Neka je P polje. Elementi a, b, ... n R zvaćemo skalarima.

Definicija 1. Klasa V objekti (elementi) , , , ... proizvoljne prirode se nazivaju vektorski prostor iznad polja P, a elementi klase V se pozivaju vektori, ako je V zatvoren pod operacijom "+" i operacijom množenja skalarima iz R (tj. za bilo koje , nV + n V;"aO R aOV), a ispunjeni su sljedeći uslovi:

A 1: Algebra - abelova grupa;

A 2: za bilo koji a, bOR, za bilo koji OV, važi a(b)=(ab)-generalizovani asocijativni zakon;

A 3: za bilo koje a, bOR, za bilo koje OV, (a+b)= a+ b;

A 4: za bilo koje a iz P, za bilo koje , iz V, vrijedi a(+)=a+a(generalizovani distributivni zakoni);

A 5: za bilo koje od V, 1 = je zadovoljeno, gdje je 1 jedinica polja P - svojstvo unitarnosti.

Elementi polja P zvaćemo skalarima, a elementi skupa V vektori.

Komentar. Množenje vektora skalarom nije binarna operacija na skupu V, jer je to P´V®V preslikavanje.

Razmotrimo primjere vektorskih prostora.

Primjer 1 nula (nulta dimenzija) vektorski prostor- prostor V 0 =() - koji se sastoji od jednog nultog vektora.

I za bilo koji aOR a=. Provjerimo zadovoljivost aksioma vektorskog prostora.

Imajte na umu da nulti vektorski prostor u suštini zavisi od polja P. Dakle, nul-dimenzionalni prostori nad poljem racionalnih brojeva i nad poljem realni brojevi smatraju se različitim, iako se sastoje od jednog nul-vektora.

Primjer 2 Polje P je samo po sebi vektorski prostor nad poljem P. Neka je V=P. Provjerimo zadovoljivost aksioma vektorskog prostora. Kako je P polje, P je aditivna Abelova grupa i vrijedi A 1. Na osnovu izvodljivosti u P asocijativnosti množenja, A 2 je zadovoljeno. Aksiomi A 3 i A 4 vrijede jer je množenje distributivno u odnosu na sabiranje u P. Pošto postoji jedan element 1 u polju P, tada je zadovoljeno svojstvo unitarnosti A 5. Dakle, polje P je vektorski prostor nad poljem P.

Primjer 3 Aritmetički n-dimenzionalni vektorski prostor.

Neka je P polje. Razmotrimo skup V= P n =((a 1 , a 2 , … , a n) ½ a i n P, i=1,…, n). Na skupu V uvodimo operacije sabiranja vektora i množenja vektora skalarom prema sljedećim pravilima:

"= (a 1 , a 2 , … , an), = (b 1 , b 2 , … , bn) O V, "aO P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , an + bn) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

Elementi skupa V će biti pozvani n-dimenzionalni vektori. Za dva n-dimenzionalna vektora se kaže da su jednaka ako su im odgovarajuće komponente (koordinate) jednake. Pokažimo da je V vektorski prostor nad poljem P. Iz definicije operacija sabiranja vektora i množenja vektora skalarom slijedi da je V zatvoren prema ovim operacijama. Pošto se dodavanje elemenata iz V svodi na sabiranje elemenata polja P, a P je aditivna Abelova grupa, onda je V aditivna Abelova grupa. Štaviše, = , gde je 0 nula polja R, -= (-a 1 , -a 2 , … , -a n). Dakle, A 1 je ispunjen. Pošto se množenje elementa iz V elementom iz P svodi na množenje elemenata polja P, onda:

A 2 se izvodi zbog asocijativnosti množenja sa P;

A 3 i A 4 su ispunjeni zbog distributivnosti množenja u odnosu na sabiranje na P;

A 5 je zadovoljeno, jer je 1 Î P neutralan element u odnosu na množenje sa P.

Definicija 2. Skup V= P n sa operacijama, određene formule(1) i (2) naziva se aritmetički n-dimenzionalni vektorski prostor nad poljem P.

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije

vektor(ili linearno) prostor- matematička struktura, koja je skup elemenata, koji se nazivaju vektori, za koje se definiraju operacije međusobnog sabiranja i množenja brojem - skalarom. Ove operacije podliježu osam aksioma. Skalari mogu biti elementi realnog, kompleksnog ili bilo kojeg drugog brojevnog polja. Poseban slučaj takvog prostora je uobičajeni trodimenzionalni euklidski prostor, čiji se vektori koriste, na primjer, za predstavljanje fizičkih sila. Istovremeno, treba napomenuti da vektor kao element vektorskog prostora ne mora biti specificiran u obliku usmjerenog segmenta. Generalizacija koncepta "vektora" na element vektorskog prostora bilo koje prirode ne samo da ne uzrokuje zbrku pojmova, već nam omogućava da razumijemo ili čak predvidimo niz rezultata koji vrijede za prostore proizvoljne prirode. .

Vektorski prostori su predmet proučavanja linearne algebre. Jedna od glavnih karakteristika vektorskog prostora je njegova dimenzija. Dimenzija je maksimalni broj linearno nezavisnih elemenata prostora, odnosno, pribjegavanjem grubom geometrijskom opisu, broj pravaca koji se međusobno ne mogu izraziti samo operacijama sabiranja i množenja skalarom. Vektorski prostor može biti obdaren dodatnim strukturama, kao što su norma ili tačkasti proizvod. Takvi se prostori prirodno pojavljuju u računanju, pretežno kao prostori funkcija beskonačne dimenzije ( engleski), gdje su vektori funkcije . Mnogi problemi u analizi zahtijevaju otkrivanje da li niz vektora konvergira dati vektor. Razmatranje ovakvih pitanja moguće je u vektorskim prostorima sa dodatnom strukturom, u većini slučajeva odgovarajućom topologijom, koja omogućava da se definišu koncepti blizine i kontinuiteta. Takvi topološki vektorski prostori, posebno Banahovi i Hilbertovi prostori, omogućavaju dublje proučavanje.

Pored vektora, linearna algebra proučava i tenzore višeg ranga (skalar se smatra tenzorom ranga 0, vektor se smatra tenzorom ranga 1).

Prvi radovi koji su predviđali uvođenje koncepta vektorskog prostora datiraju iz 17. stoljeća. Tada se razvija analitička geometrija, doktrina matrica, sistema linearnih jednačina i euklidskih vektora.

Definicija

Linearno, ili vektorski prostor $V\backslash lijevo\; (F\backslash desno)$ preko terena $F$ je uređena četvorka $(V,F,+,\backslash cdot)$, gdje

• $V$- neprazan skup elemenata proizvoljne prirode, koji se nazivaju vektori;
• $F$- (algebarsko) polje čiji se elementi nazivaju skalarima;
• Definisana operacija dopune vektori $V\backslash puta\; V\backslash do\; V$, koji odgovara svakom paru elemenata $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$ setovi $V$ $V$ zove ih suma i označeno $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• Definisana operacija množenje vektora skalarima $F\backslash \; puta\; V\backslash \; do\; V$, koji odgovara svakom elementu $\backslash lambda$ polja $F$ i svaki element $\backslash mathbf(x)$ setovi $V$ jedini element skupa $V$, označeno $\backslash lambda\backslash cdot\; \backslash mathbf(x)$ ili $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

Vektorski prostori definirani na istom skupu elemenata, ali na različitim poljima bit će različiti vektorski prostori (na primjer, skup parova realnih brojeva $\backslash mathbb(R)^2$ može biti dvodimenzionalni vektorski prostor nad poljem realnih brojeva ili jednodimenzionalni - nad poljem kompleksnih brojeva).

Najjednostavnija svojstva

1. Vektorski prostor je abelova grupa sabiranjem.
2. neutralni element $\backslash mathbf(0)\; \backslash u\; V$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$ za bilo koga $\backslash mathbf(x)\; \backslash u\; V$.
4. Za bilo koga $\backslash mathbf(x)\; \backslash u\; V$ suprotni element $-\backslash mathbf(x)\; \backslash u\; V$ je jedini koji slijedi iz svojstava grupe.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$ za bilo koga $\backslash mathbf(x)\; \backslash u\; V$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$ za bilo koji $\backslash alpha\; \backslash u\; F$ I $\backslash mathbf(x)\; \backslash u\; V$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$ za bilo koga $\backslash alpha\; \backslash u\; F$.

Povezane definicije i svojstva

podprostor

Algebarska definicija: Linearni podprostor ili vektorski podprostor je neprazan podskup $K$ linearni prostor $V$ takav da $K$ je sam linearan prostor u odnosu na one definirane u $V$ operacije sabiranja i množenja skalarom. Skup svih podprostora se obično označava kao $\backslash mathrm(Lat)(V)$. Da bi podskup bio podprostor, potrebno je i dovoljno da

1. za bilo koji vektor $\backslash mathbf(x)\backslash u\; K$, vektor $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$ takođe pripadao $K$, za bilo koje $\backslash alpha\backslash u\; F$;
2. za bilo koje vektore $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash u\; K$, vektor $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$ takođe pripadao $K$.

Posljednje dvije izjave su ekvivalentne sljedećem:

Za bilo koje vektore $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash u\; K$, vektor $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$ takođe pripadao $K$ za bilo koji $\backslash alfa,\; \backslash beta\; \backslash u\; F$.

Konkretno, vektorski prostor koji se sastoji od samo jednog nultog vektora je podprostor bilo kojeg prostora; svaki prostor je sam po sebi podprostor. Podprostori koji se ne poklapaju sa ova dva se nazivaju vlastiti ili netrivijalan.

Svojstva podprostora

• Presjek bilo koje porodice podprostora je opet podprostor;
• Zbir podprostora $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash u\; 1\backslash ldots\; N\backslash )$ definiran kao skup koji sadrži sve moguće sume elemenata $K\_i$: $\backslash sum\_(i=1)^N\; (K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash in\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash in\; 1\backslash ldtočke\; N)\backslash )$.
  • Zbir konačne porodice podprostora je opet podprostor.

Linearne kombinacije

Krajnji zbroj pogleda

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

Linearna kombinacija se naziva:

Osnova. Dimenzija

Vektori $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$ pozvao linearno zavisna, ako postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija jednaka nuli:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\backslash alpha\_2|\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash neq\; 0.$

Inače, ovi vektori se nazivaju linearno nezavisna.

Ova definicija dozvoljava sljedeću generalizaciju: beskonačan skup vektora iz $V$ pozvao linearno zavisna, ako neki final njegov podskup, i linearno nezavisna, ako iko final podskup je linearno nezavisan.

Osobine osnove:

• Bilo koji $n$ linearno nezavisnih elemenata $n$-dimenzionalni oblik prostora osnovu ovaj prostor.
• Bilo koji vektor $\backslash mathbf(x)\; \backslash u\; V$ može se zamisliti ( jedini način) u formi finala linearna kombinacija osnovni elementi:

$\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$.

Linearna školjka

Linearna školjka $\backslash mathcal\; V(X)$ podskupovi $X$ linearni prostor $V$- presek svih podprostora $V$ koji sadrži $X$.

Linearna ljuska je podprostor $V$.

Linearna ljuska se također naziva generiran podprostor $X$. Takođe se kaže da je linearni raspon $\backslash mathcal\; V(X)$- prostor, ispružen preko mnogo $X$.

Linearna školjka $\backslash mathcal\; V(X)$ sastoji se od svih mogućih linearnih kombinacija raznih konačnih podsistema elemenata iz $X$. Konkretno, ako $X$ je onda konačan skup $\backslash mathcal\; V(X)$ sastoji se od svih linearnih kombinacija elemenata $X$. Dakle, nulti vektor uvijek pripada linearnom rasponu.

Ako $X$ je linearno nezavisan skup, onda je baza $\backslash mathcal\; V(X)$ i time određuje njegovu dimenziju.

Primjeri

• Nulti prostor čiji je jedini element nula.
• Prostor svih funkcija $X\backslash do\; F$ sa konačnim osloncem formira vektorski prostor dimenzije jednake $X$.
• Polje realnih brojeva može se posmatrati kao kontinualno-dimenzionalni vektorski prostor nad poljem racionalnih brojeva.
• Bilo koje polje je jednodimenzionalni prostor iznad sebe.

Dodatne strukture

vidi takođe

Napišite recenziju na članak "Vektorski prostor"

Bilješke

Književnost

• Gelfand I. M. Predavanja iz linearne algebre. - 5. - M.: Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 319 str. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Gelfand I. M. Predavanja iz linearne algebre. 5th ed. - M.: Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 320 str. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Kostrikin A.I., Manin Yu.I. Linearna algebra i geometrija. 2nd ed. - M.: Nauka, 1986. - 304 str.
• Kostrikin A.I. Uvod u algebru. Dio 2: Linearna algebra. - 3. - M.: Nauka., 2004. - 368 str. - (Univerzitetski udžbenik).
• Maltsev A.I. Osnove linearne algebre. - 3. - M.: Nauka, 1970. - 400 str.

• Postnikov M. M. Linearna algebra (predavanja iz geometrije. II semestar). - 2. - M.: Nauka, 1986. - 400 str.
• Strang G. Linearna algebra i njene primjene = Linearna algebra and its aplikacije. - M.: Mir, 1980. - 454 str.
• Ilyin V. A., Poznyak E. G. Linearna algebra. 6th ed. - M.: Fizmatlit, 2010. - 280 str. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Halmosh P. Konačno-dimenzionalni vektorski prostori = Konačno-dimenzionalni vektorski prostori. - M.: Fizmatgiz, 1963. - 263 str.
• Faddeev D.K. Predavanja iz algebre. - 5. - St. Petersburg. : Lan, 2007. - 416 str.
• Šafarevič I. R., Remizov A. O. Linearna algebra i geometrija. - 1. - M.: Fizmatlit, 2009. - 511 str.
• Schreyer O., Shperner G. Uvod u linearnu algebru u geometrijskom prikazu = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (prevod s njemačkog). - M.–L.: ONTI, 1934. - 210 str.

Vektori i matrice Vektori Osnovni koncepti Vrste vektora Operacije na vektorima Tipovi prostora matrice Osnovni koncepti Ostalo

Izvod koji karakterizira vektorski prostor

Kutuzov je hodao kroz redove, povremeno se zaustavljajući i govoreći koju lijepu riječ oficirima, koje je poznavao iz turskog rata, a ponekad i vojnicima. Bacivši pogled na cipele, nekoliko puta je tužno odmahnuo glavom i pokazao na njih austrijskog generala s takvim izrazom lica da kao da nije nikome zamjerio zbog toga, ali nije mogao a da ne vidi koliko je loše. Komandant puka je svaki put trčao naprijed, bojeći se da ne propusti riječ glavnokomandujućeg u vezi s pukom. Iza Kutuzova, na tolikoj udaljenosti da se mogla čuti svaka slabo izgovorena riječ, išao je čovjek od 20 pratnje. Gospoda iz pratnje razgovarala su među sobom i ponekad se smijala. Najbliži iza vrhovnog komandanta bio je zgodan ađutant. Bio je to princ Bolkonski. Pored njega je bio njegov drug Nesvitsky, visoki štab oficir, izuzetno debeo, ljubaznog i nasmejanog zgodnog lica i vlažnih očiju; Nesvicki se jedva suzdržavao da se ne nasmeje, uzbuđen crnkastim husarskim oficirom koji je hodao pored njega. Husarski oficir, bez osmeha, ne menjajući izraz svojih uprtih očiju, gledao je ozbiljnim licem u leđa komandanta puka i oponašao svaki njegov pokret. Svaki put kad bi komandant puka zadrhtao i nagnuo se naprijed, na potpuno isti način, potpuno na isti način, husarski oficir je zadrhtao i nagnuo se naprijed. Nesvitsky se nasmijao i gurnuo ostale da pogledaju smiješnog čovjeka.
Kutuzov je polako i bezvoljno prošao pored hiljadu očiju koje su iskolačile iz duplja, prateći gazdu. Izjednačivši se sa 3. četom, iznenada je stao. Svita, ne sluteći ovo zaustavljanje, nehotice je krenula na njega.
- Ah, Timohin! - rekao je glavnokomandujući, prepoznavši kapetana crvenog nosa, koji je patio zbog plavog šinjela.
Činilo se da je nemoguće istegnuti se više nego što je Timohin istezao, dok ga je komandant puka prekorio. Ali u tom trenutku mu se obratio glavnokomandujući, kapetan se ispružio tako da se činilo da da ga je glavnokomandujući još malo pogledao, kapetan ne bi izdržao; i stoga se Kutuzov, očigledno shvaćajući njegovu poziciju i želeći, naprotiv, sve najbolje za kapetana, žurno okrenuo. Jedva primetan osmeh preleteo je preko Kutuzovljevog punašnog, ranjenog lica.
„Još jedan drug Izmajlovski“, rekao je. "Hrabri oficir!" Jeste li zadovoljni time? Kutuzov je upitao komandanta puka.
A komandant puka, kao da se ogleda u ogledalu, nevidljiv za sebe, u husarskom oficiru, zadrhta, pođe naprijed i odgovori:
„Veoma sam zadovoljan, Vaša Ekselencijo.
„Nismo svi bez slabosti“, rekao je Kutuzov, osmehujući se i udaljavajući se od njega. “Bio je vezan za Bacchusa.
Komandant puka se uplašio da on nije kriv za to i nije odgovorio. Oficir je u tom trenutku primetio kapetanovo lice sa crvenim nosom i zategnutim stomakom, i oponašao njegovo lice i držanje tako slično da se Nesvicki nije mogao suzdržati od smeha.
Kutuzov se okrenuo. Očigledno je da oficir može da kontroliše svoje lice kako je hteo: u trenutku kada se Kutuzov okrenuo, oficir je uspeo da napravi grimasu, a nakon toga poprimi najozbiljniji, najneviniji i najneviniji izraz lica.
Treća četa bila je posljednja, i Kutuzov je pomislio, očito se nečega sjetivši. Princ Andrej je izašao iz pratnje i tiho rekao na francuskom:
- Naredili ste da vas podsete na degradiranog Dolohova u ovom puku.
- Gdje je Dolokhov? upita Kutuzov.
Dolohov, već obučen u vojnički sivi kaput, nije čekao da bude pozvan. Sa fronta je iskoračila vitka figura plavokosog vojnika bistrih plavih očiju. Prišao je glavnokomandujućem i postavio stražu.
- TVRDITI? - Lagano se namrštivši, upitao je Kutuzov.
"Ovo je Dolohov", reče princ Andrej.
– A! rekao je Kutuzov. – Nadam se da će vas ova lekcija ispraviti, dobro servirati. Car je milostiv. I neću te zaboraviti ako to zaslužuješ.
Bistre plave oči gledale su u glavnokomandujućeg jednako hrabro kao u komandanta puka, kao da svojim izrazom lica kidaju veo konvencionalnosti koji je tako daleko odvajao glavnokomandujućeg od vojnika.
„Jedno vas pitam, Vaša Ekselencijo“, rekao je svojim rezonantnim, čvrstim, nežurnim glasom. „Molim vas da mi date priliku da se iskupim za svoju krivicu i dokažem svoju odanost caru i Rusiji.
Kutuzov se okrenuo. Licem mu je bljesnuo isti osmeh kao u trenutku kada se okrenuo od kapetana Timohina. Okrenuo se i napravio grimasu, kao da je time hteo da izrazi da sve što mu je Dolohov rekao, i sve što je mogao da mu kaže, on već dugo, dugo zna da mu je sve to već dosadilo i da je sve ovo bilo uopste nije ono sto mu je trebalo.. Okrenuo se i krenuo prema kočiji.
Puk se rasporedio po četama i krenuo prema zadatim stanovima nedaleko od Braunaua, gdje su se nadali obući, obući i odmoru nakon teških prelazaka.
- Ne pretvaraš se meni, Prohore Ignatiču? - reče komandant puka, kružeći oko 3. čete koja se kretala prema mestu i dovezavši se do kapetana Timohina, koji je išao ispred nje. Na licu komandanta puka, nakon sretno otputovanog pregleda, izražavala se neumitna radost. - Kraljevska služba ... ne možete ... drugi put ćete odseći na frontu ... ja ću se prvi izviniti, znate me ... Hvala vam puno! I pružio je ruku komandantu.
„Izvinite, generale, da li se usuđujem!” - odgovorio je kapetan, pocrvenevši od nosa, osmehujući se i sa osmehom otkrivajući nedostatak dva prednja zuba, izbijena kundakom kod Ismaila.
- Da, reci gospodinu Dolohovu da ga neću zaboraviti, da bude miran. Da, molim te reci mi, stalno sam htela da pitam šta je on, kako se ponaša? I sve...
„On je veoma uslužan u svojoj službi, Vaša Ekselencijo... ali karahter...“ rekao je Timohin.
- A šta, kakav je lik? upita komandant puka.
„On smatra, Vaša Ekselencijo, danima“, reče kapetan, „da je pametan, učen i ljubazan. A to je zver. U Poljskoj je ubio Jevrejina, ako znate...
„Pa, ​​da, pa, da“, rekao je komandant puka, „sve se mora žaliti“. mladi čovjek u nesreći. Nakon svega velike veze… Pa ti…
„Slušam, Vaša Ekselencijo“, rekao je Timohin, sa osmehom u kome se činilo da razume želje šefa.
- Da da.
Komandant puka je pronašao Dolohova u redovima i zauzdao svog konja.
“Prije prvog slučaja, epolete,” rekao mu je.
Dolohov je pogledao oko sebe, ništa nije rekao i nije promenio izraz svojih podrugljivo nasmejanih usta.
„Pa to je dobro“, nastavi komandant puka. “Ljudi dobijaju čašu votke od mene”, dodao je, kako bi vojnici čuli. - Hvala vam svima! Hvala bogu! - I on je, pretekavši jednu četu, dovezao do druge.
- Pa, on, tačno, dobar čovjek; Možete služiti s njim“, rekao je Timohin podređeni oficiru koji je hodao pored njega.
- Jednom rečju, crveno!... (komandant puka je dobio nadimak Crveni kralj) - rekao je podređeni oficir smejući se.
Veselo raspoloženje vlasti nakon smotre prešlo je na vojnike. Rota se zabavljao. Glasovi vojnika su govorili sa svih strana.
- Kako su rekli, Kutuzov iskrivljen, za jedno oko?
- Ali ne! Totalno krivo.
- Ne... brate, više očiju od tebe. Čizme i kragne - pogledao sve okolo...
- Kako mi on, brate, gleda u noge... pa! razmisli…
- A drugi je Austrijanac, bio je s njim, kao kredom namazan. Kao brašno, bijelo. Ja sam čaj, kako čiste municiju!
- Šta, Fedeshow!... rekao je, možda, kad počnu straže, jeste li stali bliže? Sve su rekli, sam Bunaparte stoji u Brunovu.
- Bunaparte stoji! lažeš, budalo! Šta ne zna! Sada je Prus u pobuni. Austrijanac ga, dakle, smiruje. Čim se pomiri, tada će početi rat s Bounapartom. A onda, kaže, u Brunovu stoji Bunaparte! Očigledno je da je idiot. Slušaj više.
„Pogledajte, prokleti stanari! Peta četa, gle, već skreće u selo, skuvaće kašu, a mi još nećemo stići do mesta.
- Daj mi kreker, dovraga.
“Jeste li juče dali duvan?” To je to brate. Pa, Bog je s tobom.
- Samo da su stali, inače nećete jesti još pet milja proprema.
- Bilo je lepo kako su nam Nemci dali kolica. Idi, znaj: važno je!
- I eto, brate, narod je potpuno izbezumio. Tamo je sve izgledalo kao Poljak, sve je bilo od ruske krune; a sad, brate, otišao je solidan Nemac.
- Naprijed pisci pjesama! - Čuo sam vapaj kapetana.
A ispred čete je istrčalo dvadesetak ljudi iz različitih redova. Bubnjar peva okrenut prema pesmaricama i, odmahujući rukom, otpeva otegnutu vojničku pesmu, počevši: „Zar nije svanulo, sunce lomi...“ i završava rečima: „To će nam, braćo, biti slava sa ocem Kamenskim...“ Ova pesma je nastala u Turskoj, a sada se pevala u Austriji, samo sa promenom da su umesto „Kamenski otac“ umetnute reči: „Otac Kutuzova ."
Otkinuvši ove poslednje reči kao vojnik i mašući rukama kao da nešto baca na zemlju, bubnjar, suv i zgodan vojnik od četrdesetak godina, strogo je pogledao oko sebe vojnike tekstopisca i zatvorio oči. Zatim, uvjeravajući se da su sve oči uprte u njega, činilo mu se da pažljivo podiže objema rukama neku nevidljivu, dragocjenu stvar iznad svoje glave, držao je tako nekoliko sekundi i odjednom je očajnički bacio:
Oh, ti, moj baldahin, moj baldahin!
„Nadstrešnica moj novi…“, oglasilo se dvadesetak glasova, a kašikar je, uprkos težini municije, žustro skočio napred i krenuo unazad ispred čete, pomerajući ramena i preteći nekom kašikama. Vojnici su, zamahujući rukama u ritmu pesme, hodali prostranim korakom, nehotice udarajući u nogu. Iza društva čuli su se zvuci točkova, škripanje opruga i zveket konja.
Kutuzov se sa svojom pratnjom vraćao u grad. Glavnokomandujući je dao znak da narod nastavi slobodno da hoda, a njegovo lice i sva lica njegove pratnje izražavali su zadovoljstvo pri zvuku pjesme, pri pogledu na vojnika koji je rasplesao i veselo i žustro marširali vojnike kompanija. U drugom redu, sa desnog boka, sa kojeg je kočija prestizala čete, nehotice je upao plavooki vojnik Dolohov, koji je posebno žustro i graciozno hodao u ritmu pesme i gledao u lica prolaznici sa takvim izrazom lica kao da je sažaljevao sve koji u ovo vreme nisu otišli sa društvom. Husarski kornet iz Kutuzovljeve pratnje, oponašajući komandanta puka, zaostao je za kočijom i dovezao se do Dolohova.
Husarski kornet Žerkov svojevremeno je u Sankt Peterburgu pripadao tom nasilnom društvu koje je vodio Dolohov. Žerkov je upoznao Dolohova u inostranstvu kao vojnika, ali nije smatrao potrebnim da ga prepozna. Sada, nakon razgovora Kutuzova sa degradiranim, obratio mu se sa radošću starog prijatelja:
- Dragi prijatelju, kako si? - rekao je na zvuk pesme, izjednačivši korak svog konja sa korakom čete.
- Ja sam kao? - hladno odgovori Dolohov, - kao što vidite.
Živa pesma je pridavala poseban značaj tonu bezobrazne veselosti kojim je Žerkov govorio, i namernoj hladnoći Dolohovljevih odgovora.
- Pa, kako se slažete sa vlastima? upitao je Žerkov.
- Ništa, dobri ljudi. Kako ste ušli u štab?
- Sekundiran, ja sam na dužnosti.
Ćutali su.
„Pustila sam sokola iz desnog rukava“, rekla je pesma, nehotice izazivajući veselo, veselo osećanje. Njihov razgovor bi vjerovatno bio drugačiji da nisu razgovarali uz zvuk pjesme.
- Šta je istina, Austrijanci su pretučeni? upita Dolohov.
„Đavo zna, kažu.
„Drago mi je“, odgovorio je Dolohov kratko i jasno, kako je pesma zahtevala.
- Pa, dođite kod nas kada će uveče faraon založiti - rekao je Žerkov.
Ili imate puno novca?
- Hajde.
- Zabranjeno je. Dao je zavet. Ne pijem i ne igram se dok se ne završi.
Pa, prije prve stvari...
- Videćeš tamo.
Opet su ćutali.
„Uđite, ako vam nešto zatreba, svi u štabu će pomoći…“ rekao je Žerkov.
Dolohov se nasmejao.
„Bolje da ne brineš. Šta mi treba, neću tražiti, uzeću sam.
„Da, pa, tako sam...
- Pa i ja sam.
- Doviđenja.
- Budite zdravi…
...i visoko i daleko,
Na domacoj strani...
Žerkov je svojim mamuzama dotakao konja, koji je tri puta, uzbuđen, šutnuo, ne znajući odakle da počne, snašao se i galopirao, sustigao društvo i sustigao kočiju, takođe u taktu sa pesmom.

Vraćajući se sa smotre, Kutuzov je u pratnji austrijskog generala otišao u svoju kancelariju i, pozvavši ađutanta, naredio da sebi da neke papire koji se odnose na stanje nadolazećih trupa i pisma koja je primio od nadvojvode Ferdinanda, koji je komandovao prednjom vojskom. . Knez Andrej Bolkonski sa potrebnim papirima ušao je u kancelariju vrhovnog komandanta. Ispred plana položenog na stol sjedili su Kutuzov i jedan austrijski član Hofkriegsrata.
„Ah...“ rekao je Kutuzov, osvrćući se na Bolkonskog, kao da ovom rečju poziva ađutanta da sačeka, i nastavi razgovor započet na francuskom.
„Kažem samo jedno, generale“, rekao je Kutuzov sa prijatnom elegancijom izraza i intonacije, terajući čoveka da sluša svaku ležerno izgovorenu reč. Vidjelo se da je Kutuzov sa zadovoljstvom slušao sebe. - Samo jedno kažem, generale, da je stvar zavisila od moje lične želje, tada bi se davno ispunila volja Njegovog Veličanstva cara Franca. Davno bih se pridružio nadvojvodi. I vjerujte mi časti, da za mene lično prebaciti višu komandu nad vojskom više nego što jesam na obrazovanog i vještog generala, kakvih je Austrija tako u izobilju, i da bi svu ovu tešku odgovornost slagao na mene lično bila bi radost . Ali okolnosti su jače od nas, generale.
A Kutuzov se nasmiješio s takvim izrazom lica kao da je rekao: „Imate pravo da mi ne vjerujete, a ni mene nije briga da li mi vjerujete ili ne, ali nemate razloga da mi to kažete. I u tome je cela poenta."
Austrijski general je izgledao nezadovoljno, ali nije mogao da odgovori Kutuzovu istim tonom.
„Naprotiv“, rekao je mrzovoljnim i ljutitim tonom, toliko suprotno laskavom značenju izgovorenih reči, „naprotiv, Njegovo Veličanstvo visoko ceni učešće Vaše Ekselencije u zajedničkoj stvari; ali vjerujemo da pravo usporavanje lišava slavne ruske trupe i njihove komandante onih lovorika koje su navikli da žanju u borbi”, završio je naizgled pripremljenu frazu.
Kutuzov se nakloni ne menjajući osmeh.
- I tako sam uvjeren i, na osnovu posljednjeg pisma kojim me je Njegovo Visočanstvo nadvojvoda Ferdinand odao počast, pretpostavljam da su austrijske trupe, pod komandom tako vještog pomoćnika kakav je general Mack, sada već izvojevale odlučujuću pobjedu i ne više potrebna je naša pomoć - rekao je Kutuzov.
General se namrštio. Iako nije bilo pozitivnih vijesti o porazu Austrijanaca, bilo je previše okolnosti koje su potvrdile opšte nepovoljne glasine; i stoga je Kutuzova pretpostavka o pobjedi Austrijanaca bila vrlo slična sprdnji. Ali Kutuzov se krotko osmehnuo, i dalje sa istim izrazom lica koji je govorio da ima pravo da to pretpostavi. Zaista, posljednje pismo koje je dobio od Mackove vojske obavještavalo ga je o pobjedi i najpovoljnijem strateškom položaju vojske.
„Daj mi ovo pismo ovde“, rekao je Kutuzov, okrećući se princu Andreju. - Izvolite, ako želite da vidite. - A Kutuzov je, sa podrugljivim osmehom na krajevima usana, pročitao sledeći odlomak iz pisma nadvojvode Ferdinanda od nemačko-austrijskog generala: „Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70.000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treugan Allirte weden versicht, wenn er sich gegen unsere treugan Allirte weden auf seine Communikations Linie werfen. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das verbereistenent, sozuer. [Imamo potpuno koncentrisane snage, oko 70.000 ljudi, tako da možemo napasti i poraziti neprijatelja ako pređe Leh. Pošto već posedujemo Ulm, možemo zadržati prednost da komandujemo obema obalama Dunava, stoga svakog minuta, ako neprijatelj ne pređe Leh, pređe Dunav, juri na svoju komunikacijsku liniju, pređe Dunav niže i neprijatelj , ako odluči da svu svoju snagu usmjeri na naše vjerne saveznike, da spriječi da se njegova namjera ispuni. Tako ćemo se veselo radovati vremenu kada je carski ruska vojska potpuno pripremljeni, a onda zajedno lako možemo naći priliku da neprijatelju pripremimo sudbinu koju on zaslužuje.

Golovizin V.V. Predavanja iz algebre i geometrije. 4

Predavanja iz algebre i geometrije. Semestar 2.

Predavanje 22. Vektorski prostori.

Sažetak: definicija vektorskog prostora, njegova najjednostavnija svojstva, sistemi vektora, linearna kombinacija sistema vektora, trivijalna i netrivijalna linearna kombinacija, linearno zavisni i nezavisni sistemi vektora, uslovi linearna zavisnost ili nezavisnost sistema vektora, podsistema sistema vektora, sistema kolona aritmetičkog vektorskog prostora.

stavka 1. Definicija vektorskog prostora i njegovih najjednostavnijih svojstava.

Ovdje, radi lakšeg čitanja, ponavljamo sadržaj 13. stava 1. predavanja.

Definicija. Neka je proizvoljan neprazan skup, čije ćemo elemente zvati vektori, K je polje, čije ćemo elemente nazvati skalarima. Neka je na skupu definirana interna binarna algebarska operacija koju ćemo označiti znakom + i nazvati zbrajanjem vektora. Neka je na skupu definirana i vanjska binarna algebarska operacija koju ćemo nazvati množenjem vektora skalarom i označiti znakom množenja. Drugim riječima, definirana su dva preslikavanja:

Skup zajedno s ove dvije algebarske operacije naziva se vektorski prostor nad poljem K ako vrijede sljedeći aksiomi:

1. Sabiranje je asocijativno, tj.

2. Postoji nulti vektor, tj.

3. Za bilo koji vektor postoji suprotan vektor:

Vektor y, suprotan vektoru x, obično se označava sa -x, tako da

4. Sabiranje je komutativno, tj. .

5. Množenje vektora skalarom pokorava se zakonu asocijativnosti, tj.

gdje je proizvod proizvod skalara definiranih u polju K.

6. , gdje je 1 jedinica polja K.

7. Množenje vektora skalarom je distributivno u odnosu na sabiranje vektora:

8. Množenje vektora skalarom je distributivno u odnosu na sabiranje skalara: .

Definicija. Vektorski prostor iznad polja realnih brojeva naziva se realni vektorski prostor.

Teorema. (Najjednostavnija svojstva vektorskih prostora.)

1. Postoji samo jedan nulti vektor u vektorskom prostoru.

2. U vektorskom prostoru, svaki vektor ima jedinstvenu suprotnost.

3. ili
.

4. .

Dokaz. 1) Jedinstvenost nultog vektora se dokazuje na isti način kao jedinstvenost matrice identiteta i, općenito, kao jedinstvenost neutralnog elementa bilo koje interne binarne algebarske operacije.

Neka je 0 nulti vektor vektorskog prostora V. Tada . Neka bude
je još jedan nulti vektor. Onda . Uzmimo prvi slučaj
, au drugom
. Onda
I
, odakle to slijedi
, itd.

2a) Prvo dokazujemo da je proizvod nultog skalara i bilo kojeg vektora jednak nultom vektoru.

Neka bude
. Zatim, primjenom aksioma vektorskog prostora, dobijamo:

Što se tiče sabiranja, vektorski prostor je Abelova grupa, a zakon poništavanja vrijedi u bilo kojoj grupi. Primjenjujući zakon redukcije, posljednja jednakost implicira

.

2b) Dokažimo sada tvrdnju 4). Neka bude
je proizvoljan vektor. Onda

Iz ovoga odmah slijedi da je vektor
je suprotno od x.

2c) Neka sada
. Zatim, primjenom aksioma vektorskog prostora,
I
dobijamo:

2d) Neka
i pretpostavimo to
. Jer
, gdje je K polje, onda postoji
. Pomnožimo jednakost
lijevo do
:
, odakle slijedi
ili
ili
.

Teorema je dokazana.

tačka 2. Primjeri vektorskih prostora.

1) Skup numeričkih realnih funkcija jedne varijable, kontinuiranih na intervalu (0; 1) s obzirom na uobičajene operacije sabiranja funkcija i množenja funkcije brojem.

2) Skup polinoma od jednog slova sa koeficijentima iz polja K u odnosu na sabiranje polinoma i množenje polinoma skalarom.

3) Set kompleksni brojevi u vezi sa sabiranjem kompleksnih brojeva i množenjem realnim brojem.

4) Skup matrica iste veličine sa elementima iz polja K u odnosu na sabiranje matrice i množenje matrice skalarom.

Sljedeći primjer je važan poseban slučaj primjera 4.

5) Neka je proizvoljan prirodan broj. Označimo skupom svih kolona visine n, tj. skup matrica nad poljem K veličine
.

Skup je vektorski prostor nad poljem K i naziva se aritmetički vektorski prostor stupaca visine n nad poljem K.

Konkretno, ako umjesto proizvoljnog polja K uzmemo polje realnih brojeva, tada vektorski prostor
naziva se realni aritmetički vektorski prostor stupaca visine n.

Slično, skup matrica nad poljem K veličine je također vektorski prostor
ili na drugi način, nizovi dužine n. Takođe se označava i naziva se i aritmetički vektorski prostor nizova dužine n iznad polja K.

tačka 3. Sistemi vektora vektorskog prostora.

Definicija. Sistem vektora vektorskog prostora je bilo koji konačan neprazan skup vektora ovog prostora.

Oznaka:
.

Definicija. Izraz

, (1)

gdje su skalari polja K, su vektori vektorskog prostora V, naziva se linearna kombinacija sistema vektora
. Skalari se nazivaju koeficijenti ove linearne kombinacije.

Definicija. Ako su svi koeficijenti linearne kombinacije (1) jednaki nuli, onda se takva linearna kombinacija naziva trivijalna, inače je netrivijalna.

Primjer. Neka bude
sistem od tri vektora u vektorskom prostoru V. Tada

je trivijalna linearna kombinacija datog sistema vektora;

je netrivijalna linearna kombinacija datog sistema vektora, pošto prvi koeficijent ove kombinacije
.

Definicija. Ako se bilo koji vektor x vektorskog prostora V može predstaviti kao:

tada kažemo da je vektor x linearno izražen u terminima vektora sistema
. U ovom slučaju kažemo i sistem
linearno predstavlja vektor x.

Komentar. U ovoj i prethodnoj definiciji, riječ "linearno" se često izostavlja i kaže se da sistem predstavlja vektor, ili se vektor izražava u terminima vektora sistema, i tako dalje.

Primjer. Neka bude
je sistem od dva stupca u aritmetičkom realnom vektorskom prostoru kolona visine 2. Tada stupac
izraženo linearno u terminima kolona sistema, ili dati sistem kolona linearno predstavlja kolonu x. stvarno,

tačka 4. Linearno zavisni i linearno nezavisni sistemi vektora u vektorskom prostoru.

Pošto je proizvod nultog skalara i bilo kog vektora nulti vektor, a zbir nultih vektora jednak je nultom vektoru, onda je za bilo koji sistem vektora jednakost

Iz toga slijedi da je nulti vektor linearno izražen u terminima vektora bilo kojeg sistema vektora, ili, drugim riječima, bilo koji sistem vektora linearno predstavlja nulti vektor.

Primjer. Neka bude
. U ovom slučaju null kolona može se linearno izraziti u kolonama sistema na više načina:

ili

Da bismo razlikovali ove metode linearne reprezentacije nultog vektora, uvodimo sljedeću definiciju.

Definicija. Ako je jednakost

i svi koeficijenti , onda kažemo da je sistem
trivijalno predstavlja nulti vektor. Ako je u jednakosti (3) barem jedan od koeficijenata
nije jednako nuli, onda kažemo da je sistem vektora
predstavlja nulti vektor na netrivijalan način.

Iz posljednjeg primjera vidimo da postoje sistemi vektora koji mogu predstavljati nulti vektor na netrivijalan način. Iz sljedećeg primjera ćemo vidjeti da postoje sistemi vektora koji ne mogu netrivijalno predstavljati nulti vektor.

Primjer. Neka bude
je sistem od dva stupca iz vektorskog prostora . Uzmite u obzir jednakost:

,

gdje
nepoznati koeficijenti. Koristeći pravila za množenje stupca skalarom (brojem) i dodavanje stupaca, dobijamo jednakost:

.

Iz definicije matrične jednakosti slijedi da
I
.

Dakle, dati sistem ne može predstavljati nulti stupac na netrivijalan način.

Iz gornjih primjera slijedi da postoje dvije vrste vektorskih sistema. Neki sistemi predstavljaju nulti vektor na netrivijalan način, dok drugi ne. Zapazite još jednom da bilo koji sistem vektora trivijalno predstavlja nulti vektor.

Definicija. Vektorski vektorski vektorski sistem koji predstavlja nulti vektor SAMO trivijalno se kaže da je linearno nezavisan.

Definicija. Sistem vektora u vektorskom prostoru koji može netrivijalno predstavljati nulti vektor naziva se linearno zavisnim.

Posljednja definicija se može dati u detaljnijem obliku.

Definicija. Vektorski sistem
vektorski prostor V naziva se linearno zavisnim ako postoji takav skup skalara polja K različit od nule

Komentar. Bilo koji sistem vektora
može trivijalno predstaviti nulti vektor:

Ali to nije dovoljno da se utvrdi da li je dati sistem vektora linearno zavisan ili linearno nezavisan. Iz definicije proizilazi da linearno nezavisan sistem vektora ne može predstavljati nulti vektor na netrivijalan način, već samo na trivijalan način. Stoga, da bi se provjerila linearna nezavisnost datog sistema vektora, potrebno je razmotriti reprezentaciju nule proizvoljnom linearnom kombinacijom ovog sistema vektora:

Ako je ova jednakost nemoguća, pod uslovom da je barem jedan koeficijent ove linearne kombinacije različit od nule, onda je ovaj sistem, po definiciji, linearno nezavisan.

Dakle, u primjerima iz prethodnog paragrafa, sistem stupaca
je linearno nezavisan, a sistem kolona
je linearno zavisna.

Slično se dokazuje i linearna nezavisnost sistema stubova , , ... ,

iz prostora , gdje je K proizvoljno polje, n je proizvoljan prirodan broj.

Sledeće teoreme daju nekoliko kriterijuma za linearnu zavisnost i, shodno tome, linearnu nezavisnost sistema vektora.

Teorema. (Neophodan i dovoljan uslov za linearnu zavisnost sistema vektora.)

Sistem vektora u vektorskom prostoru je linearno zavisan ako i samo ako je jedan od vektora sistema linearno izražen u terminima ostalih vektora ovog sistema.

Dokaz. Need. Pustite sistem
linearno zavisna. Zatim, po definiciji, predstavlja nulti vektor na netrivijalan način, tj. postoji netrivijalna linearna kombinacija ovog sistema vektora jednaka nultom vektoru:

pri čemu barem jedan od koeficijenata ove linearne kombinacije nije jednak nuli. Neka bude
,
.

Podijelite oba dijela prethodne jednakosti sa ovim koeficijentom koji nije nula (tj. pomnožite sa :

označiti:
, gdje .

one. jedan od vektora sistema je linearno izražen preko drugih vektora ovog sistema itd.

Adekvatnost. Neka je jedan od vektora sistema linearno izražen u terminima drugih vektora ovog sistema:

Pomerimo vektor na desnu stranu ove jednačine:

Pošto je koeficijent na vektoru jednaki
, tada imamo netrivijalnu reprezentaciju nule sistemom vektora
, što znači da je ovaj sistem vektora linearno zavisan, itd.

Teorema je dokazana.

Posljedica.

1. Sistem vektora u vektorskom prostoru je linearno nezavisan ako i samo ako nijedan od vektora sistema nije linearno izražen u terminima drugih vektora ovog sistema.

2. Sistem vektora koji sadrži nulti vektor ili dva jednaka vektora je linearno zavisan.

Dokaz.

1) Nužnost. Neka je sistem linearno nezavisan. Pretpostavimo suprotno i postoji sistemski vektor koji je linearno izražen kroz druge vektore ovog sistema. Zatim, prema teoremi, sistem je linearno zavisan i dolazimo do kontradikcije.

Adekvatnost. Neka nijedan od vektora sistema ne bude izražen u terminima drugih. Pretpostavimo suprotno. Neka je sistem linearno zavisan, ali onda iz teoreme proizilazi da postoji sistemski vektor koji je linearno izražen kroz druge vektore ovog sistema i opet dolazimo do kontradikcije.

2a) Neka sistem sadrži nulti vektor. Pretpostavimo radi određenosti da je vektor
:. Zatim jednakost

one. jedan od vektora sistema je linearno izražen u terminima ostalih vektora ovog sistema. Iz teoreme slijedi da je takav sistem vektora linearno zavisan, itd.

Imajte na umu da se ova činjenica može dokazati direktno iz definicije linearno zavisnog sistema vektora.

Jer
, onda je sljedeća jednakost očigledna

Ovo je netrivijalan prikaz nultog vektora, što znači da je sistem
je linearno zavisna.

2b) Neka sistem ima dva jednaka vektora. Neka za određenost
. Zatim jednakost

One. prvi vektor je linearno izražen u terminima ostalih vektora istog sistema. Iz teoreme slijedi da je dati sistem linearno zavisan, itd.

Slično prethodnoj, ova tvrdnja se takođe može dokazati direktno iz definicije linearno zavisnog sistema.

Zaista, pošto
, zatim jednakost

one. imamo netrivijalnu reprezentaciju nultog vektora.

Posljedica je dokazana.

Teorema (O linearnoj zavisnosti sistema jednog vektora.

Sistem koji se sastoji od jednog vektora je linearno zavisan ako i samo ako je ovaj vektor nula.

Dokaz.

Need. Pustite sistem
linearno zavisna, tj. postoji netrivijalna reprezentacija nultog vektora

,

gdje
I
. Iz najjednostavnijih svojstava vektorskog prostora slijedi da onda
.

Adekvatnost. Neka se sistem sastoji od jednog nultog vektora
. Tada ovaj sistem netrivijalno predstavlja nulti vektor

,

odakle slijedi linearna zavisnost sistema
.

Teorema je dokazana.

Posljedica. Sistem koji se sastoji od jednog vektora je linearno nezavisan ako i samo ako je ovaj vektor različit od nule.

Dokaz se ostavlja čitaocu kao vježbu.

Neka je V neprazan skup čije ćemo elemente zvati vektori i označavati ih sa … i tako dalje. Neka su dvije operacije zadane i određene na neki način na V. Prva operacija je binarna aditivna operacija (ili, grubo rečeno, operacija sabiranja). Ova operacija će biti označena znakom + (međutim, nije neophodno da ova operacija bude 100% definisana na isti način kao što je definisana operacija sabiranja za obične brojeve, sada ne proučavamo brojeve, već vektore, tako da ova operacija sabiranja vektora može se označiti i nekim svojim posebnim znakom, na primjer: (). Druga operacija je množenje vektora nekim elementom? takvog skupa, a to je polje, kao rezultat čega se stvara novi dobija se vektor (). Elementi polja se još nazivaju skalarima. (Ko je lijen da pogleda kakvo je takvo polje, reći ću da skup realnih ili takođe kompleksnih brojeva može poslužiti kao primjer algebarskih polja.) (4)

Dakle, hajde da formulišemo aksiome vektorskog prostora. (3)

1. a) zbir bilo koja dva elementa iz V i b) proizvod skalara i proizvoljnog elementa od V su neki elementi iz V (vektori).

2. sabiranje bilo koja tri elementa iz V poštuje zakon kombinacije (ili, kako kažu, vektorsko sabiranje je asocijativno):

3. sabiranje bilo koja dva elementa iz V podliježe komutativnom zakonu (sabiranje vektora je komutativno): .

4. postoji takav element iz V (nulti vektor) da za bilo koji.

5. za bilo koji element iz V postoji element iz V čiji je zbir sa originalnim elementom jednak, tj. (.

Za bilo koje skalare (brojeve)? I? i za bilo koja dva vektora iz V

vektorski podprostor

Vektorski podprostor, ili jednostavno podprostor, vektorski prostor E nad poljem K je skup koji je zatvoren operacijama sabiranja i množenja skalarom. Podprostor koji se razmatra odvojeno od prostora koji sadrži je vektorski prostor nad istim poljem. (pet)

Prava linija koja prolazi kroz dvije tačke x i y vektorskog prostora E je skup elemenata oblika ??. Skup G naziva se ravan skup ako, zajedno sa bilo koja dva, sadrži pravu koja prolazi kroz ove tačke. Svaki ravni skup se dobija iz nekog podprostora pomoću pomaka ( paralelni transfer): G=x+F, to znači da svaki element od z može biti jedinstveno predstavljen kao y, a jednakost daje korespondenciju jedan-na-jedan između F i G.

Skup svih pomaka datog podprostora F formira vektorski prostor nad K, naziva se količnik prostor E/F, ako je determinanta operacije sljedeća:

Neka je M = proizvoljan skup vektora E; linearna kombinacija vektora je vektor x definisan formulom

u kojoj je samo konačan broj koeficijenata različit od nule. Skup svih linearnih kombinacija vektora datog skupa M je najmanji podprostor koji sadrži M i naziva se linearna školjka skupovi M. Linearna kombinacija se naziva trivijalna ako su svi koeficijenti jednaki nuli. Skup M se naziva linearno zavisnim skupom ako su sve netrivijalne linearne kombinacije vektora iz M različite od nule.

U teoriji realnih i kompleksnih vektorskih prostora važnu ulogu igra teoriju konveksnih skupova. Skup M u realnom vektorskom prostoru naziva se konveksan skup ako, zajedno sa bilo koje dvije njegove tačke x, y, segment također pripada M.

Veliko mjesto u teoriji vektorskih prostora zauzima teorija linearnih funkcionala na vektorskom prostoru i s njom povezana teorija dualnosti. Neka je E vektorski prostor nad poljem K. Linearni funkcional na E je aditivno i homogeno preslikavanje, a E je vektorski prostor nad poljem K. Linearni funkcional na E je aditivno i homogeno preslikavanje

Skup svih linearnih funkcionala na E formira vektorski prostor nad poljem K u odnosu na operacije

Ovaj vektorski prostor naziva se dualni (ili dualni) prostor (do E). Brojni geometrijski pojmovi povezani su s konceptom dualnog prostora. Neka se D?E (odnosno, skup G) zove skup

(odnosno); ovdje i su podprostori prostora i E, respektivno f je element različit od nule, tada ( f) je maksimalni pravi linearni podprostor E, koji se ponekad naziva hiperpodprostor; pomak takvog podprostora naziva se hiperravan u E; svaka hiperravan ima oblik

{x: f(x)=??), gdje f? 0, f, TO.

Podskup se naziva ukupnim podskupom nad E ako njegov anihilator sadrži samo nulti element =(0).

Svaki linearno nezavisan skup može biti povezan sa konjugiranim podskupom, tj. skup takav da (Kronecker simbol) za sve. Skup parova naziva se biortogonalni sistem. Ako je skup baza u E, onda je potpuno iznad E.

Značajno mjesto u teoriji vektorskih prostora zauzima teorija linearne transformacije vektorski prostor. Neka su dva vektorska prostora nad istim poljem K. Linearno preslikavanje, ili linearni operator, T, preslikavanje vektorskog prostora u vektorski prostor (ili linearni operator iz a.

Dva vektorska prostora i nazivaju se izomorfnim vektorskim prostorima ako postoje linearni operator("izomorfizam"), vršeći korespondenciju jedan-na-jedan između njihovih elemenata i.

Teorija bilinearnih preslikavanja i multilinearnih preslikavanja vektorskog prostora usko je povezana sa teorijom linearnih preslikavanja vektorskog prostora.

Važnu grupu problema u teoriji vektorskog prostora čine problemi proširenja linearnih preslikavanja. Neka je F podprostor vektorskog prostora – linearni prostor nad istim poljem kao i neka je – linearno preslikavanje F u; potrebno je pronaći ekstenziju T preslikavanja koja je definirana na svemu i koja je linearno preslikavanje u. Takvo proširenje uvijek postoji, ali dodatna ograničenja na funkcije (povezana s dodatnim strukturama u vektorskom prostoru, kao što su topologija ili odnosi reda) mogu učiniti problem nerješivim. Primjeri rješavanja problema nastavka su Hahn-Banachova teorema i teoreme o nastavku pozitivnih funkcionala u prostorima sa konusom.

Važna grana teorije vektorskih prostora je teorija operacija na vektorskim prostorima, tj. načini konstruisanja novih vektorskih prostora od poznatih. Primjeri takvih operacija su dobro poznate operacije uzimanja podprostora i formiranja kvocijentnog prostora iz podprostora. Druge važne operacije su konstrukcija direktnog zbira, direktnog proizvoda i tenzorskog proizvoda vektorskog prostora.

vektor(ili linearno) prostor- matematička struktura, koja je skup elemenata, koji se nazivaju vektori, za koje su definirane operacije međusobnog sabiranja i množenja brojem - skalarom.

1) X+y=y+x ( komutativnost sabiranja)

2) X+(y+Z)=(x+Y)+z ( asocijativnost sabiranja)

3) postoji takav element 0êV da je x+0=x

4) za bilo koje x êV postoji takav element - x êV , da je x+(-x)=0? zove se vektor, suprotno vektor x.

5) α(βx)= (αβ)x ( asocijativnost množenja skalarom)

7) (α+β)x=αx+βx

8) α(x+y)=αx+αy

1) Slobodni vektori u prostoru R 3

2) Matrice dimenzije nxm

3) Skup svih polinoma čiji stepen ne prelazi n

4) Primjeri linearnog prostora su:

5) - prostor realnih brojeva.

6) je skup geometrijskih vektora na ravni.

7) - prostor matrica fiksne dimenzije.

8) - prostor rješenja homogenih linearni sistemi i sl.

Osnovne definicije

N-dimenzionalni vektor naziva se niz od n brojeva. Ovi brojevi se zovu koordinate vektor. Poziva se broj koordinata vektora n dimenzija vektor.

Možete dodati samo vektore iste dimenzije.

Vektori su jednaki ako imaju istu dimenziju i njihove odgovarajuće koordinate su jednake.

Bilo koji n-dimenzionalni vektor A može biti pomnoži sa bilo kojim brojemλ, dok su sve njegove koordinate pomnožene ovim brojem:
λA=(λ*a1, λ*a2,..., λ*an)

Mogu se dodati dva vektora iste dimenzije i dodati im odgovarajuće koordinate:

Šta je linearna kombinacija vektora?

Linearna kombinacija vektora a1,a2,…,an nazvan izrazom kao što je:

Gdje a1,a2,…,an - proizvoljnim brojevima

Koji vektori se nazivaju linearno zavisni (nezavisni)?

Vektori koji nisu nula a1,a2,…,an pozvao linearno zavisna, ako je netrivijalna linearna kombinacija ovih vektora jednaka nultom vektoru:

Vektori koji nisu nula a1,a2,…,an pozvao linearno nezavisna, osim ako je trivijalna linearna kombinacija ovih vektora jednaka nultom vektoru.

Linearni primjeri ne zavisni vektori

Kako se rješava pitanje linearne zavisnosti vektora?

Teorema 1. Da bi sistem vektora bio linearno zavisan, neophodno je i dovoljno da barem jedan od njih bude predstavljen kao linearna kombinacija ostalih.

Teorema 2. U n-dimenzionalnom prostoru, svaki sistem koji sadrži više od n vektora je linearno zavisan.

Teorema 3.Ako je determinanta, sastavljena od koordinata vektora, različita od nule, onda je sistem vektora linearno nezavisan. Ako ove teoreme ne daju odgovor na pitanje linearne zavisnosti ili nezavisnosti vektora, tada je potrebno riješiti sistem jednačina u odnosu na , ili odrediti rang sistema vektora.

Koliki je omjer koordinata dvaju linearno zavisnih vektora?

Navedite primjer dva linearno zavisna vektora

: Vektori i su kolinearni kada postoji takav broj , što je jednakost:
.

Definicija osnove linearnog prostora

Skup od n linearno nezavisnih elemenata u prostoru dimenzije n naziva se baza ovog prostora.

Određivanje dimenzije linearnog prostora.

Definicija 3.1. linearni prostor R naziva se n-dimenzionalnim ako sadrži n linearno nezavisni elementi, i bilo koji ( n+1) elementi su već linearno zavisni. Istovremeno, broj n naziva se dimenzija prostora R.

Dimenzija prostora se označava simbolom dim.

Definicija 3.2. linearni prostor R naziva se beskonačno-dimenzionalnim ako sadrži bilo koji broj linearno nezavisnih elemenata.

Teorema 3.4. Neka je linearni prostor R ima osnovu koja se sastoji od n elementi. Zatim dimenzija R je jednako sa n(dim R=n).

Koncept n-dimenzionalnog prostora

Linearni prostor V naziva se n-dimenzionalni prostor ako sadrži sistem od n linearno nezavisnih elemenata, a bilo koji n+1 element je linearno zavisan.

Formule koje povezuju vektore stare i nove baze