/

Primjeri izračunavanja logaritma kompleksnog broja. Logaritam - svojstva, formule, graf



Plan:

    Uvod
  • 1 Realni logaritam
  • 2 Kompleksni logaritam
    • 2.1 Definicija i svojstva
    • 2.2 Primjeri
    • 2.3 Analitički nastavak
    • 2.4 Rimanova površina
  • 3 Istorijski pregled
    • 3.1 Realni logaritam
    • 3.2 Kompleksni logaritam
  • 4 Logaritamske tablice
  • 5 Aplikacije
    • Književnost
    Bilješke

Uvod

Rice. 1. Grafovi logaritamskih funkcija

Logaritam broja b razumom a (iz grčkog. λόγος - "riječ", "stav" i ἀριθμός - „broj“) se definiše kao pokazatelj stepena do kojeg se baza mora podići a da dobijem broj b. Oznaka: . Iz definicije slijedi da su unosi i ekvivalentni.

Na primjer, jer .


1. Realni logaritam

Logaritam dnevnika realnog broja a b ima smisla kada . Kao što znate, eksponencijalna funkcija y = a x je monotona i svaka vrijednost uzima samo jednom, a raspon njenih vrijednosti sadrži sve pozitivne realne brojeve. Iz toga slijedi da je vrijednost realnog logaritma pozitivan broj uvijek postoji i jedinstveno je određen.

Najviše se koriste sljedeće vrste logaritama.


1.1. Svojstva

Dokaz

Dokažimo to.

(jer po uslovu bc > 0). ■

Dokaz

Dokažimo to

(jer prema uslovu ■

Dokaz

Iskoristimo identitet da to dokažemo. Obje strane identiteta logaritiramo bazi c. Dobijamo:

Dokaz

Dokažimo to.

(jer b str> 0 po uslovu). ■

Dokaz

Dokažimo to

Dokaz

Uzmite logaritam lijeve i desne strane na bazu c :

Lijeva strana: Desna strana:

Jednakost izraza je očigledna. Pošto su logaritmi jednaki, onda su zbog monotonosti logaritamske funkcije i sami izrazi jednaki. ■


1.2. logaritamska funkcija

Ako posmatramo logaritamski broj kao promenljivu, dobijamo logaritamska funkcija y= log a x (vidi sliku 1). Definiran je na . Raspon vrijednosti: .

Funkcija se striktno povećava za a> 1 i striktno se smanjuje na 0< a < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Pravo x= 0 je lijeva vertikalna asimptota, jer at a> 1 i na 0< a < 1 .

Derivat logaritamske funkcije je:

Dokaz

I. Hajde da to dokažemo

Hajde da zapišemo identitet e ln x = x i razlikovati njegovu lijevu i desnu stranu

Dobijamo to , odakle to slijedi

II. Dokažimo to

Logaritamska funkcija implementira izomorfizam multiplikativna grupa pozitivno realni brojevi i aditivnu grupu svih realnih brojeva.


1.3. prirodni logaritmi

Odnos s decimalnim logaritmom: .

Kao što je gore navedeno, izvod prirodnog logaritma ima jednostavnu formulu:

Zbog toga se prirodni logaritmi uglavnom koriste u matematičkim istraživanjima. Često se pojavljuju prilikom rješavanja diferencijalnih jednadžbi, proučavanja statističkih ovisnosti (na primjer, distribucija primarni brojevi) itd.

Neodređeni integral prirodnog logaritma lako je pronaći integracijom po dijelovima:

Proširenje serije Taylor može se predstaviti na sljedeći način:
kada je jednakost

(1)

posebno,

Ovaj niz konvergira brže, a osim toga, lijeva strana formule sada može izraziti logaritam bilo kojeg pozitivnog broja.


1.4. Decimalni logaritmi

Rice. 2a. Logaritamska skala

Rice. 2b. Logaritamska skala sa simbolima

Logaritmi na osnovu 10 (simbol: lg a) prije pronalaska kalkulatora su se naširoko koristili za proračune. Neuniformna skala decimalnih logaritama se obično primjenjuje i na pravila slajdova. Slična skala se koristi u mnogim poljima nauke, na primjer:

  • Fizika - intenzitet zvuka (decibeli).
  • Astronomija je skala za sjaj zvijezda.
  • Hemija - aktivnost vodonikovih jona (pH).
  • Seizmologija - Richterova skala.
  • Muzička teorija - muzička ljestvica, u odnosu na frekvencije muzičkih zvukova.
  • Istorija je logaritamska vremenska skala.

Logaritamska skala se takođe široko koristi za identifikaciju eksponenta u eksponencijalnim zavisnostima i koeficijenta u eksponentu. Istovremeno, graf iscrtan u logaritamskoj skali duž jedne ili dvije ose poprima oblik prave linije, što je lakše proučavati.


2. Kompleksni logaritam

2.1. Definicija i svojstva

Za kompleksne brojeve, logaritam se definira na isti način kao i realni. U praksi se gotovo isključivo koristi prirodni kompleksni logaritam koji označavamo i definiramo kao skup svih kompleksnih brojeva z takav da e z = w . Kompleksni logaritam postoji za bilo koji , i njegov pravi dio je jednoznačno određen, dok imaginarni ima beskonačan broj vrijednosti. Iz tog razloga se naziva viševrijedna funkcija. Ako zamislite w in indikativni oblik:

,

tada se logaritam nalazi po formuli:

Evo pravog logaritma, r = | w | , k je proizvoljan cijeli broj. Vrijednost dobijena kada k= 0 se poziva glavni značaj složeni prirodni logaritam; uobičajeno je uzeti vrijednost argumenta u intervalu (− π,π] . Odgovarajuća (već jednoznačna) funkcija se zove glavna grana logaritam i označava se sa . Ponekad se označava i vrijednost logaritma, koji ne leži na glavnoj grani.

Iz formule slijedi:

  • Realni dio logaritma određuje se formulom:
  • Logaritam negativnog broja nalazi se po formuli:

Budući da su složene trigonometrijske funkcije povezane s eksponencijalom (Eulerova formula), kompleksni logaritam, kao inverz eksponencijalne funkcije, povezan je s inverznim trigonometrijske funkcije. Primjer takve veze:


2.2. Primjeri

Evo glavne vrijednosti logaritma za neke argumente:

Treba biti oprezan kada pretvarate složene logaritme, uzimajući u obzir da su oni viševrijedni, pa stoga jednakost logaritama bilo kojeg izraza ne podrazumijeva jednakost ovih izraza. Primjer pogrešnog zaključivanja:

iπ = ln(− 1) = ln((− i) 2) = 2ln(− i) = 2(− iπ / 2) = − iπ - očigledan apsurd.

Imajte na umu da je glavna vrijednost logaritma na lijevoj strani, a vrijednost iz osnovne grane je na desnoj ( k= − 1 ). Razlog greške je nepažljivo korištenje svojstva, koje, općenito govoreći, u složenom slučaju podrazumijeva cijeli beskonačan skup vrijednosti logaritma, a ne samo glavnu vrijednost.


2.3. Analitički nastavak

Rice. 3. Kompleksni logaritam (imaginarni dio)

Logaritam kompleksnog broja se također može definirati kao analitički nastavak realnog logaritma na cijelu kompleksnu ravan. Neka kriva Γ počinje od 1, ne prolazi kroz nulu i ne siječe negativni dio realne ose. Zatim glavna vrijednost logaritma u krajnjoj tački w kriva Γ se može odrediti formulom:

Ako je Γ jednostavna kriva (bez samopresjeka), tada se za brojeve koji leže na njoj bez straha mogu primijeniti logaritamski identiteti, npr.

Ako je dozvoljeno da krivulja Γ siječe negativni dio realne ose, tada prvi takav presjek prenosi rezultat iz grane glavne vrijednosti u susjednu granu, a svaki sljedeći presjek uzrokuje sličan pomak duž grana logaritamske funkcije ( vidi sliku).

Iz formule analitičkog nastavka slijedi da na bilo kojoj grani logaritma

Za bilo koji krug S zatvarajući tačku 0:

Integral se uzima u pozitivnom smjeru (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu). Ovaj identitet leži u osnovi teorije ostataka.

Također se može definirati analitički nastavak kompleksnog logaritma koristeći gornju seriju (1), generaliziranu na slučaj složen argument. Međutim, iz vrste proširenja proizlazi da je ono jednako nuli na jedinici, odnosno da se niz odnosi samo na glavnu granu viševrijedne funkcije kompleksnog logaritma.


2.4. Rimanova površina

Kompleksna logaritamska funkcija je primjer Riemannove površine; njegov imaginarni dio (slika 3) sastoji se od beskonačnog broja grana uvijenih u obliku spirale. Ova površina je jednostavno povezana; njegova jedina nula (prvog reda) se dobija pomoću z= 1, posebne tačke: z= 0 i (tačke grananja beskonačnog reda).

Rimanova površina logaritma je univerzalno pokrivanje za složena ravan bez tačke 0.


3. Istorijski pregled

3.1. Realni logaritam

Potreba za složenim proračunima u 16. veku je brzo rasla, a veliki deo poteškoća bio je povezan sa množenjem i deljenjem višecifrenih brojeva, kao i izvlačenjem korena. Krajem vijeka, nekoliko matematičara, gotovo istovremeno, došlo je na ideju: zamijeniti dugotrajno množenje jednostavnim sabiranjem, upoređujući geometrijske i aritmetičke progresije pomoću posebnih tablica, dok će geometrijska biti originalna. Tada se deljenje automatski zamenjuje nemerljivo jednostavnijim i pouzdanijim oduzimanjem, a izvlačenje korena stepena n svodi na dijeljenje logaritma radikalnog izraza sa n. On je prvi objavio ovu ideju u svojoj knjizi Arithmetica integra» Michael Stiefel, koji, međutim, nije uložio ozbiljne napore da implementira svoju ideju.

Godine 1614, škotski matematičar amater John Napier objavio je na Latinski esej pod nazivom " Opis nevjerovatne logaritamske tablice"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). Imalo je Kratki opis logaritmi i njihova svojstva, kao i osmocifrene tablice logaritama sinusa, kosinusa i tangenta, sa korakom od 1". logaritam, koji je predložio Napier, etablirao se u nauci. Napier je izložio teoriju logaritama u svojoj drugoj knjizi " Pravljenje nevjerovatne tablice logaritama"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), koji je posthumno objavio njegov sin 1619.

Koncept funkcije još nije postojao, a Napier je odredio logaritam kinematički, upoređujući jednolično i logaritamski usporeno kretanje; na primjer, definirao je logaritam sinusa na sljedeći način:

Logaritam datog sinusa je broj koji se uvijek aritmetički povećava istom brzinom kao što je puni sinus počeo geometrijski da se smanjuje.

U modernoj notaciji, Napierov kinematički model se može prikazati diferencijalna jednadžba: dx/x = -dy/M, gdje je M faktor skaliranja uveden da vrijednost postane cijeli broj sa željenim brojem znamenki ( decimale još nije u širokoj upotrebi). Napier je uzeo M = 10000000.

Strogo govoreći, Napier je tablično prikazao pogrešnu funkciju, koja se sada zove logaritam. Ako njegovu funkciju označimo kao LogNap(x), onda je ona povezana s prirodnim logaritmom na sljedeći način:

Očigledno, LogNap (M) = 0, odnosno, logaritam "punog sinusa" je nula - to je Napier tražio svojom definicijom. .

Glavno svojstvo Napierovog logaritma: ako se količine formiraju geometrijska progresija, tada njihovi logaritmi formiraju aritmetičku progresiju. Međutim, pravila za logaritam za ne-Pijerovu funkciju razlikovala su se od pravila za moderni logaritam.

Na primjer, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Nažalost, sve vrijednosti u Napierovoj tabeli sadržavale su računsku grešku nakon šeste znamenke. Međutim, to nije spriječilo novu metodu izračunavanja da stekne široku popularnost, a mnogi evropski matematičari, uključujući Keplera, preuzeli su kompilaciju logaritamskih tablica. Već 5 godina kasnije, 1619. godine, londonski učitelj matematike John Spydell ( John Spidell) ponovo objavio Napierove tabele, transformisane tako da su zapravo postale tabele prirodnih logaritama (iako je Spydell zadržao skaliranje na cele brojeve). Termin "prirodni logaritam" skovao je italijanski matematičar Pietro Mengoli ( Pietro Mengoli)) sredinom XVI vijeka.

1620-ih Edmund Wingate i William Oughtred izumili su prvo klizno pravilo, prije pojave džepnih kalkulatora, nezamjenjivog alata za inženjera.

Blisko modernom shvatanju logaritma – kao operacije inverzne dizanju na stepen – prvi put se pojavio kod Wallisa i Johanna Bernoullija, a konačno ga je legalizovao Ojler u 18. veku. U Uvodu u analizu beskonačnosti (1748), Euler je dao moderne definicije i eksponencijalne i logaritamske funkcije, dovele su do njihove ekspanzije snaga serije, naglasio je ulogu prirodnog logaritma.

Ojler takođe ima zaslugu proširenja logaritamske funkcije na kompleksnu oblast.


3.2. Kompleksni logaritam

Prvi pokušaji proširenja logaritma na kompleksni brojevi Leibniz i Johann Bernoulli poduzeli su se na prijelazu iz 17. u 18. vijek, ali nisu uspjeli stvoriti holističku teoriju - prvenstveno iz razloga što u to vrijeme sam koncept logaritma još nije bio jasno definiran. Diskusija o ovoj temi prvo je bila između Leibniza i Bernoullija, a sredinom 18. vijeka između d'Alemberta i Eulera. Bernuli i d'Alembert su smatrali da je potrebno definisati log(-x) = log(x). Kompletna teorija logaritme negativnih i kompleksnih brojeva objavio je Euler 1747-1751 i suštinski se ne razlikuje od modernog.

Iako se spor nastavio (D'Alembert je branio svoje gledište i detaljno ga argumentovao u članku u svojoj Enciklopediji i drugim radovima), Ojlerovo gledište je brzo steklo opšte priznanje.


4. Logaritamske tablice

Logaritamske tablice

Iz svojstava logaritma proizlazi da je umjesto dugotrajnog množenja viševrijednih brojeva dovoljno pronaći (iz tablica) i sabrati njihove logaritme, a zatim izvršiti potenciranje pomoću istih tabela, odnosno pronaći vrijednost rezultata prema njegovom logaritmu. Izvođenje dijeljenja razlikuje se samo po tome što se logaritmi oduzimaju. Laplas je rekao da je pronalazak logaritama "produžio život astronomima" tako što je uveliko ubrzao proces računanja.

Prilikom pomicanja decimalne točke u broju na n cifara, vrijednost decimalnog logaritma ovog broja se mijenja za n. Na primjer, lg8314.63 = lg8.31463 + 3 . Iz toga slijedi da je dovoljno napraviti tablicu decimalnih logaritama za brojeve u rasponu od 1 do 10.

Prve tablice logaritama objavio je John Napier (1614), a sadržavale su samo logaritme trigonometrijskih funkcija, i to s greškama. Nezavisno od njega, Joost Burgi, Keplerov prijatelj, objavio je njegove tabele (1620). Godine 1617. profesor matematike na Oksfordu Henry Briggs objavio je tabele koje su već uključivale decimalne logaritme samih brojeva, od 1 do 1000, sa 8 (kasnije 14) cifara. Ali bilo je i grešaka u Briggsovim tabelama. Prvo nepogrešivo izdanje zasnovano na Vega tablicama (1783) pojavilo se tek 1857. u Berlinu (Bremiver tabele).

U Rusiji su prve tablice logaritama objavljene 1703. uz učešće L. F. Magnitskog. U SSSR-u je objavljeno nekoliko zbirki tablica logaritama.

  • Bradis V. M.Četvorocifrene matematičke tabele. 44. izdanje, M., 1973.

Korištene su Bradysove tablice (1921.). obrazovne institucije i u inženjerskim proračunima koji ne zahtijevaju veliku tačnost. Sadržavale su mantise decimalnih logaritama brojeva i trigonometrijskih funkcija, prirodne logaritme i neke druge korisne alate za računanje.

  • Vega G. Tabele sedmocifrenih logaritama, 4. izdanje, M., 1971.

Profesionalna kolekcija za tačne proračune.

  • Petoznamenkaste tablice prirodnih vrijednosti trigonometrijskih veličina, njihovi logaritmi i logaritmi brojeva, 6. izd., M.: Nauka, 1972.
  • Tabele prirodnih logaritama, 2. izdanje, u 2 toma, Moskva: Nauka, 1971.

Trenutno, sa širenjem kalkulatora, nestala je potreba za korištenjem tablica logaritama.

M, Karakteristika (kompleksna analiza).

Definicija i svojstva

Kompleksna nula nema logaritam jer kompleksni eksponent ne poprima nultu vrijednost. nenula texvc može se predstaviti u eksponencijalnom obliku:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;, gdje Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): k- proizvoljan cijeli broj

Onda Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \mathrm(Ln)\,z nalazi se prema formuli:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri podešavanju.): \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \lijevo(\varphi + 2 \pi k \desno)

Evo Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ln\,r= \ln\,|z| je pravi logaritam. Iz ovoga proizilazi:

Iz formule se vidi da jedna i samo jedna od vrijednosti ima imaginarni dio u intervalu Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc . Ova vrijednost se zove glavni značaj kompleksni prirodni logaritam. Poziva se odgovarajuća (već jednoznačna) funkcija glavna grana logaritam i označava se Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ln\,z. Ponekad kroz Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ln\, z također označava vrijednost logaritma koji ne leži na glavnoj grani. Ako Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): z je realan broj, tada se glavna vrijednost njegovog logaritma poklapa sa uobičajenim realnim logaritmom.

Iz gornje formule također slijedi da se realni dio logaritma određuje na sljedeći način kroz komponente argumenta:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku/README za pomoć pri postavljanju.): \operatorname(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)

Slika pokazuje da je realni dio kao funkcija komponenti centralno simetričan i ovisi samo o udaljenosti do nulte točke. Dobiva se rotacijom grafika realnog logaritma oko vertikalne ose. Kako se približava nuli, funkcija teži Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): -\infty.

Logaritam negativnog broja nalazi se po formuli:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri podešavanju.): \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1 , \ pm2\tačke)

Primjeri kompleksnih logaritamskih vrijednosti

Dajemo glavnu vrijednost logaritma ( Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ln) i njegov opći izraz ( Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \mathrm(Ln)) za neke argumente:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi

Treba biti oprezan kada pretvarate složene logaritme, uzimajući u obzir da su oni viševrijedni, pa stoga jednakost logaritama bilo kojeg izraza ne podrazumijeva jednakost ovih izraza. Primjer pogrešno obrazloženje:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2 ) = -i\pi je očigledna greška.

Imajte na umu da je glavna vrijednost logaritma na lijevoj strani, a vrijednost iz osnovne grane je na desnoj ( Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): k=-1). Razlog greške je nepažljivo korištenje imovine Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \log_a((b^p)) = p~\log_a b, što, općenito govoreći, podrazumijeva u složenom slučaju cijeli beskonačan skup vrijednosti logaritma, a ne samo glavnu vrijednost.

Kompleksna logaritamska funkcija i Rimanova površina

Zbog toga što je jednostavno povezana, Riemannova površina logaritma je univerzalni pokrivač za kompleksnu ravan bez tačke Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc .

Analitički nastavak

Logaritam kompleksnog broja se također može definirati kao analitički nastavak realnog logaritma na cijelu kompleksnu ravan. Pustite krivu Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc počinje od jedan, ne prolazi kroz nulu i ne prelazi negativni dio realne ose. Zatim glavna vrijednost logaritma u krajnjoj tački Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): w krivo Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \Gamma može se odrediti formulom:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku/README za pomoć pri postavljanju.): \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)

Ako Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \Gamma- jednostavna krivulja (bez samopresjeka), tada se za brojeve koji leže na njoj bez straha mogu primijeniti logaritamski identiteti, na primjer:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

Glavna grana logaritamske funkcije je kontinuirana i diferencibilna na cijeloj kompleksnoj ravni, osim na negativnom dijelu realne ose, na kojoj imaginarni dio skače na Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): 2\pi. Ali ova činjenica je posljedica vještačkog ograničenja imaginarnog dijela glavne vrijednosti intervalom Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): (-\pi, \pi]. Ako uzmemo u obzir sve grane funkcije, onda se kontinuitet odvija u svim tačkama osim nule, gdje funkcija nije definirana. Ako dozvolite krivulju Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \Gamma prelazi negativni dio realne ose, tada prvi takav presjek prenosi rezultat sa grane glavne vrijednosti na susjednu granu, a svaki sljedeći presjek uzrokuje sličan pomak duž grana logaritamske funkcije (vidi sliku).

Iz formule analitičkog nastavka slijedi da na bilo kojoj grani logaritma:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku/README za pomoć pri postavljanju.): \frac(d)(dz) \ln z = (1\over z)

Za bilo koji krug Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): S zatvaranje tačke Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku/README za pomoć pri postavljanju.): 0 :

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i

Integral se uzima u pozitivnom smjeru (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu). Ovaj identitet leži u osnovi teorije ostataka.

Također se može definirati analitički nastavak kompleksnog logaritma koristeći niz poznatih za realni slučaj:

Međutim, iz oblika ovih nizova proizilazi da je u jedinici zbir niza jednak nuli, odnosno da se niz odnosi samo na glavnu granu viševrijedne funkcije kompleksnog logaritma. Poluprečnik konvergencije oba niza je 1.

Veza s inverznim trigonometrijskim i hiperboličkim funkcijama

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \operatorname(Arcsin) z = -i \operatorname(Ln) (i z + \sqrt(1-z^2)) Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \operatorname(Arccos) z = -i \operatorname(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2)) Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \operatorname(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z \ne \pm i) Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \operatorname(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z \ne \pm i) Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku/README za pomoć pri postavljanju.): \operatorname(Arsh)z = \operatorname(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- inverzni hiperbolički sinus Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku/README za pomoć pri postavljanju.): \operatorname(Arch)z=\operatorname(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- inverzni hiperbolički kosinus Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku/README za pomoć pri postavljanju.): \operatorname(Arth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\right)- inverzni hiperbolički tangent Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku/README za pomoć pri postavljanju.): \operatorname(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\right)- inverzni hiperbolički kotangens

Istorijski pregled

Prve pokušaje da se logaritmi prošire na kompleksne brojeve na prijelazu iz 17. u 18. stoljeće napravili su Leibniz i Johann Bernoulli, ali nisu uspjeli stvoriti holističku teoriju - prvenstveno iz razloga što sam koncept logaritma još nije bio jasan. definisano. Diskusija o ovoj temi prvo je bila između Leibniza i Bernoullija, a sredinom 18. vijeka između d'Alemberta i Eulera. Bernuli i d'Alembert su smatrali da je potrebno definisati Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \log(-x) = \log(x), dok je Leibniz tvrdio da je logaritam negativnog broja imaginarni broj. Kompletnu teoriju logaritama negativnih i kompleksnih brojeva objavio je Ojler 1747-1751 i suštinski se ne razlikuje od moderne. Iako se kontroverza nastavila (d'Alembert je branio svoje gledište i detaljno ga argumentovao u članku u svojoj Enciklopediji i drugim radovima), Ojlerov pristup do kraja 18. veka dobio je opšte priznanje.

Napišite recenziju na članak "Složeni logaritam"

Književnost

Teorija logaritma
  • Korn G., Korn T.. - M.: Nauka, 1973. - 720 str.
  • Svešnjikov A. G., Tihonov A. N. Teorija funkcija kompleksne varijable. - M.: Nauka, 1967. - 304 str.
  • Fikhtengolts G. M. Kurs diferencijalnog i integralnog računa. - ed. 6. - M.: Nauka, 1966. - 680 str.
Istorija logaritama
  • Matematika 18. vijeka // / Uredio A.P. Yushkevich, u tri toma. - M.: Nauka, 1972. - T. III.
  • Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (ur.). Matematika 19. veka. Geometrija. Teorija analitičkih funkcija. - M.: Nauka, 1981. - T. II.

Bilješke

  1. Logaritamska funkcija. // . - M.: Sovjetska enciklopedija, 1982. - T. 3.
  2. , tom II, str. 520-522..
  3. , od. 623..
  4. , od. 92-94..
  5. , od. 45-46, 99-100..
  6. Boltyansky V. G., Efremovich V. A.. - M.: Nauka, 1982. - S. 112. - (Kvantna biblioteka, br. 21).
  7. , tom II, str. 522-526..
  8. , od. 624..
  9. , od. 325-328..
  10. Rybnikov K. A. Istorija matematike. U dva toma. - M.: Ed. Moskovski državni univerzitet, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231.
  11. , od. 122-123..
  12. Klein F.. - M.: Nauka, 1987. - T. II. Geometrija. - S. 159-161. - 416 str.

Izvod koji karakterizira kompleksni logaritam

Od divljeg užasa koji nas je obuzeo, jurili smo kao meci kroz široku dolinu, a da nismo ni pomislili da bismo mogli brzo da pređemo na drugi „sprat”... Jednostavno nismo imali vremena da razmišljamo o tome – bili smo previše uplašeni.
Stvorenje je poletelo tačno iznad nas, glasno škljocnuvši razjapljenim zubastim kljunom, a mi smo jurili koliko smo mogli, prskajući podle ljigave sprejeve u strane, i mentalno se moleći da nešto drugo odjednom zainteresuje ovu strašnu "čudesnu pticu" ... Osjećalo se da je to mnogo brže i jednostavno nismo imali šanse da se otrgnemo od toga. Kao zlo, ni jedno drvo nije raslo u blizini, nije bilo grmlja, čak ni kamenja iza kojeg bi se moglo sakriti, samo se u daljini vidjela zlokobna crna stijena.
- Tamo! - vikala je Stela, upirući prstom u isti kamen.
Ali iznenada, neočekivano, tik pred nama, odnekud, pojavilo se stvorenje od kojeg nam je bukvalno ledila krv u venama... Nastalo je, takoreći, „iz ničega“ i bilo je zaista zastrašujuće ... Ogroman crni leš bio je potpuno prekriven dugom, krutom dlakom, što je izgledalo kao trbušasti medvjed, samo što je ovaj "medvjed" bio visok kao trospratna kuća... Kvrgava glava čudovišta bila je " oženjen” sa dva ogromna zakrivljena roga, a par neverovatno dugih očnjaka, oštrih kao noževi, krasio je njegova strašna usta, samo gledajući na koja su, uplašeno, noge pokleknule... A onda, neizrecivo nas iznenadi, čudovište lako skočio i .... pokupio leteću "blagu" na jednom od svojih ogromnih očnjaka... Smrzli smo se zapanjeni.
- Bežimo!!! Stella je vrisnula. - Hajde da bježimo dok je on "zauzet"! ..
I već smo bili spremni da ponovo jurimo ne osvrćući se, kada se odjednom iza naših leđa začuo tanak glas:
- Devojke, čekajte! Ne treba bježati!.. Spasio te Din, nije neprijatelj!
Naglo smo se okrenuli - iza leđa je stajala sićušna, veoma lepa crnooka devojčica... i mirno milovala čudovište koje joj se približilo!.. Oči su nam iskočile od iznenađenja... Bilo je neverovatno! Sigurno – bio je to dan iznenađenja!.. Djevojka se, gledajući nas, ljubazno nasmiješila, nimalo se ne plašeći krznenog čudovišta koje je stajalo u blizini.
Molim te, nemoj ga se plašiti. On je veoma ljubazan. Vidjeli smo da te Ovara juri i odlučili smo pomoći. Dean je dobar momak, uspeo je na vreme. Zaista, dobro moj?
"Dobar" je prednjao, što je zvučao kao blagi zemljotres, i, sagnuvši glavu, polizao djevojčino lice.
“A ko je Owara i zašto nas je napala?” Pitao sam.
Ona svakog napada, ona je grabežljivac. I veoma opasno”, mirno je odgovorila devojka. „Mogu li da pitam šta radiš ovde?“ Niste odavde, devojke, zar ne?
- Ne, ne odavde. Samo smo šetali. Ali isto pitanje za tebe - šta ti radiš ovde?
Idem kod majke... - rastužila se djevojčica. “Zajedno smo umrli, ali ona je iz nekog razloga završila ovdje. I sad živim ovdje, ali joj to ne govorim, jer se ona nikada neće složiti s tim. Ona misli da upravo dolazim...
„Nije li bolje samo doći?" Ovdje je tako strašno!.. - Stella je trzala ramenima.
“Ne mogu da je ostavim ovde samu, gledam je da joj se ništa ne desi. A evo i Deana sa mnom... On mi pomaže.
Prosto nisam mogao da verujem... Ova sićušna hrabra devojčica je svojevoljno napustila svoj lepi i ljubazni "pod" da bi živela u ovom hladnom, strašnom i stranom svetu, štiteći svoju majku, koja je bila veoma "kriva" za nešto! Ne bi mnogi, mislim, bili tako hrabri i nesebični (čak i odrasli!) ljudi koji bi se odlučili na takav podvig... I odmah sam pomislio - možda jednostavno nije shvatila na šta će sebe osuditi ?!
- A koliko dugo si ovde, devojko, ako nije tajna?
“Nedavno...” tužno je odgovorila crnooka djevojčica, čupajući prstima crni pramen svoje kovrdžave kose. - Upao sam u ovo prelijepi svijet kad je umrla!.. Bio je tako ljubazan i bistar!.. A onda sam vidio da moja majka nije sa mnom i pojurio da je tražim. U početku je bilo tako strašno! Iz nekog razloga nije je bilo nigdje... I onda sam pao u ovaj strašni svijet... I onda sam je našao. Bio sam tako prestravljen ovdje... Tako sam usamljen... Mama mi je rekla da odem, čak me i grdila. Ali ne mogu da je ostavim... Sada imam prijatelja, mog dobrog Dekana, i mogu nekako da postojim ovde.
Njen „dobri prijatelj“ je ponovo zarežao, što je kod Stele i mene izazvalo ogromnu „niže astralnu“ guzu... Sabravši se, pokušala sam da se malo smirim i počela da gledam ovo krzneno čudo... A on, odmah osetivši da je primetio, užasno ogolio svoja očnjasta usta... odskočio sam.
- Oh, molim te, nemoj se plašiti! On vam se smiješi, - uvjerila je djevojka.
Da... Od takvog osmeha naučićeš da brzo trčiš... - pomislio sam u sebi.
„Ali kako se dogodilo da ste se sprijateljili s njim?“ upitala je Stella.
- Kada sam prvi put došao ovde, bio sam veoma uplašen, posebno kada su danas napadnuta čudovišta poput vas. A onda me jednog dana, kada sam zamalo umro, Dean spasio od čitave gomile jezivih letećih "ptica". I ja sam ga se prvo plašio, ali sam onda shvatio kakvo zlatno srce ima... On je najviše najbolji prijatelj! Nikada nisam imao takve, čak ni dok sam živio na Zemlji.
Kako ste se tako brzo navikli? Njegov izgled nije baš, da kažemo, poznat...
- I tu sam shvatio jednu vrlo jednostavnu istinu, koju iz nekog razloga nisam primetio na Zemlji - izgled nije važan da li čovek ili stvorenje ima dobro srce... Moja majka je bila veoma lepa, ali ponekad i veoma ljuta . A onda je sva njena lepota negde nestala... A Dean, iako jeziv, uvek je veoma ljubazan, i uvek me štiti, osećam njegovu dobrotu i ničega se ne plašim. Možete se naviknuti na izgled...
“Znate li da ćete biti ovdje jako dugo, mnogo duže nego što ljudi žive na Zemlji?” Da li stvarno želiš da ostaneš ovde?
“Moja majka je ovdje, pa joj moram pomoći. A kad ona ponovo "ode" da živi na Zemlji, otići ću i ja... Gdje je više dobrote. U ovom strašnom svijetu ljudi su vrlo čudni - kao da uopće ne žive. Žašto je to? Znate li nešto o tome?
- A ko ti je rekao da će tvoja majka opet otići da živi? upitala je Stella.
Dean, naravno. On mnogo zna, on ovde živi jako dugo. Rekao je i da će nam porodice biti drugačije kada budemo (mama i ja) ponovo živjeli. A onda više neću imati ovu majku... Zato želim sada da budem sa njom.
“A kako razgovaraš s njim, sa svojim dekanom?” upitala je Stella. "A zašto nam ne želiš reći svoje ime?"
Ali istina je - još nismo znali njeno ime! A odakle je došla - takođe nisu znali...
– Zvala sam se Marija... Ali da li je to zaista važno ovde?
- Sigurno! Stella se nasmijala. - A kako da komuniciram sa vama? Kad odete, daće vam novo ime, ali dok ste ovdje, morat ćete živjeti sa starim. Jeste li razgovarali sa još nekim ovdje, Maria curo? - Iz navike, skačući s teme na temu, upitala je Stela.
"Da, jesam..." nesigurno je rekla djevojčica. „Ali oni su ovde tako čudni. I tako jadni... Zašto su tako jadni?
„Ali da li ono što vidite ovde vodi ka sreći?“ Iznenadilo me njeno pitanje. – I sama lokalna „realnost“ unapred ubija svaku nadu!.. Kako se ovde može biti srećan?
- Ne znam. Kad sam sa mamom, cini mi se da bih i ja ovde mogao da budem srecan... Istina, ovde je jako strasno, a njoj se ovde stvarno ne dopada... Kada sam rekao da sam pristao da ostanem sa nju, vikala je na mene i rekla da sam ja njena "bezmozga nesreca"... Ali nisam uvređena... znam da je samo uplašena. Baš kao ja...
- Možda je samo htela da vas spasi od vaše "ekstremne" odluke, i samo da se vratite na svoj "pod"? - Pažljivo, da se ne uvredi, upitala je Stela.
– Ne, naravno da ne... Ali hvala na lepim rečima. Mama me često nazivala ne baš dobrim imenima, čak ni na Zemlji... Ali znam da to nije iz zlobe. Bila je samo nesrećna jer sam rođena, i često mi je govorila da sam joj uništio život. Ali to nije bila moja greška, zar ne? Uvek sam se trudio da je usrećim, ali iz nekog razloga nisam baš uspevao... Ali nikad nisam imao tatu. Marija je bila veoma tužna, a glas joj je drhtao, kao da će zaplakati.
Stela i ja smo se pogledale, i bio sam skoro siguran da su je slične misli posjećivale... Već mi se baš nije sviđala ova razmažena, sebična "majka", koja, umjesto da se sama brine za svoje dijete, nije marila za njegovo herojsko Shvatio sam i, uz to, još bolnije povrijedio.
- Ali Dean kaže da sam dobar, i da ga činim veoma srećnim! - promrmljala je djevojčica veselije. I želi da bude prijatelj sa mnom. A ostali koje sam ovde sreo su veoma hladni i ravnodušni, a ponekad i ljuti... Pogotovo oni za koje su vezana čudovišta...
- Čudovišta - šta?.. - nismo razumeli.
“Pa, imaju strašna čudovišta na leđima i govore im šta treba da rade. A ako ne slušaju, čudovišta im se užasno rugaju... Pokušao sam razgovarati s njima, ali ova čudovišta mi ne daju.
Nismo razumeli apsolutno ništa od ovog „objašnjenja“, ali sama činjenica da neka astralna bića muče ljude nije mogla da ostane „istražena“ kod nas, pa smo je odmah pitali kako možemo da vidimo ovaj neverovatan fenomen.
- Oh, svuda! Posebno na Crnoj planini. Eno ga, iza drveća. Hoćeš da i mi pođemo s tobom?
– Naravno, bićemo srećni! - odmah je oduševljeno odgovorila Stela.
Da budem iskrena, nisam se baš nasmiješila perspektivi da izlazim s nekim drugim, „jezivo i neshvatljivo“, pogotovo sama. Ali interesovanje je pobedilo strah i mi bismo, naravno, otišli, uprkos tome što smo se malo plašili... Ali kada je sa nama bio defanzivac poput Deana, odmah je postalo zabavnije...
I sada, u kratkom trenutku, pred našim širom otvorenim očima sa čuđenjem otvorio se pravi pakao... svet... Naravno, nije bio lud, već je bio jednostavno vidovnjak koji je iz nekog razloga mogao da vidi samo donji astral. Ali moramo mu odati zasluge – odlično ga je prikazao... Videla sam njegove slike u knjizi koja je bila u tatinoj biblioteci, i još uvek pamti onaj užasan osećaj koji je nosila većina njegovih slika...
- Kakav užas!.. - prošaputala je šokirana Stela.
Vjerovatno bi se moglo reći da smo već dosta toga vidjeli ovdje, na „podovima“... Ali tako nešto nismo mogli ni da zamislimo u našoj najstrašnijoj noćnoj mori!.. Iza „crne stijene“ se nešto potpuno otvorilo nezamislivo ... Izgledalo je kao ogroman, ravan "kotlić" uklesan u stenu, na čijem je dnu žuborila grimizna "lava"... Vrući vazduh je svuda "pukao" sa čudnim treperevim crvenkastim mehurićima, iz kojih je izlazila vrela para i padao u velikim kapima na zemlju, ili na ljude koji su u tom trenutku pali ispod njega... Čuli su se srceparajući krici, ali su odmah utihnuli, jer su najodvratnija stvorenja sedela na leđima istih ljudi, koji , zadovoljnog pogleda, "upravljali" svojim žrtvama, ne obraćajući ni najmanje pažnje na njihove patnje... Pod golim nogama ljudi crvenilo se usijano kamenje, vrela grimizna zemlja klokotala i "topila" se... visoko, isparavajući laganom izmaglicom... A u samoj sredini "jame" tekla je jarko crvena, široka vatrena rijeka, u koju su, s vremena na vrijeme, ista odvratna čudovišta neočekivano bacala jedan ili drugi napaćeni entitet, koji , padajući, izazvao je samo kratko prskanje narandžastih iskri, a onda, pretvorivši se na trenutak u pahuljasti bijeli oblak, nestao... zauvijek... Bio je to pravi pakao, a Stela i ja smo htjeli da "nestanemo" odatle sto pre...
- Šta ćemo da radimo?.. - prošaputala je Stela u tihom užasu. - Želiš li ići dole? Možemo li nešto učiniti da im pomognemo? Pogledaj koliko ih ima!..
Stajali smo na crno-smeđoj, vrućinom osušenoj litici, posmatrajući "zbrku" bola, beznađa i nasilja koja se proteže ispod, preplavljeni užasom, i osjećali smo se tako djetinjasto nemoćni da je čak i moja ratoborna Stela ovoga puta kategorički sklopila svoj raščupani " krila” i bila spremna na prvi poziv da odjuri na svoj, tako drag i pouzdan, gornji “sprat”...

Eksponencijalna funkcija realne varijable (za pozitivno tlo) određuje se u nekoliko koraka. Prvo, za prirodne vrijednosti - kao proizvod jednakih faktora. Definicija se zatim proširuje na negativne cjelobrojne i različite od nule vrijednosti za po pravilima. Dalje, razmatraju se frakcioni indikatori kod kojih je vrijednost eksponencijalna funkcija određena korijenima: . Za iracionalne vrijednosti, definicija je već povezana sa osnovnim konceptom matematičke analize - sa prelaskom do granice, iz razloga kontinuiteta. Sva ova razmatranja ni na koji način nisu primjenjiva na pokušaje proširenja eksponencijalne funkcije na kompleksne vrijednosti indikatora, a što je, na primjer, potpuno neshvatljivo.

Ojler je prvi put uveo stepen sa kompleksnim eksponentom sa prirodnom bazom na osnovu analize niza konstrukcija integralnog računa. Ponekad vrlo slični algebarski izrazi kada su integrirani daju potpuno različite odgovore:

Istovremeno, ovdje se drugi integral formalno dobija od prvog zamjenom sa

Iz ovoga možemo zaključiti da su, uz pravilnu definiciju eksponencijalne funkcije sa kompleksnim eksponentom, inverzne trigonometrijske funkcije povezane s logaritmima, pa je eksponencijalna funkcija povezana sa trigonometrijskim funkcijama.

Ojler je imao hrabrosti i mašte da da razumnu definiciju za eksponencijalnu funkciju s bazom, naime,

Ovo je definicija, pa stoga ova formula nije dokazana, samo se mogu tražiti argumenti u prilog razumnosti i svrsishodnosti takve definicije. Matematička analiza daje dosta argumenata ove vrste. Ograničićemo se samo na jedno.

Poznato je da realno vrijedi granična relacija: . Na desnoj strani nalazi se polinom koji ima smisla čak i za kompleksne vrijednosti za . Granica niza kompleksnih brojeva definirana je na prirodan način. Za niz se kaže da konvergira ako su nizovi realnog i imaginarne dijelove i prihvaćeno

Hajde da nađemo. Da bismo to učinili, okrećemo se trigonometrijskom obliku, a za argument ćemo odabrati vrijednosti iz intervala. Sa ovim izborom, jasno je da za . dalje,

Da bi se prešlo na granicu, potrebno je provjeriti postojanje ograničenja za i pronaći ove granice. Jasno je da i

Dakle u izrazu

pravi dio teži , imaginarni - tako da

Ovaj jednostavan argument daje jedan od argumenata u korist Eulerove definicije eksponencijalne funkcije.

Utvrdimo sada da se pri množenju vrijednosti eksponencijalne funkcije eksponenti zbrajaju. stvarno:

2. Ojlerove formule.

Stavili smo u definiciju eksponencijalne funkcije. Dobijamo:

Zamenivši b sa -b, dobijamo

Sabiranjem i oduzimanjem ovih jednakosti član po član, nalazimo formule

nazvane Eulerove formule. Oni uspostavljaju vezu između trigonometrijskih funkcija i eksponencijalnih sa imaginarnim eksponentima.

3. Prirodni logaritam kompleksnog broja.

Kompleksni broj dat u trigonometrijskom obliku može se zapisati u obliku Ovaj oblik pisanja kompleksnog broja naziva se eksponencijalni. Zadržava sva dobra svojstva trigonometrijskog oblika, ali je još sažetiji. Dalje, stoga je prirodno pretpostaviti da je realni dio logaritma kompleksnog broja logaritam njegovog modula, a imaginarni dio njegov argument. Ovo donekle objašnjava "logaritamsko" svojstvo argumenta - argument proizvoda jednak je zbiru argumenata faktora.

logaritamska funkcija

Logaritamska funkcija je funkcija oblika f(x) = logax, definirana za

Domena: . Raspon vrijednosti: . Funkcija je striktno rastuća za a > 1 i striktno opadajuća za 0< a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Prava x = 0 je lijeva vertikalna asimptota, jer za a > 1 i za 0< a < 1.

Derivat logaritamske funkcije je:

Logaritamska funkcija implementira izomorfizam između multiplikativne grupe pozitivnih realnih brojeva i aditivne grupe svih realnih brojeva.

Kompleksni logaritam

Definicija i svojstva

Za kompleksne brojeve, logaritam se definira na isti način kao i realni. U praksi se gotovo isključivo koristi prirodni kompleksni logaritam koji označavamo i definiramo kao skup svih kompleksnih brojeva z takvih da je ez = w. Kompleksni logaritam postoji za svakoga, a njegov realni dio je jednoznačno određen, dok imaginarni ima beskonačan broj vrijednosti. Iz tog razloga se naziva viševrijedna funkcija. Ako w predstavimo u eksponencijalnom obliku:

tada se logaritam nalazi po formuli:

Ovdje -- realni logaritam, r = | w | , k je proizvoljan cijeli broj. Vrijednost dobijena kada je k = 0 naziva se glavna vrijednost kompleksnog prirodnog logaritma; uobičajeno je da se vrijednost argumenta u njemu uzima u intervalu (? p, p). Odgovarajuća (već jednoznačna) funkcija naziva se glavna grana logaritma i označava se. Ponekad vrijednost logaritma koja ne leži na glavnoj grani također se označava sa.

Iz formule slijedi:

Realni dio logaritma određuje se formulom:

Logaritam negativnog broja nalazi se po formuli.

Dijeli