljenju da je šansa za smrt u avionskoj nesreći veća nego u saobraćajnoj nesreći. Sada znamo, proučavajući činjenice (za koje su, mislim, mnogi čuli), da to uopšte nije slučaj. Činjenica je da naše vitalno "oko" ponekad zakaže, jer se zračni transport čini mnogo strašnijim ljudima koji su navikli čvrsto hodati po zemlji. I većina ljudi ne koristi često ovaj vid transporta. Čak i ako možemo tačno da procenimo verovatnoću događaja, ona je najverovatnije krajnje netačna, što ne bi imalo smisla, recimo, u svemirskom inženjerstvu, gde milioniti delovi odlučuju o mnogo čemu. A kada nam treba tačnost, kome se obratiti? Naravno, na matematiku.
Postoji mnogo primjera stvarne upotrebe teorije vjerovatnoće u životu. Na njemu se zasniva gotovo cijela moderna ekonomija. Prilikom puštanja određenog proizvoda na tržište, kompetentan poduzetnik će svakako uzeti u obzir rizike, kao i vjerovatnoću kupovine na određenom tržištu, zemlji i sl. Praktično ne mogu zamisliti svoj život bez teorije o brokerima vjerovatnoće na svjetskim tržištima. Predviđanje novčanog kursa (u kojem je teorija vjerovatnoće definitivno neophodna) na novčanim opcijama ili na poznatom Forex tržištu omogućava zaradu ozbiljnog novca na ovoj teoriji.
Teorija vjerovatnoće je važna na početku gotovo svake aktivnosti, kao i njena regulacija. Zahvaljujući procjeni šansi za određeni kvar (na primjer, svemirska letjelica), znamo koje napore trebamo uložiti, šta točno provjeriti, što općenito očekivati hiljadama kilometara od Zemlje. Mogućnost terorističkog napada u podzemnoj željeznici, ekonomske krize ili nuklearnog rata - sve se to može izraziti u postocima. I što je najvažnije, poduzmite odgovarajuće protu-akcije na osnovu primljenih podataka.
Imao sam sreću da dođem na matematičku naučnu konferenciju svog grada, gde je jedan od pobedničkih radova govorio o praktičnom značaju teorija vjerovatnoće u životu. Vjerovatno, kao i svi ljudi, ne volite dugo stajati u redovima. Ovaj rad je dokazao kako se proces kupovine može ubrzati ako koristimo teoriju vjerovatnoće brojanja ljudi u redu i regulacije aktivnosti (otvaranje blagajne, povećanje prodavača itd.). Nažalost, sada većina čak i velikih mreža zanemaruje ovu činjenicu i oslanja se samo na vlastite vizualne proračune.
Svaka aktivnost u bilo kojoj oblasti može se analizirati pomoću statistike, izračunati korištenjem teorije vjerovatnoće i značajno poboljšati.
"Slučajnost nije slučajna"... Zvuči kao da je filozof rekao, ali u stvari, proučavanje slučajnosti je sudbina velike nauke matematike. U matematici je slučajnost teorija vjerovatnoće. U članku će biti predstavljene formule i primjeri zadataka, kao i glavne definicije ove nauke.
Šta je teorija vjerovatnoće?
Teorija vjerovatnoće je jedna od matematičkih disciplina koja proučava slučajne događaje.
Da bude malo jasnije, dajmo mali primjer: ako bacite novčić gore, on može pasti glavom ili repom. Sve dok je novčić u zraku, obje ove mogućnosti su moguće. Odnosno, vjerovatnoća mogućih posljedica je u korelaciji 1:1. Ako se jedna izvuče iz špila sa 36 karata, tada će vjerovatnoća biti označena kao 1:36. Čini se da nema šta istraživati i predviđati, posebno uz pomoć matematičkih formula. Ipak, ako određenu radnju ponovite mnogo puta, tada možete identificirati određeni obrazac i na osnovu njega predvidjeti ishod događaja u drugim uvjetima.
Da sumiramo sve navedeno, teorija vjerovatnoće u klasičnom smislu proučava mogućnost nastanka jednog od mogućih događaja u numeričkom smislu.
Sa stranica istorije
Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri prvih zadataka pojavili su se u dalekom srednjem vijeku, kada su se prvi put pojavili pokušaji predviđanja ishoda kartaških igara.
U početku, teorija vjerovatnoće nije imala nikakve veze sa matematikom. To je bilo opravdano empirijskim činjenicama ili svojstvima događaja koji su se mogli reproducirati u praksi. Prvi radovi iz ove oblasti kao matematičke discipline pojavili su se u 17. veku. Osnivači su bili Blaise Pascal i Pierre Fermat. Dugo su proučavali kockanje i uviđali određene obrasce o kojima su odlučili da ispričaju javnosti.
Istu tehniku izmislio je Christian Huygens, iako nije bio upoznat s rezultatima istraživanja Pascala i Fermata. On je uveo pojam "teorije vjerovatnoće", formule i primjere koji se smatraju prvima u historiji discipline.
Od velikog značaja su radovi Jacoba Bernoullija, Laplaceove i Poissonove teoreme. Učinili su teoriju vjerovatnoće više poput matematičke discipline. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri osnovnih zadataka dobili su današnji oblik zahvaljujući Kolmogorovljevim aksiomima. Kao rezultat svih promjena, teorija vjerovatnoće je postala jedna od matematičkih grana.
Osnovni koncepti teorije vjerovatnoće. Razvoj
Glavni koncept ove discipline je "događaj". Događaji su tri vrste:
- Pouzdan. One koje će se ipak dogoditi (novčić će pasti).
- Nemoguće. Događaji koji se neće desiti ni u kom scenariju (novčić će ostati da visi u vazduhu).
- Slučajno. Oni koji će se desiti ili neće. Na njih mogu uticati različiti faktori koje je veoma teško predvidjeti. Ako govorimo o novčiću, onda nasumični faktori koji mogu utjecati na rezultat: fizičke karakteristike novčića, njegov oblik, početni položaj, sila bacanja itd.
Svi događaji u primjerima su označeni velikim latiničnim slovima, s izuzetkom R, koji ima drugačiju ulogu. Na primjer:
- A = "studenti su došli na predavanje."
- Ā = "studenti nisu došli na predavanje".
U praktičnim zadacima događaji se obično bilježe riječima.
Jedna od najvažnijih karakteristika događaja je njihova jednaka mogućnost. Odnosno, ako bacite novčić, moguće su sve varijante početnog pada dok ne padne. Ali događaji takođe nisu jednako vjerovatni. Ovo se dešava kada neko namerno utiče na ishod. Na primjer, "označene" karte za igranje ili kockice, u kojima je pomaknut centar gravitacije.
Događaji su također kompatibilni i nekompatibilni. Kompatibilni događaji ne isključuju pojavu jedan drugog. Na primjer:
- A = "student je došao na predavanje."
- B = "student je došao na predavanje."
Ovi događaji su nezavisni jedan od drugog, a pojava jednog od njih ne utiče na pojavu drugog. Nespojivi događaji su definisani činjenicom da pojava jednog isključuje nastanak drugog. Ako govorimo o istom novčiću, onda gubitak "repova" onemogućava pojavu "glava" u istom eksperimentu.
Akcije na događaje
Događaji se mogu množiti i sabirati, respektivno, u disciplinu se uvode logički vezivi "AND" i "OR".
Iznos je određen činjenicom da se bilo koji događaj A, ili B, ili oba mogu dogoditi u isto vrijeme. U slučaju kada su nekompatibilni, zadnja opcija je nemoguća, ili A ili B će ispasti.
Umnožavanje događaja se sastoji u pojavi A i B u isto vrijeme.
Sada možete dati nekoliko primjera kako biste bolje zapamtili osnove, teoriju vjerojatnosti i formule. Primjeri rješavanja problema u nastavku.
Vježba 1: Firma se nadmeće za ugovore za tri vrste radova. Mogući događaji koji se mogu dogoditi:
- A = "firma će dobiti prvi ugovor."
- A 1 = "firma neće primiti prvi ugovor."
- B = "firma će dobiti drugi ugovor."
- B 1 = "firma neće dobiti drugi ugovor"
- C = "firma će dobiti treći ugovor."
- C 1 = "firma neće dobiti treći ugovor."
Pokušajmo izraziti sljedeće situacije koristeći radnje na događaje:
- K = "firma će primiti sve ugovore."
U matematičkom obliku, jednačina će izgledati ovako: K = ABC.
- M = "firma neće dobiti nijedan ugovor."
M \u003d A 1 B 1 C 1.
Komplikujemo zadatak: H = "firma će dobiti jedan ugovor." Budući da se ne zna koji će ugovor firma dobiti (prvi, drugi ili treći), potrebno je zabilježiti čitav niz mogućih događaja:
H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.
A 1 BC 1 je niz događaja u kojima firma ne prima prvi i treći ugovor, ali prima drugi. Drugi mogući događaji se također bilježe odgovarajućom metodom. Simbol υ u disciplini označava gomilu "ILI". Ako gornji primjer prevedemo na ljudski jezik, tada će kompanija dobiti ili treći ugovor, ili drugi, ili prvi. Slično, možete napisati i druge uslove u disciplini "Teorija vjerovatnoće". Gore navedene formule i primjeri rješavanja problema pomoći će vam da to učinite sami.
Zapravo, vjerovatnoća
Možda je u ovoj matematičkoj disciplini vjerovatnoća događaja centralni koncept. Postoje 3 definicije vjerovatnoće:
- klasična;
- statistički;
- geometrijski.
Svaki od njih ima svoje mjesto u proučavanju vjerovatnoća. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri (9. razred) uglavnom koriste klasičnu definiciju, koja zvuči ovako:
- Vjerovatnoća situacije A jednaka je omjeru broja ishoda koji pogoduju njenom nastanku i broja svih mogućih ishoda.
Formula izgleda ovako: P (A) \u003d m / n.
I, zapravo, događaj. Ako se desi suprotno od A, može se napisati kao Ā ili A 1 .
m je broj mogućih povoljnih slučajeva.
n - svi događaji koji se mogu dogoditi.
Na primjer, A \u003d "izvucite karticu odijela srca." U standardnom špilu ima 36 karata, od kojih je 9 od srca. U skladu s tim, formula za rješavanje problema će izgledati ovako:
P(A)=9/36=0,25.
Kao rezultat toga, vjerovatnoća da će iz špila bude izvučena karta u obliku srca bit će 0,25.
na višu matematiku
Sada je postalo malo poznato šta je teorija vjerovatnoće, formule i primjeri rješavanja zadataka koji se sreću u školskom programu. Međutim, teorija vjerovatnoće se nalazi iu višoj matematici, koja se predaje na univerzitetima. Najčešće operišu geometrijskim i statističkim definicijama teorije i složenim formulama.
Teorija vjerovatnoće je veoma interesantna. Formule i primjeri (viša matematika) bolje je početi učiti od malog - od statističke (ili učestalosti) definicije vjerovatnoće.
Statistički pristup nije u suprotnosti sa klasičnim pristupom, ali ga neznatno proširuje. Ako je u prvom slučaju bilo potrebno odrediti s kojim stepenom vjerovatnoće će se događaj dogoditi, onda je u ovoj metodi potrebno naznačiti koliko će se često događati. Ovdje se uvodi novi koncept “relativne frekvencije” koji se može označiti sa W n (A). Formula se ne razlikuje od klasične:
Ako se za predviđanje izračunava klasična formula, onda se statistička izračunava prema rezultatima eksperimenta. Uzmimo, na primjer, mali zadatak.
Odjeljenje tehnološke kontrole provjerava kvalitet proizvoda. Među 100 proizvoda utvrđeno je da su 3 lošeg kvaliteta. Kako pronaći vjerovatnoću frekvencije kvalitetnog proizvoda?
A = "izgled kvalitetnog proizvoda."
W n (A)=97/100=0,97
Dakle, frekvencija kvalitetnog proizvoda je 0,97. Odakle ti 97? Od 100 provjerenih proizvoda, 3 su se pokazala lošeg kvaliteta. Od 100 oduzmemo 3, dobijemo 97, to je količina kvalitetnog proizvoda.
Malo o kombinatorici
Druga metoda teorije vjerovatnoće naziva se kombinatorika. Njegov osnovni princip je da ako se određeni izbor A može napraviti na m različitih načina, a izbor B na n različitih načina, onda se izbor A i B može napraviti množenjem.
Na primjer, postoji 5 puteva od grada A do grada B. Postoje 4 rute od grada B do grada C. Na koliko načina se može doći od grada A do grada C?
Jednostavno je: 5x4 = 20, odnosno postoji dvadeset različitih načina da dođete od tačke A do tačke C.
Hajde da otežamo zadatak. Na koliko načina postoji kartanje u pasijansu? U špilu od 36 karata, ovo je početna tačka. Da biste saznali broj načina, trebate "oduzeti" jednu kartu od početne točke i pomnožiti.
To jest, 36x35x34x33x32…x2x1= rezultat ne stane na ekran kalkulatora, tako da se jednostavno može označiti kao 36!. Potpišite "!" pored broja označava da se čitav niz brojeva međusobno množi.
U kombinatorici postoje koncepti kao što su permutacija, smještaj i kombinacija. Svaki od njih ima svoju formulu.
Uređeni skup elemenata skupa naziva se raspored. Položaji se mogu ponavljati, što znači da se jedan element može koristiti više puta. I bez ponavljanja, kada se elementi ne ponavljaju. n su svi elementi, m elementi koji učestvuju u postavljanju. Formula za postavljanje bez ponavljanja će izgledati ovako:
A n m =n!/(n-m)!
Veze od n elemenata koje se razlikuju samo po redosledu postavljanja nazivaju se permutacije. U matematici, ovo izgleda ovako: P n = n!
Kombinacije n elemenata po m su takvi spojevi u kojima je bitno koji su elementi bili i koliki je njihov ukupan broj. Formula će izgledati ovako:
A n m =n!/m!(n-m)!
Bernulijeva formula
U teoriji vjerovatnoće, kao i u svakoj disciplini, postoje radovi istaknutih istraživača u svojoj oblasti koji su je podigli na novi nivo. Jedan od ovih radova je Bernoullijeva formula, koja vam omogućava da odredite vjerovatnoću da će se određeni događaj dogoditi pod neovisnim uvjetima. Ovo sugerira da pojava A u eksperimentu ne ovisi o pojavljivanju ili nepostojanju istog događaja u prethodnim ili narednim testovima.
Bernulijeva jednačina:
P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .
Vjerovatnoća (p) pojave događaja (A) je nepromijenjena za svako ispitivanje. Vjerovatnoća da će se situacija desiti tačno m puta u n broj eksperimenata će se izračunati po formuli koja je prikazana gore. Shodno tome, postavlja se pitanje kako saznati broj q.
Ako se događaj A dogodi p broj puta, prema tome, možda se neće dogoditi. Jedinica je broj koji se koristi za označavanje svih ishoda situacije u disciplini. Dakle, q je broj koji ukazuje na mogućnost da se događaj ne dogodi.
Sada znate Bernoullijevu formulu (teoriju vjerovatnoće). U nastavku ćemo razmotriti primjere rješavanja problema (prvi nivo).
Zadatak 2: Posjetilac trgovine će izvršiti kupovinu sa vjerovatnoćom od 0,2. 6 posetilaca je samostalno ušlo u radnju. Kolika je vjerovatnoća da će posjetitelj obaviti kupovinu?
Rješenje: Pošto nije poznato koliko posjetitelja treba da izvrši kupovinu, jedan ili svih šest, potrebno je izračunati sve moguće vjerovatnoće koristeći Bernoullijevu formulu.
A = "posjetilac će izvršiti kupovinu."
U ovom slučaju: p = 0,2 (kako je naznačeno u zadatku). Prema tome, q=1-0,2 = 0,8.
n = 6 (jer u radnji ima 6 kupaca). Broj m će se promijeniti od 0 (nijedan kupac neće izvršiti kupovinu) na 6 (svi posjetitelji trgovine će nešto kupiti). Kao rezultat, dobijamo rješenje:
P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.
Nijedan od kupaca neće izvršiti kupovinu sa vjerovatnoćom od 0,2621.
Kako se inače koristi Bernoullijeva formula (teorija vjerovatnoće)? Primjeri rješavanja problema (drugi nivo) u nastavku.
Nakon gornjeg primjera, postavljaju se pitanja gdje su C i p otišli. S obzirom na p, broj na stepen od 0 će biti jednak jedan. Što se tiče C, može se naći po formuli:
C n m = n! /m!(n-m)!
Pošto je u prvom primjeru m = 0, respektivno, C=1, što u principu ne utiče na rezultat. Koristeći novu formulu, pokušajmo saznati kolika je vjerovatnoća da će dva posjetitelja kupiti robu.
P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.
Teorija vjerovatnoće nije tako komplikovana. Bernoullijeva formula, čiji su primjeri prikazani gore, izravan je dokaz za to.
Poissonova formula
Poissonova jednačina se koristi za izračunavanje malo vjerojatnih slučajnih situacija.
osnovna formula:
P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .
U ovom slučaju, λ = n x p. Evo tako jednostavne Poissonove formule (teorija vjerovatnoće). U nastavku ćemo razmotriti primjere rješavanja problema.
Zadatak 3 O: Fabrika je proizvela 100.000 delova. Izgled neispravnog dijela = 0,0001. Kolika je vjerovatnoća da će u seriji biti 5 neispravnih dijelova?
Kao što vidite, brak je malo vjerojatan događaj i stoga se za proračun koristi Poissonova formula (teorija vjerovatnoće). Primjeri rješavanja problema ove vrste se ne razlikuju od drugih zadataka discipline, potrebne podatke zamjenjujemo u gornju formulu:
A = "slučajno odabrani dio će biti neispravan."
p = 0,0001 (prema uslovu zadavanja).
n = 100000 (broj delova).
m = 5 (neispravni dijelovi). Zamjenjujemo podatke u formulu i dobivamo:
100000 R (5) = 10 5 / 5! X e -10 = 0,0375.
Baš kao i Bernoullijeva formula (teorija vjerovatnoće), primjeri rješenja koje se koriste gore su napisani, Poissonova jednačina ima nepoznato e. U suštini, može se naći po formuli:
e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .
Međutim, postoje posebne tablice koje sadrže gotovo sve vrijednosti e.
De Moivre-Laplaceova teorema
Ako je u Bernoullijevoj šemi broj pokušaja dovoljno velik, a vjerovatnoća pojave događaja A u svim šemama jednaka, tada se vjerovatnoća pojave događaja A određeni broj puta u nizu pokušaja može naći pomoću Laplaceova formula:
R n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).
Xm = m-np/√npq.
Da biste bolje zapamtili Laplaceovu formulu (teorija vjerojatnosti), primjeri zadataka koji će vam pomoći u nastavku.
Prvo nalazimo X m , zamjenjujemo podatke (svi su oni gore navedeni) u formulu i dobivamo 0,025. Pomoću tabela nalazimo broj ϕ (0,025), čija je vrijednost 0,3988. Sada možete zamijeniti sve podatke u formuli:
P 800 (267) = 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.
Dakle, vjerovatnoća da će letak pogoditi tačno 267 puta je 0,03.
Bayesova formula
Bayesova formula (teorija vjerovatnoće), primjeri rješavanja zadataka pomoću koje će biti dati u nastavku, je jednačina koja opisuje vjerovatnoću događaja na osnovu okolnosti koje bi mogle biti povezane s njim. Glavna formula je sljedeća:
P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).
A i B su određeni događaji.
P(A|B) - uslovna verovatnoća, odnosno događaj A može se desiti, pod uslovom da je događaj B tačan.
R (V|A) - uslovna verovatnoća događaja V.
Dakle, završni dio kratkog kursa "Teorija vjerojatnosti" je Bayesova formula, primjeri rješavanja problema s kojima se nalaze u nastavku.
Zadatak 5: U magacin su doneti telefoni tri firme. Istovremeno, deo telefona koji se proizvodi u prvoj fabrici je 25%, u drugoj - 60%, u trećoj - 15%. Takođe je poznato da je prosečan procenat neispravnih proizvoda u prvoj fabrici 2%, u drugoj - 4%, au trećoj - 1%. Potrebno je pronaći vjerovatnoću da će slučajno odabrani telefon biti neispravan.
A = "slučajno uzet telefon."
B 1 - telefon koji je prva fabrika napravila. Shodno tome, pojavit će se uvodni B 2 i B 3 (za drugu i treću tvornicu).
Kao rezultat, dobijamo:
P (B 1) = 25% / 100% = 0,25; P (B 2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - tako da smo pronašli vjerovatnoću svake opcije.
Sada morate pronaći uslovne vjerovatnoće željenog događaja, odnosno vjerovatnoću neispravnih proizvoda u firmama:
P (A / B 1) = 2% / 100% = 0,02;
P (A / B 2) \u003d 0,04;
P (A / B 3) \u003d 0,01.
Sada zamjenjujemo podatke u Bayesovu formulu i dobijamo:
P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.
Članak predstavlja teoriju vjerovatnoće, formule i primjere rješavanja problema, ali ovo je samo vrh ledenog brega jedne ogromne discipline. I nakon svega napisanog, logično će biti postaviti pitanje da li je teorija vjerovatnoće potrebna u životu. Prostoj osobi je teško odgovoriti, bolje je pitati nekoga ko je uz njenu pomoć više puta pogodio džekpot.
1.2. Primjena teorije vjerojatnosti
Metode teorije vjerovatnoće se široko koriste u različitim granama prirodnih nauka i tehnologije:
u teoriji pouzdanosti,
teorija čekanja,
teorijska fizika,
geodezija,
astronomija,
teorija gađanja,
teorija grešaka u posmatranju,
Teorije automatskog upravljanja,
opća teorija komunikacije iu mnogim drugim teorijskim i primijenjenim naukama.
Teorija vjerovatnoće služi i za potkrepljivanje matematičke i primijenjene statistike, koja se, pak, koristi u planiranju i organizaciji proizvodnje, u analizi tehnoloških procesa, preventivnoj i prijemnoj kontroli kvaliteta proizvoda i u mnoge druge svrhe.
Poslednjih godina metode teorije verovatnoće sve više prodiru u različite oblasti nauke i tehnologije, doprinoseći njihovom napretku.
1.3. Kratka istorijska pozadina
Prvi radovi u kojima su rođeni osnovni koncepti teorije vjerovatnoće bili su pokušaji stvaranja teorije kockanja (Cardano, Huygens, Pascal, Fermat i drugi u 16.-17. vijeku).
Sljedeća faza u razvoju teorije vjerovatnoće povezana je s imenom Jacob Bernoulli (1654 - 1705). Teorema koju je dokazao, kasnije nazvana "Zakon velikih brojeva", bila je prva teorijska potkrepa ranije akumuliranih činjenica.
Teorija vjerovatnoće dalji uspjeh duguje Moivreu, Laplaceu, Gaussu, Poissonu i drugima. Ljapunov (1857 - 1918). Tokom ovog perioda, teorija vjerovatnoće postaje koherentna matematička nauka. Za njegov kasniji razvoj zaslužni su prvenstveno ruski i sovjetski matematičari (S.N. Bernshtein, V.I. Romanovsky, A.N. Kolmogorov, A.Ya. Khinčin, B.V. Gnedenko, N.V. Smirnov, itd.).
1.4. Testovi i događaji. Vrste događaja
Osnovni koncepti teorije vjerovatnoće su koncept elementarnog događaja i koncept prostora elementarnih događaja. Iznad, događaj se naziva slučajnim ako pod implementacijom određenog skupa uslova S može se desiti ili ne desiti. U budućnosti, umesto da se kaže „skup uslova S sprovedeno”, reći ćemo kratko: “testirano”. Dakle, događaj će se smatrati rezultatom testa.
Definicija. slučajni događaj svaka činjenica koja se može ili ne mora pojaviti kao rezultat iskustva naziva se.
U ovom slučaju, jedan ili drugi rezultat eksperimenta može se dobiti s različitim stupnjevima mogućnosti. Odnosno, u nekim slučajevima se može reći da će se jedan događaj gotovo sigurno dogoditi, drugi gotovo nikada.
Definicija. Prostor elementarnih ishodaΩ je skup koji sadrži sve moguće ishode datog slučajnog eksperimenta, od kojih se tačno jedan javlja u eksperimentu. Elementi ovog skupa se nazivaju elementarni ishodi i označeno slovom ω ("omega").
Tada se podskupovi skupa Ω nazivaju događajima. Kaže se da se kao rezultat eksperimenta dogodio događaj A Ω ako se u eksperimentu dogodio jedan od elementarnih ishoda uključenih u skup A.
Radi jednostavnosti, pretpostavljamo da je broj elementarnih događaja konačan. Podskup prostora elementarnih događaja naziva se slučajni događaj. Ovaj događaj se može, ali i ne mora dogoditi kao rezultat testa (tri boda na bacanju kocke, telefonski poziv u ovom trenutku, itd.).
Primjer 1 Strijelac puca u metu podijeljenu na četiri područja. Pogodak je test. Pogađanje određenog područja mete je događaj.
Primjer 2 U urni su kuglice u boji. Jedna lopta se nasumično izvlači iz urne. Vađenje lopte iz urne je test. Pojava lopte određene boje je događaj.
U matematičkom modelu se može prihvatiti koncept događaja kao početni, koji nije definisan i koji se karakteriše samo sopstvenim svojstvima. Na osnovu stvarnog značenja pojma događaja, mogu se definisati različite vrste događaja.
Definicija. Poziva se slučajni događaj pouzdan, ako je poznato da se dogodi (bacivanje jednog do šest poena na bacanju kockice), i nemoguće, ako se to sigurno ne može dogoditi kao rezultat iskustva (sedam bačenih bodova prilikom bacanja kocke). U ovom slučaju, određeni događaj sadrži sve tačke prostora elementarnih događaja, a nemoguć događaj ne sadrži nijednu tačku ovog prostora.
Definicija. Pozivaju se dva slučajna događaja nekompatibilno ako se ne mogu pojaviti u isto vrijeme za isti ishod testa. I općenito se poziva bilo koji broj događaja nekompatibilno ako pojava jednog od njih isključuje pojavu ostalih.
Klasičan primjer nepovezanih događaja je rezultat bacanja novčića - pad prednje strane novčića isključuje pad naličja (u istom eksperimentu).
Drugi primjer je nasumično uzet dio iz kutije dijelova. Izgled standardnog dijela isključuje izgled nestandardnog dijela. Događaji “pojavio se standardni dio” i “pojavio se nestandardni dio” su nekompatibilni.
Definicija. Formira se nekoliko događaja puna grupa, ako se barem jedan od njih pojavi kao rezultat testa.
Drugim riječima, pojava barem jednog od događaja cijele grupe je određeni događaj. Konkretno, ako su događaji koji čine kompletnu grupu parno nekompatibilni, tada će se jedan i samo jedan od ovih događaja pojaviti kao rezultat testa. Ovaj konkretni slučaj je od najvećeg interesa, jer će se koristiti u nastavku.
Primjer. Kupljene dvije tikete lutrije za novac i odjeću. Jedan i samo jedan od sljedećih događaja će se nužno dogoditi: „dobitak je pao na prvi tiket, a nije pao na drugi“, „dobitak nije pao na prvi listić već je pao na drugi“, „dobitak je pao na oba tiketa”, “dobiti nisu osvojili na oba tiketa”. Ovi događaji čine kompletnu grupu događaja koji nisu kompatibilni u parovima.
Primjer. Strijelac je pucao u metu. Jedan od sljedeća dva događaja će se sigurno dogoditi: pogodak, promašaj. Ova dva nepovezana događaja čine kompletnu grupu.
Primjer. Ako se jedna loptica izvuče nasumično iz kutije koja sadrži samo crvene i zelene kuglice, onda je pojava bijele kuglice među izvučenim kuglicama nemoguć događaj. Pojava crvenih i pojava zelenih kuglica čine kompletnu grupu događaja.
Definicija. Za događaje se kaže da su podjednako vjerovatni ako postoji razlog vjerovati da nijedan od njih nije mogući više od drugog.
Primjer. Pojava “grba” i pojava natpisa pri bacanju novčića su podjednako vjerovatni događaji. Zaista, pretpostavlja se da je novčić napravljen od homogenog materijala, pravilnog cilindričnog oblika, a prisustvo kovanog novca ne utiče na gubitak jedne ili druge strane novčića.
Primjer. Pojava jednog ili drugog broja poena na bačenoj kocki jednako su vjerovatni događaji. Zaista, pretpostavlja se da je matrica napravljena od homogenog materijala, da ima oblik pravilnog poliedra, a prisustvo tačaka ne utiče na gubitak bilo kojeg lica.
U gornjem primjeru loptice, pojava crvenih i zelenih loptica su podjednako vjerovatni događaji ako kutija sadrži isti broj crvenih i zelenih loptica. Ako u kutiji ima više crvenih loptica nego zelenih, onda je manja vjerovatnoća pojavljivanja zelene lopte od pojave crvene.
Sadržaj
Uvod 3
1. Istorija pojave 4
2. Pojava klasične definicije vjerovatnoće 9
3. Predmet teorije vjerovatnoće 11
4. Osnovni koncepti teorije vjerovatnoće 13
5. Primjena teorije vjerovatnoće u savremenom svijetu 15
6. Vjerovatnoća i zračni transport 19 Zaključak 20
Reference 21
Uvod
Šansa, prilika - sa njima se susrećemo svaki dan: slučajan susret, slučajni kvar, slučajni nalaz, slučajna greška. Ova serija se može nastaviti u nedogled. Čini se da nema mjesta za matematiku, ali ovdje je nauka otkrila zanimljive obrasce - oni omogućavaju osobi da se osjeća samopouzdano kada se susreće sa slučajnim događajima.
Teorija vjerovatnoće se može definirati kao grana matematike koja proučava obrasce svojstvene slučajnim događajima. Metode teorije vjerovatnoće se široko koriste u matematičkoj obradi rezultata mjerenja, kao iu mnogim problemima ekonomije, statistike, osiguranja i masovnih usluga. Otuda nije teško pretpostaviti da u vazduhoplovstvu teorija verovatnoće nalazi veoma široku primenu.
Moj budući rad na disertaciji će se odnositi na satelitsku navigaciju. Ne samo u satelitskoj navigaciji, već iu tradicionalnim sredstvima navigacije, teorija vjerovatnoće je dobila vrlo široku primjenu, jer se većina operativnih i tehničkih karakteristika radio opreme kvantificira kroz vjerovatnoću.
1. Istorijat pojave
Sada je već teško ustanoviti ko je prvi postavio pitanje, iako u nesavršenom obliku, o mogućnosti kvantitativnog mjerenja mogućnosti slučajnog događaja. Jedno je jasno, da je za manje-više zadovoljavajući odgovor na ovo pitanje bilo potrebno dugo vremena i značajne napore niza generacija istaknutih istraživača. Dugo su se istraživači ograničavali na razmatranje različitih vrsta igara, posebno igara s kockicama, jer njihovo proučavanje omogućava da se ograničimo na jednostavne i transparentne matematičke modele. Međutim, treba napomenuti da su mnogi ljudi savršeno razumjeli ono što je kasnije formulirao Christian Huygens: „...Vjerujem da će čitalac nakon pažljivog proučavanja teme primijetiti da se on ne bavi samo igrom, već i ovdje se postavljaju temelji jedne vrlo zanimljive i duboke teorije.
Videćemo da su daljim napretkom teorije verovatnoće duboka razmatranja, kako prirodno-naučna tako i opštefilozofska, odigrala važnu ulogu. Ovaj trend se nastavlja do danas: stalno promatramo kako pitanja prakse - naučne, industrijske, odbrambene - postavljaju nove probleme za teoriju vjerovatnoće i dovode do potrebe za proširenjem arsenala ideja, koncepata i istraživačkih metoda.
Razvoj teorije vjerovatnoće, a samim tim i razvoj koncepta vjerovatnoće, može se podijeliti na sljedeće faze.
1. Predistorija teorije vjerovatnoće. U ovom periodu, čiji se početak gubi u vekovima, postavljani su i rešavani elementarni problemi, koji će kasnije biti pripisani teoriji verovatnoće. U ovom periodu nema posebnih metoda. Ovaj period završava se djelima Cardana, Paciolija, Tartaglie i drugih.
Susrećemo se sa probabilističkim prikazima u antici. Demokrit, Lukrecije Kara i drugi antički naučnici i mislioci imaju duboka predviđanja o strukturi materije sa nasumičnim kretanjem malih čestica (molekula), razmišljanje o jednako mogućim ishodima, itd. Još u davna vremena pokušavali su se prikupiti i analizirati neki statistički materijali - sve je to (kao i druge manifestacije pažnje na slučajne pojave) stvorilo osnovu za razvoj novih naučnih koncepata, uključujući koncept vjerovatnoće. Ali drevna nauka nije došla do tačke izolacije ovog koncepta.
U filozofiji je pitanje slučajnog, nužnog i mogućeg uvijek bilo jedno od glavnih. Filozofski razvoj ovih problema uticao je i na formiranje koncepta vjerovatnoće. Općenito, u srednjem vijeku postoje samo raštrkani pokušaji razmišljanja o vjerojatnostnom zaključivanju na koje se nailazi.
U radovima Paciolija, Tartaglie i Cardana već se nastoji izdvojiti novi koncept - omjer šanse - u rješavanju niza specifičnih problema, prvenstveno kombinatornih.
2. Pojava teorije vjerovatnoće kao nauke. Do sredine XVII vijeka. vjerovatnoća pitanja i problemi koji se javljaju u statističkoj praksi, u praksi osiguravajućih društava, u obradi rezultata posmatranja iu drugim oblastima, privukli su pažnju naučnika, jer su postali aktuelni. Prije svega, ovaj period je povezan s imenima Pascal, Fermat i Huygens. Tokom ovog perioda razvijaju se specifični koncepti, kao što su matematičko očekivanje i vjerovatnoća (kao omjer šansi), uspostavljaju se i koriste prva svojstva vjerovatnoće: teoreme sabiranja i množenja vjerovatnoća. U ovom trenutku, teorema verovatnoće nalazi primenu u poslovima osiguranja, demografiji, u proceni grešaka u posmatranju, dok se široko koristi koncept verovatnoće.
3. Sljedeće razdoblje počinje pojavom Bernoullijevog djela "Umjetnost pretpostavki" (1713), u kojem je prvi put dokazana prva granična teorema - najjednostavniji slučaj zakona velikih brojeva. Ovaj period, koji je trajao do sredine 19. veka, obuhvata radove De Moivra, Laplasa, Gausa i dr. Granične teoreme su tada bile u centru pažnje. Teorija vjerovatnoće počinje da se široko koristi u različitim oblastima prirodnih nauka. I iako u ovom periodu počinju da se koriste različiti koncepti verovatnoće (geometrijska verovatnoća, statistička verovatnoća), klasična definicija verovatnoće zauzima dominantnu poziciju.
4. Sljedeći period u razvoju teorije vjerovatnoće vezan je prvenstveno za Peterburšku matematičku školu. Tokom dva veka razvoja teorije verovatnoće, njena glavna dostignuća bile su granične teoreme, ali granice njihove primene i mogućnost daljih generalizacija nisu razjašnjene. Uz uspjehe, utvrđeni su i značajni nedostaci u njegovom opravdanju, što se izražava u nedovoljno jasnoj ideji vjerovatnoće. U teoriji vjerovatnoće došlo je do situacije da je njen dalji razvoj zahtijevao pojašnjenje glavnih odredbi i jačanje samih metoda istraživanja.
To je izvela ruska matematička škola na čelu sa Čebiševom. Među njegovim najvećim predstavnicima su Markov i Lyapunov.
Tokom ovog perioda, teorija vjerovatnoće uključuje procjene aproksimacija graničnih teorema, kao i proširenje klase slučajnih varijabli koje se pridržavaju graničnih teorema. U to vreme, neke zavisne slučajne varijable (Markovljevi lanci) počele su da se razmatraju u teoriji verovatnoće. U teoriji vjerovatnoće nastaju novi pojmovi, kao što su "teorija karakterističnih funkcija", "teorija momenata" itd. I u tom smislu je postala široko rasprostranjena u prirodnim naukama, prvenstveno u fizici. U ovom periodu nastaje statistička fizika. Ali ovo uvođenje probabilističkih metoda i koncepata u fiziku išlo je prilično daleko od dostignuća teorije vjerovatnoće. Vjerovatnoće korištene u fizici nisu bile potpuno iste kao u matematici. Postojeći koncepti vjerovatnoće nisu zadovoljavali potrebe prirodnih nauka, pa su se kao rezultat toga počele pojavljivati različite interpretacije vjerovatnoće koje je bilo teško svesti na jednu definiciju.
Razvoj teorije vjerovatnoće početkom 19. stoljeća. To je dovelo do potrebe za revizijom i pojašnjenjem njegovih logičkih osnova, prije svega koncepta vjerovatnoće. To je zahtijevalo razvoj fizike i primjenu probabilističkih koncepata i aparata teorije vjerovatnoće; osjećalo se nezadovoljstvo klasičnim opravdanjem laplasovog tipa.
5. Savremeni period razvoja teorije vjerovatnoće započeo je uspostavljanjem aksiomatike (aksiomatika - sistem aksioma svake nauke). To je prvenstveno zahtijevala praksa, jer je za uspješnu primjenu teorije vjerovatnoće u fizici, biologiji i drugim oblastima nauke, kao iu tehnici i vojnim poslovima, bilo potrebno razjasniti i dovesti njene osnovne koncepte u koherentan sistem. . Zahvaljujući aksiomatici, teorija vjerovatnoće je postala apstraktno-deduktivna matematička disciplina, usko povezana sa teorijom skupova. To je dovelo do širine istraživanja u teoriji vjerovatnoće.
Prva djela ovog perioda vezana su za imena Bernsteina, Misesa, Borela. Do konačnog uspostavljanja aksiomatike došlo je 30-ih godina XX veka. Analiza trendova u razvoju teorije vjerovatnoće omogućila je Kolmogorovu da stvori općeprihvaćenu aksiomatiku. U probabilističkim studijama, analogije sa teorijom skupova počele su da igraju suštinsku ulogu. Ideje metričke teorije funkcija počele su prodirati sve dublje u teoriju vjerovatnoće. Postojala je potreba za aksiomatizacijom teorije vjerovatnoće zasnovane na konceptima teorijske skupove. Takvu aksiomatiku stvorio je Kolmogorov i doprinijela je tome da je teorija vjerovatnoće konačno ojačana kao punopravna matematička nauka.
Tokom ovog perioda, koncept vjerovatnoće prodire u gotovo sve u svim sferama ljudske aktivnosti. Postoje različite definicije vjerovatnoće. Raznolikost definicija osnovnih pojmova je suštinska karakteristika moderne nauke. Moderne definicije u nauci su prikaz koncepata, gledišta, kojih može biti mnogo za bilo koji fundamentalni pojam, a sve one odražavaju neku bitnu stranu pojma koji se definiše. Ovo se također odnosi na koncept vjerovatnoće.
2. Pojava klasične definicije vjerovatnoće
Koncept vjerovatnoće igra ogromnu ulogu u modernoj nauci, te je stoga suštinski element modernog pogleda na svijet u cjelini, moderne filozofije. Sve ovo izaziva pažnju i interesovanje za razvoj koncepta verovatnoće, koji je usko povezan sa opštim kretanjem nauke. Na koncepte vjerovatnoće značajno su utjecala dostignuća mnogih nauka, ali ih je ovaj koncept, zauzvrat, natjerao da usavrše svoj pristup proučavanju svijeta.
Formiranje osnovnih matematičkih pojmova predstavlja važne faze u procesu matematičkog razvoja. Sve do kraja 17. veka nauka nije pristupila uvođenju klasične definicije verovatnoće, već je nastavila da operiše samo sa brojem šansi koje favorizuju jedan ili drugi događaj od interesa za istraživače. Odvojeni pokušaji, koje su zabilježili Cardano i kasniji istraživači, nisu doveli do jasnog razumijevanja značaja ove inovacije i ostali su strano tijelo u završenim radovima. Međutim, tridesetih godina 18. vijeka klasični koncept vjerovatnoće postao je općenito korišten i niko od naučnika tih godina nije se mogao ograničiti na brojanje šansi pogodnih za događaj. Uvođenje klasične definicije vjerovatnoće nije nastalo kao rezultat jedne akcije, već je trajalo dugo vremensko razdoblje tokom kojeg je dolazilo do kontinuiranog poboljšanja formulacije, prelaska sa pojedinačnih problema na opći slučaj.
Pažljivo istraživanje pokazuje da čak ni u knjizi X. Huygensa “O kalkulacijama u kockanju” (1657) ne postoji koncept vjerovatnoće kao broja između 0 i 1 koji je jednak omjeru broja šansi pogodnih za događaj i broj svih mogućih. I u raspravi J. Bernoullija "Umetnost pretpostavki" (1713) ovaj koncept je uveden, iako u daleko nesavršenom obliku, ali, što je posebno važno, ima široku upotrebu.
A. De Moivre je uzeo klasičnu definiciju vjerovatnoće koju je dao Bernoulli i definisao vjerovatnoću događaja gotovo tačno kao što to činimo sada. Napisao je: „Shodno tome, gradimo razlomak čiji će brojilac biti broj puta kada se događaj dogodi, a nazivnik je broj svih slučajeva u kojima se može pojaviti ili ne mora, takav će razlomak izraziti stvarna vjerovatnoća njegovog nastanka.”
3. Predmet teorije vjerovatnoće
Događaji (fenomeni) koje posmatramo mogu se podijeliti u tri tipa: pouzdani, nemogući i slučajni.
Određeni događaj se naziva određenim događajem koji će se definitivno dogoditi ako je ispunjen određeni skup uslova S. Na primjer, ako posuda sadrži vodu pri normalnom atmosferskom pritisku i temperaturi od 20°, tada će se dogoditi događaj „voda u posudi je u tečnom stanju” je sigurno. U ovom primeru, navedeni atmosferski pritisak i temperatura vode čine skup uslova S.
Događaj se naziva nemogućim ako je ispunjen skup uslova S.
Slučajni događaj je događaj koji se, pod implementacijom skupa uslova S, može dogoditi ili ne dogoditi. Na primjer, ako se baci novčić, onda može pasti tako da je na vrhu ili grb ili natpis. Dakle, događaj „pri bacanju novčića ispao je „grb“ slučajan. Svaki slučajni događaj, a posebno pad "grba", rezultat je djelovanja vrlo mnogo slučajnih uzroka (u našem primjeru: sila kojom je novčić bačen, oblik novčića i mnogi drugi ). Nemoguće je uzeti u obzir utjecaj svih ovih uzroka na rezultat, jer je njihov broj vrlo velik, a zakoni njihovog djelovanja su nepoznati. Stoga, teorija vjerovatnoće ne postavlja sebi zadatak da predvidi hoće li se jedan događaj dogoditi ili ne – jednostavno ne može to učiniti.
Situacija je drugačija ako uzmemo u obzir slučajne događaje koji se mogu više puta posmatrati pod istim uslovima S, odnosno ako govorimo o masivnim homogenim slučajnim događajima. Pokazalo se da se dovoljno veliki broj homogenih slučajnih događaja, bez obzira na njihovu specifičnu prirodu, pokorava određenim zakonima, odnosno vjerojatnostim zakonima. Ustanovljavanjem ovih pravilnosti bavi se teorija vjerovatnoće.
Dakle, predmet teorije vjerovatnoće je proučavanje probabilističkih pravilnosti masivnih homogenih slučajnih događaja.
4. Osnovni koncepti teorije vjerovatnoće
Svaka nauka koja razvija opštu teoriju određenog niza pojava sadrži niz osnovnih koncepata na kojima se zasniva. Takvi osnovni koncepti postoje iu teoriji vjerovatnoće. To su: događaj, vjerovatnoća događaja, učestalost događaja ili statistička vjerovatnoća i slučajna varijabla.
Slučajni događaji su oni događaji koji se mogu ili ne moraju dogoditi kada se implementira skup uslova povezanih s mogućnošću nastanka ovih događaja.
Slučajni događaji su označeni slovima A, B, C, ... . Svaka implementacija razmatranog skupa naziva se test. Broj suđenja se može neograničeno povećavati. Omjer broja m pojavljivanja datog slučajnog događaja A u datoj seriji testova i ukupnog broja n pokušaja ove serije naziva se učestalost pojavljivanja događaja A u datoj seriji testova (ili jednostavno učestalost događaja A) i označava se sa P * (A). Dakle, P*(A)=m/n.
Učestalost slučajnog događaja je uvijek između nule i jedan: 0 ? P*(A) ? jedan.
Masovni slučajni događaji imaju svojstvo stabilnosti frekvencije: promatrano u različitim serijama homogenih testova (sa dovoljno velikim brojem testova u svakoj seriji), vrijednosti frekvencije datog slučajnog događaja fluktuiraju od serije do serije u prilično uskim granicama.
Upravo ta okolnost omogućava primjenu matematičkih metoda u proučavanju slučajnih događaja, pripisujući svakom masovnom slučajnom događaju njegovu vjerovatnoću, koja se uzima kao onaj (generalno nepoznat unaprijed) broj oko kojeg fluktuira promatrana učestalost događaja.
Vjerovatnoća slučajnog događaja A označava se sa P(A). Vjerovatnoća slučajnog događaja, kao i njegova učestalost, je između nule i jedan: 0 ? P(A) ? jedan .
Slučajna varijabla je varijabla koja karakterizira rezultat preduzete operacije i koja može poprimiti različite vrijednosti za različite operacije, bez obzira na to koliko su homogeni uvjeti za njihovu provedbu.
5. Primjena teorije vjerovatnoće u savremenom svijetu
S pravom treba početi sa statističkom fizikom. Savremena prirodna nauka polazi od ideje da su sve prirodne pojave statističke prirode i da se zakoni mogu precizno formulisati samo u terminima teorije verovatnoće. Statistička fizika je postala osnova sve moderne fizike, a teorija vjerovatnoće njen matematički aparat. U statističkoj fizici se razmatraju problemi koji opisuju pojave koje su određene ponašanjem velikog broja čestica. Statistička fizika se vrlo uspješno primjenjuje u raznim granama fizike. U molekularnoj fizici uz njenu pomoć objašnjavaju se toplotni fenomeni; u elektromagnetizmu - dielektrična, vodljiva i magnetska svojstva tijela; u optici je omogućeno stvaranje teorije toplinskog zračenja, molekularnog raspršenja svjetlosti. Posljednjih godina, raspon primjena statističke fizike nastavio se širiti.
Statistički prikazi su omogućili da se brzo formalizuje matematičko proučavanje fenomena nuklearne fizike. Pojava radiofizike i proučavanje prenosa radio signala ne samo da je povećala značaj statističkih pojmova, već je dovela i do napretka same matematičke nauke – pojave teorije informacija.
Razumijevanje prirode kemijskih reakcija, dinamička ravnoteža je također nemoguća bez statističkih koncepata. Sva fizička hemija, njen matematički aparat i modeli koje predlaže su statistički.
Obrada rezultata opservacije, koja je uvijek praćena i slučajnim greškama u posmatranju i slučajnim promjenama za posmatrača u uslovima eksperimenta, navela je istraživače još u 19. vijeku da stvore teoriju opservacijskih grešaka, a ova teorija je u potpunosti zasnovana na statistički koncepti.
Astronomija u nizu svojih sekcija koristi statistički aparat. Zvjezdana astronomija, proučavanje raspodjele materije u svemiru, proučavanje tokova kosmičkih čestica, raspodjela sunčevih pjega (centra solarne aktivnosti) na površini Sunca i još mnogo toga zahtijevaju korištenje statističkih prikaza.
Biolozi su primijetili da se širenje veličina organa živih bića iste vrste savršeno uklapa u opće teorijske i vjerojatnostne zakone. Čuveni Mendelovi zakoni, koji su postavili temelje moderne genetike, zahtijevaju vjerovatno-statističko rezonovanje. Proučavanje tako značajnih problema biologije kao što su prijenos ekscitacije, struktura pamćenja, prijenos nasljednih svojstava, pitanja distribucije životinja na teritoriji, odnos između grabežljivca i plijena zahtijeva dobro poznavanje teorije vjerojatnosti i matematike. statistika.
Humanističke nauke objedinjuju vrlo različite discipline, od lingvistike i književnosti do psihologije i ekonomije. Statističke metode se sve više koriste u istorijskim istraživanjima, posebno u arheologiji. Statistički pristup se koristi za dešifrovanje natpisa na jeziku starih naroda. Ideje koje su vodile J. Champolliona u dešifriranjudrevno hijeroglifsko pismo, su u osnovi statistički. Umjetnost šifriranja i dešifriranja zasniva se na korištenju statističkih obrazaca jezika. Ostala područja su vezana za proučavanje učestalosti riječi i slova, raspodjelu naglaska u riječima, proračun informativnosti jezika pojedinih pisaca i pjesnika. Statističke metode se koriste za utvrđivanje autorstva i razotkrivanje književnih falsifikata. Na primjer,autorstvo M.A. Šolohov prema romanu Tihi teče Donutvrđeno je korištenjem vjerovatno-statističkih metoda. Otkrivanje učestalosti pojavljivanja glasova jezika u usmenom i pisanom govoru omogućava nam da postavimo pitanje optimalnog kodiranja slova datog jezika za prenošenje informacija. Učestalost upotrebe slova određuje omjer broja znakova u blagajni za montažu. Raspored slova na nosaču pisaće mašine i na tastaturi računara utvrđuje se statističkom studijom o učestalosti kombinacija slova u datom jeziku.
Mnogi problemi pedagogije i psihologije također zahtijevaju uključivanje vjerovatno-statističkog aparata. Ekonomska pitanja ne mogu a da ne zanimaju društvo, jer su sa njim povezani svi aspekti njegovog razvoja. Bez statističke analize nemoguće je predvidjeti promjene u veličini stanovništva, njegovim potrebama, prirodi zaposlenosti, promjene masovne tražnje, a bez toga je nemoguće planirati ekonomsku aktivnost.
U direktnoj vezi sa probabilističko-statističkim metodama su pitanja provjere kvaliteta proizvoda. Često je za izradu proizvoda potrebno neuporedivo manje vremena od provjere njegovog kvaliteta. Iz tog razloga nije moguće provjeriti kvalitetu svakog proizvoda. Stoga se o kvalitetu serije mora suditi prema relativno malom dijelu uzorka. Statističke metode se također koriste kada ispitivanje kvalitete proizvoda dovodi do njihovog oštećenja ili smrti.
Pitanja vezana za poljoprivredu dugo su rješavana uz ekstenzivnu upotrebu statističkih metoda. Uzgoj novih rasa životinja, nove sorte biljaka, poređenje prinosa - ovo nije potpuna lista zadataka koji se rješavaju statističkim metodama.
Bez pretjerivanja se može reći da je cijeli naš život danas prožet statističkim metodama. U poznatom djelu materijalističkog pjesnika Lukrecija Care "O prirodi stvari" nalazi se živopisan i poetičan opis fenomena Brownovog kretanja čestica prašine:
“Pogledajte: kad god sunčeva svjetlost prodire
U našim stanovima i tama se probija svojim zrakama,
Mnoga mala tijela u praznini, vidjet ćete kako trepere,
Žuri naprijed-nazad u blistavom sjaju svjetlosti;
Kao u vječnoj borbi, bore se u bitkama i bitkama.
Odjednom hrle u bitke u grupama, ne znajući za mir.
Ili konvergirajući, ili razdvojeni, neprestano se ponovo rasipajući.
Možete li iz ovoga shvatiti koliko neumorno
Počeci stvari u ogromnoj praznini su nemirni.
Dakle, o velikim stvarima koje pomažu da se shvati
Male stvari koje ocrtavaju put do postignuća,
Osim toga, zato što morate obratiti pažnju
Do nemira u tijelima koja trepere na sunčevoj svjetlosti
Od čega znate da je stvar i pokret"
Prva prilika za eksperimentalno proučavanje odnosa nasumičnog kretanja pojedinačnih čestica i pravilnog kretanja njihovih velikih agregata ukazala se kada je 1827. godine botaničar R. Brown otkrio fenomen koji je po njemu nazvan "Brownovsko kretanje". Braun je pod mikroskopom posmatrao cvetni polen suspendovan u vodi. Na svoje iznenađenje, otkrio je da su čestice suspendirane u vodi u neprekidnom nasumičnom kretanju, koje se nije moglo zaustaviti čak ni uz najpažljiviji napor da se eliminišu bilo kakvi vanjski utjecaji. Ubrzo je otkriveno da je ovo opšte svojstvo bilo koje dovoljno male čestice suspendovane u tečnosti. Brownovo kretanje je klasičan primjer slučajnog procesa.
6. Vjerovatnoća i zračni transport
U prethodnom poglavlju razmatrali smo primenu teorije verovatnoće i statistike u različitim oblastima nauke. U ovom poglavlju želim da dam primere primene teorije verovatnoće u vazdušnom saobraćaju.
Vazdušni saobraćaj je koncept koji uključuje kako sam avion tako i infrastrukturu neophodnu za njihov rad: aerodrome, dispečerske i tehničke službe. Kao što znate, let je rezultat zajedničkog rada mnogih aerodromskih službi koje u svojim aktivnostima koriste različite oblasti nauke, a u skoro svim ovim oblastima postoji teorija verovatnoće. Naveo bih primjer iz oblasti plovidbe, gdje se teorija vjerovatnoće također široko koristi.
U vezi sa razvojem sistema satelitske navigacije, sletanja i komunikacije, uvedeni su novi pokazatelji pouzdanosti kao što su integritet, kontinuitet i dostupnost sistema. Svi ovi pokazatelji pouzdanosti su kvantificirani u smislu vjerovatnoće.
Integritet je stepen poverenja u informacije primljene od radio sistema i naknadno primenjene od strane vazduhoplova. Vjerovatnoća integriteta jednaka je proizvodu vjerovatnoće kvara i vjerovatnoće neotkrivanja kvara i mora biti jednaka ili manja od 10 -7 po satu leta.
Kontinuitet usluge je sposobnost kompletnog sistema da obavlja svoju funkciju bez prekida režima rada prilikom izvođenja planirane operacije. Mora biti najmanje 10 -4 .
Dostupnost je sposobnost sistema da izvrši svoje funkcije na početku operacije. Onam mora biti najmanje 0,99.
Zaključak
Probabilističke ideje danas potiču razvoj čitavog kompleksa znanja, od nauka o neživoj prirodi do nauka o društvu. Napredak savremene prirodne nauke neodvojiv je od upotrebe i razvoja probabilističkih ideja i metoda. U naše vrijeme teško je imenovati bilo koju oblast istraživanja u kojoj se ne koriste probabilističke metode.
Bibliografija
1. Wentzel E.S. Teorija vjerovatnoće: udžbenik za srednje škole. Moskva: Viša škola, 2006;
2. Gmurman V.E. Teorija vjerojatnosti i matematička statistika. Proc. dodatak za univerzitete. M: Viša škola, 1998;
3. Gnedenko B.V. Esej o teoriji vjerovatnoće. M.: Uvodnik URSS, 2009;
4. Maistrov L.E. Razvoj teorije vjerovatnoće. M.: Nauka, 1980;
5. Maistrov L.E. Teorija vjerovatnoće. Istorijski esej. Moskva: Nauka, 1967
6. Sobolev E.V. Organizacija radio tehničke podrške za letove (1. dio). Sankt Peterburg, 2008;
7.
http://verojatnost. pavlovkashkola.edusite.ru/p8aa1.html
8. http://shpora.net/index.cgi? act=view&id=4966