1) Opseg funkcije i opseg funkcija.

Opseg funkcije je skup svih važećih valjanih vrijednosti argumenta x(promenljiva x) za koju je funkcija y = f(x) definisano. Opseg funkcije je skup svih realnih vrijednosti y da funkcija prihvata.

U osnovnoj matematici, funkcije se proučavaju samo na skupu realnih brojeva.

2) Nule funkcije.

Nula funkcije je vrijednost argumenta pri kojoj je vrijednost funkcije jednaka nuli.

3) Intervali konstantnosti predznaka funkcije.

Intervali predznaka konstante funkcije su takvi skupovi vrijednosti argumenata na kojima su vrijednosti funkcije samo pozitivne ili samo negativne.

4) Monotonost funkcije.

Povećajuća funkcija (u nekom intervalu) - funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije.

Opadajuća funkcija (u nekom intervalu) - funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

5) Parne (neparne) funkcije.

Parna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje X iz domena definicije jednakost f(-x) = f(x). Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na y-os.

Neparna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje X iz domena definicije jednakost f(-x) = - f(x). Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

6) Ograničene i neograničene funkcije.

Funkcija se naziva ograničenom ako postoji pozitivan broj M takav da je |f(x)| ≤ M za sve vrijednosti x. Ako takav broj ne postoji, onda je funkcija neograničena.

7) Periodičnost funkcije.

Funkcija f(x) je periodična ako postoji broj T koji nije nula takav da je za bilo koji x iz domena funkcije f(x+T) = f(x). Ovaj najmanji broj naziva se period funkcije. Sve trigonometrijske funkcije su periodični. (Trigonometrijske formule).

19. Osnovni elementarne funkcije, njihova svojstva i grafovi. Primjena funkcija u privredi.

Osnovne elementarne funkcije. Njihova svojstva i grafovi

1. Linearna funkcija.

Linearna funkcija naziva se funkcija oblika , gdje je x varijabla, a i b su realni brojevi.

Broj ali koja se naziva nagib prave linije, jednaka je tangenti ugla nagiba ove prave linije prema pozitivnom smjeru x-ose. Grafikon linearne funkcije je prava linija. Definisano je sa dvije tačke.

Svojstva linearne funkcije

1. Domen definicije - skup svih realnih brojeva: D (y) \u003d R

2. Skup vrijednosti je skup svih realnih brojeva: E(y)=R

3. Funkcija uzima nultu vrijednost za ili.

4. Funkcija raste (opada) u cijelom domenu definicije.

5. Linearna funkcija je kontinuirana na cijelom području definicije, diferencibilna i .

2. Kvadratna funkcija.

Funkcija oblika, gdje je x varijabla, a koeficijenti a, b, c su realni brojevi, naziva se kvadratni.

Odds a, b, c odrediti lokaciju grafa na koordinatnoj ravni

Koeficijent a određuje smjer grana. Graf kvadratne funkcije je parabola. Koordinate vrha parabole nalaze se po formulama:

Svojstva funkcije:

2. Skup vrijednosti jednog od intervala: ili.

3. Funkcija uzima nulte vrijednosti kada , pri čemu se diskriminanta izračunava po formuli:.

4. Funkcija je kontinuirana u cijeloj domeni definicije i derivacija funkcije je jednaka .

Teorema o granici monotone funkcije. Dokaz teoreme je dat korištenjem dvije metode. Date su i definicije strogo rastuće, neopadajuće, strogo opadajuće i nerastuće funkcije. Definicija monotone funkcije.

Sadržaj

Funkcija nije ograničena odozgo

1.1. Neka je broj b konačan: .
1.1.2. Neka je funkcija neograničena odozgo.

.

u .

Označimo . Onda za bilo koji postoji , tako da
u .
To znači da je granica lijevo u tački b (pogledajte "Definicije jednostranih beskonačnih granica funkcije u krajnjoj točki").

b rano plus beskonačnost

Funkcija ograničena odozgo

1. Neka se funkcija ne smanjuje na intervalu .
1.2.1. Neka je funkcija odozgo ograničena brojem M : za .
Dokažimo da u ovom slučaju postoji granica.

Pošto je funkcija ograničena odozgo, postoji konačna gornja granica
.
Prema definiciji najmanje gornje granice, ispunjeni su sljedeći uslovi:
;
za svako pozitivno postoji argument za koji
.

Budući da se funkcija ne smanjuje, onda za . Zatim u . Or
u .

Tako smo otkrili da za bilo koji postoji broj , tako da
u .
"Definicije jednostranih granica u beskonačnosti").

Funkcija nije ograničena odozgo

1. Neka se funkcija ne smanjuje na intervalu .
1.2. Neka je broj b plus beskonačnost: .
1.2.2. Neka je funkcija neograničena odozgo.
Dokažimo da u ovom slučaju postoji granica.

Budući da funkcija nije ograničena odozgo, tada za bilo koji broj M postoji argument , za koji
.

Budući da se funkcija ne smanjuje, onda za . Zatim u .

Dakle, za bilo koji postoji broj , tako da
u .
To znači da je granica na (pogledajte "Definicije jednostranih beskonačnih granica u beskonačnosti").

Funkcija se ne povećava

Sada razmotrite slučaj kada se funkcija ne povećava. Možete, kao što je gore navedeno, razmotriti svaku opciju zasebno. Ali mi ćemo ih odmah pokriti. Za ovo koristimo. Dokažimo da u ovom slučaju postoji granica.

Razmotrimo konačnu donju granicu skupa vrijednosti funkcije:
.
Ovdje B može biti ili konačan broj ili beskonačna tačka. Prema definiciji egzaktnog infimuma, ispunjeni su sljedeći uslovi:
;
za bilo koju okolinu tačke B postoji argument za koji
.
Po uvjetu teoreme, . Zbog toga .

Budući da se funkcija ne povećava, onda za . Od tada
u .
Or
u .
Nadalje, primjećujemo da nejednakost definira lijevo probušeno susjedstvo tačke b.

Dakle, našli smo da za bilo koju okolinu tačke , postoji takva probušena lijeva okolina tačke b da
u .
To znači da je granica lijevo u tački b:

(vidi univerzalnu definiciju granice funkcije prema Cauchyju).

Ograničenje u tački a

Sada pokažimo da postoji granica u tački a i pronađimo njenu vrijednost.

Razmotrimo funkciju. Po uvjetu teoreme, funkcija je monotona za . Zamenimo promenljivu x sa - x (ili izvršimo supstituciju i zatim zamenimo varijablu t sa x). Tada je funkcija monotona za . Množenjem nejednakosti sa -1 i mijenjajući njihov redoslijed, zaključujemo da je funkcija monotona za .

Na sličan način, lako je pokazati da ako se ne smanjuje, onda se ne povećava. Zatim, prema onome što je gore dokazano, postoji granica
.
Ako se ne povećava, onda se ne smanjuje. U ovom slučaju postoji granica
.

Sada ostaje pokazati da ako postoji granica funkcije na , onda postoji granica funkcije na , a ove granice su jednake:
.

Hajde da uvedemo notaciju:
(1) .
Izrazimo f u terminima g:
.
Uzmi proizvoljan pozitivan broj. Neka postoji epsilon susjedstvo tačke A. Epsilon susjedstvo je definirano i za konačne i za beskonačne vrijednosti A (pogledajte "Okruženje tačke"). Pošto postoji granica (1), onda, prema definiciji granice, za bilo koje postoji takva da
u .

Neka je a konačan broj. Izrazimo lijevu probušenu okolinu tačke -a koristeći nejednačine:
u .
Zamenimo x sa -x i uzmimo u obzir sledeće:
u .
Posljednje dvije nejednakosti definiraju probijenu desnu okolinu tačke a . Onda
u .

Neka je a beskonačan broj, . Ponavljamo diskusiju.
at ;
at ;
at ;
u .

Dakle, otkrili smo da za bilo koje postoji takvo što
u .
To znači da
.

Teorema je dokazana.

Vidi također:

Lekcija i prezentacija na temu: "Svojstva funkcije. Povećanje i smanjenje funkcije"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, sugestije! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u internet prodavnici "Integral" za 9. razred
Interaktivni vodič za učenje za 9. razred "Pravila i vježbe iz geometrije"
Elektronski udžbenik "Razumljiva geometrija" za 7-9 razred

Ljudi, nastavljamo proučavati numeričke funkcije. Danas ćemo se fokusirati na temu kao što su svojstva funkcije. Funkcije imaju mnoga svojstva. Sjetite se koja svojstva smo nedavno proučavali. Tako je, obim i opseg, oni su jedno od ključnih svojstava. Nikada ne zaboravite na njih i zapamtite da funkcija uvijek ima ova svojstva.

U ovom dijelu ćemo definirati neka svojstva funkcija. Redoslijed kojim ćemo ih odrediti, preporučujem da se pridržavate prilikom rješavanja problema.

Funkcija rastuća i opadajuća

Prvo svojstvo koje ćemo definirati je povećanje i smanjenje funkcije.

Funkcija se naziva rastućom na skupu X⊂D(f) ako za bilo koje x1 i x2 takve da je x1< x2 - выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
Funkcija se naziva opadajućom na skupu X⊂D(f) ako za bilo koje x1 i x2 takve da je x1< x2 - выполняется неравенство f(x1)>f(x2). To jest, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

Koncepte "povećanje" i "smanjenje" funkcije vrlo je lako razumjeti ako pažljivo pogledate grafove funkcije. Za rastuću funkciju: nekako idemo uzbrdo, za opadajuću funkciju, odnosno idemo dolje. Opšti oblik Funkcije povećanja i smanjenja prikazane su na grafikonima ispod.

Povećanje i smanjenje funkcije općenito se naziva monotonost. Odnosno, naš zadatak je pronaći intervale opadajućih i rastućih funkcija. U opštem slučaju, ovo se formuliše na sledeći način: pronađite intervale monotonosti ili ispitajte monotonost funkcije.

Istražite monotonost funkcije $y=3x+2$.
Rješenje: Provjerite funkciju za bilo koje x1 i x2 i neka x1< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
Jer, x1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

Ograničenje funkcije

Kaže se da je funkcija $y=f(x)$ ograničena odozdo na skupu X⊂D(f) ako postoji broj a takav da je za bilo koji xϵX nejednakost f(x)< a.

Kaže se da je funkcija $y=f(x)$ ograničena odozgo na skupu X⊂D(f) ako postoji broj a takav da je za bilo koji xϵX nejednakost f(x)< a.

Ako interval X nije naznačen, onda se smatra da je funkcija ograničena na cijelom domenu definicije. Funkcija ograničena i odozgo i odozdo naziva se ograničenom.

Ograničenje funkcije je lako pročitati iz grafa. Moguće je nacrtati pravu liniju
$y=a$, a ako je funkcija viša od ove linije, onda je ograničena odozdo. Ako ispod, onda iznad. Ispod je graf niže ograničene funkcije. Raspored ograničena funkcija Ljudi, pokušajte da nacrtate sebe.

Istražite ograničenost funkcije $y=\sqrt(16-x^2)$.
Rješenje: Kvadratni korijen nekog broja je veći ili jednak nuli. Očigledno je i naša funkcija veća ili jednaka nuli, odnosno ograničena je odozdo.
Iz njega možemo izdvojiti samo kvadratni korijen nenegativan broj, zatim $16-x^2≥0$.
Rješenje naše nejednakosti će biti interval [-4;4]. Na ovom segmentu $16-x^2≤16$ ili $\sqrt(16-x^2)≤4$, ali to znači ograničenost odozgo.
Odgovor: naša funkcija je ograničena sa dva reda $y=0$ i $y=4$.

Najviša i najniža vrijednost

Najmanja vrijednost funkcije y= f(x) na skupu H⊂D(f) je neki broj m, takav da je:

b) Za bilo koji xϵX vrijedi $f(x)≥f(x0)$.

Najveća vrijednost funkcije y=f(x) na skupu H⊂D(f) je neki broj m, takav da je:
a) Postoji neki x0 takav da je $f(x0)=m$.
b) Za bilo koji xϵX, $f(x)≤f(x0)$ je zadovoljeno.

Najveća i najmanja vrijednost obično se označavaju sa y max. i y ime. .

Koncepti ograničenosti i najveće s najmanjom vrijednošću funkcije su usko povezani. Tačne su sljedeće tvrdnje:
a) Ako postoji najmanja vrijednost za funkciju, onda je ona ograničena odozdo.
b) Ako postoji maksimalna vrijednost za funkciju, onda je ona ograničena odozgo.
c) Ako funkcija nije ograničena odozgo, onda nema maksimalne vrijednosti.
d) Ako funkcija nije ograničena ispod, onda najmanja vrijednost ne postoji.

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Rješenje: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
Za $x=4$ $f(4)=5$, za sve ostale vrijednosti, funkcija uzima manje vrijednosti ili ne postoji, odnosno, ovo je najveća vrijednost funkcije.
Po definiciji: $9-4x^2+16x≥0$. Hajde da nađemo korene kvadratni trinom$(2x+1)(2x-9)≥0$. Na $x=-0.5$ i $x=4.5$ funkcija nestaje, u svim ostalim tačkama je veća od nule. Tada je, po definiciji, najmanja vrijednost funkcije nula.
Odgovor: y max. =5 i y min. =0.

Ljudi, također smo proučavali koncepte konveksnosti funkcije. Prilikom rješavanja nekih problema može nam zatrebati ova nekretnina. Ovo svojstvo se također lako utvrđuje pomoću grafova.

Funkcija je konveksna prema dolje ako su bilo koje dvije točke grafa izvorne funkcije povezane, a graf funkcije je ispod linije koja povezuje točke.

Funkcija je konveksna prema gore ako su bilo koje dvije točke grafa izvorne funkcije povezane, a graf funkcije je iznad linije koja povezuje točke.

Funkcija je kontinuirana ako graf naše funkcije nema diskontinuiteta, kao što je graf funkcije iznad.

Ako želite pronaći svojstva funkcije, redoslijed traženja svojstava je sljedeći:
a) Područje definicije.
b) Monotonija.
c) ograničenje.
d) Najveća i najmanja vrijednost.
e) Kontinuitet.
f) Raspon vrijednosti.

Pronađite svojstva funkcije $y=-2x+5$.
Rješenje.
a) Područje definicije D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotonija. Provjerimo bilo koje vrijednosti x1 i x2 i neka x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Jer x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) ograničenje. Očigledno, funkcija nije ograničena.
d) Najveća i najmanja vrijednost. Budući da funkcija nije ograničena, ne postoji maksimalna ili minimalna vrijednost.
e) Kontinuitet. Graf naše funkcije nema praznina, tada je funkcija kontinuirana.
f) Raspon vrijednosti. E(y)=(-∞;+∞).

Zadaci o svojstvima funkcije za nezavisno rješenje

Pronađite svojstva funkcije:
a) $y=2x+7$,
b) $y=3x^2$,
c) $y=\frac(4)(x)$.

Imajte na umu da sve definicije uključuju numerički skup X, koji je dio domene funkcije: X sa D(f). U praksi se najčešće javljaju slučajevi kada je X numerički interval (segment, interval, zraka itd.).

Definicija 1.

Funkcija y \u003d f (x) naziva se rastućom na skupu X sa D (f) ako je za bilo koje dvije točke x 1 i x 2 skupa X takve da je x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

Definicija 2.

Funkcija y \u003d f (x) naziva se opadajućom na skupu X sa D (f) ako je za bilo koju monotonost dvije točke x 1 i x 2 skupa X, tako da je x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f(x2).

U praksi je zgodnije koristiti sljedeće formulacije: funkcija se povećava ako veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije; funkcija se smanjuje ako veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

U 7. i 8. razredu koristili smo sljedeću geometrijsku interpretaciju pojmova rastućih ili opadajućih funkcija: krećući se po grafu rastuće funkcije slijeva nadesno, nekako se penjemo uz brdo (Sl. 55); krećući se duž grafika opadajuće funkcije s lijeva na desno, kao da se spuštamo niz brdo (sl. 56).
Obično se pojmovi „rastući funkcija“, „opadajuća funkcija“ objedinjuju zajedničkim nazivom monotonska funkcija, a proučavanje funkcije za povećanje ili smanjenje naziva se proučavanje funkcije za monotonost.

Napominjemo još jednu okolnost: ako se funkcija povećava (ili opada) u svom prirodnom domenu definicije, tada se obično kaže da se funkcija povećava (ili opada) - bez specificiranja set brojeva x.

Primjer 1

Ispitajte monotonost funkcije:

ali) y \u003d x 3 + 2; b) y \u003d 5 - 2x.

Rješenje:

a) Uzmite proizvoljne vrijednosti argumenta x 1 i x 2 i neka je x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

Posljednja nejednakost znači da je f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

Dakle, od x 1< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), što znači da je data funkcija opadajuća (na cijeloj brojevnoj pravoj).

Definicija 3.

Funkcija y - f(x) naziva se ograničenom odozdo na skupu X sa D (f) ako su sve vrijednosti funkcije na skupu X veće od nekog broja (drugim riječima, ako postoji broj m takav da je za bilo koju vrijednost x ê X nejednakost f( x) >m).

Definicija 4.

Funkcija y = f (x) naziva se ograničenom odozgo na skupu X sa D (f) ako su sve vrijednosti funkcije manje od određenog broja (drugim riječima, ako postoji broj M takav da za bilo koju vrijednost x ê X nejednakost f (x)< М).

Ako skup X nije specificiran, onda se pretpostavlja da je funkcija ograničena odozdo ili odozgo u cijeloj domeni definicije.

Ako je funkcija ograničena i odozdo i odozgo, onda se naziva ograničenom.

Ograničenost funkcije lako se čita iz njenog grafa: ako je funkcija ograničena odozdo, tada se njen graf u potpunosti nalazi iznad neke horizontalne linije y = m (Sl. 57); ako je funkcija ograničena odozgo, tada se njen graf u potpunosti nalazi ispod neke horizontalne linije y = M (slika 58).

Primjer 2 Istražite funkciju za ograničenost
Rješenje. S jedne strane, nejednakost je sasvim očigledna (po definiciji kvadratni korijen To znači da je funkcija ograničena odozdo. S druge strane, imamo i stoga
To znači da je funkcija ograničena odozgo. Sada pogledajte grafikon datu funkciju(Sl. 52 iz prethodnog stava). Ograničenost funkcije i odozgo i odozdo se prilično lako čita iz grafa.

Definicija 5.

Broj m naziva se najmanja vrijednost funkcije y = f (x) na skupu X C D (f), ako:

1) u X postoji takva tačka x 0 da je f(x 0) = m;

2) za sve x iz X ispunjena je nejednakost m>f(h 0).

Definicija 6.

Broj M naziva se najveća vrijednost funkcije y = f (x) na skupu X C D (f), ako:
1) u X postoji takva tačka x 0 da je f(x 0) = M;
2) za sve x iz X, nejednakost
Najniža vrijednost funkcije u 7. i 8. razredu označavamo simbolom y, a najveću - simbolom y.

Ako skup X nije specificiran, onda se podrazumijeva da se radi o pronalaženju najmanje ili najveće vrijednosti funkcije u cijeloj domeni definicije.

Sljedeće korisne izjave su prilično očigledne:

1) Ako funkcija ima Y, onda je ograničena odozdo.
2) Ako funkcija ima Y, onda je ograničena odozgo.
3) Ako funkcija nije ograničena ispod, onda Y ne postoji.
4) Ako funkcija nije ograničena odozgo, onda Y ne postoji.

Primjer 3

Pronađite najmanji i najveća vrijednost funkcije
Rješenje.

Sasvim je očigledno, pogotovo ako se pribjegne grafu funkcije (slika 52), da je = 0 (funkcija dostiže ovu vrijednost u tačkama x = -3 i x = 3), a = 3 (funkcija dostiže ova vrijednost u tački x = 0.
U 7. i 8. razredu spomenuli smo još dva svojstva funkcija. Prvi se zvao svojstvo konveksnosti funkcije. Smatra se da je funkcija konveksna nadole na intervalu X ako povezivanjem bilo koje dve tačke njenog grafa (sa apscisama od X) sa ravnim segmentom nalazimo da odgovarajući deo grafa leži ispod nacrtanog segmenta ( 59). kontinuitet Funkcija je konveksna nagore na intervalu X ako spajanjem bilo koje dvije tačke njenog grafa (sa apscisama od X) pravolinijskim segmentom nalazimo da odgovarajući dio grafika leži iznad nacrtanog segmenta (Sl. 60). ).

Drugo svojstvo - kontinuitet funkcije na intervalu X - znači da je graf funkcije na intervalu X kontinuiran, tj. nema uboda i skokova.

Komentar.

U stvari, u matematici je sve, kako kažu, "potpuno suprotno": graf funkcije se prikazuje kao puna linija (bez uboda i skokova) samo kada se dokaže kontinuitet funkcije. Ali formalna definicija kontinuiteta funkcije, koja je prilično složena i suptilna, još je izvan naših moći. Isto se može reći i za konveksnost funkcije. Raspravljajući o ova dva svojstva funkcija, nastavićemo da se oslanjamo na vizuelno-intuitivne reprezentacije.

Pogledajmo sada naše znanje. Prisjećajući se funkcija koje smo učili u 7. i 8. razredu, razjasnit ćemo kako izgledaju njihovi grafovi i navesti svojstva funkcije, pridržavajući se određenog reda, na primjer: domena definicije; monotono; ograničenje; , ; kontinuitet; raspon vrijednosti; konveksan.

Nakon toga će se pojaviti nova svojstva funkcija i lista svojstava će se u skladu s tim promijeniti.

1. Konstantna funkcija y \u003d C

Grafikon funkcije y \u003d C prikazan je na sl. 61 - prava linija, paralelna sa x-osi. Ovo je toliko nezanimljiva funkcija da nema smisla nabrajati njena svojstva.

Grafikon funkcije y \u003d kx + m je prava linija (sl. 62, 63).

Svojstva funkcije y \u003d kx + m:

1)
2) raste ako je k > 0 (slika 62), smanjuje se ako je k< 0 (рис. 63);

4) nema ni najveće ni najmanje vrednosti;
5) funkcija je kontinuirana;
6)
7) nema smisla govoriti o konveksnosti.

Graf funkcije y = kx 2 je parabola s vrhom u početku i s granama usmjerenim prema gore ako je k\u003e O (slika 64), a prema dolje ako je k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

Svojstva funkcije y - kx 2:

Za slučaj k > 0 (slika 64):

1) D(f) = (-oo,+oo);


4) = ne postoji;
5) kontinuirano;
6) E(f) = funkcija opada, a na intervalu , opada na zraku;
7) konveksan prema gore.

Grafikon funkcije y \u003d f (x) gradi se tačku po tačku; što više tačaka oblika (x; f (x)) uzmemo, dobijamo tačniju ideju o grafu. Ako uzmemo puno ovih tačaka, onda će ideja grafa biti potpunija. U ovom slučaju nam intuicija govori da graf treba nacrtati kao punu liniju (u ovom slučaju kao parabolu). A onda, čitajući graf, donosimo zaključke o kontinuitetu funkcije, o njenoj konveksnosti prema dolje ili prema gore, o rasponu funkcije. Morate shvatiti da su od navedenih sedam svojstava samo svojstva 1), 2), 3), 4) "legitimna" u smislu da smo u mogućnosti da ih potkrijepimo, pozivajući se na precizne definicije. Imamo samo vizualno-intuitivne predstave o preostalim svojstvima. Usput, u tome nema ništa loše. Iz istorije razvoja matematike poznato je da je čovečanstvo često i dugo koristilo različita svojstva određenih objekata, ne znajući precizne definicije. Onda, kada su takve definicije mogle da se formulišu, sve je došlo na svoje mesto.

Grafikon funkcije je hiperbola, a koordinatne ose služe kao asimptote hiperbole (sl. 66, 67).

1) D(f) = (-00.0)1U (0.+oo);
2) ako je k > 0, tada funkcija opada na otvorenom zraku (-oo, 0) i na otvorenom zraku (0, +oo) (Sl. 66); ako da< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) nije ograničen ni odozdo ni odozgo;
4) nema ni najmanjih ni najvećih vrednosti;
5) funkcija je kontinuirana na otvorenom zraku (-oo, 0) i na otvorenom zraku (0, +oo);
6) E(f) = (-oo, 0) U (0, + oo);
7) ako je k > 0, tada je funkcija konveksna prema gore na x< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, tj. na otvorenoj gredi (0, +oo) (Sl. 66). Ako da< 0, то функция выпукла вверх при х >o i konveksan prema dolje na x< О (рис. 67).
Graf funkcije je grana parabole (slika 68). Svojstva funkcije:
1) D(f) = , raste na zraku )