Na sl. 54 prikazuje tijelo koje radi složeno kretanje- rotacija oko ose, koja se sama rotira oko druge, fiksne ose. Naravno, prvu rotaciju treba nazvati relativnim kretanjem tijela, drugu - prijenosnu, i označiti odgovarajuće ose i .
Fig.54
Apsolutno kretanje je rotacija oko tačke preseka osi O. (Ako je tijelo veće, onda se njegova tačka poklapa sa O, će ostati nepomičan cijelo vrijeme). Ugaone brzine translatorne rotacije i relativne rotacije predstavljene su vektorima i iscrtane iz fiksne tačke O, točke sjecišta osa, duž odgovarajućih osa.
Pronađite apsolutnu brzinu neke tačke M tijelo, čiji je položaj određen radijus vektorom (Sl. 54).
Kao što znate, sastoji se od dvije brzine, relativne i figurativne: . Ali relativno kretanje tačke (koristeći pravilo zaustavljanja) je rotacija sa ugaonom brzinom oko ose, određena vektorom radijusa. Dakle, .
|
Prenosivo kretanje tačke u datom trenutku, opet koristeći pravilo zaustavljanja, je takođe rotacija, ali oko ose sa ugaonom brzinom i biće određeno istim radijus vektorom. Dakle, prenosiva brzina.
Apsolutna brzina je brzina rotacije oko fiksne tačke. O, sa sfernim kretanjem, određuje se slično , gdje je apsolutna kutna brzina usmjerena duž trenutne osi rotacije R.
Prema formuli za sabiranje brzina dobijamo: ili .
To jest, trenutna ugaona brzina, ugaona brzina apsolutnog kretanja, je vektorska suma ugaone brzine prenosiva i relativna kretanja. I trenutnu os rotacije P, usmjerena duž vektora, poklapa se sa dijagonalom paralelograma izgrađenog na vektorima i (sl. 54).
Posebni slučajevi:
1. Osi rotacije i su paralelne, pravci rotacije su isti (sl. 55).
Fig.55
Budući da su vektori i paralelni i usmjereni u istom smjeru, apsolutna ugaona brzina jednaka je po veličini zbiru njihovih modula i njen vektor je usmjeren u istom smjeru. Trenutačna os rotacije R dijeli udaljenost između osa na dijelove obrnuto proporcionalne i :
. (Slično kao rezultanta paralelnih sila).
U ovom konkretnom slučaju, tijelo ALI vrši ravno-paralelno kretanje. Trenutni centar brzina je na osi R.
2.Osi rotacije su paralelne, pravci rotacije su suprotni (Sl. 56).
Fig.56
U ovom slučaju (za ). Trenutna os rotacije i trenutni centar brzina nalaze se iza vektora veće ugaone brzine na udaljenostima takvim da (opet, po analogiji sa definicijom rezultante paralelnih sila).
3.Osi rotacije su paralelne, pravci rotacije su suprotni, a ugaone brzine jednake.
Ugaona brzina apsolutnog kretanja i, prema tome, tijelo vrši translacijsko kretanje. Ovaj slučaj se zove par okretaja, po analogiji sa parom sila.
Primjer 16 Radijus diska R rotira oko horizontalne ose sa ugaonom brzinom, a ova os, zajedno sa okvirom, rotira oko vertikalne fiksne ose sa ugaonom brzinom (Sl. 57).
Fig.57
Horizontalna osa je os relativne rotacije; vertikalna osa je osa translatorne rotacije. U skladu s tim, njihovi vektori ugaone brzine su usmjereni duž ose i.
Apsolutna ugaona brzina i njena vrednost, pošto,
Tačkasta brzina ALI, na primjer, može se naći ili kao zbir translacijske i relativne brzine: , gdje
ili kao kod apsolutnog kretanja, u rotaciji oko trenutne ose R, .
Vektor brzine će se nalaziti u ravni okomitoj na vektor i osu R.
Primjer 17. nosilac OA sa dva kotača 2 i 3 pričvršćena na njemu rotira oko ose O sa ugaonom brzinom. U ovom slučaju, točak 2 će se prevrnuti preko fiksnog točka 1 i navesti točak 3. Hajde da pronađemo ugaonu brzinu ovog točka. Radijusi točka (Sl. 58).
Fig.58
Točak 3 je uključen u dva pokreta. Rotirajte zajedno sa nosačem oko ose O i oko ose. Osa Oće biti prenosiva osa, os će biti relativna. Prijenosna ugaona brzina točka 3 je ugaona brzina nosača, usmjerena u smjeru kazaljke na satu, kao .
Da bi se odredila ugaona brzina relativnog kretanja, posmatrač treba da bude na nosaču. On će vidjeti kako nosač miruje, točak 1 se okreće u smjeru suprotnom od kazaljke na satu brzinom (Sl. 59), a točak 3 rotira relativnom ugaonom brzinom, u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Od tada . Osi rotacije su paralelne, pravci rotacije su suprotni. Stoga je usmjeren na isti način kao i , u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Konkretno, ako , onda i . Točak 3 će se pomaknuti naprijed.
Fig.59
Proučavanje kretanja drugih sličnih konstrukcija (planetarni i diferencijalni mjenjači, zupčanici) provodi se na sličan način.
Prenosiva ugaona brzina je ugaona brzina nosača (okviri, krstovi, itd.), a da bi se odredila relativna brzina bilo kog točka, nosač mora biti zaustavljen, a stacionarni točak mora se naterati da se okreće u odnosu na nosač. ugaone brzine, ali u suprotnom smjeru.
Ugaona ubrzanja tijela u apsolutnom kretanju može se tražiti kao derivacija od , gdje je . Hajde da pokažemo (slika 60) jedinični vektori i (uslovi osi i ), a vektore ugaone brzine zapisujemo na sledeći način: , . i , kao brzina kraja vektora . Dodatni modul kutnog ubrzanja, gdje je ugao između osa.
Naravno, ako su ose rotacije paralelne, ovo ugaono ubrzanje će biti nula, jer .
Trebalo bi razmotriti tri slučaja.
1) Rotacije imaju isti smjer. Telo učestvuje u dve rotacije: prenosivom sa ugaonom brzinom i relativnom sa ugaonom brzinom (Sl. 71). Takvo tijelo je disk prikazan na sl. 72. Presijecimo osu rotacije okomitom linijom. Dobijamo točke presjeka i , na koje se mogu prenijeti vektori ugaone brzine i. Na segmentu tijela u ovom trenutku nalazi se tačka čija je brzina jednaka nuli. Zaista, prema teoremu o dodavanju brzina za tačku, imamo
Tačke tijela, za koje su translacijske i relativne brzine paralelne i suprotne, mogu se nalaziti samo na segmentu između tačaka i . Brzina točke je jednaka nuli ako Ali , . dakle,
Prava linija okomita na osi rotacije može se povući na bilo kojoj udaljenosti. Posljedično, postoji os, pričvršćena za tijelo i paralelna s osi rotacije, čije su brzine tačaka jednake nuli u datom trenutku. Slučajno jeste trenutna osa rotacije u trenutku koji se razmatra.
Da bismo odredili ugaonu brzinu rotacije tijela oko trenutne ose, izračunavamo brzinu tačke, smatrajući njeno kretanje složenim. Dobijamo:
dakle,
Za brzinu tačke kada se tijelo rotira oko trenutne ose, imamo
Izjednačavajući brzine tačke dobijene na dva načina, imamo
Prema (138)
Formula (138) se može predstaviti kao:
Formiranjem izvedene proporcije i upotrebom formule (139) dobijamo
dakle, kada se dodaju dvije rotacije tijela okolo paralelne ose u istim pravcima, rotacija se dobija oko paralelne ose u istom pravcu sa ugaonom brzinom jednakom zbroju ugaonih brzina rotacija komponenti. Trenutna os rezultirajuće rotacije dijeli segment između osi sastavnih rotacija na dijelove obrnuto proporcionalne ugaonim brzinama rotacija, unutar. Tačka u ovoj podjeli nalazi se između tačaka i.
Istina je upravo suprotno. Rotacija oko ose sa ugaonom brzinom može se razložiti na dve rotacije oko dve paralelne ose sa ugaonim brzinama i .
Tijelo koje učestvuje u dvije rotacije oko paralelnih ose vrši kretanje u ravni. ravno kretanje čvrsto telo može se predstaviti kao dvije rotacije, translacijska i relativna, oko paralelnih osa. Ravno kretanje satelitskog točka 2 duž fiksnog točka 1 (slika 73) je primjer kretanja koje se može zamijeniti s dvije rotacije oko paralelnih osa u istom smjeru, na primjer u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Satelitski točak vrši translacionu rotaciju zajedno sa polugom oko ose koja prolazi kroz tačku sa ugaonom brzinom i relativnu rotaciju oko ose koja prolazi kroz tačku sa ugaonom brzinom. Obje rotacije imaju isti smjer. Apsolutna rotacija se dešava oko ose koja prolazi kroz tačku , koja je trenutno MCS. Nalazi se na mestu dodira točkova, ako se pokretni točak kotrlja bez klizanja na nepokretnom. Ugaona brzina apsolutne rotacije
Apsolutna rotacija sa ovom ugaonom brzinom se dešava u istom smeru kao i komponente kretanja.
2) Rotacije imaju suprotne smjerove. Razmotrimo slučaj kada (Sl. 74). Get sledeće formule:
Da bismo izveli ove formule, rastavljamo rotaciju s kutnom brzinom na dvije rotacije u istom smjeru oko dvije paralelne osi s kutnim brzinama i . Uzmimo os jedne od rotacija s ugaonom brzinom koja prolazi kroz tačku i izaberimo . Druga rotacija sa ugaonom brzinom proći će kroz tačku (slika 75). Na osnovu (139) i (140) imamo
Valjanost formula (141) i (142) je dokazana. dakle, kada se dodaju dvije rotacije krutog tijela oko paralelnih osi u suprotnim smjerovima, dobiva se rotacija oko paralelne ose s ugaonom brzinom, jednaka razlika ugaone brzine rotacije komponenti u smjeru rotacije s većom kutnom brzinom. Osa apsolutne rotacije dijeli segment između osa sastavnih rotacija na dijelove obrnuto proporcionalne ugaonim brzinama ovih rotacija iznutra. Tačka sa ovom podjelom nalazi se na segmentu iza tačke kroz koju osa rotacije prolazi većom ugaonom brzinom.
Također je moguće rastaviti jednu rotaciju na dvije oko paralelnih osa sa suprotnim smjerovima rotacije. Primjer ravnog kretanja krutog tijela, koje se može predstaviti s dvije rotacije oko paralelnih osi u suprotnim smjerovima, je kretanje kotača satelita koji se kotrlja unutar nepokretnog točka bez klizanja (slika 76). Prijenosno u ovom slučaju je rotacija kotača 2 zajedno sa radilicom ugaonom brzinom oko ose koja prolazi kroz tačku . Relativna će biti rotacija točka 2 oko ose koja prolazi kroz tačku sa ugaonom brzinom , a apsolutna će biti rotacija ovog točka oko ose koja prolazi kroz MCS, tačka , sa ugaonom brzinom . U ovom slučaju i samim tim ugaona brzina apsolutne rotacije . Ova rotacija u smjeru poklapa se sa smjerom rotacije, koji ima veliku kutnu brzinu. Osa apsolutne rotacije nalazi se izvan segmenta iza ose rotacije sa većom ugaonom brzinom.
3) Par rotacija. Par okretaja naziva se skup dvije rotacije krutog tijela, prenosivog i relativnog, oko paralelnih osi sa istim ugaonim brzinama u suprotnim smjerovima (slika 77). U ovom slučaju . Smatrajući gibanje tijela složenim, prema teoremi sabiranja brzina za tačku, imamo
Komponente kretanja su rotacije sa ugaonim brzinama i . Prema Ojlerovoj formuli za njih dobijamo
Nakon toga, za apsolutnu brzinu koju imamo
kao . S obzirom na to, dobijamo
As vektorski proizvod može se nazvati momentom ugaone brzine oko tačke , tada
On je jednak vektorskom momentu para rotacija, koji se takođe može izraziti vektorskim momentom jedne od ugaonih brzina u odnosu na bilo koju tačku koja se nalazi na osi rotacije tela sa različitom ugaonom brzinom uključenom u par rotacija. Translacijska brzina tijela koje učestvuje u paru rotacija ovisi samo o karakteristikama para rotacija. Ona je okomita na osi para rotacija. Njegova numerička vrijednost može se izraziti kao
gdje je najkraća udaljenost između osi para ili kraka para.
Par rotacija je sličan paru sila koje djeluju na kruto tijelo. Ugaone brzine rotacije tijela, slično kao i sile, su klizni vektori. Vektorski moment para sila je slobodan vektor. Vektorski moment para rotacija ima slično svojstvo.
Ako je ravni segment pričvršćen zupčanikom 2, on će ostati paralelan sa svojim prvobitnim položajem tokom kretanja mehanizma. Ako je ovaj horizontalni segment poravnat s dnom čaše s vodom, pričvršćujući staklo na pokretni zupčanik, tada voda neće izliti iz čaše kada se mehanizam kreće u okomitoj ravni.
At kretanje napred putanje svih tačaka tela su iste. Tačka opisuje krug radijusa. Putanja svih ostalih tačaka pokretnog zupčanika također će biti kružnice istog radijusa. Tijelo koje učestvuje u paru rotacija vrši ravno translacijsko kretanje.
Razmotrimo slučaj kada je relativno kretanje tijela rotacija s ugaonom brzinom oko ose, postavljena na polugu oko ose sa ugaonom brzinom.
Ako su i paralelni, tada će kretanje tijela biti ravnoparalelno u odnosu na ravan okomitu na osi.
Proučimo odvojeno slučajeve kada su rotacije usmjerene u jednom smjeru iu različitim smjerovima.
6.2.1. Rotacije su usmjerene u jednom smjeru.
Predstavimo presjek (S) tijela ravninom koja je okomita na ose. Tragovi osa u preseku (S) prikazani su slovima A i B. Lako je videti da tačka A, kako leži na Aa / osi, dobija brzinu samo od rotacije oko Bv / ose, dakle. Slično. U ovom slučaju, vektori i su paralelni jedan s drugim (oba su okomita na AB) i usmjerena u različitim smjerovima. Tada je tačka C MCS (), i stoga je os Cc / , paralelna sa osama Aa / i Bv / trenutna osa rotacije tijelo.
Odrediti ugaonu brzinu apsolutne rotacije tijela oko ose Ss / i položaj same ose, tj. tačku C koristimo jednakost
Iz svojstava proporcija dobijamo
Zamjenom i , dobivamo:
Dakle, ako tijelo istovremeno učestvuje u dvije rotacije usmjerene u istom smjeru oko paralelnih osi, tada će njegovo rezultirajuće kretanje biti trenutna rotacija sa apsolutnom ugaonom brzinom oko trenutne ose paralelne datoj.
Vremenom će trenutna os rotacije Cc / promijeniti svoj položaj, opisujući cilindričnu površinu.
6.2.2. Rotacije su usmjerene u različitim smjerovima.
Hajde da definišemo. Rasprava kao u prethodnom slučaju
Istovremeno su usmjereni u jednom smjeru.
Tada trenutna os rotacije prolazi kroz tačku C, i
ili svojstva proporcija
Zamjenom vrijednosti i , dobijamo
Dakle, u ovom slučaju, rezultujuće kretanje je takođe trenutna rotacija sa apsolutnom ugaonom brzinom oko ose Ss / , čiji je položaj određen proporcijom
Kraj rada -
Ova tema pripada:
Sekcija teorijska mehanika
Tehnička mehanika.. sekcija teorijska mehanika.. grad Tver..
Ako vam je potreban dodatni materijal na ovu temu, ili niste pronašli ono što ste tražili, preporučujemo da koristite pretragu u našoj bazi radova:
Šta ćemo sa primljenim materijalom:
Ako vam se ovaj materijal pokazao korisnim, možete ga spremiti na svoju stranicu na društvenim mrežama:
| tweet |
Sve teme u ovoj sekciji:
Aksiomi statike
Ovi aksiomi su formulisani na osnovu posmatranja i proučavanja fenomena stvarnog sveta koji nas okružuje. Neki osnovni zakoni Galileo-Newton mehanike su istovremeno i osi
Sistem konvergentnih sila
2.1.1 Ravnoteža krutog tijela na koje se primjenjuje sistem sila koje se konvergiraju. Konvergentne sile se nazivaju sile, prave čije se radnje seku u jednoj tački. Teorema. Siste
Proizvoljni ravan sistem sila
2.2.1 Ravnoteža krutog tijela u prisustvu ravni sistem snage. Slučaj paralelnih sila. Rezultanta dvije paralelne sile usmjerene u istom smjeru jednaka je mod
Sistemi konvergentnih sila
Rezultanta prostornog sistema sila može se odrediti konstruisanjem prostornog množitelja
Proizvoljan prostorni sistem sila
3.2.1. Moment sile oko tačke. Moment sile oko ose. Teorija parova u prostoru. U slučaju ravnog sistema sila, moment sile u odnosu na tačku definira se kao algebarski
Centar gravitacije
Gravitacija je rezultanta sila privlačenja na Zemlju, raspoređena je po volumenu tijela. Privlačne sile primijenjene na čestice čvrstog tijela formiraju sistem sila,
Kinematika
1. UVOD Kinematika je grana mehanike koja proučava kretanje materijalnih tačaka i tijela u prostoru iz geometrijske tačke
Translacijsko kretanje tijela
Translatorno kretanje krutog tijela je takvo kretanje u kojem se odvija bilo koja prava linija, žica
Rotacijsko kretanje krutog tijela
Rotacijsko je kretanje krutog tijela u kojem se tačke tijela kreću u ravninama okomitim na fiksnu pravu liniju, koja se naziva osom rotacije tijela, a opisuje kružnice, centar
Jednačine jednolične rotacije tijela
Rotacija tijela sa konstantnom ugaonom brzinom naziva se uniformni prointegr
Jednačine rotacije tijela s jednakom promjenjivom
Rotacija tijela, kod koje je ugaona akceleracija konstantna, naziva se jednako promjenjiva rotacija. Ako vrijednost
Sabiranje brzina
Zamislite tačku M koja čini složeno kretanje. Neka ova tačka, krećući se svojom relativnom putanjom AB, napravi određeni vremenski period
Sabiranje ubrzanja. Coriolisova teorema
Pronađite odnos između apsolutnog i relativnog
Trenutni centar brzina (MVS)
MCC je tačka ravne figure, čija je brzina u datom trenutku jednaka nuli. Teorema. Ako ugaona brzina ravne figure nije jednaka nuli, tada MCC postoji. Prije
Određivanje brzine tačke ravne figure pomoću MCS-a
Odaberimo za pol tačku P. Zatim brzinu proizvoljne tačke A, jer
Ubrzanja tačaka u kretanju u ravnini
Pokazat ćemo da je ubrzanje bilo koje točke M tijela u ravnom ili paralelnom kretanju (kao i brzina) zbir ubrzanja koje ono primi pri translacijskom i rotacijskom kretanju
Trenutačni centar ubrzanja (ICC)
MCU je tačka ravne figure, čije je ubrzanje jednako nuli. Ako je u datom trenutku zadato ubrzanje neke tačke A -
Posebni slučajevi određivanja MCC-a
1. Poznata je tačka čije je ubrzanje nula. Ova tačka je MCU. Na primjer, do
Osnovni načini izračunavanja ugaonog ubrzanja pri kretanju u ravnini
1. Ako je poznat zakon promjene ugla rotacije ili ugaone brzine iz vremena, onda je ugaona ubrzanja
Dodavanje translacionih pokreta
Neka se kruto tijelo kreće naprijed brzinom
Par okretanja
Razmotrimo poseban slučaj kada su rotacije oko paralelnih osi usmjerene u različitim smjerovima, ali po modulu
Sabiranje rotacija oko osi koje se sijeku
Razmotrimo slučaj sabiranja rotacije oko dvije ose koje se ukrštaju. Kada ab
Sabiranje translacijskih i rotacijskih kretanja
6.5.1. Translacijska brzina okomita na os rotacije (┴
Zakoni dinamike
Dinamika se zasniva na zakonima ustanovljenim generalizacijom rezultata brojnih eksperimenata i zapažanja. Ove zakone prvi je sistematski iznio I. Newton u svom klasičnom djelu „Mat.
Problemi dinamike za slobodnu i neslobodnu materijalnu tačku
Za slobodnu materijalnu tačku zadaci dinamike su: 1. Poznavajući zakon kretanja, odrediti silu koja na nju deluje (prvi zadatak dinamike) 2. Poznavajući delujuću silu, odrediti
Pravolinijsko kretanje tačke
Iz kinematike je poznato da pravolinijsko kretanje brzina i ubrzanje tačke su uvijek usmjereni duž iste prave linije. Budući da je smjer ubrzanja isti kao i smjer djelovanja s
Krivolinijsko kretanje tačke
Zamislite slobodnu materijalnu tačku koja se kreće pod dejstvom sila
Moment i kinetička energija tačke
Ovo su glavne dinamičke karakteristike pokreta. Zamah tačke je vektorska veličina
Impuls sile
Da bismo okarakterizirali djelovanje sile na tijelo u određenom vremenskom periodu, uvodimo pojam impulsa sile. Elementarni impuls sile je vektorska veličina
Teorema o promjeni impulsa tačke
Pošto je masa tačke konstantna, a njeno ubrzanje, jednačina (3) (
Prisilni rad. Snaga
Da bismo okarakterizirali djelovanje sile na tijelo tokom nekog njegovog pomjeranja, uvodimo
Teorema o promjeni kinetičke energije tačke
Razmotrimo tačku mase m koja se kreće pod djelovanjem sila primijenjenih na nju iz položaja M0, gdje je imala brzinu V0 do položaja M1,
Teorema o promjeni ugaonog momenta
(teorema momenata). Ponekad, kada se proučava kretanje tačke, umesto da se menja sam vektor (m
Pravolinijske fluktuacije tačke
4.1. Slobodne vibracije bez uzimanja u obzir sila otpora. Razmotrimo tačku M koja se kreće pod dejstvom samo jedne povratne sile F, usmerene ka
Slobodne oscilacije sa otporom proporcionalnim brzini (prigušene oscilacije)
Da vidimo kako to utiče slobodne vibracije otpor sredine, uz pretpostavku da je sila otpora proporcionalna prvoj potenciji brzine:
Prisilne vibracije. Rezonancija
Razmotrimo slučaj oscilacija, kada na tačku, osim povratne sile F, djeluje i sila koja se periodično mijenja s vremenom
mehanički sistem
Mehanički sistem materijalnih tačaka ili tela je takav njihov skup u kojem položaj ili kretanje svake tačke zavisi od položaja i kretanja svih ostalih. Mate
Masa sistema. Centar mase
Kretanje sistema, pored delujućih sila, zavisi od njegove ukupne mase i distribucije masa. Masa sistema jednaka je aritmetičkom zbiru masa svih tačaka ili tijela, arr.
Diferencijalne jednačine kretanja sistema
Razmotrimo sistem koji se sastoji od "n" materijalnih tačaka. Izdvojimo neku tačku sistema sa masom mk. Označimo rezultante svih primijenjenih na tačku
Teorema o kretanju centra masa
Lijevi i desni dio jednačine (3) dodajemo pojam po član. (4) Pretvorimo le
Zakon održanja kretanja centra masa
Važne posljedice mogu se dobiti iz teoreme o kretanju centra mase. jedan). Neka je zbir vanjskih sila koje djeluju na sistem jednak nuli
Količina sistema kretanja
Količina kretanja sistema će se zvati vektorska veličina jednaka geometrijskoj
Teorema o promjeni impulsa
Razmotrimo sistem koji se sastoji od "n" materijalnih tačaka, koji ćemo sastaviti za ovaj sistem diferencijalne jednadžbe prijedlog (2) i dodajte ih pojam po pojam
Zakon održanja impulsa
Važne posljedice se mogu dobiti iz teoreme o promjeni impulsa sistema. jedan). Neka je zbir svih vanjskih sila koje djeluju na sistem jednak nuli:
Moment inercije tijela oko ose
Položaj centra mase nepotpuno karakteriše distribuciju mase sistema.
Glavni moment impulsa sistema
Glavni moment momenta (ili kinematičkog momenta) sistema u odnosu na ovaj centar Oko se naziva vrijednost K0, jednaka geometrijski zbir broj trenutaka
Teorema o promjeni glavnog momenta impulsa sistema (teorema o momentima)
Teorema momenata, dokazana za jednu materijalnu tačku, važiće za svaku tačku sistema. Stoga, ako uzmemo u obzir tačku sistema sa masom mk, koja ima brzinu
Zakon održanja glavnog momenta impulsa
Iz teoreme trenutka mogu se dobiti sljedeće važne posljedice. jedan). Neka je zbir momenata oko centra O svih vanjskih sila koje djeluju na sistem jednak nuli:
Kinetička energija sistema
Kinetička energija sistema je skalarna vrijednost T, koja je jednaka aritmetičkom zbiru kinetičkih energija svih tačaka u sistemu.
Neki slučajevi obračuna rada
Razmotrite sljedeće slučajeve. jedan). Rad gravitacije koji djeluje na sistem. Rad gravitacije koji djeluje na česticu težine Pk bit će jednak
Teorema o promjeni kinetičke energije sistema
Prikazano u paragrafu 3.5. teorema vrijedi za bilo koju tačku sistema. Stoga, ako uzmemo u obzir neku tačku sistema sa masom mk i brzinom Vk, onda
Potencijalno polje sila i funkcija sile
Radite na pomjeranju sile F primijenjene u tački
Potencijalna energija
Za potencijalne sile može se izvesti koncept potencijalna energija, kao veličina koja "karakteriše zalihu rada" koja materijalna tačka u ovom paragrafu polje sile
Razmotrimo slučaj kada je relativno kretanje tela rotacija sa ugaonom brzinom oko ose postavljene na polugu (slika 198, a), a figurativno kretanje je rotacija poluge oko ose paralelne sa ugaonom brzinom Tada će kretanje tijela biti ravnoparalelno u odnosu na ravan okomitu na ose. Ovdje su moguća tri posebna slučaja.
1. Rotacije su usmjerene u jednom smjeru. Presjek S tijela prikazujemo ravninom koja je okomita na osi (Sl. 198, b). Tragove osa u odeljku 5 označavamo slovima A i B. Lako je videti da tačka A, kako leži na osi, dobija brzinu samo od rotacije oko ose B, dakle, na isti način
U ovom slučaju, vektori su međusobno paralelni (oba okomiti na AB) i usmjereni u različitim smjerovima. Tada je tačka C (vidi § 56, sl. 153, b) trenutni centar brzina i, shodno tome, osa paralelna sa osama, a Bb je trenutna osa rotacije tela.
Da bismo odredili ugaonu brzinu iz apsolutne rotacije tijela oko ose i položaja same ose, odnosno tačke C, koristimo se jednakošću [vidi. § 56, formula (57)]
Posljednji rezultat se dobija iz svojstava proporcija. Zamijenivši ove jednakosti, konačno nalazimo:
Dakle, ako tijelo istovremeno učestvuje u dvije rotacije usmjerene u istom smjeru oko paralelnih osa, tada će njegovo rezultirajuće kretanje biti trenutna rotacija sa apsolutnom kutnom brzinom oko trenutne ose paralelne podacima; položaj ove ose određen je proporcijama (98).
Vremenom, trenutna os rotacije mijenja svoj položaj, opisujući cilindričnu površinu.
2. Rotacije su usmjerene u različitim smjerovima. Nacrtajmo ponovo presjek S tijela (Sl. 199) i pretpostavimo za određenost da je wcos. Zatim, argumentirajući kao u prethodnom slučaju, nalazimo da će brzine tačaka A i B biti numerički jednake: u isto vrijeme, one su paralelne jedna s drugom i usmjerene u istom smjeru.
Tada trenutna os rotacije prolazi kroz tačku C (slika 199), i
Posljednji rezultat se također dobija iz svojstava proporcije. Zamjenom vrijednosti u ove jednakosti, konačno nalazimo:
Dakle, u ovom slučaju, rezultirajuće kretanje je i trenutna rotacija sa apsolutnom ugaonom brzinom oko ose, čiji je položaj određen proporcijama (100).
3. Par rotacija. Razmotrimo poseban slučaj kada su rotacije oko paralelnih osa usmjerene u različitim smjerovima (slika 200), ali po modulu.
Takav skup rotacija naziva se par rotacija, a vektori čine par ugaonih brzina. U ovom slučaju dobijamo: Tada (vidi § 56, sl. 153, a) trenutni centar brzina je u beskonačnosti i sve tačke tela u datom trenutku imaju istu brzinu.
Posljedično, rezultirajuće gibanje tijela će biti translacijsko (ili trenutno translacijsko) gibanje numerički jednakom brzinom i usmjereno okomito na ravan koja prolazi kroz vektore. Smjer vektora v određuje se na isti način kao i smjer kretanja tijela. moment para sila određen je u statici (vidi § 9). Drugim riječima, par rotacija je ekvivalentan translacijskom (ili trenutno translacijskom) kretanju sa brzinom v jednakom momentu para kutnih brzina ovih rotacija.
Ako su relativna i prenosiva kretanja tijela rotirajuća oko paralelnih osi (slika 133), tada je raspodjela apsolutnih brzina u tijelu u svakom trenutku ista kao i pri rotacijskom kretanju oko trenutne ose, koja je paralelna sa osi rotacija komponenti i dijeli udaljenost između njih interno (ako se smjer translacijske i relativne rotacije poklapaju) ili eksterno (ako su smjerovi ovih rotacija unazad) na dijelove obrnuto proporcionalne relativnoj i translacijskoj kutnoj brzini, tj.
gdje su translacijske, relativne i apsolutne ugaone brzine, respektivno.
Ako se pravci kutnih brzina i poklapaju (slika 133, a), tada je apsolutna ugaona brzina usmjerena u istom smjeru i jednaka je po apsolutnoj vrijednosti zbiru njihovih modula:
Ako su vektori i usmjereni u suprotnim smjerovima (slika 133, b), tada je apsolutna ugaona brzina usmjerena prema većem od njih i jednaka je po apsolutnoj vrijednosti razlici njihovih modula, tj.
Ako relativne i prenosive ugaone brzine čine par ugaonih brzina, tj. (Sl. 133, c), tada je raspodela apsolutnih brzina u telu ista kao i kod translacionog kretanja, a apsolutna brzina bilo koje tačke tela u datom trenutku jednak je vektoru - momentu navedenih parova:
Prilikom rješavanja problema sabiranja rotacija oko paralelnih osa često ne operišu modulima ugaonih brzina, već njihovim algebarskim vrijednostima, koje su projekcije ugaonih brzina na osu paralelnu osi razmatranih rotacija. Izbor pozitivnog smjera naznačene ose je proizvoljan.
U ovom slučaju, kutne brzine jednog smjera su pozitivne, a suprotnog smjera negativne vrijednosti, a apsolutna ugaona brzina se izražava kao algebarski zbir komponenti ugaonih brzina.
Primer 94. U diferencijalnom mehanizmu (Sl. 134, a i b), vodeće karike su točak 1 i nosač H, koji nose osu dvostrukog satelita. Poznavajući ugaone brzine oba točka 1 i nosača H, kao i broj zubaca svih točkova, pronađite ugaonu brzinu točka 3.
Odluka. metoda (Willisova metoda). Suština metode je u tome da se problem analize planetarnih i diferencijalnih mehanizama svede na analizu običnih zupčastih mehanizama prelaskom sa apsolutnog kretanja karika razmatranog planetarnog mehanizma na njihovo relativno kretanje u odnosu na vozača.
Pretpostavimo da imamo planetarni mehanizam čije su ose točkova paralelne. Označimo algebarskim vrijednostima apsolutnih ugaonih brzina veza i nosača H.
Da bismo se kretali u odnosu na nosač, hajde da mentalno informišemo čitav sistem rotacije oko ose nosača ugaonom brzinom (tj. jednakom ugaonoj brzini nosača, ali usmerenom u suprotnom smeru). Tada će se nosač zaustaviti, a veze i, na osnovu teoreme sabiranja rotacije, će dobiti ugaone brzine . Kako kod fiksnog nosača dobijemo običan zupčasti mehanizam čije se karike okreću oko fiksnih osi, onda se na ovaj mehanizam može primijeniti formula (97) za prijenosne odnose, što nas dovodi do takozvane Willisove formule:
gdje je prijenosni omjer između karika i u njihovom kretanju u odnosu na nosač H (kao što je naznačeno superskriptom). Ovaj omjer prijenosa, kao što je već spomenuto, može se izraziti kroz konstrukcijske i geometrijske parametre mehanizma (broj zubaca ili polumjere početnih kružnica koje se nalaze u zahvatu kotača).
U našem zadatku primjenjujemo Willisovu formulu na veze 1 i 3:
(omjer prijenosa između kotača 5 i 2 je pozitivan, jer kotači imaju unutrašnji prijenos);
(ovdje je omjer prijenosa negativan, budući da kotači 2 imaju vanjski prijenos).
dakle,
Neka, na primjer, i, osim toga, točak i nosač H rotiraju u istom smjeru s ugaonim brzinama i . U ovom slučaju . Ako bi točak i nosač H rotirali u suprotnim smjerovima, tada bi se kutna brzina jedne od ovih karika morala smatrati pozitivnom vrijednošću, a drugom negativnom.
U ovom slučaju, sa istim apsolutnim vrijednostima ugaonih brzina veza i H, imali bismo:
tj. točak 3 bi se rotirao u istom smjeru kao i nosač, budući da se znaci njihovih ugaonih brzina poklapaju.
Ako popravimo točak, dobićemo jednostavan planetarni mehanizam. Willisova formula u ovom slučaju ostaje na snazi, potrebno je samo unijeti ovu formulu koja daje:
2. metoda (metoda trenutnih centara brzina). Budući da veze planetarnog ili diferencijalnog mehanizma sa paralelnim osovinama vrše ravnoparalelno kretanje, pri analizi takvog mehanizma može se primijeniti teorija ravnoparalelnog kretanja, a posebno koristiti metodu trenutnih centara brzina. Korisno je rješenje zadatka popratiti konstrukcijom trouglova brzina, koji se obično vade iz mehanizma (Sl. 134, c). Radijusi točkova razmatranog mehanizma biće označeni sa . Onda imamo.