TEORIJSKA MEHANIKA
UDK 531.8:621.8
D.M. Kobylyansky, V.F. Gorbunov, V.A. Gogolin
KOMPATIBILNOST ROTACIJE I OSCILACIJA TELA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE
Razmislite ravno tijelo T, na kojem su postavljene tri idealne veze, sprečavajući samo da se tijelo kreće u svim smjerovima, kao što je prikazano na slici 1a. Veze su tačke A, B, C, koje se nalaze u vrhovima jednakostraničnog trougla. Odabirom koordinatnog sistema tako da se njegov centar poklapa sa centrom trougla i poravnat sa njim (slika 1a), imamo koordinate veza: ^-Ld/e /2; -I / 2), gde je I rastojanje od centra trougla do njegovih vrhova, odnosno poluprečnik kružnice koja prolazi kroz tačke A, B, C. U ovom položaju telo će imati jedan stepen od slobode, samo ako se normale na njegovu granicu u tačkama A, B, C sijeku u jednoj tački, koja će biti trenutni centar brzina. U suprotnom, broj stupnjeva slobode tijela jednak je nuli i ono ne može ne samo da se kreće naprijed, već i vrši rotaciono kretanje. Kada tijelo ima jedan stepen slobode, ono može početi rotirati sa trenutnim centrom rotacije u tački presjeka gornjih normala. Neka je ova tačka ishodište koordinata, tačka O. Ako trenutno središte rotacije ne promeni svoj položaj, tada je jedini mogući oblik tela T kružnica poluprečnika R sa centrom u tački O.
Nastaje problem - postoje li drugi oblici tijela koji mu omogućavaju da se rotira u odnosu na neki pokretni centar tako da
da li je tijelo u kontinuitetu prolazilo kroz tri tačke A, B, C bez prekidanja ovih veza? U nama poznatoj literaturi takav problem nije razmatran i, po svemu sudeći, prvi put je riješen.
Da bismo riješili ovaj problem, prvo razmatramo kretanje trougla ABC kao krutog tijela u odnosu na koordinatni sistem X1O1Y1 koji je povezan s tijelom T (slika 1b). Zatim, ako se kretanje trokuta dogodi na takav način da njegovi vrhovi kontinuirano ostaju na granici tijela uz punu rotaciju trokuta za 360 °, tada će i tijelo izvršiti traženo kretanje u suprotnom smjeru u odnosu na fiksni trougao ABC i pridruženi XOU koordinatni sistem.
Kretanje trougla ABC definiramo kao rotaciju oko centra O i pomicanje centra O duž ose OíXi za /(r), duž ose OíUi za g(t). Tada će parametarska jednačina putanje tačke A izgledati ovako: uí=g-êo,?´ + g(t), ´ê (1)
Kako za r=0 tačka O mora da se poklapa sa tačkom O1, mora biti zadovoljen uslov /(0)= g(0)=0. Zahtevamo da se pri skretanju kroz ugao r=2n/3 tačka A poklapa sa tačkom B1, tačka B sa tačkom Ci, a tačka C
Sa tačkom A1. Prilikom skretanja kroz ugao r=4p/3, tačka A mora ići do tačke C1, tačka B - do tačke A1, a tačka C - do tačke B1. Kombinovanje ovih zahteva za kretanje vrhova trokuta dovodi do uslova o vrednostima funkcija pomeranja centra rotacije /(0)=/(2 p/3)=/(4 p/3)= 0; g0)=g(2l/3)=g(4l/3)=0 . (2) Uvjete (2) zadovoljava široka klasa funkcija, posebno funkcije oblika sin(3mt/2), gdje je m cijeli broj, a njihova linearne kombinacije sa varijablama u opštem slučaju koeficijentima oblika:
H (r) \u003d ^ bm (r) 8n (3m / 2)
Osim toga, kao
Fig.1. Šema proračuna: a) - položaj fiksnog tijela i njegovih veza u sistemu HOU; b) - položaj fiksnog sistema X1O1U1 povezanog sa tijelom, i mobilnog sistema XOU povezanog sa trouglom ABC
Fig.2. Oblici tijela i trajektorije kretanja njihovih centara rotacije
Rice. 3. Položaj tijela pri okretanju kroz ugao ri odgovarajuću putanju kretanja njegovog centra rotacije
funkcije pomaka, mogu se uzeti funkcije koje definiraju zatvorene krivulje, kao što su npr. cikloidi, trohoidi, lemniskati, sa odgovarajućim parametrima prema uvjetu (2). U ovom slučaju, sve moguće funkcije moraju biti periodične s periodom od 2n/3.
Dakle, sistem parametarskih jednadžbi (1) sa uslovima na vrednosti funkcija /(^, g(t) (2) ili u njihovom obliku (3) daje željenu jednačinu za granicu tela T. Na slici 2 prikazani su primjeri mogućih oblika tijela koji zadovoljavaju uslove zadatka. U centru svake slike je prikazana putanja centra rotacije O1, a veze tačaka A, B, C su uvećane radi bolje vizualizacije. Ovi primjeri pokazati i to jednostavni pogledi funkcije iz klase definirane izrazom (3) sa konstantni koeficijenti, daju nam prilično širok skup krivulja koje opisuju granice tijela koja rotiraju i
fluktuacije u isto vrijeme sa samo jednim stepenom slobode. Granične krive a), c) na slici 2 odgovaraju kretanju centra rotacije samo duž horizontalne ose
OíHí prema harmonijskom zakonu, i očigledno imaju dvije ose simetrije i mogu biti ili čisto konveksni, ovalni (slika 2a), ili kombinovati konveksnost sa konkavnošću (slika 2b). Uz vertikalni i horizontalni harmonijski zakon sa istom amplitudom kretanja centra rotacije, granične krivulje gube svoju simetriju (sl. 2 c, d). Značajan uticaj frekvencije harmonijskih oscilacija na oblik granične krive tela prikazan je na slici 2e, f. Bez sprovođenja u ovom radu potpuna analiza uticaj amplitude i frekvencije na oblik i geometrijska svojstva granične krivulje, želio bih napomenuti da primjeri prikazani na slici 2 već pokazuju mogućnost rješavanja tehničkih problema odabirom željeni oblik
tijelo da ga kombinuju rotaciono kretanje sa oscilacijama u ravni rotacije.
Uzimajući u obzir sada kretanje tijela u odnosu na fiksni XOY koordinatni sistem povezan s trouglom ABC, odnosno prelazak iz koordinatnog sistema X1O1Y1 u koordinatni sistem XOY, dobijamo sljedeće parametarske jednačine granična kriva tijela pod datim uglom rotacije p x=cosp-
Cosp(4)
ili uzimajući u obzir jednačine (1), jednačine (4) imaju oblik x = cosp-
- [ R cos(t) + g (t) - g (p)] sin p, y = sin p +
Cos p.
Jednačine (5) omogućavaju da se opiše putanja bilo koje tačke tijela duž zadanog polariteta.
t-g.i m*4<. п-і
t-ÍLÍtWM. d-0
Rice. 4. Varijante oblika tela sa različitim brojem veza, obezbeđujući kompatibilnost rotacije i vibracije tela
koordinate R,t. Konkretno, kod R=0, t=0 imamo tačku koja se poklapa sa ishodištem Ob, odnosno centrom rotacije, čija je putanja u šemi koja se razmatra opisana jednadžbama koje slijede iz (5):
* 0 \u003d -f (f) cos f + g (f) sin f, y0 \u003d - f (f) sin f-g (f) cos p.
Na slici 3 prikazan je primjer položaja tijela (sl. 2b) kada se rotira za ugao φ, au centru svake slike prikazana je putanja centra rotacije
Oí , što odgovara rotaciji tijela kroz ovaj ugao. Tehnički je lako napraviti animaciju
kretanja tijela prikazanog na slici 3 umjesto fizičkog modela, međutim okvir članka u časopisu to može dozvoliti samo u elektronskoj verziji. Prikazani primjer je bio
Generalizacija razmatranog problema je sistem od n idealnih veza u obliku tačaka koje se nalaze na vrhovima pravilnog n-ugla, sprečavajući samo translaciona kretanja tela. Stoga, kao iu slučaju trougla, tijelo može početi da se okreće oko centra rotacije, što je tačka preseka normala na granicu tela u tačkama veze. U ovom slučaju, jednačina putanje tačke tijela A, koja se nalazi na osi OY, a udaljena je od centra rotacije na udaljenosti R, imat će isti oblik kao (1). Uvjeti za vrijednosti funkcija pomicanja centra rotacije (2) u ovom slučaju će se uzeti
Kobylyansky Gorbunov
Dmitrij Mihajlovič Valerij Fedorovič
student doktorskih studija stacionarni i - doc. tech. nauka, prof. cafe stotinu
transportna vozila stacionarna i transportna vozila
f(2kp/p)=g(2kp/p)=0. (7)
Uslov (7) odgovara periodičnim funkcijama sa periodom od 2n/n, na primer 8m(n-m4/2), kao i njihovim linearnim kombinacijama oblika (3) i drugim funkcijama koje opisuju zatvorene krive. Rezonovanje slično navedenom dovodi do istih jednačina (4-6), koje omogućavaju izračunavanje oblika tijela, njegovog položaja tokom rotacije i putanje centra rotacije uz vibracije tijela u skladu s rotacijom. Primjer takvih proračuna je slika 4, na kojoj isprekidana linija pokazuje početni položaj tijela, puna linija pokazuje položaj tijela pri okretanju kroz ugao l / 3, a u središtu svake slike je puna putanja centra rotacije kada je tijelo potpuno rotirano. I iako se u ovom primjeru razmatra samo horizontalno kretanje centra rotacije O, kao centra n-ugla, dobijeni rezultati pokazuju širok raspon mogućih oblika tijela s jednim stupnjem slobode, kombinirajući rotacijsko kretanje s vibracijama. u prisustvu četiri, pet i šest obveznica.
Dobivena metoda za proračun kompatibilnosti kretanja rotacije i oscilovanja tijela sa jednim stepenom slobode može se koristiti i bez ikakvih dodataka za prostorna tijela u kojima su zabranjena kretanja po trećoj koordinati i rotacije u drugim koordinatnim ravnima.
Gogolin Vjačeslav Anatolijevič
dr. tech. nauka, prof. cafe primijenjeni matematičar i
Kao što znate, tijelo koje nije ni na koji način ograničeno u svojim pokretima naziva se slobodnim, jer se može kretati u bilo kojem smjeru. Dakle, svako slobodno kruto tijelo ima šest stupnjeva slobode kretanja. Ima mogućnost izvođenja sljedećih pokreta: tri translacijska kretanja, koja odgovaraju tri glavna koordinatna sistema, i tri rotirajuća kretanja oko ove tri koordinatne ose.
Nametanje veza (fiksiranje) smanjuje broj stupnjeva slobode. Dakle, ako je tijelo fiksirano u jednoj od svojih tačaka, ono se ne može kretati duž koordinatnih osa, njegovo kretanje je ograničeno samo rotacijom oko ovih osa, tj. telo ima tri stepena slobode. U slučaju kada su dve tačke fiksirane, telo ima samo jedan stepen slobode, može se rotirati samo oko prave (ose) koja prolazi kroz obe ove tačke. I konačno, sa tri fiksne tačke koje ne leže na istoj pravoj, broj stepeni slobode je nula i ne može biti pokreta tela. Kod osobe pasivni aparat za kretanje čine dijelovi njegovog tijela, koji se nazivaju karike. Svi su međusobno povezani, pa gube mogućnost tri vrste kretanja duž koordinatnih osa. Imaju samo mogućnost rotacije oko ovih osa. Dakle, maksimalni broj stepena slobode koji jedna karika tela može imati u odnosu na drugu kariku pored nje je tri.
To se odnosi na najpokretnije zglobove ljudskog tijela, koji imaju sferni oblik.
Serijski ili razgranati spojevi dijelova tijela (karike) formiraju kinematičke lance.
Osoba se razlikuje:
- - otvorenih kinematičkih lanaca imaju slobodan pokretni kraj, fiksiran samo na jednom kraju (na primjer, ruka u odnosu na tijelo);
- - zatvoreni kinematicki lanci, fiksiran na oba kraja (na primjer, pršljen - rebro - sternum - rebro - pršljen).
Treba napomenuti da se ovo odnosi na potencijalni opseg pokreta u zglobovima. U stvarnosti, kod živog čoveka ovi pokazatelji su uvek manji, što dokazuju brojni radovi domaćih istraživača - P. F. Lesgafta, M. F. Ivanitskog, M. G. Privesa, N. G. Ozolina i drugih. Na živu osobu utiče niz faktora koji se odnose na godine, pol, individualne karakteristike, funkcionalno stanje nervnog sistema, stepen istezanja mišića, temperatura okoline, doba dana i, na kraju, što je važno za sportiste, stepen kondicije. Dakle, u svim zglobovima kostiju (diskontinuiranim i kontinuiranim) stepen pokretljivosti kod mladih je veći nego kod starijih osoba; žene u prosjeku više od muškaraca. Na količinu pokretljivosti utiče stepen istezanja onih mišića koji se nalaze na strani suprotnoj od pokreta, kao i snaga mišića koji taj pokret proizvode. Što je prvi od ovih mišića elastičniji, a drugi jači, veći je opseg pokreta u datom zglobu kostiju, i obrnuto. Poznato je da u hladnoj prostoriji pokreti imaju manji obim nego u toploj, ujutro su manji nego uveče. Upotreba različitih vježbi na različite načine utječe na pokretljivost zglobova. Dakle, sistematski trening sa vežbama „fleksibilnosti“ povećava obim pokreta u zglobovima, dok ga vežbe „snage“, naprotiv, smanjuju, što dovodi do „porobljavanja“ zglobova. Međutim, smanjenje obima pokreta u zglobovima tokom primjene vježbi snage nije apsolutno neizbježno. To se može spriječiti pravilnom kombinacijom vježbi snage s vježbama istezanja za iste mišićne grupe.
U otvorenim kinematičkim lancima ljudskog tijela, mobilnost se računa u desetinama stupnjeva slobode. Na primjer, pokretljivost ručnog zgloba u odnosu na lopaticu i pokretljivost tarzusa u odnosu na karlicu imaju po sedam stupnjeva slobode, a vrhovi prstiju šake u odnosu na grudni koš imaju 16 stupnjeva slobode. Ako zbrojimo sve stepene slobode udova i glave u odnosu na telo, onda će to biti izraženo brojem 105 koji se sastoji od sledećih položaja:
- - glava - 3 stepena slobode;
- - ruke - 14 stepeni slobode;
- - noge - 12 stepeni slobode;
- - ruke i stopala - 76 stepeni slobode.
Poređenja radi, ističemo da velika većina mašina ima samo jedan stepen slobode kretanja.
U sfernim spojevima moguće su rotacije oko tri međusobno okomite ose. Ukupan broj osa oko kojih su moguće rotacije u ovim spojevima je beskonačno velik. Dakle, za sferne zglobove možemo reći da karike koje se u njima artikulišu od mogućih šest stepeni slobode kretanja imaju tri stepena slobode i tri stepena povezanosti.
Zglobovi sa dva stepena slobode kretanja i četiri stepena povezanosti imaju manju pokretljivost. To uključuje zglobove jajolikog ili eliptičnog i sedlastog oblika, tj. biaxial. Mogu se kretati oko ove dvije ose.
Jedan stepen slobode pokretljivosti i istovremeno pet stepena povezanosti imaju karike tela u onim zglobovima koji imaju jednu os rotacije, tj. imaju dvije fiksne tačke.
U pretežnom dijelu zglobova ljudskog tijela postoje dva ili tri stepena slobode. Uz nekoliko stupnjeva slobode kretanja (dva ili više), moguć je beskonačan broj putanja. Zglobovi kostiju lobanje imaju šest stepena povezanosti i nepokretni su. Spajanje kostiju uz pomoć hrskavice i ligamenata (sinhondroza i sindezmoza) u nekim slučajevima može imati značajnu pokretljivost, što ovisi o elastičnosti i veličini hrskavičnih ili vezivnih tkiva koje se nalaze između ovih kostiju.
Vibracije sa nekoliko stupnjeva slobode.
Kratke informacije iz teorije.
Sistemi sa n moćisloboda U dinamici je uobičajeno da se takvi sistemi nazivaju, za potpunu fiksaciju geometrijskog stanja koje je u svakom trenutku potrebno postaviti P parametri, npr. položaj (progibi) P bodova. Položaj ostalih tačaka određuje se uobičajenim statičkim metodama.
Primjer sistema sa P greda ili ravan okvir mogu poslužiti kao stepeni slobode ako se smatra da su mase njegovih pojedinačnih dijelova ili elemenata konvencionalno (da bi se olakšao dinamički proračun) koncentrisane u P bodova, ili ako nosi n velikih masa (motori, motori), u poređenju sa kojima je moguće zanemariti vlastitu težinu elemenata. Ako se pojedinačne koncentrisane ("tačkaste") mase mogu kretati u dva smjera tokom vibracija, tada će broj stupnjeva slobode sistema biti jednak broju ograničenja koja treba nametnuti sistemu kako bi se eliminisala pomjeranja svih mase.
Ako se sistem sa n stepeni slobode izvadi iz ravnoteže, onda će on raditi slobodne vibracije , a svaka "tačka" (masa) će izvoditi složene poliharmonične oscilacije tipa:
Konstante A i i B i zavisi od početni uslovi kretanje (odstupanja masa od statičkog nivoa i brzina u trenutku vremena t=0). Samo u nekim, posebnim, slučajevima pobuđivanja oscilacija, poliharmonično kretanje za pojedinačne mase može preći u harmonijsko, tj. kao u sistemu sa jednim stepenom slobode:
Broj prirodnih frekvencija sistema jednak je broju njegovih stepena slobode.
Za izračunavanje prirodnih frekvencija potrebno je riješiti takozvanu frekvencijsku determinantu, napisanu u ovom obliku:
Ovaj uslov u proširenom obliku daje jednačinu P stepen za utvrđivanje P vrijednosti ω 2 , što se zove jednačina frekvencija.
Kroz δ 11, δ 12, δ 22, itd. naznačeni su mogući pokreti. Dakle, δ 12 je pomak u prvom smjeru točke lokacije prve mase od jedinične sile primijenjene u drugom smjeru do točke lokacije druge mase, itd.
Sa dva stepena slobode, jednadžba frekvencija ima oblik:
Odakle za dvije frekvencije imamo:
U slučaju kada pojedinačne mase M i može izvoditi, u kombinaciji s linearnim pokretima, također rotacijske ili samo rotacijske pokrete i-ta koordinata će biti ugao rotacije, au determinanti frekvencije masa
M i treba zamijeniti momentom inercije mase J i; odnosno moguća kretanja u pravcu i-ta koordinata ( δ i 2 , δ i 2 itd.) će biti ugaoni pomaci.
Ako bilo koja masa oscilira u nekoliko smjerova - i-mu i k-mu (na primjer, po vertikali i horizontali), tada takva masa nekoliko puta učestvuje u determinanti pod brojevima M i njima k i odgovara nekoliko mogućih pomaka ( δ ii, δ kk, δ ik itd.).
Imajte na umu da svaka prirodna frekvencija ima svoj poseban oblik oscilovanja (prirodu zakrivljene ose, linija otklona, pomaka, itd.), koji se u pojedinačnim, posebnim slučajevima može pokazati kao validan oblik oscilovanja, ako samo su slobodne oscilacije ispravno ili pobuđene (pravilni selekcijski impulsi, tačke njihove primjene, itd.). U tom slučaju će se oscilacije sistema vršiti prema zakonima kretanja sistema sa jednim stepenom slobode.
U opštem slučaju, kao što sledi iz izraza (9.1), sistem vrši poliharmonične oscilacije, ali je očigledno da se svaka složena elastična linija, u kojoj se reflektuje uticaj svih prirodnih frekvencija, može razložiti na zasebne komponente oblika, svaka od što odgovara sopstvenoj frekvenciji. Proces takve dekompozicije pravog oblika oscilacija na komponente (koja je neophodna pri rješavanju složenih problema dinamike izgradnje) naziva se dekompozicija prema oblicima prirodnih oscilacija.
Ako u svakoj masi, tačnije, u pravcu svakog stepena slobode, primenimo uznemirujuću silu koja varira u vremenu u skladu sa harmonijskim zakonom
ili , što je svejedno za ono što slijedi, a amplitude sila za svaku masu su različite, a frekvencija i faze su iste, onda će s produženim djelovanjem takvih ometajućih sila, sistem vršiti stabilne prisilne oscilacije sa frekvencijom pokretačke snage. Amplitude kretanja u bilo kojem smjeru i- stepen u ovom slučaju će biti:gdje je determinanta D napisana prema (9.2) sa ω zamijenjenim sa θ i, prema tome, D≠0; D i je definisan izrazom:
one. i kolonu determinante D zamjenjuje stupac sastavljen od člana oblika: Za slučaj dva stepena slobode: (9.6)I shodno tome
Pri proračunu za prisilne vibracije greda konstantnog poprečnog presjeka, koje nose koncentrisane mase (slika 9.1).
Međutim, lakše je koristiti sljedeće formule za amplitude otklona, kut rotacije, moment savijanja i posmičnu silu u bilo kojem dijelu grede:
(9.7)gdje y 0 , φ 0 , M 0 , Q 0 su amplitude otklona, rotacije, momenta i poprečne sile početnog presjeka (početni parametri); M i I J i- masa i njen moment inercije (koncentrisane mase); znak ∑ važi za sve sile i koncentrisane mase koje se nalaze od početnog preseka do ispitivanog.
Ove formule (9.7) se mogu koristiti i za izračunavanje prirodnih frekvencija, za koje je potrebno uzeti u obzir uznemirujuće sile ∑ Ri i momenti ∑ Mi jednaku nuli, zamijeniti frekvenciju prisilnih oscilacija θ sa frekvencijom prirodnih oscilacija ω i, uz pretpostavku postojanja oscilacija (slobodnih oscilacija), napisati izraze (9.7) u odnosu na odsječke gdje se nalaze koncentrisane mase i amplitude su već poznate ( referentni presjeci, osa simetrije, itd.). Dobijamo sistem homogenih linearnih jednačina. Izjednačavajući determinantu ovog sistema sa nulom, moći ćemo da izračunamo prirodne frekvencije.
Pokazalo se da je svrsishodno koristiti izraze (9.4) i (9.5) za određivanje amplituda ( y 0 , φ 0 , itd.) kada X=0, a zatim pomoću (9.7) izračunati sve ostale elemente otklona.
Teži je problem izračunavanja kretanja sistema sa nekoliko stepeni slobode pod dejstvom proizvoljnog opterećenja koje varira u vremenu i primenjuje se na različite mase.
Prilikom rješavanja takvog problema treba postupiti na sljedeći način:
a) odrediti prirodne frekvencije i oblike prirodnih vibracija;
b) pregrupisati dato opterećenje između masa ili, kako se kaže, razložiti prema modovima prirodnih oscilacija. Broj grupa opterećenja jednak je broju prirodnih frekvencija sistema;
c) nakon izvršenja gornje dvije pomoćne operacije za svaku grupu opterećenja napraviti proračun prema poznatim formulama iz teorije oscilacija sistema sa jednim stepenom slobode, a frekvencija prirodnih oscilacija u ovim formulama se uzima kao onaj koji odgovara ovoj grupi opterećenja;
d) sumiraju se pojedinačna rješenja iz svake kategorije opterećenja, čime se određuje konačno rješenje problema.
Definicija prirodnih frekvencija vrši se prema (9.2). Što se tiče identifikacije oblika prirodnih vibracija, ovdje je potrebno voditi se glavnim svojstvom bilo kojeg oblika prirodnih vibracija, da je to linija utjecaja otklona od sila (čiji je broj jednak broj stepeni slobode) proporcionalan proizvodu masa i ordinatama otklona tačaka vezivanja masa. Sa jednakim masama, oblik prirodnih oscilacija predstavlja liniju otklona od sila proporcionalnih ordinatama otklona; dijagram opterećenja je sličan dijagramu progiba.
Najniža frekvencija odgovara najjednostavnijem obliku oscilacije. Kod greda ovaj oblik najčešće odgovara zakrivljenoj osi sistema pod uticajem sopstvene težine. Ako je ova struktura manje kruta u bilo kojem smjeru, na primjer, u horizontalnom smjeru, tada je kako bi se otkrila priroda željene zakrivljene osi potrebno uvjetno primijeniti vlastitu težinu u tom smjeru.
Oscilacije sistema sa više stepena slobode, koje imaju važne praktične primene, razlikuju se od oscilacija sistema sa jednim stepenom slobode po nizu bitnih karakteristika. Da biste dobili predstavu o ovim karakteristikama, razmotrite slučaj slobodnih oscilacija sistema sa dva stepena slobode.
Neka je pozicija sistema određena generalizovanim koordinatama i neka je sistem u stabilnoj ravnoteži na . Tada se kinetička i potencijalna energija sistema, do kvadrata malih vrijednosti, mogu naći na isti način kao što su nađene jednakosti (132), (133) i mogu se predstaviti kao:
gdje su inercijski koeficijenti i koeficijenti kvazielastičnosti konstantne vrijednosti. Ako koristimo dvije Lagrangeove jednadžbe oblika (131) i zamijenimo ove vrijednosti T i P u njih, dobićemo sljedeće diferencijalne jednadžbe za male oscilacije sistema sa dva stupnja slobode
Rješenje jednadžbi (145) tražit ćemo u obliku:
gdje su A, B, k, a konstante. Zamjenom ovih vrijednosti u jednačine (145) i smanjenjem dobijamo
Da bi jednačine (147) dale rješenja za A i B koja su različita od jula, determinanta ovog sistema mora biti jednaka nuli, ili, u suprotnom, koeficijenti A i B u jednačinama moraju biti proporcionalni, tj.
Odavde, za definiciju, dobijamo sljedeću jednačinu, koja se zove jednačina frekvencija.
Korijeni ove jednačine su realni i pozitivni; to je matematički dokazano, ali se može opravdati i činjenicom da inače jednačine (145) neće biti realne i neće imati rješenja oblika (146), što ne može biti za sistem u stabilnoj ravnoteži (nakon perturbacija, mora se kretati blizu pozicije
Nakon što smo definirali nz (149) , nalazimo dva skupa partikularnih rješenja oblika (146). S obzirom da će prema ovim odlukama:
gdje i su vrijednosti koje dobijam iz (148) sa i respektivno.
Oscilacije definisane jednačinama (150) i (151) nazivaju se glavnim oscilacijama, a njihove frekvencije i k su prirodne frekvencije sistema. U ovom slučaju, oscilacija s frekvencijom (uvijek se mijenja) naziva se prva glavna oscilacija, a s frekvencijom - druga glavna oscilacija. Brojevi koji određuju omjer amplituda (ili samih koordinata, tj.) u svakoj od ovih oscilacija nazivaju se koeficijenti oblika.
Budući da su jednadžbe (145) linearne, sume pojedinih rješenja (150) i (151) također će biti rješenja ovih jednačina:
Jednačine (152), koje sadrže četiri proizvoljne konstante određene iz početnih uslova, daju opšte rešenje jednačina (145) i određuju zakon malih oscilacija sistema. oscilacije se sastoje od dvije glavne oscilacije sa frekvencijama i nisu harmonične. U posebnim slučajevima, pod odgovarajućim početnim uslovima, sistem može izvršiti jednu od glavnih oscilacija (na primjer, prvu ako ) i oscilacija će biti harmonijska.
Vlastite frekvencije i faktori oblika ne zavise od početnih uslova i glavne su karakteristike malih oscilacija sistema; rješavanje konkretnih problema obično se svodi na određivanje ovih karakteristika.
Upoređujući rezultate ovog i prethodnih odjeljaka, može se dobiti predstavu na što će se svesti proučavanje prigušenih i prisilnih oscilacija sistema sa dva stepena slobode. Ovo nećemo razmatrati, samo ćemo primetiti da se tokom prisilnih oscilacija rezonancija takvog sistema može desiti dva puta: na i na ( je frekvencija uznemirujuće sile). Na kraju, napominjemo da će oscilacije sistema sa s stepenima slobode biti sastavljene od s oscilacija sa frekvencijama koje se moraju odrediti iz jednačine stepena s u odnosu na To je zbog značajnih matematičkih poteškoća koje se mogu prevazići uz pomoć elektronskih računara (ili analognih) mašina.
Zadatak 185. Odrediti prirodne frekvencije i koeficijente oblika malih oscilacija dvostrukog fizičkog klatna formiranog od štapova i 2 iste mase i dužine l (sl. 374, a).
Rješenje. Male uglove biramo kao generalizovane koordinate. Zatim , gdje i, sa potrebnom preciznošću proračuna, . Na kraju
Prema (3.7), sistem jednačina za II=2 izgleda kao:
Pošto je riječ o slobodnim vibracijama, desna strana sistema (3.7) uzima se jednakom nuli.
Tražimo rješenje u formi
Nakon zamjene (4.23) u (4.22), dobijamo:
Ovaj sistem jednačina vrijedi za proizvoljan t, stoga su izrazi zatvoreni u uglastim zagradama nulti. Tako dobijamo linearni sistem algebarskih jednadžbi u odnosu na A i IN.
Očigledno trivijalno rješenje za ovaj sistem L= Oh, B = O prema (4.23) odgovara odsustvu vibracija. Međutim, uz ovo rješenje postoji i netrivijalno rješenje A * O, V F 0 pod uslovom da je determinanta sistema A ( to 2) jednako je nuli:
Ova determinanta se zove frekvencija, a jednačina je relativna k - jednačina frekvencije. Proširena funkcija A(k 2) može se predstaviti kao
Rice. 4.5
Kada je RcYa - ^2 > ® i sa n ^-4>0 graf A (k2) ima oblik parabole koja seče x-osu (slika 4.5).
Pokažimo da gore navedene nejednakosti vrijede za oscilacije oko stabilnog ravnotežnog položaja. Transformacija izraza za kinetička energija na sljedeći način:
At q, = 0 imamo T = 0,5a .
Zatim dokazujemo da su korijeni jednadžbe frekvencija (4.25) dvije pozitivne vrijednosti to 2 i do 2(u teoriji oscilacija manji indeks odgovara nižoj frekvenciji, tj. k ( U tu svrhu prvo uvodimo koncept parcijalne frekvencije. Ovaj pojam se podrazumijeva kao prirodna frekvencija sistema sa jednim stepenom slobode dobijenom iz originalnog sistema fiksiranjem svih generalizovanih koordinata, osim jedne. Tako npr. , ako je u prvoj od jednačina sistema mi (4.22) prihvatamo q 2 = 0, tada će parcijalna frekvencija biti p (=yjc u /a n. Slično, fiksiranje p 2 ~^c p / a 21 .
Da jednačina frekvencije (4.25) ima dva realna korijena do x I k 2, potrebno je i dovoljno da se, prvo, grafik funkcije A (do 2) at k = 0 bi imala pozitivnu ordinatu, a drugo tako da prelazi x-osu. Slučaj više frekvencija do (= do. ), kao i nestajanje najniže frekvencije, ovdje se ne razmatra. Prvi od ovih uslova je ispunjen, budući da je q (0) = c „ c 22 - sa i> 0 Lako je provjeriti valjanost drugog uvjeta zamjenom u zavisnost (4.25) k = k = p 2; dok A(p, 2) Informacije ove vrste u inženjerskim proračunima olakšavaju prognoze i procjene.
Dobijene dvije vrijednosti frekvencije to, And do 2 odgovaraju parcijalnim rješenjima oblika (4.23), pa opće rješenje ima sljedeći oblik:
Dakle, svaka od generalizovanih koordinata učestvuje u složenom oscilatornom procesu, a to je sabiranje harmonijskih kretanja različitih frekvencija, amplituda i faza (slika 4.6). Frekvencije k t I do 2 su generalno nesamerljive, pa q v c, nisu periodične funkcije.
Rice. 4.6
Odnos amplituda slobodnih oscilacija na fiksnoj prirodnoj frekvenciji naziva se faktor oblika. Za sistem sa dva stepena slobode, koeficijenti oblika (3.= B.J.A." određuju se direktno iz jednačina (4.24):
Dakle, koeficijenti oblika p, = B 1 /A [ i r.,= V., / A., zavise samo od parametara sistema i ne zavise od početnih uslova. Koeficijenti oblika karakterišu za razmatranu prirodnu frekvenciju to. raspodjela amplituda duž oscilatornog kruga. Kombinacija ovih amplituda formira tzv oblik oscilovanja.
Negativan faktor oblika znači da su oscilacije u antifazi.
Kada se koriste standardni kompjuterski programi, ponekad se koriste koeficijenti normalizovanog oblika. Ovaj termin se razume
U koeficijentu p'r indeks i odgovara koordinatnom broju i indeksu G- frekvencijski broj. Očigledno je da 
ili Lako je vidjeti da je p*
U sistemu jednačina (4.28) preostale četiri nepoznanice A g A 2, oc, cx 2 određuju se korištenjem početnih uslova:
Prisustvo linearne sile otpora, baš kao u sistemu sa jednim stepenom slobode, dovodi do prigušenja slobodnih oscilacija.
Rice. 4.7
Primjer. Odredimo prirodne frekvencije, parcijalne frekvencije i faktore oblika za oscilatorni sistem prikazan na Sl. 4.7, ali. Uzimajući kao generalizirane koordinate apsolutne pomake mase.r, = q v x 2 = q. r Napišimo izraze za kinetičku i potencijalnu energiju:
Na ovaj način,
Nakon zamjene u frekvencijske jednačine (4.25), dobijamo
Štaviše, prema (4.29)
Na sl. 4.7, b dati su talasni oblici. U prvom obliku oscilacije, mase se kreću sinhrono u jednom smjeru, au drugom u suprotnom smjeru. Osim toga, u potonjem slučaju pojavio se poprečni presjek N, ne učestvuje u oscilatornom procesu sa sopstvenom frekvencijom k r Ova tzv oscilacijski čvor.