U slučajevima kada je parcela Mz 1 (ili Mz) je ograničen pravim linijama. U suštini, ovo je metoda grafsko-analitičkog proračuna definitivni integral iz proizvoda dviju funkcija f(x) i φ (x), od kojih jedan, na primjer φ (x), linearno, tj. ima oblik

Razmotrimo presjek grede unutar kojeg je dijagram momenata savijanja od jednog opterećenja ograničen na jednu pravu liniju Mz 1 = kx+ b, a moment savijanja od datog opterećenja mijenja se prema nekom proizvoljnom zakonu Mz. Zatim unutar ovog regiona

Drugi integral je površina ω dijagrami Mz u području koje se razmatra, a prvi je statički moment ove površine u odnosu na osu y i stoga je jednak proizvodu površine ω na koordinatu njegovog centra gravitacije xc. Na ovaj način,

.

Evo kxc+ b- ordinata yc dijagrami Mz 1 ispod težišta područja ω . shodno tome,

.

Posao ω yc biće pozitivna kada ω i yc nalaze se na jednoj strani ose grafikona, a negativne ako su na suprotnim stranama ove ose.

Dakle, do Vereshchagin metoda operacija integracije je zamijenjena množenjem površine ω jedan dijagram po ordinati yc drugi (nužno linearni) dijagram, uzet ispod težišta područja ω .

Važno je uvijek imati na umu da je takvo "množenje" dijagrama moguće samo u dijelu ograničenom jednom ravnom linijom dijagrama iz koje se uzima ordinata yc. Stoga, pri proračunu pomaka presjeka grede po Vereshchagin metodi, Mohrov integral po cijeloj dužini grede mora se zamijeniti zbrojem integrala po presjecima unutar kojih dijagram momenata od jednog opterećenja nema pregiba. Onda

.

Za uspješnu primjenu Vereščaginove metode potrebno je imati formule po kojima se mogu izračunati površine ω i koordinate xc njihovih centara gravitacije. Dato u tabeli. 8.1 podaci zadovoljavaju samo najviše jednostavnim slučajevima opterećenje zrakama. Međutim, složeniji dijagrami momenata savijanja mogu se raščlaniti na jednostavne figure, područja ω i, i koordinate yci koji su poznati, a zatim pronađite proizvod ω yc za tako složen dijagram zbrajanjem proizvoda površina ω i njegove dijelove na njihove odgovarajuće koordinate yci. Ovo se objašnjava činjenicom da je dekompozicija množevog dijagrama na dijelove ekvivalentna predstavljanju funkcije Mz(x) u integralu (8.46) kao zbir integrala. U nekim slučajevima, konstrukcija slojevitih dijagrama pojednostavljuje proračune, tj. spoljne sile i parovi odvojeno.

Ako obje parcele Mz i Mz 1 linearni, konačni rezultat njihovo množenje ne ovisi o tome da li se površina prvog dijagrama množi s ordinatom drugog ili, obrnuto, površina drugog s ordinatom prvog.

Za praktični proračun pomaka prema Vereshchagin metodi potrebno je:

1) izgraditi dijagram momenata savijanja od datog opterećenja (glavni dijagram);

3) izgraditi dijagram momenata savijanja od jednog opterećenja (single diagram);

4) podijeliti dijagrame zadatih opterećenja u zasebne oblasti ω i i izračunaj ordinate yCi jedan dijagram ispod centara gravitacije ovih područja;

5) komponovati delo ω iyCi i sumirati ih.

Tabela 8.1.

Vrsta parcele Mz	Square ω	Koordinata centra gravitacije xc
(*) - Ove formule nisu važeće za takav slučaj učitavanja

EE "BSUIR"

Katedra za inženjersku grafiku

“ODREĐIVANJE KRETANJA METODOM MORA. VERESCHAGINOVO PRAVILO"

MINSK, 2008

Razmislite sada opšta metoda detekcija pomaka, pogodna za bilo koji linearno deformabilni sistem pod bilo kojim opterećenjem. Ovu metodu je predložio istaknuti njemački naučnik O. Mohr.

Neka je, na primjer, potrebno odrediti vertikalni pomak tačke A grede prikazane na sl. 7.13, a. Zadato (opterećenje) stanje će biti označeno slovom k. Odaberimo pomoćno stanje iste grede sa jedinicom

sila koja djeluje u tački A iu smjeru željenog kretanja. Pomoćno stanje će biti označeno slovom i (sl. 7.13,6).

Izračunajmo rad vanjskih i unutrašnje sile pomoćno stanje na pomake uzrokovane djelovanjem sila stanja tereta.

Rad vanjskih sila bit će jednak proizvodu jedinične sile i željenog pomaka ya

a rad unutrašnjih sila u apsolutnoj vrijednosti jednak je integralu

(1)

Formula (7.33) je Mohrova formula (Mohrov integral), koja omogućava određivanje pomaka u bilo kojoj tački linearno deformabilnog sistema.

U ovoj formuli, integrand MiMk je pozitivan ako oba momenta savijanja imaju isti predznak, a negativan ako Mi i Mk imaju različiti znakovi.

Ako bismo odredili ugaoni pomak u tački A, tada bi u stanju i u tački A trebalo primijeniti moment jednak jedan (bez dimenzije).

Označavajući slovom Δ bilo koji pomak (linearni ili kutni), zapisujemo Mohrovu formulu (integral) u obliku

(2)

U opštem slučaju, analitički izraz za Mi i Mk može biti različit u različitim presjecima grede ili općenito u elastičnom sistemu. Stoga, umjesto formule (2), treba koristiti opštiju formulu

(3)

Ako šipke sistema ne rade na savijanje, već na napetost (kompresiju), kao, na primjer, u rešetkama, tada Mohrova formula ima oblik

(4)

U ovoj formuli, proizvod NiNK je pozitivan ako su obje sile vlačne ili su obje tlačne. Ako šipke istovremeno rade i na savijanje i na napetost (kompresiju), tada se u običnim slučajevima, kako pokazuju uporedni proračuni, pomaci mogu odrediti uzimajući u obzir samo momente savijanja, budući da je utjecaj uzdužnih sila vrlo mali.

Iz istih razloga, kao što je ranije navedeno, u običnim slučajevima, utjecaj posmičnih sila može se zanemariti.

Umjesto direktnog izračunavanja Mohrovog integrala, možete koristiti grafsko-analitičku tehniku ​​"metoda množenja dijagrama" ili Vereshchaginovo pravilo.

Razmotrimo dva dijagrama momenata savijanja, od kojih jedan Mk ima proizvoljan oblik, a drugi Mi je pravolinijski (slika 7.14, a i b).

(5)

Vrijednost MKdz je elementarna površina dωk Mk dijagrama (osenčena na slici). Na ovaj način,

(6)

shodno tome,

(8)

Ali predstavlja statički moment površine dijagrama Mk u odnosu na neku os y koja prolazi kroz tačku O, jednak ωkzc, gdje je ωk površina dijagrama momenata; zc je udaljenost od y-ose do centra gravitacije dijagrama Mk. Iz crteža se vidi da

gdje je Msi ordinata dijagrama Mi, koja se nalazi ispod težišta dijagrama Mk (ispod tačke C). shodno tome,

(10)

tj. željeni integral jednak je proizvodu površine dijagrama Mk (bilo kojeg u obrisu) i ordinate pravolinijskog dijagrama Msi koji se nalazi ispod njegovog težišta. Vrijednost ωkMsi smatra se pozitivnom ako se oba dijagrama nalaze na istoj strani štapa, a negativnom ako se nalaze na različitim stranama. Pozitivan rezultat množenja dijagrama znači da se smjer kretanja poklapa sa smjerom jedinične sile (ili momenta).

Mora se imati na umu da se Msi ordinata nužno uzima u pravolinijskom dijagramu. U posebnom slučaju kada su oba dijagrama pravolinijska, moguće je pomnožiti površinu bilo kojeg od njih odgovarajućom ordinatom drugog.

Za šipke promjenjivog poprečnog presjeka, Vereščaginovo pravilo množenja dijagrama nije primjenjivo, jer u ovom slučaju više nije moguće izvaditi vrijednost EJ ispod predznaka integrala. U ovom slučaju treba izraziti EJ kao funkciju apscise presjeka, a zatim izračunati Mohrov integral (1).

Sa postepenim promjenom krutosti štapa, integracija (ili množenje dijagrama) se vrši za svaki odsječak posebno (sa vlastitom vrijednošću EJ), a zatim se rezultati sumiraju.

U tabeli. 1 prikazane su vrijednosti površina nekih od najjednostavnijih dijagrama i koordinate njihovog centra gravitacije.

Tabela 1

Vrsta parcele	Površina parcele	Udaljenost do centra gravitacije

Da biste ubrzali proračune, možete koristiti gotove tablice množenja za dijagrame (Tablica 2).

U ovoj tabeli, u ćelijama na preseku odgovarajućih elementarnih dijagrama, dati su rezultati množenja ovih dijagrama.

Prilikom raščlanjivanja složenog dijagrama na elementarne, prikazane u tabeli. 1 i 7.2, treba imati na umu da se parabolički dijagrami dobivaju djelovanjem samo jednog raspoređenog opterećenja.

U slučajevima kada se zakrivljeni presjeci u složenom dijagramu dobijaju istovremenim djelovanjem koncentriranih momenata, sila i ravnomjerno raspoređenog opterećenja, da bi se izbjegle greške, složeni dijagram prvo treba „stratificirati“, odnosno podijeliti ga na niz nezavisnih dijagrama: od djelovanja koncentriranih momenata, sila i od djelovanja jednoliko raspoređenog opterećenja.

Možete primijeniti i drugu tehniku ​​koja ne zahtijeva stratifikaciju dijagrama, već samo zahtijeva odabir zakrivljenog dijela dijagrama duž tetive koja povezuje njegove krajnje tačke.

Obje metode ćemo pokazati na konkretnim primjerima.

Neka je, na primjer, potrebno odrediti vertikalni pomak lijevog kraja grede (slika 7.15).

Ukupni dijagram opterećenja prikazan je na sl. 7.15 a.

Tabela 7.2

Dijagram djelovanja jedinične sile u tački A prikazan je na sl. 7.15, grad

Za određivanje vertikalnog pomaka u tački A potrebno je pomnožiti dijagram opterećenja sa dijagramom jedinične sile. Međutim, napominjemo da je u presjeku BC ukupnog dijagrama krivolinijski dijagram dobiven ne samo djelovanjem ravnomjerno raspoređenog opterećenja, već i djelovanjem koncentrisane sile P. Kao rezultat toga, u presjeku BC postoji više neće biti elementarni parabolički dijagram dat u tabelama 7.1 i 7.2, već u suštini složen dijagram za koji podaci u ovim tabelama nisu validni.

Stoga je potrebno složeni dijagram podijeliti prema sl. 7.15, i na elementarnim dijagramima prikazanim na sl. 7.15b i 7.15c.

Zemljište prema sl. 7.15, b je dobijen samo iz koncentrisane sile, dijagram prema sl. 7.15, c - samo od djelovanja ravnomjerno raspoređenog opterećenja.

Sada možete množiti dijagrame koristeći tabelu. 1 ili 2.

Da biste to učinili, potrebno je pomnožiti trokutasti dijagram prema sl. 7.15, b na trouglastoj parceli prema sl. 7.15, d i tome dodajte rezultat množenja paraboličkog dijagrama na sl. 7.15, na trapezoidnom dijagramu BC presjeka prema sl. 7.15, d, pošto su u preseku AB ordinate dijagrama prema sl. 7.15, jednaki su nuli.

Pokažimo sada drugi način množenja dijagrama. Razmotrite ponovo dijagram na sl. 7.15 a. Uzimamo ishodište u sekciji B. Pokažimo da se unutar krive LMN momenti savijanja mogu dobiti kao algebarski zbir momenata savijanja koji odgovaraju pravoj liniji LN i momenata savijanja paraboličkog dijagrama LNML, isto kao i za jednostavna greda dužine a, opterećena jednoliko raspoređenim opterećenjem q:

Najveća ordinata u sredini će biti .

Da bismo to dokazali, zapisujemo stvarni izraz za moment savijanja u presjeku na udaljenosti z od tačke B

(ALI)

Napišimo sada izraz za moment savijanja u istom preseku, dobijen kao algebarski zbir ordinata prave LN i parabole LNML.

Jednačina prave LN

gdje je k nagib ove prave linije

Dakle, jednadžba momenata savijanja dobijena kao algebarski zbir jednačine prave LN i parabole LNMN ima oblik

što je isto kao izraz (A).

Kada množite dijagrame prema pravilu Vereščagina, trebali biste pomnožiti BLNC trapez sa trapezom iz jednog dijagrama u BC presjeku (vidi sliku 7.15, d) i oduzeti rezultat množenja LNML paraboličkog dijagrama (površine) istim trapeza iz jednog dijagrama. Ova metoda slojevitog dijagrama je posebno korisna kada se zakrivljeni dio dijagrama nalazi na jednom od srednjih dijelova grede.

Primjer 7.7. Odrediti vertikalni i kutni pomak konzolne grede na mjestu primjene opterećenja (slika 7.16).

Rješenje. Izrađujemo dijagram momenata savijanja za stanje tereta (slika 7.16, a).

Za određivanje vertikalnog pomaka odabiremo pomoćno stanje grede s jediničnom silom u mjestu primjene opterećenja.

Iz ove sile gradimo dijagram momenata savijanja (slika 7.16, b). Određujemo vertikalno kretanje po Mohr metodi

Vrijednost momenta savijanja od opterećenja

Vrijednost momenta savijanja iz jedinične sile

Ove vrijednosti MP i Mi zamjenjujemo pod predznakom integrala i integriramo

Isti rezultat je prethodno dobijen na drugačiji način.

Pozitivna vrijednost otklona pokazuje da se točka primjene opterećenja P pomiče prema dolje (u smjeru jedinične sile). Kada bismo jediničnu silu usmjerili odozdo prema gore, tada bismo imali Mi = 1z i kao rezultat integracije dobili bismo otklon sa predznakom minus. Znak minus bi pokazao da kretanje nije gore, nego dole, kao što je u stvarnosti.

Sada izračunavamo Mohrov integral množenjem dijagrama prema Vereščaginovom pravilu.

Budući da su oba dijagrama pravolinijska, nije važno s kojeg dijagrama uzeti površinu, a iz kojeg uzeti ordinatu.

Površina dijagrama tereta je jednaka

Težište ovog dijagrama nalazi se na udaljenosti od 1/3l od završetka. Određujemo ordinatu dijagrama momenata iz jedinične sile, koja se nalazi ispod

težište dijagrama tereta. Lako je provjeriti da je jednak 1/3l.

Shodno tome.

Isti rezultat se dobija iz tabele integrala. Rezultat množenja dijagrama je pozitivan, jer se oba dijagrama nalaze na dnu trake. Posljedično, tačka primjene opterećenja se pomjera naniže, odnosno duž prihvaćenog smjera jedinične sile.

Za određivanje kutnog pomaka (kut rotacije) odabiremo pomoćno stanje grede, u kojem na kraju grede djeluje koncentrirani moment jednak jedan.

Za ovaj slučaj gradimo dijagram momenata savijanja (slika 7.16, c). Ugaoni pomak određujemo množenjem dijagrama. Dijagram površine tereta

Ordinate dijagrama iz jednog momenta svuda su jednake jedan. Dakle, željeni ugao rotacije preseka je jednak

Budući da se oba dijagrama nalaze na dnu, rezultat množenja dijagrama je pozitivan. Dakle, krajnji dio grede rotira u smjeru kazaljke na satu (u smjeru jednog trenutka).

Primjer: Odredite otklon u tački D Mohr-Vereshchagin metodom za gredu prikazanu na sl. 7.17..

Rješenje. Gradimo slojeviti dijagram momenata od opterećenja, odnosno gradimo zasebne dijagrame od djelovanja svakog opterećenja. U ovom slučaju, radi praktičnosti množenja dijagrama, preporučljivo je izgraditi slojevite (elementarne) dijagrame u odnosu na presjek, čiji je otklon u ovom slučaju određen u odnosu na presjek D.

Na sl. 7.17, a prikazuje dijagram momenata savijanja od reakcije A (presjek AD) i od opterećenja P = 4 T (presjek DC). Parcele su građene na komprimovanom vlaknu.

Na sl. 7.17, b prikazani su dijagrami momenata iz reakcije B (presjek BD), iz lijevog ravnomjerno raspoređenog opterećenja (presjek AD) i iz ravnomjerno raspoređenog opterećenja koje djeluje na presjek BC. Ovaj dijagram je prikazan na sl. 7.17, b u dijelu DC odozdo.

Zatim biramo pomoćno stanje grede, za koje u tački D, gdje je određen otklon, primjenjujemo jediničnu silu (slika 7.17, c). Dijagram momenata iz jedinične sile prikazan je na sl. 7.17, d. Sada množimo dijagrame od 1 do 7 dijagramima 8 i 9, koristeći tablice množenja dijagrama, uzimajući u obzir predznake.

U ovom slučaju, dijagrami koji se nalaze na jednoj strani grede množe se sa znakom plus, a dijagrami koji se nalaze na suprotnim stranama grede množe se sa znakom minus.

Kada pomnožimo parcelu 1 i parcelu 8, dobijamo

Pomnožimo plot 5 sa pločom 8, dobijamo

Množenje parcela 2 i 9 daje

Pomnožite dijagrame 4 i 9

Pomnožite dijagrame 6 i 9

Sumirajući rezultate množenja dijagrama, dobijamo

Znak minus pokazuje da se tačka D ne pomiče naniže, kako je jedinična sila usmjerena, već prema gore.

Isti rezultat je dobijen ranije za univerzalna jednačina.

Naravno, u ovom primjeru je bilo moguće stratificirati dijagram samo u sekciji AD, pošto je u sekciji DB ukupni dijagram pravolinijski i nema potrebe za stratifikacijom. U presjeku BC, raslojavanje nije potrebno, jer je dijagram jednak nuli od jedinične sile u ovom dijelu. Stratifikacija dijagrama u presjeku BC neophodna je da bi se odredio otklon u tački C.

Primjer. Odredite vertikalne, horizontalne i ugaone pomake preseka A slomljenog štapa prikazanog na sl. 7.18, a. Krutost presjeka vertikalnog presjeka šipke - EJ1 krutost presjeka horizontalnog presjeka - EJ2.

Rješenje. Izrađujemo dijagram momenata savijanja od opterećenja. To je prikazano na sl. 7.18b (vidi primjer 6.9). Da bismo odredili vertikalni pomak preseka A, biramo pomoćno stanje sistema, prikazano na Sl. 7.18, c. U tački A, jedinična vertikalna sila se primjenjuje prema dolje.

Dijagram momenata savijanja za ovo stanje prikazan je na Sl. 7.18, c.

Vertikalno kretanje određujemo po Mohr metodi, metodom množenja dijagrama. Od dalje vertikalna šipka u pomoćnom stanju, M1 dijagram je odsutan, tada množimo samo dijagrame koji se odnose na horizontalnu šipku. Iz teretnog stanja uzimamo površinu parcele, a iz pomoćnog stanja ordinatu. Vertikalno kretanje je

Budući da se oba dijagrama nalaze na dnu, rezultat množenja uzimamo sa znakom plus. Shodno tome, tačka A se pomera naniže, odnosno na isti način na koji je usmerena jedinična vertikalna sila.

Da bismo odredili horizontalni pomak tačke A, biramo pomoćno stanje s horizontalnom jediničnom silom usmjerenom ulijevo (slika 7.18, d). Na istom mjestu je prikazana radnja momenata za ovaj slučaj.

Pomnožimo dijagrame MP i M2 i dobijemo

Rezultat množenja dijagrama je pozitivan, jer se pomnoženi dijagrami nalaze na istoj strani štapova.

Da bismo odredili ugaoni pomak, biramo pomoćno stanje sistema prema sl. 7.18.5 i nacrtajte momente savijanja za ovo stanje (na istoj slici). Množimo dijagrame MP i M3:

Rezultat množenja je pozitivan, jer se pomnoženi dijagrami nalaze na jednoj strani.

Stoga se dio A rotira u smjeru kazaljke na satu

Isti rezultati bi se dobili korištenjem tabela
množenje dijagrama.

Pogled na deformisanu šipku je prikazan na sl. 7.18, e, dok su pomaci znatno povećani.

LITERATURA

Feodosiev V.I. Čvrstoća materijala. 1986

Belyaev N.M. Čvrstoća materijala. 1976

Kraskovsky E.Ya., Druzhinin Yu.A., Filatova E.M. Proračun i projektovanje mehanizama uređaja i računarskih sistema. 1991

Rabotnov Yu.N. Mehanika deformabilnog čvrsto telo. 1988

Stepin P.A. Čvrstoća materijala. 1990

A njegove rukom pisane beleške završile su u rukama službenika Posolskog prikaza, od koga su i primljene. Ostali biografski podaci izvučeni su samo iz teksta samog putovanja. Zašto je Afanasy Nikitin svoje djelo nazvao "Putovanje iza tri mora"? Sam autor nam daje odgovor na ovo pitanje: „Evo, napisao sam svoje grešno „Putovanje iza tri mora“, 1. more ​Derben (Kaspij), dorija...

Napominje da bi neizostavan uslov za realizaciju svakog komunikativnog čina trebalo da bude „međusobno poznavanje stvarnosti govornika i slušaoca, što je osnova jezičke komunikacije“, u lingvistici su dobili naziv „pozadinsko znanje“. Prema njenoj ispravnoj primjedbi, „značenje riječi upotrijebljene u datom maternjem jeziku da označi takve potpuno različite sa stanovišta srednjoevropske kulture...

Za grede i sisteme šipki koje se sastoje od ravnih šipki, unutrašnje sile pojedinačnih stanja N k , M k i Qk su linearne funkcije ili po cijeloj dužini svakog štapa, ili u njegovim pojedinačnim dijelovima. Unutrašnje snage stanja tereta Np, M R i QP može imati proizvoljne zakone promjene duž dužine štapova. Ako grede i šipke imaju stalnu ili stepenasto stalnu krutost EF, EJ i gf, tada se izračunavanje integrala u Mohrovoj formuli može izvršiti pomoću dijagrama unutrašnjih sila.

Razmotrimo, na primjer, dijagrame momenata savijanja GOSPODIN i M to u ravnoj šipki konstantne krutosti (slika 8.31). kargo dijagram GOSPODIN je proizvoljan, i jedan dijagram M do - linearno. Polazište koordinata postavljamo u tačku preseka linije dijagrama M to sa osovinom Oh. Istovremeno, moment savijanja M to izmjene zakona M k = xtga. Uzimajući konstantnu vrijednost tga/EU u formuli (8.22) iz predznaka integrala i integrirajući po dužini štapa, dobijamo

Vrijednost M P dx = dQ. P je element površine kargo dijagrama Gospodin. U ovom slučaju, sam integral se može smatrati statičkim momentom područja dijagrama GOSPODIN oko ose OU, koji je

gdje Q.p- površina parcele x s - apscisa njenog centra gravitacije. S obzirom da je x c ​​tga = u s, dobijamo konačan rezultat:

gdje u s - ordinate u linijskoj parceli M to ispod težišta područja krivolinijskog dijagrama M p ( pirinač. 8.31).

Metoda izračunavanja integrala u Mohrovoj formuli pomoću formule (8.23) naziva se Vereščaginovo pravilo ili pravilo "množenja" dijagrama. Prema formuli (8.23), rezultat "množenja" dva dijagrama jednak je proizvodu površine nelinearnog dijagrama na ordinatu ispod njegovog težišta u linearnom dijagramu. Ako su oba dijagrama u području koje se razmatraju linearna, tada prilikom "množenja" možete uzeti površinu bilo kojeg od njih. Rezultat "množenja" jednoznačnih dijagrama je pozitivan, a onih različitih vrijednosti - negativan.

Rezultat "množenja" dva trapeza (slika 8.32) može se predstaviti kao sljedeća formula:

Kada se koristi pravilo Vereshchagina, složeni dijagrami moraju se podijeliti na jednostavne figure, za koje su poznati područje i položaj centra gravitacije. Najčešće su pregradni elementi trokuti i kvadratne parabole (u slučaju ravnomjerno raspoređenih opterećenja). Primjeri dijagrama podjele prikazani su na sl. 8.33.

Trapezi s jednom ili više vrijednosti mogu se podijeliti na dva trokuta (slika 8.33, a). Kvadratna parabola sa ordinatama a i b na početku i na kraju presjeka, podijeljen je na dva jednoznačna ili višeznačna trokuta i kvadratnu parabolu sa nultim početnim i konačnim vrijednostima (slika 8.33, b). Njegova površina je određena formulom

gdje q- intenzitet jednoliko raspoređenog opterećenja.

Vereščaginovo pravilo se ne može primijeniti kada su oba dijagrama nelinearna (na primjer, za šipke sa krivolinijskom osom), kao i za šipke promjenjive krutosti EJ. U ovom slučaju, pri određivanju pomaka po Mohr metodi, analitički odn numerički proračun integrali u formuli (8.20).

Primjer 8.7. Za konzolnu gredu stalne krutosti EJ= const (slika 8.34, a) odrediti otklon u presjeku AT i ugao rotacije sekcije OD.

Napravimo dijagram momenata savijanja GOSPODIN od dejstva datih opterećenja (slika 8.34, b). Za određivanje potrebnih pomaka primjenjujemo se u odjeljku AT jedinična snaga R\u003d 1, u odjeljku C - jedan trenutak M= 1 i konstruisati jedinične dijagrame M, i M 2(Sl. 8.34, c, d). kargo dijagram M str na drugom dijelu dijelimo ga na trokut i kvadratnu parabolu.

"Množimo" dijagrame tereta i jedinica među sobom koristeći Vereshchaginovo pravilo. Prilikom "množenja" dijagrama M str i M x za prvo učešće koristimo formulu (8.24). Kao rezultat proračuna dobijamo:

Smjerovi pomaka se poklapaju sa smjerovima djelovanja pojedinačnih opterećenja. Otklon grede u presjeku AT prema dolje, a dio C rotira u smjeru kazaljke na satu.

Primjer 8.8. Za zglobnu gredu stalne krutosti (slika 8.35, a) odrediti otklon u presjeku Xi, ugao rotacije presjeka AT.

kargo dijagram M str prikazano na sl. 8.35 sati b. Primijenimo jediničnu silu u presjeku C, u presjeku AT - jedan trenutak i izgraditi pojedinačne dijagrame M x i M 2(Sl. 8.35, c, d)."Množenje" dijagrama tereta M str sa pojedinačnim dijagramima nalazimo tražene pomake:

Prilikom "množenja" dijagrama u drugom dijelu korištena je formula (8.24). presjek AT

Primjer 8.9. Za zglobnu gredu sa konzolom konstantne krutosti (sl. 8.36, a) odrediti otklon u presjeku C i ugao rotacije presjeka D.

Hajde da definišemo reakcije podrške od djelovanja datih opterećenja:

Napravimo kargo dijagram M str(Sl. 8.36, b). Odgovarajući pojedinačni dijagrami su prikazani na jHa sl. 8.36 in, G."Množenje" zapleta GOSPODIN sa dijagramima M x i M 2, pronađite potrebne pomake:

presjek OD pomiče se gore, odsjek D rotira suprotno od kazaljke na satu.

Primjer 8.10. Za gredu stepenaste konstantne krutosti sa srednjom šarkom (slika 8.37, a) odrediti međusobni ugao rotacije i otklona u presjeku AT.

Razbijmo gredu na ležajeve i noseće dijelove (sl. 8.37, b) i odrediti reakcije potpore za gredu LV

kargo dijagram M str a odgovarajući pojedinačni dijagrami su prikazani na sl. 8.37 in, g, d. Imajte na umu da se za određivanje međusobnog kuta rotacije sekcija u srednjem šarku primjenjuje upareni pojedinačni moment (lijevo i desno od šarke).

"Množenje" zapleta GOSPODIN sa pojedinačnim dijagramima i uzimajući u obzir postepenu promjenu krutosti u područjima AB i sunce, nađi:

Primjer 8.11. Za konzolni okvir sa šipkama različite krutosti (slika 8.38, i) određujemo vertikalne i horizontalne pomake tačke C i ugao rotacije presjeka AT.

Dijagram Minimalna plata vanjsko opterećenje je prikazano na sl. 8.38, b. Utjecaj uzdužnih i poprečnih sila se ne uzima u obzir pri određivanju pomaka.

Parcele M x, M 2 i M 3 od jediničnih sila i momenta primijenjenih u presjecima OD i AT, prikazano na sl. 8.38, c, d, d."Množenje" dijagrama tereta M str sa pojedinačnim dijagramima unutar dužine svakog štapa određujemo potrebne pomake:

Rotacija sekcije AT odvija se u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Horizontalni pomak tačke C je nula.

Primjer 8.12. Za zglobni okvir sa šipkama različite krutosti (sl. 8.39, a) definirati vertikalni pomak tačke C i horizontalni pomak tačke AT.

Definirajmo reakcije podrške:

Opterećenje i odgovarajući pojedinačni dijagrami prikazani su na Sl. 8.39 b, c, d."Množenjem" dijagrama unutar dužine svakog štapa, nalazimo:

U zaključku predstavljamo vrijednosti otklona i uglova rotacije za konzolne i zglobne grede pri jednostavnim opterećenjima.

Definicija pokreta. O. Mohrova metoda u kombinaciji sa Simpsonovom metodom (formula)

Za definiranje bilo kojeg kretanja (linearnog ili kutnog) u Mohrovoj metodi greda se razmatra u dva stanja: stvarnom i pomoćnom. Pomoćno stanje dobije se na sljedeći način: prvo se mora ukloniti cjelokupno zadato opterećenje, zatim primijeniti „faktor jedinične sile“ na mjestu gdje je potrebno odrediti pomak, a u smjeru tog željenog pomaka. Štaviše, kada definišemo linearno kretanje (otklon snopa), tada se kao "faktor jedne sile" uzima koncentrisane sile, i ako želite pronaći ugao rotacije, onda se trebate prijaviti koncentrisan par.

Nadalje, u istom proizvoljnom dijelu oba stanja (odnosno i realnog i pomoćnog) sastavljaju se analitički izrazi za moment savijanja, koji se supstituiraju u formulu tzv. "Mohr integral":

gdje: znak Σ širi se dalje sve stranice grede,

a EI – savijanje rigidnost Lokacija uključena.

U mnogim slučajevima Mohrova integracija se može izbjeći i primeniti metod "množenje" dijagrama. Jedan od ovih načina je Simpson way, preko koje je vrijednost Mohrovog integrala na dijelu dužine ℓ izračunato od strane sledeća formula:

Ovdje je označeno: a, b i With - ekstremne i prosječne ordinate dijagrama momenata savijanja stvarnog stanja M,

su krajnje i srednje ordinate dijagrama momenta savijanja, ali samo pomoćno stanje.

Pravilo potpisa: ako se obje "pomnožene" ordinate nalaze u dva dijagrama na jednoj strani ose parcele (odnosno, istog su predznaka), tada ispred njihovog proizvoda moramo staviti znak "plus: šta ako oni na različitim stranama od ose parcele, onda stavljamo znak ispred dela "oduzeti".

Treba imati na umu da su metode "množenja" dijagrama (pored Simpsonove metode poznate i Vereshchaginova metoda) primjenjuju se samo ako postoje dva uslova:

1. Krutost grede na savijanje u razmatranom području treba biti konstantna (EI= Konst),
2. Jedan od dva dijagrama momenta u ovom dijelu bi trebao biti nužno linearno. U ovom slučaju, oba dijagrama ne bi trebala imati fraktura.

Ako postoji više lokacija na gredi koja zadovoljava ova dva uslova, formula za određivanje pomaka ima oblik:

Ako je rezultat kalkulacije ispada pozitivno, dakle, smjer željenog kretanja poklapa se sa smjerom "jedinstvenog faktora sile"(), a ako je rezultat negativan, tada se željeno kretanje događa u smjeru suprotnom ovom faktoru.

Simpsonova formula, napisana u terminima momente, izgleda ovako: pomaci (otklon ili ugao rotacije) su jednaki

gdje li – dužina sekcije;

EIi – krutost grede Location on;

M F – vrijednosti momenata savijanja iz dijagrama opterećenja, odnosno parcela;

– vrijednosti momenata savijanja iz jednog dijagrama, respektivno na početku, sredini i kraju site.

Prilikom množenja dijagrama bit će korisno odrediti ordinatne krive momenata savijanja:

, gdje

Zadatak

Odrediti ugao rotacije presjeka na lijevom osloncu φ ALI

1) Pronađite podržavaju reakcije stvarnog stanja .

2) Zgrada dijagram momenata stvarnog stanjaM.

3) Odabir pomoćnog stanja za određivanje ugla rotacije φ ALI.

4) Pronalaženje reakcija podrške pomoćnog stanja

Reagujemo na znak minus.

5) Izrada dijagrama momenata pomoćnog stanja:

6) "Množenje" parcela

Budući da je jedan od njih (naime) linearan u cijelom rasponu i nema prekid, a dijagram M takođe bez frakture, onda će u Simpsonovoj formuli biti samo jedan odeljak, a zatim

Znak plus označava da je odjeljak ALI okreće se prema "jednom trenutku"

prosopromat.ru

Simpsonova formula za određivanje pomaka

Da biste odredili pomak koristeći Simpsonovu formulu, morate:

1. Build kargo dijagram momenti (grafikon momenata od djelovanja svih vanjskih opterećenja).
2. Build pojedinačni dijagram momente. Da biste to učinili, u dijelu gdje je potrebno odrediti linearni pomak (otklon) primijeniti jediničnu silu, a za određivanje ugaonog pomaka - pojedinačni moment, i iz ovog pojedinačnog faktora nacrtati momente savijanja.
3. Pomnožite dijagrame (opterećenje i jedinica) prema formuli koja se zove Simpsonova formula:

gdje l i- dužina preseka;

EI i- krutost grede na gradilištu;

tereta dijagrame, respektivno

su vrijednosti momenata savijanja sa single dijagrame, respektivno

Ako se nalaze ordinate dijagrama na jednoj strani osi grede, tada se prilikom množenja uzima u obzir znak "+", ako je različit, onda znak "-".

prosopromat.ru

2.8 Osnovne opcije za množenje dijagrama

Očigledno, raznolikost primijenjena
opterećenja i geometrijske sheme
dizajna dovodi do različitih, sa
geometrijska tačka gledišta, umnoženo
dijagrami. Za implementaciju Vereščaginovog pravila
potrebno je znati površinu geometrije
figure i koordinate njihovih centara gravitacije.
Slika 29 prikazuje neke od glavnih
opcije koje se javljaju u praksi
kalkulacije.

Za množenje dijagrama složenog oblika
potrebno ih je raščlaniti na jednostavnije.
Na primjer, da pomnožite dvije parcele,
koji imaju oblik trapeza, potreban vam je jedan od njih
podijeliti na trokut i pravougaonik,
pomnožite površinu svakog
ordinata drugog dijagrama, smještena
ispod odgovarajućeg težišta,
i zbrojite rezultate. Slično
se također koriste za množenje krivolinijskog
trapeza na bilo koji linearni dijagram.

Ako su gore navedeni koraci učinjeni
in opšti pogled, onda dobijemo za takve
teški slučajevi formule pogodne za
koristiti u praktičnim proračunima
(Sl. 30). Dakle, rezultat množenja
dva trapeza (slika 30, a):

Rice. 29

Formulom (2.21) možemo pomnožiti i
dijagrami koji izgledaju kao "uvrnuti"
trapezi (sl. 30,b), ali proizvod
ordinate koje se nalaze na suprotnim stranama
od osi dijagrama, uzeti u obzir sa znakom
oduzeti.

Ako je jedan od pomnoženih dijagrama ocrtan
on kvadratna parabola(što odgovara
opterećenje ravnomerno raspoređeno
opterećenje), zatim za množenje sa
drugi (nužno linearni) dijagram
smatra se zbirom (slika 30, c) ili
razlika (sl. 30, d) trapezoidna i
parabolički dijagram. Rezultat
množenje u oba slučaja je određeno
formula:

ali je vrijednost f u ovom slučaju određena
različito (sl. 30, c, d).

Rice. trideset

Mogu postojati slučajevi kada ništa od
pomnoženi dijagrami nisu
pravolinijski, ali barem jedan od njih
omeđen isprekidanim pravim linijama.
Pomnožiti takve dijagrame
unaprijed podijeljena na segmente
u okviru svakog od njih najmanje
barem jedna parcela je ravna.

Razmislite o korištenju pravila
Vereščagin na konkretnim primjerima.

Primjer 15 Odredite otklon na
sredinu raspona i ugao rotacije lijevo
referentni dio opterećene grede
ravnomerno raspoređeno opterećenje
(Sl. 31, a), metodom Vereshchagin.

Redoslijed metode proračuna
Vereshchagin - isto kao u metodi
Mora, pa razmotrite tri države
grede: teret - u akciji
distribuirano opterećenje q; za njega
odgovara dijagramu M q (slika 31b),
i dvije pojedinačne države - pod akcijom
snagu
primijenjen u tački C (dijagram
,
Slika 31, c) i moment
,
primijenjen u tački B (dijagram
,
Slika 31d).

Otklon grede u sredini raspona:

Dobijen je sličan rezultat
ranije po Mohrovoj metodi (vidi primjer 13). Trebalo bi
obratite pažnju na činjenicu da
izvršeno je množenje dijagrama za
pola snopa, a zatim, zbog simetrije,
rezultat se udvostručio. Ako područje
cijelog dijagrama M q pomnoži sa
ispod svog centra gravitacije
ordinata dijagrama
(
na
Slika 31, c), tada će iznos pomaka biti
potpuno drugačije i pogrešno
dijagram
omeđen isprekidanom linijom. Na
neprihvatljivost takvog pristupa
spomenuto iznad.

I pri izračunavanju ugla rotacije presjeka
u tački B, možete pomnožiti površinu dijagrama M q s onom koja se nalazi ispod njegovog centra
gravitacijski ordinatni dijagram
(
,
Slika 31, d), budući da je dijagram
ograničeno pravom linijom:

Ovaj rezultat se također poklapa sa
rezultat dobijen ranije metodom
Mora (vidi primjer 13).

Rice. 31

Primjer 16 Definirajte horizontalno
i vertikalni pomak tačke A u
okvir (Sl. 32, a).

Kao u prethodnom primjeru, riješiti
tri zadatka koja treba razmotriti
okvir stanja: teretni i dva jednostruka.
Grafikon momenata M F koji odgovaraju
prvo stanje, predstavljeno na
32b. Za izračunavanje horizontale
pomaci se primjenjuju u tački A duž
smjer željenog kretanja (tj.
horizontalno) sila
,
i izračunati vertikalu
sila pomaka
primeniti vertikalno (sl. 32, c, e).
Odgovarajuće parcele
i
prikazani su na sl. 32, d, f.

Horizontalno kretanje tačke A:

Prilikom izračunavanja

na trapezu AB (epure M F)
podijeljen na trokut i pravougaonik,
nakon čega trokut sa dijagrama
"umnoženo"
za svaku od ovih cifara. Na sekciji aviona
krivolinijski trapez je podijeljen na
zakrivljeni trokut i pravougaonik,
i za množenje dijagrama u sekciji SD
koristi se formula (2.21).

Znak "-" dobijen u proračunu

,
znači da se tačka A kreće duž
horizontalno ne lijevo (u ovom smjeru
primenjena sila
),
ali desno.

Ovdje znak "-" znači da je tačka
Kreće se dole, ne gore.

Imajte na umu da pojedinačni dijagrami trenutaka,
izgrađen od snage

,
imaju dimenziju dužine i jedinicu
dijagrame momenata izgrađenih od trenutka
,
su bezdimenzionalni.

Primjer 17. Definirajte vertikalu
pomicanje tačke A ravninsko-prostorno
sistema (slika 33a).

Fig.23

Kao što je poznato (vidi Poglavlje 1), u poprečnom
presjeci šipki ravno-prostornih
sistema nastaju tri interna
faktori sile: poprečna sila Q y ,
moment savijanja M x i moment
moment M cr. Od uticaja
sila smicanja po pomaku
blago (vidi primjer 14,
Slika 27), zatim pri proračunu pomaka
Metoda Mohra i Vereshchagina iz šest
ostala su samo dva mandata.

Da bismo riješili problem, konstruiramo dijagrame
momenti savijanja M x,q i moment
momenti M kr, q od vanjskog opterećenja
(Sl. 33, b), a zatim u tački A primjenjujemo silu
u pravcu željenog kretanja,
one. vertikalno (sl. 33, c), i građ
pojedinačni dijagrami momenata savijanja
i obrtni moment
(Sl. 33d).
Strelice na dijagramima momenta
prikazani su smjerovi uvijanja
relevantne stranice
ravno-prostorni sistem.

Vertikalno kretanje tačke A:

Prilikom množenja dijagrama momenta
proizvod se uzima sa znakom "+",
ako strelice pokazuju smjer
torzija, kosmjerna i sa predznakom ”
- " - inače.

studfiles.net

Množenje dijagrama metodom Vereshchagin

Za proračun potrebno je izvršiti sljedeće operacije:

1. Konstruirati krivulje momenata savijanja gospodin i Mk odnosno od datih i pojedinačnih opterećenja grede. Sa složenim opterećenjem grede (sl. 19, a) slijedi: ili dijagram gospodin podijeliti na jednostavne dijelove, za koje su poznati veličina površine i položaj težišta (Sl. 19, b), ili (poželjno) grafikon gospodin u slojevitom obliku (sl. 19, c).

Ako greda ima postepeni promjenjivi presjek, dijagram gospodin mora se, osim toga, podijeliti na sekcije, unutar kojih je krutost presjeka konstantna.

2. Na svakom dijelu pomnožite površinu ω jednog od dijagrama (na primjer, dijagrama Gospodin) na ordinatu GOSPOĐA druge parcele (na primjer, parcele Mk) ispod težišta prvog dijagrama i rezultujući proizvod podijeliti sa faktorom koraka j.

Istovremeno, ordinata GOSPOĐA treba uzeti na dijagramu, koji u oblasti koja se razmatra varira po linearnom zakonu (bez prekida). Ako je dijagram isprekidana linija, treba ga podijeliti na dijelove, unutar kojih će se pokazati da je linearan.

3. Izračunajte zbir pojmova navedenih u stavu 2.

Formula za određivanje kretanja razmatrane metode

gdje se zbrajanje vrši po svim dijelovima grede

Područja i koordinate centara gravitacije nekih dijagrama date su u tabeli. 11. Rezultati množenja čestih tereta i pojedinačnih dijagrama dati su u tabeli. 12.

Primjer. Odredite ugao rotacije ­ cheniya AT stepenasta greda (vidi sliku 19, a).

Odredivši reakcije podrške A i B , izgraditi dijagram gospodin na sl. 19, b i in prikazani su neslojeni i stratifikovani dijagrami Gospodin. Primjenom jednog momenta na tačku B grede oslobođene opterećenja, konstruiramo jedan dijagram M1(Sl. 19. d).

Koristeći slojeviti dijagram Mr, prema formuli 36 i tablici. 12 odredite željeni ugao rotacije preseka B:

Fig. dvadeset

Primjer. Odrediti otklon u tački K grede konstantnog poprečnog presjeka (slika 20, a).

Primjenom jedinične sile na tačku K, oslobođenu zadanog opterećenja grede, konstruiramo jedinični dijagram momenata savijanja Mk (slika 20, b).
Odredivši reakcije potpore od datog opterećenja

odsjeći konzolu i zamijeniti je strujom qa i moment (sl. 20, c).

Napravimo slojeviti dijagram M (od svake vrste opterećenja posebno), približavajući se tački prekida jednog dijagrama Mk sa obe strane (sl. 20, i ).

Prema formuli (36) koristeći tabelu. 12 odredite potreban pomak

Naručite rješenje Način plaćanja

funnystudy.com

Određivanje pomaka u gredi pomoću Simpsonove formule

Za gredu odredite linearne i kutne pomake u točkama A, B, C, nakon odabira presjeka I-grede iz uvjeta čvrstoće.

Dato:a=2 m,b=4 m, s=3 m,F=20 kN, M=18 kNm,q=6 kN/m, σadm=160 MPa, E=210 5 MPa

1) Nacrtamo dijagram grede, odredimo reakcije potpore. U teškom prekidu postoji 3 reakcije - vertikalno i horizontalno, kao i sidrišna tačka. Pošto nema horizontalnih opterećenja, odgovarajuća reakcija je nula. Da bismo pronašli reakcije u tački E, sastavljamo jednačine ravnoteže.

∑F y = 0 q7-F+R E =0

R E =-q7+F=-67+20=-22kN(znak to ukazuje

Hajde da nađemo moment sidrenja u krutom pričvršćenju, za koji rješavamo jednadžbu momenata u odnosu na bilo koju odabranu tačku.

∑M C: -M E -R E 9-F6-q77/2-M=0

M E =-18-229+649/2=-18-198+147=-69kNm(znak to ukazuje reakcija je usmjerena u suprotnom smjeru, to prikazujemo na dijagramu)

2) Gradimo dijagram opterećenja M F - dijagram momenata od datog opterećenja.

Da bismo konstruirali dijagrame momenata, nalazimo momente na karakterističnim tačkama. AT tačka B odrediti momente i sa desne i sa leve strane, budući da je moment primijenjen u ovoj tački.

Za izgradnju dijagrama trenutka na liniji djelovanja raspoređenog opterećenja (presjeci AB i BC) trebamo dodatne bodove da nacrtate krivu. Hajde da definišemo trenutke u sredini ova područja. Ovo su momenti u sredinama sekcija AB i BC 15,34 kNm i 23,25 kNm. Mi gradimo kargo dijagram.

3) Za određivanje linearnih i ugaonih pomaka u nekoj tački potrebno je primijeniti u ovoj tački, u prvom slučaju, jedinična sila (F=1) i nacrtaj trenutke, u drugom slučaju, pojedinačni moment (M=1) i nacrtajte dijagram momenta. Izrađujemo dijagrame od jediničnih opterećenja za svaku tačku - A, B i C.

4) Za pronalaženje pomaka koristimo Simpsonovu formulu.

gdje l i - dužina presjeka;

EI i- krutost grede na gradilištu;

M F– vrijednosti momenata savijanja iz dijagrama opterećenja, odnosno na početku, u sredini i na kraju dijela;

– vrijednosti momenata savijanja iz jednog dijagrama, odnosno na početku, sredini i kraju sekcije.

Ako se ordinate dijagrama nalaze na jednoj strani osi snopa, tada se prilikom množenja uzima u obzir znak "+", ako su iz različitih, onda znak "-".

Ako se rezultat pokazao sa znakom "-", tada se željeno kretanje u smjeru ne poklapa sa smjerom odgovarajućeg jediničnog faktora sile.

Razmislite primjena Simpsonove formule na primjeru određivanja pomaka u tački A.

Hajde da definišemo otklon, množenjem dijagrama opterećenja sa dijagramom iz jedinične sile.

Ispostavilo se skretanje sa znakom "-". znači traženi pomak smjer se ne poklapa sa smjerom jedinične sile (usmjerene prema gore).

Hajde da definišemo ugao rotacije, množenjem dijagrama opterećenja dijagramom iz jednog trenutka.

Ugao rotacije je sa znakom "-". to znači da se željeno kretanje u smjeru ne poklapa sa smjerom odgovarajućeg pojedinačnog momenta (usmjereno suprotno od kazaljke na satu).

5) Za određivanje specifičnih vrijednosti pomaka potrebno je odabrati presjek. Odabiremo dio I-grede

gdje Mmax- ovo je maksimalni moment na dijagramu momenta opterećenja

Biramo po asortimanu I-greda br. 30 sa Š x = 472 cm 3 i I x = 7080 cm 4

6) Određujemo pomake u tačkama, otkrivajući krutost presjeka: E - modul uzdužne elastičnosti materijala ili Youngov modul (2 10 5 MPa),Jx- aksijalni moment inercija preseka

Otklon u tački A (gore)

Ugao rotacije (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu)

Ako treba da gradite zakrivljena os snopa, zatim se greda crta bez opterećenja, a ugibi se crtaju u tačkama u odgovarajućim smjerovima - gradi se glatka kriva - zakrivljena os grede.

prosopromat.ru

Množenje dijagrama prema pravilu, metodi ili metodi Mora-Vereščagina

Zdravo! U ovom članku naučit ćemo odrediti pomak poprečnih presjeka tijekom savijanja: otklone i kutove rotacije, prema metodi (metodi, pravilu) Vereshchagina. Štaviše, ovo pravilo se široko koristi ne samo u određivanju pomaka, već i u otkrivanju statičke neodređenosti sistema korištenjem metode sile. Reći ću vam o suštini ove metode, kako se množe dijagrami različite složenosti i kada je korisno koristiti ovu metodu.

Šta trebate znati da biste uspješno savladali materijale ove lekcije?

Neophodno je znati kako se gradi dijagram momenata savijanja, jer u ovom članku ćemo raditi s ovim dijagramom.

Vereščagin i njegova metoda, pravilo ili metoda

A.K. Vereščagin 1925 predložio jednostavniji način rješavanja (formule) Mohrovog integrala. Umjesto integracije dvije funkcije, predložio je množenje dijagrama: množenje površine jednog dijagrama ordinatom drugog dijagrama ispod težišta prvog. Ova metoda se može koristiti kada je jedan od dijagrama ravan, drugi može biti bilo koji. Osim toga, ordinata se uzima kao pravolinijski dijagram. Kada su oba dijagrama pravolinijska, onda uopće nije važno čiju površinu uzeti i čiju ordinatu. Dakle, parcele prema Vereshchaginu se množe prema sljedećoj formuli:​

\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( \omega )_( C )\cdot ( \overline ( M ) )_( C ) \)​

Ilustrovano je množenje dijagrama prema Vereščaginu: C - težište prvog dijagrama, ωs - površina prvog dijagrama, Mc - ordinata drugog dijagrama ispod težišta prvog.

Površina i težište parcela

Kada se koristi metoda Vereshchagin, cijelo područje parcele se ne uzima odjednom, već u dijelovima, unutar parcela. Dijagram momenata savijanja je stratificiran na jednostavne figure.

Svaki dijagram se može stratificirati u samo tri oblika: pravougaonik, pravougaonog trougla i parabolički segment.

Množenje dijagrama prema Vereščaginu

U ovom bloku članka prikazat ću posebne slučajeve množenja dijagrama prema Vereshchaginu.

Pravougaonik u pravougaonik

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M) =( b\cdot h\cdot c ) \)​

Pravougaonik u trougao

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( b\cdot h\cdot \frac ( 1 )( 2 ) \cdot c ) \)​

trougao u pravougaonik

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( \frac ( 1 )( 2 ) \cdot b\cdot h\cdot c ) \)​

segment po pravougaoniku

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( \frac ( q\cdot ( l )^( 3 ) )( 12 ) \cdot c ) \)​

Segment po trouglu

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( \frac ( q\cdot ( l )^( 3 ) )( 12 ) \cdot \frac ( 1 )( 2 ) \cdot c ) \)​

Posebni slučajevi stratifikacije dijagrama na jednostavne figure

U ovom bloku članka prikazat ću posebne slučajeve stratifikacije dijagrama na jednostavne figure, radi mogućnosti njihovog množenja prema Vereščaginu.

Pravougaonik i trougao

Dva trougla

Dva trougla i segment

Trougao, pravougaonik i segment

Primjer određivanja pomaka: otklona i uglova rotacije prema Vereščaginu

Sada predlažem da razmotrimo konkretan primjer s proračunom pomaka poprečnih presjeka: njihovih otklona i uglova rotacije. Uzmimo čeličnu gredu koja je opterećena svim vrstama opterećenja i odredimo otklon presjeka C, kao i kut rotacije presjeka A.

Ucrtavanje momenata savijanja

Prije svega, izračunavamo i crtamo dijagram momenta savijanja:

Konstrukcija pojedinačnih dijagrama momenata

Sada je za svaki željeni pomak potrebno primijeniti jedinično opterećenje (bezdimenzionalnu vrijednost jednaku jedan) i izgraditi jedinične dijagrame:

• Za otklone se primjenjuju jedinične sile.
• Za uglove rotacije primjenjuju se pojedinačni momenti.

Štaviše, smjer ovih opterećenja nije važan! Izračun će pokazati ispravan smjer kretanja.

Na primjer, nakon proračuna, vrijednost otklona se pokazala pozitivnom, što znači da se smjer pomaka presjeka poklapa sa smjerom prethodno primijenjene sile. Isto važi i za uglove okretanja.

Umnožavanje parcela prema Vereshchaginu

Nakon svega pripremni rad: izradom dijagrama momenata savijanja, raslojavanjem na elementarne figure i konstruisanjem pojedinačnih dijagrama od opterećenja primijenjenih na mjestima iu smjeru željenih pomaka, možete pristupiti direktno množenju odgovarajućih dijagrama.

Kao što je već gore napisano, linijski dijagrami može se pomnožiti bilo kojim redoslijedom, odnosno uzeti površinu bilo koje parcele: glavne ili pojedinačne, i pomnožiti s ordinatom druge. Ali obično, kako se ne bi zbunili u proračunima, uzimaju se područja osnovni dijagram momenata savijanja, u ovoj lekciji ćemo se pridržavati istog pravila.

Određivanje progiba presjeka C

Množimo odgovarajuće dijagrame s lijeva na desno i izračunavamo otklon presjeka C pomoću Mohr-Vereshchagin metode:

\[ ( V )_( C )=\frac ( 1 )( E( I )_( x ) ) (\frac ( 1 )( 2 ) \cdot 6\cdot 3\cdot \frac ( 2 )( 3 ) \cdot 2+\frac ( 1 )( 2 ) \cdot 6\cdot 2\cdot \frac ( 2 )( 3 ) \cdot 2)=\frac ( 20kN( m )^( 3 ) )( E( I ) _( x ) ) \]

Zamislite da izračunata greda ima poprečni presjek u obliku I-grede br. 24 prema GOST 8239-89, tada će otklon grede biti jednak:

\[ ( V )_( C )=\frac ( 20kN( m )^( 3 ) )( E( I )_( x ) ) =\frac ( 20\cdot ( 10 )^( 9 )N\cdot ( cm )^( 3 ) )( 2\cdot ( 10 )^( 7 )\frac ( H )( ( cm )^( 2 ) ) \cdot 3460( cm )^( 4 ) ) =0,289 cm \]

Određivanje ugla rotacije presjeka C

Množimo odgovarajuće dijagrame s lijeva na desno i izračunavamo kut rotacije presjeka C prema Mohr-Vereshchaginovom pravilu:

\[ ( \theta )_( C )=\frac ( 1 )( E( I )_( x ) ) (-\frac ( 1 )( 2 ) \cdot 6\cdot 3\cdot \frac ( 1 )( 3 ) \cdot 1)=-\frac ( 3kN( m )^( 2 ) )( E( I )_( x ) ) \]

\[ ( ( \theta ) )_( C )=-\frac ( 3kN( m )^( 2 ) )( E( I )_( x ) ) =-\frac ( 3\cdot ( 10 )^( 7 )H\cdot ( cm )^( 3 ) )( 2\cdot ( 10 )^( 7 )\frac ( H )( ( cm )^( 2 ) ) \cdot 3460( cm )^( 4 ) ) =- 0,0004rad \]

sopromats.ru

Trapezoidne i Simpsonove formule

Hajde da koristimo
Vereščaginovo pravilo za množenje
dva pravolinijska dijagrama koji imaju oblik
trapezijum. Podijelimo oba trapeza na
trouglovi čije površine i
položaj centara gravitacije je lak
su određene.

Dijagram
M F

ω 1

C 1 C 2

ω 2

Dijagram

Mi
got formula
trapez,
prema
koji su radovi dotičnih
lijeve i desne ordinate dijagrama
dvostruki i unakrsni proizvodi
ordinate uzeti pojedinačne, a rezultirajuće
pomnožite zbir sa jednom šestinom dužine
dijagram.

Razmislite
slučaj kada je prikazan dijagram opterećenja
kvadratna parabola i jedan dijagram
- trapez.

ω P.S.

Uz
sa ekstremnim ordinatama označavamo proseke.

Hajde da razbijemo
krivolinijski dijagram na trapezu i
parabolički segment.

Hajde da proizvodimo
množenje odgovarajućih cifara.

Izraz
I T
imamo. Hajde da nađemo
.

Square
parabolički segment:

Ordinate
jedna parcela ispod centra gravitacije
parabolički segment:

Poslije
zamjene koje dobijamo formula
Simpson:

Posao
dva dijagrama jednaka je zbroju proizvoda
ekstremne ordinate i četvorostruke
proizvod prosječnih ordinata, pomnožen
jedna šestina dužine dijagrama.

§7. Proračun sile statički neodređenih štapnih sistema (sns).

Statično
neodredivi sistemi (SNS) imaju
prednosti i mane u poređenju
sa statički određenim sistemima
(SOS).

Prednosti:

SNA
imaju veću preživljavanje
rad opterećenja nego SOS. AT
SOS svi elementi praktično
su podjednako pod stresom, pa stoga i jesu
rezerve snage samo iznutra
faktor sigurnosti k
=1,5
– 2. Ako ide barem jedan element
do graničnog stanja, cijelu strukturu
će biti nevažeći sa tačke gledišta
norme za izračunavanje deformacije ili kolapsa.
SNS je nejednako opterećena struktura
i tokom tranzicije najstresnijih
element do graničnog stanja,
dolazi do preraspodjele napora
od povećanog opterećenja na manje opterećene
elementi.

SNS,
zbog prisutnosti suvišnih veza i prekomjernih
krutost pojedinih elemenata, manja
deformativna nego SOS, tj. imaju manje
linearni ugaoni pokreti.

Nedostaci:

SNA
teže je izračunati nego SOS, koji
zbog prisustva viška
(ekstra) veze. Složenost proračuna
SNS je proporcionalan trećoj potenciji
broj dodatnih priključaka, tj.
.
Na primjer, ako za dva sistema n 1 =1,
n 2 =4 ,
onda
t 1 = α ,
t 2 =64α,
one. vrijeme izračuna se povećava za 64 puta.

AT
SNS raspodjela snaga u elementima
zavisi od njihovih geometrijskih dimenzija,
čija definicija, zauzvrat,
je glavni zadatak otpora
materijala. Dakle, postoji
potreba za prethodnim terminom
krutost na savijanje i poprečno
sekcije pojedinačnih štapova: (EY) k =α k (EY),
što dovodi do dvosmislenosti
konstruktivna rješenja.

Više
uspješne zadatke ukočenosti, u zavisnosti od
od razumevanja suštine zadataka otpora
materijala će dovesti do stvaranja više
optimalni dizajni.

AT
SNS može izgledati teško
predvidljive veličine
stresno-deformisano stanje,
uzrokovane promjenama temperature
i nezavisni nacrt potpora. Promjena
temperatura jednog od elemenata uzrokuje
pojava termičkih naprezanja
u svim SNS štapovima. Isto kao i nepreciznost
proizvodnja jedne od šipki ili
pomicanje jedne veze uzrokuje pojavu
instalacijska naprezanja u svim šipkama.
U SOS-u takvi stresovi ne nastaju.

Razmislite
glavne metode za izračunavanje SNA kada
statička opterećenja.

Nedostatak Mohrove metode je potreba za dobivanjem vrijednosti faktora unutrašnjih sila uključenih u integrand izraze formula (2.18) i (2.19), u općenitom obliku, kao funkcije z, što postaje prilično naporno već sa dva ili tri dijela pregrade u gredama i posebno u okvirima.

Pokazalo se da se ovaj nedostatak može izbjeći ako se direktna integracija u Mohrovim formulama zamijeni tzv. množenjem dijagrama. Takva zamjena je moguća u slučajevima kada je barem jedan od pomnoženih dijagrama pravolinijski. Ovaj uslov ispunjavaju svi sistemi koji se sastoje od pravolinijskih šipki. Zaista, u takvim sistemima, dijagram konstruisan iz generalizovane jedinične sile će uvek biti pravolinijski.

Metoda za izračunavanje Mohrovog integrala zamjenom direktnu integraciju naziva se množenje odgovarajućih dijagrama metod (ili pravilo) Vereščagin a sastoji se u sljedećem: da biste pomnožili dva dijagrama, od kojih je barem jedan pravolinijski, potrebno je pomnožiti površinu jednog dijagrama (ako postoji krivolinijski dijagram, onda se njegova površina mora pomnožiti) sa ordinata drugog dijagrama, koja se nalazi ispod težišta prvog.

Hajde da dokažemo valjanost ovog pravila. Razmotrimo dva dijagrama (slika 28). Neka je jedan od njih (Mn) teret i ima krivolinijski obris, a drugi odgovara jediničnom opterećenju i linearan je.

Iz slike 28 slijedi da zamijenimo vrijednosti u izraz

gdje je diferencijalna površina dijagrama Mn.

Rice. 28

Integral je statički moment površine u odnosu na osu O - O1, dok je:

gdje je zc apscisa centra gravitacije područja, tada:

S obzirom da dobijamo:
(2.20)
Izraz (2.20) određuje rezultat množenja dva dijagrama, a ne pomaka. Da bi se dobio pomak, ovaj rezultat se mora podijeliti sa krutošću koja odgovara faktorima unutrašnje sile pod predznakom integrala.

Glavne opcije za množenje dijagrama

Očigledno je da raznovrsnost primijenjenih opterećenja i geometrijskih shema konstrukcija dovodi do različitih, sa geometrijskog stanovišta, umnoženih dijagrama. Za implementaciju Vereščaginova pravila potrebno je znati područje geometrijski oblici i koordinate njihovih centara gravitacije. Slika 29 prikazuje neke od glavnih opcija koje se pojavljuju u praktičnim proračunima.

Za množenje dijagrama složenog oblika, moraju se podijeliti na jednostavne. Na primjer, da biste pomnožili dva dijagrama koji izgledaju kao trapez, morate jedan od njih podijeliti na trokut i pravougaonik, pomnožiti površinu svakog od njih sa ordinatom drugog dijagrama koji se nalazi ispod odgovarajućeg centra gravitacije i dodajte rezultate. Isto se radi za množenje krivolinijskog trapeza bilo kojim linearnim dijagramom.

Ako se gore navedene radnje izvode u općem obliku, tada ćemo dobiti formule za tako složene slučajeve koje su pogodne za korištenje u praktičnim proračunima (slika 30). Dakle, rezultat množenja dva trapeza (slika 30, a):

(2.21)

Rice. 29

Prema formuli (2.21) moguće je množiti dijagrame koji izgledaju kao "uvrnuti" trapezi (slika 30, b), ali se u ovom slučaju uzima proizvod ordinata koje se nalaze na suprotnim stranama osi dijagrama. u obzir sa predznakom minus.

Ako jedan od umnožene parcele je ocrtan kvadratnom parabolom (koja odgovara opterećenju sa ravnomerno raspoređenim opterećenjem), a zatim se za množenje sa drugim (nužno linearnim) dijagramom smatra zbirom (sl. 30, c) ili razlikom (slika 30, d) trapeznog i paraboličnog dijagrama. Rezultat množenja u oba slučaja određen je formulom:
(2.22)

ali se vrijednost f određuje na različite načine (sl. 30, c, d).

Rice. trideset

Postoje slučajevi kada nijedan od pomnoženih dijagrama nije pravolinijski, ali je barem jedan od njih ograničen isprekidanim pravim linijama. Da bi se takvi dijagrami umnožili, oni se prvo dijele na dijelove, unutar kojih je najmanje jedan dijagram pravolinijski.
Razmislite o korištenju Vereščaginova pravila na konkretnim primjerima.

Primjer 15 Odredite otklon u sredini raspona i ugao rotacije lijevog potpornog dijela grede opterećen ravnomjerno raspoređenim opterećenjem (slika 31, a), Vereščaginov put.

Redoslijed izračunavanja Vereščaginov put- isto kao u Mohr metodi, stoga razmatramo tri stanja grede: opterećenje - pod djelovanjem raspoređenog opterećenja q; odgovara dijagramu Mq (slika 31,b), i dva pojedinačna stanja - pod dejstvom sile primenjene u tački C (dijagram, slika 31, c), i momenta primenjene u tački B (dijagram, sl. 31, d) .

Otklon grede u sredini raspona:

Sličan rezultat je ranije dobiven Mohrovom metodom (vidi primjer 13). Treba obratiti pažnju na činjenicu da je množenje dijagrama izvršeno za polovinu grede, a zatim je, zbog simetrije, rezultat udvostručen. Ako se površina cijelog dijagrama Mq pomnoži s ordinatom dijagrama koja se nalazi ispod njegovog težišta (na slici 31, c), tada će količina pomaka biti potpuno drugačija i netočna, budući da je dijagram ograničen isprekidanom linijom. Na neprihvatljivost ovakvog pristupa već je istaknuto gore.

A kada izračunate ugao rotacije presjeka u tački B, možete pomnožiti površinu dijagrama Mq ordinatom dijagrama koja se nalazi ispod njegovog težišta (slika 31, d), budući da je dijagram ograničen po pravoj liniji:

Ovaj rezultat se također poklapa s rezultatom dobivenim ranije Mohrovom metodom (vidi primjer 13).

Rice. 31

Primjer 16 Odrediti horizontalni i vertikalni pomak tačke A u okviru (slika 32, a).

Kao iu prethodnom primjeru, da bi se riješio problem, potrebno je razmotriti tri stanja okvira: teret i dva pojedinačna stanja. Grafikon momenata MF koji odgovara prvom stanju prikazan je na slici 32b. Za izračunavanje horizontalnog pomaka primjenjujemo silu u tački A u smjeru željenog pomaka (tj. horizontalno), a za izračunavanje vertikalnog pomaka primjenjujemo silu vertikalno (slika 32, c, e). Odgovarajući dijagrami i prikazani su na sl. 32, d, f.

Horizontalno kretanje tačke A:

Prilikom izračunavanja na presjeku AB, trapez (ploča MF) se dijeli na trokut i pravougaonik, nakon čega se trokut sa dijagrama "množi" sa svakom od ovih figura. Na BC presjeku, krivolinijski trapez je podijeljen na krivolinijski trokut i pravougaonik, a formula (2.21) se koristi za množenje dijagrama na SD presjeku.

Znak "-" dobijen tokom proračuna znači da se tačka A pomiče horizontalno ne ulijevo (u ovom smjeru se primjenjuje sila), već udesno.