Vrlo često se pri rješavanju praktičnih problema (na primjer, u višoj geodeziji ili analitičkoj fotogrametriji) pojavljuju složene funkcije više varijabli, tj. x, y, z jedna funkcija f(x,y,z) ) su same funkcije novih varijabli U, V, W ).

Tako se, na primjer, dešava kada se krećete iz fiksnog koordinatnog sistema Oxyz na mobilni sistem O 0 UVW i nazad. U ovom slučaju važno je poznavati sve parcijalne derivacije u odnosu na varijable "fiksne" - "stare" i "pokretne" - "nove", jer ove parcijalne derivacije obično karakteriziraju položaj objekta u ovim koordinatnim sistemima, a posebno utiču na korespondenciju fotografija iz vazduha sa stvarnim objektom. U takvim slučajevima primjenjuju se sljedeće formule:

Odnosno, data je složena funkcija T tri "nove" varijable U, V, W kroz tri "stare" varijable x, y, z onda:

Komentar. Moguće su varijacije u broju varijabli. Na primjer: ako

Konkretno, ako z = f(xy), y = y(x) , tada dobijamo takozvanu formulu "totalnog derivata":

Ista formula za "ukupni derivat" u slučaju:

će poprimiti oblik:

Moguće su i druge varijacije formula (1.27) - (1.32).

Napomena: formula "totalni derivat" se koristi u predmetu fizike, odeljak "Hidrodinamika" kada se izvodi osnovni sistem jednačina kretanja fluida.

Primjer 1.10. Dato:

Prema (1.31):

§7 Parcijalni izvod implicitno date funkcije nekoliko varijabli

Kao što znate, implicitno definirana funkcija jedne varijable definirana je na sljedeći način: funkcija nezavisne varijable x naziva se implicitnim ako je dat jednadžbom koja nije razriješena u odnosu na y :

Primjer 1.11.

Jednačina

implicitno definira dvije funkcije:

I jednadžba

ne definira nikakvu funkciju.

Teorema 1.2 (postojanje implicitne funkcije).

Neka funkcija z \u003d f (x, y) i njegove parcijalne derivate f" x I f" y definiran i kontinuiran u nekom susjedstvu U M0 bodova M 0 (x 0 y 0 ) . osim toga, f(x 0 ,y 0 )=0 I f"(x 0 ,y 0 )≠0 , tada jednačina (1.33) određuje u susjedstvu U M0 implicitna funkcija y= y(x) , kontinuirano i diferencibilno u nekom intervalu D centriran na tačku x 0 , i y(x 0 )=y 0 .

Bez dokaza.

Iz teoreme 1.2 slijedi da na ovom intervalu D :

odnosno postoji identitet u

gdje se "ukupni" derivat nalazi prema (1.31)

To jest, (1.35) daje formulu za implicitno pronalaženje derivacije datu funkciju jedna varijabla x .

Implicitna funkcija dvije ili više varijabli definirana je na sličan način.

Na primjer, ako u nekom području V prostor Oxyz jednačina je ispunjena:

zatim pod određenim uslovima na funkciji F on implicitno definira funkciju

Istovremeno, po analogiji sa (1.35), njeni parcijalni derivati ​​se nalaze na sledeći način:

Primjer 1.12. Pod pretpostavkom da je jednadžba

implicitno definira funkciju

naći z" x , z" y .

dakle, prema (1.37), dobijamo odgovor.

§8 Parcijalni derivati ​​drugog i višeg reda

Definicija 1.9 Parcijalni izvod funkcije drugog reda z=z(x,y) definisani su ovako:

Bilo ih je četvoro. Štaviše, pod određenim uslovima na funkcije z(x,y) jednakost važi:

Komentar. Parcijalni derivati ​​drugog reda mogu se označiti i na sljedeći način:

Definicija 1.10 Parcijalni derivati ​​trećeg reda - osam (2 3).

Neka je z=ƒ(x;y) funkcija dvije varijable x i y, od kojih je svaka funkcija nezavisne varijable t: x = x(t), y = y(t). U ovom slučaju, funkcija z = f(x(t);y(t)) je kompleksna funkcija jedne nezavisne varijable t; varijable x i y su međuvarijable.

Teorema 44.4. Ako je z = ƒ (x; y) funkcija diferencijabilna u tački M (x; y) ê D i x = x (t) i y = y (t) su diferencijabilne funkcije nezavisne varijable t, tada se derivacija kompleksne funkcije z (t ) = f(x(t);y(t)) izračunava po formuli

Dajmo nezavisnoj varijabli t prirast Δt. Tada će funkcije x = x(t) i y = y(t) dobiti inkremente Δx i Δy, respektivno. Oni će, zauzvrat, uzrokovati da funkcija z poveća Az.

Pošto je po uslovu funkcija z - ƒ(x; y) diferencijabilna u tački M(x; y), onda je njena puni prirast može se predstaviti kao

gdje je a→0, β→0 kao Δh→0, Δu→0 (vidi tačku 44.3). Izraz Δz dijelimo sa Δt i prelazimo na granicu kao Δt→0. Tada su Δh→0 i Δu→0 zbog kontinuiteta funkcija x = x(t) i y = y(t) (prema uslovu teoreme, one su diferencijabilne). Dobijamo:

Poseban slučaj: z=ƒ(x;y), gdje je y=y(x), tj. z=ƒ(x;y(x)) je kompleksna funkcija jedne nezavisne varijable x. Ovaj slučaj se svodi na prethodni, pri čemu x igra ulogu varijable t. Prema formuli (44.8) imamo:

Formula (44.9) se naziva formulom ukupnog izvoda.

Opšti slučaj: z=ƒ(x;y), gdje je x=x(u;v), y=y(u;v). Tada je z= f(x(u;v);y(u;v)) kompleksna funkcija nezavisnih varijabli u i v. Njegovi parcijalni derivati ​​se mogu naći pomoću formule (44.8) kako slijedi. Nakon fiksiranja v, zamjenjujemo ga odgovarajućim parcijalnim derivatima

Slično, dobijamo:

Dakle, derivacija kompleksne funkcije (z) u odnosu na svaku nezavisnu varijablu (u i v) jednaka je zbroju proizvoda parcijalnih izvoda ove funkcije (z) u odnosu na njene međuvarijable (x i y). ) i njihove derivate u odnosu na odgovarajuću nezavisnu varijablu (u i v).

Primjer 44.5. Pronađite da li je z=ln(x 2 +y 2), x=u v, y=u/v.

Rješenje: Pronađite dz/du (dz/dv - nezavisno) koristeći formulu (44.10):

Pojednostavite desnu stranu rezultirajuće jednakosti:

40. Parcijalni derivati ​​i totalni diferencijal funkcije nekoliko varijabli.

Neka je data funkcija z = ƒ (x; y). Kako su x i y nezavisne varijable, jedna od njih se može mijenjati dok druga ostaje nepromijenjena. Dajmo nezavisnoj varijabli x prirast Δx, zadržavajući vrijednost y nepromijenjenom. Tada će z dobiti inkrement koji se naziva djelimično povećanje z u x i označava se sa ∆ x z. dakle,

Δ x z \u003d ƒ (x + Δ x; y) -ƒ (x; y).

Slično, dobijamo djelimično povećanje z u odnosu na y:

Δ y z \u003d ƒ (x; y + Δy) -ƒ (x; y).

Ukupni prirast Δz funkcije z definiran je jednakošću

Δz \u003d ƒ (x + Δx; y + Δy) - ƒ (x; y).

Ako postoji granica

tada se naziva parcijalni izvod funkcije z \u003d ƒ (x; y) u tački M (x; y) u odnosu na varijablu x i označava se jednim od simbola:

Parcijalne derivacije u odnosu na x u tački M 0 (x 0; y 0) obično se označavaju simbolima

Parcijalni izvod z = ƒ (x; y) u odnosu na varijablu y definiran je i označen na sličan način:

Dakle, parcijalni izvod funkcije nekoliko (dvije, tri ili više) varijabli definira se kao derivacija funkcije jedne od ovih varijabli, podložna konstantnosti vrijednosti preostalih nezavisnih varijabli. Stoga se parcijalni izvod funkcije ƒ(x; y) nalazi prema formulama i pravilima za izračunavanje izvoda funkcije jedne varijable (u ovom slučaju, odnosno, x ili y se smatra konstantnom vrijednošću).

Primjer 44.1. Naći parcijalne izvode funkcije z = 2y + e x2-y +1. Rješenje:

Geometrijsko značenje parcijalnih izvoda funkcije dvije varijable

Grafikon funkcije z \u003d ƒ (x; y) je određena površina (vidi paragraf 12.1). Grafikon funkcije z = ƒ (x; y 0) je linija presjeka ove površine s ravninom y = y o. Na osnovu geometrijskog značenja derivacije za funkciju jedne varijable (vidi klauzulu 20.2), zaključujemo da je ƒ "x (xo; yo) = tg a, gdje je a ugao između ose Ox i tangente povučene na kriva z \u003d ƒ (x; y 0) u tački Mo (xo; yo; ƒ (xo; yo)) (vidi sliku 208).

Slično, f "y (x 0; y 0) \u003d tgβ.

Funkcija Z=f(x,y) naziva se diferencijabilnom u tački P(x,y) ako se njen ukupni prirast ΔZ može predstaviti kao Δz = A∙Δx+B∙Δy+ω(Δx,Δy), gdje je Δx i Δy – bilo koji priraštaji odgovarajućih argumenata x i y u nekom susjedstvu tačke P, A i B su konstantni (ne zavise od Δx, Δy),

ω(Δx,Δy) je infinitezimalno više high order od udaljenosti:

Ako je funkcija diferencibilna u nekoj tački, tada se njen ukupni prirast u toj tački sastoji od dva dijela:

1. Glavni dio prirasta funkcije A∙Δx+B∙Δy je linearan u odnosu na Δx,Δy

2. I nelinearni ω(Δx,Δy) - beskonačno mali viši red od glavnog dijela prirasta.

Glavni dio prirasta funkcije, koji je linearan u odnosu na Δx,Δy, naziva se ukupni diferencijal ove funkcije i označava se:Δz = A∙Δx+B∙Δy, Δx=dx i Δy=dy ili ukupni diferencijal funkcije dvije varijable:

Prikaz diferencijala. Diferencijal i derivat numerička funkcija jedna varijabla. Tabela izvedenica. Diferencijabilnost. ) je funkcija argumenta , koji je beskonačno mali kao →0, tj.

Razjasnimo sada vezu između diferencijabilnosti u nekoj tački i postojanja derivacije u istoj tački.

Teorema. Da bi funkcija f(x) je bila diferencibilna u datoj tački X , neophodno je i dovoljno da ima konačan izvod u ovoj tački.

Tabela izvedenica.

Primjer. Pronađite ako, gdje.

Rješenje. Prema formuli (1) imamo:

Primjer. Nađite parcijalni izvod i ukupni izvod ako .

Rješenje. .

Na osnovu formule (2) dobijamo .

2°. Slučaj nekoliko nezavisnih varijabli.

Neka bude z = f(x;y) - funkcija dvije varijable X I y, od kojih je svaka funkcija

nezavisna varijabla t: x = x(t), y = y(t). U ovom slučaju, funkcija z=f(x(t);y(t)) je

kompleksna funkcija jedne nezavisne varijable t; varijable x i y su srednje varijable.

Teorema. Ako z == f(x; y) - diferencibilan u jednoj tački M(x; y) D funkcija

I x = x(t) I at =y(t) - diferencijabilne funkcije nezavisne varijable t,

zatim derivacija kompleksne funkcije z(t) == f(x(t);y(t)) izračunato po formuli

(3)

Poseban slučaj: z = f(x; y), gdje je y = y(x), one. z= f(x;y(x)) - složena funkcija

nezavisna varijabla X. Ovaj slučaj se svodi na prethodni i ulogu varijable

t plays X. Prema formuli (3) imamo:

.

Posljednja formula se zove formule za ukupni izvod.

Opšti slučaj: z = f(x;y), gdje x = x(u;v), y=y(u;v). Tada je z = f(x(u;v);y(u;v)) - kompleks

funkcija nezavisnih varijabli I I v. Njegovi parcijalni derivati ​​se mogu naći

koristeći formulu (3) kako slijedi. Popravljati v, zamijenite u njemu

odgovarajuće parcijalne derivacije

Dakle, derivacija složene funkcije (z) u odnosu na svaku nezavisnu varijablu (I I v)

jednak je zbiru proizvoda parcijalnih izvoda ove funkcije (z) u odnosu na njen međuprodukt

varijable (x i y) na njihove derivate u odnosu na odgovarajuću nezavisnu varijablu (u i v).

U svim razmatranim slučajevima, formula

(osobina invarijantnosti ukupnog diferencijala).

Primjer. Pronađite i ako je z= f(x,y), gdje je x=uv, .

1°

1°. Slučaj jedne nezavisne varijable. Ako je z=f(x,y) diferencijabilna funkcija argumenata x i y, koji su zauzvrat diferencijabilne funkcije nezavisne varijable t: , zatim izvod kompleksne funkcije može se izračunati po formuli

Primjer. Pronađite ako, gdje.

Rješenje. Prema formuli (1) imamo:

Primjer. Naći parcijalni izvod i ukupni izvod ako .

Rješenje. .

Na osnovu formule (2) dobijamo .

2°. Slučaj nekoliko nezavisnih varijabli.

Neka bude z=f(x;y ) - funkcija dvije varijable X I y, od kojih je svaka funkcija nezavisne varijable t : x =x (t ), y =y (t). U ovom slučaju, funkcija z=f(x (t);y (t)) je kompleksna funkcija jedne nezavisne varijable t; varijable x i y su srednje varijable.

Teorema. Ako z == f(x; y) - diferencibilan u jednoj tački M(x; y)D funkcija i x =x (t) I at =y (t) - diferencijabilne funkcije nezavisne varijable t, zatim derivacija kompleksne funkcije z(t) == f(x (t);y (t)) izračunato po formuli

poseban slučaj:z = f(x; y), gdje je y = y(x), one. z= f(x;y (x)) - kompleksna funkcija jedne nezavisne varijable X. Ovaj slučaj se svodi na prethodni i ulogu varijable t plays X. Prema formuli (3) imamo:

.

Posljednja formula se zove formule za ukupni izvod.

Opšti slučaj:z = f(x;y ), gdje x =x (u ;v ),y=y (u ;v ). Tada je z = f(x (u ;v);y (u ;v))- kompleksna funkcija nezavisnih varijabli I I v. Njegovi parcijalni derivati ​​i mogu se naći pomoću formule (3) kako slijedi. Popravljati v, u njemu zamjenjujemo odgovarajućim parcijalnim derivatima

Dakle, derivacija složene funkcije (z) u odnosu na svaku nezavisnu varijablu (I I v) jednak je zbroju proizvoda parcijalnih izvoda ove funkcije (z) s obzirom na njene međuvarijable (x i y) na njihove derivate u odnosu na odgovarajuću nezavisnu varijablu (u i v).

U svim razmatranim slučajevima, formula

(osobina invarijantnosti ukupnog diferencijala).

Primjer. Pronađite i ako je z = f(x,y), gdje je x =uv, .

Rješenje. Primjenom formula (4) i (5) dobijamo:

Primjer. Pokažite da funkcija zadovoljava jednadžbu .

Rješenje. Funkcija zavisi od x i y preko srednjeg argumenta, dakle

Zamjenom parcijalnih izvoda u lijevu stranu jednačine, imamo:

To jest, funkcija z zadovoljava datu jednačinu.

Derivat u datom smjeru i gradijentu funkcije

1°. Derivat funkcije u datom smjeru. derivat funkcije z= f(x,y) u ovom pravcu pozvao , gdje su i vrijednosti funkcije u tačkama i . Ako je funkcija z diferencijabilna, onda je formula

gdje su uglovi između smjera l i relevantno koordinatne ose. Izvod u datom smjeru karakterizira brzinu promjene funkcije u ovom smjeru.

Primjer. Pronađite derivaciju funkcije z = 2x 2 - Zu 2 u tački P (1; 0) u smjeru koji čini kut od 120 ° s osom OX.

Rješenje. Nađimo parcijalne izvode ove funkcije i njihove vrijednosti u tački P.

Dat je dokaz formule za izvod kompleksne funkcije. Detaljno se razmatraju slučajevi u kojima složena funkcija zavisi od jedne ili dvije varijable. Izvršena je generalizacija slučaja proizvoljan broj varijable.

Sadržaj

Vidi također: Primjeri primjene formule za izvod kompleksne funkcije

Osnovne formule

Ovdje donosimo zaključak sledeće formule za derivaciju kompleksne funkcije.
Ako onda
.
Ako onda
.
Ako onda
.

Derivat kompleksne funkcije jedne varijable

Neka funkcija varijable x bude predstavljena kao kompleksna funkcija u sljedećem obliku:
,
gdje i postoje neke funkcije. Funkcija je diferencibilna za neku vrijednost varijable x. Funkcija je diferencibilna za vrijednost varijable.
Tada je kompleksna (kompozitna) funkcija diferencibilna u tački x i njen izvod je određen formulom:
(1) .

Formula (1) se također može napisati na sljedeći način:
;
.

Dokaz

Hajde da uvedemo sljedeću notaciju.
;
.
Ovdje postoji funkcija varijabli i , Tu je funkcija varijabli i . Ali ćemo izostaviti argumente ovih funkcija kako ne bismo zatrpali proračune.

Budući da su funkcije i diferencijabilne u točkama x i , respektivno, tada u tim točkama postoje derivacije ovih funkcija, koje su sljedeće granice:
;
.

Razmotrite sljedeću funkciju:
.
Za fiksnu vrijednost varijable u , je funkcija . Očigledno je da
.
Onda
.

Budući da je funkcija diferencijabilna funkcija u točki , tada je u toj točki kontinuirana. Zbog toga
.
Onda
.

Sada nalazimo derivat.

.

Formula je dokazana.

Posljedica

Ako se funkcija varijable x može predstaviti kao kompleksna funkcija kompleksne funkcije
,
tada je njegov izvod određen formulom
.
Ovdje i postoje neke diferencibilne funkcije.

Da bismo dokazali ovu formulu, sekvencijalno izračunavamo derivaciju prema pravilu diferencijacije kompleksne funkcije.
Razmotrite složenu funkciju
.
Njegov derivat
.
Razmotrite originalnu funkciju
.
Njegov derivat
.

Derivat kompleksne funkcije u dvije varijable

Sada neka složena funkcija zavisi od nekoliko varijabli. Prvo razmotrite slučaj kompleksne funkcije dvije varijable.

Neka funkcija koja zavisi od varijable x bude predstavljena kao kompleksna funkcija dvije varijable u sljedećem obliku:
,
gdje
i postoje diferencibilne funkcije za neku vrijednost varijable x ;
je funkcija dvije varijable, diferencibilne u točki , . Tada je kompleksna funkcija definirana u nekom susjedstvu tačke i ima derivaciju, koja je određena formulom:
(2) .

Dokaz

Budući da su funkcije i diferencijabilne u točki , one su definirane u nekom susjedstvu ove točke, kontinuirane su u točki, a njihovi derivati ​​u točki postoje, a to su sljedeće granice:
;
.
Evo
;
.
Zbog kontinuiteta ovih funkcija u jednoj tački, imamo:
;
.

Budući da je funkcija diferencijabilna u tački , definirana je u nekom susjedstvu ove tačke, kontinuirana je u ovoj tački, a njen prirast se može napisati na sljedeći način:
(3) .
Evo

- povećanje funkcije kada se njeni argumenti povećaju za vrijednosti i ;
;

- parcijalni derivati ​​funkcije u odnosu na varijable i .
Za fiksne vrijednosti i , i postoje funkcije varijabli i . Oni teže nuli kao i :
;
.
Od i , tada
;
.

Povećanje funkcije:

. :
.
Zamjena (3):



.

Formula je dokazana.

Derivat kompleksne funkcije nekoliko varijabli

Gornji izvod se lako generalizuje na slučaj kada je broj varijabli kompleksne funkcije veći od dva.

Na primjer, ako je f funkcija tri varijable, onda
,
gdje
, i postoje diferencibilne funkcije za neku vrijednost varijable x ;
je diferencijabilna funkcija, u tri varijable, u točki , , .
Tada, iz definicije diferencijabilnosti funkcije, imamo:
(4)
.
Budući da je, zbog kontinuiteta,
; ; ,
onda
;
;
.

Dijelimo (4) sa i prelazimo na granicu , dobivamo:
.

I na kraju, razmislite najopštiji slučaj.
Neka funkcija varijable x bude predstavljena kao kompleksna funkcija od n varijabli u sljedećem obliku:
,
gdje
postoje diferencibilne funkcije za neku vrijednost varijable x ;
- diferencijabilna funkcija n varijabli u tački
, , ... , .
Onda
.

Vidi također: